Pola i obwody

Obwód (długość) okręgu liczymy ze wzoru:

$$L=2\pi r$$

Uwaga: $\pi r^2$ to wzór na pole koła, a nie długość okręgu. Łatwo je pomylić — długość zależy od $r$ liniowo, pole od $r^2$.

Odpowiedź: B. $2\pi r$.

Podstawiamy do wzoru:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $31{,}4$ cm.

Wzór na pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot3^2=9\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: podnosimy do kwadratu sam promień, a nie iloczyn $\pi r$. Zatem $9\pi$, a nie $(3\pi)^2$.

Odpowiedź: $9\pi$ cm² $\approx28{,}3$ cm².

Gdy dana jest średnica, wygodnie użyć wzoru $L=\pi d$:

$$L=3{,}14\cdot10=31{,}4\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: promień to $5$ cm, więc $L=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4$ cm ✔

Odpowiedź: C. $31{,}4$ cm.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot10^2=3{,}14\cdot100=314\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $314$ cm².

Z równania $2\pi r=12\pi$ wyznaczamy promień:

$$r=\frac{12\pi}{2\pi}=6$$

Sprawdzenie: $2\pi\cdot6=12\pi$ ✔

Odpowiedź: A. $r=6$.

Krok 1 — promień z pola:

$$\pi r^2=49\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=49 \quad\Rightarrow\quad r=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — długość okręgu:

$$L=2\pi r=14\pi\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $r=7$ cm, $L=14\pi$ cm.

Krok 1 — droga na jeden obrót to długość okręgu:

$$L=\pi d=\frac{22}{7}\cdot70=220\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na metry:

$$220\ \text{cm}=2{,}2\ \text{m}$$

Dlaczego $\frac{22}{7}$: to wygodne przybliżenie $\pi$, które przy średnicy podzielnej przez $7$ daje okrągły wynik.

Odpowiedź: $2{,}2$ m.

Pole zależy od kwadratu promienia. Dla promienia $2r$:

$$P=\pi(2r)^2=4\pi r^2$$

To cztery razy więcej niż $\pi r^2$.

Uwaga: długość okręgu podwoiłaby się (zależy od $r$ liniowo), ale pole rośnie z kwadratem — dlatego cztery razy.

Odpowiedź: D. wzrośnie czterokrotnie.

Krok 1 — pole większego koła:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Krok 2 — pole mniejszego koła:

$$P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 3 — pole pierścienia to różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $16\pi$ cm².

Półkole to połowa koła, więc bierzemy połowę pola:

$$P=\frac{\pi r^2}{2}$$

Odpowiedź: B. $\frac{\pi r^2}{2}$.

Krok 1 — promień koła wpisanego. Koło dotyka wszystkich boków kwadratu, więc jego średnica równa się bokowi:

$$2r=8 \quad\Rightarrow\quad r=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $16\pi$ cm².

Krok 1 — układamy równanie:

$$2\cdot3{,}14\cdot r=18{,}84$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$6{,}28\cdot r=18{,}84$$

Krok 3 — dzielimy:

$$r=\frac{18{,}84}{6{,}28}=3\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $2\cdot3{,}14\cdot3=18{,}84$ ✔

Odpowiedź: $r=3$ cm.

$$\pi\approx3{,}14159\ldots$$

To liczba niewymierna — jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. W szkole używamy przybliżeń $3{,}14$ lub $\frac{22}{7}$.

Odpowiedź: C. $3{,}14$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6^2=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień półkola. Średnica półkola to bok kwadratu:

$$2r=6 \quad\Rightarrow\quad r=3\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole półkola:

$$P_2=\frac{\pi\cdot3^2}{2}=\frac{9\pi}{2}=4{,}5\pi\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole całej figury:

$$P=36+4{,}5\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $(36+4{,}5\pi)$ cm² $\approx50{,}1$ cm².

Ćwiartka to $\frac14$ pola całego koła:

$$P=\frac14\cdot\pi\cdot4^2=\frac14\cdot16\pi=4\pi$$

Odpowiedź: A. $4\pi$.

Krok 1 — proste odcinki. Dwa dłuższe boki prostokąta:

$$2\cdot80=160\ \text{m}$$

Krok 2 — łuki. Dwa półkola o średnicy $40$ m składają się na jeden pełny okrąg:

$$L=\pi d=3{,}14\cdot40=125{,}6\ \text{m}$$

Krok 3 — obwód całości:

$$160+125{,}6=285{,}6\ \text{m}$$

Uwaga. Krótsze boki prostokąta ($40$ m) nie należą do bieżni — w tych miejscach są półkola. Wliczamy tylko boki dłuższe.

Odpowiedź: $285{,}6$ m.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_k=10^2=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień koła wpisanego:

$$r=\frac{10}{2}=5\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_{ko}=3{,}14\cdot5^2=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole poza kołem (cztery „narożniki”):

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Interpretacja. Koło zajmuje około $78{,}5\%$ kwadratu — ten stosunek $\frac{\pi}{4}$ jest taki sam dla każdego kwadratu z wpisanym kołem.

Odpowiedź: $21{,}5$ cm².

Krok 1 — suma pól:

$$\pi\cdot6^2+\pi\cdot8^2=36\pi+64\pi=100\pi$$

Krok 2 — szukany promień. Pole nowego koła ma wynosić $100\pi$:

$$\pi R^2=100\pi \quad\Rightarrow\quad R^2=100 \quad\Rightarrow\quad R=10\ \text{cm}$$

Ciekawostka. Promienie $6$, $8$, $10$ tworzą trójkę pitagorejską: $6^2+8^2=10^2$. Dlatego pole koła o promieniu $10$ jest sumą pól kół o promieniach $6$ i $8$ — pola dodają się jak kwadraty przyprostokątnych.

Odpowiedź: $R=10$ cm.

Krok 1 — oznaczenia. Niech koło ma promień $r$. Kwadrat opisany dotyka koła wszystkimi bokami, więc jego bok równa się średnicy:

$$a=2r$$

Krok 2 — pole koła:

$$P_{ko}=\pi r^2$$

Krok 3 — pole kwadratu:

$$P_{kw}=a^2=(2r)^2=4r^2$$

Krok 4 — stosunek:

$$\frac{P_{ko}}{P_{kw}}=\frac{\pi r^2}{4r^2}=\frac{\pi}{4} \qquad ∎$$

Promień $r$ skrócił się — stosunek zależy tylko od $\pi$, więc jest stały i wynosi około $0{,}785$.

Sprawdzenie dla $r=5$: pole koła $25\pi\approx78{,}5$, pole kwadratu $100$, stosunek $0{,}785$ ✔

Średnica to podwojony promień:

$$d=2r=2\cdot5=10\ \text{cm}$$

Odpowiedź: B. $10$ cm.

$$L=2\pi r=2\pi\cdot7=14\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: przy $\pi\approx3{,}14$ daje to około $43{,}96$ cm.

Odpowiedź: $14\pi$ cm.

$$P=\pi r^2=\pi\cdot9=9\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: do kwadratu podnosimy tylko promień, nie $\pi$.

Odpowiedź: $9\pi\approx28{,}26$ cm$^2$.

Okrąg to zbiór punktów oddalonych od środka dokładnie o promień — sama krzywa.

Koło to okrąg razem ze wszystkimi punktami wewnątrz.

Stąd: okrąg ma długość ($L=2\pi r$), a koło ma pole ($P=\pi r^2$).

Odpowiedź: C. okrąg to sama linia, koło to linia razem z wnętrzem.

Gdy dana jest średnica, korzystamy ze wzoru $L=\pi d$:

$$L=\pi\cdot10=10\pi\ \text{cm}\approx31{,}4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $10\pi$ cm.

Krok 1 — promień:

$$r=8:2=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\ \text{cm}^2$$

Pułapka: wstawienie średnicy zamiast promienia daje $64\pi$ — wynik czterokrotnie za duży.

Odpowiedź: A. $16\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — promień z długości:

$$2\pi r=18\pi \quad\Rightarrow\quad r=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole koła:

$$P=\pi\cdot81=81\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $r=9$ cm, $P=81\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — jeden obrót to długość okręgu:

$$L=\pi d\approx3{,}14\cdot70=219{,}8\ \text{cm}$$

Krok 2 — sto obrotów:

$$100\cdot219{,}8=21\,980\ \text{cm}$$

Krok 3 — zamiana na metry:

$$21\,980:100=219{,}8\ \text{m}$$

Odpowiedź: około $220$ m.

Pole całego koła to $\pi\cdot36=36\pi$ cm$^2$, a półkole to jego połowa:

$$P=\frac{36\pi}{2}=18\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: D. $18\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — promień:

$$\pi r^2=49\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=49 \quad\Rightarrow\quad r=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — długość okręgu:

$$L=2\pi\cdot7=14\pi\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $r=7$ cm, $L=14\pi$ cm.

Pole zależy od kwadratu promienia:

$$P_{\text{nowe}}=\pi(2r)^2=4\pi r^2=4P$$

Dla porównania: długość okręgu $L=2\pi r$ zależy od promienia liniowo, więc ona akurat się podwoi.

Odpowiedź: B. wzrośnie czterokrotnie.

Obrzeże to długość okręgu:

$$L=2\pi\cdot4=8\pi\approx25{,}12\ \text{m}$$

Ziemia to pole koła:

$$P=\pi\cdot16=16\pi\approx50{,}24\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: około $25{,}1$ m obrzeża i około $50{,}2$ m$^2$ ziemi.

Od pola większego koła odejmujemy pole mniejszego:

$$P=\pi\cdot5^2-\pi\cdot3^2=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie wolno liczyć $\pi(5-3)^2=4\pi$ — trzeba najpierw podnieść do kwadratu, potem odjąć.

Odpowiedź: $16\pi\approx50{,}24$ cm$^2$.

Koło wpisane dotyka wszystkich czterech boków, więc jego średnica jest równa bokowi kwadratu:

$$d=10\ \text{cm} \quad\Rightarrow\quad r=5\ \text{cm}$$

Odpowiedź: C. $5$ cm.

Krok 1 — łuk półkola to połowa długości okręgu:

$$\frac{2\pi\cdot6}{2}=6\pi\ \text{cm}$$

Krok 2 — średnica:

$$d=12\ \text{cm}$$

Krok 3 — obwód figury:

$$O=6\pi+12\approx18{,}84+12=30{,}84\ \text{cm}$$

Uwaga: obwód półkola to nie sam łuk — trzeba doliczyć odcinek zamykający figurę.

Odpowiedź: $6\pi+12\approx30{,}8$ cm.

Pole całego koła to $16\pi$ cm$^2$, a ćwiartka to jedna czwarta:

$$\frac{16\pi}{4}=4\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: A. $4\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=12\cdot12=144\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień koła wpisanego:

$$r=12:2=6\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_2=\pi\cdot36=36\pi\approx113{,}04\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — różnica:

$$P=144-113{,}04=30{,}96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: około $31$ cm$^2$.

Krok 1 — pierwszy przypadek. Koza obchodzi koło o promieniu $5$ m:

$$P_1=\pi\cdot25\approx78{,}5\ \text{m}^2$$

Krok 2 — po wydłużeniu liny:

$$P_2=\pi\cdot100\approx314\ \text{m}^2$$

Krok 3 — porównanie. Lina jest dwa razy dłuższa, ale powierzchnia wzrosła czterokrotnie:

$$\frac{314}{78{,}5}=4$$

Odpowiedź: około $78{,}5$ m$^2$, a po wydłużeniu około $314$ m$^2$.

Krok 1 — proste odcinki. To dwa dłuższe boki prostokąta:

$$2\cdot100=200\ \text{m}$$

Krok 2 — łuki. Dwa półkola o średnicy $60$ m tworzą razem pełny okrąg:

$$L=\pi\cdot60\approx188{,}4\ \text{m}$$

Krok 3 — razem:

$$200+188{,}4=388{,}4\ \text{m}$$

Uwaga: krótsze boki prostokąta nie należą do obwodu — są schowane wewnątrz figury, na styku z półkolami.

Odpowiedź: około $388{,}4$ m.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=20\cdot20=400\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole czterech kół:

$$P_2=4\cdot\pi\cdot25=100\pi\approx314\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — odpad:

$$400-314=86\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — procent:

$$\frac{86}{400}=0{,}215=21{,}5\%$$

Ciekawostka: ten wynik nie zależy od rozmiaru kwadratu — dla dowolnego kwadratu z wpisanym kołem odpad zawsze wynosi około $21{,}5\%$.

Odpowiedź: około $21{,}5\%$.

$$P=a\cdot b=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź B ($26$) to obwód, a nie pole.

Odpowiedź: C. $40$ cm$^2$.

$$O=2(a+b)=2(8+5)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $26$ cm.

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{14\cdot6}{2}=42\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $42$ cm$^2$.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź A ($31{,}4$) to długość okręgu ($2\pi r$), a nie pole koła.

Odpowiedź: B. $78{,}5$ cm$^2$.

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

$$P=a\cdot h=10\cdot4=40\ \text{cm}^2$$

Uwaga: wysokość musi być prostopadła do podstawy — to nie długość boku ukośnego.

Odpowiedź: A. $40$ cm$^2$.

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(12+8)\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{10\cdot12}{2}=60\ \text{cm}^2$$

Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez $2$ — dałoby wynik dwa razy za duży.

Odpowiedź: $60$ cm$^2$.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: D. $28$ cm.

Krok 1 — drugi bok:

$$b=\frac{72}{9}=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(9+8)=34\ \text{cm}$$

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $34$ cm.

Pole koła to $\pi r^2$, a $2\pi r$ (odpowiedź A) to długość okręgu.

Jak zapamiętać: pole zawsze zawiera kwadrat długości (bo mierzymy powierzchnię), a obwód jest liniowy.

Odpowiedź: B. $\pi r^2$.

Krok 1 — promień to połowa średnicy:

$$r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Pułapka: podstawienie średnicy zamiast promienia dałoby $144\pi$ — wynik cztery razy za duży.

Odpowiedź: $36\pi\approx113$ cm$^2$.

Przekształcamy wzór:

$$h=\frac{2P}{a}=\frac{2\cdot54}{12}=\frac{108}{12}=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{12\cdot9}{2}=54$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: wysokość $9$ cm.

Krok 1 — bok:

$$a=24:4=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: C. $36$ cm$^2$.

Krok 1 — obwód działki:

$$O=2(30+20)=100\ \text{m}$$

Krok 2 — koszt:

$$100\cdot28=2800\ \text{zł}$$

Uwaga: do ogrodzenia liczy się obwód, nie pole.

Odpowiedź: $2800$ zł.

$1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$, więc:

$$50\,000:10\,000=5\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: A. $5$ m$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{6\cdot4}{2}=12\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — suma:

$$P=36+12=48\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $48$ cm$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole koła:

$$P_2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Obserwacja: koło wpisane w kwadrat zajmuje około $78,5\%$ jego pola — na odpady zostaje niecałe $22\%$.

Odpowiedź: $21{,}5$ cm$^2$.

Krok 1 — suma sąsiednich boków:

$$2(a+b)=40 \quad\Rightarrow\quad a+b=20$$

Krok 2 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, wtedy długość $x+4$:

$$x+(x+4)=20 \quad\Rightarrow\quad 2x=16 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Krok 3 — wymiary i pole:

$$8\ \text{cm} \times 12\ \text{cm},\qquad P=96\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(8+12)=40$ cm ✔

Odpowiedź: $8$ cm na $12$ cm, pole $96$ cm$^2$.

Ścieżka to pierścień między dwoma kołami.

Krok 1 — promień zewnętrzny:

$$R=3+1=4\ \text{m}$$

Krok 2 — pola obu kół:

$$P_{zew}=\pi\cdot16=16\pi,\qquad P_{wew}=\pi\cdot9=9\pi$$

Krok 3 — pole ścieżki to różnica:

$$P=16\pi-9\pi=7\pi\approx22\ \text{m}^2$$

Uwaga: nie wystarczy pomnożyć obwodu przez szerokość — ścieżka na zewnątrz jest „szersza” w sensie pola niż prosty pasek.

Odpowiedź: $7\pi\approx22$ m$^2$.