Rachunek prawdopodobieństwa

Moneta ma dwa jednakowo prawdopodobne wyniki, jeden sprzyjający:

$$P=\frac12$$

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Krok 1 — zdarzenia sprzyjające: $2$, $4$, $6$ — trzy.

Krok 2 — wszystkie wyniki: $6$.

$$P=\frac36=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Zdarzenie pewne zawsze zachodzi, więc jego prawdopodobieństwo to $1$.

Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo $0$. Zawsze $0\le P\le1$.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — wszystkie kule: $5+3=8$.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{3}{8}$$

Odpowiedź: $\frac38$.

Sprzyjają $5$ i $6$ (dwa wyniki):

$$P=\frac26=\frac13$$

Odpowiedź: A. $\frac13$.

Zdarzenie przeciwne dopełnia do $1$:

$$P(A')=1-0{,}3=0{,}7$$

Odpowiedź: $0{,}7$.

Krok 1 — wszyscy uczniowie: $12+18=30$.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{12}{30}=\frac25=0{,}4$$

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.

Krok 1 — w talii są $4$ asy.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{13}$.

Każda moneta daje $2$ wyniki:

$$2\cdot2=4$$

Wypisane: OO, OR, RO, RR.

Odpowiedź: D. $4$.

Krok 1 — wszystkie wyniki: OO, OR, RO, RR — cztery.

Krok 2 — sprzyja tylko OO.

$$P=\frac14$$

Odpowiedź: $\frac14$.

Zdarzenie niemożliwe nigdy nie zachodzi, więc $P=0$.

Odpowiedź: B. $0$.

Sposób 1 — wprost. Przegrywających jest $8$:

$$P=\frac{8}{10}=\frac45$$

Sposób 2 — przez dopełnienie. Wygrana ma $P=\frac{2}{10}=\frac15$, więc przegrana:

$$1-\frac15=\frac45$$

Odpowiedź: $\frac45=0{,}8$.

Krok 1 — liczby podzielne przez $3$ na kostce: $3$ i $6$ — dwie.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac26=\frac13$$

Odpowiedź: $\frac13$.

Prawdopodobieństwo zawsze spełnia $0\le P\le1$, więc $1{,}5$ jest niemożliwe.

Odpowiedź: C. $1{,}5$.

Krok 1 — liczby pierwsze do $20$: $2,3,5,7,11,13,17,19$ — osiem.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{8}{20}=\frac25=0{,}4$$

Odpowiedź: $\frac25$.

Jedna biała na sześć kul:

$$P=\frac16$$

Odpowiedź: A. $\frac16$.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$6\cdot6=36$$

Krok 2 — pary o sumie $7$:

$$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$$

Jest ich sześć.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{6}{36}=\frac16$$

Ciekawostka. Suma $7$ jest najbardziej prawdopodobna przy dwóch kostkach — ma najwięcej kombinacji.

Odpowiedź: $\frac16$.

Krok 1 — podzielne przez $3$: $3,6,9,12$ — cztery.

Krok 2 — podzielne przez $4$: $4,8,12$ — trzy.

Krok 3 — wspólne (podzielne przez $12$): $12$ — jedna.

Krok 4 — zasada włączeń i wyłączeń. Aby nie liczyć $12$ dwa razy:

$$4+3-1=6$$

Krok 5 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{6}{12}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — zasada włączeń i wyłączeń. Uczący się co najmniej jednego języka:

$$15+12-5=22$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{22}{25}=0{,}88$$

Dlaczego odejmujemy $5$. Uczniowie uczący się obu języków zostali policzeni dwa razy (raz w $15$, raz w $12$) — odejmujemy nadmiar.

Odpowiedź: $\frac{22}{25}=0{,}88$.

Krok 1 — definicja klasyczna. Niech $\Omega$ ma $n$ jednakowo prawdopodobnych wyników, a zdarzeniu $A$ sprzyja $k$ z nich.

Krok 2 — zdarzenie przeciwne. Zdarzeniu $A'$ sprzyjają wszystkie pozostałe wyniki, czyli $n-k$.

Krok 3 — sumujemy prawdopodobieństwa:

$$P(A)+P(A')=\frac{k}{n}+\frac{n-k}{n}=\frac{k+n-k}{n}=\frac{n}{n}=1 \qquad ∎$$

Zastosowanie. Ten wzór pozwala liczyć „przez dopełnienie": $P(A)=1-P(A')$ — wygodne, gdy zdarzenie przeciwne jest prostsze do policzenia (np. przy „co najmniej jeden").

Sprawdzenie: dla kostki $P(\text{parzysta})=\frac12$, $P(\text{nieparzysta})=\frac12$, suma $1$ ✔

Moneta ma $2$ jednakowo prawdopodobne wyniki, a sprzyjający jest jeden:

$$P=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Krok 1 — wszystkie kule:

$$3+5=8$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{3}{8}$$

Odpowiedź: $\frac38=0{,}375$.

Liczby nieparzyste na kostce to $1$, $3$, $5$ — jest ich $3$ z $6$ możliwych:

$$P=\frac{3}{6}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Zdarzenie niemożliwe nigdy nie zachodzi, więc liczba wyników sprzyjających wynosi zero:

$$P=0$$

Skala: zawsze $0\le P\le1$; zdarzenie pewne ma $P=1$.

Odpowiedź: A. $0$.

Liczby parzyste od $1$ do $10$ to $2,4,6,8,10$ — jest ich $5$:

$$P=\frac{5}{10}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego to dopełnienie do $1$:

$$1-\frac25=\frac55-\frac25=\frac35$$

Odpowiedź: D. $\frac35$.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$OO,\quad OR,\quad RO,\quad RR$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — sprzyjający jest jeden ($OO$):

$$P=\frac14$$

Uwaga: $OR$ i $RO$ to różne wyniki, mimo że oba dają „jeden orzeł i jedna reszka”.

Odpowiedź: $\frac14$.

Sposób 1 — liczymy sprzyjające wprost. Niemiętowe to truskawkowe i cytrynowe: $4+5=9$:

$$P=\frac{9}{12}=\frac34$$

Sposób 2 — przez zdarzenie przeciwne:

$$1-\frac{3}{12}=1-\frac14=\frac34$$

Odpowiedź: $\frac34$.

Na kostce największa liczba to $6$, więc nie ma wyniku większego niż $6$. To zdarzenie niemożliwe:

$$P=0$$

Odpowiedź: B. $0$.

Krok 1 — liczba chłopców:

$$30-18=12$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$$

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.

W talii są $4$ asy (po jednym w każdym kolorze):

$$P=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$$

Odpowiedź: C. $\frac{1}{13}$.

Zdarzenia „czerwone” i „żółte” wykluczają się, więc dodajemy liczby pól sprzyjających:

$$2+3=5$$

$$P=\frac{5}{8}$$

Sprawdzenie: zdarzenie przeciwne (zielone) ma $P=\frac38$, a $\frac58+\frac38=1$ ✔

Odpowiedź: $\frac58$.

Krok 1 — liczba wszystkich wyników. Każda kostka ma $6$ możliwości:

$$6\cdot6=36$$

Krok 2 — sprzyjający jest tylko jeden: $(6,\,6)$:

$$P=\frac{1}{36}$$

Odpowiedź: $36$ wyników, $P=\frac{1}{36}$.

Prawdopodobieństwo zawsze mieści się w przedziale od $0$ do $1$:

$$0\le P\le1$$

Wartość $1{,}5$ przekracza $1$, więc jest niemożliwa.

Odpowiedź: A. $1{,}5$.

Krok 1 — liczby podzielne przez $5$:

$$5,\ 10,\ 15,\ 20$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{4}{20}=\frac15$$

Odpowiedź: $\frac15=0{,}2$.

Każdy możliwy wynik jest sprzyjający, więc zdarzenie jest pewne:

$$P=1$$

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — wypisujemy pary dające sumę $5$:

$$(1,4),\ (2,3),\ (3,2),\ (4,1)$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — wszystkich wyników jest $36$:

$$P=\frac{4}{36}=\frac19$$

Uwaga: pary $(1,4)$ i $(4,1)$ liczymy osobno — kostki są rozróżnialne.

Odpowiedź: $\frac19$.

Krok 1 — wygrana:

$$P(W)=\frac{3}{10}$$

Krok 2 — przegrana (losów przegrywających jest $7$):

$$P(P)=\frac{7}{10}$$

Krok 3 — sprawdzenie:

$$\frac{3}{10}+\frac{7}{10}=\frac{10}{10}=1 \ ✔$$

Wniosek: zdarzenia przeciwne zawsze sumują się do $1$ — to dobry sposób kontroli obliczeń.

Odpowiedź: $P(W)=\frac{3}{10}$, $P(P)=\frac{7}{10}$; suma wynosi $1$.

Krok 1 — wypisujemy wszystkie liczby:

$$12,\ 13,\ 21,\ 23,\ 31,\ 32$$

Jest ich $6$ (bo $3\cdot2=6$).

Krok 2 — liczby parzyste (kończące się cyfrą parzystą): $12$ i $32$ — są $2$.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{2}{6}=\frac13$$

Odpowiedź: $6$ liczb, $P=\frac13$.

Krok 1 — pierwsze losowanie. Czarnych jest $4$ z $6$:

$$P_1=\frac{4}{6}=\frac23$$

Krok 2 — drugie losowanie. Po wyjęciu jednej czarnej zostaje $3$ czarne z $5$ kul:

$$P_2=\frac{3}{5}$$

Krok 3 — mnożymy:

$$P=\frac23\cdot\frac35=\frac{6}{15}=\frac25$$

Kluczowe: bez zwracania w drugim kroku maleją obie liczby — i kul czarnych, i wszystkich.

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.

Do każdej koszulki możemy dobrać dowolne spodnie, więc możliwości mnożymy:

$$3\cdot4=12$$

Kiedy dodajemy, a kiedy mnożymy: dodajemy, gdy wybieramy albo jedno, albo drugie; mnożymy, gdy wybieramy jedno i drugie.

Odpowiedź: C. $12$ sposobów.

Na każdej z trzech pozycji mamy $9$ możliwości:

$$9\cdot9\cdot9=9^3=729$$

Odpowiedź: $729$ kodów.

Moneta daje $2$ wyniki, kostka $6$:

$$2\cdot6=12$$

Przykładowe wyniki: (orzeł, $1$), (orzeł, $2$), …, (reszka, $6$).

Odpowiedź: $12$ wyników.

Pierwszą cyfrę wybieramy na $4$ sposoby, drugą już tylko na $3$ (bo nie może się powtórzyć):

$$4\cdot3=12$$

Gdyby cyfry mogły się powtarzać, byłoby $4\cdot4=16$ liczb.

Odpowiedź: A. $12$ liczb.

Mnożymy liczby możliwości na każdym etapie:

$$4\cdot6\cdot3=72$$

Odpowiedź: $72$ zestawy.

Wypisujemy pary uporządkowane:

$$(1,6),\ (2,5),\ (3,4),\ (4,3),\ (5,2),\ (6,1)$$

Jest ich sześć.

Uwaga: kostki traktujemy jako rozróżnialne, więc $(1,6)$ i $(6,1)$ to dwa różne wyniki.

Odpowiedź: D. $6$ wyników.

Krok 1 — pierwsza cyfra. Nie może być zerem, więc mamy $9$ możliwości.

Krok 2 — druga cyfra. Zero jest już dozwolone, ale jedna cyfra została zużyta: $10-1=9$ możliwości.

Krok 3 — trzecia cyfra: $8$ możliwości.

Krok 4 — mnożymy:

$$9\cdot9\cdot8=648$$

Odpowiedź: $648$ liczb.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2 — same orły. Tylko jeden ciąg: OOO.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac18$$

Odpowiedź: $8$ wyników, z czego $1$ to same orły.

Na pierwszym miejscu może stanąć każda z $4$ książek, na drugim jedna z pozostałych $3$ i tak dalej:

$$4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

Nazwa: takie ustawienia to permutacje, a wynik zapisujemy jako $4!$.

Odpowiedź: B. $24$ sposoby.

Krok 1 — pierwsza cyfra: $9$ możliwości (bez zera).

Krok 2 — druga i trzecia: po $10$ możliwości.

Krok 3 — ostatnia cyfra. Musi być parzysta, czyli jedna z: $0$, $2$, $4$, $6$, $8$ — $5$ możliwości.

Krok 4 — mnożymy:

$$9\cdot10\cdot10\cdot5=4500$$

Kontrola sensu: wszystkich liczb czterocyfrowych jest $9000$, a parzystych powinna być dokładnie połowa ✔

Odpowiedź: $4500$ liczb.

Krok 1 — zdarzenia sprzyjające: $5$ i $6$, czyli dwa.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac26=\frac13$$

Uwaga na słowo „większa”: liczba $4$ nie należy do zdarzenia.

Odpowiedź: C. $\frac13$.

Krok 1 — wszystkie kule:

$$4+6=10$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{4}{10}=0{,}4=40\%$$

Sprawdzenie: prawdopodobieństwo kuli czarnej to $0{,}6$, a suma obu wynosi $1$ ✔

Odpowiedź: $P=0{,}4$.

Krok 1 — część literowa:

$$26\cdot26=676$$

Krok 2 — część cyfrowa:

$$10\cdot10\cdot10=1000$$

Krok 3 — łącznie:

$$676\cdot1000=676\ 000$$

Odpowiedź: $676\ 000$ kodów.

Każda kostka daje $6$ wyników niezależnie od drugiej:

$$6\cdot6=36$$

Częsty błąd to dodawanie ($12$) zamiast mnożenia. Liczba $21$ pojawiłaby się, gdybyśmy uznali kostki za nierozróżnialne.

Odpowiedź: A. $36$ wyników.

Krok 1 — ostatnia cyfra. Musi być $0$ albo $5$ — dwie możliwości.

Krok 2 — pierwsza cyfra: $9$ możliwości.

Krok 3 — środkowa cyfra: $10$ możliwości.

Krok 4 — mnożymy:

$$9\cdot10\cdot2=180$$

Kontrola: liczb trzycyfrowych jest $900$, a co piąta dzieli się przez $5$ — czyli $180$ ✔

Odpowiedź: $180$ liczb.

To ustawienia trzech różnych cyfr:

$$3\cdot2\cdot1=6$$

Wypisane: $123$, $132$, $213$, $231$, $312$, $321$.

Uwaga: $27$ wyszłoby, gdyby cyfry mogły się powtarzać.

Odpowiedź: B. $6$ liczb.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$6\cdot6=36$$

Krok 2 — wypisujemy sprzyjające. Suma $10$: $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$ — trzy. Suma $11$: $(5,6)$, $(6,5)$ — dwie. Suma $12$: $(6,6)$ — jedna.

Krok 3 — razem:

$$3+2+1=6$$

Krok 4 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{6}{36}=\frac16$$

Systematyczność się opłaca. Wypisywanie sum po kolei — najpierw $10$, potem $11$, na końcu $12$ — chroni przed pominięciem przypadku.

Odpowiedź: $P=\frac16$.

Krok 1 — pierwsza cyfra. Jest ustalona: $5$. Jedna możliwość.

Krok 2 — druga cyfra. Dowolna z pozostałych dziewięciu (zero jest tu dozwolone): $9$ możliwości.

Krok 3 — trzecia cyfra: $8$ możliwości.

Krok 4 — czwarta cyfra: $7$ możliwości.

Krok 5 — mnożymy:

$$1\cdot9\cdot8\cdot7=504$$

Uwaga. Zakaz zera dotyczy tylko pierwszej pozycji — tutaj i tak jest ona zajęta przez piątkę, więc na dalszych miejscach zero jest dopuszczalne.

Odpowiedź: $504$ liczby.

Krok 1 — liczba uczniów:

$$12+8=20$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo wybrania chłopca:

$$P=\frac{8}{20}=\frac25=0{,}4$$

Krok 3 — liczba par. Dziewczynę wybieramy na $12$ sposobów, chłopca na $8$, a wybory są niezależne:

$$12\cdot8=96$$

Dwa różne pytania, dwa różne narzędzia. Prawdopodobieństwo to iloraz, a liczba par — iloczyn. Warto pilnować, o co pyta zadanie.

Odpowiedź: $P=0{,}4$; par jest $96$.

Krok 1 — zaczynamy od najbardziej ograniczonej pozycji. Ostatnia cyfra musi być nieparzysta: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ — $5$ możliwości.

Krok 2 — pierwsza cyfra. Nie może być zerem ani równa cyfrze ostatniej. Z dziesięciu cyfr odpada zero i jedna zużyta, zostaje $8$.

Krok 3 — środkowa cyfra. Dwie cyfry są już zajęte, ale zero jest dozwolone: $8$ możliwości.

Krok 4 — mnożymy:

$$5\cdot8\cdot8=320$$

Dlaczego taka kolejność. Gdybyśmy zaczęli od pierwszej cyfry, liczba możliwości dla ostatniej zależałaby od tego, czy pierwsza była parzysta — trzeba by rozbijać zadanie na przypadki. Start od najostrzejszego warunku tego unika.

Odpowiedź: $320$ liczb.