Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a, b\) i \(c\) takich, że \(\frac{a+b}{2}\gt c\) i \(\frac{b+c}{2}\gt a\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{a+c}{2}\lt b\)

Odpowiedź:      

Udowodniono przekształcając podane nierówności.

Rozwiązanie:      
Skoro \(\frac{a+b}{2}\gt c\) oraz \(\frac{b+c}{2}\gt a\), to możemy zapisać, że suma \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\) musi być większa od sumy \(c+a\). Zapiszmy zatem, że: $$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\gt c+a \           ,\ \frac{a+2b+c}{2}\gt c+a \           ,\ a+2b+c\gt2c+2a \           ,\ 2b\gt a+c \           ,\ b\gt\frac{a+c}{2} \           ,\ \frac{a+c}{2}\lt b$$

Teoria:      
W trakcie opracowania