Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\neq y\) prawdziwa jest nierówność:

$$\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y\right)^2\lt \frac{x^2+4y^2}{5}$$

Odpowiedź:      

Udowodniono przekształcając nierówność i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Przekształcając podaną nierówność, otrzymamy taką oto sytuację: $$\frac{1}{25}x^2+2\cdot\frac{1}{5}x\cdot\frac{4}{5}y+\frac{16}{25}y^2\lt \frac{x^2+4y^2}{5} \quad\bigg/\cdot25 \           ,\ x^2+8xy+16y^2\lt5x^2+20y^2 \           ,\ -4x^2+8xy-4y^2\lt0 \           ,\ -4(x^2-2xy+y^2)\lt0 \quad\bigg/:(-4) \           ,\ x^2-2xy+y^2\gt0 \           ,\ (x-y)^2\gt0$$ Z treści zadania wynika, że \(x\neq y\), a to oznacza, że różnica \(x-y\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też \((x-y)^2\) jest na pewno większe od zera, co należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania