Wyrażenia algebraiczne i równania

Mnożymy każdy składnik pierwszej sumy przez każdy składnik drugiej:

$$x\cdot x+x\cdot3+2\cdot x+2\cdot3=x^2+3x+2x+6$$

$$=x^2+5x+6$$

Najczęstszy błąd: pominięcie wyrazów mieszanych i zapisanie $x^2+6$.

Odpowiedź: B. $x^2+5x+6$.

$$a^2-4a+4a-16=a^2-16$$

Wyrazy mieszane się znoszą — to wzór na różnicę kwadratów:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Odpowiedź: $a^2-16$.

Symetria względem osi $OY$ zmienia znak pierwszej współrzędnej:

$$(3,\,5)\ \to\ (-3,\,5)$$

Odpowiedź: $(-3,\,5)$.

Prostokąt ma dwie osie symetrii — proste przechodzące przez środki przeciwległych boków.

Uwaga: przekątne prostokąta nie są osiami symetrii (chyba że jest to kwadrat — wtedy osi są cztery).

Odpowiedź: C. $2$.

$$x^2+5x-x-5=x^2+4x-5$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $1\cdot7=7$, a po wymnożeniu $4+8-5=7$ ✔

Odpowiedź: $x^2+4x-5$.

Środek symetrii to punkt, względem którego figura odwzorowuje się na siebie po obrocie o $180^\circ$.

W równoległoboku jest nim punkt przecięcia przekątnych.

Pozostałe figury mają osie symetrii, ale nie mają środka — obrócone o $180^\circ$ nie pokryją się ze sobą.

Odpowiedź: A. równoległobok.

Mnożymy każdy z każdym:

$$2x\cdot x=2x^2$$

$$2x\cdot(-4)=-8x$$

$$3\cdot x=3x$$

$$3\cdot(-4)=-12$$

Po redukcji:

$$2x^2-8x+3x-12=2x^2-5x-12$$

Odpowiedź: $2x^2-5x-12$.

Symetria środkowa względem $(0,\,0)$ zmienia znaki obu współrzędnych:

$$(-4,\,7)\ \to\ (4,-7)$$

Sprawdzenie. Początek układu powinien być środkiem odcinka łączącego oba punkty:

$$\left(\frac{-4+4}{2},\ \frac{7-7}{2}\right)=(0,\,0) \ ✔$$

Odpowiedź: $(4,-7)$.

$$(x+3)^2=(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $(1+3)^2=16$, a $1+6+9=16$ ✔ Natomiast $x^2+9$ dałoby $10$.

Odpowiedź: D. $x^2+6x+9$.

Trójkąt równoboczny: trzy osie — każda przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwległego boku.

Trójkąt równoramienny: jedna oś — przez wierzchołek między ramionami i środek podstawy.

Trójkąt różnoboczny nie ma żadnej osi symetrii.

Odpowiedź: $3$ oraz $1$.

$$a^2-5a-3a+15=a^2-8a+15$$

Uwaga na znaki: iloczyn dwóch liczb ujemnych ($-3$ i $-5$) daje wynik dodatni, stąd $+15$.

Odpowiedź: B. $a^2-8a+15$.

Zamieniamy na postać dziesiętną dla łatwiejszego porównania:

$$-3;\quad 1{,}5;\quad -0{,}5;\quad 0$$

Na osi liczby ustawiają się rosnąco od lewej:

$$-3\lt -0{,}5\lt 0\lt 1{,}5$$

Zapamiętaj: spośród liczb ujemnych mniejsza jest ta, która ma większą wartość bezwzględną — $-3$ leży dalej od zera niż $-0{,}5$.

Odpowiedź: $-3\lt -\frac12\lt 0\lt 1{,}5$.

Mnożymy każdy składnik przez każdy:

$$x\cdot x^2=x^3$$

$$x\cdot(-3)=-3x$$

$$2\cdot x^2=2x^2$$

$$2\cdot(-3)=-6$$

Porządkujemy według malejących potęg:

$$x^3+2x^2-3x-6$$

Uwaga: nie ma tu wyrazów podobnych, więc nic się nie redukuje.

Odpowiedź: $x^3+2x^2-3x-6$.

Każda prosta przechodząca przez środek koła jest jego osią symetrii, a takich prostych jest nieskończenie wiele.

Koło ma też środek symetrii — jest nim jego środek.

Odpowiedź: A. nieskończenie wiele.

Krok 1 — zauważamy symetrię wokół $100$:

$$98=100-2,\qquad 102=100+2$$

Krok 2 — stosujemy wzór:

$$(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10\,000-4=9996$$

Zaleta metody: rachunek w pamięci zamiast mnożenia pisemnego.

Odpowiedź: $9996$.

Symetria względem osi $OX$ zmienia znak drugiej współrzędnej:

$$(5,-2)\ \to\ (5,\,2)$$

Sprawdzian pamięciowy: punkt leżący na osi symetrii nie może się przesunąć. Punkt $(5,\,0)$ zostaje na miejscu, co potwierdza, że zmieniamy tu rzędną.

Odpowiedź: C. $(5,\,2)$.

Krok 1 — pierwszy iloczyn:

$$(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6=x^2+x-6$$

Krok 2 — drugi iloczyn (różnica kwadratów):

$$(x+1)(x-1)=x^2-1$$

Krok 3 — odejmujemy, pamiętając o znaku:

$$\left(x^2+x-6\right)-\left(x^2-1\right)=x^2+x-6-x^2+1=x-5$$

Sprawdzenie dla $x=3$: wyjściowo $6\cdot1-4\cdot2=6-8=-2$, a po uproszczeniu $3-5=-2$ ✔

Odpowiedź: $x-5$.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=(x+3)(x+1)=x^2+x+3x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — pole kwadratu:

$$P_2=x^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P_1-P_2=4x+3$$

Sprawdzenie dla $x=2$: prostokąt $5\times3=15$, kwadrat $4$, różnica $11$. Ze wzoru: $4\cdot2+3=11$ ✔

Odpowiedź: $P_1=x^2+4x+3$; jest większe o $4x+3$.

Krok 1 — odbijamy każdy wierzchołek (zmieniamy znak rzędnej):

$$A'=(1,-2),\qquad B'=(4,-2),\qquad C'=(4,-6)$$

Krok 2 — pole trójkąta wyjściowego. Bok $AB$ jest poziomy (długość $3$), bok $BC$ pionowy (długość $4$), a kąt przy $B$ jest prosty:

$$P=\frac{3\cdot4}{2}=6$$

Krok 3 — pole obrazu. Bok $A'B'$ ma nadal $3$, a $B'C'$ ma $|-6-(-2)|=4$:

$$P=\frac{3\cdot4}{2}=6$$

Wniosek: symetria jest izometrią — nie zmienia długości, kątów ani pola. Figura zostaje odbita, ale pozostaje przystająca do wyjściowej.

Odpowiedź: $(1,-2)$, $(4,-2)$, $(4,-6)$; pole nadal wynosi $6$.

Krok 1 — pierwszy iloczyn:

$$(x+1)(x+3)=x^2+3x+x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — kwadrat sumy:

$$(x+2)^2=x^2+4x+4$$

Krok 3 — odejmujemy:

$$\left(x^2+4x+3\right)-\left(x^2+4x+4\right)=3-4=-1$$

Wniosek. Wyrazy z $x^2$ i z $x$ znoszą się nawzajem, więc po uproszczeniu zostaje sama liczba — wartość wyrażenia nie zależy od $x$. ∎

Sprawdzenie na trzech wartościach:

• $x=0$: $1\cdot3-4=-1$ ✔
• $x=1$: $2\cdot4-9=-1$ ✔
• $x=5$: $6\cdot8-49=-1$ ✔

Uwaga metodyczna: podstawienie kilku liczb potwierdza wynik, ale dowodem jest przekształcenie z kroków $1$–$3$, bo działa dla każdego $x$.

Odpowiedź: wartość zawsze wynosi $-1$.

Przenosimy $7$ na prawą stronę (zmieniając znak):

$$x=12-7=5$$

Sprawdzenie: $5+7=12$ ✔

Odpowiedź: B. $5$.

Dzielimy obie strony przez $3$:

$$x=\frac{21}{3}=7$$

Sprawdzenie: $3\cdot7=21$ ✔

Odpowiedź: $x=7$.

Krok 1 — odejmujemy $5$ od obu stron:

$$2x=17-5=12$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x=\frac{12}{2}=6$$

Sprawdzenie: $2\cdot6+5=17$ ✔

Odpowiedź: $x=6$.

Krok 1 — grupujemy niewiadome po jednej stronie, liczby po drugiej. Przenosimy $2x$ w lewo i $-3$ w prawo:

$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12$$

Krok 2 — dzielimy przez $3$:

$$x=4$$

Sprawdzenie: lewa $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$ ✔

Odpowiedź: C. $x=4$.

Mnożymy obie strony przez $4$:

$$x=5\cdot4=20$$

Sprawdzenie: $\frac{20}{4}=5$ ✔

Odpowiedź: $x=20$.

Sposób 1 — rozwijamy nawias:

$$3x-6=15 \quad\Rightarrow\quad 3x=21 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Sposób 2 — najpierw dzielimy przez $3$:

$$x-2=5 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Drugi sposób jest szybszy, gdy prawa strona dzieli się przez współczynnik.

Sprawdzenie: $3(7-2)=3\cdot5=15$ ✔

Odpowiedź: $x=7$.

Rozwiązujemy $x+3=x+5$. Po odjęciu $x$ od obu stron:

$$3=5$$

Otrzymaliśmy fałsz — równanie jest sprzeczne, nie ma rozwiązań.

Pozostałe mają rozwiązania: B: $x=1$, C: $x=4$, D: $x=4$.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $3$:

$$x+1=12$$

Krok 2 — odejmujemy $1$:

$$x=11$$

Sprawdzenie: $\frac{11+1}{3}=\frac{12}{3}=4$ ✔

Odpowiedź: $x=11$.

Podstawiamy $x=3$ i sprawdzamy, gdzie równanie jest spełnione.

$$\text{D: } 4\cdot3-2=12-2=10 \ ✔$$

Pozostałe: A daje $6\neq3$, B daje $6\neq3$, C daje $-2\neq2$.

Odpowiedź: D. $4x-2=10$.

Krok 1 — oznaczamy liczbę przez $x$ i zapisujemy równanie:

$$x+8=23$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x=23-8=15$$

Sprawdzenie: $15+8=23$ ✔

Odpowiedź: pomyślana liczba to $15$.

Dzielimy obie strony przez $-2$:

$$x=\frac{10}{-2}=-5$$

Uwaga na znak: dzielenie dodatniej liczby przez ujemną daje wynik ujemny.

Sprawdzenie: $-2\cdot(-5)=10$ ✔

Odpowiedź: B. $-5$.

Krok 1 — niewiadome w lewo, liczby w prawo:

$$4x-2x=11-3 \quad\Rightarrow\quad 2x=8$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x=4$$

Sprawdzenie: lewa $4\cdot4+3=19$, prawa $2\cdot4+11=19$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, wtedy długość to $x+3$.

Krok 2 — równanie z obwodu:

$$2\big(x+(x+3)\big)=30$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2(2x+3)=30 \quad\Rightarrow\quad 4x+6=30 \quad\Rightarrow\quad 4x=24 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Krok 4 — wymiary: szerokość $6$ cm, długość $6+3=9$ cm.

Sprawdzenie obwodu: $2(6+9)=30$ cm ✔

Odpowiedź: szerokość $6$ cm, długość $9$ cm.

Rozwijamy lewą stronę:

$$2x+6=2x+6$$

Obie strony są identyczne — równanie jest spełnione dla każdej liczby $x$. To równanie tożsamościowe.

Sprawdzenie: dla $x=0$: $6=6$ ✔; dla $x=5$: $16=16$ ✔ — pasuje zawsze.

Odpowiedź: C. nieskończenie wiele rozwiązań.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $3$:

$$2x=24$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$:

$$x=12$$

Sprawdzenie: $\frac{2\cdot12}{3}=\frac{24}{3}=8$ ✔

Odpowiedź: $x=12$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ to szukana liczba lat. Za $x$ lat ojciec będzie miał $42+x$, a syn $12+x$.

Krok 2 — warunek (ojciec dwa razy starszy):

$$42+x=2(12+x)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$42+x=24+2x \quad\Rightarrow\quad 42-24=2x-x \quad\Rightarrow\quad x=18$$

Sprawdzenie: za $18$ lat ojciec $60$, syn $30$, a $60=2\cdot30$ ✔

Odpowiedź: za $18$ lat.

Krok 1 — przenosimy $x$ w prawo, a $3$ w lewo:

$$7-3=x \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $7-4=3$ ✔

Uwaga: gdy niewiadoma ma znak minus, wygodnie przenieść ją na drugą stronę, by uzyskać dodatni współczynnik.

Odpowiedź: A. $4$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ to liczba jabłek w drugim koszyku, wtedy w pierwszym jest $3x$.

Krok 2 — równanie:

$$x+3x=48 \quad\Rightarrow\quad 4x=48 \quad\Rightarrow\quad x=12$$

Krok 3 — oba koszyki: drugi $12$ jabłek, pierwszy $3\cdot12=36$.

Sprawdzenie: $12+36=48$ ✔, a $36=3\cdot12$ ✔

Odpowiedź: pierwszy koszyk $36$ jabłek, drugi $12$.

Krok 1 — mnożymy na krzyż (wyrównanie mianowników):

$$5(x-1)=2(x+2)$$

Krok 2 — rozwijamy nawiasy:

$$5x-5=2x+4$$

Krok 3 — grupujemy:

$$5x-2x=4+5 \quad\Rightarrow\quad 3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sprawdzenie: lewa $\frac{3-1}{2}=1$, prawa $\frac{3+2}{5}=1$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ to cena biletu normalnego. Bilet ulgowy jest o $40\%$ tańszy, czyli kosztuje $0{,}6x$.

Krok 2 — równanie:

$$2x+3\cdot0{,}6x=84$$

Krok 3 — upraszczamy:

$$2x+1{,}8x=84 \quad\Rightarrow\quad 3{,}8x=84 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{84}{3{,}8}$$

Otrzymujemy $x\approx22{,}11$ zł — kwota nie jest okrągła, więc sprawdźmy rachunek: $2+1{,}8=3{,}8$ oraz $84:3{,}8\approx22{,}11$. Rachunek jest poprawny.

Odpowiedź: bilet normalny kosztuje $\frac{84}{3{,}8}\approx22{,}11$ zł.

Mnożymy każdy składnik przez każdy:

$$(x+3)(x-2)=x^2-2x+3x-6$$

$$=x^2+x-6$$

Odpowiedź: A.

Korzystamy z $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ dla $a=2x$, $b=5$:

$$(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+5^2$$

$$=4x^2-20x+25$$

Odpowiedź: $4x^2-20x+25$.

Uwaga: $(2x)^2=4x^2$, a nie $2x^2$ — kwadratujemy również współczynnik.

To różnica kwadratów: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ dla $a=x$, $b=7$:

$$x^2-49=(x-7)(x+7)$$

Odpowiedź: C.

Zapisujemy jako kwadrat sumy:

$$102^2=(100+2)^2=100^2+2\cdot100\cdot2+2^2$$

$$=10\,000+400+4=10\,404$$

Odpowiedź: $10\,404$.

Metoda 1 — różnica kwadratów. Traktujemy całe nawiasy jako $a$ i $b$:

$$[(x+4)-(x-4)]\cdot[(x+4)+(x-4)]=8\cdot 2x=16x$$

Metoda 2 — rozwinięcie:

$$(x^2+8x+16)-(x^2-8x+16)=16x$$

Odpowiedź: $16x$.

$$3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)+1$$

$$=3\cdot4+10+1=12+10+1=23$$

Odpowiedź: B.

Uwaga na znaki: $(-2)^2=4$ (dodatnie), a $-5\cdot(-2)=+10$.

Krok 1 — usuwamy nawias:

$$2x-6=x+5$$

Krok 2 — niewiadome na lewo, liczby na prawo:

$$2x-x=5+6$$

$$x=11$$

Sprawdzenie: lewa strona $2(11-3)=16$, prawa $11+5=16$. ✔

Odpowiedź: $x=11$.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $6$ (wspólny mianownik):

$$2x+x=30$$

Krok 2:

$$3x=30 \quad\Rightarrow\quad x=10$$

Sprawdzenie: $\frac{10}{3}+\frac{10}{6}=\frac{20+10}{6}=5$. ✔

Odpowiedź: $x=10$.

Odejmujemy $2x$ od obu stron:

$$3=5$$

Otrzymaliśmy fałsz, więc równanie nie ma rozwiązań — jest sprzeczne.

Odpowiedź: D. Gdyby wyszło np. $3=3$, równanie byłoby tożsamościowe i spełniała je każda liczba.

Krok 1 — oznaczenie. Niech pierwsza liczba to $x$, wtedy kolejne to $x+1$ i $x+2$.

Krok 2 — równanie:

$$x+(x+1)+(x+2)=72$$

$$3x+3=72 \quad\Rightarrow\quad 3x=69 \quad\Rightarrow\quad x=23$$

Odpowiedź: liczby to $23$, $24$, $25$.

Sprawdzenie: $23+24+25=72$. ✔

Krok 1 — oznaczenie. Krótszy bok: $x$, dłuższy: $x+5$.

Krok 2 — równanie z obwodu:

$$2\big(x+(x+5)\big)=46$$

$$2(2x+5)=46 \quad\Rightarrow\quad 4x+10=46$$

$$4x=36 \quad\Rightarrow\quad x=9$$

Odpowiedź: boki mają $9$ cm i $14$ cm.

Sprawdzenie: $2(9+14)=46$. ✔

Największy wspólny dzielnik liczb $12$ i $18$ to $6$:

$$12x+18=6(2x+3)$$

Odpowiedź: A. Odpowiedź C jest poprawna rachunkowo, ale nie wyłącza największego wspólnego czynnika.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $2$:

$$2P=(a+b)h$$

Krok 2 — dzielimy przez $(a+b)$:

$$h=\frac{2P}{a+b}$$

Odpowiedź: $h=\frac{2P}{a+b}$ (przy $a+b\ne0$).

Krok 1 — oznaczenie. Niech szukana liczba lat to $x$. Za $x$ lat ojciec będzie miał $36+x$, a syn $8+x$.

Krok 2 — równanie:

$$36+x=3(8+x)$$

$$36+x=24+3x$$

$$12=2x \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Odpowiedź: za $6$ lat.

Sprawdzenie: ojciec $42$, syn $14$, a $42=3\cdot14$. ✔

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Odpowiedź: B.

Sprawdź na liczbach, dlaczego A jest błędne: $(2+3)^2=25$, ale $2^2+3^2=13$. Brakuje właśnie członu $2ab=12$.

Grupujemy wyrazy tego samego typu:

$$(5a^2+2a^2)+(-3a+7a)-4$$

$$=7a^2+4a-4$$

Odpowiedź: $7a^2+4a-4$.

Uwaga: $a^2$ i $a$ to nie są wyrazy podobne — nie wolno ich łączyć.

Krok 1 — oznaczenie. Chłopcy: $x$, dziewczynki: $x+6$.

Krok 2 — równanie:

$$x+(x+6)=30$$

$$2x+6=30 \quad\Rightarrow\quad 2x=24 \quad\Rightarrow\quad x=12$$

Odpowiedź: $12$ chłopców i $18$ dziewczynek.

Sprawdzenie: $18-12=6$ oraz $12+18=30$. ✔

Krok 1 — usuwamy nawiasy (uwaga na minus przed drugim!):

$$3x+6-2x+2=15$$

Krok 2 — redukcja:

$$x+8=15 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Odpowiedź: $x=7$.

Najczęstszy błąd: zapisanie $-2(x-1)$ jako $-2x-2$. Minus zmienia znaki obu składników: $-2x+2$.

Krok 1 — rozwinięcie:

$$(x+3)(x+1)=x^2+x+3x+3=x^2+4x+3$$

Krok 2 — wartość dla $x=4$:

$$4^2+4\cdot4+3=16+16+3=35$$

Odpowiedź: $P=x^2+4x+3$, a dla $x=4$ pole wynosi $35$.

Sprawdzenie: $(4+3)(4+1)=7\cdot5=35$. ✔

Krok 1 — rozwijamy oba kwadraty:

$$(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)$$

Krok 2 — redukcja:

$$=n^2+2n+1-n^2+2n-1=4n$$

Wniosek: wyrażenie równa się $4n$, czyli jest iloczynem liczby $4$ i liczby naturalnej $n$. Zatem jest podzielne przez $4$ dla każdego $n$. ∎

Uwaga: w zadaniach „wykaż, że" nie wystarczy sprawdzić kilku liczb — trzeba przeprowadzić przekształcenie ogólne, jak wyżej.