W trapezie równoramiennym suma długości podstaw wynosi \(20\). Pole tego trapezu jest równe \(80\), a tangens jego kąta ostrego wynosi \(\frac{4}{3}\). Oblicz długości podstaw trapezu.

Odpowiedź:      

\(a=16\) oraz \(b=4\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Skoro trapez jest równoramienny, to sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco: Zwróć uwagę na to, że powstał nam trójkąt prostokątny, który tworzą kawałek dolnej podstawy, wysokość figury oraz ramię trapezu. To właśnie z tego trójkąta będziemy za chwilę korzystać obliczając interesujące nas długości boków. Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu. Zanim skorzystamy z utworzonego trójkąta prostokątnego, to możemy obliczyć wysokość naszej figury. Korzystając ze wzoru na pole trapezu możemy zapisać, że: $$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \           ,\ 80=\frac{1}{2}\cdot20\cdot h \           ,\ 80=10\cdot h \           ,\ h=8$$ Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(x\). Spójrzmy teraz na nasz rysunek pomocniczy, a konkretniej na ten nasz kluczowy trójkąt prostokątny. Wiemy już, że boczna przyprostokątna ma długość \(h=8\). Wiemy też, że \(tgα=\frac{4}{3}\), a skoro tangens odpowiada za stosunek długości przyprostokątnych, to błyskawicznie wyliczymy długość odcinka oznaczonego jako \(x\): $$tgα=\frac{h}{x} \           ,\ \frac{4}{3}=\frac{8}{x}$$ Mnożąc na krzyż otrzymamy: $$4\cdot x=3\cdot8 \           ,\ 4x=24 \           ,\ x=6$$ Krok 4. Obliczenie długości podstaw trapezu. Dolną podstawę opisaliśmy sobie jako \(a=2x+y\), natomiast górną jako \(b=y\). Skoro już wiemy, że \(x=6\), to tym samym w całym zapisie pojawi nam się już tylko jedna niewiadoma, bowiem dolną podstawę możemy już zapisać jako \(a=2\cdot6+y=12+y\). Wiemy, że suma podstaw musi być równa \(20\), zatem powstaje nam do rozwiązania proste równanie: $$12+y+y=20 \           ,\ 12+2y=20 \           ,\ 2y=8 \           ,\ y=4$$ To oznacza, że dolna podstawa ma długość \(a=12+4=16\), a górna podstawa ma długość \(b=4\).

Teoria:      
W trakcie opracowania