Figury na płaszczyźnie

Każdy czworokąt ma sumę kątów $360^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

$$360^\circ-(80^\circ+95^\circ+110^\circ)=360^\circ-285^\circ=75^\circ$$

Odpowiedź: $75^\circ$.

Kwadrat ma cztery kąty proste ($90^\circ$) i cztery równe boki.

Odpowiedź: B. proste.

Trapez ma jedną parę boków równoległych (podstawy). Pozostałe figury mają dwie pary.

Odpowiedź: A. trapez.

Kąty przeciwległe są równe, sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$:

$$70^\circ,\quad 110^\circ,\quad 70^\circ,\quad 110^\circ$$

Odpowiedź: $70^\circ$, $110^\circ$, $70^\circ$, $110^\circ$.

Romb ma cztery równe boki, ale kąty niekoniecznie proste.

Kwadrat to szczególny romb — z kątami prostymi.

Odpowiedź: D. wszystkie boki równe.

Krok 1 — drugi bok. Obwód to $2(a+b)$:

$$2(8+b)=26 \quad\Rightarrow\quad 8+b=13 \quad\Rightarrow\quad b=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: drugi bok $5$ cm, pole $40$ cm².

Krok 1 — kąty przy podstawie dolnej. W trapezie równoramiennym są równe: $65^\circ$ i $65^\circ$.

Krok 2 — kąty przy podstawie górnej. Kąt przy tym samym ramieniu dopełnia do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Krok 3 — wszystkie kąty: $65^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: dwa po $65^\circ$ i dwa po $115^\circ$.

W kwadracie przekątne są równe, prostopadłe i przecinają się w połowie.

Odpowiedź: C. równe i prostopadłe.

Skala $1:100$ oznacza, że $1$ cm na planie to $100$ cm w rzeczywistości.

$$4\ \text{cm}\to400\ \text{cm}=4\ \text{m}$$

$$5\ \text{cm}\to500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Odpowiedź: $4$ m na $5$ m.

W prostokącie przekątne są równe. W rombie (niekwadratowym) — różne.

Odpowiedź: A. prostokąt.

Pole rombu liczymy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $24$ cm².

Krok 1 — rzeczywista odległość w cm:

$$3\cdot50\,000=150\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na kilometry. $1$ km $=100\,000$ cm:

$$150\,000\ \text{cm}=1{,}5\ \text{km}$$

Odpowiedź: $1{,}5$ km.

Kwadrat ma wszystkie kąty proste (jak prostokąt) i wszystkie boki równe (jak romb), więc jest jednym i drugim.

Odpowiedź: B. prostokątem i rombem.

Wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(6+10)\cdot4}{2}=\frac{64}{2}=32$$

Odpowiedź: $32$.

W każdym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie (punkt przecięcia jest środkiem obu).

Uwaga: równość i prostopadłość przekątnych to cechy szczególnych równoległoboków (prostokąt, romb).

Odpowiedź: D. dzielą się na połowy.

Krok 1 — kąty sąsiednie dopełniają się do $180^\circ$. Oznaczmy je $2x$ i $3x$:

$$2x+3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 5x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 2 — kąty:

$$2x=72^\circ,\qquad 3x=108^\circ$$

Krok 3 — wszystkie cztery (przeciwległe równe):

$$72^\circ,\ 108^\circ,\ 72^\circ,\ 108^\circ$$

Sprawdzenie: $72+108+72+108=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $72^\circ$ i $108^\circ$ (po dwa).

Krok 1 — wymiary na planie. Skala $1:1000$ zmniejsza $1000$ razy:

$$30\ \text{m}=3000\ \text{cm}\to3\ \text{cm}$$

$$40\ \text{m}=4000\ \text{cm}\to4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole na planie:

$$3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Uwaga na skalę pól. Rzeczywiste pole to $30\cdot40=1200$ m². Pole na planie jest $1000^2=1\,000\,000$ razy mniejsze — skala pól to kwadrat skali długości.

Odpowiedź: $3$ cm na $4$ cm, pole $12$ cm².

Krok 1 — ramię ukośne. Tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych: wysokość $8$ i różnica podstaw $11-5=6$:

$$r=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — pole trapezu:

$$P=\frac{(5+11)\cdot8}{2}=\frac{128}{2}=64$$

Klucz. Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe (= wysokość), a ukośne liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

Odpowiedź: ramię $10$, pole $64$.

Krok 1 — własność boków. W równoległoboku bok $AB$ jest równoległy do boku $DC$, a bok $AD$ jest poprzeczną przecinającą te równoległe.

Krok 2 — kąty jednostronne. Kąty przy wierzchołkach $A$ i $D$ leżą po tej samej stronie poprzecznej między prostymi równoległymi — to kąty jednostronne wewnętrzne.

Krok 3 — twierdzenie o kątach jednostronnych. Kąty jednostronne przy prostych równoległych sumują się do $180^\circ$:

$$\angle A+\angle D=180^\circ \qquad ∎$$

Wniosek. To dlatego w równoległoboku kąty sąsiednie zawsze się dopełniają, a przeciwległe są równe.

Sprawdzenie: jeśli $\angle A=70^\circ$, to $\angle D=110^\circ$, a $70+110=180^\circ$ ✔

Obwód (długość) okręgu liczymy ze wzoru:

$$L=2\pi r$$

Uwaga: $\pi r^2$ to wzór na pole koła, a nie długość okręgu. Łatwo je pomylić — długość zależy od $r$ liniowo, pole od $r^2$.

Odpowiedź: B. $2\pi r$.

Podstawiamy do wzoru:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $31{,}4$ cm.

Wzór na pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot3^2=9\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: podnosimy do kwadratu sam promień, a nie iloczyn $\pi r$. Zatem $9\pi$, a nie $(3\pi)^2$.

Odpowiedź: $9\pi$ cm² $\approx28{,}3$ cm².

Gdy dana jest średnica, wygodnie użyć wzoru $L=\pi d$:

$$L=3{,}14\cdot10=31{,}4\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: promień to $5$ cm, więc $L=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4$ cm ✔

Odpowiedź: C. $31{,}4$ cm.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot10^2=3{,}14\cdot100=314\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $314$ cm².

Z równania $2\pi r=12\pi$ wyznaczamy promień:

$$r=\frac{12\pi}{2\pi}=6$$

Sprawdzenie: $2\pi\cdot6=12\pi$ ✔

Odpowiedź: A. $r=6$.

Krok 1 — promień z pola:

$$\pi r^2=49\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=49 \quad\Rightarrow\quad r=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — długość okręgu:

$$L=2\pi r=14\pi\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $r=7$ cm, $L=14\pi$ cm.

Krok 1 — droga na jeden obrót to długość okręgu:

$$L=\pi d=\frac{22}{7}\cdot70=220\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na metry:

$$220\ \text{cm}=2{,}2\ \text{m}$$

Dlaczego $\frac{22}{7}$: to wygodne przybliżenie $\pi$, które przy średnicy podzielnej przez $7$ daje okrągły wynik.

Odpowiedź: $2{,}2$ m.

Pole zależy od kwadratu promienia. Dla promienia $2r$:

$$P=\pi(2r)^2=4\pi r^2$$

To cztery razy więcej niż $\pi r^2$.

Uwaga: długość okręgu podwoiłaby się (zależy od $r$ liniowo), ale pole rośnie z kwadratem — dlatego cztery razy.

Odpowiedź: D. wzrośnie czterokrotnie.

Krok 1 — pole większego koła:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Krok 2 — pole mniejszego koła:

$$P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 3 — pole pierścienia to różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $16\pi$ cm².

Półkole to połowa koła, więc bierzemy połowę pola:

$$P=\frac{\pi r^2}{2}$$

Odpowiedź: B. $\frac{\pi r^2}{2}$.

Krok 1 — promień koła wpisanego. Koło dotyka wszystkich boków kwadratu, więc jego średnica równa się bokowi:

$$2r=8 \quad\Rightarrow\quad r=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $16\pi$ cm².

Krok 1 — układamy równanie:

$$2\cdot3{,}14\cdot r=18{,}84$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$6{,}28\cdot r=18{,}84$$

Krok 3 — dzielimy:

$$r=\frac{18{,}84}{6{,}28}=3\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $2\cdot3{,}14\cdot3=18{,}84$ ✔

Odpowiedź: $r=3$ cm.

$$\pi\approx3{,}14159\ldots$$

To liczba niewymierna — jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. W szkole używamy przybliżeń $3{,}14$ lub $\frac{22}{7}$.

Odpowiedź: C. $3{,}14$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6^2=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień półkola. Średnica półkola to bok kwadratu:

$$2r=6 \quad\Rightarrow\quad r=3\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole półkola:

$$P_2=\frac{\pi\cdot3^2}{2}=\frac{9\pi}{2}=4{,}5\pi\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole całej figury:

$$P=36+4{,}5\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $(36+4{,}5\pi)$ cm² $\approx50{,}1$ cm².

Ćwiartka to $\frac14$ pola całego koła:

$$P=\frac14\cdot\pi\cdot4^2=\frac14\cdot16\pi=4\pi$$

Odpowiedź: A. $4\pi$.

Krok 1 — proste odcinki. Dwa dłuższe boki prostokąta:

$$2\cdot80=160\ \text{m}$$

Krok 2 — łuki. Dwa półkola o średnicy $40$ m składają się na jeden pełny okrąg:

$$L=\pi d=3{,}14\cdot40=125{,}6\ \text{m}$$

Krok 3 — obwód całości:

$$160+125{,}6=285{,}6\ \text{m}$$

Uwaga. Krótsze boki prostokąta ($40$ m) nie należą do bieżni — w tych miejscach są półkola. Wliczamy tylko boki dłuższe.

Odpowiedź: $285{,}6$ m.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_k=10^2=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień koła wpisanego:

$$r=\frac{10}{2}=5\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_{ko}=3{,}14\cdot5^2=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole poza kołem (cztery „narożniki”):

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Interpretacja. Koło zajmuje około $78{,}5\%$ kwadratu — ten stosunek $\frac{\pi}{4}$ jest taki sam dla każdego kwadratu z wpisanym kołem.

Odpowiedź: $21{,}5$ cm².

Krok 1 — suma pól:

$$\pi\cdot6^2+\pi\cdot8^2=36\pi+64\pi=100\pi$$

Krok 2 — szukany promień. Pole nowego koła ma wynosić $100\pi$:

$$\pi R^2=100\pi \quad\Rightarrow\quad R^2=100 \quad\Rightarrow\quad R=10\ \text{cm}$$

Ciekawostka. Promienie $6$, $8$, $10$ tworzą trójkę pitagorejską: $6^2+8^2=10^2$. Dlatego pole koła o promieniu $10$ jest sumą pól kół o promieniach $6$ i $8$ — pola dodają się jak kwadraty przyprostokątnych.

Odpowiedź: $R=10$ cm.

Krok 1 — oznaczenia. Niech koło ma promień $r$. Kwadrat opisany dotyka koła wszystkimi bokami, więc jego bok równa się średnicy:

$$a=2r$$

Krok 2 — pole koła:

$$P_{ko}=\pi r^2$$

Krok 3 — pole kwadratu:

$$P_{kw}=a^2=(2r)^2=4r^2$$

Krok 4 — stosunek:

$$\frac{P_{ko}}{P_{kw}}=\frac{\pi r^2}{4r^2}=\frac{\pi}{4} \qquad ∎$$

Promień $r$ skrócił się — stosunek zależy tylko od $\pi$, więc jest stały i wynosi około $0{,}785$.

Sprawdzenie dla $r=5$: pole koła $25\pi\approx78{,}5$, pole kwadratu $100$, stosunek $0{,}785$ ✔

Suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$:

$$180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$$

Odpowiedź: C.

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. Oznaczmy je $\alpha$:

$$40^\circ+2\alpha=180^\circ$$

$$2\alpha=140^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha=70^\circ$$

Odpowiedź: oba kąty przy podstawie mają po $70^\circ$.

Kąty przyległe dopełniają się do kąta półpełnego:

$$180^\circ-115^\circ=65^\circ$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź D to kąt dopełniający do $90^\circ$ — inne pojęcie.

Jeden kąt to $90^\circ$ (prosty). Kąty ostre sumują się do $90^\circ$:

$$90^\circ-27^\circ=63^\circ$$

Odpowiedź: kąty mają $90^\circ$, $27^\circ$ i $63^\circ$.

Sprawdzenie: $90+27+63=180$. ✔

Czworokąt dzieli się przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Odpowiedź: A. Ogólnie dla $n$-kąta: $(n-2)\cdot180^\circ$.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: czwarty kąt ma $85^\circ$.

Pole:

$$P=a\cdot b=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Obwód:

$$Ob=2(a+b)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $40\ \text{cm}^2$, obwód $26$ cm.

$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot12\cdot7=42\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $42\ \text{cm}^2$.

Uwaga: wysokość musi być prostopadła do wybranej podstawy.

Romb ma równe boki, ale kąty niekoniecznie proste. Prostokąt ma kąty proste, ale boki równe tylko parami. Kwadrat spełnia oba warunki naraz.

Odpowiedź: D. Kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem.

$$l=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7$$

$$l=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $78{,}5\ \text{cm}^2$.

Pułapka: do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Przy $d=10$ najpierw policz $r=5$.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$4\ \text{cm}\cdot500=2000\ \text{cm}=20\ \text{m}$$

$$6\ \text{cm}\cdot500=3000\ \text{cm}=30\ \text{m}$$

Krok 2 — pole:

$$P=20\cdot30=600\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $20$ m na $30$ m, pole $600\ \text{m}^2$.

Uwaga: pole nie rośnie w skali $500$, lecz $500^2$ — dlatego bezpieczniej najpierw przeliczyć boki, a dopiero potem liczyć pole.

Kąt rozwarty ma miarę większą od $90^\circ$ i mniejszą od $180^\circ$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — bok (kwadrat ma cztery równe boki):

$$a=\frac{36}{4}=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=a^2=81\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: bok $9$ cm, pole $81\ \text{cm}^2$.

Oznaczmy kąty jako $x$, $2x$, $3x$:

$$x+2x+3x=180^\circ$$

$$6x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=30^\circ$$

Odpowiedź: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ — to trójkąt prostokątny.

Osiami są proste przechodzące przez środki przeciwległych boków — są dwie. Przekątne prostokąta nie są osiami symetrii.

Odpowiedź: A. Kwadrat ma ich cztery, bo dochodzą jeszcze przekątne.

Przekształcamy wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a+b}$$

$$h=\frac{2\cdot48}{16}=\frac{96}{16}=6\ \text{cm}$$

Odpowiedź: wysokość wynosi $6$ cm.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Krok 1 — obwód (siatka):

$$Ob=2(15+20)=70\ \text{m}$$

Krok 2 — pole (trawa):

$$P=15\cdot20=300\ \text{m}^2$$

Krok 3 — koszt:

$$300\cdot12=3600\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $70$ m siatki, trawa za $3600$ zł.

Wskazówka: ogrodzenie liczymy z obwodu, a pokrycie powierzchni z pola — to najczęstsze pomylenie w zadaniach praktycznych.

Krok 1 — oznaczenie. Niech kąt przyległy ma miarę $x$, wtedy $\alpha=3x$.

Krok 2 — równanie (kąty przyległe dają $180^\circ$):

$$x+3x=180^\circ$$

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Odpowiedź: kąty mają $45^\circ$ i $135^\circ$.

Sprawdzenie: $135=3\cdot45$ oraz $45+135=180$. ✔

Czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Ogólnie: suma kątów $n$-kąta to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-35^\circ-85^\circ=60^\circ$$

Krok 2 — rodzaj. Wszystkie kąty ($35^\circ$, $60^\circ$, $85^\circ$) są mniejsze od $90^\circ$, więc trójkąt jest ostrokątny.

Odpowiedź: $60^\circ$; trójkąt ostrokątny.

$$360^\circ-90^\circ-75^\circ-110^\circ=85^\circ$$

Odpowiedź: $85^\circ$.

W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie (przy tym samym boku) dopełniają się do $180^\circ$.

Pozostałe zdania opisują szczególne przypadki: równe kąty ma prostokąt, równe przekątne — również prostokąt, a równe boki — romb.

Odpowiedź: A. kąty leżące przy tym samym boku sumują się do $180^\circ$.

Cyrkiel — służy do kreślenia okręgów i odmierzania odcinków równej długości.

Kątomierz — służy do mierzenia i odmierzania kątów w stopniach.

Uwaga: w klasycznych konstrukcjach geometrycznych używa się wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki.

Odpowiedź: okrąg — cyrklem, kąty — kątomierzem.

$$S=(n-2)\cdot180^\circ=(8-2)\cdot180^\circ=6\cdot180^\circ=1080^\circ$$

Odpowiedź: D. $1080^\circ$.

Krok 1 — drugi kąt przy dłuższej podstawie. W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równe:

$$65^\circ$$

Krok 2 — kąty przy krótszej podstawie. Kąty przy ramieniu dopełniają się do $180^\circ$:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Sprawdzenie: $65+65+115+115=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $65^\circ$, $115^\circ$, $115^\circ$.

Krok 1 — suma kątów:

$$(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt. W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe:

$$720^\circ:6=120^\circ$$

Odpowiedź: $120^\circ$.

Symetralna przecina odcinek w połowie pod kątem prostym. Każdy jej punkt jest jednakowo oddalony od obu końców odcinka.

Uwaga: odpowiedź C opisuje dwusieczną kąta — to inna konstrukcja.

Odpowiedź: B. przechodzi przez środek odcinka i jest do niego prostopadła.

Krok 1 — suma kątów przy podstawie:

$$180^\circ-40^\circ=140^\circ$$

Krok 2 — są równe, więc dzielimy na pół:

$$140^\circ:2=70^\circ$$

Sprawdzenie: $40+70+70=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: po $70^\circ$.

Romb ma przekątne, które przecinają się w połowie i pod kątem prostym.

Dla porównania: w prostokącie przekątne dzielą się na połowy, ale nie są prostopadłe; w deltoidzie są prostopadłe, ale tylko jedna dzieli drugą na połowy.

Odpowiedź: C. romb.

Krok 1 — podział. Kąt $\beta$ to $1$ część, $\alpha$ to $3$ części, razem $4$ części. Kąty przyległe dają $180^\circ$:

$$180^\circ:4=45^\circ$$

Krok 2 — miary:

$$\beta=45^\circ,\qquad \alpha=3\cdot45^\circ=135^\circ$$

Sprawdzenie: $45+135=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $\alpha=135^\circ$, $\beta=45^\circ$.

Krok 1. Rozwieramy cyrkiel na promień większy niż połowa odcinka $AB$.

Krok 2. Z punktu $A$ kreślimy łuk nad i pod odcinkiem.

Krok 3. Tym samym rozwarciem kreślimy łuki z punktu $B$.

Krok 4. Łuki przecinają się w dwóch punktach — łączymy je linijką.

Dlaczego to działa: oba punkty przecięcia są jednakowo oddalone od $A$ i od $B$, a zbiór takich punktów to właśnie symetralna.

Odpowiedź: dwa łuki tym samym rozwarciem z obu końców, prosta przez punkty ich przecięcia.

Kąt zewnętrzny dopełnia kąt wewnętrzny do $180^\circ$, a suma wszystkich trzech kątów też wynosi $180^\circ$ — stąd równość.

Przykład: w trójkącie o kątach $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ kąt zewnętrzny przy wierzchołku z $70^\circ$ wynosi $110^\circ=50^\circ+60^\circ$ ✔

Odpowiedź: A. sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

Krok 1 — liczba części:

$$2+3+4=9$$

Krok 2 — jedna część:

$$180^\circ:9=20^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$2\cdot20^\circ=40^\circ,\qquad 3\cdot20^\circ=60^\circ,\qquad 4\cdot20^\circ=80^\circ$$

Sprawdzenie: $40+60+80=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$.

Z każdego z $5$ wierzchołków wychodzą przekątne do $2$ niesąsiednich wierzchołków:

$$\frac{5\cdot2}{2}=5$$

Dzielimy przez $2$, bo każdą przekątną policzyliśmy dwukrotnie — z obu końców.

Odpowiedź: D. $5$.

Kąt odpowiadający — leży po tej samej stronie prostej tnącej, w tym samym położeniu przy drugiej prostej. Jest równy:

$$58^\circ$$

Kąt naprzemianległy wewnętrzny — po przeciwnych stronach prostej tnącej. Również równy:

$$58^\circ$$

Kąt przyległy — dopełnia do kąta półpełnego:

$$180^\circ-58^\circ=122^\circ$$

Podsumowanie: przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią powstają tylko dwie różne miary kątów — tutaj $58^\circ$ i $122^\circ$.

Odpowiedź: odpowiadający $58^\circ$, naprzemianległy $58^\circ$, przyległy $122^\circ$.

Krok 1 — kąt przeciwległy jest równy:

$$110^\circ$$

Krok 2 — kąty sąsiednie dopełniają do $180^\circ$:

$$180^\circ-110^\circ=70^\circ$$

Takich kątów są dwa.

Krok 3 — kontrola sumy:

$$110+110+70+70=360^\circ \ ✔$$

Odpowiedź: $110^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$.

Krok 1 — suma kątów wewnętrznych:

$$(12-2)\cdot180^\circ=1800^\circ$$

Krok 2 — jeden kąt wewnętrzny:

$$1800^\circ:12=150^\circ$$

Krok 3 — kąt zewnętrzny:

$$180^\circ-150^\circ=30^\circ$$

Kontrola inną drogą: suma kątów zewnętrznych każdego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$, więc dla dwunastokąta foremnego $360^\circ:12=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: wewnętrzny $150^\circ$, zewnętrzny $30^\circ$.

Krok 1 — suma dwóch pozostałych kątów:

$$180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

Krok 2 — oznaczenie. Niech kąt przy $C$ to $x$, wtedy kąt przy $B$ to $x+30^\circ$:

$$x+(x+30^\circ)=110^\circ$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$2x=80^\circ \quad\Rightarrow\quad x=40^\circ$$

Krok 4 — kąty: przy $C$ jest $40^\circ$, przy $B$ jest $70^\circ$.

Sprawdzenie: $70+70+40=180^\circ$ ✔ oraz $70-40=30^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąt przy $B$ ma $70^\circ$, przy $C$ — $40^\circ$.

Średnica to podwojony promień:

$$d=2r=2\cdot5=10\ \text{cm}$$

Odpowiedź: B. $10$ cm.

$$L=2\pi r=2\pi\cdot7=14\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: przy $\pi\approx3{,}14$ daje to około $43{,}96$ cm.

Odpowiedź: $14\pi$ cm.

$$P=\pi r^2=\pi\cdot9=9\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: do kwadratu podnosimy tylko promień, nie $\pi$.

Odpowiedź: $9\pi\approx28{,}26$ cm$^2$.

Okrąg to zbiór punktów oddalonych od środka dokładnie o promień — sama krzywa.

Koło to okrąg razem ze wszystkimi punktami wewnątrz.

Stąd: okrąg ma długość ($L=2\pi r$), a koło ma pole ($P=\pi r^2$).

Odpowiedź: C. okrąg to sama linia, koło to linia razem z wnętrzem.

Gdy dana jest średnica, korzystamy ze wzoru $L=\pi d$:

$$L=\pi\cdot10=10\pi\ \text{cm}\approx31{,}4\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $10\pi$ cm.

Krok 1 — promień:

$$r=8:2=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\ \text{cm}^2$$

Pułapka: wstawienie średnicy zamiast promienia daje $64\pi$ — wynik czterokrotnie za duży.

Odpowiedź: A. $16\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — promień z długości:

$$2\pi r=18\pi \quad\Rightarrow\quad r=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole koła:

$$P=\pi\cdot81=81\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $r=9$ cm, $P=81\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — jeden obrót to długość okręgu:

$$L=\pi d\approx3{,}14\cdot70=219{,}8\ \text{cm}$$

Krok 2 — sto obrotów:

$$100\cdot219{,}8=21\,980\ \text{cm}$$

Krok 3 — zamiana na metry:

$$21\,980:100=219{,}8\ \text{m}$$

Odpowiedź: około $220$ m.

Pole całego koła to $\pi\cdot36=36\pi$ cm$^2$, a półkole to jego połowa:

$$P=\frac{36\pi}{2}=18\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: D. $18\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — promień:

$$\pi r^2=49\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=49 \quad\Rightarrow\quad r=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — długość okręgu:

$$L=2\pi\cdot7=14\pi\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $r=7$ cm, $L=14\pi$ cm.

Pole zależy od kwadratu promienia:

$$P_{\text{nowe}}=\pi(2r)^2=4\pi r^2=4P$$

Dla porównania: długość okręgu $L=2\pi r$ zależy od promienia liniowo, więc ona akurat się podwoi.

Odpowiedź: B. wzrośnie czterokrotnie.

Obrzeże to długość okręgu:

$$L=2\pi\cdot4=8\pi\approx25{,}12\ \text{m}$$

Ziemia to pole koła:

$$P=\pi\cdot16=16\pi\approx50{,}24\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: około $25{,}1$ m obrzeża i około $50{,}2$ m$^2$ ziemi.

Od pola większego koła odejmujemy pole mniejszego:

$$P=\pi\cdot5^2-\pi\cdot3^2=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie wolno liczyć $\pi(5-3)^2=4\pi$ — trzeba najpierw podnieść do kwadratu, potem odjąć.

Odpowiedź: $16\pi\approx50{,}24$ cm$^2$.

Koło wpisane dotyka wszystkich czterech boków, więc jego średnica jest równa bokowi kwadratu:

$$d=10\ \text{cm} \quad\Rightarrow\quad r=5\ \text{cm}$$

Odpowiedź: C. $5$ cm.

Krok 1 — łuk półkola to połowa długości okręgu:

$$\frac{2\pi\cdot6}{2}=6\pi\ \text{cm}$$

Krok 2 — średnica:

$$d=12\ \text{cm}$$

Krok 3 — obwód figury:

$$O=6\pi+12\approx18{,}84+12=30{,}84\ \text{cm}$$

Uwaga: obwód półkola to nie sam łuk — trzeba doliczyć odcinek zamykający figurę.

Odpowiedź: $6\pi+12\approx30{,}8$ cm.

Pole całego koła to $16\pi$ cm$^2$, a ćwiartka to jedna czwarta:

$$\frac{16\pi}{4}=4\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: A. $4\pi$ cm$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=12\cdot12=144\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień koła wpisanego:

$$r=12:2=6\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_2=\pi\cdot36=36\pi\approx113{,}04\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — różnica:

$$P=144-113{,}04=30{,}96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: około $31$ cm$^2$.

Krok 1 — pierwszy przypadek. Koza obchodzi koło o promieniu $5$ m:

$$P_1=\pi\cdot25\approx78{,}5\ \text{m}^2$$

Krok 2 — po wydłużeniu liny:

$$P_2=\pi\cdot100\approx314\ \text{m}^2$$

Krok 3 — porównanie. Lina jest dwa razy dłuższa, ale powierzchnia wzrosła czterokrotnie:

$$\frac{314}{78{,}5}=4$$

Odpowiedź: około $78{,}5$ m$^2$, a po wydłużeniu około $314$ m$^2$.

Krok 1 — proste odcinki. To dwa dłuższe boki prostokąta:

$$2\cdot100=200\ \text{m}$$

Krok 2 — łuki. Dwa półkola o średnicy $60$ m tworzą razem pełny okrąg:

$$L=\pi\cdot60\approx188{,}4\ \text{m}$$

Krok 3 — razem:

$$200+188{,}4=388{,}4\ \text{m}$$

Uwaga: krótsze boki prostokąta nie należą do obwodu — są schowane wewnątrz figury, na styku z półkolami.

Odpowiedź: około $388{,}4$ m.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=20\cdot20=400\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole czterech kół:

$$P_2=4\cdot\pi\cdot25=100\pi\approx314\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — odpad:

$$400-314=86\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — procent:

$$\frac{86}{400}=0{,}215=21{,}5\%$$

Ciekawostka: ten wynik nie zależy od rozmiaru kwadratu — dla dowolnego kwadratu z wpisanym kołem odpad zawsze wynosi około $21{,}5\%$.

Odpowiedź: około $21{,}5\%$.

$$P=a\cdot b=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź B ($26$) to obwód, a nie pole.

Odpowiedź: C. $40$ cm$^2$.

$$O=2(a+b)=2(8+5)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $26$ cm.

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{14\cdot6}{2}=42\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $42$ cm$^2$.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź A ($31{,}4$) to długość okręgu ($2\pi r$), a nie pole koła.

Odpowiedź: B. $78{,}5$ cm$^2$.

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

$$P=a\cdot h=10\cdot4=40\ \text{cm}^2$$

Uwaga: wysokość musi być prostopadła do podstawy — to nie długość boku ukośnego.

Odpowiedź: A. $40$ cm$^2$.

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(12+8)\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{10\cdot12}{2}=60\ \text{cm}^2$$

Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez $2$ — dałoby wynik dwa razy za duży.

Odpowiedź: $60$ cm$^2$.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: D. $28$ cm.

Krok 1 — drugi bok:

$$b=\frac{72}{9}=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(9+8)=34\ \text{cm}$$

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $34$ cm.

Pole koła to $\pi r^2$, a $2\pi r$ (odpowiedź A) to długość okręgu.

Jak zapamiętać: pole zawsze zawiera kwadrat długości (bo mierzymy powierzchnię), a obwód jest liniowy.

Odpowiedź: B. $\pi r^2$.

Krok 1 — promień to połowa średnicy:

$$r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Pułapka: podstawienie średnicy zamiast promienia dałoby $144\pi$ — wynik cztery razy za duży.

Odpowiedź: $36\pi\approx113$ cm$^2$.

Przekształcamy wzór:

$$h=\frac{2P}{a}=\frac{2\cdot54}{12}=\frac{108}{12}=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{12\cdot9}{2}=54$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: wysokość $9$ cm.

Krok 1 — bok:

$$a=24:4=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: C. $36$ cm$^2$.

Krok 1 — obwód działki:

$$O=2(30+20)=100\ \text{m}$$

Krok 2 — koszt:

$$100\cdot28=2800\ \text{zł}$$

Uwaga: do ogrodzenia liczy się obwód, nie pole.

Odpowiedź: $2800$ zł.

$1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$, więc:

$$50\,000:10\,000=5\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: A. $5$ m$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{6\cdot4}{2}=12\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — suma:

$$P=36+12=48\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $48$ cm$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole koła:

$$P_2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Obserwacja: koło wpisane w kwadrat zajmuje około $78,5\%$ jego pola — na odpady zostaje niecałe $22\%$.

Odpowiedź: $21{,}5$ cm$^2$.

Krok 1 — suma sąsiednich boków:

$$2(a+b)=40 \quad\Rightarrow\quad a+b=20$$

Krok 2 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, wtedy długość $x+4$:

$$x+(x+4)=20 \quad\Rightarrow\quad 2x=16 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Krok 3 — wymiary i pole:

$$8\ \text{cm} \times 12\ \text{cm},\qquad P=96\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(8+12)=40$ cm ✔

Odpowiedź: $8$ cm na $12$ cm, pole $96$ cm$^2$.

Ścieżka to pierścień między dwoma kołami.

Krok 1 — promień zewnętrzny:

$$R=3+1=4\ \text{m}$$

Krok 2 — pola obu kół:

$$P_{zew}=\pi\cdot16=16\pi,\qquad P_{wew}=\pi\cdot9=9\pi$$

Krok 3 — pole ścieżki to różnica:

$$P=16\pi-9\pi=7\pi\approx22\ \text{m}^2$$

Uwaga: nie wystarczy pomnożyć obwodu przez szerokość — ścieżka na zewnątrz jest „szersza” w sensie pola niż prosty pasek.

Odpowiedź: $7\pi\approx22$ m$^2$.