Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_{n})\).

Odpowiedź:      

\(r=-\frac{31}{105}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie wzoru na sumę dwudziestu początkowych wyrazów. Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów możemy zapisać, że: $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \           ,\ S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20$$ Z treści zadania wynika, że ta suma ma być równa \(20a_{21}+62\), zatem: $$\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20=20a_{21}+62 \           ,\ (a_{1}+a_{20})\cdot10=20a_{21}+62 \           ,\ a_{1}+a_{20}=2a_{21}+6,2$$ Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu. Z własności ciągów wiemy, że \(a_{20}=a_{1}+19r\) oraz że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Podstawiając te informacje do wyznaczonego przed chwilą równania, możemy zapisać, że: $$a_{1}+a_{1}+19r=2\cdot(a_{1}+20r)+6,2 \           ,\ 2a_{1}+19r=2a_{1}+40r+6,2 \           ,\ -21r=6,2 \           ,\ -21r=\frac{62}{10} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{21}\right) \           ,\ r=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania