Funkcja kwadratowa \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe \(2\). Ponadto \(f(0)=8\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

Odpowiedź:      

\(f(x)=2\cdot(x-2)^2\), ewentualnie \(f(x)=2x^2-8x+8\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Jeżeli funkcja kwadratowa ma tylko jedno miejsce zerowe równe \(2\), a w dodatku \(f(0)=8\), to wykres funkcji musi wyglądać mniej więcej w ten oto sposób: Krok 2. Zapisanie równania w postaci kanonicznej. Z analizy rysunku wynika, że współrzędne wierzchołka paraboli to \(p=2\) oraz \(q=0\). Znając współrzędne wierzchołka, możemy przystąpić do wyznaczenia wzoru funkcji w postaci kanonicznej, zatem: $$f(x)=a(x-p)^2+q \           ,\ f(x)=a(x-2)^2+0 \           ,\ f(x)=a(x-2)^2$$ Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) i zapisanie wzoru funkcji. Do pełnego wzoru brakuje nam tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Aby poznać jego wartość, wystarczy do wyznaczonego wzoru \(f(x)=a(x-2)^2\) podstawić współrzędne jednego z punktów, który należy do wykresu - w naszym przypadku będzie to punkt o współrzędnych \((0;8)\), zatem: $$8=a(0-2)^2 \           ,\ 8=a\cdot(-2)^2 \           ,\ 8=4a \           ,\ a=2$$ To oznacza, że wzorem tej funkcji będzie \(f(x)=2\cdot(x-2)^2\) i taka też jest odpowiedź do tego zadania. Tak na marginesie - nie jest to konieczne, ale możemy też zapisać sobie ten wzór w postaci ogólnej (treść zadania nie precyzuje tego w jakiej postaci ma być podany wzór). W tym celu należy wykonać potęgowanie nawiasu (pamiętając przy okazji o wzorach skróconego mnożenia). Wyglądałoby to w następujący sposób: $$f(x)=2\cdot(x-2)^2 \           ,\ f(x)=2\cdot(x^2-4x+4) \           ,\ f(x)=2x^2-8x+8$$

Teoria:      
W trakcie opracowania