Figury geometryczne

Kąt ostry jest mniejszy od $90^\circ$. Skoro $45^\circ\lt 90^\circ$, kąt jest ostry.

Zestawienie: ostry $\lt 90^\circ$, prosty $=90^\circ$, rozwarty między $90^\circ$ a $180^\circ$, półpełny $=180^\circ$, pełny $=360^\circ$.

Odpowiedź: B. ostrym.

Obwód to suma długości wszystkich boków. Prostokąt ma dwa boki po $7$ cm i dwa po $5$ cm:

$$O=2\cdot7+2\cdot5=14+10=24\ \text{cm}$$

Krótszy zapis: $O=2(a+b)=2\cdot12=24$ cm.

Odpowiedź: $24$ cm.

Pole prostokąta to iloczyn długości jego boków:

$$P=a\cdot b=9\cdot4=36\ \text{cm}^2$$

Uwaga na jednostki: pole podajemy w cm$^2$, a obwód w cm — to dwie różne wielkości.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

W każdym trójkącie, niezależnie od jego kształtu, suma kątów wewnętrznych wynosi $180^\circ$.

Zastosowanie: znając dwa kąty, trzeci zawsze obliczymy odejmowaniem.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Pole — kwadrat ma równe boki:

$$P=a\cdot a=8\cdot8=64\ \text{cm}^2$$

Obwód — cztery jednakowe boki:

$$O=4\cdot8=32\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $64$ cm$^2$, obwód $32$ cm.

Podział ze względu na boki:

• równoboczny — trzy boki równe
• równoramienny — dwa boki równe
• różnoboczny — wszystkie boki różne

Nazwa „prostokątny” dotyczy podziału ze względu na kąty, a nie boki.

Odpowiedź: A. różnobocznym.

Krok 1 — trzeci kąt:

$$180^\circ-30^\circ-90^\circ=60^\circ$$

Krok 2 — rodzaj trójkąta. Jeden z kątów ma $90^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny.

Ciekawostka: trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ to połowa trójkąta równobocznego — pojawia się w wielu zadaniach.

Odpowiedź: trzeci kąt ma $60^\circ$; trójkąt jest prostokątny.

Krok 1 — długość boku. Kwadrat ma cztery równe boki:

$$a=36:4=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=9\cdot9=81\ \text{cm}^2$$

Kolejność ma znaczenie: pola nie da się policzyć wprost z obwodu — najpierw trzeba wyznaczyć bok.

Odpowiedź: bok $9$ cm, pole $81$ cm$^2$.

Symbol $\perp$ oznacza prostopadłość (przecięcie pod kątem $90^\circ$), a $\parallel$ — równoległość.

Jak zapamiętać: znak $\parallel$ to dwie równoległe kreski, a $\perp$ wygląda jak dwie prostopadłe.

Odpowiedź: D. $\perp$.

Krok 1 — drugi bok. Z wzoru $P=a\cdot b$:

$$b=\frac{48}{6}=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(6+8)=2\cdot14=28\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $6\cdot8=48$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $28$ cm.

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, a ich suma wynosi $180^\circ$:

$$180^\circ:3=60^\circ$$

Odpowiedź: B. $60^\circ$.

Długość płotu to obwód:

$$O=2(12+8)=2\cdot20=40\ \text{m}$$

Powierzchnia to pole:

$$P=12\cdot8=96\ \text{m}^2$$

Rozróżnienie: płot mierzymy wzdłuż brzegu (obwód, metry), a powierzchnię liczymy wewnątrz (pole, metry kwadratowe).

Odpowiedź: $40$ m płotu, powierzchnia $96$ m$^2$.

Kąt półpełny to połowa kąta pełnego:

$$\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$$

Jego ramiona tworzą prostą.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Krok 1 — bok kwadratu. Szukamy liczby, której kwadrat daje $36$:

$$a=6\ \text{cm},\qquad O_{kw}=4\cdot6=24\ \text{cm}$$

Krok 2 — drugi bok prostokąta:

$$36:4=9\ \text{cm},\qquad O_{pr}=2(4+9)=26\ \text{cm}$$

Porównanie: $24\lt 26$, więc kwadrat ma mniejszy obwód.

Wniosek ogólny: spośród prostokątów o danym polu najmniejszy obwód ma zawsze kwadrat.

Odpowiedź: kwadrat $24$ cm, prostokąt $26$ cm — kwadrat ma obwód mniejszy o $2$ cm.

Krok 1 — suma ramion. Odejmujemy podstawę od obwodu:

$$32-12=20\ \text{cm}$$

Krok 2 — jedno ramię. Ramiona są równe, więc dzielimy przez $2$:

$$20:2=10\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $10+10+12=32$ cm ✔

Odpowiedź: ramię ma $10$ cm.

Pole kwadratu to bok razy bok:

$$P=12\cdot12=144\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź B ($48$) to obwód, a nie pole.

Odpowiedź: A. $144$ cm$^2$.

Krok 1 — powierzchnia podłogi:

$$P=5\cdot4=20\ \text{m}^2$$

Krok 2 — koszt:

$$20\cdot45=900\ \text{zł}$$

Odpowiedź: położenie paneli kosztuje $900$ zł.

Pole figury złożonej to suma pól jej części.

Krok 1 — pola prostokątów:

$$P_1=6\cdot4=24\ \text{cm}^2,\qquad P_2=3\cdot4=12\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — suma:

$$P=24+12=36\ \text{cm}^2$$

Warunek: prostokąty nie mogą na siebie zachodzić — inaczej wspólny fragment policzylibyśmy dwa razy.

Odpowiedź: $36$ cm$^2$.

Krok 1 — od obwodu do sumy sąsiednich boków:

$$2(a+b)=30 \quad\Rightarrow\quad a+b=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — wykorzystujemy warunek. Długość to dwie takie same części co szerokość, więc suma to $3$ części:

$$15:3=5\ \text{cm}$$

Krok 3 — wymiary: szerokość $5$ cm, długość $2\cdot5=10$ cm.

Krok 4 — pole:

$$P=10\cdot5=50\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(10+5)=30$ cm ✔

Odpowiedź: $10$ cm na $5$ cm, pole $50$ cm$^2$.

Krok 1 — pole. Od pola kartki odejmujemy pole wycięcia:

$$P=10\cdot10-3\cdot3=100-9=91\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — obwód. Tu intuicja bywa myląca. Wycięcie w rogu usuwa z brzegu dwa odcinki po $3$ cm, ale dokłada dwa nowe odcinki po $3$ cm (boki wycięcia).

$$O=4\cdot10-2\cdot3+2\cdot3=40\ \text{cm}$$

Wniosek: pole zmalało, ale obwód pozostał taki sam jak przed wycięciem. To dobry przykład na to, że pole i obwód zmieniają się niezależnie.

Odpowiedź: pole $91$ cm$^2$, obwód $40$ cm.

Rodzaje kątów:

• ostry — mniej niż $90^\circ$
• prosty — dokładnie $90^\circ$
• rozwarty — między $90^\circ$ a $180^\circ$
• półpełny — $180^\circ$
• pełny — $360^\circ$

Odpowiedź: B. prostym.

Rodzaj: $47^\circ\lt 90^\circ$, więc kąt jest ostry.

Brakuje:

$$90^\circ-47^\circ=43^\circ$$

Odpowiedź: kąt ostry, brakuje $43^\circ$.

Kąty przyległe dopełniają się do kąta półpełnego:

$$180^\circ-65^\circ=115^\circ$$

Odpowiedź: $115^\circ$.

Suma kątów trójkąta to $180^\circ$, a w trójkącie równobocznym wszystkie są równe:

$$180^\circ:3=60^\circ$$

Odpowiedź: C. $60^\circ$.

$$180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ$$

Odpowiedź: $65^\circ$.

Prostopadłe — przecinają się pod kątem $90^\circ$; oznaczamy $k\perp l$.

Równoległe — nigdy się nie przecinają; oznaczamy $k\parallel l$.

Odpowiedź: A. przecinają się pod kątem prostym.

Rodzaj: dwa boki są równe, trzeci inny — to trójkąt równoramienny.

Obwód:

$$O=5+5+8=18\ \text{cm}$$

Odpowiedź: równoramienny, obwód $18$ cm.

Krok 1 — kąt prosty zabiera $90^\circ$:

$$180^\circ-90^\circ=90^\circ \ \text{dla obu kątów ostrych}$$

Krok 2 — drugi kąt:

$$90^\circ-35^\circ=55^\circ$$

Reguła: w trójkącie prostokątnym kąty ostre zawsze sumują się do $90^\circ$.

Odpowiedź: $55^\circ$.

Warunek trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego.

$$2+3=5\lt 9$$

Takie odcinki nie zamkną się w trójkąt — dwa krótsze nie sięgną do siebie.

Sprawdzenie pozostałych: $3+4=7>5$ ✔, $6+6=12>6$ ✔, $7+8=15>10$ ✔

Odpowiedź: D. o bokach $2$, $3$, $9$.

Kąt wierzchołkowy jest zawsze równy danemu:

$$38^\circ$$

Kąt przyległy dopełnia do $180^\circ$:

$$180^\circ-38^\circ=142^\circ$$

Odpowiedź: wierzchołkowy $38^\circ$, przyległy $142^\circ$.

Prostokąt ma cztery kąty i każdy z nich jest prosty:

$$4\cdot90^\circ=360^\circ$$

To zgadza się z sumą kątów każdego czworokąta.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — suma kątów przy podstawie:

$$180^\circ-50^\circ=130^\circ$$

Krok 2 — kąty przy podstawie są równe:

$$130^\circ:2=65^\circ$$

Sprawdzenie: $50^\circ+65^\circ+65^\circ=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: oba pozostałe kąty mają po $65^\circ$.

Krok 1 — podział na części. $CB$ to $1$ część, $AC$ to $3$ części, razem $4$ części:

$$12:4=3\ \text{cm}$$

Krok 2 — długości:

$$CB=3\ \text{cm},\qquad AC=3\cdot3=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $3+9=12$ cm ✔

Odpowiedź: $AC=9$ cm, $CB=3$ cm.

Kąt pełny to pełny obrót — wskazówka zegara wraca do punktu wyjścia.

$$360^\circ$$

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Krok 1 — jedna godzina na tarczy. Pełny obrót to $360^\circ$, a godzin jest $12$:

$$360^\circ:12=30^\circ$$

Krok 2 — o godzinie $3{:}00$ wskazówki dzielą trzy takie odstępy:

$$3\cdot30^\circ=90^\circ$$

Odpowiedź: $90^\circ$ — kąt prosty.

Ze względu na kąty: jeden kąt ma $90^\circ$, więc trójkąt jest prostokątny.

Ze względu na boki: wszystkie kąty są różne, więc i boki są różne — trójkąt jest różnoboczny.

Odpowiedź: A. prostokątny i różnoboczny.

Krok 1 — liczba części:

$$1+2+3=6\ \text{części}$$

Krok 2 — jedna część:

$$180^\circ:6=30^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$30^\circ,\qquad 60^\circ,\qquad 90^\circ$$

Sprawdzenie: $30+60+90=180$ ✔

Odpowiedź: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ — trójkąt prostokątny.

Godzina $5{:}00$ — pięć odstępów po $30^\circ$:

$$5\cdot30^\circ=150^\circ$$

Godzina $8{:}00$ — licząc krótszą drogą, to cztery odstępy:

$$4\cdot30^\circ=120^\circ$$

Uwaga: liczymy zawsze mniejszy z dwóch kątów. Od strony ósmej godziny „w drugą stronę” wyszłoby $240^\circ$, ale kąt między wskazówkami podajemy jako ten nieprzekraczający $180^\circ$.

Odpowiedź: $150^\circ$ oraz $120^\circ$.

Krok 1 — suma ramion:

$$32-12=20\ \text{cm}$$

Krok 2 — jedno ramię (oba są równe):

$$20:2=10\ \text{cm}$$

Krok 3 — sprawdzenie warunku trójkąta: $10+10=20>12$ ✔ Taki trójkąt istnieje.

Odpowiedź: ramię ma $10$ cm.

Krok 1 — podział na części. Mniejszy kąt to $1$ część, większy $4$ części, razem $5$ części. Kąty przyległe dają w sumie $180^\circ$:

$$180^\circ:5=36^\circ$$

Krok 2 — miary kątów:

$$36^\circ \qquad\text{oraz}\qquad 4\cdot36^\circ=144^\circ$$

Sprawdzenie: $36^\circ+144^\circ=180^\circ$ ✔ oraz $144:36=4$ ✔

Odpowiedź: $36^\circ$ i $144^\circ$.

Odcinek ma dwa końce i określoną długość.

Prosta nie ma końców i jest nieskończona w obie strony.

Półprosta ma jeden koniec (początek) i biegnie w nieskończoność w jedną stronę.

Odpowiedź: B. odcinek.

Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

Dla porównania: przez jeden punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych.

Odpowiedź: dokładnie jedną.

Obwód:

$$O=2(8+5)=26\ \text{cm}$$

Pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: obwód $26$ cm, pole $40$ cm$^2$.

Promień to połowa średnicy:

$$r=12:2=6\ \text{cm}$$

Odpowiedź: C. $6$ cm.

Prosta nie ma początku ani końca — biegnie w nieskończoność w obie strony. Nie da się zmierzyć jej długości.

Odcinek to część prostej ograniczona dwoma punktami. Ma określoną długość, którą można zmierzyć linijką.

Odpowiedź: prosta jest nieskończona, odcinek ma dwa końce i mierzalną długość.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=36:4=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=9\cdot9=81\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: A. $81$ cm$^2$.

Zasada. Punkt leży wewnątrz koła, gdy jego odległość od środka jest mniejsza od promienia.

Punkt $A$: $3\lt 4$ — leży wewnątrz ✔

Punkt $B$: $6>4$ — leży na zewnątrz ✘

Uwaga: punkt oddalony dokładnie o $4$ cm leżałby na okręgu.

Odpowiedź: punkt $A$.

Krok 1 — drugi bok:

$$b=48:6=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(6+8)=28\ \text{cm}$$

Sprawdzenie pola: $6\cdot8=48$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $28$ cm.

Oznaczmy punkty jako $A$, $B$, $C$. Odcinki to każda para punktów:

$$AB,\qquad BC,\qquad AC$$

Są trzy takie pary.

Uwaga: $AB$ i $BA$ to ten sam odcinek, więc nie liczymy go dwa razy.

Odpowiedź: D. $3$.

Obwód:

$$O=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Pole:

$$P=7\cdot7=49\ \text{cm}^2$$

Dlaczego różne jednostki. Obwód to długość linii — mierzymy go w centymetrach. Pole to powierzchnia — liczymy, ile kwadracików o boku $1$ cm mieści się w figurze, więc jednostką jest cm$^2$.

Odpowiedź: obwód $28$ cm, pole $49$ cm$^2$.

Proste równoległe zachowują stałą odległość i nie mają punktów wspólnych. Oznaczamy je symbolem $\parallel$.

Proste prostopadłe przecinają się pod kątem $90^\circ$ — oznaczamy je $\perp$.

Odpowiedź: B. równoległe.

Krok 1 — długość $CB$:

$$15-6=9\ \text{cm}$$

Krok 2 — czy $C$ jest środkiem. Środek dzieliłby odcinek na dwie równe części po $7{,}5$ cm. Tutaj $6\neq9$, więc $C$ nie jest środkiem — środek leży w odległości $7{,}5$ cm od $A$.

Odpowiedź: $CB=9$ cm; $C$ nie jest środkiem.

Sposób 1 — liczymy wzdłuż boków:

$$10:2=5,\qquad 6:2=3$$

$$5\cdot3=15\ \text{kwadratów}$$

Sposób 2 — przez pola:

$$\frac{10\cdot6}{2\cdot2}=\frac{60}{4}=15 \ ✔$$

Uwaga: oba sposoby dają ten sam wynik, bo wymiary dzielą się przez $2$ bez reszty. Gdyby tak nie było, drugi sposób zawyżyłby wynik.

Odpowiedź: $15$ kwadratów.

Promień to odcinek łączący środek z dowolnym punktem okręgu. Punktów na okręgu jest nieskończenie wiele, więc promieni również.

Ważne: wszystkie promienie jednego okręgu mają tę samą długość — na tym polega definicja okręgu.

Odpowiedź: A. nieskończenie wiele.

Siatka to obwód:

$$O=2(12+9)=42\ \text{m}$$

Powierzchnia to pole:

$$P=12\cdot9=108\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: $42$ m siatki, powierzchnia $108$ m$^2$.

Średnica to najdłuższa cięciwa — jedyna, która przechodzi przez środek okręgu.

Jest dwa razy dłuższa od promienia: $d=2r$.

Odpowiedź: C. średnica.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=10\cdot8=80\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole wycięcia:

$$P_2=3\cdot3=9\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pozostała część:

$$80-9=71\ \text{cm}^2$$

Czy obwód się zmniejszył. Nie — jeśli kwadrat wycięto z rogu, obwód pozostaje taki sam. Usuwamy dwa odcinki po $3$ cm z brzegu, ale w ich miejsce pojawiają się dwa nowe odcinki po $3$ cm wewnątrz wcięcia. Bilans wynosi zero.

Odpowiedź: pole $71$ cm$^2$; obwód się nie zmienił.

Krok 1 — z każdego punktu. Z jednego punktu prowadzimy odcinki do czterech pozostałych:

$$5\cdot4=20$$

Krok 2 — dzielimy przez dwa. Każdy odcinek policzyliśmy dwukrotnie — raz z jednego końca, raz z drugiego:

$$\frac{20}{2}=10$$

Sprawdzenie dla trzech punktów: wzór daje $\frac{3\cdot2}{2}=3$, co zgadza się z wypisaniem $AB$, $BC$, $AC$ ✔

Odpowiedź: $10$ odcinków.

Krok 1 — suma sąsiednich boków:

$$30:2=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — wyznaczamy krótszy bok. Gdyby oba boki były równe, miałyby po $7{,}5$ cm. Nadwyżka $3$ cm rozkłada się po połowie:

$$\text{krótszy}=\frac{15-3}{2}=6\ \text{cm}$$

Krok 3 — dłuższy bok:

$$6+3=9\ \text{cm}$$

Krok 4 — pole:

$$P=6\cdot9=54\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(6+9)=30$ cm ✔

Odpowiedź: $6$ cm na $9$ cm, pole $54$ cm$^2$.

Krok 1 — wymiary w tych samych jednostkach:

$$4\ \text{m}=400\ \text{cm},\qquad 3\ \text{m}=300\ \text{cm}$$

Krok 2 — liczba paneli wzdłuż każdego boku:

$$400:50=8,\qquad 300:50=6$$

Krok 3 — łączna liczba:

$$8\cdot6=48\ \text{paneli}$$

Krok 4 — koszt:

$$48\cdot12=576\ \text{zł}$$

Kontrola przez pola: podłoga ma $12$ m$^2$, panel $0{,}25$ m$^2$, a $12:0{,}25=48$ ✔

Odpowiedź: $48$ paneli za $576$ zł.