Powtórzenie wiadomości ze szkoły podstawowej

Krok 1 — czas w godzinach:

$$40\ \text{min}=\frac{40}{60}=\frac23\ \text{h}$$

Krok 2 — droga:

$$s=90\cdot\frac23=60\ \text{km}$$

Odpowiedź: B. $60$ km.

Liczby mają różne znaki, więc odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak liczby o większej wartości bezwzględnej:

$$7{,}2-3{,}5=3{,}7$$

Większa jest $7{,}2$, która jest dodatnia.

Odpowiedź: $3{,}7$.

Krok 1 — cena za kilogram:

$$15:6=2{,}50\ \text{zł}$$

Krok 2 — dziesięć kilogramów:

$$10\cdot2{,}50=25\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $25$ zł.

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$(-4)\cdot(-6)=24$$

Reguła znaków: jednakowe znaki dają plus, różne — minus.

Odpowiedź: C. $24$.

Od temperatury końcowej odejmujemy początkową:

$$5-(-7)=5+7=12^\circ\text{C}$$

Kontrola na osi: od $-7$ do $0$ jest $7$ stopni, a od $0$ do $5$ jeszcze $5$ — razem $12$ ✔

Odpowiedź: o $12^\circ$C.

Krok 1 — obniżka w złotych:

$$180-126=54\ \text{zł}$$

Krok 2 — odnosimy do ceny początkowej:

$$\frac{54}{180}=0{,}3=30\%$$

Uwaga: $54$ to obniżka w złotych, a nie w procentach — to typowa pomyłka.

Odpowiedź: A. $30\%$.

Krok 1 — dodajemy godziny:

$$9{:}20+3\ \text{h}=12{:}20$$

Krok 2 — dodajemy minuty. $20+50=70$ min, czyli $1$ h $10$ min:

$$12{:}20+50\ \text{min}=13{:}10$$

Odpowiedź: o $13{:}10$.

Dzielimy kwotę przez zużycie:

$$186:310=0{,}60\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $310\cdot0{,}60=186$ zł ✔

Odpowiedź: $0{,}60$ zł za kWh.

Iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$-12:(-3)=4$$

Odpowiedź: D. $4$.

Krok 1 — wysokość raty:

$$2400:16=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — spłacono po sześciu ratach:

$$6\cdot150=900\ \text{zł}$$

Krok 3 — pozostało:

$$2400-900=1500\ \text{zł}$$

Odpowiedź: rata $150$ zł, do spłaty zostaje $1500$ zł.

Liczba wymierna to taka, którą można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

Ułamek $-\frac37$ spełnia tę definicję.

Liczby $\sqrt2$, $\sqrt5$ i $\pi$ są niewymierne — ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

Odpowiedź: B. $-\frac37$.

Krok 1 — powierzchnia ściany:

$$8\cdot2{,}5=20\ \text{m}^2$$

Krok 2 — liczba puszek:

$$20:12\approx1{,}67$$

Krok 3 — zaokrąglenie w górę. Jedna puszka nie wystarczy, a puszek nie kupuje się w kawałkach:

$$2\ \text{puszki}$$

Odpowiedź: trzeba kupić $2$ puszki.

Krok 1 — znak. Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny.

Krok 2 — wartość, ze skracaniem:

$$\frac23\cdot\frac94=\frac{18}{12}=\frac32$$

Krok 3 — składamy:

$$-\frac32=-1\frac12$$

Odpowiedź: $-\frac32$.

Zależność jest wprost proporcjonalna:

$$\frac{300}{4}=75\ \text{g na porcję}$$

$$6\cdot75=450\ \text{g}$$

Odpowiedź: C. $450$ g.

Krok 1 — czas napełniania:

$$450:25=18\ \text{minut}$$

Krok 2 — po ośmiu minutach:

$$8\cdot25=200\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: pełny po $18$ minutach; po $8$ minutach będzie $200$ litrów.

Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:

$$-5+8=3$$

Zapamiętaj: dwa minusy obok siebie dają plus.

Odpowiedź: A. $3$.

Krok 1 — koszt wody miesięcznie:

$$14\cdot9{,}50=133\ \text{zł}$$

Krok 2 — rachunek miesięczny z abonamentem:

$$133+12=145\ \text{zł}$$

Krok 3 — pół roku to sześć miesięcy:

$$6\cdot145=870\ \text{zł}$$

Uwaga: abonament doliczamy co miesiąc, a nie raz — dlatego mnożymy całą kwotę przez $6$, nie tylko koszt wody.

Odpowiedź: $870$ zł.

Opcja 1 — rabat:

$$1200\cdot0{,}85=1020\ \text{zł}$$

Opcja 2 — raty:

$$12\cdot105=1260\ \text{zł}$$

Porównanie:

$$1260-1020=240\ \text{zł}$$

Wniosek. Rabat jest tańszy o $240$ zł. Raty kosztują nawet więcej niż cena wyjściowa ($1260>1200$) — nadwyżka $60$ zł to koszt rozłożenia płatności w czasie.

Odpowiedź: tańszy jest rabat, o $240$ zł.

Krok 1 — czas pierwszego odcinka:

$$t_1=\frac{180}{60}=3\ \text{h}$$

Krok 2 — czas drugiego odcinka:

$$t_2=\frac{120}{80}=1{,}5\ \text{h}$$

Krok 3 — czas łączny:

$$t=3+1{,}5=4{,}5\ \text{h}$$

Krok 4 — średnia prędkość. To cała droga podzielona przez cały czas:

$$v=\frac{180+120}{4{,}5}=\frac{300}{4{,}5}\approx66{,}7\ \text{km/h}$$

Częsty błąd: uśrednienie prędkości ($\frac{60+80}{2}=70$ km/h). To zawyża wynik, bo z mniejszą prędkością jechano dłużej.

Odpowiedź: $4{,}5$ godziny, średnio około $66{,}7$ km/h.

Krok 1 — cena po obniżce:

$$84\cdot0{,}9=75{,}60\ \text{zł}$$

Krok 2 — porównanie z ceną zakupu:

$$75{,}60>60 \quad\Rightarrow\quad \text{sklep nadal zarabia}$$

Krok 3 — zysk:

$$75{,}60-60=15{,}60\ \text{zł}$$

Dla porównania: przed obniżką zysk wynosił $24$ zł, więc spadł o $8{,}40$ zł — czyli o $35\%$ dotychczasowego zysku, mimo że cenę obniżono tylko o $10\%$.

Wniosek: niewielka obniżka ceny potrafi mocno uszczuplić zysk, bo koszt zakupu pozostaje bez zmian.

Odpowiedź: tak, zysk wynosi $15{,}60$ zł.

$$0{,}15\cdot200=30$$

Szybciej: $10\%$ to $20$, $5\%$ to $10$, razem $30$.

Odpowiedź: C. $30$.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}12\cdot250=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$250+30=280\ \text{zł}$$

Szybciej: $250\cdot1{,}12=280$ zł.

Odpowiedź: $280$ zł.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy (uwaga na minus przed drugim):

$$6x-3-2x+8$$

Krok 2 — redukujemy:

$$4x+5$$

Odpowiedź: $4x+5$.

$$4x-2x=5+9 \quad\Rightarrow\quad 2x=14 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Sprawdzenie: lewa $28-9=19$, prawa $14+5=19$ ✔

Odpowiedź: A. $7$.

$$\sqrt{144}=12,\qquad \sqrt{25}=5$$

$$12-5=7$$

Uwaga: $\sqrt{144}-\sqrt{25}\neq\sqrt{144-25}=\sqrt{119}$ — pierwiastka z różnicy nie rozdziela się.

Odpowiedź: $7$.

Cena po obniżce to $80\%$ ceny pełnej:

$$48:0{,}8=60\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $60\cdot0{,}8=48$ zł ✔

Pułapka: dodanie $20\%$ do $48$ (czyli $57{,}60$) jest błędne.

Odpowiedź: D. $60$ zł.

Działamy na wykładnikach — dodajemy przy mnożeniu, odejmujemy przy dzieleniu:

$$2^{5+3-6}=2^2=4$$

Odpowiedź: $4$.

Krok 1 — suma wszystkich ocen:

$$4\cdot5=20$$

Krok 2 — suma czterech znanych:

$$3+5+4+5=17$$

Krok 3 — piąta ocena:

$$20-17=3$$

Odpowiedź: piąta ocena to $3$.

$$c=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$

To trójka $9$–$12$–$15$, czyli $3$–$4$–$5$ pomnożona przez $3$.

Odpowiedź: B. $15$.

Liczby mniejsze niż $3$ to $1$ i $2$ — są dwie z sześciu:

$$P=\frac{2}{6}=\frac13$$

Uwaga: „mniejsza niż $3$” nie obejmuje trójki.

Odpowiedź: $\frac13$.

Podnosimy do kwadratu licznik i mianownik:

$$\left(\frac34\right)^2=\frac{9}{16}$$

Odpowiedź: C. $\frac{9}{16}$.

Krok 1 — koszt zeszytów:

$$3\cdot5=15\ \text{zł}$$

Krok 2 — koszt długopisów:

$$23-15=8\ \text{zł}$$

Krok 3 — cena jednego:

$$8:2=4\ \text{zł}$$

Odpowiedź: długopis kosztuje $4$ zł.

Objętość:

$$V=5\cdot4\cdot3=60\ \text{cm}^3$$

Pole powierzchni — trzy pary ścian:

$$P=2(5\cdot4)+2(5\cdot3)+2(4\cdot3)=40+30+24=94\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $V=60$ cm$^3$, $P=94$ cm$^2$.

$$\frac{20}{80}=0{,}25=25\%$$

Odpowiedź: A. $25\%$.

Krok 1 — czas w godzinach. $15$ min $=0{,}25$ h:

$$t=2{,}25\ \text{h}$$

Krok 2 — prędkość:

$$v=\frac{36}{2{,}25}=16\ \text{km/h}$$

Sprawdzenie: $16\cdot2{,}25=36$ km ✔

Odpowiedź: $16$ km/h.

$$S=(n-2)\cdot180^\circ=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Odpowiedź: D. $720^\circ$.

Przesuwamy przecinek w prawo, aż otrzymamy liczbę z przedziału od $1$ do $10$ — o $4$ miejsca, więc wykładnik jest ujemny:

$$0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$$

Kontrola: ujemny wykładnik oznacza liczbę mniejszą od $1$ ✔

Odpowiedź: $4{,}2\cdot10^{-4}$.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$\frac47\cdot28=16$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$28-16=12$$

Krok 3 — procent chłopców:

$$\frac{12}{28}=\frac37\approx0{,}4286\approx42{,}9\%$$

Odpowiedź: $12$ chłopców, około $42{,}9\%$ klasy.

Krok 1 — objętość w metrach sześciennych:

$$V=12\cdot6\cdot1{,}5=108\ \text{m}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry. $1$ m$^3=1000$ litrów:

$$108\cdot1000=108\,000\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: $108\,000$ litrów.

Krok 1 — po podwyżce:

$$80\cdot1{,}25=100\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce (liczonej od $100$ zł):

$$100\cdot0{,}8=80\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie. Cena wróciła dokładnie do punktu wyjścia.

Dlaczego akurat tu wyszło równo: wzrost o $25\%$ mnoży przez $1{,}25$, a spadek o $20\%$ przez $0{,}8$, przy czym $1{,}25\cdot0{,}8=1$. To wyjątek — przy innych parach procentów cena zwykle nie wraca do początkowej.

Odpowiedź: $80$ zł — cena się nie zmieniła.