Pola figur

Pole prostokąta to iloczyn długości jego boków:

$$P=a\cdot b=7\cdot4=28$$

Pułapka: odpowiedź A ($22$ cm) to obwód, a nie pole. Pole podajemy zawsze w jednostkach kwadratowych.

Odpowiedź: B. $28$ cm$^2$.

Pole równoległoboku liczymy jak pole prostokąta — podstawa razy wysokość:

$$P=a\cdot h=9\cdot5=45$$

Dlaczego tak? Odcinając z równoległoboku trójkąt z jednej strony i doklejając go z drugiej, otrzymujemy prostokąt o tej samej podstawie i wysokości.

Uwaga: wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, a nie długość boku ukośnego.

Odpowiedź: $45$ cm$^2$.

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{12\cdot6}{2}=\frac{72}{2}=36$$

Skąd dzielenie przez 2: dwa jednakowe trójkąty składają się dokładnie w równoległobok o tej samej podstawie i wysokości.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

W trapezie dwie podstawy mają różne długości, więc bierzemy ich sumę i dzielimy przez dwa — czyli używamy ich średniej:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

Sprawdzenie sensu wzoru: gdy $a=b$, trapez staje się równoległobokiem i wzór daje $\frac{2a\cdot h}{2}=a\cdot h$ — dokładnie tyle, ile powinien.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — sumujemy podstawy:

$$a+b=8+12=20$$

Krok 2 — podstawiamy do wzoru:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{20\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

Pole rombu obliczamy z przekątnych:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=\frac{48}{2}=24$$

Najczęstszy błąd to pominięcie dzielenia przez $2$, co daje błędne $48$ cm$^2$.

Odpowiedź: A. $24$ cm$^2$.

Wychodzimy ze wzoru na pole i przekształcamy go tak, aby wyznaczyć wysokość:

$$P=\frac{a\cdot h}{2} \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a}$$

Podstawiamy dane:

$$h=\frac{2\cdot30}{10}=\frac{60}{10}=6$$

Sprawdzenie: $\frac{10\cdot6}{2}=30$ cm$^2$. Zgadza się.

Odpowiedź: wysokość wynosi $6$ cm.

Krok 1 — długość boku. Kwadrat ma cztery równe boki:

$$a=36:4=9$$

Krok 2 — pole:

$$P=a^2=9\cdot9=81$$

Uwaga na kolejność: nie da się policzyć pola bezpośrednio z obwodu — najpierw trzeba wyznaczyć bok.

Odpowiedź: $81$ cm$^2$.

Kluczowa zależność między jednostkami pola:

$$1\ \text{m}^2=100\ \text{cm}\cdot100\ \text{cm}=10\,000\ \text{cm}^2$$

Dzielimy więc przez $10\,000$:

$$30\,000:10\,000=3$$

Pułapka: przy jednostkach pola przelicznik wynosi $10\,000$, a nie $100$ jak przy długości.

Odpowiedź: D. $3$ m$^2$.

Krok 1 — pole w metrach kwadratowych:

$$P=25\cdot16=400$$

Krok 2 — zamiana na ary:

$$400:100=4$$

Odpowiedź: pole działki to $400$ m$^2$, czyli $4$ ary.

We wzorze $P=\frac{a\cdot h}{2}$ pole jest wprost proporcjonalne do wysokości.

Sprawdźmy na liczbach. Niech $a=10$, a wysokości to $4$ i $2$:

$$P_1=\frac{10\cdot4}{2}=20,\qquad P_2=\frac{10\cdot2}{2}=10$$

Rzeczywiście $20$ to dwa razy więcej niż $10$.

Uwaga: czterokrotny wzrost pola nastąpiłby, gdyby powiększyć obie wielkości dwukrotnie.

Odpowiedź: B.

Przekształcamy wzór na pole równoległoboku:

$$P=a\cdot h \quad\Rightarrow\quad a=\frac{P}{h}$$

Podstawiamy dane:

$$a=\frac{72}{8}=9$$

Sprawdzenie: $9\cdot8=72$ cm$^2$. Zgadza się.

Odpowiedź: podstawa ma $9$ cm.

Krok 1 — pole ogrodu:

$$P=\frac{(14+10)\cdot6}{2}=\frac{24\cdot6}{2}=\frac{144}{2}=72$$

Ogród ma $72$ m$^2$.

Krok 2 — koszt:

$$72\cdot8=576$$

Odpowiedź: obsianie ogrodu kosztuje $576$ zł.

Pole prostokąta:

$$P_1=8\cdot4=32$$

Bok kwadratu o obwodzie $24$ cm:

$$a=24:4=6$$

Pole kwadratu:

$$P_2=6\cdot6=36$$

Różnica: $36-32=4$ cm$^2$ na korzyść kwadratu.

Wniosek: ten sam obwód nie oznacza tego samego pola — spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma zawsze kwadrat.

Odpowiedź: C.

Pole figury złożonej to suma pól jej części.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=10\cdot4=40$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{10\cdot3}{2}=15$$

Krok 3 — sumujemy:

$$P=40+15=55$$

Odpowiedź: $55$ cm$^2$.

Od pola całej kartki odejmujemy pole wyciętego otworu.

Krok 1 — pole kartki:

$$P_1=12\cdot12=144$$

Krok 2 — pole otworu:

$$P_2=5\cdot5=25$$

Krok 3 — różnica:

$$P=144-25=119$$

Odpowiedź: $119$ cm$^2$.

Przekształcamy wzór na pole rombu:

$$P=\frac{e\cdot f}{2} \quad\Rightarrow\quad f=\frac{2P}{e}$$

Podstawiamy dane:

$$f=\frac{2\cdot40}{10}=\frac{80}{10}=8$$

Sprawdzenie: $\frac{10\cdot8}{2}=40$ cm$^2$. Zgadza się.

Odpowiedź: A. $8$ cm.

Krok 1 — pole podłogi:

$$P=5\cdot4=20$$

Krok 2 — liczba paczek:

$$20:2=10$$

Uwaga praktyczna: gdyby wynik nie był liczbą całkowitą, trzeba by go zaokrąglić w górę — nie da się kupić części paczki.

Odpowiedź: potrzeba $10$ paczek.

Krok 1 — podstawiamy dane do wzoru:

$$60=\frac{(9+b)\cdot8}{2}$$

Krok 2 — upraszczamy prawą stronę:

$$60=(9+b)\cdot4$$

Krok 3 — dzielimy przez 4:

$$15=9+b \quad\Rightarrow\quad b=6$$

Sprawdzenie: $\frac{(9+6)\cdot8}{2}=\frac{15\cdot8}{2}=60$ cm$^2$. Zgadza się.

Odpowiedź: druga podstawa ma $6$ cm.

Krok 1 — pole całej działki:

$$P=30\cdot20=600$$

Krok 2 — pole ścieżki. Pas biegnie wzdłuż boku o długości $30$ m i ma $4$ m szerokości:

$$P_{sc}=30\cdot4=120$$

Krok 3 — pozostała część:

$$600-120=480$$

Krok 4 — jaką część stanowi ścieżka:

$$\frac{120}{600}=\frac{1}{5}$$

Sprawdzenie inną drogą: po odjęciu pasa zostaje prostokąt $30$ m na $16$ m, czyli $30\cdot16=480$ m$^2$. Zgadza się.

Odpowiedź: ścieżka ma $120$ m$^2$, reszta działki $480$ m$^2$; ścieżka to $\frac15$ całości.