Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa 12. Oblicz objętość tego stożka.

Odpowiedź:      

\(V=72\pi\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie zależności między polem powierzchni bocznej i polem podstawy. Ze wzorów na pole powierzchni bocznej i pole podstawy wiemy, że: $$P_{b}=\pi rl \           ,\ P_{p}=\pi r^2$$ Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstawy, zatem: $$P_{b}=3\cdot P_{p} \           ,\ \pi rl=3\cdot(\pi r^2) \           ,\ \pi rl=3\pi r^2 \           ,\ rl=3r^2 \           ,\ l=3r$$ Otrzymaliśmy informację, że \(l=3r\), czyli że tworząca stożka jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy. Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Skoro \(l=3r\), to nasz stożek będzie wyglądał następująco: Utworzył nam się trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest \(r\) i to właśnie z tego trójkąta obliczymy teraz długość promienia stożka. Krok 3. Obliczenie długości promienia stożka. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$r^2+12^2=(3r)^2 \           ,\ r^2+144=9r^2 \           ,\ 8r^2=144 \           ,\ r^2=18 \           ,\ r=\sqrt{18} \quad\lor\quad r=-\sqrt{18}$$ Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{18}\). Moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka otrzymując \(r=3\sqrt{2}\), ale tutaj nie jest to potrzebne, bo i tak zaraz będziemy długość tego promienia podnosić do kwadratu. Krok 4. Obliczenie objętości stożka. Skoro \(H=12\) oraz \(r=\sqrt{18}\), to objętość stożka będzie równa: $$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot H \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\sqrt{18})^2\cdot12 \           ,\ V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 18\cdot12 \           ,\ V=72\pi$$

Teoria:      
W trakcie opracowania