Wyrażenia algebraiczne

Jednomian to iloczyn liczby i liter — bez dodawania i odejmowania.

Wyrażenie $5xy$ spełnia ten warunek. Pozostałe są sumami algebraicznymi.

Odpowiedź: B. $5xy$.

Grupujemy osobno wyrazy z $a$ i z $b$:

$$(7a+2a)+(-3b+5b)=9a+2b$$

Odpowiedź: $9a+2b$.

Mnożymy przez $3$ każdy składnik sumy:

$$3\cdot2x+3\cdot5=6x+15$$

Odpowiedź: $6x+15$.

Największy wspólny dzielnik liczb $6$ i $9$ to $3$:

$$6x+9=3(2x+3)$$

Sprawdzenie przez wymnożenie: $3\cdot2x=6x$ oraz $3\cdot3=9$ ✔

Odpowiedź: C. $3(2x+3)$.

Mnożymy osobno współczynniki i osobno litery:

$$2\cdot3=6,\qquad x\cdot x=x^2$$

$$2x\cdot3x=6x^2$$

Uwaga: to mnożenie, więc powstaje $x^2$. Przy dodawaniu $2x+3x$ wyszłoby $5x$.

Odpowiedź: $6x^2$.

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika:

$$5x-2x+7=3x+7$$

Sprawdzenie dla $x=1$: wyjściowo $5-(2-7)=5+5=10$, a po uproszczeniu $3+7=10$ ✔

Odpowiedź: A. $3x+7$.

Mnożymy jednomian przez każdy składnik sumy:

$$2a\cdot3a=6a^2,\qquad 2a\cdot(-4)=-8a$$

$$2a(3a-4)=6a^2-8a$$

Odpowiedź: $6a^2-8a$.

Krok 1 — wspólny czynnik liczbowy. NWD liczb $12$ i $8$ to $4$.

Krok 2 — wspólna litera. Oba wyrazy zawierają co najmniej jedno $x$.

Krok 3 — wyłączamy $4x$:

$$12x^2-8x=4x(3x-2)$$

Sprawdzenie: $4x\cdot3x=12x^2$ oraz $4x\cdot(-2)=-8x$ ✔

Odpowiedź: $4x(3x-2)$.

To wyrazy podobne — mają tę samą część literową $x^2$. Dodajemy tylko współczynniki:

$$(3+5)x^2=8x^2$$

Uwaga: wykładnik nie zmienia się przy dodawaniu. Wynik $8x^4$ powstałby przy mnożeniu $3x^2\cdot5x^2=15x^4$ — ale wtedy współczynniki też by się mnożyły.

Odpowiedź: D. $8x^2$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$4x-8+3x+3$$

Krok 2 — redukujemy:

$$7x-5$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $0+9=9$, a po uproszczeniu $14-5=9$ ✔

Odpowiedź: $7x-5$.

Wspólnym czynnikiem jest $x$. Po jego wyłączeniu z drugiego wyrazu zostaje $1$:

$$x^2+x=x(x+1)$$

Najczęstszy błąd: zapisanie $x(x+0)$ — po wyłączeniu $x$ z wyrazu $x$ zostaje jedynka, a nie zero.

Sprawdzenie: $x\cdot x+x\cdot1=x^2+x$ ✔

Odpowiedź: B. $x(x+1)$.

Podstawiamy $a=-2$, pamiętając o kolejności działań:

$$3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)$$

Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni:

$$(-2)^2=4$$

$$3\cdot4+4=12+4=16$$

Uwaga na drugi składnik: odjęcie liczby ujemnej to dodawanie.

Odpowiedź: $16$.

Mnożymy przez $-3$ każdy z trzech składników:

$$-3\cdot2x=-6x$$

$$-3\cdot(-5y)=+15y$$

$$-3\cdot1=-3$$

$$-6x+15y-3$$

Uwaga: mnożenie przez liczbę ujemną zmienia znak każdego składnika.

Odpowiedź: $-6x+15y-3$.

Wyrazy podobne mają identyczną część literową.

Para $5xy$ i $-xy$ ma tę samą część $xy$, więc redukuje się do $4xy$.

Pozostałe różnią się: potęgą ($x$ i $x^2$), liczbą liter ($ab$ i $a$) albo obecnością litery ($4a$ i $4$).

Odpowiedź: C. $5xy$ i $-xy$.

Krok 1 — pole jako iloczyn boków:

$$P=3a(2a+4)$$

Krok 2 — wymnażamy:

$$3a\cdot2a+3a\cdot4=6a^2+12a$$

Odpowiedź: $P=6a^2+12a$.

Mnożymy współczynniki, a wykładniki przy tej samej literze dodajemy:

$$2\cdot4=8,\qquad x^1\cdot x^2=x^3$$

$$2x\cdot4x^2=8x^3$$

Odpowiedź: A. $8x^3$.

Krok 1 — pierwsze mnożenie:

$$2x(x+3)=2x^2+6x$$

Krok 2 — drugie mnożenie (pamiętamy o minusie przed nim):

$$-x(2x-1)=-2x^2+x$$

Krok 3 — składamy i redukujemy:

$$2x^2+6x-2x^2+x=7x$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $4\cdot5-2\cdot3=20-6=14$, a po uproszczeniu $7\cdot2=14$ ✔

Warto zauważyć: wyrazy z $x^2$ całkowicie się zniosły.

Odpowiedź: $7x$.

Krok 1 — czynnik liczbowy. NWD liczb $15$ i $10$ to $5$.

Krok 2 — czynniki literowe. Oba wyrazy zawierają co najmniej jedno $a$ i jedno $b$, więc wyłączamy $ab$.

Krok 3 — wyłączamy $5ab$:

$$15a^2b-10ab^2=5ab(3a-2b)$$

Sprawdzenie: $5ab\cdot3a=15a^2b$ ✔ oraz $5ab\cdot(-2b)=-10ab^2$ ✔

Zasada: wyłączamy najwyższą potęgę litery, która występuje w każdym wyrazie.

Odpowiedź: $5ab(3a-2b)$.

Krok 1 — obwód to suma boków:

$$O=2x+(3x-1)+(x+5)$$

Krok 2 — redukujemy:

$$O=6x+4$$

Krok 3 — dla $x=4$:

$$6\cdot4+4=28$$

Sprawdzenie przez boki: $8$, $11$ i $9$, a $8+11+9=28$ ✔

Kontrola sensu: wszystkie boki wyszły dodatnie i spełniają nierówność trójkąta ($8+9>11$), więc taki trójkąt istnieje.

Odpowiedź: $O=6x+4$, dla $x=4$ obwód wynosi $28$.

Krok 1 — opuszczamy nawias:

$$3x+6-3x$$

Krok 2 — redukujemy. Wyrazy z $x$ znoszą się nawzajem:

$$6$$

Wniosek. Po uproszczeniu w wyrażeniu nie ma już litery $x$, więc jego wartość nie zależy od tego, co za $x$ podstawimy. ∎

Sprawdzenie na trzech wartościach:

• $x=0$: $3\cdot2-0=6$ ✔
• $x=5$: $3\cdot7-15=21-15=6$ ✔
• $x=-1$: $3\cdot1+3=6$ ✔

Uwaga metodyczna: sprawdzenie kilku liczb sugeruje wynik, ale dowodem jest dopiero przekształcenie algebraiczne z kroków $1$ i $2$.

Odpowiedź: wartość zawsze wynosi $6$.

Opuszczamy nawiasy — przed oboma stoi plus, więc znaki się nie zmieniają:

$$3x+5+2x-1$$

Redukujemy wyrazy podobne:

$$(3x+2x)+(5-1)=5x+4$$

Odpowiedź: B. $5x+4$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy. Przed drugim stoi minus, więc każdy wyraz w środku zmienia znak:

$$7a-3-2a-5$$

Krok 2 — redukujemy:

$$5a-8$$

Najczęstszy błąd: zmiana znaku tylko przy pierwszym wyrazie, co dałoby $5a+2$.

Odpowiedź: $5a-8$.

Dzielimy obie strony przez $a$:

$$b=\frac{P}{a}$$

Założenie: $a\neq0$ — bok prostokąta i tak musi być dodatni.

Odpowiedź: $b=\frac{P}{a}$.

Dzielimy obie strony przez $v$:

$$t=\frac{s}{v}$$

Kontrola jednostkami: kilometry dzielone przez kilometry na godzinę dają godziny ✔ To szybki sposób sprawdzenia, czy wzór przekształcono dobrze.

Odpowiedź: C. $t=\frac{s}{v}$.

Krok 1 — mnożymy przez liczby przed nawiasami:

$$2x+6+3x-3$$

Krok 2 — redukujemy:

$$5x+3$$

Odpowiedź: $5x+3$.

Krok 1 — dzielimy przez $2$:

$$\frac{O}{2}=a+b$$

Krok 2 — odejmujemy $a$:

$$b=\frac{O}{2}-a$$

Uwaga na kolejność. Najpierw dzielimy całość przez $2$, dopiero potem odejmujemy — odwrotna kolejność daje błędne $\frac{O-a}{2}$.

Sprawdzenie: dla $O=20$ i $a=4$ mamy $b=10-4=6$, a rzeczywiście $2(4+6)=20$ ✔

Odpowiedź: A. $b=\frac{O}{2}-a$.

Krok 1 — mnożymy obie strony przez $2$:

$$2P=(a+b)h$$

Krok 2 — dzielimy przez $(a+b)$:

$$h=\frac{2P}{a+b}$$

Sprawdzenie: dla $a=8$, $b=12$ i $h=5$ pole wynosi $50$, a wzór odwrotny daje $h=\frac{100}{20}=5$ ✔

Zapamiętaj: gdy we wzorze jest dzielenie przez $2$, w przekształceniu pojawi się mnożenie przez $2$ — to najczęściej gubiony element.

Odpowiedź: $h=\frac{2P}{a+b}$.

Krok 1 — opuszczamy drugi nawias, zmieniając wszystkie znaki:

$$4x^2-3x+2-x^2+5x+1$$

Krok 2 — grupujemy wyrazy podobne:

$$\left(4x^2-x^2\right)+(-3x+5x)+(2+1)$$

Krok 3 — redukujemy:

$$3x^2+2x+3$$

Kontrola dla $x=1$: lewa strona $3-(-5)=8$, prawa $3+2+3=8$ ✔

Odpowiedź: $3x^2+2x+3$.

Mnożymy przez $2$, potem dzielimy przez $h$:

$$2P=a\cdot h \quad\Rightarrow\quad a=\frac{2P}{h}$$

Sprawdzenie: dla $a=10$ i $h=6$ pole wynosi $30$, a $\frac{60}{6}=10$ ✔

Odpowiedź: D. $a=\frac{2P}{h}$.

Krok 1 — wymnażamy nawiasy:

$$6a-3b-2a+6b$$

Krok 2 — redukujemy:

$$4a+3b$$

Uwaga na drugi nawias: mnożymy przez $-2$, więc $-2\cdot(-3b)=+6b$. Podwójna zmiana znaku jest tu kluczowa.

Odpowiedź: $4a+3b$.

Podstawiamy, pamiętając o nawiasie przy liczbie ujemnej:

$$2\cdot4-3\cdot(-1)=8+3=11$$

Pułapka: pominięcie nawiasu prowadzi do $8-3=5$ — odejmowanie liczby ujemnej daje dodawanie.

Odpowiedź: B. $11$.

Krok 1 — przekształcamy wzór:

$$P_p=\frac{V}{H}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$P_p=\frac{240}{8}=30\ \text{cm}^2$$

Kontrola jednostek: cm³ podzielone przez cm daje cm² ✔

Odpowiedź: $P_p=\frac{V}{H}=30$ cm².

Krok 1 — wzór na obwód:

$$O=2\bigl(x+(x+4)\bigr)$$

Krok 2 — upraszczamy nawias:

$$O=2(2x+4)$$

Krok 3 — wymnażamy:

$$O=4x+8$$

Sprawdzenie dla $x=3$: boki to $3$ i $7$, obwód $20$, a ze wzoru $12+8=20$ ✔

Odpowiedź: $O=4x+8$.

Krok 1 — odejmujemy $32$:

$$F-32=\frac{9}{5}C$$

Krok 2 — mnożymy przez $\frac59$:

$$C=\frac{5(F-32)}{9}$$

Sprawdzenie: dla $F=212$ dostajemy $\frac{5\cdot180}{9}=100$ °C — temperatura wrzenia wody ✔

Odpowiedź: C. $C=\frac{5(F-32)}{9}$.

Krok 1 — wymnażamy pierwszy składnik:

$$x^2+2x$$

Krok 2 — odejmujemy drugi, zmieniając znaki:

$$x^2+2x-x+1=x^2+x+1$$

Krok 3 — podstawiamy $x=5$:

$$25+5+1=31$$

Sprawdzenie wprost: $5\cdot7-4=35-4=31$ ✔

Odpowiedź: $x^2+x+1$, a dla $x=5$ wynosi $31$.

Wyrazy podobne mają tę samą literę w tej samej potędze:

$$5x^2-2x^2=3x^2,\qquad 3x+7x=10x$$

Po redukcji zostaje $3x^2+10x$.

Uwaga: $x^2$ i $x$ to różne potęgi, więc takich wyrazów nie wolno łączyć.

Odpowiedź: A. $5x^2$ z $-2x^2$ oraz $3x$ z $7x$.

Krok 1 — przenosimy wyraz bez $h$ na lewą stronę:

$$P-2\pi r^2=2\pi rh$$

Krok 2 — dzielimy przez $2\pi r$:

$$h=\frac{P-2\pi r^2}{2\pi r}$$

Krok 3 — postać alternatywna. Można też rozbić ułamek:

$$h=\frac{P}{2\pi r}-r$$

Ogólna zasada. Gdy szukana litera występuje tylko w jednym składniku, najpierw izolujemy ten składnik, a dopiero potem dzielimy przez to, co przy nim stoi.

Odpowiedź: $h=\frac{P-2\pi r^2}{2\pi r}$.

Krok 1 — powiększenie o $30\%$:

$$1{,}3x$$

Krok 2 — pomniejszenie o $10$:

$$1{,}3x-10$$

Krok 3 — wartość dla $x=200$:

$$1{,}3\cdot200-10=260-10=250$$

Uwaga na różnicę. „Powiększona o $30\%$” to mnożenie przez $1{,}3$, a „pomniejszona o $10$” to odejmowanie liczby. Procent zawsze odnosi się do czegoś, a zwykła liczba — nie.

Odpowiedź: $1{,}3x-10$, a dla $x=200$ wynosi $250$.

Krok 1 — izolujemy nawias z $n$:

$$a_n-a_1=(n-1)r$$

Krok 2 — dzielimy przez $r$:

$$\frac{a_n-a_1}{r}=n-1$$

Krok 3 — dodajemy $1$:

$$n=\frac{a_n-a_1}{r}+1$$

Krok 4 — podstawiamy dane: $a_1=5$, $r=4$, $a_n=101$:

$$n=\frac{101-5}{4}+1=\frac{96}{4}+1=25$$

Sprawdzenie: $5+24\cdot4=101$ ✔

Odpowiedź: $n=\frac{a_n-a_1}{r}+1$, czyli $25$ wyrazów.

Krok 1 — zapis algebraiczny. Trzy kolejne liczby naturalne zapiszemy przez jedną niewiadomą:

$$n,\qquad n+1,\qquad n+2$$

Krok 2 — sumujemy:

$$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$$

Krok 3 — wyłączamy wspólny czynnik:

$$3n+3=3(n+1) \qquad ∎$$

Suma jest iloczynem liczby $3$ i liczby naturalnej, więc dzieli się przez $3$.

Wniosek dodatkowy. Iloraz wynosi $n+1$, czyli dokładnie środkową z tych trzech liczb. Suma trzech kolejnych liczb to zawsze potrojona liczba środkowa.

Sprawdzenie: $7+8+9=24=3\cdot8$ ✔

Wszystkie wyrazy mają tę samą literę, więc działamy na współczynnikach:

$$(5+3-2)x=6x$$

Odpowiedź: B. $6x$.

Grupujemy osobno wyrazy z $a$ i osobno z $b$:

$$(4a-a)+(3b+2b)=3a+5b$$

Uwaga: wyrazów z różnymi literami nie łączymy.

Odpowiedź: $3a+5b$.

Mnożymy każdy składnik w nawiasie przez $3$:

$$3\cdot2x-3\cdot4=6x-12$$

Odpowiedź: $6x-12$.

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika:

$$-2\cdot3x+(-2)\cdot(-5)=-6x+10$$

Najczęstszy błąd: pozostawienie $-10$ zamiast $+10$ — minus razy minus daje plus.

Odpowiedź: C. $-6x+10$.

$$4x=16 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $4\cdot4-6=10$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Po rozwinięciu lewej strony w A: $2x+2=2x+2$ — obie strony identyczne, więc równanie jest tożsamościowe.

B jest sprzeczne ($1=2$), C i D mają po jednym rozwiązaniu.

Odpowiedź: A.

Podstawiamy $x=3$:

$$2\cdot3^2-3\cdot3=2\cdot9-9=18-9=9$$

Uwaga na kolejność: najpierw potęga $3^2=9$, potem mnożenie.

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — niewiadome na lewo, liczby na prawo:

$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12$$

Krok 2 — dzielimy:

$$x=4$$

Sprawdzenie: lewa $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

W D po odjęciu $x$ zostaje $4=9$ — fałsz, więc równanie nie ma rozwiązań (sprzeczne).

Pozostałe mają rozwiązania: A $x=0$, B $x=3$, C $x=0$.

Odpowiedź: D.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$2x+6+3x-3$$

Krok 2 — redukujemy:

$$5x+3$$

Odpowiedź: $5x+3$.

Najpierw zwiększamy o $5$: $(x+5)$, potem całość mnożymy przez $2$:

$$2(x+5)$$

Uwaga na nawias: bez niego ($2x+5$) pomnożylibyśmy przez $2$ tylko $x$, a nie całą sumę.

Odpowiedź: B. $2(x+5)$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$3x-6=2x+2$$

Krok 2 — grupujemy:

$$3x-2x=2+6 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: lewa $3\cdot6=18$, prawa $2\cdot9=18$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Krok 1 — opuszczamy nawias (uwaga na minus):

$$5x-2x+6+4$$

Krok 2 — redukujemy:

$$3x+10$$

Najczęstszy błąd: $5x-2x-6$ — minus dotyczy całego nawiasu, więc $-2\cdot(-3)=+6$.

Odpowiedź: $3x+10$.

Obie strony są identyczne, więc równanie spełnia każda liczba — jest tożsamościowe.

Po odjęciu $2x$ zostaje $3=3$ — zawsze prawda.

Odpowiedź: C. nieskończenie wiele.

Krok 1 — odejmujemy $3$:

$$\frac{x}{2}=4$$

Krok 2 — mnożymy przez $2$:

$$x=8$$

Sprawdzenie: $\frac82+3=4+3=7$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Wyrazy podobne muszą mieć tę samą literę w tej samej potędze. Tutaj potęgi są różne ($x$ i $x^2$), więc nie są podobne i nie można ich zredukować.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — równanie. Niech liczba to $x$:

$$3x+5=26$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$3x=21 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Sprawdzenie: trzykrotność $7$ to $21$, o $5$ więcej to $26$ ✔

Odpowiedź: szukana liczba to $7$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$6x-2-3x-6=5$$

Krok 2 — redukujemy lewą stronę:

$$3x-8=5$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$3x=13 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{13}{3}$$

Sprawdzenie: $3\cdot\frac{13}{3}-8=13-8=5$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{13}{3}=4\frac13$.

Krok 1 — równanie z obwodu:

$$x+(x+3)+(2x-1)=22$$

Krok 2 — redukujemy:

$$4x+2=22 \quad\Rightarrow\quad 4x=20 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Krok 3 — boki:

$$x=5,\qquad x+3=8,\qquad 2x-1=9$$

Sprawdzenie obwodu: $5+8+9=22$ ✔, a nierówność trójkąta ($5+8>9$) też spełniona ✔

Odpowiedź: boki mają $5$, $8$ i $9$.

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy obie strony są identyczne.

Krok 1 — porównujemy. Wyrazy wolne są równe ($4=4$), więc wystarczy zrównać współczynniki przy $x$:

$$m=2$$

Sprawdzenie: dla $m=2$ równanie to $2x+4=2x+4$ — tożsamość ✔

Uwaga: dla każdego innego $m$ równanie miałoby dokładnie jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: $m=2$.