Procenty

Obliczamy procent z liczby:

$$0{,}2\cdot150=30\ \text{zł}$$

Szybciej: $10\%$ z $150$ to $15$, więc $20\%$ to $30$ zł.

Odpowiedź: B. $30$ zł.

Krok 1 — wartość obniżki:

$$0{,}25\cdot80=20\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$80-20=60\ \text{zł}$$

Szybciej: po obniżce o $25\%$ zostaje $75\%$, czyli $0{,}75\cdot80=60$ zł.

Odpowiedź: $60$ zł.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}15\cdot200=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$200+30=230\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $230$ zł.

Dzielimy część przez całość i zamieniamy na procent:

$$\frac{20}{50}=0{,}4=40\%$$

Odpowiedź: C. $40\%$.

Szukamy liczby, której $30\%$ to $45$. Dzielimy:

$$45:0{,}3=150$$

Sprawdzenie: $0{,}3\cdot150=45$ ✔

Odpowiedź: szukana liczba to $150$.

VAT doliczamy do ceny netto:

$$100+0{,}23\cdot100=100+23=123\ \text{zł}$$

Szybciej: cena brutto to $123\%$ ceny netto: $1{,}23\cdot100=123$ zł.

Odpowiedź: A. $123$ zł.

Krok 1 — po podwyżce:

$$120\cdot1{,}1=132\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce (liczonej od $132$ zł):

$$132\cdot0{,}9=118{,}80\ \text{zł}$$

Wniosek: cena nie wróciła do $120$ zł, bo obniżkę liczono od wyższej kwoty. Sweter jest tańszy niż na początku.

Odpowiedź: $118{,}80$ zł.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$0{,}6\cdot25=15$$

Krok 2 — chłopcy to reszta:

$$25-15=10$$

Sprawdzenie: chłopcy to $40\%$, czyli $0{,}4\cdot25=10$ ✔

Odpowiedź: $10$ chłopców.

Cena ze zniżką to $70\%$ ceny pełnej. Dzielimy:

$$28:0{,}7=40\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $40\cdot0{,}7=28$ zł ✔

Pułapka: dodanie $30\%$ do $28$ (czyli $36{,}40$) jest błędne — procent liczy się od ceny pełnej, nie od obniżonej.

Odpowiedź: D. $40$ zł.

Procent zmiany liczymy względem ceny początkowej.

Krok 1 — wzrost kwotowy:

$$750-600=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent wzrostu:

$$\frac{150}{600}=0{,}25=25\%$$

Odpowiedź: rower zdrożał o $25\%$.

Zamieniamy ułamek na procent:

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

Odpowiedź: B. $75\%$.

Krok 1 — odsetki:

$$0{,}04\cdot2000=80\ \text{zł}$$

Krok 2 — stan konta:

$$2000+80=2080\ \text{zł}$$

Odpowiedź: odsetki $80$ zł, na koncie $2080$ zł.

Zakupy przekraczają $200$ zł, więc rabat przysługuje.

Krok 1 — rabat:

$$0{,}15\cdot240=36\ \text{zł}$$

Krok 2 — do zapłaty:

$$240-36=204\ \text{zł}$$

Szybciej: $0{,}85\cdot240=204$ zł.

Odpowiedź: klient zapłaci $204$ zł.

Dzielimy przez $1{,}2$:

$$60:1{,}2=50$$

Sprawdzenie: $1{,}2\cdot50=60$ ✔

Uwaga: $120\%$ oznacza więcej niż całość, więc szukana liczba jest mniejsza od $60$.

Odpowiedź: C. $50$.

Krok 1 — cena po pierwszym rabacie:

$$1800\cdot0{,}9=1620\ \text{zł}$$

Krok 2 — drugi rabat (liczony od $1620$ zł):

$$1620\cdot0{,}95=1539\ \text{zł}$$

Uwaga: rabaty nie sumują się do $15\%$ — drugi liczy się od już obniżonej ceny. Łączny rabat to $\frac{1800-1539}{1800}=14{,}5\%$.

Odpowiedź: klient zapłaci $1539$ zł.

$$\frac{25}{500}=0{,}05=5\%$$

Odpowiedź: A. $5\%$.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}08\cdot4000=320\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa pensja:

$$4000+320=4320\ \text{zł}$$

Odpowiedź: nowa pensja to $4320$ zł.

Krok 1 — wzrost kwotowy:

$$5-4=1\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent względem ceny początkowej:

$$\frac{1}{4}=0{,}25=25\%$$

Częsty błąd: dzielenie przez cenę końcową ($5$ zł) dałoby $20\%$. Procent zmiany zawsze odnosimy do wartości przed zmianą.

Odpowiedź: cena wzrosła o $25\%$.

Krok 1 — cena początkowa. Po obniżce o $40\%$ zostaje $60\%$ ceny, więc:

$$150:0{,}6=250\ \text{zł}$$

Krok 2 — obniżka w złotówkach:

$$250-150=100\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $40\%$ z $250$ to $100$ zł ✔

Odpowiedź: kurtka kosztowała $250$ zł, obniżka to $100$ zł.

Krok 1 — objętość w mililitrach:

$$1{,}5\ \text{l}=1500\ \text{ml}$$

Krok 2 — obliczamy $12\%$:

$$0{,}12\cdot1500=180\ \text{ml}$$

Kontrola sensu: $12\%$ to nieco ponad dziesiąta część, a $\frac{1500}{10}=150$, więc $180$ ml jest rozsądne.

Odpowiedź: butelka zawiera $180$ ml owoców.

Krok 1 — podwyżka:

$$10\%\cdot200=0{,}1\cdot200=20\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$200+20=220\ \text{zł}$$

Odpowiedź: B. $220$ zł.

Krok 1 — obniżka:

$$20\%\cdot150=0{,}2\cdot150=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa cena:

$$150-30=120\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $120$ zł.

Mnożnik podwyżki o $25\%$ to $1{,}25$ — mnożymy jednym działaniem:

$$80\cdot1{,}25=100\ \text{zł}$$

Dlaczego tak: nowa cena to $100\%+25\%=125\%$ ceny wyjściowej, a $125\%=1{,}25$.

Odpowiedź: $100$ zł.

Po obniżce zostaje:

$$100\%-30\%=70\%=0{,}7$$

Częsty błąd: mnożenie przez $0{,}3$ daje wartość rabatu, a nie cenę po obniżce.

Odpowiedź: A. $0{,}7$.

Krok 1 — podwyżka:

$$0{,}05\cdot3000=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — nowa pensja:

$$3000+150=3150\ \text{zł}$$

Odpowiedź: wzrosła o $150$ zł, wynosi $3150$ zł.

Krok 1 — kwota obniżki:

$$60-45=15\ \text{zł}$$

Krok 2 — jaki to procent ceny wyjściowej:

$$\frac{15}{60}=0{,}25=25\%$$

Uwaga: dzielimy przez cenę przed obniżką — to ona jest całością, czyli $100\%$.

Odpowiedź: C. $25\%$.

Krok 1 — jaki procent ceny wyjściowej stanowi $850$ zł:

$$100\%-15\%=85\%$$

Krok 2 — układamy równanie. Niech $x$ to cena przed obniżką:

$$0{,}85x=850$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=\frac{850}{0{,}85}=1000\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $15\%$ z $1000$ to $150$, a $1000-150=850$ ✔

Odpowiedź: $1000$ zł.

Krok 1 — po podwyżce:

$$200\cdot1{,}1=220\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce. Uwaga: $10\%$ liczymy teraz od $220$ zł, a nie od $200$ zł:

$$220\cdot0{,}9=198\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie:

$$198\lt 200$$

Dlaczego nie wróciła. Podwyżkę liczyliśmy od $200$, a obniżkę od większej kwoty $220$ — obniżka była więc „mocniejsza” w złotówkach. Łączny mnożnik to $1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$, czyli spadek o $1\%$.

Odpowiedź: $198$ zł — nie wróciła, jest o $2$ zł niższa.

Wzrost o $100\%$ to dodanie całej ceny wyjściowej:

$$100\%+100\%=200\%=2\cdot\text{cena}$$

Przykład: z $50$ zł robi się $100$ zł.

Uwaga: wzrost trzykrotny to wzrost o $200\%$ — łatwo pomylić „o tyle” z „do tylu”.

Odpowiedź: D. podwoiła się.

Krok 1 — po podwyżce:

$$24\cdot1{,}25=30\ \text{zł}$$

Krok 2 — po obniżce:

$$30\cdot0{,}8=24\ \text{zł}$$

Ciekawostka. Tym razem cena wróciła dokładnie do punktu wyjścia, bo $1{,}25\cdot0{,}8=1$. Podwyżka o $\frac14$ i obniżka o $\frac15$ znoszą się nawzajem.

Odpowiedź: $24$ zł.

Rabat $50\%$ to połowa ceny:

$$120\cdot0{,}5=60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: B. $60$ zł.

Krok 1 — pierwszy rabat:

$$400\cdot0{,}7=280\ \text{zł}$$

Krok 2 — drugi rabat, liczony od $280$ zł:

$$280\cdot0{,}9=252\ \text{zł}$$

Krok 3 — łączny rabat:

$$400-252=148\ \text{zł},\qquad \frac{148}{400}=37\%$$

Uwaga. Dwa rabaty $30\%$ i $10\%$ nie dają $40\%$, tylko $37\%$ — bo drugi liczymy od mniejszej kwoty. Mnożnik łączny to $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$.

Odpowiedź: $252$ zł.

Krok 1 — mnożnik podwyżki:

$$100\%+20\%=120\%=1{,}2$$

Krok 2 — równanie:

$$1{,}2x=360$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$x=\frac{360}{1{,}2}=300\ \text{zł}$$

Częsty błąd: odjęcie $20\%$ od $360$ daje $288$ zł — to zła odpowiedź, bo procent liczylibyśmy od niewłaściwej podstawy.

Odpowiedź: $300$ zł.

Liczymy mnożniki łączne — im mniejszy, tym taniej:

$$\text{A}:\ 0{,}6$$

$$\text{B}:\ 0{,}8\cdot0{,}8=0{,}64$$

$$\text{C}:\ 0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$$

$$\text{D}:\ 0{,}9^4=0{,}6561$$

Najmniejszy mnożnik ma odpowiedź A.

Wniosek praktyczny: rabaty naliczane kolejno są zawsze mniej korzystne niż jeden rabat o tej samej sumie procentów.

Odpowiedź: A. jeden rabat $40\%$.

Krok 1 — przyrost:

$$280-250=30$$

Krok 2 — procent przyrostu:

$$\frac{30}{250}=0{,}12=12\%$$

Odpowiedź: o $12\%$.

Przykład liczbowy. Cena $100$ zł spada o połowę:

$$100\cdot0{,}5=50\ \text{zł}$$

Aby z $50$ zł wrócić do $100$ zł, trzeba dodać $50$ zł, czyli:

$$\frac{50}{50}=1=100\%$$

Sedno. Spadek i wzrost liczone są od różnych podstaw: spadek od $100$, wzrost od $50$. Dlatego procenty nie są symetryczne.

Odpowiedź: C. $100\%$.

Krok 1 — po obniżce:

$$2400\cdot0{,}85=2040\ \text{zł}$$

Krok 2 — po podwyżce, liczonej od $2040$ zł:

$$2040\cdot1{,}15=2346\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie:

$$2400-2346=54\ \text{zł}$$

Krok 4 — łączny mnożnik:

$$0{,}85\cdot1{,}15=0{,}9775$$

To spadek o $2{,}25\%$ względem ceny wyjściowej.

Reguła. Obniżka i podwyżka o ten sam procent nigdy nie wracają do punktu wyjścia — końcowa cena zawsze jest niższa, bo $(1-p)(1+p)=1-p^2\lt 1$.

Odpowiedź: $2346$ zł, czyli o $54$ zł mniej niż na początku.

Krok 1 — cena sprzedaży z narzutem:

$$80\cdot1{,}5=120\ \text{zł}$$

Krok 2 — cena po rabacie:

$$120\cdot0{,}7=84\ \text{zł}$$

Krok 3 — zysk:

$$84-80=4\ \text{zł}$$

Krok 4 — zysk w procentach kosztu zakupu:

$$\frac{4}{80}=0{,}05=5\%$$

Uwaga na podstawę. Narzut $50\%$ liczymy od ceny zakupu ($80$ zł), a rabat $30\%$ — od ceny sprzedaży ($120$ zł). To różne kwoty, dlatego nie wolno odejmować tych procentów od siebie.

Odpowiedź: tak, zarabia $4$ zł, czyli $5\%$.

Krok 1 — wzrost w złotych:

$$27-18=9\ \text{zł}$$

Krok 2 — procent wzrostu (podstawa: $18$ zł):

$$\frac{9}{18}=0{,}5=50\%$$

Krok 3 — powrót, teraz podstawą jest $27$ zł:

$$\frac{9}{27}=\frac13\approx0{,}333=33\tfrac13\%$$

Wniosek. Wzrost o $50\%$ odwraca się spadkiem o $33\tfrac13\%$, a nie o $50\%$ — bo za drugim razem liczymy procent od większej kwoty.

Odpowiedź: wzrost o $50\%$, powrót wymaga spadku o $33\tfrac13\%$.

Krok 1 — sklep A:

$$300\cdot0{,}8=240\ \text{zł}$$

Krok 2 — sklep B:

$$280\cdot0{,}85=238\ \text{zł}$$

Krok 3 — różnica:

$$240-238=2\ \text{zł}$$

Uwaga metodyczna. Wyższy rabat nie oznacza niższej ceny — sklep A daje $20\%$, a mimo to jest droższy, bo startuje z wyższej ceny. Zawsze porównujemy kwoty końcowe, nie same procenty.

Odpowiedź: taniej w sklepie B, o $2$ zł.

$$20\%\ \text{z}\ 350=\frac{20}{100}\cdot350=0{,}2\cdot350=70$$

Odpowiedź: B. Skrót: $10\%$ to $35$, więc $20\%$ to dwa razy tyle.

Aby zamienić ułamek na procent, mnożymy przez $100\%$:

$$0{,}07\cdot100\%=7\%$$

Odpowiedź: D.

Metoda 1 — z proporcji. Jeśli $15\%$ to $45$, to $1\%$ to:

$$45:15=3$$

Zatem $100\%$ to $3\cdot100=300$.

Metoda 2 — z równania: $0{,}15\cdot a=45$, więc $a=\frac{45}{0{,}15}=300$.

Odpowiedź: $300$.

Sprawdzenie: $15\%$ z $300$ to $45$. ✔

$$\frac{30}{120}=\frac{1}{4}=0{,}25=25\%$$

Odpowiedź: C. Dzielimy część przez całość, a wynik zamieniamy na procent.

Metoda ze wskaźnikiem zmiany:

$$c_{\text{po}}=240\cdot(1+0{,}15)=240\cdot1{,}15=276\ \text{zł}$$

Alternatywnie: kwota podwyżki to $15\%$ z $240=36$ zł, więc nowa cena to $240+36=276$ zł.

Odpowiedź: $276$ zł.

Po obniżce o $30\%$ płacimy $70\%$ ceny:

$$180\cdot0{,}7=126\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $126$ zł.

Sprawdzenie: obniżka wynosi $180-126=54$ zł, a $\frac{54}{180}=0{,}3=30\%$. ✔

Cena po obniżce stanowi $80\%$ ceny początkowej:

$$0{,}8x=48 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{48}{0{,}8}=60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: A.

Pułapka: dodanie $20\%$ do $48$ daje błędne $57{,}60$ zł (odpowiedź B) — procent liczymy od ceny początkowej, nie od obniżonej.

Krok 1 — pierwsza obniżka:

$$200\cdot0{,}9=180\ \text{zł}$$

Krok 2 — druga obniżka, liczona od nowej ceny:

$$180\cdot0{,}9=162\ \text{zł}$$

Krok 3 — porównanie. Jedna obniżka o $20\%$ dałaby:

$$200\cdot0{,}8=160\ \text{zł}$$

Odpowiedź: towar kosztuje $162$ zł — to nie to samo co obniżka o $20\%$.

Dlaczego: druga obniżka liczona jest od mniejszej kwoty, więc łączna obniżka to $19\%$, a nie $20\%$.

$$c_{\text{brutto}}=350\cdot1{,}23=430{,}50\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: kwota VAT to $0{,}23\cdot350=80{,}50$ zł, a $350+80{,}50=430{,}50$ zł. ✔

Odpowiedź: $430{,}50$ zł.

$$1{,}5\cdot40=60$$

Odpowiedź: C. Procent większy od $100$ jest zupełnie poprawny — oznacza więcej niż całość.

Krok 1 — liczba dziewczynek:

$$0{,}6\cdot25=15$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$25-15=10$$

Alternatywnie: chłopcy to $40\%$ klasy, czyli $0{,}4\cdot25=10$.

Odpowiedź: $10$ chłopców.

Krok 1 — procent śliwek:

$$100\%-45\%-30\%=25\%$$

Krok 2 — liczba śliwek:

$$0{,}25\cdot80=20$$

Odpowiedź: $20$ śliwek.

Sprawdzenie: jabłek $36$, gruszek $24$, śliwek $20$; razem $80$. ✔

$25\%=\frac{25}{100}=\frac14=0{,}25$.

Liczba $2{,}5$ to $250\%$ — dziesięć razy za dużo.

Odpowiedź: B. To typowy błąd przy zamianie procentu na ułamek: dzielimy przez $100$, a nie przez $10$.

Krok 1 — kwota podwyżki:

$$920-800=120\ \text{zł}$$

Krok 2 — jaki to procent ceny początkowej:

$$\frac{120}{800}=0{,}15=15\%$$

Odpowiedź: cena wzrosła o $15\%$.

Uwaga: zmianę procentową liczymy zawsze względem wartości początkowej.

Krok 1 — jaki to procent całości. Pełny kąt to $360^\circ$:

$$\frac{72^\circ}{360^\circ}=0{,}2=20\%$$

Krok 2 — liczba uczniów:

$$0{,}2\cdot200=40$$

Odpowiedź: $40$ uczniów.

$$\frac{1}{100}\cdot2\,500=25$$

Odpowiedź: D. Aby obliczyć $1\%$, wystarczy podzielić liczbę przez $100$.

Krok 1 — odsetki za rok:

$$0{,}04\cdot2\,000=80\ \text{zł}$$

Krok 2 — kapitał końcowy:

$$2\,000+80=2\,080\ \text{zł}$$

Skrótowo: $2\,000\cdot1{,}04=2\,080$ zł.

Odpowiedź: $2\,080$ zł.

$$\frac{18}{24}=\frac{3}{4}=0{,}75=75\%$$

Odpowiedź: $75\%$.

Wskazówka: ułamek warto najpierw skrócić — rachunki stają się prostsze.

Krok 1 — cena początkowa. Po obniżce płacimy $75\%$ ceny:

$$0{,}75x=1\,200 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1\,200}{0{,}75}=1\,600\ \text{zł}$$

Krok 2 — kwota obniżki:

$$1\,600-1\,200=400\ \text{zł}$$

Odpowiedź: cena początkowa $1\,600$ zł, obniżka $400$ zł.

Sprawdzenie: $\frac{400}{1\,600}=0{,}25=25\%$. ✔

Obecna liczba stanowi $110\%$ liczby sprzed roku:

$$1{,}1x=400$$

$$x=\frac{400}{1{,}1}=\frac{4000}{11}\approx363{,}6$$

Ponieważ liczba uczniów musi być całkowita, przyjmujemy $x\approx364$.

Odpowiedź: około $364$ uczniów.

Uwaga na pułapkę: odjęcie $10\%$ od $400$ (czyli $360$) byłoby błędne — wzrost liczono od liczby sprzed roku, a nie od obecnej.

Słowo „procent" znaczy dosłownie „na sto":

$$1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$$

Odpowiedź: C. jedna setna.

$$25\%=\frac{25}{100}=\frac14$$

$$50\%=\frac{50}{100}=\frac12$$

$$20\%=\frac{20}{100}=\frac15$$

Warto zapamiętać te trzy zamiany — pojawiają się najczęściej.

Odpowiedź: $\frac14$, $\frac12$, $\frac15$.

Sposób 1 — przez ułamek dziesiętny:

$$0{,}2\cdot300=60$$

Sposób 2 — w pamięci. $10\%$ to $30$, więc $20\%$ to $60$.

Odpowiedź: $60$.

Dzielimy część przez całość i zamieniamy na procent:

$$\frac{10}{50}=0{,}2=20\%$$

Odpowiedź: B. $20\%$.

Mnożymy przez $100$:

$$0{,}35=35\%$$

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

$$0{,}08=8\%$$

Uwaga: $0{,}08$ to $8\%$, a nie $80\%$ — zero po przecinku jest istotne.

Odpowiedź: $35\%$, $75\%$, $8\%$.

Dzielimy przez procent zapisany ułamkiem dziesiętnym:

$$15:0{,}3=50$$

Sprawdzenie: $30\%$ z $50$ to $15$ ✔

Odpowiedź: A. $50$.

Krok 1 — dziewczęta:

$$\frac{15}{25}=0{,}6=60\%$$

Krok 2 — chłopcy. Jest ich $25-15=10$:

$$\frac{10}{25}=0{,}4=40\%$$

Kontrola: $60\%+40\%=100\%$ ✔

Odpowiedź: dziewczęta $60\%$, chłopcy $40\%$.

Sposób 1 — mnożenie:

$$0{,}15\cdot240=36\ \text{zł}$$

Sposób 2 — w pamięci. $10\%$ to $24$ zł, $5\%$ to połowa tego, czyli $12$ zł. Razem $36$ zł.

Odpowiedź: $36$ zł.

$$\frac12=\frac{50}{100}=50\%$$

Warto znać: ćwiartka to $25\%$, jedna trzecia to około $33\%$, a całość to $100\%$.

Odpowiedź: D. $50\%$.

Procent:

$$\frac14=25\%$$

Kąt środkowy. Całe koło to $360^\circ$:

$$\frac14\cdot360^\circ=90^\circ$$

Przydatna zamiana: $1\%$ odpowiada $3{,}6^\circ$.

Odpowiedź: $25\%$ oraz $90^\circ$.

Procent większy od $100$ oznacza więcej niż całość:

$$1{,}5\cdot40=60$$

Sprawdzenie: $100\%$ to $40$, a dodatkowe $50\%$ to $20$ — razem $60$ ✔

Odpowiedź: C. $60$.

Krok 1 — jabłonie:

$$0{,}3\cdot80=24$$

Krok 2 — pozostałe:

$$80-24=56$$

Kontrola: pozostałe to $70\%$, a $0{,}7\cdot80=56$ ✔

Odpowiedź: $24$ jabłonie i $56$ innych drzew.

Krok 1 — ułamek:

$$\frac{18}{24}=\frac34$$

Krok 2 — na procenty:

$$\frac34=0{,}75=75\%$$

Odpowiedź: $75\%$.

Sposób 1 — rozszerzamy do mianownika $100$:

$$\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=35\%$$

Sposób 2 — dzielenie:

$$7:20=0{,}35=35\%$$

Odpowiedź: B. $35\%$.

Sposób 1 — dzielenie:

$$60:0{,}4=150$$

Sposób 2 — przez jedną część. Skoro $40\%$ to $60$ osób, to $10\%$ to $15$ osób, a $100\%$ to $150$ osób.

Sprawdzenie: $40\%$ ze $150$ to $60$ ✔

Odpowiedź: $150$ osób.

$$\frac{0}{a}=0=0\%$$

Uwaga: odwrotnie byłoby inaczej — nie można pytać, jakim procentem zera jest inna liczba, bo dzielenie przez zero jest niewykonalne.

Odpowiedź: A. $0\%$.

Krok 1 — procent rowerzystów:

$$100\%-45\%-30\%=25\%$$

Krok 2 — liczba uczniów:

$$0{,}25\cdot500=125$$

Kontrola. Autobusem jeździ $225$, pieszo chodzi $150$, rowerem $125$:

$$225+150+125=500 \ ✔$$

Odpowiedź: $125$ uczniów, czyli $25\%$.

Krok 1 — ilość wody:

$$0{,}4\cdot250=100\ \text{litrów}$$

Krok 2 — brakuje:

$$250-100=150\ \text{litrów}$$

Krok 3 — procent brakujący:

$$100\%-40\%=60\%$$

Kontrola: $0{,}6\cdot250=150$ ✔

Odpowiedź: jest $100$ litrów, brakuje $150$ litrów, czyli $60\%$.

Krok 1 — procent gruszek:

$$100\%-40\%-25\%-20\%=15\%$$

Krok 2 — liczba uczniów:

• jabłka: $0{,}40\cdot200=80$
• banany: $0{,}25\cdot200=50$
• truskawki: $0{,}20\cdot200=40$
• gruszki: $0{,}15\cdot200=30$

Krok 3 — kąty (procent razy $3{,}6^\circ$):

• jabłka: $144^\circ$
• banany: $90^\circ$
• truskawki: $72^\circ$
• gruszki: $54^\circ$

Kontrole: $80+50+40+30=200$ ✔ oraz $144+90+72+54=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $80$, $50$, $40$ i $30$ uczniów; kąty $144^\circ$, $90^\circ$, $72^\circ$, $54^\circ$.

Krok 1 — klasa A:

$$\frac{18}{24}=0{,}75=75\%$$

Krok 2 — klasa B:

$$\frac{21}{30}=0{,}7=70\%$$

Krok 3 — porównanie:

$$75\%>70\%$$

Dlaczego porównujemy procenty, a nie liczby. W klasie B zdało więcej osób ($21>18$), ale klasa jest liczniejsza. Procent pokazuje, jaka część klasy poradziła sobie z testem — i to jest właściwa miara przy różnych liczebnościach.

Odpowiedź: lepiej wypadła klasa A ($75\%$ wobec $70\%$).