Ułamki zwykłe — działania

Sprowadzamy do wspólnego mianownika $6$:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Odpowiedź: C.

Najczęstszy błąd: dodanie osobno liczników i mianowników, co dałoby błędne $\frac25$.

Krok 1 — wspólny mianownik. $\mathrm{NWW}(6,4)=12$:

$$\frac{5}{6}=\frac{10}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$ (ułamek nieskracalny).

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik:

$$\frac{2\cdot9}{3\cdot10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: A.

Wskazówka: można skrócić przed mnożeniem — $\frac{2}{10}$ do $\frac{1}{5}$ i $\frac{9}{3}$ do $\frac{3}{1}$ — rachunki są wtedy prostsze.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność dzielnika:

$$\frac{3}{4}:\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$$

$$\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$$

Odpowiedź: $\frac{15}{8}=1\frac78$.

„Ułamek z liczby” oznacza mnożenie:

$$\frac{2}{5}\cdot45=\frac{2\cdot45}{5}=\frac{90}{5}=18$$

Odpowiedź: $18$.

Szybciej: $\frac15$ z $45$ to $9$, więc $\frac25$ to $2\cdot9=18$.

Najpierw zamiana na ułamek niewłaściwy:

$$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

$$\frac{3}{2}\cdot2=\frac{6}{2}=3$$

Odpowiedź: D.

Częsty błąd: pomnożenie tylko części ułamkowej i zostawienie całości bez zmian.

Potęgujemy osobno licznik i mianownik:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1^3}{2^3}=\frac{1}{8}$$

Odpowiedź: $\frac49$ oraz $\frac18$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Krok 2 — potem dodawanie:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\frac34$.

Uwaga: liczenie od lewej dałoby błędny wynik — kolejność działań obowiązuje tak samo jak przy liczbach całkowitych.

Krok 1 — ile zjedli razem:

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}$$

Krok 2 — ile zostało. Cała pizza to $1=\frac{12}{12}$:

$$\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$

Odpowiedź: zostało $\frac{5}{12}$ pizzy.

Odwrotność powstaje przez zamianę licznika z mianownikiem:

$$\frac{4}{7}\cdot\frac{7}{4}=\frac{28}{28}=1$$

Odpowiedź: B. Iloczyn liczby i jej odwrotności zawsze wynosi $1$.

Wyznaczamy $\mathrm{NWD}(36,48)$. Rozkłady: $36=2^2\cdot3^2$, $48=2^4\cdot3$, więc $\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$.

$$\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\frac34$.

Krok 1 — pierwsze zużycie:

$$\frac{1}{3}\cdot60=20\ \text{l}$$

Zostało $60-20=40$ l.

Krok 2 — drugie zużycie (liczone od pozostałej wody):

$$\frac{1}{4}\cdot40=10\ \text{l}$$

Krok 3: $40-10=30$ l.

Odpowiedź: zostało $30$ litrów.

Pułapka: drugi ułamek dotyczy reszty, a nie początkowych $60$ litrów.

Sprowadzamy do wspólnego mianownika $24$:

$$\frac{5}{8}=\frac{15}{24},\qquad \frac{2}{3}=\frac{16}{24}$$

Ponieważ $16>15$, większa jest $\frac23$.

Odpowiedź: A.

Pierwsza zamiana:

$$3\frac{2}{5}=\frac{3\cdot5+2}{5}=\frac{17}{5}$$

Druga zamiana. Dzielimy z resztą: $17:4=4$ r. $1$:

$$\frac{17}{4}=4\frac{1}{4}$$

Odpowiedź: $\frac{17}{5}$ oraz $4\frac14$.

Metoda 1 — przez ułamki niewłaściwe:

$$\frac{7}{3}+\frac{3}{2}=\frac{14}{6}+\frac{9}{6}=\frac{23}{6}=3\frac{5}{6}$$

Metoda 2 — osobno całości i ułamki:

$$(2+1)+\left(\frac13+\frac12\right)=3+\frac{5}{6}=3\frac{5}{6}$$

Odpowiedź: $3\frac56$.

Dzielenie przez liczbę całkowitą to mnożenie przez jej odwrotność:

$$\frac{3}{7}:3=\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{3}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$$

Odpowiedź: C. Dzieląc ułamek przez liczbę całkowitą, mianownik rośnie.

Pytamy, ile razy $\frac18$ mieści się w $\frac78$ — to dzielenie:

$$\frac{7}{8}:\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\cdot\frac{8}{1}=\frac{56}{8}=7$$

Odpowiedź: $7$ kawałków.

Sprawdzenie: $7\cdot\frac18=\frac78$. ✔

Wspólny mianownik to $30$:

$$\frac{2}{3}=\frac{20}{30},\qquad \frac{3}{5}=\frac{18}{30},\qquad \frac{7}{10}=\frac{21}{30}$$

Porządkujemy liczniki: $18\lt 20\lt 21$.

Odpowiedź: $\frac{3}{5}\lt \frac{2}{3}\lt \frac{7}{10}$.

Pole:

$$P=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\ \text{m}^2$$

Obwód:

$$Ob=2\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}\right)=2\left(\frac{9}{12}+\frac{8}{12}\right)=2\cdot\frac{17}{12}=\frac{34}{12}=\frac{17}{6}=2\frac{5}{6}\ \text{m}$$

Odpowiedź: pole $\frac12\ \text{m}^2$, obwód $2\frac56$ m.

Krok 1 — jaką część stanowią chłopcy:

$$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$$

Krok 2 — całość. Skoro $\frac35$ klasy to $18$ osób, to $\frac15$ to:

$$18:3=6$$

Zatem cała klasa ($\frac55$) liczy $5\cdot6=30$ osób.

Odpowiedź: $30$ uczniów.

Sprawdzenie: dziewczynek $\frac25\cdot30=12$, chłopców $30-12=18$. ✔

Wspólny mianownik to $6$:

$$\frac13=\frac26,\qquad \frac26+\frac16=\frac36=\frac12$$

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Wspólny mianownik dla $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac23=\frac{8}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

$$\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{11}{12}$.

Wspólny mianownik dla $4$ i $6$ to $12$:

$$\frac34=\frac{9}{12},\qquad \frac16=\frac{2}{12}$$

$$\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Ułamki mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik:

$$\frac25\cdot\frac37=\frac{2\cdot3}{5\cdot7}=\frac{6}{35}$$

Uwaga: przy mnożeniu nie szukamy wspólnego mianownika — to błąd przenoszony z dodawania.

Odpowiedź: B. $\frac{6}{35}$.

Skracamy przed mnożeniem: $4$ z $8$ (przez $4$) i $3$ z $9$ (przez $3$):

$$\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$

Sprawdzenie bez skracania: $\frac{12}{72}=\frac16$ ✔

Odpowiedź: $\frac16$.

Dzielenie to mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka:

$$\frac35:\frac27=\frac35\cdot\frac72=\frac{21}{10}=2\frac{1}{10}$$

Odpowiedź: D. $\frac{21}{10}$.

Mnożymy przez odwrotność:

$$\frac56:\frac{5}{12}=\frac56\cdot\frac{12}{5}$$

Skracamy piątki i $12$ z $6$:

$$\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}=2$$

Odpowiedź: $2$.

Wspólny mianownik dla $2$, $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac12=\frac{6}{12},\qquad \frac23=\frac{8}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

$$\frac{6}{12}+\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{11}{12}$.

„Ułamek z liczby” to mnożenie:

$$\frac34\cdot20=\frac{60}{4}=15$$

Szybciej: $20:4=5$, potem $5\cdot3=15$.

Odpowiedź: A. $15$.

Krok 1 — zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:

$$2\frac12=\frac52$$

Krok 2 — mnożymy, skracając:

$$\frac52\cdot\frac45=\frac{1}{1}\cdot\frac{4}{2}=\frac42=2$$

Uwaga: liczbę mieszaną trzeba najpierw zamienić — nie mnożymy osobno całości i ułamka.

Odpowiedź: $2$.

Sprowadzamy do wspólnego mianownika $40$:

$$\frac12=\frac{20}{40},\quad \frac25=\frac{16}{40},\quad \frac34=\frac{30}{40},\quad \frac58=\frac{25}{40}$$

Największy licznik ma $\frac{30}{40}=\frac34$.

Odpowiedź: C. $\frac34$.

Kolejność: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie (skracamy $9$ z $3$ i $2$ z $10$):

$$\frac23\cdot\frac{9}{10}=\frac{3}{5}$$

Krok 2 — dodawanie:

$$\frac35+\frac15=\frac45$$

Odpowiedź: $\frac45$.

Odejmujemy na wspólnym mianowniku $6$:

$$\frac56-\frac13=\frac56-\frac26=\frac36=\frac12$$

Odpowiedź: zostało $\frac12$ metra wstążki.

Wspólny mianownik to $8$:

$$\frac12=\frac48,\qquad \frac78-\frac48=\frac38$$

Odpowiedź: B. $\frac38$.

Krok 1 — nawias (wspólny mianownik $6$):

$$\frac12+\frac13=\frac36+\frac26=\frac56$$

Krok 2 — dzielenie:

$$\frac56:\frac56=\frac56\cdot\frac65=1$$

Odpowiedź: $1$.

Odwrotność ułamka powstaje przez zamianę licznika z mianownikiem:

$$\frac37 \ \longrightarrow \ \frac73$$

Sprawdzenie: iloczyn liczby i jej odwrotności to $1$: $\frac37\cdot\frac73=1$ ✔

Nie mylić z liczbą przeciwną ($-\frac37$) — to co innego.

Odpowiedź: D. $\frac73$.

Krok 1 — ile przeczytał (wspólny mianownik $15$):

$$\frac25+\frac13=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$$

Krok 2 — ile zostało:

$$1-\frac{11}{15}=\frac{15}{15}-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$$

Odpowiedź: przeczytał $\frac{11}{15}$, zostało $\frac{4}{15}$.

Krok 1 — całości: $1+2=3$.

Krok 2 — ułamki (wspólny mianownik $6$):

$$\frac12+\frac23=\frac36+\frac46=\frac76=1\frac16$$

Krok 3 — łączymy. Część ułamkowa wyszła większa od $1$, więc dodajemy całość:

$$3+1\frac16=4\frac16$$

Odpowiedź: $4\frac16$.

Mnożymy ilość na porcję przez liczbę porcji:

$$\frac34\cdot3=\frac{9}{4}=2\frac14$$

Interpretacja: potrzeba $2\frac14$ szklanki, czyli dwie pełne szklanki i jeszcze ćwiartka.

Odpowiedź: $\frac94=2\frac14$ szklanki.

Kolejność: najpierw mnożenie i dzielenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie (skracamy trójki):

$$\frac23\cdot\frac34=\frac{2}{4}=\frac12$$

Krok 2 — dzielenie (mnożymy przez odwrotność):

$$\frac56:\frac53=\frac56\cdot\frac35=\frac{3}{6}=\frac12$$

Krok 3 — dodawanie:

$$\frac12+\frac12=1$$

Odpowiedź: $1$.

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik:

$$\frac{2\cdot3}{3\cdot5}=\frac{6}{15}=\frac25$$

Sprytniej: trójki można skrócić przed mnożeniem — wtedy od razu wychodzi $\frac25$.

Odpowiedź: B. $\frac25$.

Sposób 1 — przez jedną część:

$$20:4=5,\qquad 3\cdot5=15$$

Sposób 2 — mnożenie:

$$\frac34\cdot20=\frac{60}{4}=15$$

Zapamiętaj: słowo „z" w takich zadaniach oznacza mnożenie.

Odpowiedź: $15$.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność dzielnika:

$$\frac45\cdot\frac32=\frac{12}{10}=\frac65=1\frac15$$

Odpowiedź: $\frac65$, czyli $1\frac15$.

$$\frac{1\cdot1}{2\cdot3}=\frac16$$

Obrazowo: połowa z jednej trzeciej tortu to jedna szósta tortu — iloczyn ułamków właściwych jest zawsze mniejszy od każdego z nich.

Odpowiedź: C. $\frac16$.

Liczbę całkowitą zapisujemy jako ułamek o mianowniku $1$:

$$\frac27\cdot\frac{14}{1}=\frac{28}{7}=4$$

Szybciej: $14:7=2$, a $2\cdot2=4$.

Odpowiedź: $4$.

Odwrotność powstaje przez zamianę licznika z mianownikiem:

$$\frac38 \ \to\ \frac83$$

Sprawdzenie: iloczyn liczby i jej odwrotności zawsze wynosi $1$ — tutaj $\frac38\cdot\frac83=\frac{24}{24}=1$ ✔

Odpowiedź: A. $\frac83$.

Krok 1 — skracamy na krzyż. Piątkę z $10$ oraz trójkę z $6$:

$$\frac{\cancel{5}^{\,1}}{\cancel{6}^{\,2}}\cdot\frac{\cancel{3}^{\,1}}{\cancel{10}^{\,2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$$

Krok 2 — mnożymy:

$$\frac14$$

Kontrola bez skracania: $\frac{15}{60}=\frac14$ ✔ — skracanie wcześniej oszczędza pracy.

Odpowiedź: $\frac14$.

Rachunek:

$$6\cdot\frac32=\frac{18}{2}=9$$

Dlaczego wynik rośnie. Pytamy, ile razy $\frac23$ mieści się w $6$. Skoro $\frac23$ jest mniejsze od $1$, zmieści się więcej niż $6$ razy.

Reguła: dzielenie przez ułamek mniejszy od jedynki zawsze powiększa wynik.

Odpowiedź: $9$.

Słowo „z" oznacza mnożenie:

$$\frac14\cdot\frac12=\frac18$$

Obrazowo: ćwiartka połowy tortu to jedna ósma całego tortu.

Odpowiedź: D. $\frac18$.

Krok 1 — zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:

$$2\frac12=\frac{2\cdot2+1}{2}=\frac52$$

Krok 2 — mnożymy ze skracaniem:

$$\frac52\cdot\frac45=\frac{20}{10}=2$$

Uwaga: liczby mieszanej nie wolno mnożyć „częściami" — najpierw zamiana na ułamek niewłaściwy.

Odpowiedź: $2$.

Dzielimy przez $3$, czyli mnożymy przez $\frac13$:

$$\frac35\cdot\frac13=\frac{3}{15}=\frac15$$

Uwaga: $\frac{3}{15}$ jest liczbowo poprawne, ale nieskrócone.

Odpowiedź: B. $\frac15$.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$\frac37\cdot28=\frac{84}{7}=12$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$28-12=16$$

Kontrola: chłopcy to $\frac47$ klasy, a $\frac47\cdot28=16$ ✔

Odpowiedź: $16$ chłopców.

Mnożymy przez odwrotność:

$$\frac78\cdot\frac47=\frac{28}{56}=\frac12$$

Sprytniej ze skracaniem: siódemki się skracają, a $\frac48=\frac12$.

Odpowiedź: $\frac12$.

$$\frac{2\cdot3}{3\cdot2}=\frac66=1$$

To odwrotności — ich iloczyn zawsze wynosi $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — najpierw mnożenie (ma pierwszeństwo):

$$\frac13\cdot\frac34=\frac{3}{12}=\frac14$$

Krok 2 — dodawanie ze wspólnym mianownikiem:

$$\frac12+\frac14=\frac24+\frac14=\frac34$$

Pułapka: liczenie od lewej dałoby $\frac56\cdot\frac34=\frac58$ — wynik błędny.

Odpowiedź: $\frac34$.

Pytanie „ile razy mieści się" to dzielenie:

$$2:\frac14=2\cdot4=8$$

Sprawdzenie: osiem ćwiartek to dwie całości ✔

Odpowiedź: C. $8$ razy.

Krok 1 — zużyta mąka:

$$\frac23\cdot\frac34=\frac{6}{12}=\frac12\ \text{kg}$$

Krok 2 — reszta:

$$\frac34-\frac12=\frac34-\frac24=\frac14\ \text{kg}$$

Kontrola: zostało $\frac13$ z $\frac34$, czyli $\frac13\cdot\frac34=\frac14$ ✔

Odpowiedź: zużyto $\frac12$ kg, zostało $\frac14$ kg.

Krok 1 — rozpoznanie. Pytamy, ile razy $\frac{3}{20}$ mieści się w $\frac{9}{10}$ — to dzielenie.

Krok 2 — mnożymy przez odwrotność:

$$\frac{9}{10}:\frac{3}{20}=\frac{9}{10}\cdot\frac{20}{3}=\frac{180}{30}=6$$

Sprawdzenie: $6\cdot\frac{3}{20}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$ ✔

Odpowiedź: $6$ kawałków.

Krok 1 — pole to iloczyn boków:

$$P=\frac45\cdot\frac58$$

Krok 2 — skracamy przed mnożeniem. Piątki skracają się nawzajem, a $4$ z $8$ daje $\frac12$:

$$P=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}=\frac12\ \text{km}^2$$

Kontrola bez skracania: $\frac{20}{40}=\frac12$ ✔

Odpowiedź: $\frac12$ km$^2$.

Krok 1 — pojemność całkowita. Skoro $\frac25$ pojemności to $60$ litrów, to jedna piąta wynosi:

$$60:2=30\ \text{litrów}$$

Krok 2 — całość to pięć takich części:

$$5\cdot30=150\ \text{litrów}$$

Krok 3 — brakuje:

$$150-60=90\ \text{litrów}$$

Kontrola. Brakuje $\frac35$ pojemności, a $\frac35\cdot150=90$ ✔

Uwaga na kierunek działania: mając część i szukając całości, dzielimy przez ułamek: $60:\frac25=60\cdot\frac52=150$ ✔

Odpowiedź: zbiornik mieści $150$ litrów, brakuje $90$ litrów.