Liczby i działania

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki:

$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7$$

Sprawdzenie: $8\cdot16=128=2^7$ ✔

Uwaga: podstawa się nie zmienia — nie mnożymy jej przez siebie.

Odpowiedź: B. $2^7$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$5^8:5^3=5^{8-3}=5^5$$

Odpowiedź: $5^5$.

Pierwiastek sześcienny to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje liczbę pod pierwiastkiem:

$$3^3=27 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{27}=3$$

$$5^3=125 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{125}=5$$

Odpowiedź: $3$ oraz $5$.

Sprawdzamy:

$$(-2)^3=-8$$

$$\sqrt[3]{-8}=-2$$

Ważna różnica. Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, w odróżnieniu od pierwiastka kwadratowego — bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna.

Odpowiedź: A. $-2$.

Pamiętamy, że $3=3^1$:

$$3^2\cdot3^5\cdot3^1=3^{2+5+1}=3^8$$

Odpowiedź: $3^8$.

Przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy:

$$\left(2^3\right)^2=2^{3\cdot2}=2^6=64$$

Częsty błąd: dodanie wykładników daje $2^5=32$ — to reguła dla iloczynu potęg, nie dla potęgi potęgi.

Odpowiedź: C. $2^6$.

Krok 1 — dzielenie potęg:

$$\frac{2^{10}}{2^{7}}=2^{3}=8$$

Krok 2 — pierwiastek sześcienny:

$$4^3=64 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{64}=4$$

Krok 3 — suma:

$$8+4=12$$

Odpowiedź: $12$.

Krok 1 — licznik:

$$7^{5}\cdot7^{4}=7^{9}$$

Krok 2 — dzielenie:

$$\frac{7^{9}}{7^{6}}=7^{3}$$

Skrót: można od razu policzyć $5+4-6=3$.

Odpowiedź: $7^{3}=343$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$.

Dlaczego tak:

$$\frac{10^3}{10^3}=10^{3-3}=10^{0},\qquad \text{a przecież }\frac{1000}{1000}=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Krok 1 — objętość:

$$V=4^3=64\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — krawędź z objętości. Odwracamy działanie pierwiastkiem sześciennym:

$$a=\sqrt[3]{216}=6\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $6^3=216$ ✔

Odpowiedź: $64$ cm³ oraz $6$ cm.

Wykładnik jest parzysty, więc wynik jest dodatni:

$$(-3)^4=(-3)(-3)(-3)(-3)=81$$

Uwaga na nawias. Wyrażenie $-3^4$ (bez nawiasu) oznacza $-(3^4)=-81$ — nawias zmienia wszystko.

Odpowiedź: B. $81$.

Potęgujemy licznik i mianownik osobno:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$$

Obserwacja: potęgowanie ułamka właściwego daje liczbę jeszcze mniejszą — wyniki są mniejsze od podstawy.

Odpowiedź: $\frac{8}{27}$ oraz $\frac{1}{16}$.

Krok 1 — sprowadzamy do wspólnej podstawy:

$$8=2^3,\qquad 16=2^4$$

Krok 2 — mnożymy:

$$2^3\cdot2^4=2^7=128$$

Wskazówka. Reguły na potęgi działają dopiero po sprowadzeniu do tej samej podstawy — to najczęstszy pierwszy krok w takich zadaniach.

Odpowiedź: $2^7$.

Obliczamy każdą:

$$3^4=81,\qquad 4^3=64,\qquad 2^6=64,\qquad 5^2=25$$

Największa jest $81$.

Ciekawostka: $4^3$ i $2^6$ są równe, bo $4^3=(2^2)^3=2^6$.

Odpowiedź: A. $3^4$.

Krok 1 — osobno:

$$\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3=6$$

Krok 2 — pod jednym pierwiastkiem:

$$\sqrt[3]{8\cdot27}=\sqrt[3]{216}=6$$

Wniosek. Wyniki są identyczne — pierwiastek z iloczynu równa się iloczynowi pierwiastków:

$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$$

Odpowiedź: oba wyrażenia dają $6$.

Odejmujemy wykładniki:

$$\frac{6^5}{6^5}=6^{5-5}=6^0=1$$

To samo widać wprost: liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$9=3^2,\qquad 27=3^3$$

Krok 2 — przeliczamy licznik:

$$9^3=\left(3^2\right)^3=3^6,\qquad 3^6\cdot3^2=3^8$$

Krok 3 — mianownik:

$$27^2=\left(3^3\right)^2=3^6$$

Krok 4 — dzielimy:

$$\frac{3^8}{3^6}=3^2=9$$

Sprawdzenie liczbowe: $\frac{729\cdot9}{729}=9$ ✔

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — krawędź:

$$a=\sqrt[3]{1000}=10\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole powierzchni. Sześcian ma sześć jednakowych ścian kwadratowych:

$$P=6a^2=6\cdot100=600\ \text{cm}^2$$

Uwaga na jednostki. Objętość podajemy w cm³, a pole w cm² — to naturalna konsekwencja tego, że objętość to trzy wymiary, a pole dwa.

Odpowiedź: krawędź $10$ cm, pole $600$ cm².

Krok 1 — obliczamy każdą liczbę:

$$2^{10}=1024$$

$$10^3=1000$$

$$4^5=\left(2^2\right)^5=2^{10}=1024$$

$$3^6=729$$

Krok 2 — porządkujemy:

$$3^6\lt 10^3\lt 2^{10}=4^5$$

Warto zauważyć. Liczby $2^{10}$ i $4^5$ są równe — różny zapis nie musi oznaczać różnej wartości. Sprowadzenie do wspólnej podstawy ujawnia to od razu.

Odpowiedź: $3^6$, $10^3$, a na końcu równe sobie $2^{10}$ i $4^5$.

Krok 1 — jako kwadrat. Rozbijamy wykładnik na $2\cdot6$:

$$2^{12}=\left(2^{6}\right)^{2}=64^{2}$$

Krok 2 — jako sześcian. Rozbijamy wykładnik na $3\cdot4$:

$$2^{12}=\left(2^{4}\right)^{3}=16^{3}$$

Krok 3 — dlaczego to działa. Wykładnik $12$ dzieli się zarówno przez $2$, jak i przez $3$. Ogólnie: $a^{mn}=\left(a^{m}\right)^{n}$, więc każdy dzielnik wykładnika daje inny sposób zapisu tej samej liczby. $\qquad ∎$

Sprawdzenie: $2^{12}=4096$, a $64^2=4096$ ✔ oraz $16^3=4096$ ✔

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7=128$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź A to efekt mnożenia wykładników — częsty błąd.

Dzielenie — wykładniki odejmujemy:

$$\frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2=25$$

Potęga potęgi — wykładniki mnożymy:

$$(3^2)^3=3^{2\cdot3}=3^6=729$$

Odpowiedź: $5^2$ oraz $3^6$.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną:

$$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$$

Odpowiedź: D. Wynik potęgi o dodatniej podstawie zawsze jest dodatni.

Ujemny wykładnik odwraca ułamek:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}=2\frac14$$

Odpowiedź: $\frac94$.

Szukamy liczby, której kwadrat daje $144$:

$$12^2=144 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{144}=12$$

Odpowiedź: A.

Szukamy największego kwadratu w liczbie $72$:

$$72=36\cdot2$$

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$

Odpowiedź: $6\sqrt2\approx8{,}49$.

Wskazówka: gdyby wyłączyć tylko $4$, otrzymalibyśmy $2\sqrt{18}$ — poprawnie, ale nie do końca uproszczone.

$$\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$$

Odpowiedź: C.

Uwaga: $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ to inne wyrażenie. Pierwiastek z sumy nie równa się sumie pierwiastków.

Korzystamy z własności $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$:

$$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$$

Oraz $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$:

$$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{9}=3$$

Odpowiedź: $4$ oraz $3$.

$$3^3=27 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{27}=3$$

$$(-2)^3=-8 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{-8}=-2$$

Odpowiedź: $3$ oraz $-2$.

Różnica: pierwiastek sześcienny można wyciągać z liczb ujemnych, a kwadratowy nie.

W notacji wykładniczej liczba przed potęgą musi spełniać $1\le a\lt 10$:

$$7\,500\,000=7{,}5\cdot10^6$$

Odpowiedź: A. Zapisy B i C są liczbowo poprawne, ale nie są notacją wykładniczą.

Przesuwamy przecinek o $4$ miejsca w prawo, co kompensujemy ujemnym wykładnikiem:

$$0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$$

Odpowiedź: $4{,}2\cdot10^{-4}$.

Mnożymy osobno liczby i osobno potęgi dziesiątki:

$$(3\cdot2)\cdot(10^4\cdot10^3)=6\cdot10^{7}$$

Odpowiedź: $6\cdot10^7$, czyli $60\,000\,000$.

$$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5$$

Odpowiedź: $5$.

Reguła ogólna: $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$. Pierwiastek kwadratowy zawsze daje wynik nieujemny.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$a^2\cdot a^4=a^{2+4}=a^6$$

Odpowiedź: B.

Dlaczego pozostałe są błędne: $a^3+a^3=2a^3$ (dodawanie, nie mnożenie), $(a^2)^2=a^4$, a $3a^2$ to zupełnie inne wyrażenie.

$$0{,}25=\frac14 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{0{,}25}=\frac12=0{,}5$$

$$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $0{,}5$ oraz $\frac34$.

Krok 1 — uprość ostatni składnik:

$$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$$

Krok 2 — redukcja wyrazów podobnych. Wszystkie mają teraz $\sqrt2$:

$$3\sqrt2+5\sqrt2-2\sqrt2=(3+5-2)\sqrt2=6\sqrt2$$

Odpowiedź: $6\sqrt2$.

Zasada: pierwiastki dodajemy tak jak wyrazy podobne — tylko gdy liczba pod pierwiastkiem jest identyczna.

Bok — z pola $P=a^2$:

$$a=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Obwód:

$$Ob=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: bok $7$ cm, obwód $28$ cm.

Dzielimy masy, rozbijając na liczby i potęgi:

$$\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}2\cdot10^{22}}=\frac{6}{7{,}2}\cdot10^{24-22}$$

$$\approx0{,}833\cdot10^2=83{,}3$$

Odpowiedź: około $83$ razy.

Krok 1 — licznik:

$$2^5\cdot2^3=2^{8}$$

Krok 2 — dzielenie:

$$\frac{2^8}{2^6}=2^{8-6}=2^2=4$$

Odpowiedź: $4$.

Wskazówka: działanie na wykładnikach jest dużo szybsze niż obliczanie $\frac{32\cdot8}{64}$.

Krok 1 — uprość każdy pierwiastek:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — odejmowanie wyrazów podobnych:

$$5\sqrt2-3\sqrt2=(5-3)\sqrt2=2\sqrt2$$

Wniosek: $\sqrt{50}-\sqrt{18}=2\sqrt2$. ∎

Uwaga: nie wolno napisać $\sqrt{50}-\sqrt{18}=\sqrt{50-18}=\sqrt{32}$ — to dałoby $4\sqrt2$, czyli wynik błędny.

$$2^6=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64$$

Potęgi dwójki warto znać: $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$.

Odpowiedź: B. $64$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

$$3^4\cdot3^2=3^{4+2}=3^6=729$$

Odpowiedź: $3^6=729$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{5^7}{5^4}=5^{7-4}=5^3=125$$

Odpowiedź: $5^3=125$.

Przy potędze potęgi mnożymy wykładniki:

$$(2^3)^2=2^{3\cdot2}=2^6=64$$

Uwaga: przy potędze potęgi wykładniki mnożymy, a nie dodajemy — to odróżnia od zwykłego mnożenia potęg.

Odpowiedź: C. $64$.

Szukamy liczb, których kwadraty dają dane wartości:

$$\sqrt{81}=9 \quad (\text{bo } 9^2=81)$$

$$\sqrt{144}=12 \quad (\text{bo } 12^2=144)$$

Odpowiedź: $9$ oraz $12$.

W notacji wykładniczej pierwszy czynnik musi mieścić się w przedziale od $1$ do $10$.

Przesuwamy przecinek o $6$ miejsc w lewo:

$$3\,200\,000=3{,}2\cdot10^6$$

Uwaga: $32\cdot10^5$ i $0{,}32\cdot10^7$ mają dobrą wartość, ale zły pierwszy czynnik — nie jest z przedziału $\langle 1,\,10)$.

Odpowiedź: A. $3{,}2\cdot10^6$.

Szukamy największego kwadratu ukrytego w $200$:

$$200=100\cdot2$$

$$\sqrt{200}=\sqrt{100}\cdot\sqrt2=10\sqrt2$$

Odpowiedź: $10\sqrt2$.

Odejmujemy wykładniki:

$$2^{10}:2^7=2^{10-7}=2^3=8$$

Sprawdzenie sensu: $2^{10}=1024$, $2^7=128$, a $1024:128=8$ ✔

Odpowiedź: $8$.

Iloczyn pierwiastków to pierwiastek iloczynu:

$$\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4$$

Ciekawostka: mnożenie dwóch liczb niewymiernych dało liczbę wymierną.

Odpowiedź: D. $4$.

Wyrażenia z tym samym pierwiastkiem traktujemy jak wyrazy podobne:

$$(3+2-1)\sqrt5=4\sqrt5$$

Uwaga: $\sqrt5$ ma domyślny współczynnik $1$, więc odejmujemy $1$.

Odpowiedź: $4\sqrt5$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$10^0=1$$

Dlaczego: ze wzoru $\frac{10^n}{10^n}=10^{n-n}=10^0$, a jednocześnie $\frac{10^n}{10^n}=1$.

Odpowiedź: B. $1$.

Kolejność działań: najpierw mnożenie pierwiastków, potem dodawanie.

$$\sqrt9\cdot\sqrt4=3\cdot2=6$$

$$\sqrt{49}+6=7+6=13$$

Odpowiedź: $13$.

Krok 1 — grupujemy osobno liczby i osobno potęgi:

$$(2\cdot3)\cdot(10^3\cdot10^4)=6\cdot10^{3+4}=6\cdot10^7$$

Krok 2 — wartość liczbowa:

$$6\cdot10^7=60\,000\,000$$

Odpowiedź: $6\cdot10^7=60\,000\,000$.

Szukamy sąsiednich kwadratów:

$$7^2=49\lt 50\lt 64=8^2$$

Zatem $7\lt \sqrt{50}\lt 8$, dokładniej $\sqrt{50}\approx7{,}07$.

Odpowiedź: C. $7$ i $8$.

Krok 1 — upraszczamy oba pierwiastki:

$$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — odejmujemy (ten sam pierwiastek $\sqrt2$):

$$6\sqrt2-3\sqrt2=3\sqrt2$$

Kluczowe: pierwiastki trzeba najpierw uprościć — dopiero wtedy mają wspólny „czynnik” $\sqrt2$, który pozwala je odjąć.

Odpowiedź: $3\sqrt2$.

Mnożymy wykładniki:

$$(3^2)^3=3^{2\cdot3}=3^6=729$$

Sprawdzenie: $3^2=9$, a $9^3=729$ ✔

Odpowiedź: A. $729$.

Dzielimy masy, grupując osobno liczby i osobno potęgi:

$$\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}4\cdot10^{22}}=\frac{6}{7{,}4}\cdot10^{24-22}\approx0{,}81\cdot10^2=81$$

Interpretacja: notacja wykładnicza pozwala łatwo porównywać bardzo duże liczby — odejmujemy tylko wykładniki, zamiast dzielić wielocyfrowe liczby.

Odpowiedź: Ziemia jest około $81$ razy cięższa od Księżyca.

Podnosimy do potęgi osobno licznik i mianownik:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$$

Uwaga: wykładnik dotyczy całego ułamka — obu jego części.

Odpowiedź: $\frac{8}{27}$.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=\sqrt{50}=5\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — przekątna (wzór $d=a\sqrt2$):

$$d=5\sqrt2\cdot\sqrt2=5\cdot2=10\ \text{cm}$$

Ciekawostka: choć bok jest niewymierny, przekątna wychodzi równa dokładnie $10$ cm — iloczyn $\sqrt2\cdot\sqrt2$ daje $2$.

Odpowiedź: bok $5\sqrt2$ cm, przekątna $10$ cm.

Krok 1 — licznik. Mnożenie potęg — dodajemy wykładniki:

$$4^5\cdot4^3=4^{5+3}=4^8$$

Krok 2 — dzielenie przez mianownik — odejmujemy wykładniki:

$$\frac{4^8}{4^6}=4^{8-6}=4^2=16$$

Reguła zbiorcza: $\frac{4^5\cdot4^3}{4^6}=4^{5+3-6}=4^2=16$ — najpierw dodajemy wykładniki z licznika, potem odejmujemy wykładnik mianownika.

Odpowiedź: $16$.