Działania na liczbach naturalnych

Kolejność działań: mnożenie wykonujemy przed dodawaniem.

$$3\cdot4=12$$

$$2+12=14$$

Pułapka: liczenie od lewej ($2+3=5$, potem $5\cdot4=20$) daje błędną odpowiedź A. Mnożenie ma pierwszeństwo.

Odpowiedź: C. $14$.

Krok 1 — nawias:

$$3+4=7$$

Krok 2 — mnożenie:

$$2\cdot7=14$$

Krok 3 — odejmowanie:

$$20-14=6$$

Kolejność: najpierw nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.

Odpowiedź: $6$.

Porównujemy cyframi od lewej strony. Obie liczby mają tyle samo cyfr i zgadzają się na pozycji tysięcy ($3$) oraz setek ($0$).

Różnica jest na pozycji dziesiątek:

$$4\lt 9 \quad\Rightarrow\quad 3049\lt 3094$$

Odpowiedź: B. $3094$.

Krok 1 — znajdujemy cyfrę setek. To $5$ (w liczbie $4\underline{5}67$).

Krok 2 — patrzymy na cyfrę następną (dziesiątek): to $6$.

Krok 3 — reguła: cyfra $5$ lub większa oznacza zaokrąglenie w górę, a cyfry po zaokrąglanej pozycji zastępujemy zerami:

$$4567\approx4600$$

Odpowiedź: $4600$.

Kolejność działań: dzielenie przed odejmowaniem.

Krok 1 — dzielenie:

$$36:4=9$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$100-9=91$$

Pułapka: liczenie od lewej ($100-36=64$, potem $64:4=16$) daje błędny wynik. Dzielenie ma pierwszeństwo.

Odpowiedź: $91$.

Liczba w połowie odcinka to średnia obu końców:

$$\frac{20+30}{2}=\frac{50}{2}=25$$

Sprawdzenie: od $20$ do $25$ jest $5$ kroków i od $25$ do $30$ też $5$ — punkt leży dokładnie pośrodku.

Odpowiedź: A. $25$.

Kolejność: oba mnożenia wykonujemy przed dodawaniem.

Krok 1:

$$5\cdot6=30,\qquad 8\cdot3=24$$

Krok 2 — dodajemy wyniki:

$$30+24=54$$

Odpowiedź: $54$.

Krok 1 — cyfra tysięcy: to $8$ (w liczbie $2\underline{8}\,764$).

Krok 2 — cyfra następna (setek): to $7$.

Krok 3 — zaokrąglamy w górę (bo $7\ge5$), pozostałe cyfry zerujemy:

$$28\,764\approx29\,000$$

Uwaga: zaokrąglenie w górę cyfry $8$ daje $9$ — gdyby było $9$, nastąpiłoby przeniesienie do kolejnej pozycji.

Odpowiedź: $29\,000$.

Krok 1 — nawias:

$$12+8=20$$

Krok 2 — dzielenie:

$$20:5=4$$

Rola nawiasu: bez nawiasu $12+8:5$ dałoby najpierw $8:5$, czyli zupełnie inny wynik. Nawias wymusza dodawanie jako pierwsze.

Odpowiedź: D. $4$.

Krok 1 — nawias:

$$2\cdot3=6$$

Krok 2 — dzielenie:

$$48:6=8$$

Krok 3 — dodawanie:

$$8+7=15$$

Odpowiedź: $15$.

Wypisujemy liczby spełniające warunek. Znak $\le$ oznacza, że $12$ należy, a znak $\lt $ oznacza, że $17$ nie należy:

$$12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16$$

Jest ich $5$.

Pułapka: dołączenie $17$ (błędna odpowiedź C) albo pominięcie $12$ (błędna odpowiedź A). Trzeba uważnie czytać znaki nierówności.

Odpowiedź: B. $5$.

Krok 1 — działanie w nawiasie. Wewnątrz też obowiązuje kolejność — najpierw mnożenie:

$$3\cdot4=12,\qquad 15-12=3$$

Krok 2 — mnożenie przed nawiasem:

$$2\cdot3=6$$

Krok 3 — dodawanie:

$$6+10=16$$

Odpowiedź: $16$.

Rozkładamy nazwę na pozycje:

• siedem tysięcy $=7000$
• pięćset $=500$
• trzy $=3$

$$7000+500+3=7503$$

Uwaga na zero: brak dziesiątek zapisujemy cyfrą $0$ — inaczej powstałoby błędne $753$.

Odpowiedź: $7503$.

Gdy występuje samo dzielenie, liczymy od lewej do prawej:

$$36:6=6$$

$$6:2=3$$

Pułapka: policzenie najpierw $6:2=3$, a potem $36:3=12$ daje błędną odpowiedź A. Dzielenie nie jest łączne — kolejność ma znaczenie.

Odpowiedź: C. $3$.

Krok 1 — liczba dostarczonych zeszytów:

$$8\cdot50=400$$

Krok 2 — łączna liczba:

$$1250+400=1650$$

Zapis jednym wyrażeniem: $1250+8\cdot50=1650$ — mnożenie wykonujemy przed dodawaniem, więc nawias nie jest potrzebny.

Odpowiedź: w sklepie jest $1650$ zeszytów.

Krok 1 — cyfra dziesiątek: to $4$ (w liczbie $6\underline{4}9$).

Krok 2 — cyfra następna (jedności): to $9$.

Krok 3 — zaokrąglamy w górę (bo $9\ge5$):

$$649\approx650$$

Uwaga: patrzymy tylko na cyfrę jedności. Chociaż liczba jest „prawie $600$”, do dziesiątek zaokrąglamy do $650$, a nie do $600$.

Odpowiedź: A. $650$.

Kolejność działań: potęgowanie ma pierwszeństwo przed mnożeniem.

Krok 1 — potęga:

$$4^2=4\cdot4=16$$

Krok 2 — mnożenie:

$$3\cdot16=48$$

Pułapka: policzenie $3\cdot4=12$, a potem $12^2=144$ jest błędne — najpierw potęga, potem mnożenie.

Odpowiedź: $48$.

Krok 1 — łączna liczba osób:

$$28+2=30$$

Krok 2 — koszt biletów:

$$30\cdot23=690\ \text{zł}$$

Zapis jednym wyrażeniem: $(28+2)\cdot23$ — tutaj nawias jest konieczny, bo najpierw musimy dodać osoby.

Odpowiedź: trzeba zapłacić $690$ zł.

Kolejność: najpierw dzielenie i mnożenie, potem dodawanie i odejmowanie od lewej.

Krok 1 — dzielenie i mnożenie:

$$24:8=3,\qquad 3\cdot2=6$$

Krok 2 — wstawiamy wyniki:

$$56+3-6$$

Krok 3 — dodawanie i odejmowanie od lewej:

$$56+3=59,\qquad 59-6=53$$

Odpowiedź: $53$.

Krok 1 — liczba przywiezionych worków:

$$5\cdot144=720$$

Krok 2 — liczba rozwiezionych worków:

$$3\cdot160=480$$

Krok 3 — różnica:

$$720-480=240$$

Zapis jednym wyrażeniem: $5\cdot144-3\cdot160=720-480=240$ — oba mnożenia wykonujemy przed odejmowaniem.

Kontrola sensu: przywieziono więcej, niż rozwieziono, więc wynik dodatni jest sensowny.

Odpowiedź: w magazynie zostało $240$ worków.

Cyfra jedności to $7\ge5$, więc zaokrąglamy w górę:

$$47\approx50$$

Odpowiedź: B. $50$.

Cyfra dziesiątek to $2\lt 5$, zaokrąglamy w dół:

$$324\approx300$$

Odpowiedź: $300$.

$$234+567=801$$

Odpowiedź: $801$.

$$8\cdot7=56$$

Odpowiedź: C. $56$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$3\cdot4=12$$

Krok 2 — dodawanie:

$$2+12=14$$

Odpowiedź: $14$.

Cyfra setek to $2\lt 5$, więc w dół:

$$1250\approx1000$$

Odpowiedź: A. $1000$.

$$144:12=12$$

Odpowiedź: $12$.

Krok 1 — najpierw nawias:

$$15+5=20$$

Krok 2 — mnożenie:

$$20\cdot3=60$$

Odpowiedź: $60$.

Cyfra jedności $6\ge5$, więc w górę:

$$86\approx90$$

Odpowiedź: D. $90$.

$$500-127=373$$

Odpowiedź: $373$.

$$100:4=25$$

Odpowiedź: B. $25$.

Krok 1 — mnożenie:

$$6\cdot9=54$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$54-14=40$$

Odpowiedź: $40$.

Cyfra dziesiątek to $4\lt 5$, więc w dół:

$$7649\approx7600$$

Odpowiedź: $7600$.

Mnożenie przez zero zawsze daje zero.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — pozostało:

$$340-185=155$$

Krok 2 — zaokrąglenie do dziesiątek (cyfra jedności $5\ge5$ → w górę):

$$155\approx160$$

Odpowiedź: zostało $155$ jabłek, w zaokrągleniu $160$.

Krok 1 — mnożenie: $12\cdot0=0$.

Krok 2 — dodawanie: $0+12=12$.

Odpowiedź: C. $12$.

Krok 1 — pasażerowie razem:

$$35+10=45$$

Krok 2 — wolne miejsca:

$$48-45=3$$

Odpowiedź: $3$ wolne miejsca.

Krok 1 — nawias: $8+2=10$.

Krok 2 — mnożenie: $6\cdot10=60$.

Krok 3 — odejmowanie: $100-60=40$.

Odpowiedź: $40$.

Dzielimy zebraną kwotę przez cenę biletu:

$$256:8=32$$

Odpowiedź: $32$ bilety.

Krok 1 — zaokrąglenie do setek. Patrzymy na cyfrę dziesiątek: $9\ge5$, więc setki zaokrąglamy w górę: $24\to25$ setek, czyli $2500$.

Krok 2 — zaokrąglenie do tysięcy. Patrzymy na cyfrę setek: $4\lt 5$, więc tysiące w dół: $2000$.

Wniosek. Wynik zależy od tego, którą cyfrę „obserwujemy” — przy setkach decyduje cyfra dziesiątek, przy tysiącach cyfra setek. To ta sama liczba, ale różny stopień dokładności. $\quad∎$

Uwaga. Nie wolno zaokrąglać „etapami” (najpierw do setek, potem tysięcy) — daje to błędny wynik $2500\to3000$.