Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Odpowiedź:      

\(P_{b}=96\sqrt{41}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Narysujmy sobie tę sytuację i zaznaczmy na rysunku dane podane w treści zadania: Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi bocznej. Skoro cosinus kąta \(α\) jest równy \(\frac{3}{5}\), to zgodnie z naszymi oznaczeniami: $$cosα=\frac{b}{c} \           ,\ \frac{3}{5}=\frac{b}{c} \           ,\ b=\frac{3}{5}c$$ Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$b^2+H^2=c^2 \           ,\ \left(\frac{3}{5}c\right)^2+16^2=c^2 \           ,\ \frac{9}{25}c^2+256=c^2 \           ,\ \frac{16}{25}c^2=256 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{16} \           ,\ c^2=400 \           ,\ c=20 \quad\lor\quad c=-20$$ Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(c=20\). Krok 3. Wyznaczenie długości przekątnej podstawy. Nasz odcinek \(b\) jest połową długości przekątnej podstawy. Obliczmy zatem jego miarę, korzystając z danych z poprzedniego kroku. Wiedząc, że \(b=\frac{3}{5}c\) oraz \(c=20\) otrzymamy: $$b=\frac{3}{5}\cdot20 \           ,\ b=12$$ Skoro \(b\) jest połową długości całej przekątnej, to możemy zapisać, że przekątna ma długość: $$d=2b \           ,\ d=2\cdot12 \           ,\ d=24$$ Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy. W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(d=a\sqrt{2}\). My znamy długość przekątnej tego kwadratu i wiemy że jest to \(d=24\), zatem: $$a\sqrt{2}=24 \           ,\ a=\frac{24}{\sqrt{2}} \           ,\ a=\frac{24\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \           ,\ a=\frac{24\sqrt{2}}{2} \           ,\ a=12\sqrt{2}$$ Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej. Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, czyli w ścianach bocznych mamy taką oto sytuację: W związku z tym aby obliczyć wysokość trójkąta musimy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa: $$h^2+(6\sqrt{2})^2=20^2 \           ,\ h^2+36\cdot2=400 \           ,\ h^2+72=400 \           ,\ h^2=328 \           ,\ h=\sqrt{328} \quad\lor\quad h=-\sqrt{328}$$ Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(h=\sqrt{328}\). Możemy jeszcze spróbować wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka: $$h=\sqrt{328}=\sqrt{4\cdot82}=2\sqrt{82}$$ Krok 6. Obliczenie pola powierzchni bocznej. W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie \(a=12\sqrt{2}\) oraz wysokości \(h=2\sqrt{82}\). Musimy policzyć pole powierzchni bocznej, czyli interesuje nas łączna powierzchnia wszystkich czterech ścian, zatem: $$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \           ,\ P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82} \           ,\ P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82} \           ,\ P_{b}=48\sqrt{164} \           ,\ P_{b}=48\sqrt{4\cdot41} \           ,\ P_{b}=48\cdot2\sqrt{41} \           ,\ P_{b}=96\sqrt{41}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania