gdzie $l$ to tworząca, powiązana z pozostałymi wymiarami przez twierdzenie Pitagorasa:
$$l=\sqrt{r^2+H^2}$$
Powierzchnia boczna po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu $l$ i kącie $\alpha=\frac{r}{l}\cdot360^\circ$. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny.
Kula
$$V=\frac43\pi r^3,\qquad P=4\pi r^2$$
Każdy przekrój kuli płaszczyzną jest kołem. Przekrój przez środek (koło wielkie) ma promień $r$, a w odległości $d$ od środka — promień $\sqrt{r^2-d^2}$.
Skalowanie
Podwojenie promienia zwiększa pole $4$ razy, a objętość $8$ razy — bo pole zależy od $r^2$, a objętość od $r^3$.
Na co uważać
W stożku do objętości wchodzi wysokość $H$, a do pola bocznego tworząca $l$ — mylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie. W zadaniach o przekroju osiowym będącym kwadratem (walec) zachodzi $H=2r$.
Ostrosłupy — pole powierzchni i objętość
Objętość
$$V=\frac13 P_p\cdot H$$
Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości — trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają graniastosłup.
Pole powierzchni
$$P_c=P_p+P_b$$
Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne będące trójkątami. Pole boczne to suma pól tych trójkątów.
Apotema a wysokość
Wysokość ostrosłupa $H$ jest prostopadła do podstawy i pada na jej środek. Apotema $h_b$ to wysokość ściany bocznej (trójkąta). To dwie różne wielkości — najczęstsze źródło błędów.
Trzy trójkąty prostokątne
W ostrosłupie prawidłowym kluczowe są zależności z twierdzenia Pitagorasa:
apotema, wysokość i połowa boku podstawy,
krawędź boczna, wysokość i połowa przekątnej podstawy.
Do apotemy używamy połowy boku, do krawędzi bocznej — połowy przekątnej.
Liczba elementów
Ostrosłup o podstawie $n$-kąta ma $n+1$ ścian, $n+1$ wierzchołków i $2n$ krawędzi.
Czworościan foremny
Wszystkie cztery ściany to trójkąty równoboczne. Objętość o krawędzi $a$: $V=\frac{a^3\sqrt2}{12}$.
Skalowanie
Podwojenie wszystkich wymiarów zwiększa objętość ośmiokrotnie ($2^3$), a pole czterokrotnie ($2^2$).
Na co uważać
Nie zapomnij o mnożniku $\frac13$ w objętości. Rozróżniaj apotemę od wysokości ostrosłupa.
To odkrycie Archimedesa — kazał wyryć ten wynik na swoim nagrobku.
Odpowiedź: A. $\frac23$.
Zadanie nr 15
Oblicz wysokość stożka o tworzącej $17$ i promieniu podstawy $8$.
Z twierdzenia Pitagorasa, gdzie tworząca jest przeciwprostokątną:
$$H=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$$
Rozpoznanie: trójka $8$–$15$–$17$.
Odpowiedź: $H=15$.
Zadanie nr 16
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. Jaki jest wtedy związek między tworzącą a promieniem?
A$l=r$
B$l=2r$
C$l=3r$
D$l=r\sqrt3$
W przekroju osiowym podstawą trójkąta jest średnica ($2r$), a ramionami — dwie tworzące.
Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równe, więc:
$$l=2r$$
Konsekwencja: wysokość takiego stożka wynosi $H=\sqrt{4r^2-r^2}=r\sqrt3$.
Odpowiedź: B. $l=2r$.
Zadanie nr 17
Stożek ma promień podstawy $9$ i wysokość $12$. Oblicz tworzącą, objętość oraz pole powierzchni całkowitej.
Krok 1 — tworząca:
$$l=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$
Krok 2 — objętość:
$$V=\frac13\pi\cdot81\cdot12=324\pi$$
Krok 3 — pole powierzchni:
$$P=\pi r^2+\pi r l=81\pi+\pi\cdot9\cdot15=81\pi+135\pi=216\pi$$
Rozpoznanie: trójka $9$–$12$–$15$, czyli $3$–$4$–$5$ pomnożona przez $3$.
Odpowiedź: $l=15$, $V=324\pi$, $P=216\pi$.
Zadanie nr 18
Do walca o promieniu $5$ i wysokości $12$ wlano wodę do połowy wysokości. Ile litrów wody wlano, jeśli wymiary podano w decymetrach? Przyjmij $\pi\approx3{,}14$.
Krok 3 — zamiana na litry. $1$ dm$^3=1$ litr, więc:
$$V\approx471\ \text{litrów}$$
Uwaga: woda wypełnia dokładnie połowę walca — objętość jest wprost proporcjonalna do wysokości słupa cieczy.
Odpowiedź: około $471$ litrów.
Zadanie nr 19
Kula o promieniu $6$ została przetopiona na walec o tym samym promieniu. Jaka jest wysokość tego walca?
Krok 1 — kluczowa obserwacja. Przetapianie nie zmienia objętości materiału.
Krok 2 — objętość kuli:
$$V=\frac43\pi\cdot216=288\pi$$
Krok 3 — przyrównujemy do objętości walca:
$$\pi\cdot36\cdot H=288\pi$$
Krok 4 — wyznaczamy wysokość:
$$H=\frac{288}{36}=8$$
Kontrola sensu: średnica kuli wynosi $12$, a walec o tym samym promieniu wyszedł niższy ($8$) — to zgadza się z faktem, że kula wypełnia tylko $\frac23$ opisanego na niej walca ✔
Odpowiedź: $H=8$.
Zadanie nr 20
Porównaj objętości trzech brył o tym samym promieniu $r=3$ i tej samej wysokości $H=6$: walca, stożka oraz kuli o promieniu $3$. Uporządkuj je od najmniejszej.
Walec:
$$V_1=\pi\cdot9\cdot6=54\pi$$
Stożek:
$$V_2=\frac13\pi\cdot9\cdot6=18\pi$$
Kula:
$$V_3=\frac43\pi\cdot27=36\pi$$
Uporządkowanie:
$$18\pi\lt 36\pi\lt 54\pi$$
$$\text{stożek}\lt \text{kula}\lt \text{walec}$$
Warto zauważyć. Przy $H=2r$ zachodzi ładna zależność: objętości stożka, kuli i walca mają się jak $1:2:3$. Tutaj $18\pi$, $36\pi$, $54\pi$ — dokładnie w tym stosunku ✔ To znany wynik Archimedesa.
Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość:
$$V=P_p\cdot H$$
Uwaga: wzór $\frac13 P_p\cdot H$ dotyczy ostrosłupa, nie graniastosłupa. Ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Odpowiedź: B. $V=P_p\cdot H$.
Zadanie nr 2
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $12$ cm² i wysokości $5$ cm.
$$V=P_p\cdot H=12\cdot5=60\ \text{cm}^3$$
Odpowiedź: $60$ cm³.
Zadanie nr 3
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $4$ cm.
Sześcian to graniastosłup o kwadratowej podstawie, gdzie wszystkie krawędzie są równe:
$$V=a^3=4^3=64\ \text{cm}^3$$
Odpowiedź: $64$ cm³.
Zadanie nr 4
Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $a$ wynosi:
A$a^3$
B$4a^2$
C$6a^2$
D$a^2$
Sześcian ma sześć jednakowych ścian kwadratowych o polu $a^2$ każda:
$$P=6a^2$$
Uwaga: $a^3$ to objętość sześcianu, a nie pole.
Odpowiedź: C. $6a^2$.
Zadanie nr 5
Prostopadłościan ma wymiary $3$ cm, $4$ cm i $5$ cm. Oblicz jego objętość.
Objętość prostopadłościanu to iloczyn trzech wymiarów:
$$V=3\cdot4\cdot5=60\ \text{cm}^3$$
Odpowiedź: $60$ cm³.
Zadanie nr 6
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie:
Akwadrat
Bprostokąt
Cromb
Dtrapez
„Prawidłowy” oznacza, że w podstawie leży wielokąt foremny. Foremny czworokąt to kwadrat.
Analogicznie: graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny, a sześciokątny — sześciokąt foremny.
Odpowiedź: A. kwadrat.
Zadanie nr 7
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach $2$ cm, $3$ cm i $4$ cm.
Krok 1 — prostopadłościan ma trzy pary jednakowych ścian. Pola par:
$$2\cdot3=6,\qquad 2\cdot4=8,\qquad 3\cdot4=12$$
Krok 2 — każda para występuje dwa razy:
$$P=2\cdot(6+8+12)=2\cdot26=52\ \text{cm}^2$$
Wzór ogólny: $P=2(ab+bc+ac)$.
Odpowiedź: $52$ cm².
Zadanie nr 8
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $10$. Oblicz jego objętość.
Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$:
Ściany boczne graniastosłupa prostego to prostokąty. Po „rozwinięciu” tworzą jeden duży prostokąt o wysokości $H$ i szerokości równej obwodowi podstawy:
$$P_b=O_p\cdot H$$
Pole całkowite: $P=P_b+2P_p$ — pole boczne plus dwie podstawy.
Odpowiedź: A. obwód podstawy razy wysokość.
Zadanie nr 15
Akwarium w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $50$ cm, $30$ cm i $40$ cm. Ile litrów wody się w nim zmieści?
Krok 1 — objętość w cm³:
$$V=50\cdot30\cdot40=60\,000\ \text{cm}^3$$
Krok 2 — zamiana na litry. Jeden litr to $1000$ cm³:
$$60\,000:1000=60\ \text{litrów}$$
Warto zapamiętać: $1$ dm³ $=1$ litr $=1000$ cm³.
Odpowiedź: $60$ litrów.
Zadanie nr 16
Jeśli krawędź sześcianu podwoimy, to jego objętość wzrośnie:
Adwukrotnie
Bczterokrotnie
Cośmiokrotnie
Dszesnastokrotnie
Objętość zależy od trzeciej potęgi krawędzi. Dla krawędzi $2a$:
$$V=(2a)^3=8a^3$$
To osiem razy więcej niż $a^3$.
Zależność wymiarów: długość rośnie $2$ razy, pole $2^2=4$ razy, objętość $2^3=8$ razy.
Odpowiedź: C. ośmiokrotnie.
Zadanie nr 17
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $8$. Oblicz jego objętość oraz pole powierzchni całkowitej.
Krok 1 — pole podstawy (kwadrat):
$$P_p=6^2=36$$
Krok 2 — objętość:
$$V=P_p\cdot H=36\cdot8=288$$
Krok 3 — pole boczne. Obwód podstawy to $4\cdot6=24$:
$$P_b=O_p\cdot H=24\cdot8=192$$
Krok 4 — pole całkowite:
$$P=P_b+2P_p=192+2\cdot36=192+72=264$$
Odpowiedź: $V=288$, $P=264$.
Zadanie nr 18
Przekątna ściany sześcianu wynosi $5\sqrt2$. Oblicz objętość sześcianu.
Krok 1 — krawędź z przekątnej ściany. Ściana to kwadrat, a jego przekątna to $a\sqrt2$:
$$a\sqrt2=5\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=5$$
Krok 2 — objętość:
$$V=a^3=5^3=125$$
Uwaga na rodzaj przekątnej. Chodziło o przekątną ściany ($a\sqrt2$), a nie przekątną przestrzenną sześcianu, która wynosi $a\sqrt3$. To dwie różne wielkości.
Odpowiedź: $V=125$.
Zadanie nr 19
Przekątna sześcianu ma długość $6\sqrt3$. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu.
Krok 1 — krawędź z przekątnej przestrzennej. Dla sześcianu przekątna wynosi $a\sqrt3$:
$$a\sqrt3=6\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad a=6$$
Krok 2 — pole powierzchni:
$$P=6a^2=6\cdot36=216$$
Skąd wzór $a\sqrt3$: przekątna przestrzenna prostopadłościanu to $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, a dla sześcianu wszystkie krawędzie są równe, więc $\sqrt{3a^2}=a\sqrt3$.
Odpowiedź: $P=216$.
Zadanie nr 20
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy wynosi $4$, a przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem $45^\circ$. Oblicz wysokość i objętość.
Krok 1 — przekątna podstawy. Podstawą jest kwadrat o boku $4$, więc jego przekątna to:
$$d_p=4\sqrt2$$
Krok 2 — wykorzystujemy kąt nachylenia. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny. Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą wynosi $45^\circ$:
$$\operatorname{tg}45^\circ=\frac{H}{d_p}$$
Krok 3 — wyznaczamy wysokość. Ponieważ $\operatorname{tg}45^\circ=1$:
Dlaczego $H=d_p$. Kąt $45^\circ$ oznacza trójkąt prostokątny równoramienny — wysokość równa się przekątnej podstawy. To charakterystyczna cecha tego kąta.
Odpowiedź: $H=4\sqrt2$, $V=64\sqrt2$.
Zadanie nr 1
Objętość ostrosłupa obliczamy ze wzoru:
A$V=P_p\cdot H$
B$V=2P_p\cdot H$
C$V=\frac13 P_p\cdot H$
D$V=\frac12 P_p\cdot H$
Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości:
$$V=\frac13 P_p\cdot H$$
Warto zapamiętać: ostrosłup ma dokładnie trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.
Odpowiedź: C. $V=\frac13 P_p\cdot H$.
Zadanie nr 2
Oblicz objętość ostrosłupa o polu podstawy $30$ cm² i wysokości $9$ cm.
Interpretacja. Trzy jednakowe ostrosłupy wypełniają dokładnie jeden graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości — stąd współczynnik $\frac13$.
Odpowiedź: $50$ cm³.
Zadanie nr 14
Wysokość ostrosłupa to odcinek łączący wierzchołek z:
Awierzchołkiem podstawy
Bśrodkiem podstawy, prostopadły do niej
Cśrodkiem krawędzi bocznej
Dśrodkiem ściany bocznej
Wysokość ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i pada na jej środek (w ostrosłupie prawidłowym).
Nie mylić z apotemą — wysokością ściany bocznej, która łączy wierzchołek ze środkiem krawędzi podstawy.
Odpowiedź: B. środkiem podstawy, prostopadły.
Zadanie nr 15
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma objętość $48$ i krawędź podstawy $6$. Oblicz jego wysokość.
Krok 1 — pole podstawy:
$$P_p=6^2=36$$
Krok 2 — z wzoru na objętość wyznaczamy $H$:
$$V=\frac13 P_p\cdot H \quad\Rightarrow\quad H=\frac{3V}{P_p}$$
Krok 3 — podstawiamy:
$$H=\frac{3\cdot48}{36}=\frac{144}{36}=4$$
Odpowiedź: $H=4$.
Zadanie nr 16
Jeśli wszystkie wymiary ostrosłupa zwiększymy dwukrotnie, jego objętość wzrośnie:
Aośmiokrotnie
Bdwukrotnie
Cczterokrotnie
Dsześciokrotnie
Objętość jest wielkością trójwymiarową, więc zależy od trzeciej potęgi współczynnika skali:
$$2^3=8$$
Zależność wymiarów: długości rosną $2$ razy, pola $4$ razy, objętości $8$ razy.
Odpowiedź: A. ośmiokrotnie.
Zadanie nr 17
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$. Oblicz apotemę (wysokość ściany bocznej) oraz pole powierzchni bocznej.
Krok 1 — trójkąt do apotemy. Apotema $h_b$, wysokość ostrosłupa $H=4$ i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Połowa krawędzi to $3$.
Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:
$$h_b=\sqrt{H^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$
Krok 3 — pole boczne:
$$P_b=4\cdot\frac{6\cdot5}{2}=4\cdot15=60$$
Klucz do zadania. Apotema łączy się z wysokością ostrosłupa przez odległość od środka podstawy do środka jej krawędzi — a ta odległość to połowa boku kwadratu.
Odpowiedź: apotema $5$, $P_b=60$.
Zadanie nr 18
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $10$ i wysokość $12$. Oblicz długość krawędzi bocznej.
Krok 1 — przekątna podstawy. Kwadrat o boku $10$ ma przekątną:
$$d=10\sqrt2$$
Krok 2 — połowa przekątnej to odległość środka podstawy od wierzchołka:
$$\frac{d}{2}=5\sqrt2$$
Krok 3 — krawędź boczna z twierdzenia Pitagorasa. Tworzy trójkąt prostokątny z wysokością i połową przekątnej:
Rachunek pierwiastków: $\sqrt3\cdot\sqrt6=\sqrt{18}=3\sqrt2$, stąd uproszczenie.
Sprawdzenie wzorem gotowym: objętość czworościanu foremnego to $\frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{216\sqrt2}{12}=18\sqrt2$ ✔
Odpowiedź: $V=18\sqrt2$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że objętość ostrosłupa o polu podstawy $P$ i wysokości $H$ nie zmieni się, jeśli podstawę zastąpimy inną figurą o tym samym polu (przy tej samej wysokości). Zilustruj to przykładem.
Krok 1 — punkt wyjścia. Wzór na objętość ostrosłupa zależy wyłącznie od pola podstawy i wysokości:
$$V=\frac13 P\cdot H$$
Krok 2 — obserwacja. We wzorze nie występuje kształt podstawy — tylko jej pole $P$. Zatem dwa ostrosłupy o podstawach różnego kształtu, ale tym samym polu i tej samej wysokości, mają równe objętości. $\qquad ∎$
Krok 3 — przykład. Weźmy $H=6$ i pole podstawy $P=12$:
podstawa kwadratowa o boku $\sqrt{12}=2\sqrt3$ — pole $12$,
podstawa trójkątna o polu $12$ (np. podstawa $6$ i wysokość $4$).
W obu przypadkach:
$$V=\frac13\cdot12\cdot6=24$$
Kontekst. To szczególny przypadek zasady Cavalieriego: bryły o jednakowych polach przekrojów na każdej wysokości mają równe objętości.
Wniosek: objętość ostrosłupa zależy tylko od pola podstawy i wysokości, a nie od kształtu podstawy — oba przykłady dały $V=24$.
Zadanie nr 1
Objętość sześcianu o krawędzi $5$ wynosi:
A$25$
B$150$
C$125$
D$30$
$$V=a^3=5^3=125$$
Uwaga: $150$ to pole powierzchni tego sześcianu ($6\cdot25$), a $25$ to pole jednej ściany.
Odpowiedź: C. $125$.
Zadanie nr 2
Zestaw wzory na objętość: graniastosłupa, ostrosłupa, walca, stożka i kuli.
$$V_{\text{graniastosłupa}}=P_p\cdot H$$
$$V_{\text{ostrosłupa}}=\frac13 P_p\cdot H$$
$$V_{\text{walca}}=\pi r^2 H$$
$$V_{\text{stożka}}=\frac13\pi r^2 H$$
$$V_{\text{kuli}}=\frac43\pi r^3$$
Zauważ prawidłowość: bryły „ostro zakończone" (ostrosłup, stożek) mają współczynnik $\frac13$ względem odpowiadających im brył „prostych".
Odpowiedź: pięć wzorów jak wyżej.
Zadanie nr 3
Oblicz przekątną prostopadłościanu o wymiarach $2$, $3$ i $6$.
Warto zauważyć: wynik $\frac{\pi}{6}$ nie zależy od rozmiaru — kula wpisana w dowolny sześcian zawsze wypełnia około $52{,}4\%$ jego objętości.
Odpowiedź: $a=6$, $V_1=216$, $V_2=36\pi$; kula wypełnia około $52{,}4\%$.
Zadanie nr 20
Porównaj objętości trzech brył o tej samej podstawie (koło o promieniu $6$) i tej samej wysokości $10$: walca i stożka. Następnie sprawdź, ile stożków wypełni walec.
Krok 1 — walec:
$$V_1=\pi\cdot36\cdot10=360\pi$$
Krok 2 — stożek:
$$V_2=\frac13\pi\cdot36\cdot10=120\pi$$
Krok 3 — stosunek:
$$\frac{360\pi}{120\pi}=3$$
Wniosek. Trzy stożki wypełniają dokładnie jeden walec o tej samej podstawie i wysokości. Ten sam stosunek zachodzi między ostrosłupem a graniastosłupem — i właśnie stąd bierze się współczynnik $\frac13$ w obu wzorach.
Praktyczna konsekwencja: lejek stożkowy o tych samych wymiarach co szklanka walcowa trzeba napełnić trzykrotnie, żeby ją zapełnić.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $6$. Oblicz pole przekroju przechodzącego przez przekątną podstawy i równoległego do krawędzi bocznej.
Krok 1 — przekątna podstawy (kwadrat o boku $4$):
$$d=4\sqrt2$$
Krok 2 — kształt przekroju. To prostokąt o wymiarach: przekątna podstawy na wysokość bryły.
Krok 3 — pole:
$$P=4\sqrt2\cdot6=24\sqrt2\approx33{,}9$$
Odpowiedź: $24\sqrt2$.
Zadanie nr 14
Kula wpisana w walec o promieniu $r$ ma objętość równą:
Aobjętości walca
Bpołowie objętości walca
Cdwóm trzecim objętości walca
Djednej trzeciej objętości walca
Krok 1 — wysokość walca. Kula wpisana dotyka obu podstaw, więc $H=2r$.
Krok 2 — objętości:
$$V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3$$
$$V_{\text{kuli}}=\frac43\pi r^3$$
Krok 3 — stosunek:
$$\frac{\frac43\pi r^3}{2\pi r^3}=\frac23$$
To odkrycie Archimedesa — kazał wyryć je na swoim nagrobku.
Odpowiedź: C. dwóm trzecim objętości walca.
Zadanie nr 15
W stożek o promieniu podstawy $6$ i wysokości $8$ wpisano walec o wysokości $4$, którego podstawa leży na podstawie stożka. Oblicz promień walca.
Krok 1 — przekrój osiowy. W przekroju widać trójkąt (stożek) i wpisany w niego prostokąt (walec).
Krok 2 — podobieństwo. Na wysokości $4$ od podstawy zostaje do wierzchołka $8-4=4$, czyli połowa wysokości stożka. Promień przekroju stożka na tym poziomie maleje w tym samym stosunku:
Kontrola istnienia: $25>18$, więc bryła jest możliwa. Gdyby krawędź boczna była krótsza niż $3\sqrt2\approx4{,}24$, taki ostrosłup nie istniałby.
Odpowiedź: $H=\sqrt7$, $V=12\sqrt7$.
Zadanie nr 18
Oblicz objętość i pole powierzchni kuli wpisanej w sześcian o krawędzi $6$, a następnie porównaj objętość kuli z objętością sześcianu.
Krok 1 — promień:
$$r=\frac{6}{2}=3$$
Krok 2 — objętość kuli:
$$V=\frac43\pi\cdot27=36\pi\approx113{,}1$$
Krok 3 — pole powierzchni:
$$P=4\pi\cdot9=36\pi\approx113{,}1$$
Krok 4 — objętość sześcianu:
$$V_{\text{sz}}=216$$
Krok 5 — stosunek:
$$\frac{36\pi}{216}=\frac{\pi}{6}\approx0{,}524$$
Wniosek: kula wypełnia około $52{,}4\%$ sześcianu — i ten wynik nie zależy od rozmiaru krawędzi.
Odpowiedź: $V=36\pi$, $P=36\pi$, kula zajmuje $\frac{\pi}{6}$ objętości sześcianu.
Zadanie nr 19
W kulę o promieniu $13$ wpisano walec o wysokości $24$. Oblicz promień podstawy walca oraz jego objętość.
Krok 1 — przekrój osiowy. W przekroju widać koło o promieniu $13$ i wpisany prostokąt o wysokości $24$.
Krok 2 — trójkąt prostokątny. Promień kuli jest przeciwprostokątną, przyprostokątne to promień walca $r$ oraz połowa wysokości:
$$r^2+12^2=13^2$$
Krok 3 — obliczenie:
$$r^2=169-144=25 \quad\Rightarrow\quad r=5$$
Krok 4 — objętość walca:
$$V=\pi\cdot25\cdot24=600\pi\approx1885$$
Rozpoznanie: trójka pitagorejska $5$–$12$–$13$.
Odpowiedź: $r=5$, $V=600\pi$.
Zadanie nr 20
Sześcian o krawędzi $a$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez trzy wierzchołki sąsiadujące z jednym wybranym wierzchołkiem. Wykaż, że przekrój jest trójkątem równobocznym, i oblicz jego pole.
Krok 1 — co jest bokiem przekroju. Każdy bok trójkąta łączy dwa wierzchołki sąsiadujące z wybranym, a więc jest przekątną ściany sześcianu:
$$\text{bok}=a\sqrt2$$
Krok 2 — dlaczego równoboczny. Wszystkie trzy boki są przekątnymi ścian tego samego sześcianu, więc mają identyczną długość. Trójkąt o trzech równych bokach jest równoboczny. ∎
Sprawdzenie dla $a=2$: bok wynosi $2\sqrt2\approx2{,}83$, a pole $\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3\approx3{,}46$. Dla porównania pole ściany to $4$ — przekrój jest mniejszy, co zgadza się z intuicją, bo odcina tylko narożnik.
Odpowiedź: trójkąt równoboczny o boku $a\sqrt2$ i polu $\frac{a^2\sqrt3}{2}$.
Zadanie nr 1
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $24$ cm$^2$ i wysokości $10$ cm.
A$80$ cm$^3$
B$240$ cm$^3$
C$34$ cm$^3$
D$120$ cm$^3$
Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości:
$$V=P_p\cdot H=24\cdot10=240\ \text{cm}^3$$
Pułapka: odpowiedź A ($80$) to wynik podzielenia przez $3$ — wzór z jedną trzecią dotyczy ostrosłupa, a nie graniastosłupa.
Odpowiedź: B. $240$ cm$^3$.
Zadanie nr 2
Oblicz objętość ostrosłupa o polu podstawy $27$ cm$^2$ i wysokości $8$ cm.
Objętość ostrosłupa jest trzy razy mniejsza niż graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości:
$$V=\frac13 P_p\cdot H=\frac13\cdot27\cdot8$$
Liczymy:
$$V=9\cdot8=72\ \text{cm}^3$$
Wskazówka rachunkowa: najpierw dziel to, co dzieli się bez reszty — $27:3=9$ jest wygodniejsze niż mnożenie $27\cdot8$ i dopiero potem dzielenie.
Odpowiedź: $V=72$ cm$^3$.
Zadanie nr 3
Oblicz objętość walca o promieniu podstawy $3$ cm i wysokości $10$ cm.
Nie mylić z przekątną ściany, która wynosi $a\sqrt2=4\sqrt2\approx5{,}66$ cm — przekątna bryły jest zawsze dłuższa.
Odpowiedź: $V=64$ cm$^3$, $P=96$ cm$^2$, $d=4\sqrt3$ cm.
Zadanie nr 7
Krawędź sześcianu zwiększono dwukrotnie. Ile razy wzrosła jego objętość?
A$8$ razy
B$2$ razy
C$4$ razy
D$6$ razy
We wzorze $V=a^3$ krawędź występuje w trzeciej potędze:
$$V_2=(2a)^3=8a^3=8V_1$$
Sprawdźmy na liczbach: dla $a=3$ objętość to $27$, dla $a=6$ objętość to $216$. Rzeczywiście $216:27=8$.
Zestawienie warte zapamiętania: przy skali $k$ długości rosną $k$ razy, pola $k^2$ razy, a objętości $k^3$ razy. Odpowiedź C ($4$ razy) dotyczyłaby pola powierzchni.
Odpowiedź: A. $8$ razy.
Zadanie nr 8
Oblicz pole powierzchni całkowitej walca o promieniu $4$ cm i wysokości $6$ cm.
Powierzchnia walca to dwie podstawy (koła) plus powierzchnia boczna (rozwinięta w prostokąt).
Krok 1 — pole podstaw:
$$2\pi r^2=2\pi\cdot16=32\pi$$
Krok 2 — pole boczne. Prostokąt ma wymiary: obwód podstawy razy wysokość:
Uwaga: w polu bocznym stożka występuje tworząca $l$, a nie wysokość $H$ — to najczęstszy błąd w tym zadaniu.
Odpowiedź: $l=5$ cm, $P=24\pi\approx75$ cm$^2$.
Zadanie nr 10
Ile wierzchołków ma graniastosłup sześciokątny?
A$6$
B$8$
C$18$
D$12$
Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy. Każda sześciokątna podstawa ma $6$ wierzchołków:
$$2\cdot6=12$$
Dla porządku pozostałe elementy: krawędzi jest $18$ ($6+6$ w podstawach i $6$ bocznych), a ścian $8$ ($2$ podstawy i $6$ bocznych).
Sprawdzenie wzorem Eulera: $W-K+S=12-18+8=2$ ✔
Odpowiedź: D. $12$ wierzchołków.
Zadanie nr 11
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ cm i wysokość $8$ cm. Oblicz jego objętość, pole powierzchni całkowitej oraz długość przekątnej bryły.
Podstawą jest kwadrat o boku $6$ cm.
Krok 1 — objętość:
$$V=P_p\cdot H=36\cdot8=288\ \text{cm}^3$$
Krok 2 — pole powierzchni. Dwie podstawy plus cztery prostokąty boczne:
Kluczowa uwaga: drugą przyprostokątną jest połowa krawędzi podstawy ($5$ cm), bo wysokość ściany pada na środek boku. Użycie całych $10$ cm to najczęstszy błąd w tym typie zadania.
Odpowiedź: $V=400$ cm$^3$, wysokość ściany bocznej $13$ cm.
Zadanie nr 13
Przekrój osiowy walca o promieniu $5$ i wysokości $8$ jest:
Akołem o promieniu $5$
Bprostokątem o wymiarach $10\times8$
Cprostokątem o wymiarach $5\times8$
Dkwadratem o boku $8$
Przekrój osiowy powstaje przez przecięcie bryły płaszczyzną zawierającą oś obrotu.
Dla walca taka płaszczyzna wycina prostokąt, którego jeden bok to średnica podstawy, a drugi to wysokość:
$$2r\times H=10\times8$$
Najczęstszy błąd: użycie promienia zamiast średnicy — stąd błędna odpowiedź C.
Dla porównania: przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, a kuli — koło wielkie.
Odpowiedź: B. prostokąt $10\times8$.
Zadanie nr 14
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma $4$ cm, a wysokość bryły $4$ cm. Oblicz tangens kąta nachylenia przekątnej bryły do płaszczyzny podstawy.
Krok 1 — przekątna podstawy. Kwadrat o boku $4$:
$$d_p=4\sqrt2$$
Krok 2 — identyfikujemy kąt. Przekątna bryły, przekątna podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Szukany kąt $\alpha$ leży między przekątną bryły a przekątną podstawy.
Krok 3 — tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta (wysokość bryły) do przyprostokątnej przy kącie (przekątna podstawy):
Kontrola sensu: całe akwarium ma $80\cdot40\cdot50=160\,000$ cm$^3$, czyli $160$ l. Trzy czwarte z tego to $120$ l ✔
Odpowiedź: wlano $120$ litrów wody.
Zadanie nr 18
Stożek powstał przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $6$ cm i $8$ cm wokół dłuższej przyprostokątnej. Oblicz objętość powstałej bryły.
Krok 1 — ustalamy wymiary stożka. Przy obrocie wokół dłuższej przyprostokątnej to ona staje się wysokością, a krótsza zakreśla podstawę i staje się promieniem:
Warto porównać: obrót wokół krótszej przyprostokątnej dałby $H=6$ i $r=8$, czyli $V=\frac13\pi\cdot64\cdot6=128\pi$ — inną bryłę o większej objętości. Oś obrotu ma znaczenie.
Odpowiedź: $V=96\pi\approx302$ cm$^3$.
Zadanie nr 19
Do walca o promieniu $5$ cm i wysokości $12$ cm wrzucono kulę o promieniu $3$ cm. Jaką część objętości walca zajmuje kula?
Symbol $\pi$ skraca się, więc wynik jest dokładny, bez zaokrągleń.
Sprawdzenie sensu: kula o średnicy $6$ cm swobodnie mieści się w walcu o średnicy $10$ cm i wysokości $12$ cm, więc wynik poniżej $100\%$ jest wiarygodny.
Odpowiedź: kula zajmuje $\frac{3}{25}$ objętości walca, czyli $12\%$.
Zadanie nr 20
Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ cm i wysokość $\sqrt3$ cm. Oblicz jego objętość.
Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $6$:
Warto zauważyć: pierwiastki się zniosły i wynik jest liczbą całkowitą — to dobry sygnał, że rachunki są poprawne.
Odpowiedź: $V=9$ cm$^3$.
📄Zadania z arkuszy 57
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 8 · Matura 2026
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie $ABC$ jest równa $6\sqrt2\,\pi$, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi $SB$ i $SC$ jest równy $\frac{5}{9}$. Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa.
Krok 1. Promień okręgu opisanego i krawędź podstawy.
Z długości okręgu $2\pi R=6\sqrt2\,\pi$ mamy $R=3\sqrt2$. Dla trójkąta równobocznego $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$, więc
$$a=R\sqrt3=3\sqrt2\cdot\sqrt3=3\sqrt6.$$
Krok 2. Długość krawędzi bocznej.
W trójkącie $BSC$ ($SB=SC=b$, $BC=a=3\sqrt6$), z twierdzenia cosinusów:
Odpowiedź. Krawędź podstawy $a=3\sqrt6$, a cosinus kąta między ścianami $SAC$ i $SBC$ jest równy $\dfrac{5}{14}$.
Zadanie nr 27 · Matura 2026
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość \(8\sqrt{3}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^{\circ}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Pole kwadratu można obliczyć ze wzoru wykorzystującego długość przekątnej \(d\):
$$P_p=\frac{d^2}{2}$$
$$P_{p}=\frac{(8\sqrt{3})^2}{2}$$
$$P_{p}=\frac{64\cdot3}{2}$$
$$P_{p}=\frac{192}{2}$$
$$P_{p}=96$$
Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy to kąt między krawędzią boczną a połową przekątnej podstawy. Tworzą one wraz z wysokością ostrosłupa (\(H\)) trójkąt prostokątny.
Połowa przekątnej podstawy jest równa:
$$\frac{d}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$$
Zerkamy zatem na nasz zaznaczony na rysunku trójkąt prostokątny z którego obliczymy teraz wysokość bryły. Korzystając z funkcji trygonometrycznych (albo z własności trójkąta o kątach \(30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\)), możemy zapisać, że:
$$tg30^{\circ}=\frac{H}{\frac{d}{2}}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}} \quad\bigg/\cdot4\sqrt{3}$$
$$H=\frac{\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}}{3}$$
$$H=\frac{4\cdot3}{3}$$
$$H=4$$
Krok 3. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne miary, zatem możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H$$
$$V=\frac{1}{3}\cdot96\cdot4$$
$$V=32\cdot4$$
$$V=128$$
Zadanie nr 28 · Matura 2026
Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy:
A\(\frac{1}{12}\)
B\(\frac{1}{6}\)
C\(\frac{2}{3}\)
D\(\frac{4}{3}\)
Krok 1. Zapisanie wzorów na objętość obu brył.
Niech \(H\) oznacza wysokość obu brył, a \(x\) promień podstawy walca. Wtedy promień podstawy stożka to zgodnie z treścią zadania \(r_s=2x\).
Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120°\). Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120°\) to dorysowując wysokość stożka powstanie nam trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) w którym tworząca stożka jest przeciwprostokątną. Całość będzie wyglądać następująco:
Krok 2. Obliczenie wysokości i promienia podstawy stożka.
Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wiemy, że wysokość stożka będzie dwa razy krótsza od tworzącej, zatem:
$$H=8:2$$
$$H=4$$
I ponownie korzystając z własności tego trójkąta możemy stwierdzić, że promień podstawy stożka będzie \(\sqrt{3}\) razy większy od jego wysokości, zatem:
$$r=4\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie objętości stożka.
Korzystając ze wzoru na objętość stożka, możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$
$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot H$$
$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot(4\sqrt{3})^2\cdot 4$$
$$V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot3\cdot4\cdot\pi$$
$$V=64\pi$$
Zadanie nr 26 · Matura 2025
Objętość sześcianu jest równa \(729\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
A\(9\sqrt{3}\)
B\(9\sqrt{2}\)
C\(3\sqrt{3}\)
D\(3\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie długości boku sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu, możemy zapisać, że:
$$V=a^3$$
$$729=a^3$$
$$a=9$$
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Sześcian o boku \(a\) ma zawsze przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Stąd też przekątna naszego sześcianu ma długość \(d=9\sqrt{3}\).
Zadanie nr 25 · Matura 2024
Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15\sqrt{3}\).
Zadanie 25.1
Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe:
A. \(36\sqrt{10}\)
B. \(60\)
C. \(6\sqrt{10}\)
D. \(360\)
Zadanie 25.2
Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku:
A.
B.
C.
D.
Rozwiązanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Pole sześciokąta obliczamy ze wzoru \(P=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) (czyli jest to po prostu sześć trójkątów równobocznych). Skoro więc to pole jest równe \(15\sqrt{3}\), to:
$$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=15\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot4$$
$$6\cdot(a^2\sqrt{3})=60\sqrt{3} \quad\bigg/:6$$
$$a^2\sqrt{3}=10\sqrt{3}$$
$$a^2=10$$
$$a=\sqrt{10} \quad\lor\quad a=-\sqrt{10}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{10}\).
Krok 2. Obliczenie pola jednej ściany bocznej.
Interesująca nas ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a=\sqrt{10}\) oraz \(h=6\), zatem:
$$P=\sqrt{10}\cdot6$$
$$P=6\sqrt{10}$$
Rozwiązanie 2.
Poszukiwany kąt znajduje się na rysunku z czwartej odpowiedzi.
Zadanie nr 26 · Matura 2024
Ostrosłup \(F1\) jest podobny do ostrosłupa \(F2\).
Objętość ostrosłupa \(F1\) jest równa \(64\).
Objętość ostrosłupa \(F2\) jest równa \(512\).
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.
Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F2\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F1\) jest równy \(……….\)
Krok 1. Wyznaczenie skali podobieństwa.
Z własności podobieństwa wiemy, że jeśli skala podobieństwa jest równa \(k\), to objętość ostrosłupa podobnego będzie \(k^3\) razy większa. Bazując na informacjach z treści zadania, możemy stwierdzić, że:
$$k^3=\frac{512}{64}$$
$$k^3=8$$
$$k=2$$
Krok 2. Ustalenie stosunku pól powierzchni ostrosłupów.
Z własności podobieństwa wiemy, że jeśli skala podobieństwa jest równa \(k\), to pole figury podobnej (czyli także pole powierzchni całkowitej bryły) będzie \(k^2\) razy większe.
Skoro tak, to ostrosłup \(F2\) będzie miał to pole \(4\) razy większe, bo \(2^2=4\).
Celem zadania jest zapisanie stosunku pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F2\) względem \(F1\) (czyli tego większego względem mniejszego), zatem moglibyśmy zapisać, że ten stosunek wynosi \(4:1\).
Zadanie nr 44 · Matura 2023
Dane są dwa prostopadłościany podobne: \(B_{1}\) oraz \(B_{2}\). Objętość prostopadłościanu \(B_{1}\) jest równa \(V\), a objętość prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równa \(27V\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{1}\) jest równe \(P\).
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równe:
A. \(27P\)
B. \(9P\)
C. \(3\sqrt{3}P\)
ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy
1. stosunkowi objętości tych prostopadłościanów
2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku objętości tych prostopadłościanów.
3. kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.
Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Z własności brył podobnych wiemy, że jeżeli skala podobieństwa brył jest równa \(k\), to bryła podobna ma \(k^3\) razy większą objętość. Widzimy, że drugi prostopadłościan ma objętość \(27\) razy większą od pierwszego, zatem:
$$k^3=27$$
$$k=3$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\).
Z własności figur podobnych wiemy, że jeżeli skala podobieństwa jest równa \(k\), to pole powierzchni figury podobnej jest \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku \(k=3\), więc pole powierzchni będzie \(k^2=3^2=9\) razy większe.
To oznacza, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(B_{2}\) jest równe \(9P\), ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.
Zadanie nr 7 · Matura 2023
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $6$ (podstawy $ABCD$ i $EFGH$, przy czym $E$ leży nad $A$, $F$ nad $B$, $G$ nad $C$, $H$ nad $D$). Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$ (czyli środkiem tej ściany). Oblicz wysokość trójkąta $SBH$ poprowadzoną z punktu $S$ na bok $BH$ tego trójkąta.
Krok 1. Układ współrzędnych.
Przyjmijmy $A=(0,0,0)$, $B=(6,0,0)$, $C=(6,6,0)$, $D=(0,6,0)$ oraz $E=(0,0,6)$, $F=(6,0,6)$, $G=(6,6,6)$, $H=(0,6,6)$.
$S$ to środek ściany $ADHE$ (przecięcie jej przekątnych): $S=\left(0,\,3,\,3\right)$.
Krok 4. Wysokość na bok $BH$.
$$h=\frac{2\,P_{SBH}}{|BH|}=\frac{2\cdot 9\sqrt2}{6\sqrt3}=\frac{18\sqrt2}{6\sqrt3}=\frac{3\sqrt2}{\sqrt3}=\sqrt6.$$
Odpowiedź: wysokość ma długość $\sqrt6$.
Zadanie nr 25 · Matura 2023
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}\).
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa:
A\(15\sqrt{2}\)
B\(45\)
C\(5\sqrt{2}\)
D\(10\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(a=15\). Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem w naszym przypadku \(d=15\sqrt{2}\).
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Cosinus opisuje nam stosunek między długości przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{d}{s}$$
Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{s}$$
To równanie możemy rozwiązać na wiele sposobów - najprościej będzie chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$\sqrt{2}\cdot s=3\cdot15\sqrt{2}$$
$$\sqrt{2}\cdot s=45\sqrt{2}$$
$$s=45$$
Zadanie nr 27 · Matura 2023
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\). Podstawą tego ostrosłupa jest:
Akwadrat
Bpięciokąt foremny
Csześciokąt foremny
Dsiedmiokąt foremny
Jeżeli w podstawie ostrosłupa mamy \(n\)-kąt, to liczbę wierzchołków ostrosłupa możemy opisać jako \(n+1\), natomiast liczba krawędzi będzie równa \(2n\).
Z treści zadania wynika więc, że:
$$\frac{n+1}{2n}=\frac{3}{5}$$
Wykonując teraz mnożenie na krzyż, otrzymamy:
$$(n+1)\cdot5=2n\cdot3$$
$$5n+5=6n$$
$$n=5$$
To oznacza, że w podstawie naszego ostrosłupa znajduje się pięciokąt i będzie to oczywiście pięciokąt foremny (bo ostrosłup jest prawidłowy).
Zadanie nr 24 · Próbny 2023
W pewnym graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ściany bocznej jest pięć razy dłuższa od przekątnej podstawy.
Stosunek długości krawędzi bocznej tego graniastosłupa do długości krawędzi jego podstawy jest równy:
A\(5\)
B\(\sqrt{5}\)
C\(5\sqrt{2}\)
D\(7\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał kwadrat. Oznaczmy zatem krawędź podstawy jako \(a\), natomiast krawędź boczną jako \(b\). Dodatkowo możemy zapisać, że przekątna podstawy ma długość \(a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna podstawy o boku \(a\)), a przekątna ściany bocznej będzie pięciokrotnie dłuższa, czyli będzie miała długość \(5a\sqrt{2}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:
Krok 2. Obliczenie stosunku długości krawędzi bocznej do krawędzi podstawy.
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny, który powstał nam na ścianie bocznej. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$a^2+b^2=(5a\sqrt{2})^2$$
$$a^2+b^2=25\cdot a^2\cdot 2$$
$$a^2+b^2=50a^2$$
$$b^2=49a^2$$
$$b=\sqrt{49a^2} \quad\lor\quad b=-\sqrt{49a^2}$$
$$b=7a \quad\lor\quad b=-7a$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W takim razie zostaje nam wynik \(b=7a\), który informuje nas, że krawędź boczna jest \(7\) razy dłuższa od krawędzi podstawy.
Zadanie nr 25 · Matura 2023
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}\).
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa:
A\(15\sqrt{2}\)
B\(45\)
C\(5\sqrt{2}\)
D\(10\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(a=15\). Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem w naszym przypadku \(d=15\sqrt{2}\).
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Cosinus opisuje nam stosunek między długości przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{d}{s}$$
Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{s}$$
To równanie możemy rozwiązać na wiele sposobów - najprościej będzie chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$\sqrt{2}\cdot s=3\cdot15\sqrt{2}$$
$$\sqrt{2}\cdot s=45\sqrt{2}$$
$$s=45$$
Zadanie nr 27 · Matura 2023
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\). Podstawą tego ostrosłupa jest:
Akwadrat
Bpięciokąt foremny
Csześciokąt foremny
Dsiedmiokąt foremny
Jeżeli w podstawie ostrosłupa mamy \(n\)-kąt, to liczbę wierzchołków ostrosłupa możemy opisać jako \(n+1\), natomiast liczba krawędzi będzie równa \(2n\).
Z treści zadania wynika więc, że:
$$\frac{n+1}{2n}=\frac{3}{5}$$
Wykonując teraz mnożenie na krzyż, otrzymamy:
$$(n+1)\cdot5=2n\cdot3$$
$$5n+5=6n$$
$$n=5$$
To oznacza, że w podstawie naszego ostrosłupa znajduje się pięciokąt i będzie to oczywiście pięciokąt foremny (bo ostrosłup jest prawidłowy).
Zadanie nr 26 · Matura 2023
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}\). Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa:
A\(15\sqrt{2}\)
B\(45\)
C\(5\sqrt{2}\)
D\(10\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:
--rysunki zrobię na samym końcu--
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(a=15\). Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem w naszym przypadku \(d=15\sqrt{2}\).
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Cosinus opisuje nam stosunek między długości przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{d}{s}$$
Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{s}$$
To równanie możemy rozwiązać na wiele sposobów - najprościej będzie chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$\sqrt{2}\cdot s=3\cdot15\sqrt{2}$$
$$\sqrt{2}\cdot s=45\sqrt{2}$$
$$s=45$$
Zadanie nr 29 · Matura 2023
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby \(W\) wszystkich wierzchołków do liczby \(K\) wszystkich krawędzi jest równy \(\frac{W}{K}=\frac{3}{5}\). Podstawą tego ostrosłupa jest:
Akwadrat
Bpięciokąt foremny
Csześciokąt foremny
Dsiedmiokąt foremny
Jeżeli w podstawie ostrosłupa mamy \(n\)-kąt, to liczbę wierzchołków ostrosłupa możemy opisać jako \(n+1\), natomiast liczba krawędzi będzie równa \(2n\).
Z treści zadania wynika więc, że:
$$\frac{n+1}{2n}=\frac{3}{5}$$
Wykonując teraz mnożenie na krzyż, otrzymamy:
$$(n+1)\cdot5=2n\cdot3$$
$$5n+5=6n$$
$$n=5$$
To oznacza, że w podstawie naszego ostrosłupa znajduje się pięciokąt i będzie to oczywiście pięciokąt foremny (bo ostrosłup jest prawidłowy).
Zadanie nr 30 · Próbny 2022
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Odcinek łączący wierzchołek \(H\) ze środkiem krawędzi \(BC\) ma długość \(HP=4\) (jak na rysunku).
Oblicz objętość tego sześcianu.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, iż trójkąt \(PCH\) jest prostokątny. Skoro tak, to pomoże nam tutaj Twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli przyjmiemy, że długość krawędzi sześcianu ma długość \(a\), to \(|PC|=\frac{1}{2}a\) natomiast \(|CH|=a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna kwadratu o boku \(a\)). W treści zadania mamy jeszcze podaną długość \(|HP|=4\) (która jest przeciwprostokątną naszego trójkąta), zatem:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+(a\sqrt{2})^2=4^2$$
$$\frac{1}{4}a^2+2a^2=16$$
$$\frac{9}{4}a^2=16 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9}$$
$$a^2=\frac{64}{9}$$
$$a=\sqrt{\frac{64}{9}} \quad\lor\quad a=-\sqrt{\frac{64}{9}}$$
$$a=\frac{8}{3} \quad\lor\quad a=-\frac{8}{3}$$
Przekątna sześcianu jest równa \(6\). Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa:
A\(24\sqrt{3}\)
B\(72\)
C\(54\sqrt{2}\)
D\(648\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Ze wzorów wynika, że przekątną sześcianu możemy opisać wzorem:
$$d=a\sqrt{3}$$
Skoro przekątna ma długość \(6\), to:
$$a\sqrt{3}=6$$
$$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{6\sqrt{3}}{3}$$
$$a=2\sqrt{3}$$
Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu możemy zapisać, że:
$$V=a^3$$
$$V=(2\sqrt{3})^3$$
$$V=8\cdot3\sqrt{3}$$
$$V=24\sqrt{3}$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2021
Przekątna sześcianu ma długość \(5\sqrt{3}\). Wtedy objętość tego sześcianu jest równa:
A\(125\)
B\(75\)
C\(375\sqrt{3}\)
D\(125\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Skoro więc przekątna ma długość \(5\sqrt{3}\), to:
$$a\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$
$$a=5$$
Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość sześcianu wyjdzie nam, że:
$$V=a^3$$
$$V=5^3$$
$$V=125$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2021
Pola trzech ścian prostopadłościanu wynoszą \(72\), \(36\) i \(18\). Objętość tego prostopadłościanu jest równa:
A\(72\)
B\(132\)
C\(216\)
D\(288\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie prostopadłościan i zastanówmy się, co tak naprawdę wynika z treści zadania:
Nie jest istotne jakimi symbolami opiszemy te ściany. Ważne jest to, że powstaną nam tak naprawdę trzy różne prostokąty, których pola zapisane są w treści zadania. Korzystając ze wzoru na pole prostokąta możemy ułożyć trzy następujące równania, które stworzą nam tym samym układ równań:
\begin{cases} a\cdot b=18 \\ b\cdot c=36 \\ a\cdot c=72 \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Naszym zadaniem jest teraz rozwiązanie układu równań. Jest wiele dróg na dojście do wyniku, ale najprościej będzie chyba przekształcić pierwsze i drugie równanie w taki sposób:
\begin{cases} a=\frac{18}{b} \\ c=\frac{36}{b} \\ a\cdot c=72 \end{cases}
Podstawmy teraz do trzeciego równania to, co otrzymaliśmy w równaniu pierwszym i drugim:
$$\frac{18}{b}\cdot\frac{36}{b}=72$$
$$\frac{648}{b^2}=72$$
$$72b^2=648$$
$$b^2=9$$
$$b=3 \quad\lor\quad b=-3$$
Oczywiście ujemną długość musimy odrzucić, więc zostaje nam \(b=3\). Teraz korzystając z odpowiednich równań z układu, możemy dojść do brakujących długości \(a\) oraz \(c\):
$$a\cdot b=18$$
$$a\cdot3=18$$
$$a=6$$
$$b\cdot c=36$$
$$3\cdot c=36$$
$$c=12$$
Krok 3. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając wszystkie długości boków prostopadłościanu, możemy bez problemu obliczyć jego objętość:
$$V=6\cdot3\cdot12$$
$$V=216$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2021
Objętość sześcianu, którego suma długości krawędzi jest równa \(72\), wynosi:
A\(216\)
B\(160\)
C\(36\)
D\(240\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian ma \(12\) krawędzi. Skoro suma ich długości wynosi \(72\), to każda krawędź ma:
$$12a=72$$
$$a=6$$
Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=a^3$$
$$V=6^3$$
$$V=216$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2021
Objętość prostopadłościanu, którego każda następna krawędź jest dwa razy dłuższa od poprzedniej, wynosi \(216\). Pole powierzchni tego prostopadłościanu jest równe:
A\(126\)
B\(252\)
C\(522\)
D\(110\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Jeżeli pierwszą krawędź oznaczymy sobie jako \(a\), to druga zgodnie z treścią zadania będzie dwa razy większa, czyli \(b=2a\), a kolejna będzie jeszcze dwa razy większa, czyli \(c=4a\).
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Objętość naszej bryły jest równa \(216\), zatem korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=a\cdot b\cdot c$$
$$216=a\cdot2a\cdot4a$$
$$216=8a^3$$
$$a^3=27$$
$$a=3$$
Skoro \(a=3\), to zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami \(b=2\cdot3=6\) oraz \(c=4\cdot3=12\).
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni prostopadłościanu możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2ab+2ac+2bc$$
$$P_{c}=2\cdot3\cdot6+2\cdot3\cdot12+2\cdot6\cdot12$$
$$P_{c}=36+72+144$$
$$P_{c}=252$$
Zadanie nr 34 · Próbny 2021
Krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka mają długości będące kolejnymi liczbami nieparzystymi. Suma długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi \(60\). Oblicz objętość i pole powierzchni tej bryły.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu.
Trzy kolejne liczby nieparzyste możemy zapisać jako:
I krawędź: \(2n+1\)
II krawędź: \(2n+3\)
III krawędź: \(2n+5\)
W prostopadłościanie każda z krawędzi występuje czterokrotnie, a skoro suma długości tych krawędzi jest równa \(60\), to:
$$4\cdot(2n+1+2n+3+2n+5)=60$$
$$4\cdot(6n+9)=60$$
$$24n+36=60$$
$$24n=24$$
$$n=1$$
Otrzymany wynik posłuży nam teraz do wyznaczenia konkretnych długości krawędzi prostopadłościanu. Podstawiając \(n=1\) do zapisanych wcześniej wyrażeń, otrzymamy:
To oznacza, że:
I krawędź: \(2\cdot1+1=2+1=3\)
II krawędź: \(2\cdot1+3=2+3=5\)
III krawędź: \(2\cdot1+5=2+5=7\)
Krok 2. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Znając długości krawędzi możemy bez problemu obliczyć objętość tej bryły:
$$V=abc$$
$$V=3\cdot5\cdot7$$
$$V=105$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, zatem korzystając ze wzoru na to pole możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2\cdot(ab+ac+bc)$$
$$P_{c}=2\cdot(3\cdot5+3\cdot7+5\cdot7)$$
$$P_{c}=2\cdot(15+21+35)$$
$$P_{c}=2\cdot71$$
$$P_{c}=142$$
Zadanie nr 25 · Matura 2020
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa:
A\(6\sqrt{2}\)
B\(3\sqrt{2}\)
C\(12\sqrt{2}\)
D\(8\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian. Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe \(12\), to pole takiej pojedynczej ściany będzie równe:
$$P=12:6$$
$$P=2$$
Wiemy, że każda taka ściana sześcianu jest kwadratem, zatem korzystając ze wzoru na pole kwadratu możemy zapisać, że:
$$P=a^2$$
$$2=a^2$$
$$a=\sqrt{2} \quad\lor\quad a=-\sqrt{2}$$
Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=\sqrt{2}\).
Krok 2. Obliczenie sumy długości krawędzi sześcianu.
Sześcian ma \(12\) krawędzi, zatem suma ich długości będzie równa \(12\sqrt{2}\).
Zadanie nr 24 · Matura 2020
Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe:
A\(96\)
B\(24\sqrt{3}\)
C\(192\)
D\(16\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). Skoro więc przekątna naszego sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\), to:
$$a\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$
$$a=4$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni sześcianu.
Wiemy już, że nasz sześcian ma krawędź o długości \(a=4\). Pole powierzchni sześcianu to pole sześciu jednakowych kwadratów, zatem:
$$P_{c}=6a^2$$
$$P_{c}=6\cdot4^2$$
$$P_{c}=6\cdot16$$
$$P_{c}=96$$
Zadanie nr 21 · Matura 2019
Dany jest prostopadłościan o wymiarach \(30cm\times40cm\times120cm\) (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki \(a,b,c,d\), o długościach - odpowiednio - \(119cm\), \(121cm\), \(129cm\) i \(131cm\).
Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa:
Atylko od odcinka \(a\)
Btylko od odcinków \(a\) i \(b\)
Ctylko od odcinków \(a\), \(b\) i \(c\)
Dod wszystkich czterech danych odcinków
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy na początek narysować tę sytuację, zaznaczając od razu przekątną całego prostopadłościanu.
Utworzył nam się trójkąt prostokątny w którym przekątna bryły jest przeciwprostokątną tego trójkąta. To właśnie z tego trójkąta wyznaczymy długość tej przekątnej.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Zanim obliczymy przekątną całego prostopadłościanu to widzimy z rysunku, że musimy obliczyć przekątną podstawy. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$120^2+30^2=c^2$$
$$14400+900=c^2$$
$$c^2=15300$$
$$c=\sqrt{15300} \quad\lor\quad c=-\sqrt{15300}$$
Ujemną wartość odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(c=\sqrt{15300}\) i na razie w takiej postaci to zostawimy.
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Teraz korzystając z naszego zaznaczonego trójkąta prostokątnego możemy obliczyć długość przekątnej całej bryły, ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{15300})^2+40^2=d^2$$
$$15300+1600=d^2$$
$$d^2=16900$$
$$d=\sqrt{16900} \quad\lor\quad d=-\sqrt{16900}$$
$$d=130 \quad\lor\quad d=-130$$
Ponownie odrzucamy ujemną długość, zatem zostaje nam \(d=130\).
Krok 4. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Musimy odpowiedzieć na pytanie od ilu z podanych odcinków nasza przekątna prostopadłościanu jest dłuższa i widzimy wyraźnie, że jest dłuższa od trzech odcinków: \(a\), \(b\) oraz \(c\).
Zadanie nr 22 · Próbny 2019
Przekątna sześcianu ma długość \(6cm\). Objętość tego sześcianu jest równa:
A\(24\sqrt{3}cm^3\)
B\(24cm^3\)
C\(72\sqrt{3}cm^3\)
D\(72cm^3\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(s=a\sqrt{3}\). Wiemy, że przekątna naszego sześcianu ma długość \(6cm\), zatem:
$$a\sqrt{3}=6$$
$$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{6\sqrt{3}}{3}$$
$$a=2\sqrt{3}[cm]$$
Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Wiedząc, że \(a=2\sqrt{3}cm\) możemy bez przeszkód obliczyć objętość tego sześcianu:
$$V=a^3$$
$$V=(2\sqrt{3})^3$$
$$V=2^3\cdot\sqrt{3}^3$$
$$V=8\cdot3\sqrt{3}$$
$$V=24\sqrt{3}[cm^3]$$
Zadanie nr 19 · Matura 2019
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa \(96cm\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A\(48cm^2\)
B\(64cm^2\)
C\(384cm^2\)
D\(512cm^2\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
W sześcianie mamy \(12\) krawędzi, które są jednakowej długości. Skoro suma długości wszystkich krawędzi wynosi \(96cm\), to każda z tych krawędzi ma:
$$96cm:12=8cm$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Pole powierzchni całkowitej sześcianu składa się z \(6\) ścian, a każda ze ścian jest kwadratem o boku \(8cm\). W związku z tym:
$$P_{c}=6\cdot a^2$$
$$P_{c}=6\cdot8^2$$
$$P_{c}=6\cdot64$$
$$P_{c}=384[cm^2]$$
Zadanie nr 23 · Matura 2019
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) ściany \(ABCD\) sześcianu przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).
Tangens kąta, jaki odcinek \(PH\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\), jest równy:
A\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
B\(\frac{1}{2}\)
C\(1\)
D\(\sqrt{2}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześcianie wszystkie krawędzie mają jednakową długość, oznaczmy ją jako \(a\). Dodatkowo zaznaczmy interesujący nas kąt, czyli kąt między odcinkiem \(PH\) i płaszczyzną podstawy:
Aby obliczyć wartość tangensa naszego kąta będziemy potrzebować długości dwóch przyprostokątnych trójkąta \(DPH\). Wiemy już, że \(|DH|=a\), musimy jeszcze wyznaczyć długość odcinka \(DP\).
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DP\).
Odcinek \(DP\) to połowa przekątnej kwadratu znajdującego się w podstawie. Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a\), to jego cała przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\). Nasz odcinek \(DP\) jest połową tej długości, czyli:
$$|DP|=\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$
Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.
Znamy długości dwóch przyprostokątnych, więc jesteśmy w stanie wyznaczyć poszukiwaną wartość tangensa naszego kąta:
$$tgα=\frac{|DH|}{|DP|}$$
$$tgα=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}$$
$$tgα=a:\frac{a\sqrt{2}}{2}$$
$$tgα=a\cdot\frac{2}{a\sqrt{2}}$$
$$tgα=\frac{2}{\sqrt{2}}$$
Usuwając niewymierność z mianownika otrzymamy:
$$tgα=\frac{2}{\sqrt{2}}$$
$$tgα=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$
$$tgα=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$
Zadanie nr 21 · Matura 2019
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary \(5dm\times3dm\times2dm\) (zobacz rysunek).
Przekątna \(KL\) tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do \(0,01 dm\) - równa:
A\(5,83dm\)
B\(6,16dm\)
C\(3,61dm\)
D\(5,39dm\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Zanim obliczymy długość przekątnej \(KL\) to musimy obliczyć długość przekątnej podstawy tego prostopadłościanu. W podstawie mamy prostokąt o bokach \(5dm\) oraz \(3dm\), zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$5^2+3^2=c^2$$
$$25+9=c^2$$
$$c^2=34$$
$$c=\sqrt{34} \quad\lor\quad c=-\sqrt{34}$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem przekątna podstawy ma długość \(\sqrt{34}dm\).
Krok 3. Obliczenie przekątnej \(KL\).
Przekątna podstawy (którą policzyliśmy przed chwilą), wysokość prostopadłościanu (która ma długość \(2dm\)) oraz przekątna \(KL\) (której szukamy) tworzą trójkąt prostokątny. Zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$(\sqrt{34})^2+2^2=|KL|^2$$
$$34+4=|KL|^2$$
$$|KL|^2=38$$
$$|KL|=\sqrt{38} \quad\lor\quad |KL|=-\sqrt{38}$$
Tutaj ponownie ujemną wartość odrzucamy. Otrzymaliśmy więc informację, że odcinek \(KL\) ma długość \(\sqrt{38}dm\), czyli w przybliżeniu będzie to \(6,16dm\).
Zadanie nr 22 · Matura 2018
Jeżeli \(α\) oznacza miarę kąta między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej tego sześcianu (zobacz rysunek), to:
A\(sinα=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
B\(sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C\(sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D\(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Krawędź sześcianu, przekątna ściany bocznej oraz przekątna sześcianu tworzą trójkąt prostokątny. Sinus bada stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) (czyli w tym przypadku krawędzi podstawy) do długości przeciwprostokątnej (czyli w tym przypadku przekątnej sześcianu). Z własności sześcianu wiemy, że przekątna sześcianu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), zatem:
Sześcian \(ABCDA'B'C'D'\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) dolnej podstawy i wierzchołek \(C'\) górnej podstawy. Jeśli \(a\) jest krawędzią tego sześcianu, to pole otrzymanego przekroju jest równe:
A\(\frac{1}{2}a^2\sqrt{2}\)
B\(\frac{1}{2}a^2\sqrt{3}\)
C\(\frac{1}{2}a^2\sqrt{5}\)
D\(\frac{1}{2}a^2\sqrt{6}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy sobie przekrój, którego pole musimy policzyć i nanieśmy na rysunek dane, które pozwolą nam wykonać obliczenia.
Okazuje się, że każdy bok trójkąta jest przekątną jakiegoś kwadratu, a z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\) (stąd też te miary pojawiły się już na rysunku). To z kolei prowadzi nas do bardzo ciekawego wniosku, a mianowicie że jest to trójkąt równoboczny o bokach długości \(a\sqrt{2}\).
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni przekroju.
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) możemy bez problemu obliczyć pole naszego przekroju. Trzeba tylko być ostrożnym, bo trochę niefortunnie mamy tutaj zbieżność symboli i pod \(a\) będziemy podstawiać długość \(a\sqrt{2}\).
$$P=\frac{(a\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{a^2\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4}$$
$$P=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{2}$$
$$P=\frac{1}{2}a^2\sqrt{3}$$
Zadanie nr 23 · Matura 2017
Długość przekątnej sześcianu jest równa \(6\). Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A\(72\)
B\(48\)
C\(152\)
D\(108\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian o krąwędzi \(a\) ma przekątną długości \(d=a\sqrt{3}\), zatem zgodnie z treścią zadania:
$$a\sqrt{3}=6$$
$$a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$
Możemy usunąć niewymierność z mianownika, ale jesteśmy w trakcie liczenia, więc nie musimy tego póki co robić (zwłaszcza, że za chwilę będziemy potęgować).
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Sześcian składa się z sześciu kwadratowych ścian, z których każda ma bok długości \(a=\frac{6}{\sqrt{3}}\), zatem:
$$P_{c}=6a^2$$
$$P_{c}=6\cdot\left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2$$
$$P_{c}=6\cdot\frac{36}{3}$$
$$P_{c}=6\cdot12$$
$$P_{c}=72$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2015
Sześcian przecięto płaszczyzną przechodzącą przez dwie równoległe przekątne dolnej i górnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju jest równe \(16\). Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe:
A\(8\sqrt{2}\)
B\(32\sqrt{2}\)
C\(48\sqrt{2}\)
D\(56\sqrt{2}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Pamiętając o tym, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\) możemy sporządzić następujący rysunek:
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Nasz otrzymany przekrój jest prostokątem o wymiarach \(a\) oraz \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$P=a\cdot a\sqrt{2}$$
$$16=a\cdot a\sqrt{2}$$
$$16=a^2\sqrt{2}$$
$$a^2=\frac{16}{\sqrt{2}}$$
Biorąc pod uwagę fakt, że pole całkowite sześcianu jest równe \(P_{c}=6a^2\) to nie ma za bardzo sensu pierwiastkować i obliczać ile jest równe \(a\), skoro za chwilę będziemy znowu potrzebować \(a^2\). Możemy pozostać przy wyliczeniu \(a^2\), ale usuńmy jeszcze niewymierność z mianownika:
$$a^2=\frac{16}{\sqrt{2}}$$
$$a^2=\frac{16\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$
$$a^2=\frac{16\sqrt{2}}{2}$$
$$a^2=8\sqrt{2}$$
Krok 3. Obliczenie pola całkowitego sześcianu.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie wcześniej:
$$P_{c}=6a^2$$
$$P_{c}=6\cdot8\sqrt{2}$$
$$P_{c}=48\sqrt{2}$$
Zadanie nr 22 · Matura 2015
Promień kuli o objętości \(V=288π\) jest równy:
A\(18\)
B\(9\)
C\(8\)
D\(6\)
Korzystając ze wzoru na objętość kuli możemy stwierdzić, że:
$$V=\frac{4}{3}πr^3$$
$$288π=\frac{4}{3}πr^3 \quad\bigg/:π$$
$$288=\frac{4}{3}r^3 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4}$$
$$216=r^3$$
$$r=6$$
Zadanie nr 33 · Matura 2015
Wysokość prostopadłościanu \(ABCDEFGH\) jest równa \(1\), a długość przekątnej \(BH\) jest równa sumie długości krawędzi \(AB\) i \(BC\). Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść na rysunek informacje z treści zadania, które ułatwią nam obliczenia.
Krok 2. Zapisanie długości przekątnej podstawy.
Widzimy, że kluczowym z punktu widzenia zadania będzie trójkąt \(BDH\). W jego dolnej przyprostokątnej znajduje się przekątna podstawy prostopadłościanu, oznaczona symbolem \(d\). Spróbujmy zapisać jej długość za pomocą wyrażeń algebraicznych, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=d^2$$
$$d=\sqrt{a^2+b^2}$$
Krok 3. Wykorzystanie Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(BDH\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$d^2+1^2=(a+b)^2$$
$$\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2+1^2=(a+b)^2$$
$$a^2+b^2+1=a^2+2ab+b^2$$
$$2ab=1$$
$$ab=\frac{1}{2}$$
Krok 4. Obliczenie objętości prostopadłościanu.
Spójrzmy na wzór na objętość prostopadłościanu:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=ab\cdot H$$
Znamy wysokość prostopadłościanu, bo \(H=1\). Nie wiemy jaką konkretnie miarę mają odcinki \(a\) oraz \(b\), ale wiemy że ich iloczyn jest równy \(\frac{1}{2}\). I ta wiedza nam w zupełności wystarczy do obliczenia objętości. Podstawiając te dane otrzymamy:
$$V=\frac{1}{2}\cdot1$$
$$V=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 22 · Matura 2015
Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A\(24\)
B\(12\sqrt{2}\)
C\(12\)
D\(16\sqrt{2}\)
Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu (\(a\)).
Trzeba dobrze wczytać się w treść zadania. Podaną mamy długość przekątnej ściany sześcianu, a nie przekątnej całego sześcianu jako takiego. Wiemy więc, że ścianami sześcianu są kwadraty o przekątnej \(d=2\). Nam do obliczenia pola całkowitego potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu. Z własności kwadratu wynika, że:
$$d=a\sqrt{2}$$
$$2=a\sqrt{2}$$
$$a=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Sześcian składa się z sześciu ścian, każda z nich jest kwadratem o boku \(a=\sqrt{2}\), zatem:
$$P_{c}=6\cdot a^2$$
$$P_{c}=6\cdot (\sqrt{2})^2$$
$$P_{c}=6\cdot2$$
$$P_{c}=12$$
Zadanie nr 16 · Matura 2014
W sześcianie \(EFGHIJKL\) poprowadzono z wierzchołka \(F\) dwie przekątne sąsiednich ścian, \(FI\) oraz \(FK\) (zobacz rysunek). Miara kąta \(IFK\) jest równa:
A\(30°\)
B\(45°\)
C\(60°\)
D\(90°\)
Gdybyśmy połączyli ze sobą punkt \(I\) oraz \(K\) to otrzymalibyśmy trójkąt \(IKF\), którego jednym z kątów jest nasz poszukiwany \(\sphericalangle IFK\). Spróbujmy ustalić jaki będzie ten trójkąt \(IKF\). Wszystkie jego boku byłyby przekątnymi ścian, a skoro jest to sześcian, to każda z tych przekątnych miałaby tą samą długość. To oznacza, że trójkąt \(IKF\) jest równoboczny, a skoro tak, to \(|\sphericalangle IFK|=60°\).
Zadanie nr 32 · Matura 2014
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(198\). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1:2:3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Krok 2. Obliczenie długości \(x\).
Znając pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i relacje między poszczególnymi długościami boków (patrz rysunek z pierwszego kroku) możemy obliczyć długość każdej z krawędzi.
$$P_{c}=2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x$$
$$198=4x^2+6x^2+12x^2$$
$$198=22x^2$$
$$x^2=9$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zostaje nam \(x=3\).
Znając wartość \(x=3\) znamy tak naprawdę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu: \(x=3\), \(2x=6\) oraz \(3x=9\).
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Musimy poznać długość odcinka \(BD\), tak aby potem użyć jej do obliczenia przekątnej bryły. Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$a^2+b^2=c^2$$
$$|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2$$
$$3^2+6^2=|BD|^2$$
$$9+36=|BD|^2$$
$$|BD|^2=45$$
$$|BD|=\sqrt{45}$$
Krok 4. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Ponownie skorzystamy ze wzoru na Twierdzenie Pitagorasa.
$$|BD|^2+|DH|^2=|BH|^2$$
$$(\sqrt{45})^2+9^2=|BH|^2$$
$$45+81=|BH|^2$$
$$|BH|^2=126$$
$$|BH|=\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}$$
Zadanie nr 31 · Matura 2013
Długość krawędzi sześcianu jest o \(2\) krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną sześcianu (\(s\)) oraz przekątną podstawy (\(d\)), która przyda nam się do dalszych obliczeń. I tu od razu możemy zauważyć, że nasza przekątna podstawy jest tak naprawdę przekątną kwadratu, który znalazł się w podstawie sześcianu. Zatem jeśli długość krawędzi oznaczymy jako \(a\) to \(d=a\sqrt{2}\).
Krok 2. Wyznaczenie wzoru ogólnego na długość przekątnej sześcianu.
Ten krok możemy pominąć, jeśli po prostu pamiętamy że przekątna sześcianu jest opisana wzorem \(s=a\sqrt{3}\). Niestety tego wzoru nie ma w tablicach maturalnych, dlatego zobaczmy jak go łatwo możemy sobie wyprowadzić.
Spójrzmy na trójkąt \(BDH\). Jest on prostokątny, a jego przyprostokątne mają długośc odpowiednio \(a\) oraz \(a\sqrt{2}\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+(a\sqrt{2})^2=s^2$$
$$a^2+2a^2=s^2$$
$$s^2=3a^2$$
$$s=\sqrt{3\cdot a^2}$$
$$s=a\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Z treści zadania wynika, że \(a=s-2\). Możemy teraz podstawić tą zależność do wyznaczonego wzoru z kroku drugiego i otrzymamy wtedy:
$$s=(s-2)\sqrt{3}$$
$$s=s\sqrt{3}-2\sqrt{3}$$
$$s-s\sqrt{3}=-2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot(-1)$$
$$s\sqrt{3}-s=2\sqrt{3}$$
$$s(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}$$
$$s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$
(Mnożenie przez \(-1\) nie było koniecznie, ale sprawiało że pozbyliśmy się minusów, więc warto było ten krok wykonać). Teoretycznie otrzymany wynik można byłoby uznać za prawidłowy, ale warto tutaj jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym przypadku wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez (\(\sqrt{3}+1\)).
$$s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$
$$s=\frac{2\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1\cdot(\sqrt{3}+1)}$$
$$s=\frac{6+2\sqrt{3}}{3-1}$$
$$s=\frac{6+2\sqrt{3}}{2}$$
$$s=3+\sqrt{3}$$
Zadanie nr 15 · Matura 2013
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(12\). Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa:
A\(12\sqrt{2}\)
B\(8\sqrt{2}\)
C\(6\sqrt{2}\)
D\(3\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Skoro w sześcianie mamy sześć ścian, a pole każdej z nich możemy zapisać jako \(a^2\), to znając pole powierzchni całkowitej możemy wyznaczyć długość krawędzi sześcianu:
$$6a^2=12$$
$$a^2=2$$
$$a=\sqrt{2}$$
Krok 2. Obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi.
W sześcianie znajduje się \(12\) krawędzi, zatem:
$$12\cdot a=12\sqrt{2}$$
Zadanie nr 20 · Egz. 8-kl. 2012
Na rysunku przedstawiono walec, stożek i kulę oraz niektóre ich wymiary.
Na podstawie informacji przedstawionych na rysunku wybierz zdanie prawdziwe.
AObjętość kuli jest większa od objętości walca
BObjętość stożka jest większa od objętości kuli
CObjętość walca jest \(2\) razy większa od objętości kuli
DObjętość stożka jest \(3\) razy mniejsza od objętości walca
To zadanie wymaga od nas nie tyle obliczeń każdej z objętości co przede wszystkim spostrzegawczości. Znając wzory na objętość walca i stożka wiemy doskonale, że różnią się tylko tym, że we wzorze na objętość stożka stoi dodatkowo mnożenie przez \(\frac{1}{3}\):
$$V_{walca}=πr^2\cdot H$$
$$V_{stożka}=\frac{1}{3}πr^2\cdot H$$
Skoro wszystkie wymiary brył są jednakowe, to na pewno objętość stożka będzie \(3\) razy mniejsza od objętości walca (właśnie przez to mnożenie przez \(\frac{1}{3}\)). To oznacza, że nawet bez dokonywania obliczeń możemy wybrać czwartą odpowiedź jako tą prawdziwą. Jeżeli jednak nie dostrzegamy takich zależności, to nic nie stoi na przeszkodzie by obliczyć objętości tych trzech brył:
Krok 4. Wybór właściwej odpowiedzi.
Przyglądając się wynikom i odpowiedziom z treści zadania widzimy wyraźnie, że jedynym prawdziwym stwierdzeniem jest to zawarte w czwartej odpowiedzi, bo faktycznie objętość stożka jest \(3\) razy mniejsza od objętości walca.
Zadanie nr 22 · Matura 2012
Objętość sześcianu jest równa \(64\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A\(512\)
B\(384\)
C\(96\)
D\(16\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej musimy znać długość krawędzi tego sześcianu. Wyznaczymy ją ze wzoru na objętość, bowiem to właśnie objętość jest podana w treści zadania:
$$V=a^3$$
$$64=a^3$$
$$a=\sqrt[3]{64}$$
$$a=4$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
Znając długość krawędzi sześcianu możemy przystąpić do obliczenia jego pola powierzchni całkowitej:
$$P_{c}=6\cdot a^2$$
$$P_{c}=6\cdot4^2$$
$$P_{c}=6\cdot16$$
$$P_{c}=96$$
Zadanie nr 19 · Matura 2012
Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe \(4\). Objętość tego sześcianu jest równa:
A\(6\)
B\(8\)
C\(24\)
D\(64\)
Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu.
Ściany sześcianu są kwadratami. Skoro pole jednej ściany jest równe \(4\), to krawędź sześcianu ma oczywiście długość \(2\) (bo \(P=a^2\)).
Krawędź sześcianu ma długość \(9\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
A\(\sqrt[3]{9}\)
B\(9\sqrt{2}\)
C\(9\sqrt{3}\)
D\(9+9\sqrt{2}\)
To zadanie jest bardzo proste jeśli pamiętamy że istnieje wzór na przekątną sześcianu. Sześcian o krawędzi \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{3}\). W związku z tym skoro w naszym zadaniu \(a=9\), to przekątna ma długość \(9\sqrt{3}\).
Tego wzoru niestety nie ma w tablicach maturalnych, dlatego też jeśli byśmy o nim nie pamiętali, to musimy obliczyć to zadanie na piechotę. Zróbmy sobie prosty rysunek pomocniczy:
Przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie ma długość \(a\sqrt{2}\), czyli w tym przypadku \(9\sqrt{2}\). Tworzy ona wraz z krawędzią boczną przyprostokątne trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątną jest nasza poszukiwana przekątna sześcianu. Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa wyjdzie nam, że:
$$9^2+(9\sqrt{2})^2=s^2$$
$$81+81\cdot2=s^2$$
$$81+162=s^2$$
$$s^2=243$$
$$s=\sqrt{243}=\sqrt{81\cdot3}=9\sqrt{3}$$
Zadanie nr 22 · Matura 2011
Kula ma objętość \(V=288π\). Promień \(r\) tej kuli jest równy:
A\(6\)
B\(8\)
C\(9\)
D\(12\)
Promień kuli wyznaczymy ze wzoru na jej objętość:
$$V=\frac{4}{3}πr^3$$
$$288π=\frac{4}{3}πr^3 \quad\bigg/:π$$
$$288=\frac{4}{3}r^3 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{4}$$
$$r^3=216$$
$$r=6$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2011
Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości \(a,b,c\) ma długość \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy prostopadłościanu.
Do wyznaczenia długości przekątnej bryły potrzebna nam będzie długość przekątnej podstawy, którą wyznaczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Prostopadłościan ma krawędzie długości \(a\) oraz \(b\), zatem:
$$a^2+b^2=d^2$$
$$d=\sqrt{a^2+b^2}$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Znamy wyrażenie opisujące długość przekątnej podstawy, wiemy że wysokość prostopadłościanu jest równa \(c\), zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$d^2+c^2=s^2$$
$$(\sqrt{a^2+b^2})^2+c^2=s^2$$
$$s^2=a^2+b^2+c^2$$
$$s=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$
Otrzymany wynik jest dokładnie tym co znalazło się w treści zadania, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 15 · Matura 2011
W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) mamy: \(|AB|=5\), \(|AD|=4\), \(|AE|=3\). Który z odcinków \(AB\), \(BG\), \(GE\), \(EB\) jest najdłuższy?
A\(AB\)
B\(BG\)
C\(GE\)
D\(EB\)
Wiemy, że \(|AB|=5\). Pozostałe długości boków musimy obliczyć korzystając z Twierdzenia Pitagorasa \(a^2+b^2=c^2\) oraz z długości odcinków podanych w zadaniu.
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(BG\).
$$|BG|^2=|FB|^2+|FG|^2$$
$$|BG|^2=3^2+4^2$$
$$|BG|^2=9+16$$
$$|BG|^2=25$$
$$|BG|=5$$
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(GE\).
$$|GE|^2=|FE|^2+|FG|^2$$
$$|GE|^2=5^2+4^2$$
$$|GE|^2=25+16$$
$$|GE|^2=41$$
$$|GE|=\sqrt{41}$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
$$|EB|^2=|AB|^2+|AE|^2$$
$$|EB|^2=5^2+3^2$$
$$|EB|^2=25+9$$
$$|EB|^2=34$$
$$|EB|=\sqrt{34}$$
Krok 4. Wskazanie najdłuższego odcinka.
Sprowadźmy wszystkie odpowiedzi do jakiejś wspólnej postaci, np. pierwiastka:
$$|AB|=5=\sqrt{25}$$
$$|BG|=5=\sqrt{25}$$
$$|GE|=\sqrt{41}$$
$$|EB|=\sqrt{34}$$
W związku z tym widzimy, że najdłuższy jest odcinek \(GE\).
Zadanie nr 20 · Matura 2011
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(54\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
A\(\sqrt{6}\)
B\(3\)
C\(9\)
D\(3\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Znamy pole całkowite sześcianu, wiemy że sześcian ma sześć ścian, a więc każda ze ścian ma powierzchnię równą:
$$54:6=9$$
Wiemy już, że każda z tych ścian jest kwadratem o polu powierzchni równym \(9\), a więc długość krawędzi sześcianu jest równa:
$$a^2=9$$
$$a=3 \quad\lor\quad a=-3$$
Wartość \(a=-3\) musimy oczywiście odrzucić, bo długość boku nie może być ujemna.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Długość przekątnej sześcianu możemy opisać wzorem \(s=a\sqrt{3}\). To znaczy, że nasz sześcian ma przekątną równą \(s=3\sqrt{3}\).
Jeżeli nie pamiętasz tego wzoru, to możesz długość przekątnej sześcianu wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątnymi będą krawędź boczna, czyli \(a=3\) oraz przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(d=3\sqrt{2}\). Przeciwprostokątną będzie wtedy poszukiwana przez nas przekątna sześcianu:
$$3^2+(3\sqrt{2})^2=s^2$$
$$9+9\cdot2=s^2$$
$$9+18=s^2$$
$$s^2=27$$
$$s=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2010
Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu jest równy \(1:2:3\). Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe \(88\). Suma długości tych trzech krawędzi prostopadłościanu jest zatem równa:
A\(12\)
B\(5\)
C\(6\)
D\(8\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Skoro stosunek krawędzi prostopadłościanu jest równy \(1:2:3\), to możemy zapisać że:
\(x\) - pierwsza długość
\(2x\) - druga długość
\(3x\) - trzecia długość
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie równania.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(P=2ab+2ac+2bc\) możemy zapisać, że:
$$2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x=88$$
$$4x^2+6x^2+12x^2=88$$
$$22x^2=88$$
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna. To oznacza, że \(x=2\).
Krok 3. Obliczenie sumy długości trzech krawędzi prostopadłościanu.
Korzystając z naszych oznaczeń i z obliczonej wartości \(x=2\) możemy teraz zapisać, że:
\(2\) - pierwsza długość
\(2\cdot2=4\) - druga długość
\(3\cdot2=6\) - trzecia długość
Suma tych trzech długości jest równa \(2+4+6=12\).
Zadanie nr 23 · Matura 2010
Punkt \(S\) jest środkiem ściany \(EFGH\) sześcianu (zobacz rysunek), którego krawędź ma długość \(6\). Objętość bryły \(EFSB\) jest równa:
A\(18\)
B\(27\)
C\(36\)
D\(72\)
Krok 1. Obliczenie pola podstawy \(EFS\).
Nasza bryła jest tak naprawdę odwróconym ostrosłupem, w którym trójkąt \(EFS\) jest podstawą. Ściana \(EFGH\) jest kwadratem, a przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, dzieląc kwadrat tak naprawdę na cztery jednakowe trójkąty - jednym z tych trójkątów jest właśnie \(EFS\). Możemy więc być pewni, że trójkąt \(EFS\) stanowi \(\frac{1}{4}\) kwadratu \(EFGH\), którego bok ma długość \(a=6\), zatem:
$$P_{p}=\frac{1}{4}\cdot 6^2$$
$$P_{p}=\frac{1}{4}\cdot36$$
$$P_{p}=9$$
Krok 2. Obliczenie objętości bryły \(EFSB\).
Wiemy już, że \(P_{p}=9\). Z rysunku wynika, że wysokość bryły jest równa długości krawędzi sześcianu, zatem \(H=6\). W związku z tym objętość poszukiwanej bryły będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$$
$$V=\frac{1}{3}\cdot9\cdot6$$
$$V=18$$
Zadanie nr 23 · Matura 2010
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach \(5\times3\times4\) jest równe:
A\(94\)
B\(60\)
C\(47\)
D\(20\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Widzimy, że na pole powierzchni całkowitej będą się składać dwie ściany o wymiarach \(3\times4\), dwie o wymiarach \(3\times5\) oraz dwie o wymiarach \(4\times5\).
$$P_{c}=2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot5+2\cdot4\cdot5$$
$$P_{c}=24+30+40$$
$$P_{c}=94$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2009
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(150cm^2\). Długość krawędzi tego sześcianu jest równa:
A\(3,5cm\)
B\(4cm\)
C\(4,5cm\)
D\(5cm\)
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany.
Sześcian składa się z sześciu jednakowych ścian, więc pole powierzchni każdej z nich będzie równe:
$$P=150cm^2:6=25cm^2$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Każda ze ścian jest kwadratem, więc krawędź sześcianu ma długość:
$$P=a^2$$
$$25cm^2=a^2$$
$$a=5cm$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2009
Objętość sześcianu jest równa \(125\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
A\(25\)
B\(100\)
C\(250\)
D\(150\)
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Długość krawędzi sześcianu obliczymy korzystając z informacji o objętości tej bryły:
$$V=a^3$$
$$125=a^3$$
$$a=5$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
Sześcian składa się z sześciu jednakowych ścian, które są kwadratami. W naszym przypadku są to kwadraty o boku długości \(5\), zatem:
$$P_{c}=6a^2$$
$$P_{c}=6\cdot5^2$$
$$P_{c}=6\cdot25$$
$$P_{c}=150$$
Zadanie nr 52 · Matura
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(A, B, D\) i \(E\) są wierzchołkami ostrosłupa (zobacz rysunek).
Oblicz pole powierzchni ostrosłupa \(ABDE\).
Krok 1. Obliczenie pól powierzchni poszczególnych ścian ostrosłupa.
Na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(ABDE\) składają się trzy trójkąty prostokątne \(ABD\), \(ABE\) oraz \(ADE\), a także trójkąt równoboczny \(BDE\). Obliczmy najpierw pole każdego z trójkątów prostokątnych.
Trójkąty prostokątne mają przyprostokątne o długości \(a\), czyli ich pole powierzchni będzie równe:
$$P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a$$
$$P_{ABD}=\frac{1}{2}a^2$$
Trójkąt równoboczny ma bok o długości przekątnej podstawy. W podstawie sześcianu mamy oczywiście kwadrat, a z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). To oznacza, że nasz trójkąt równoboczny ma bok o długości \(a\sqrt{2}\). Korzystając zatem ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P_{BDE}=\frac{(a\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{BDE}=\frac{a^2\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{BDE}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni ostrosłupa.
$$P_{c}=3\cdot\frac{1}{2}a^2+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$
$$P_{c}=\frac{3a^2}{2}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$
$$P_{c}=\frac{3a^2+a^2\sqrt{3}}{2}$$
$$P_{c}=\frac{a^2\cdot(3+\sqrt{3})}{2}$$
Zadanie nr 53 · Matura
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(2\) i wysokości \(8\). Wpisano w niego sześcian w taki sposób, że dolna podstawa sześcianu zawiera się w podstawie ostrosłupa, a krawędzie jego górnej podstawy zawierają się w ścianach bocznych ostrosłupa (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Krawędź sześcianu jest dłuższa niż \(1,5\). Ostrosłup jest czterokrotnie wyższy od sześcianu. Objętość sześcianu jest większa od \(4\).
Krawędź sześcianu jest dłuższa niż \(1,5\).
Ostrosłup jest czterokrotnie wyższy od sześcianu.
Objętość sześcianu jest większa od \(4\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zadanie jest bardzo trudne i trzeba tutaj wykonać dość skomplikowany rysunek pomocniczy. Całość zadania opierać się będzie na przekątnej podstawy. Ostrosłup ma krawędź podstawy o długości \(2\), więc zgodnie z własnościami kwadratów, przekątna podstawy będzie miała długość \(2\sqrt{2}\). Jeżeli więc krawędź sześcianu oznaczymy jako \(x\), to powstanie nam taka oto sytuacja:
Odcinek \(FG\) to przekątna podstawy sześcianu o krawędzi \(x\), stąd też ma ona długość \(x\sqrt{2}\). Od razu możemy też zwrócić uwagę, że w takiej sytuacji \(|AE|=\sqrt{2}\) (bo jest to połowa długości przekątnej), natomiast \(|AD|=\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2}\) (bo jest to odcinek \(AE\) pomniejszony o połowę długości przekątnej sześcianu).
Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Powinniśmy zauważyć, że na rysunku powstały nam dwa trójkąty podobne, czyli \(ADF\) oraz \(AEC\). Skoro tak, to moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{|AD|}{|DF|}=\frac{|AE|}{|CE|}$$
Podstawiając do tego równania dane z rysunku, otrzymamy:
$$\frac{\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{x}{8}$$
Teraz najprościej będzie pomnożyć wszystko na krzyż, zatem:
$$(\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2})\cdot8=\sqrt{2}\cdot x$$
$$8\sqrt{2}-4x\sqrt{2}=x\sqrt{2} \quad\bigg/:\sqrt{2}$$
$$8-4x=x$$
$$8=5x$$
$$x=1,6$$
Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zgodnie z obliczeniami wyszło nam, że długość krawędzi sześcianu jest równa \(1,6\), zatem zdanie jest prawdą.
Krok 4. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Ostrosłup ma wysokość równą \(8\), a sześcian wysokość równą \(1,6\). Ostrosłup jest więc \(\frac{8}{1,6}=5\) razy wyższy od sześcianu, zatem zdanie jest fałszem.
Krok 5. Ocena prawdziwości trzeciego zdania.
Objętość sześcianu o boku \(a=1,6\) wynosi:
$$V=a^3$$
$$V=(1,6)^3$$
$$V=4,096$$
Objętość jest więc faktycznie większa od \(4\), zatem zdanie jest prawdą.
Zadanie nr 54 · Matura
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, o krawędzi podstawy \(a\) oraz wysokości \(h\). Wpisano w niego ostrosłup prawidłowy czworokątny w taki sposób, że krawędzie podstawy ostrosłupa i graniastosłupa pokrywają się, zaś górny wierzchołek ostrosłupa jest środkiem podstawy górnej graniastosłupa (zobacz rysunek). Niech \(F\) będzie bryłą powstałą po wycięciu ostrosłupa z graniastosłupa.
Różnica objętości bryły \(F\) i objętości ostrosłupa jest równa:
A\(\frac{1}{3}a^2 h\)
B\(\frac{2}{3}a^2 h\)
C\(\frac{1}{3}ah^2\)
D\(\frac{2}{3}ah^2\)
Krok 1. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Nasz graniastosłup jest prawidłowy, czyli w swojej podstawie będzie miał on kwadrat. Skoro tak, to zgodnie z oznaczeniami z treści zadania, możemy zapisać, że jego objętość będzie równa:
$$V_{g}=a\cdot a\cdot h$$
$$V_{g}=a^2 h$$
Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Teraz obliczmy objętość ostrosłupa. Tutaj sytuacja będzie bardzo podobna, wystarczy tak naprawdę tylko skorzystać ze wzoru na objętość ostrosłupów, zatem:
$$V_{o}=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a\cdot h$$
$$V_{o}=\frac{1}{3}a^2 h$$
Krok 3. Obliczenie objętości bryły \(F\).
Trzeba uważnie wczytać się w treść zadania, bo łatwo tutaj o pomyłkę. Bryła \(F\) to ta część graniastosłupa z której wyjmiemy nasz ostrosłup. Jej objętość będzie zatem równa:
$$V_{F}=a^2 h-\frac{1}{3}a^2 h$$
$$V_{F}=\frac{2}{3}a^2 h$$
Krok 4. Obliczenie różnicy objętości bryły \(F\) i objętości ostrosłupa.
Celem zadania jest odpowiedź o ile bryła \(F\) ma większą objętość od ostrosłupa. W związku z tym:
$$V=\frac{2}{3}a^2 h-\frac{1}{3}a^2 h$$
$$V=\frac{1}{3}a^2 h$$
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
