Geometria przestrzenna

$$V=P_p\cdot H=12\cdot5=60\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: B. W graniastosłupie nie dzielimy przez $3$ — to dotyczy tylko ostrosłupów.

$$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot12\cdot5=20\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: C. Ostrosłup ma trzykrotnie mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości — porównaj z zadaniem 1.

$$a^3=64 \quad\Rightarrow\quad a=\sqrt[3]{64}=4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: B. Sprawdzenie: $4\cdot4\cdot4=64$. ✔

Sześcian ma $6$ jednakowych ścian kwadratowych:

$$P_c=6a^2=6\cdot3^2=6\cdot9=54\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: C. Odpowiedź A ($27$) to objętość — łatwo je pomylić.

Objętość prostopadłościanu to iloczyn trzech krawędzi:

$$V=a\cdot b\cdot c=3\cdot4\cdot5=60\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $60\ \text{cm}^3$.

Prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian:

$$P_c=2(ab+bc+ac)$$

$$P_c=2(3\cdot4+4\cdot5+3\cdot5)=2(12+20+15)=2\cdot47=94\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $94\ \text{cm}^2$.

Krok 1 — pole podstawy (trójkąt prostokątny):

$$P_p=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=P_p\cdot H=6\cdot10=60\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $60\ \text{cm}^3$.

Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest kwadrat:

$$P_p=6^2=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot4=48\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $48\ \text{cm}^3$.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=6^2=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole powierzchni bocznej. Cztery jednakowe trójkąty o podstawie $6$ i wysokości $5$:

$$P_b=4\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot5=4\cdot15=60\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pole całkowite:

$$P_c=36+60=96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $96\ \text{cm}^2$.

Uwaga: do pola bocznego wchodzi apotema (wysokość ściany), a nie wysokość bryły.

Sześć wierzchołków podstawy plus jeden wierzchołek górny:

$$6+1=7$$

Odpowiedź: D. Dla porównania: ścian ma $7$ (sześć bocznych i podstawa), a krawędzi $12$.

$$1\ \text{l}=1\ \text{dm}^3=10\cdot10\cdot10=1000\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: C.

Krok 1 — pole podstawy (romb liczymy z przekątnych):

$$P_p=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=24\cdot12=288\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $288\ \text{cm}^3$.

Ściana sześcianu jest kwadratem o boku $5$ cm. Jej przekątna to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $5$ i $5$:

$$d^2=5^2+5^2=50 \quad\Rightarrow\quad d=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\ \text{cm}\approx7{,}07\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $5\sqrt{2}$ cm.

Uwaga: przekątna ściany to $a\sqrt2$, a przekątna całego sześcianu — $a\sqrt3$.

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$ cm.

Krok 1 — wysokość trójkąta (twierdzenie Pitagorasa):

$$h^2=6^2-3^2=36-9=27 \quad\Rightarrow\quad h=3\sqrt{3}\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P_p=\frac{1}{2}\cdot6\cdot3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\ \text{cm}^2\approx15{,}59\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $9\sqrt{3}\ \text{cm}^2$.

Przekształcamy wzór na objętość:

$$V=P_p\cdot H \quad\Rightarrow\quad H=\frac{V}{P_p}$$

$$H=\frac{126}{18}=7\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $7$ cm.

Objętość zależy od trzeciej potęgi krawędzi:

$$V_{\text{nowe}}=(2a)^3=8a^3$$

Odpowiedź: D. Dla porównania: pole powierzchni wzrosłoby $4$ razy, bo zależy od $a^2$.

Przekształcamy wzór:

$$V=\frac{1}{3}P_p H \quad\Rightarrow\quad H=\frac{3V}{P_p}$$

$$H=\frac{3\cdot40}{24}=\frac{120}{24}=5\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $5$ cm.

Uwaga: przekształcając wzór z ułamkiem $\frac13$, trzeba pomnożyć przez $3$ — pominięcie tego to częsty błąd.

Krok 1 — pole podstawy: $P_p=4^2=16\ \text{cm}^2$.

Krok 2 — pole boczne. Obwód podstawy to $Ob_p=4\cdot4=16$ cm:

$$P_b=Ob_p\cdot H=16\cdot10=160\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pole całkowite (dwie podstawy!):

$$P_c=2\cdot16+160=192\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $192\ \text{cm}^2$.

Krok 1 — wysokość słupa wody:

$$h=\frac{3}{4}\cdot40=30\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość wody:

$$V=50\cdot30\cdot30=45\,000\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — zamiana na litry. Ponieważ $1\ \text{l}=1000\ \text{cm}^3$:

$$45\,000:1000=45\ \text{l}$$

Odpowiedź: $45$ litrów.

Objętość graniastosłupa:

$$V_1=30\cdot9=270\ \text{cm}^3$$

Objętość ostrosłupa:

$$V_2=\frac{1}{3}\cdot30\cdot9=90\ \text{cm}^3$$

Różnica:

$$V_1-V_2=270-90=180\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: o $180\ \text{cm}^3$.

Wniosek ogólny: objętość ostrosłupa to $\frac13$ objętości graniastosłupa, więc różnica stanowi zawsze $\frac23$ objętości graniastosłupa.