Obliczenia praktyczne

Korzystamy ze wzoru na drogę:

$$s=v\cdot t=60\cdot3=180\ \text{km}$$

Kontrola jednostek: km/h razy godziny daje kilometry — zgadza się.

Pułapka: odpowiedź A to wynik dzielenia zamiast mnożenia.

Odpowiedź: B. $180$ km.

Przekształcamy wzór $s=v\cdot t$, dzieląc obie strony przez $t$:

$$v=\frac{s}{t}=\frac{45}{3}=15\ \text{km/h}$$

Kontrola sensu: $15$ km/h to typowa prędkość rowerzysty — wynik jest wiarygodny.

Odpowiedź: średnia prędkość wynosi $15$ km/h.

Przekształcamy wzór, dzieląc drogę przez prędkość:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{240}{80}=3\ \text{godziny}$$

Kontrola jednostek: kilometry dzielone przez km/h dają godziny — zgadza się.

Sprawdzenie: $80\cdot3=240$ km ✔

Odpowiedź: podróż zajmie $3$ godziny.

Aby zamienić km/h na m/s, dzielimy przez $3{,}6$:

$$72:3{,}6=20\ \text{m/s}$$

Skąd bierze się $3{,}6$: $1$ km $=1000$ m, a $1$ h $=3600$ s, więc $1$ km/h $=\frac{1000}{3600}$ m/s $=\frac{1}{3{,}6}$ m/s.

W drugą stronę (z m/s na km/h) mnożymy przez $3{,}6$. Sprawdzenie: $20\cdot3{,}6=72$ ✔

Odpowiedź: C. $20$ m/s.

Krok 1 — zamieniamy czas na godziny. $30$ minut to pół godziny:

$$t=2{,}5\ \text{h}$$

Krok 2 — obliczamy drogę:

$$s=4\cdot2{,}5=10\ \text{km}$$

Częsty błąd: wpisanie $2{,}30$ zamiast $2{,}5$. Czas w zapisie zegarowym trzeba najpierw zamienić na ułamek godziny — minuty dzielimy przez $60$.

Odpowiedź: pieszy pokonał $10$ km.

Krok 1 — czas podróży. Od $8{:}15$ do $11{:}15$ mijają $3$ godziny, a do $11{:}45$ jeszcze $30$ minut:

$$t=3\ \text{h}\ 30\ \text{min}=3{,}5\ \text{h}$$

Krok 2 — prędkość:

$$v=\frac{210}{3{,}5}=60\ \text{km/h}$$

Sprawdzenie: $60\cdot3{,}5=210$ km ✔

Odpowiedź: średnia prędkość to $60$ km/h.

Zamiana m/s na km/h polega na pomnożeniu przez $3{,}6$:

$$15\cdot3{,}6=54\ \text{km/h}$$

Kontrola kierunku zamiany: ta sama prędkość w km/h musi mieć większą liczbę niż w m/s, bo godzina jest znacznie dłuższa od sekundy. Wynik $4{,}2$ z odpowiedzi A jest więc na pewno błędny — powstał z dzielenia zamiast mnożenia.

Odpowiedź: D. $54$ km/h.

Uwaga: średniej prędkości nie liczy się jako średniej z prędkości. Trzeba podzielić całą drogę przez cały czas.

Krok 1 — droga na każdym odcinku:

$$s_1=70\cdot2=140\ \text{km},\qquad s_2=40\cdot1=40\ \text{km}$$

Krok 2 — łączna droga i łączny czas:

$$s=140+40=180\ \text{km},\qquad t=2+1=3\ \text{h}$$

Krok 3 — średnia prędkość:

$$v=\frac{180}{3}=60\ \text{km/h}$$

Porównanie: zwykła średnia z $70$ i $40$ dałaby $55$ km/h — wynik błędny, bo z większą prędkością motocyklista jechał dwa razy dłużej.

Odpowiedź: średnia prędkość wynosi $60$ km/h.

Krok 1 — czas przejazdu:

$$t=\frac{150}{50}=3\ \text{godziny}$$

Krok 2 — godzina przyjazdu:

$$9{:}00+3\ \text{h}=12{:}00$$

Odpowiedź: samochód dojedzie o godzinie $12{:}00$.

Ze wzoru $t=\frac{s}{v}$ widać, że czas jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości — gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje w tym samym stosunku.

Sprawdźmy na liczbach. Dla $s=120$ km:

$$v=60\ \text{km/h} \Rightarrow t=2\ \text{h},\qquad v=120\ \text{km/h} \Rightarrow t=1\ \text{h}$$

Prędkość wzrosła dwa razy, a czas zmalał dwa razy.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — prędkość w m/s:

$$v=\frac{400}{50}=8\ \text{m/s}$$

Krok 2 — zamiana na km/h (mnożymy przez $3{,}6$):

$$8\cdot3{,}6=28{,}8\ \text{km/h}$$

Kontrola sensu: blisko $29$ km/h to prędkość bardzo dobrego sprintera — wynik jest realistyczny.

Odpowiedź: $8$ m/s, czyli $28{,}8$ km/h.

Krok 1 — czas w godzinach:

$$t=\frac{60}{25}=2{,}4\ \text{h}$$

Krok 2 — zamieniamy część ułamkową na minuty. Mnożymy przez $60$:

$$0{,}4\cdot60=24\ \text{minuty}$$

Częsty błąd: zapisanie wyniku jako „$2$ godziny $40$ minut”. Zapis $2{,}4$ h to nie $2$ h $40$ min — ułamek godziny trzeba przeliczyć przez $60$, a nie przez $100$.

Odpowiedź: $2$ godziny $24$ minuty.

Krok 1 — zamiana czasu na godziny. $15$ minut to $\frac{15}{60}=0{,}25$ h:

$$t=2{,}25\ \text{h}$$

Krok 2 — prędkość:

$$v=\frac{180}{2{,}25}=80\ \text{km/h}$$

Sprawdzenie: $80\cdot2{,}25=180$ km ✔

Pułapka: podstawienie $t=2{,}15$ dałoby błędne $83{,}7$ km/h.

Odpowiedź: B. $80$ km/h.

Kluczowa obserwacja: gdy pojazdy jadą naprzeciw siebie, odległość między nimi maleje z prędkością równą sumie ich prędkości.

Krok 1 — prędkość zbliżania:

$$v=70+80=150\ \text{km/h}$$

Krok 2 — czas do spotkania:

$$t=\frac{300}{150}=2\ \text{godziny}$$

Sprawdzenie: po $2$ godzinach pierwszy przejedzie $140$ km, drugi $160$ km, a razem $140+160=300$ km ✔

Odpowiedź: spotkają się po $2$ godzinach.

Krok 1 — zamieniamy minuty na godziny:

$$20\ \text{min}=\frac{20}{60}=\frac13\ \text{h}$$

Krok 2 — obliczamy drogę:

$$s=90\cdot\frac13=30\ \text{km}$$

Sposób w pamięci: $20$ minut to trzecia część godziny, więc pociąg pokona trzecią część tego, co przejechałby przez godzinę: $90:3=30$ km.

Odpowiedź: pociąg pokona $30$ km.

Zamieniamy km/h na m/s, dzieląc przez $3{,}6$:

$$18:3{,}6=5\ \text{m/s}$$

Prędkość $5$ m/s oznacza dokładnie tyle, że w każdej sekundzie rowerzysta pokonuje $5$ metrów.

Sprawdzenie w drugą stronę: $5\cdot3{,}6=18$ km/h ✔

Odpowiedź: C. $5$ metrów.

Krok 1 — długość każdej połowy:

$$s_1=s_2=100\ \text{km}$$

Krok 2 — czas na każdym odcinku:

$$t_1=\frac{100}{100}=1\ \text{h},\qquad t_2=\frac{100}{50}=2\ \text{h}$$

Krok 3 — średnia prędkość to cała droga przez cały czas:

$$v=\frac{200}{1+2}=\frac{200}{3}\approx66{,}7\ \text{km/h}$$

Dlaczego nie $75$ km/h: zwykła średnia z $100$ i $50$ byłaby poprawna tylko wtedy, gdyby samochód jechał z każdą prędkością równie długo. Tutaj wolniejszy odcinek zajął dwa razy więcej czasu, więc ciągnie średnią w dół.

Odpowiedź: średnia prędkość to około $66{,}7$ km/h.

Krok 1 — przebyta droga. Podczas odpoczynku turysta nie pokonał żadnej drogi:

$$s=5\cdot3=15\ \text{km}$$

Krok 2 — całkowity czas obejmuje także postój:

$$t=3+1=4\ \text{h}$$

Krok 3 — średnia prędkość:

$$v=\frac{15}{4}=3{,}75\ \text{km/h}$$

Wniosek: średnia prędkość jest mniejsza od prędkości marszu, bo w mianowniku uwzględniamy czas, w którym droga nie przyrastała.

Odpowiedź: średnia prędkość wynosi $3{,}75$ km/h.

Kluczowa obserwacja: gdy pojazdy jadą w tym samym kierunku, odległość między nimi zmienia się z prędkością równą różnicy ich prędkości.

Krok 1 — prędkość zbliżania:

$$v=60-20=40\ \text{km/h}$$

Krok 2 — czas w godzinach:

$$t=\frac{2}{40}=0{,}05\ \text{h}$$

Krok 3 — zamieniamy na minuty:

$$0{,}05\cdot60=3\ \text{minuty}$$

Sprawdzenie: w ciągu $3$ minut samochód przejedzie $3$ km, a rowerzysta $1$ km — różnica $2$ km to dokładnie początkowy dystans ✔

Odpowiedź: samochód dogoni rowerzystę po $3$ minutach.

Krok 1 — droga przebyta pieszo:

$$s_1=4\cdot2=8\ \text{km}$$

Krok 2 — droga pozostała do przejechania:

$$s_2=48-8=40\ \text{km}$$

Krok 3 — czas przejazdu autokarem:

$$t_2=\frac{40}{40}=1\ \text{godzina}$$

Krok 4 — łączny czas wycieczki:

$$t=2+1=3\ \text{godziny}$$

Sprawdzenie: $8+40=48$ km ✔

Odpowiedź: autokar jechał $1$ godzinę, a cała wycieczka trwała $3$ godziny.

Mnożymy przez mianownik skali:

$$4\cdot50\,000=200\,000\ \text{cm}$$

Zamieniamy jednostki: $200\,000$ cm $=2000$ m $=2$ km.

Odpowiedź: B. $2$ km.

Mnożymy przez mianownik skali:

$$5\cdot100=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Wygodna reguła: przy skali $1:100$ centymetry na planie zamieniają się wprost na metry w rzeczywistości.

Odpowiedź: $5$ metrów.

Krok 1 — zamieniamy na centymetry:

$$6\ \text{km}=600\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$600\,000:300\,000=2\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $2$ cm.

Pełne koło to $360^\circ$ i $100\%$, więc połowa to:

$$\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$$

Pułapka: odpowiedź A myli procenty ze stopniami — to różne jednostki. Przelicznik wynosi $1\%=3{,}6^\circ$.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Obliczamy procent z liczby:

$$0{,}35\cdot400=140$$

Sposób w pamięci: $10\%$ z $400$ to $40$, więc $30\%$ to $120$, a $5\%$ to $20$ — razem $140$.

Odpowiedź: dojeżdża $140$ uczniów.

Im większa druga liczba skali, tym większe pomniejszenie. Największa z podanych to $500\,000$.

Praktycznie: mapa $1:500\,000$ pokazuje całe województwo, a plan $1:50$ — pojedynczy pokój.

Odpowiedź: A. $1:500\,000$.

Dzielimy kąt wycinka przez kąt pełny:

$$\frac{54^\circ}{360^\circ}=0{,}15=15\%$$

Sprawdzenie w drugą stronę: $0{,}15\cdot360^\circ=54^\circ$ ✔

Odpowiedź: $15\%$.

Krok 1 — mnożymy przez skalę:

$$12\cdot200=2400\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamieniamy na metry:

$$2400\ \text{cm}=24\ \text{m}$$

Kontrola sensu: $24$ m to około ośmiu pięter — wynik jest realistyczny.

Odpowiedź: $24$ metry.

Krok 1 — suma:

$$12+15+11+18+14=70$$

Krok 2 — dzielimy przez liczbę dni:

$$70:5=14$$

Pułapka: odpowiedź B to sama suma — łatwo zapomnieć o dzieleniu.

Odpowiedź: D. $14^\circ$.

Krok 1 — odczyt wartości:

$$\text{rower}=6\cdot8=48,\qquad \text{autobus}=9\cdot8=72$$

Krok 2 — różnica:

$$72-48=24$$

Szybciej: różnica to $3$ kratki, czyli $3\cdot8=24$ osoby.

Odpowiedź: rower $48$ osób, autobus $72$ osoby; autobus o $24$ osoby więcej.

Pierwsza liczba skali dotyczy rysunku, druga rzeczywistości. Skoro $5>1$, rysunek jest większy.

Zastosowanie: takich skal używa się przy bardzo drobnych elementach — trybikach zegarka, elementach elektroniki.

Odpowiedź: B. pięć razy większy.

Krok 1 — liczba uczniów:

$$0{,}25\cdot200=50$$

Krok 2 — kąt wycinka:

$$0{,}25\cdot360^\circ=90^\circ$$

Kontrola: ćwiartka uczniów to ćwiartka koła — oba wyniki są spójne.

Odpowiedź: $50$ uczniów, kąt $90^\circ$.

Krok 1 — zamieniamy na centymetry:

$$60\ \text{m}=6000\ \text{cm},\qquad 40\ \text{m}=4000\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$6000:1000=6\ \text{cm},\qquad 4000:1000=4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: na planie boisko ma $6$ cm na $4$ cm.

Wszystkie wycinki muszą sumować się do $100\%$.

Krok 1 — suma znanych:

$$30+25+20=75\%$$

Krok 2 — reszta:

$$100-75=25\%$$

Odpowiedź: C. $25\%$.

Krok 1 — przeliczamy każdy wymiar:

$$4\cdot25\,000=100\,000\ \text{cm}=1000\ \text{m}$$

$$2\cdot25\,000=50\,000\ \text{cm}=500\ \text{m}$$

Odpowiedź: jezioro ma $1000$ m na $500$ m (czyli $1$ km na pół kilometra).

Diagram kołowy pokazuje, jak całość dzieli się na części — od razu widać, która część jest największa i jaki mniej więcej ułamek stanowi.

Do czego się nie nadaje: zmiany w czasie lepiej pokazuje wykres liniowy, a porównania między grupami — diagram słupkowy.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — rzeczywista długość trasy:

$$15\cdot200\,000=3\,000\,000\ \text{cm}=30\,000\ \text{m}=30\ \text{km}$$

Krok 2 — czas przejazdu:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30}{60}=0{,}5\ \text{h}$$

Krok 3 — zamieniamy na minuty:

$$0{,}5\ \text{h}=30\ \text{minut}$$

Odpowiedź: przejazd zajmie $30$ minut.

Krok 1 — procent odpowiedzi „nie wiem”:

$$100-40-35=25\%$$

Krok 2 — liczba osób:

$$0{,}25\cdot250=62{,}5$$

Liczba osób musi być całkowita, więc wynik $62{,}5$ sygnalizuje, że podane procenty są zaokrąglone. W praktyce byłoby to $62$ lub $63$ osoby.

Warto zauważyć: takie „nieokrągłe” wyniki są w statystyce normalne — procenty na diagramach zwykle zaokrągla się do liczb całkowitych.

Odpowiedź: $25\%$, czyli około $62$–$63$ osoby.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$8\cdot500=4000\ \text{cm}=40\ \text{m}$$

$$6\cdot500=3000\ \text{cm}=30\ \text{m}$$

Krok 2 — pole:

$$P=40\cdot30=1200\ \text{m}^2$$

Ważna uwaga: pola nie mnożymy przez skalę $500$, tylko przez jej kwadrat. Pole na planie to $8\cdot6=48$ cm$^2$, a $48\cdot500^2=12\,000\,000$ cm$^2$, czyli $1200$ m$^2$ — ten sam wynik ✔

Odpowiedź: $40$ m na $30$ m, pole $1200$ m$^2$.

Krok 1 — suma:

$$120+180+150=450$$

Krok 2 — średnia miesięczna:

$$450:3=150$$

Krok 3 — wzrost procentowy lipca względem czerwca. Różnicę odnosimy do wartości początkowej:

$$\frac{180-120}{120}=\frac{60}{120}=0{,}5=50\%$$

Częsty błąd: dzielenie różnicy przez $180$ (wartość końcową) — dałoby to błędne $33\%$. Procent zmiany zawsze liczymy względem punktu wyjścia.

Odpowiedź: łącznie $450$, średnio $150$ miesięcznie, wzrost o $50\%$.

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Uwaga: $16$ to $2^4$, a $25$ to $5^2$.

Odpowiedź: C. $32$.

Krok 1 — w centymetrach:

$$3\cdot200=600\ \text{cm}$$

Krok 2 — na metry:

$$600:100=6\ \text{m}$$

Odpowiedź: $6$ m.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$3^{2+3}=3^5=243$$

Sprawdzenie wprost: $9\cdot27=243$ ✔

Odpowiedź: $243$.

Kolejność: potęga, mnożenie, odejmowanie.

$$20-3\cdot4=20-12=8$$

Pułapka: liczenie od lewej daje $(20-3)\cdot4=68$.

Odpowiedź: B. $8$.

Najzimniej był wtorek ($-2^\circ$C) — to najmniejsza z liczb.

Różnica to od najwyższej odjąć najniższą:

$$5-(-2)=7^\circ\text{C}$$

Odpowiedź: najzimniej we wtorek, różnica $7^\circ$C.

Krok 1 — obie długości w tych samych jednostkach:

$$6\ \text{km}=600\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — stosunek:

$$\frac{3}{600\,000}=\frac{1}{200\,000}$$

Odpowiedź: D. $1:200\,000$.

Potęga potęgi — wykładniki mnożymy:

$$\left(2^3\right)^2=2^6=64$$

Iloczyn potęg — wykładniki dodajemy:

$$2^3\cdot2^2=2^5=32$$

Wyjaśnienie: nawias wokół potęgi zmienia działanie na wykładnikach z dodawania na mnożenie.

Odpowiedź: $64$ oraz $32$.

Krok 1 — długość rzeczywista w centymetrach:

$$4{,}8\ \text{m}=480\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$480:24=20\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: model ma być mniejszy od oryginału — i jest ✔

Odpowiedź: $20$ cm.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$5^0=1$$

Skąd to wynika: $\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0$, a jednocześnie ten iloraz oczywiście równa się $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

Wzrost od stycznia do marca:

$$140-120=20\ \text{sztuk}$$

Najniższa sprzedaż — luty ($95$ sztuk).

Uwaga: pytanie dotyczy porównania stycznia z marcem, a nie sumy wszystkich miesięcy.

Odpowiedź: wzrost o $20$ sztuk; najniżej w lutym.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki odejmujemy:

$$4^{5-3}=4^2=16$$

Odpowiedź: C. $16$.

Krok 1 — pierwszy bok:

$$2\cdot500=1000\ \text{cm}=10\ \text{m}$$

Krok 2 — drugi bok:

$$3\cdot500=1500\ \text{cm}=15\ \text{m}$$

Odpowiedź: $10$ m na $15$ m.

Krok 1 — nawias i potęgi:

$$(3+2)^2=25,\qquad 3^2=9,\qquad 2^2=4$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$25-9-4=12$$

Wniosek: wynik nie jest zerem, bo $(a+b)^2\neq a^2+b^2$. Różnica $12$ to właśnie podwojony iloczyn $2\cdot3\cdot2$.

Odpowiedź: $12$.

Krok 1 — w centymetrach:

$$4\cdot50\,000=200\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$200\,000:100\,000=2\ \text{km}$$

Odpowiedź: B. $2$ km.

Krok 1 — suma:

$$24+27+21+28=100$$

Krok 2 — średnia:

$$100:4=25$$

Odpowiedź: $100$ uczniów, średnio $25$ na klasę.

Dodajemy wykładniki:

$$10^{2+3}=10^5=100\,000$$

Pułapka: $10^6$ powstałoby przy mnożeniu wykładników, czyli w wyrażeniu $\left(10^2\right)^3$.

Odpowiedź: D. $100\,000$.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$8\cdot100=800\ \text{cm}=8\ \text{m}$$

$$5\cdot100=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Krok 2 — powierzchnia:

$$8\cdot5=40\ \text{m}^2$$

Uwaga o polu. Na planie powierzchnia wynosi $40$ cm$^2$, a w rzeczywistości $40$ m$^2$ — czyli $400\,000$ cm$^2$. Stosunek pól to $100^2=10\,000$, a nie $100$: pole zmienia się jak kwadrat skali.

Odpowiedź: $8$ m na $5$ m, powierzchnia $40$ m$^2$.

Krok 1 — obserwacja wzoru. Po każdej godzinie liczba bakterii się podwaja:

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\dots$$

Krok 2 — zapis potęgowy. Po $n$ godzinach jest $2^n$ bakterii:

$$\text{po }3\text{ h}:\ 2^3=8$$

$$\text{po }8\text{ h}:\ 2^8=256$$

Warto zauważyć: po $10$ godzinach byłoby już $1024$ bakterie — wzrost potęgowy szybko wymyka się intuicji.

Odpowiedź: $8$ bakterii po $3$ h i $256$ po $8$ h.

Krok 1 — suma:

$$40+55+70+45=210\ \text{mm}$$

Krok 2 — średnia:

$$210:4=52{,}5\ \text{mm}$$

Krok 3 — porównanie z średnią:

• marzec $40\lt 52{,}5$ ✘
• kwiecień $55>52{,}5$ ✔
• maj $70>52{,}5$ ✔
• czerwiec $45\lt 52{,}5$ ✘

Odpowiedź: suma $210$ mm, średnia $52{,}5$ mm; średnią przekroczyły dwa miesiące.

Krok 1 — długość trasy w centymetrach:

$$14\cdot25\,000=350\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$350\,000:100\,000=3{,}5\ \text{km}$$

Krok 3 — czas:

$$t=\frac{3{,}5}{5}=0{,}7\ \text{h}$$

Krok 4 — zamiana na minuty:

$$0{,}7\cdot60=42\ \text{minuty}$$

Uwaga: $0{,}7$ godziny to $42$ minuty, a nie $70$ — czas nie dzieli się dziesiętnie.

Odpowiedź: $3{,}5$ km w $42$ minuty.