Podzielność liczb

Cecha podzielności przez $9$: suma cyfr musi dzielić się przez $9$.

$$1+4+7+6=18$$

$18:9=2$, więc liczba dzieli się przez $9$.

Odpowiedź: A.

Przez 2: ostatnia cyfra $0$ jest parzysta ✔

Przez 5: ostatnia cyfra to $0$ ✔

Przez 10: ostatnia cyfra to $0$ ✔

Przez 3: suma cyfr $2+3+4+0=9$, a $9:3=3$ ✔

Przez 9: suma cyfr $=9$, a $9:9=1$ ✔

Odpowiedź: przez wszystkie pięć.

O podzielności przez $4$ decyduje liczba z dwóch ostatnich cyfr.

$$72:4=18 \checkmark$$

Pozostałe: $34$, $18$, $90$ nie dzielą się przez $4$.

Odpowiedź: C.

Liczba 60:

$$60=2\cdot30=2\cdot2\cdot15=2^2\cdot3\cdot5$$

Liczba 84:

$$84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2^2\cdot3\cdot7$$

Odpowiedź: $60=2^2\cdot3\cdot5$, $84=2^2\cdot3\cdot7$.

NWD — wspólne czynniki w najniższych potęgach:

$$\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$

NWW — wszystkie czynniki w najwyższych potęgach:

$$\mathrm{NWW}=2^2\cdot3\cdot5\cdot7=420$$

Sprawdzenie: $12\cdot420=5040$ oraz $60\cdot84=5040$. ✔

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą.

$1$ ma tylko jeden dzielnik — z definicji nie jest pierwsza. $21=3\cdot7$, $51=3\cdot17$ — obie złożone. $29$ nie dzieli się przez żadną liczbę pierwszą mniejszą od $\sqrt{29}\approx5{,}4$, czyli przez $2,3,5$.

Odpowiedź: D.

Szukamy największego wspólnego dzielnika obu liczb.

$$24=2^3\cdot3,\qquad 36=2^2\cdot3^2$$

$$\mathrm{NWD}(24,36)=2^2\cdot3=12$$

Odpowiedź: po $12$ cukierków w paczce. Ania zrobi $2$ paczki, Bartek $3$ paczki.

Rozpoznanie typu zadania: „jak największa jednakowa część” → NWD.

Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności.

$$12=2^2\cdot3,\qquad 18=2\cdot3^2$$

$$\mathrm{NWW}(12,18)=2^2\cdot3^2=36$$

Po $36$ minutach, czyli o godzinie $8:36$.

Odpowiedź: o $8:36$.

Rozpoznanie typu zadania: „kiedy znowu razem” → NWW.

Ponieważ $6=2\cdot3$, a liczby $2$ i $3$ są względnie pierwsze, potrzebne są obie podzielności jednocześnie.

Odpowiedź: B. Przykład: $16$ dzieli się przez $2$, ale nie przez $3$ — i faktycznie nie dzieli się przez $6$.

Sprawdzamy kolejne liczby naturalne:

$$12:1=12,\quad 12:2=6,\quad 12:3=4,\quad 12:4=3,\quad 12:6=2,\quad 12:12=1$$

Dzielniki: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — jest ich $6$.

Odpowiedź: $6$ dzielników.

Wskazówka: dzielniki chodzą w parach ($1\cdot12$, $2\cdot6$, $3\cdot4$), więc wystarczy sprawdzać do $\sqrt{12}\approx3{,}5$.

Sprawdzamy kolejno, odrzucając liczby złożone:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29$$

Odpowiedź: jest ich $10$.

Uwaga: $2$ to jedyna parzysta liczba pierwsza — wszystkie pozostałe parzyste dzielą się przez $2$. Liczba $1$ nie jest pierwsza.

Nie mają wspólnych dzielników poza $1$, choć same mogą być złożone — np. $8$ i $9$ są względnie pierwsze, mimo że żadna nie jest liczbą pierwszą.

Odpowiedź: A.

Suma znanych cyfr: $2+3=5$. Potrzebujemy, by $5+{*}$ dzieliło się przez $3$.

$$5+1=6 \checkmark,\qquad 5+4=9 \checkmark,\qquad 5+7=12 \checkmark$$

Odpowiedź: cyfra $1$, $4$ lub $7$ — liczby $231$, $234$, $237$.

Krok 1 — rozkłady:

$$18=2\cdot3^2,\qquad 24=2^3\cdot3,\qquad 30=2\cdot3\cdot5$$

Krok 2 — wspólne czynniki w najniższych potęgach. Wszystkie trzy liczby mają $2^1$ i $3^1$; czynnik $5$ występuje tylko w jednej.

$$\mathrm{NWD}=2\cdot3=6$$

Odpowiedź: $6$.

Krok 1 — bok płytki musi dzielić oba wymiary, a szukamy największego:

$$180=2^2\cdot3^2\cdot5,\qquad 240=2^4\cdot3\cdot5$$

$$\mathrm{NWD}=2^2\cdot3\cdot5=60\ \text{cm}$$

Krok 2 — liczba płytek:

$$\frac{180}{60}=3,\qquad \frac{240}{60}=4 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot4=12$$

Odpowiedź: płytki o boku $60$ cm, potrzeba ich $12$.

$$4=2^2,\qquad 6=2\cdot3$$

$$\mathrm{NWW}=2^2\cdot3=12$$

Odpowiedź: C. Odpowiedź B ($24$) to iloczyn $4\cdot6$ — równy NWW tylko wtedy, gdy liczby są względnie pierwsze.

Podzielność przez 5: ostatnia cyfra to $5$, więc liczba dzieli się przez $5$. ✔

Podzielność przez 9: suma cyfr wynosi

$$2+3+4+5=14$$

a $14$ nie dzieli się przez $9$ (bo $9\cdot1=9$, $9\cdot2=18$). ✘

Wniosek: liczba dzieli się przez $5$, ale nie przez $9$.

Krok 1 — wartość liczby:

$$2^3\cdot3\cdot5=8\cdot15=120$$

Krok 2 — podzielności. Wystarczy patrzeć na rozkład:

przez $2$ ✔, przez $3$ ✔, przez $4=2^2$ ✔ (jest $2^3$), przez $5$ ✔, przez $6=2\cdot3$ ✔, przez $10=2\cdot5$ ✔

przez $9=3^2$ ✘ — w rozkładzie jest tylko jedna trójka.

Odpowiedź: liczba to $120$; dzieli się przez wszystkie oprócz $9$.

Szukamy $\mathrm{NWW}(6,8,12)$.

$$6=2\cdot3,\qquad 8=2^3,\qquad 12=2^2\cdot3$$

Bierzemy najwyższe potęgi wszystkich czynników:

$$\mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$

Odpowiedź: po $24$ sekundach.

Sprawdzenie: $24:6=4$, $24:8=3$, $24:12=2$ — wszystkie całkowite. ✔

Liczba uczniów musi być wspólną wielokrotnością liczb $4$, $5$ i $6$.

$$4=2^2,\qquad 5=5,\qquad 6=2\cdot3$$

$$\mathrm{NWW}=2^2\cdot3\cdot5=60$$

Kolejne wspólne wielokrotności to $60$, $120$, $180$… Warunek „mniej niż $70$” spełnia tylko $60$.

Odpowiedź: $60$ uczniów.

Uwaga: każda wspólna wielokrotność jest wielokrotnością NWW — dlatego wystarczy sprawdzać $60, 120, 180,\ldots$

Liczba dzieli się przez $3$, gdy suma jej cyfr dzieli się przez $3$:

$$1+7+1=9,\qquad 9:3=3 \ ✔$$

Pozostałe: $1+2+4=7$, $2+0+5=7$, $3+0+8=11$ — żadna nie dzieli się przez $3$.

Odpowiedź: C. $171$.

Szukamy liczb, przez które $18$ dzieli się bez reszty. Idziemy parami:

$$1\cdot18,\qquad 2\cdot9,\qquad 3\cdot6$$

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18$$

Wskazówka: szukanie parami gwarantuje, że nic nie pominiemy — kończymy, gdy czynniki zaczną się mijać.

Odpowiedź: $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$.

Dzielimy kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze:

$$60:2=30,\quad 30:2=15,\quad 15:3=5,\quad 5:5=1$$

$$60=2^2\cdot3\cdot5$$

Odpowiedź: $60=2^2\cdot3\cdot5$.

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie.

$$21=3\cdot7,\qquad 27=3\cdot9$$

Liczba $23$ nie dzieli się przez $2$, $3$ ani $5$ — jest pierwsza.

Uwaga: $1$ nie jest liczbą pierwszą — ma tylko jeden dzielnik.

Odpowiedź: B. $23$.

Mnożymy $7$ przez kolejne liczby naturalne:

$$7,\ 14,\ 21,\ 28,\ 35$$

Odpowiedź: $7$, $14$, $21$, $28$, $35$.

Liczba dzieli się przez $2$ i przez $5$ dokładnie wtedy, gdy dzieli się przez $10$, czyli kończy się zerem.

$$180 \ ✔$$

Pozostałe: $125$ i $55$ dzielą się tylko przez $5$, a $34$ tylko przez $2$.

Odpowiedź: D. $180$.

Krok 1 — rozkłady:

$$24=2^3\cdot3,\qquad 36=2^2\cdot3^2$$

Krok 2 — wspólne czynniki w najniższych potęgach:

$$\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$

Sprawdzenie: $24:12=2$ ✔ oraz $36:12=3$ ✔

Odpowiedź: $12$.

Krok 1 — rozkłady:

$$6=2\cdot3,\qquad 8=2^3$$

Krok 2 — wszystkie czynniki w najwyższych potęgach:

$$\mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$

Sprawdzenie: $24:6=4$ ✔ oraz $24:8=3$ ✔

Odpowiedź: $24$.

Cecha podzielności przez $9$: suma cyfr musi dzielić się przez $9$.

Przykład: $918$ — suma cyfr $9+1+8=18$, a $18:9=2$, więc $918$ dzieli się przez $9$. Zauważ, że liczba nie kończy się dziewiątką.

Odpowiedź: A. suma jej cyfr dzieli się przez $9$.

Szukamy parami:

$$1\cdot36,\quad 2\cdot18,\quad 3\cdot12,\quad 4\cdot9,\quad 6\cdot6$$

$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36$$

Dzielników jest dziewięć. Liczba jest nieparzysta, bo $36$ jest kwadratem — szóstka pojawia się w parze sama ze sobą.

Odpowiedź: $9$ dzielników.

$$15=3\cdot5,\qquad 28=2^2\cdot7$$

Rozkłady nie mają wspólnego czynnika, więc:

$$\mathrm{NWD}=1$$

Takie liczby nazywamy względnie pierwszymi. Wartość $420$ to ich NWW.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — rozpoznanie. Szukamy najbliższej wspólnej wielokrotności, czyli NWW.

$$12=2^2\cdot3,\qquad 18=2\cdot3^2$$

$$\mathrm{NWW}=2^2\cdot3^2=36\ \text{minut}$$

Krok 2 — godzina:

$$8{:}00+36\ \text{min}=8{:}36$$

Sprawdzenie: $36:12=3$ kursy ✔ oraz $36:18=2$ kursy ✔

Odpowiedź: o $8{:}36$.

Krok 1 — rozkłady:

$$84=2^2\cdot3\cdot7$$

$$126=2\cdot3^2\cdot7$$

Krok 2 — wspólne czynniki w najniższych potęgach:

$$\mathrm{NWD}=2\cdot3\cdot7=42$$

Sprawdzenie: $84:42=2$ ✔ oraz $126:42=3$ ✔

Odpowiedź: NWD $=42$.

Wypisujemy:

$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19$$

To osiem liczb.

Uwaga: $1$ nie jest pierwsza, a $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Odpowiedź: B. $8$.

Krok 1 — suma znanych cyfr:

$$2+3=5$$

Krok 2 — warunek. Suma wszystkich cyfr ma dzielić się przez $9$. Najbliższa taka liczba to $9$:

$$9-5=4$$

Krok 3 — sprawdzenie innych możliwości. Kolejna suma to $18$, ale wymagałaby cyfry $13$ — niemożliwe.

Sprawdzenie: $234:9=26$ ✔

Odpowiedź: cyfra $4$, liczba $234$.

Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki.

$$51=3\cdot17$$

Suma cyfr $5+1=6$ dzieli się przez $3$ — to najszybszy sposób, by to zauważyć.

Pozostałe ($29$, $31$, $37$) są pierwsze.

Odpowiedź: D. $51$.

Krok 1 — rozpoznanie. Szukamy największej liczby dzielącej oba zestawy, czyli NWD.

$$48=2^4\cdot3,\qquad 60=2^2\cdot3\cdot5$$

$$\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$

Krok 2 — zawartość paczki:

$$48:12=4\ \text{cukierki},\qquad 60:12=5\ \text{ciastek}$$

Odpowiedź: $12$ paczek, w każdej $4$ cukierki i $5$ ciastek.

Krok 1 — rozkłady:

$$30=2\cdot3\cdot5,\qquad 45=3^2\cdot5$$

Krok 2 — NWD (wspólne, najniższe potęgi):

$$\mathrm{NWD}=3\cdot5=15$$

Krok 3 — NWW (wszystkie, najwyższe potęgi):

$$\mathrm{NWW}=2\cdot3^2\cdot5=90$$

Krok 4 — sprawdzenie własności:

$$15\cdot90=1350,\qquad 30\cdot45=1350 \ ✔$$

Ta zależność zachodzi zawsze: $\mathrm{NWD}\cdot\mathrm{NWW}=a\cdot b$. Pozwala policzyć NWW, gdy znamy już NWD.

Odpowiedź: NWD $=15$, NWW $=90$; własność jest spełniona.

Krok 1 — pierwsze wspólne miejsce to NWW:

$$6=2\cdot3,\qquad 8=2^3$$

$$\mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24\ \text{metry}$$

Krok 2 — kolejne miejsca co $24$ m:

$$24,\ 48,\ 72,\ 96$$

Kolejne byłoby $120$ — poza odcinkiem.

Uwaga: punktu startowego ($0$ m) nie liczymy, bo pytanie dotyczy miejsc po rozpoczęciu.

Odpowiedź: pierwszy raz po $24$ m; na odcinku $100$ m będą $4$ takie miejsca.

Krok 1 — przepisanie warunków. W obu przypadkach do pełnego podziału brakuje jednego:

$$n+1 \ \text{dzieli się przez } 4 \quad\text{oraz}\quad n+1 \ \text{dzieli się przez } 6$$

Krok 2 — NWW:

$$\mathrm{NWW}(4,\,6)=12$$

Krok 3 — szukana liczba:

$$n+1=12 \quad\Rightarrow\quad n=11$$

Sprawdzenie: $11:4=2$ reszty $3$ ✔ oraz $11:6=1$ reszty $5$ ✔

Kolejne rozwiązania to $23$, $35$, $47$ — co $12$.

Odpowiedź: $n=11$.