Ułamki zwykłe

Dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę — tutaj przez $3$:

$$\frac{6:3}{9:3}=\frac23$$

Zapamiętaj: skracanie nie zmienia wartości ułamka, tylko jego zapis.

Odpowiedź: C. $\frac23$.

Krok 1 — przez ile mnożymy mianownik:

$$20:5=4$$

Krok 2 — mnożymy licznik i mianownik przez $4$:

$$\frac{3\cdot4}{5\cdot4}=\frac{12}{20}$$

Odpowiedź: $\frac{12}{20}$.

Mianowniki są równe, więc porównujemy liczniki:

$$5>3 \quad\Rightarrow\quad \frac57>\frac37$$

Dlaczego tak: obie całości podzielono na tyle samo części, a w drugim ułamku bierzemy ich więcej.

Odpowiedź: $\frac57$.

Liczniki są równe, więc decyduje mianownik — ale odwrotnie niż przy licznikach.

Im większy mianownik, tym na więcej części dzielimy całość, więc każda część jest mniejsza:

$$\frac14>\frac16$$

Obrazowo: ćwiartka tortu to więcej niż jedna szósta tego samego tortu.

Odpowiedź: A. $\frac14$.

Krok 1 — szukamy największego wspólnego dzielnika. Dla $12$ i $18$ jest to $6$.

Krok 2 — dzielimy:

$$\frac{12:6}{18:6}=\frac23$$

Sprawdzenie: $2$ i $3$ nie mają już wspólnego dzielnika większego od $1$ — ułamek jest nieskracalny.

Odpowiedź: $\frac23$.

Ułamek równa się połowie, gdy licznik jest dwa razy mniejszy od mianownika:

$$\frac{5}{10}=\frac{5:5}{10:5}=\frac12$$

Pozostałe: $\frac46=\frac23$, a $\frac25$ i $\frac35$ nie skracają się do połowy.

Odpowiedź: D. $\frac{5}{10}$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejsza liczba dzieląca się przez $3$ i $4$ to $12$.

Krok 2 — rozszerzamy oba ułamki:

$$\frac23=\frac{8}{12},\qquad \frac34=\frac{9}{12}$$

Krok 3 — porównujemy liczniki:

$$9>8 \quad\Rightarrow\quad \frac34>\frac23$$

Odpowiedź: $\frac34$ jest większy.

Krok 1 — wyrównujemy liczbę miejsc po przecinku. Dopisanie zera na końcu nie zmienia wartości:

$$0{,}7=0{,}70$$

Krok 2 — porównujemy:

$$0{,}70>0{,}65$$

Częsty błąd: uznanie $0{,}65$ za większe, bo „ma więcej cyfr”. Liczba cyfr po przecinku nie decyduje o wielkości.

Odpowiedź: $0{,}7$ jest większy.

Największy wspólny dzielnik $8$ i $12$ to $4$:

$$\frac{8:4}{12:4}=\frac23$$

Uwaga: $\frac46$ jest równe $\frac23$, ale nie jest jeszcze skrócone do końca.

Odpowiedź: B. $\frac23$.

Wszystkie mają licznik $1$, więc decyduje mianownik — im większy, tym ułamek mniejszy.

Porządkujemy mianowniki malejąco: $8$, $5$, $3$, $2$.

$$\frac18\lt \frac15\lt \frac13\lt \frac12$$

Odpowiedź: $\frac18$, $\frac15$, $\frac13$, $\frac12$.

Ułamek niewłaściwy ma licznik większy lub równy mianownikowi — jego wartość jest co najmniej $1$.

$$7>4 \quad\Rightarrow\quad \frac74 \ \text{jest niewłaściwy}$$

$$\frac74=1\frac34$$

Odpowiedź: C. $\frac74$.

Krok 1 — wspólny mianownik: $12$.

Krok 2 — rozszerzamy:

$$\frac13=\frac{4}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

Krok 3 — porównanie:

$$\frac{4}{12}>\frac{3}{12} \quad\Rightarrow\quad \frac13>\frac14$$

Odpowiedź: $\frac13$ jest większy.

Krok 1 — wspólny mianownik. Sprowadzamy do ósemek:

$$\frac14=\frac{2}{8}$$

Krok 2 — porównanie:

$$\frac38>\frac28$$

Odpowiedź: więcej zjadła Ania.

Największy wspólny dzielnik $15$ i $25$ to $5$:

$$\frac{15:5}{25:5}=\frac35$$

Odpowiedź: A. $\frac35$.

Ułamek o mianowniku $10$ zapisujemy z jedną cyfrą po przecinku:

$$\frac{7}{10}=0{,}7$$

Liczba $0{,}25$ ma dwie cyfry po przecinku, więc mianownik to $100$:

$$0{,}25=\frac{25}{100}=\frac{25:25}{100:25}=\frac14$$

Odpowiedź: $0{,}7$ oraz $\frac14$.

Ułamek jest nieskracalny, gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$.

Liczby $7$ i $9$ takiego dzielnika nie mają.

Pozostałe skracają się: $\frac68=\frac34$, $\frac{9}{12}=\frac34$, $\frac{10}{15}=\frac23$.

Odpowiedź: D. $\frac79$.

Krok 1 — przez ile rozszerzamy:

$$35:5=7$$

Krok 2 — tym samym mnożymy licznik:

$$4\cdot7=28$$

$$\frac45=\frac{28}{35}$$

Dlaczego to działa: mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę to w istocie mnożenie ułamka przez $1$ zapisane jako $\frac77$ — wartość się nie zmienia.

Sprawdzenie skracaniem: $\frac{28}{35}$ podzielone przez $7$ daje z powrotem $\frac45$ ✔

Odpowiedź: licznik $28$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Szukamy liczby dzielącej się przez $3$, $6$, $2$ i $4$ — to $12$.

Krok 2 — rozszerzamy wszystkie:

$$\frac23=\frac{8}{12},\quad \frac56=\frac{10}{12},\quad \frac12=\frac{6}{12},\quad \frac34=\frac{9}{12}$$

Krok 3 — porządkujemy liczniki:

$$6\lt 8\lt 9\lt 10$$

Krok 4 — wracamy do postaci wyjściowej:

$$\frac12\lt \frac23\lt \frac34\lt \frac56$$

Odpowiedź: $\frac12$, $\frac23$, $\frac34$, $\frac56$.

Krok 1 — liczba dziewcząt. Dzielimy klasę na $5$ części po $6$ osób:

$$30:5=6,\qquad 3\cdot6=18\ \text{dziewcząt}$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$30-18=12$$

Krok 3 — jaką część stanowią:

$$\frac{12}{30}=\frac{12:6}{30:6}=\frac25$$

Kontrola: $\frac35+\frac25=\frac55=1$ ✔ — obie grupy dają całość.

Odpowiedź: $12$ chłopców, czyli $\frac25$ klasy.

Krok 1 — wspólny mianownik:

$$\frac14=\frac{2}{8},\qquad \frac12=\frac{4}{8}$$

Krok 2 — środek. Między licznikami $2$ i $4$ leży $3$:

$$\frac{3}{8}$$

Krok 3 — sprawdzenie. Ułamek $\frac38$ jest nieskracalny ($3$ i $8$ nie mają wspólnego dzielnika) oraz spełnia:

$$\frac28\lt \frac38\lt \frac48 \ ✔$$

Inna droga. Środek to średnia obu liczb:

$$\left(\frac14+\frac12\right):2=\frac34:2=\frac38 \ ✔$$

Odpowiedź: $\frac38$.

Ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika (jego wartość jest mniejsza od $1$).

Sprawdzamy: $\frac38$ ma $3\lt 8$ — jest właściwy.

Pozostałe są niewłaściwe: $\frac74$ ($7>4$), $\frac55$ ($5=5$, równy $1$), $\frac92$ ($9>2$).

Odpowiedź: C. $\frac38$.

Mnożymy całość przez mianownik i dodajemy licznik; mianownik zostaje bez zmian:

$$2\frac34=\frac{2\cdot4+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}$$

Sprawdzenie: $\frac{11}{4}=\frac{8}{4}+\frac{3}{4}=2+\frac34=2\frac34$ ✔

Odpowiedź: $\frac{11}{4}$.

Dzielimy licznik przez mianownik z resztą:

$$17:5=3 \text{ reszty } 2$$

Wynik dzielenia to część całkowita, reszta to nowy licznik:

$$\frac{17}{5}=3\frac{2}{5}$$

Sprawdzenie: $3\cdot5+2=17$ ✔

Odpowiedź: $3\frac25$.

Ułamki mają jednakowy mianownik, więc dodajemy tylko liczniki:

$$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2+3}{7}=\frac{5}{7}$$

Częsty błąd: dodanie mianowników (odpowiedź A). Mianownik pozostaje bez zmian.

Odpowiedź: B. $\frac57$.

Mianowniki są jednakowe, więc odejmujemy liczniki:

$$\frac{5}{9}-\frac{2}{9}=\frac{5-2}{9}=\frac{3}{9}$$

Skracamy przez $3$:

$$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Uwaga: wynik zawsze podajemy w postaci nieskracalnej.

Odpowiedź: $\frac13$.

Godzina ma $60$ minut. Liczymy $\frac34$ z $60$:

$$60:4=15,\qquad 15\cdot3=45$$

Czyli $\frac34$ godziny to $45$ minut.

Odpowiedź: D. $45$ min.

Godzina to $60$ minut, więc $20$ minut to:

$$\frac{20}{60}$$

Skracamy przez $20$:

$$\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$$

Odpowiedź: $\frac13$ godziny.

Wszystkie mianowniki są jednakowe, więc dodajemy liczniki:

$$\frac{3+2+1}{8}=\frac{6}{8}$$

Skracamy przez $2$:

$$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\frac34$.

Sprawdzamy, który ułamek po skróceniu daje $\frac12$:

$$\frac{4}{8}=\frac{4:4}{8:4}=\frac{1}{2}$$

Ułamki równe powstają przez pomnożenie lub podzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Tutaj $\frac48$ to $\frac12$ rozszerzone przez $4$.

Odpowiedź: A. $\frac48$.

Krok 1 — ile zjadły razem:

$$\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$$

Krok 2 — ile zostało. Cała pizza to $\frac88$:

$$\frac{8}{8}-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$$

Kontrola: zjedzone plus pozostałe to $\frac58+\frac38=\frac88=1$ — cała pizza ✔

Odpowiedź: zjadły $\frac58$ pizzy, zostało $\frac38$.

Ułamki mają ten sam mianownik, więc największy jest ten o największym liczniku:

$$\frac57>\frac47>\frac37>\frac27$$

Zasada: przy równych mianownikach porównujemy same liczniki.

Odpowiedź: C. $\frac57$.

Zapisujemy $1$ jako ułamek o mianowniku $5$:

$$1=\frac{5}{5}$$

Teraz odejmujemy:

$$\frac{5}{5}-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$$

Zasada: aby odjąć ułamek od liczby całkowitej, zamieniamy tę liczbę na ułamek o tym samym mianowniku.

Odpowiedź: $\frac25$.

Krok 1 — dodajemy całości:

$$2+1=3$$

Krok 2 — dodajemy części ułamkowe (mianowniki jednakowe):

$$\frac15+\frac25=\frac35$$

Krok 3 — łączymy:

$$3+\frac35=3\frac35$$

Odpowiedź: $3\frac35$.

Gdy licznik równa się mianownikowi, ułamek oznacza całość:

$$\frac{6}{6}=1$$

Interpretacja: to jak zjedzenie wszystkich $6$ z $6$ kawałków — czyli całości.

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — zamieniamy $3$ na ułamek pomocny do odejmowania. Wygodnie zapisać jako $2\frac33$:

$$3=2\frac33$$

Krok 2 — odejmujemy całości i ułamki osobno:

$$2\frac33-1\frac13=(2-1)+\left(\frac33-\frac13\right)=1+\frac23=1\frac23$$

Dlaczego rozkładamy $3$: bez części ułamkowej nie da się odjąć $\frac13$ — trzeba „pożyczyć” jedność i zapisać ją jako $\frac33$.

Odpowiedź: $1\frac23$.

Dzielimy licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik. Dla $8$ i $12$ jest to $4$:

$$\frac{8}{12}=\frac{8:4}{12:4}=\frac{2}{3}$$

Uwaga: $\frac46$ (odpowiedź B) też jest równy $\frac23$, ale nie jest nieskracalny — można go jeszcze skrócić przez $2$.

Odpowiedź: A. $\frac23$.

Odejmujemy ułamki o jednakowym mianowniku:

$$\frac{7}{10}-\frac{2}{10}=\frac{5}{10}$$

Skracamy przez $5$:

$$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź: wstążka ma teraz $\frac12$ metra (czyli $50$ cm).

Położenie na osi: ułamek $\frac46$ to czwarty punkt podziału, licząc od zera (cztery z sześciu części).

Skracamy przez $2$:

$$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Kontrola: $\frac46$ leży między $\frac12$ (czyli $\frac36$) a $1$, więc to ponad połowa odcinka — zgadza się z $\frac23$.

Odpowiedź: czwarty punkt podziału; po skróceniu $\frac23$.

Krok 1 — ile zostało po zjedzeniu przez Krzysia:

$$\frac{5}{8}-\frac{2}{8}=\frac{3}{8}$$

Krok 2 — liczba kawałków. Mianownik $8$ oznacza $8$ kawałków, a licznik $3$ mówi, ile zostało:

$$\frac{3}{8}\ \text{tortu}=3\ \text{kawałki}$$

Kontrola sensu: zostało $\frac38$, czyli mniej niż połowa — po zjedzeniu kolejnych kawałków to ma sens.

Odpowiedź: została $\frac38$ tortu, czyli $3$ kawałki.

Krok 1 — sprowadzamy $\frac12$ do mianownika $10$:

$$\frac12=\frac{5}{10}$$

Krok 2 — teraz wszystkie mają mianownik $10$, więc porównujemy liczniki:

$$\frac{3}{10},\ \frac{5}{10},\ \frac{7}{10},\ \frac{9}{10}$$

Krok 3 — wracamy do pierwotnego zapisu:

$$\frac{3}{10}\lt \frac12\lt \frac{7}{10}\lt \frac{9}{10}$$

Zasada: ułamki o różnych mianownikach porównujemy dopiero po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.

Odpowiedź: $\frac{3}{10},\ \frac12,\ \frac{7}{10},\ \frac{9}{10}$.

Mianownik stoi pod kreską i mówi, na ile równych części podzielono całość.

Licznik stoi nad kreską i mówi, ile tych części bierzemy.

Odpowiedź: B. mianownik.

Zjedzono:

$$\frac{5}{12}$$

Zostało:

$$\frac{12}{12}-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$$

Kontrola: $\frac{5}{12}+\frac{7}{12}=\frac{12}{12}=1$ — obie części dają cały tort ✔

Odpowiedź: zjedzono $\frac{5}{12}$, zostało $\frac{7}{12}$.

Mianowniki są jednakowe, więc dodajemy tylko liczniki:

$$\frac{3+2}{7}=\frac57$$

Najczęstszy błąd: dodanie także mianowników, co dałoby $\frac{5}{14}$ — wynik dwa razy za mały.

Odpowiedź: $\frac57$.

Ułamek niewłaściwy ma licznik większy lub równy mianownikowi — jego wartość wynosi co najmniej $1$.

$$8>5 \quad\Rightarrow\quad \frac85 \ \text{jest niewłaściwy}$$

Odpowiedź: C. $\frac85$.

Dzielimy licznik przez mianownik z resztą:

$$17:5=3 \ \text{reszty}\ 2$$

Wynik dzielenia to część całkowita, reszta zostaje licznikiem:

$$\frac{17}{5}=3\frac25$$

Odpowiedź: $3\frac25$.

Gdy licznik równa się mianownikowi, ułamek przedstawia całość:

$$\frac66=1$$

Obrazowo: sześć z sześciu kawałków to cały tort.

Odpowiedź: A. $1$.

Mnożymy całość przez mianownik i dodajemy licznik:

$$4\frac23=\frac{4\cdot3+2}{3}=\frac{14}{3}$$

Sprawdzenie w drugą stronę: $14:3=4$ reszty $2$ ✔

Odpowiedź: $\frac{14}{3}$.

Krok 1 — zamieniamy jedynkę na ułamek o tym samym mianowniku:

$$1=\frac88$$

Krok 2 — odejmujemy:

$$\frac88-\frac38=\frac58$$

Odpowiedź: $\frac58$.

Godzina ma $60$ minut:

$$\frac{20}{60}=\frac13$$

Warto znać: $30$ min to $\frac12$ godziny, $15$ min to $\frac14$, a $20$ min to $\frac13$.

Odpowiedź: D. $\frac13$.

Krok 1 — odejmujemy liczniki:

$$\frac{9-4}{10}=\frac{5}{10}$$

Krok 2 — skracamy przez $5$:

$$\frac{5}{10}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Liczba mieszana to skrócony zapis sumy całości i ułamka:

$$2\frac34=2+\frac34=\frac{11}{4}$$

Uwaga: $2\cdot\frac34=\frac32$ to zupełnie inna liczba.

Odpowiedź: B. $2+\frac34$.

Krok 1 — razem:

$$\frac29+\frac49=\frac69=\frac23$$

Krok 2 — zostało:

$$\frac99-\frac69=\frac39=\frac13$$

Kontrola: $\frac23+\frac13=1$ ✔

Odpowiedź: zjedli $\frac23$, zostało $\frac13$.

Sposób 1 — osobno całości i ułamki:

$$(2+1)+\left(\frac15+\frac25\right)=3+\frac35=3\frac35$$

Sposób 2 — przez ułamki niewłaściwe:

$$\frac{11}{5}+\frac{7}{5}=\frac{18}{5}=3\frac35 \ ✔$$

Odpowiedź: $3\frac35$.

Ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika, a jego wartość jest mniejsza od $1$.

$$3\lt 8 \quad\Rightarrow\quad \frac38 \ \text{jest właściwy}$$

Uwaga: $\frac77=1$ nie jest ułamkiem właściwym — licznik równa się mianownikowi.

Odpowiedź: C. $\frac38$.

Krok 1 — jedna piąta:

$$30:5=6$$

Krok 2 — dwie piąte:

$$2\cdot6=12$$

Zapamiętaj kolejność: najpierw dzielimy przez mianownik, potem mnożymy przez licznik.

Odpowiedź: $12$.

Zero części z dziewięciu to nic:

$$\frac09=0$$

Uwaga na różnicę: $\frac{9}{0}$ nie istnieje, bo nie wolno dzielić przez zero. Zero w liczniku jest w porządku, w mianowniku — nie.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — jeden kawałek jako ułamek:

$$\frac18\ \text{metra}$$

Krok 2 — w centymetrach:

$$100:8=12{,}5\ \text{cm}$$

Krok 3 — trzy kawałki:

$$\frac38\ \text{metra}=3\cdot12{,}5=37{,}5\ \text{cm}$$

Kontrola: osiem kawałków po $12{,}5$ cm daje $100$ cm ✔

Odpowiedź: $\frac18$ metra, czyli $12{,}5$ cm; trzy kawałki to $37{,}5$ cm.

Krok 1 — jedna ósma klasy:

$$24:8=3\ \text{uczniów}$$

Krok 2 — angielski (pięć ósmych):

$$5\cdot3=15$$

Krok 3 — niemiecki:

$$24-15=9$$

Kontrola. Niemieckiego uczy się $\frac38$ klasy, a $3\cdot3=9$ ✔ Ponadto $\frac58+\frac38=1$ ✔

Odpowiedź: angielski $15$ uczniów, niemiecki $9$.

Krok 1 — pożyczamy z całości. Nie da się odjąć $\frac47$ od zera części ułamkowej, więc rozbijamy trójkę:

$$3=2+\frac77=2\frac77$$

Krok 2 — odejmujemy osobno całości i ułamki:

$$2\frac77-1\frac47=(2-1)+\left(\frac77-\frac47\right)=1\frac37$$

Kontrola przez ułamki niewłaściwe: $\frac{21}{7}-\frac{11}{7}=\frac{10}{7}=1\frac37$ ✔

Odpowiedź: $1\frac37$.

Krok 1 — ile zostało:

$$\frac34-\frac14=\frac24=\frac12\ \text{litra}$$

Krok 2 — jaką część zawartości wypito. Uwaga: odnosimy się do $\frac34$ litra, a nie do całego litra. Butelka zawierała trzy ćwiartki, a wypito jedną z nich:

$$\frac13\ \text{zawartości}$$

Kluczowa uwaga. Wypita ilość to $\frac14$ litra, ale $\frac13$ zawartości butelki. To dwie różne odpowiedzi na dwa różne pytania — zawsze trzeba sprawdzić, do czego odnosi się ułamek.

Odpowiedź: zostało $\frac12$ litra; wypito $\frac13$ zawartości.