Nierówność „mniejsze” daje jeden przedział (koniunkcja), „większe” — dwa rozłączne (alternatywa). Zapisu $-a\lt x\lt a$ nie wolno używać dla nierówności „większe”. Przy układzie nierówności bierzemy część wspólną, przy alternatywie — sumę.
Zbiory i przedziały liczbowe
Zbiory i przynależność
Zbiór to kolekcja elementów. Zapis $a\in A$ czytamy „$a$ należy do $A$”, a $a\notin A$ — „nie należy”. Symbol $\subset$ dotyczy dwóch zbiorów: $A\subset B$ znaczy, że każdy element $A$ jest też elementem $B$.
Działania na zbiorach
Suma $A\cup B$ — elementy należące do $A$ lub do $B$
Część wspólna $A\cap B$ — elementy należące do $A$ i do $B$
Różnica $A\setminus B$ — elementy $A$, które nie należą do $B$
Różnica nie jest przemienna: $A\setminus B$ to zwykle co innego niż $B\setminus A$.
Liczba podzbiorów
$$\text{zbiór } n\text{-elementowy ma } 2^n \text{ podzbiorów}$$
Wliczamy w to zbiór pusty i cały zbiór — o nich najłatwiej zapomnieć.
Nie mylić $\in$ (element i zbiór) z $\subset$ (dwa zbiory). Przy liczeniu liczb całkowitych w przedziale sprawdź uważnie, czy końce należą — najczęstszy błąd to pomyłka o jeden. Jeśli przedziały nie mają części wspólnej, ich suma zostaje zapisana z symbolem $\cup$ i nie da się jej „skleić” w jeden przedział.
Brakuje środkowego wyrazu $2ab$. Łatwo to sprawdzić liczbami: $(2+3)^2=25$, ale $4+9=13$.
Uwaga na współczynniki
$$(2x-5)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5+25=4x^2-20x+25$$
Do kwadratu podnosimy cały jednomian — również liczbę przed literą. Zapis $2x^2$ zamiast $4x^2$ to bardzo częsta pomyłka.
Wzory czyta się w obie strony
Od lewej do prawej — rozwijamy. Od prawej do lewej — rozkładamy na czynniki:
$$x^2-49=(x-7)(x+7),\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$$
Umiejętność rozpoznania wzoru w gotowym wyrażeniu jest cenniejsza niż samo mnożenie.
Kolejność przy rozkładzie
Najpierw wyłączamy wspólny czynnik, dopiero potem szukamy wzorów:
$$2x^3-18x=2x\left(x^2-9\right)=2x(x-3)(x+3)$$
Pominięcie pierwszego kroku daje rozkład niepełny. Wyłączamy zawsze największy wspólny czynnik — z $8x^2+12x$ wyłączamy $4x$, a nie samo $4$ czy samo $x$.
Sprytne rachunki
$$102^2=(100+2)^2=10\,000+400+4=10\,404$$
$$97\cdot103=(100-3)(100+3)=10\,000-9=9991$$
$$51\cdot49=2500-1=2499$$
Wzory zamieniają jedno trudne mnożenie na kilka łatwych działań.
Przekształcanie warunków
$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$
Znając $a+b=7$ i $ab=10$, obliczymy $a^2+b^2=49-20=29$ bez wyznaczania samych liczb. To standardowy chwyt w zadaniach z sumą i iloczynem.
Uzupełnianie do kwadratu
$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2$$
Ponieważ $(x-3)^2\ge0$, całe wyrażenie jest zawsze co najmniej równe $2$ — to standardowy sposób dowodzenia, że wyrażenie kwadratowe jest dodatnie, a przy okazji znajdujemy jego wartość najmniejszą.
Na co uważać
Nie gub wyrazu $2ab$. Nie zapominaj o nawiasie przy odejmowaniu całego wyrażenia. I zawsze doprowadzaj rozkład do końca.
∑Wzory 2
Kwadrat różnicy
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Jak kwadrat sumy, ale środkowy wyraz ze znakiem minus.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zadanie nr 1
Wyrażenie $(a+b)^2$ jest równe:
A$a^2+b^2$
B$a^2+2ab+b^2$
C$a^2-2ab+b^2$
D$2a+2b$
$$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$
Najczęstszy błąd w całej algebrze: pominięcie środkowego wyrazu. Sprawdzenie liczbowe dla $a=b=1$: $(1+1)^2=4$, a nie $1+1=2$.
Odpowiedź: B. $a^2+2ab+b^2$.
Zadanie nr 2
Wypisz trzy wzory skróconego mnożenia i podaj przykład liczbowy do trzeciego z nich.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Przykład do trzeciego wzoru: $101^2-99^2=(101-99)(101+99)=2\cdot200=400$. Rachunek w pamięci zamiast dwóch potęgowań.
Odpowiedź: trzy wzory jak wyżej.
Zadanie nr 3
Oblicz $53^2-47^2$ bez podnoszenia do kwadratu.
Korzystamy z różnicy kwadratów:
$$53^2-47^2=(53-47)(53+47)=6\cdot100=600$$
Odpowiedź: $600$.
Zadanie nr 4
Które wyrażenie jest zawsze nieujemne dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$?
A$(x-3)^2$
B$x-3$
C$3-x$
D$x^3$
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:
$$(x-3)^2\ge0$$
Równość zachodzi dokładnie dla $x=3$.
Pozostałe przyjmują wartości ujemne — np. dla $x=0$ mamy $-3$, $3$ i $0$ odpowiednio.
Ta obserwacja jest podstawą większości dowodów nierówności.
Odpowiedź: A. $(x-3)^2$.
Zadanie nr 5
Rozłóż na czynniki wyrażenie $x^2-25$.
To różnica kwadratów, bo $25=5^2$:
$$x^2-25=(x-5)(x+5)$$
Odpowiedź: $(x-5)(x+5)$.
Zadanie nr 6
Wyrażenie $x^2+6x+9$ można zapisać jako:
A$(x-3)^2$
B$(x+9)^2$
C$(x+3)^2$
D$(x+6)^2$
Rozpoznajemy kwadrat sumy: $9=3^2$, a środkowy wyraz $6x=2\cdot3\cdot x$ ✔
$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$
Jak sprawdzać: pierwiastkujemy skrajne wyrazy i sprawdzamy, czy podwojony iloczyn daje środkowy.
Odpowiedź: C. $(x+3)^2$.
Zadanie nr 7
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2+4x+5>0$.
Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Chcemy zobaczyć w wyrażeniu kwadrat sumy, więc rozbijamy $5$ na $4+1$:
$$x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1$$
Krok 2 — szacowanie. Kwadrat jest nieujemny, więc:
$$(x+2)^2+1\ge0+1=1>0 \qquad ∎$$
Wniosek: nierówność zachodzi dla każdego $x$, a najmniejsza wartość wyrażenia wynosi $1$ i jest osiągana dla $x=-2$.
Zadanie nr 8
Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą.
Krok 1 — oznaczenie. Niech liczby to $n$ i $n+1$, gdzie $n$ jest całkowite.
Krok 2 — różnica kwadratów:
$$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$$
Krok 3 — wniosek. Wyrażenie $2n+1$ to z definicji liczba nieparzysta — podwojona liczba całkowita powiększona o jeden. ∎
Sprawdzenie: $5^2-4^2=25-16=9$ ✔ oraz $8^2-7^2=15$ ✔
Bonus: ten sam rachunek pokazuje, że różnica kwadratów daje sumę tych liczb: $2n+1=n+(n+1)$.
Zadanie nr 9
Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi:
A$|a+b|=|a|+|b|$
B$|a+b|\ge|a|+|b|$
C$|a+b|=|a|-|b|$
D$|a+b|\le|a|+|b|$
To nierówność trójkąta. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (albo któraś jest zerem).
Przykład ostrej nierówności: dla $a=3$, $b=-5$ mamy $|-2|=2$, ale $|3|+|-5|=8$, więc $2\lt 8$.
Odpowiedź: D. $|a+b|\le|a|+|b|$.
Zadanie nr 10
Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2+1\ge2x$.
Krok 1 — przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$x^2-2x+1\ge0$$
Krok 2 — rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:
$$(x-1)^2\ge0$$
Krok 3 — wniosek. Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc nierówność zachodzi dla każdego $x$. ∎
Kiedy równość: dokładnie dla $x=1$.
Uwaga metodyczna: przenoszenie na jedną stronę i szukanie kwadratu to standardowy schemat dowodzenia nierówności.
Zadanie nr 11
Wyrażenie $(a-b)^2$ jest równe:
A$a^2-b^2$
B$a^2-2ab+b^2$
C$a^2+2ab+b^2$
D$a^2-b^2+2ab$
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Uwaga: $a^2-b^2$ to różnica kwadratów, a nie kwadrat różnicy — to dwa zupełnie różne wzory.
Sprawdzenie dla $a=5$, $b=2$: $(5-2)^2=9$, a $25-20+4=9$ ✔ Natomiast $a^2-b^2=21$.
Odpowiedź: B. $a^2-2ab+b^2$.
Zadanie nr 12
Oblicz $102^2$, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Zapisujemy $102$ jako $100+2$:
$$102^2=(100+2)^2=100^2+2\cdot100\cdot2+2^2$$
$$=10\,000+400+4=10\,404$$
Odpowiedź: $10\,404$.
Zadanie nr 13
Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest zawsze parzysty.
Oznaczenie. Kolejne liczby to $n$ i $n+1$.
Kluczowa obserwacja. Spośród dwóch kolejnych liczb całkowitych zawsze dokładnie jedna jest parzysta — liczby parzyste i nieparzyste występują na przemian.
Rozbicie na przypadki:
jeśli $n=2k$, to iloczyn $2k(n+1)$ ma czynnik $2$
jeśli $n=2k+1$, to $n+1=2k+2=2(k+1)$, więc czynnik $2$ jest w drugiej liczbie
Wniosek. W obu przypadkach iloczyn zawiera czynnik $2$, czyli jest parzysty. ∎
Sprawdzenie: $3\cdot4=12$ ✔, $6\cdot7=42$ ✔
Zadanie nr 14
Wyrażenie $|x|\cdot|y|$ jest równe:
A$|xy|$
B$|x+y|$
C$xy$
D$|x|+|y|$
Wartość bezwzględna jest multiplikatywna — zachowuje się dobrze przy mnożeniu:
$$|x|\cdot|y|=|xy|$$
Dla dodawania tak nie jest — tam mamy tylko nierówność $|x+y|\le|x|+|y|$.
Sprawdzenie dla $x=-2$, $y=3$: $2\cdot3=6$ oraz $|-6|=6$ ✔
Odpowiedź: A. $|xy|$.
Zadanie nr 15
Wykaż, że wyrażenie $x^2-8x+20$ przyjmuje tylko wartości dodatnie, i podaj jego wartość najmniejszą.
Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Połowa współczynnika przy $x$ to $-4$, a $(-4)^2=16$, więc rozbijamy $20=16+4$:
$$x^2-8x+20=(x^2-8x+16)+4=(x-4)^2+4$$
Krok 2 — szacowanie:
$$(x-4)^2+4\ge4>0 \qquad ∎$$
Wniosek: wartość najmniejsza wynosi $4$ i jest osiągana dla $x=4$.
Kontrola wyróżnikiem: $\Delta=64-80=-16\lt 0$ — brak miejsc zerowych przy dodatnim współczynniku wiodącym ✔
Zadanie nr 16
Liczba parzysta zapisana ogólnie to:
A$n+2$
B$2n+1$
C$2n$
D$n^2$
Liczba parzysta to podwojona liczba całkowita:
$$2n,\qquad n\in\mathbb{Z}$$
Nieparzysta to $2n+1$ (odpowiedź B).
Uwaga: $n+2$ nie jest parzyste dla nieparzystego $n$, a $n^2$ jest parzyste tylko wtedy, gdy $n$ jest parzyste.
Odpowiedź: C. $2n$.
Zadanie nr 17
Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych daje przy dzieleniu przez $8$ resztę $2$.
Krok 1 — oznaczenie. Kolejne liczby nieparzyste zapisujemy jako $2n+1$ i $2n+3$, gdzie $n$ jest całkowite.
Krok 4 — wniosek. Pierwszy składnik dzieli się przez $8$, a reszta wynosi $2$. ∎
Sprawdzenie: $3^2+5^2=34$, a $34=8\cdot4+2$ ✔ oraz $7^2+9^2=130=8\cdot16+2$ ✔
Zadanie nr 18
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ zachodzi $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$.
Krok 1 — przekształcamy tezę. Obie strony są dodatnie, więc mnożenie przez $2$ nie zmienia zwrotu:
$$a+b\ge2\sqrt{ab}$$
Krok 2 — przenosimy na jedną stronę:
$$a-2\sqrt{ab}+b\ge0$$
Krok 3 — kluczowa obserwacja. Skoro $a$ i $b$ są dodatnie, możemy zapisać $a=\left(\sqrt{a}\right)^2$ oraz $b=\left(\sqrt{b}\right)^2$. Wtedy lewa strona to kwadrat różnicy:
$$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0 \qquad ∎$$
Kiedy równość: dokładnie gdy $\sqrt{a}=\sqrt{b}$, czyli $a=b$.
Nazwa: to nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną. Sprawdzenie dla $a=2$, $b=8$: średnia arytmetyczna $5$, geometryczna $4$ ✔
Zadanie nr 19
Wykaż, że jeśli $n$ jest liczbą całkowitą, to wyrażenie $n^2+n$ jest zawsze parzyste.
Krok 1 — rozkładamy na czynniki:
$$n^2+n=n(n+1)$$
Krok 2 — rozpoznanie. To iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych.
Krok 3 — argument. Spośród dwóch kolejnych liczb całkowitych zawsze dokładnie jedna jest parzysta, więc iloczyn zawiera czynnik $2$. ∎
Sprawdzenie: dla $n=3$ mamy $12$ ✔; dla $n=4$ mamy $20$ ✔; nawet dla $n=-3$ wychodzi $6$ ✔
Uwaga. Sprawdzenie kilku przypadków to nie dowód — dowodem jest rozumowanie z kroku trzeciego, prawdziwe dla każdego $n$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi $a^2+b^2\ge2ab$, i wyjaśnij, kiedy zachodzi równość. Podaj zastosowanie tej nierówności.
Krok 1 — przenosimy wszystko na lewą stronę:
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
Krok 2 — rozpoznajemy kwadrat różnicy:
$$(a-b)^2\ge0 \qquad ∎$$
Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc nierówność zachodzi zawsze.
Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy $a-b=0$, czyli $a=b$.
Zastosowanie. Podstawiając $a=x$ i $b=\frac1x$ dla $x>0$, dostajemy:
$$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$$
Podobnie $x+\frac1x\ge2$ dla $x>0$ — najmniejsza wartość wynosi $2$ i jest osiągana dla $x=1$. Ta nierówność bywa potrzebna w zadaniach optymalizacyjnych, gdzie pozwala oszacować wynik bez liczenia pochodnej.
Sprawdzenie: dla $x=2$ mamy $2+0{,}5=2{,}5\ge2$ ✔; dla $x=1$ wychodzi dokładnie $2$ ✔
Zadanie nr 1
Dane są zbiory $A=\{1,2,3,4\}$ i $B=\{3,4,5\}$. Wyznacz $A\cap B$.
A$\{1,2,3,4,5\}$
B$\{3,4\}$
C$\{1,2\}$
D$\{5\}$
Część wspólna $A\cap B$ to elementy należące do obu zbiorów jednocześnie.
Do $A$ i do $B$ należą tylko $3$ i $4$:
$$A\cap B=\{3,4\}$$
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 2
Dane są zbiory $A=\{1,2,3,4\}$ i $B=\{3,4,5\}$. Wyznacz $A\cup B$.
Suma $A\cup B$ to elementy należące do któregokolwiek ze zbiorów.
Wypisujemy wszystkie elementy, każdy tylko raz:
$$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$$
Uwaga: elementy $3$ i $4$ są w obu zbiorach, ale w sumie zapisujemy je pojedynczo — w zbiorze nie powtarzamy elementów.
Odpowiedź: $\{1,2,3,4,5\}$.
Zadanie nr 3
Dane są zbiory $A=\{1,2,3,4\}$ i $B=\{3,4,5\}$. Wyznacz różnicę $A\setminus B$.
Różnica $A\setminus B$ to elementy należące do $A$, które nie należą do $B$.
Z $A=\{1,2,3,4\}$ usuwamy te, które są w $B$ (czyli $3$ i $4$):
$$A\setminus B=\{1,2\}$$
Uwaga na kierunek: $B\setminus A=\{5\}$ to co innego — różnica zbiorów nie jest przemienna.
Odpowiedź: $\{1,2\}$.
Zadanie nr 4
Który zapis oznacza, że liczba $3$ należy do zbioru $A$?
A$3\subset A$
B$3\notin A$
C$3\in A$
D$A\in 3$
Symbol $\in$ oznacza „należy do” i łączy element ze zbiorem:
$$3\in A$$
Rozróżnienie symboli: $\in$ dotyczy elementu i zbioru, a $\subset$ dotyczy dwóch zbiorów (zawieranie). Zapis $3\subset A$ jest błędny, bo $3$ to element, nie zbiór.
Odpowiedź: C. $3\in A$.
Zadanie nr 5
Zapisz przedział liczb $x$ spełniających warunek $2\le x\lt 7$ i podaj, czy $2$ i $7$ do niego należą.
Warunek $2\le x\lt 7$ zapisujemy jako przedział, dobierając nawiasy do znaków:
$$\langle 2,\,7)$$
Nawias kwadratowy (ostry) $\langle$ — koniec należy do przedziału (znak $\le$), więc $2$ należy.
Nawias okrągły $)$ — koniec nie należy (znak $\lt $), więc $7$ nie należy.
Odpowiedź: $\langle 2,\,7)$; liczba $2$ należy, liczba $7$ nie należy.
Zadanie nr 6
Który przedział opisuje warunek $x>5$?
A$(5,\,+\infty)$
B$\langle 5,\,+\infty)$
C$(-\infty,\,5)$
D$(5,\,+\infty\rangle$
Warunek $x>5$ oznacza liczby większe od $5$, ale bez samej piątki.
$$(5,\,+\infty)$$
Zasady zapisu: przy $>$ (ostra nierówność) używamy nawiasu okrągłego, a przy nieskończoności zawsze nawias okrągły — nieskończoność nie jest liczbą i nie może „należeć” do przedziału (to eliminuje odpowiedź D).
Odpowiedź: A. $(5,\,+\infty)$.
Zadanie nr 7
Wyznacz część wspólną przedziałów $\langle 1,\,6\rangle$ i $\langle 4,\,9\rangle$.
Część wspólna to liczby należące do obu przedziałów naraz. Warto naszkicować oś liczbową.
Dolny kraniec części wspólnej to większy z lewych końców: $\max(1,\,4)=4$.
Górny kraniec to mniejszy z prawych końców: $\min(6,\,9)=6$.
Kluczowa obserwacja: ponieważ $0\lt 3$, przedziały mają część wspólną, więc suma jest „ciągła” — nie ma dziury na osi.
Odpowiedź: $\mathbb{R}$ (zbiór wszystkich liczb rzeczywistych).
Zadanie nr 9
Ile podzbiorów ma zbiór $\{a,\,b,\,c\}$?
A$3$
B$6$
C$9$
D$8$
Liczba wszystkich podzbiorów zbioru $n$-elementowego wynosi $2^n$.
$$2^3=8$$
Wypisanie wszystkich: zbiór pusty $\emptyset$; jednoelementowe $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$; dwuelementowe $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{b,c\}$; oraz cały zbiór $\{a,b,c\}$ — razem $8$.
Uwaga: zbiór pusty i sam zbiór też są podzbiorami — o nich najłatwiej zapomnieć.
Odpowiedź: D. $8$.
Zadanie nr 10
Zapisz zbiór $A=\{x\in\mathbb{N}:\ x\lt 6\}$ w postaci wypisania elementów.
Czytamy zapis: „liczby naturalne $x$ takie, że $x\lt 6$”.
Wypisujemy liczby naturalne mniejsze od $6$:
$$A=\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\}$$
Uwaga: w polskiej konwencji szkolnej liczby naturalne zaczynają się od $0$. Liczba $6$ nie należy, bo warunek jest ostry ($\lt $).
Odpowiedź: $A=\{0,1,2,3,4,5\}$.
Zadanie nr 11
Wartość bezwzględna $|-9|$ wynosi:
A$-9$
B$9$
C$0$
D$81$
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera — nigdy nie jest ujemna:
$$|-9|=9$$
Odpowiedź: B. $9$.
Zadanie nr 12
Rozwiąż równanie $|x|=7$.
Szukamy liczb odległych od zera o $7$. Są dwie takie liczby — po obu stronach zera:
$$x=7 \quad \text{lub} \quad x=-7$$
Ogólna zasada: równanie $|x|=a$ dla $a>0$ ma zawsze dwa rozwiązania: $x=a$ oraz $x=-a$.
Dane są przedziały $A=(-3,\,5\rangle$ i $B=\langle 2,\,8)$. Wyznacz $A\cap B$, $A\cup B$ oraz $A\setminus B$.
Warto naszkicować oba przedziały na jednej osi liczbowej.
Część wspólna $A\cap B$ — od większego lewego końca do mniejszego prawego. Lewy: $\max(-3,\,2)=2$ (należy, bo w $B$ jest ostry, ale liczymy przecięcie — $2\in B$ i $2\in A$). Prawy: $\min(5,\,8)=5$ (należy, bo w $A$ domknięty):
$$A\cap B=\langle 2,\,5\rangle$$
Suma $A\cup B$ — od mniejszego lewego do większego prawego końca:
$$A\cup B=(-3,\,8)$$
Różnica $A\setminus B$ — z $A$ usuwamy część wspólną $\langle 2,\,5\rangle$. Zostaje początek $A$ aż do $2$ (bez $2$, bo $2$ było w części wspólnej):
Rozwiąż nierówność $2x-5\lt 7$ i zapisz wynik w postaci przedziału.
Krok 1 — dodajemy $5$ stronami:
$$2x\lt 12$$
Krok 2 — dzielimy przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc znak nierówności zostaje bez zmian:
$$x\lt 6$$
Krok 3 — zapis przedziałowy:
$$x\in(-\infty,\ 6)$$
Odpowiedź: $x\in(-\infty,\ 6)$.
Zadanie nr 4
Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę ujemną:
Azachowujemy znak nierówności
Bodwracamy znak nierówności
Cotrzymujemy nierówność sprzeczną
Dnie wolno tego robić
Mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek nierówności:
$$-2x\lt 6 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-3$$
Dlaczego tak: na osi liczbowej mnożenie przez liczbę ujemną odbija punkty symetrycznie względem zera, więc porządek się odwraca. Zachodzi $2\lt 5$, ale $-2>-5$.
Odpowiedź: B. odwracamy znak.
Zadanie nr 5
Rozwiąż nierówność $-3x\ge12$.
Dzielimy przez $-3$ i odwracamy znak:
$$x\le-4$$
$$x\in(-\infty,\ -4\rangle$$
Sprawdzenie: dla $x=-5$ mamy $-3\cdot(-5)=15\ge12$ ✔, a dla $x=0$ dostajemy $0\ge12$ — fałsz ✔
Odpowiedź: $x\le-4$.
Zadanie nr 6
Równanie $2x+4=2(x+2)$ ma:
Adokładnie jedno rozwiązanie
Bbrak rozwiązań
Cnieskończenie wiele rozwiązań
Ddokładnie dwa rozwiązania
Krok 1 — opuszczamy nawias po prawej:
$$2x+4=2x+4$$
Krok 2 — odejmujemy $2x$ stronami:
$$4=4$$
Otrzymaliśmy zdanie zawsze prawdziwe, więc równanie spełnia każda liczba rzeczywista. Takie równanie nazywamy tożsamościowym.
Odpowiedź: C. nieskończenie wiele.
Zadanie nr 7
Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4}=2$.
Krok 1 — mnożymy obie strony przez wspólny mianownik $12$:
$$4x-3x=24$$
Krok 2 — redukujemy:
$$x=24$$
Sprawdzenie: $\frac{24}{3}-\frac{24}{4}=8-6=2$ ✔
Wskazówka: mnożenie przez NWW mianowników od razu usuwa wszystkie ułamki — to najszybsza droga w takich równaniach.
Skrót: suma trzech kolejnych liczb to potrojona liczba środkowa, więc od razu $78:3=26$ — a stąd sąsiedzi $25$ i $27$.
Odpowiedź: $25$, $26$, $27$.
Zadanie nr 14
Równanie $|x|=5$ spełniają liczby:
Atylko $5$
Btylko $-5$
C$5$ oraz $-5$
Dżadna
Wartość bezwzględna to odległość od zera, a w odległości $5$ od zera leżą dwa punkty:
$$x=5 \quad\text{lub}\quad x=-5$$
Uwaga: równanie $|x|=-5$ nie ma rozwiązań, bo odległość nigdy nie jest ujemna.
Odpowiedź: C. $5$ oraz $-5$.
Zadanie nr 15
Rozwiąż równanie $5(x-2)-3(x+1)=1$.
Krok 1 — opuszczamy nawiasy:
$$5x-10-3x-3=1$$
Krok 2 — redukujemy lewą stronę:
$$2x-13=1$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$2x=14 \quad\Rightarrow\quad x=7$$
Sprawdzenie: $5\cdot5-3\cdot8=25-24=1$ ✔
Uwaga na drugi nawias: mnożymy przez $-3$, więc $-3\cdot(+1)=-3$.
Odpowiedź: $x=7$.
Zadanie nr 16
Nierówność $2x>6$ jest równoważna nierówności:
A$x>3$
B$x\lt 3$
C$x>12$
D$x>4$
Dzielimy obie strony przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc znak zostaje:
$$x>3$$
Odpowiedź: A. $x>3$.
Zadanie nr 17
Ojciec ma $42$ lata, a syn $12$. Za ile lat ojciec będzie dwa razy starszy od syna?
Krok 1 — oznaczenia. Niech $x$ będzie szukaną liczbą lat. Za $x$ lat ojciec będzie miał $42+x$, a syn $12+x$.
Krok 2 — równanie:
$$42+x=2(12+x)$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$42+x=24+2x \quad\Rightarrow\quad 18=x$$
Krok 4 — sprawdzenie. Za $18$ lat ojciec będzie miał $60$ lat, a syn $30$ — i rzeczywiście $60=2\cdot30$ ✔
Uwaga metodyczna. Do obu wieków dodajemy tę samą liczbę lat. Częsty błąd to dodanie $x$ tylko po jednej stronie.
Odpowiedź: za $18$ lat.
Zadanie nr 18
Rozwiąż nierówność podwójną $-3\lt 2x+1\le7$.
Krok 1 — odejmujemy $1$ od wszystkich trzech części:
$$-4\lt 2x\le6$$
Krok 2 — dzielimy wszystko przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc oba znaki zostają:
$$-2\lt x\le3$$
Krok 3 — zapis przedziałowy:
$$x\in(-2,\ 3\rangle$$
Kontrola krańcami. Dla $x=3$: $2\cdot3+1=7$, a warunek dopuszcza równość ✔ Dla $x=-2$: $2\cdot(-2)+1=-3$, ale lewa nierówność jest ostra, więc $-2$ nie należy ✔
Ważne. Każdą operację wykonujemy na wszystkich trzech częściach naraz — nierówność podwójna to skrót zapisu dwóch warunków.
Odpowiedź: $x\in(-2,\ 3\rangle$.
Zadanie nr 19
Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $mx=6$ ma dokładnie jedno rozwiązanie, a dla jakich nie ma żadnego?
Przypadek 1: $m\neq0$. Możemy podzielić obie strony przez $m$:
$$x=\frac{6}{m}$$
Otrzymujemy dokładnie jedno rozwiązanie.
Przypadek 2: $m=0$. Równanie przyjmuje postać:
$$0\cdot x=6 \quad\Rightarrow\quad 0=6$$
To zdanie fałszywe dla każdego $x$, więc równanie jest sprzeczne.
Klucz do zadania. Nie wolno dzielić przez $m$ bez zastrzeżenia, że $m\neq0$ — właśnie przypadek $m=0$ jest tu interesujący. To standardowy schemat w zadaniach z parametrem.
Odpowiedź: jedno rozwiązanie dla $m\neq0$, brak rozwiązań dla $m=0$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że równanie $x^2+2x+5=0$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Sposób 1 — uzupełnienie do kwadratu. Zauważamy, że $(x+1)^2=x^2+2x+1$, więc:
$$x^2+2x+5=\left(x^2+2x+1\right)+4=(x+1)^2+4$$
Szacowanie. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny:
Lewa strona jest zawsze dodatnia, więc nigdy nie może się zerować. $\qquad ∎$
Sposób 2 — wyróżnik. Dla $a=1$, $b=2$, $c=5$:
$$\Delta=b^2-4ac=4-20=-16\lt 0$$
Ujemny wyróżnik oznacza brak pierwiastków rzeczywistych.
Sprawdzenie: pierwszy sposób daje więcej informacji — mówi, że najmniejsza wartość wyrażenia wynosi $4$ i jest osiągana dla $x=-1$. Podstawiając: $1-2+5=4$ ✔
Zadanie nr 1
Ile wynosi $|-7|$?
A$-7$
B$7$
C$0$
D$\pm7$
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi — zawsze nieujemna:
$$|-7|=7$$
Odpowiedź: B. $7$.
Zadanie nr 2
Oblicz $|3-8|+|{-2}|$.
Krok 1 — najpierw działania wewnątrz:
$$|3-8|=|-5|=5$$
Krok 2 — druga wartość:
$$|-2|=2$$
Krok 3 — suma:
$$5+2=7$$
Odpowiedź: $7$.
Zadanie nr 3
Rozwiąż równanie $|x|=6$.
Szukamy liczb odległych od zera o $6$ jednostki — są dwie:
$$x=6 \quad\text{lub}\quad x=-6$$
Częsty błąd: podanie tylko rozwiązania dodatniego.
Odpowiedź: $x\in\{-6,\,6\}$.
Zadanie nr 4
Zapis $x\in\langle2,\,7)$ oznacza:
A$2\lt x\lt 7$
B$2\lt x\le7$
C$2\le x\lt 7$
D$2\le x\le7$
Nawias kwadratowy (ostry) domyka koniec — liczba należy do przedziału. Nawias okrągły otwiera — liczba nie należy.
Tutaj $2$ należy, a $7$ nie.
Odpowiedź: C. $2\le x\lt 7$.
Zadanie nr 5
Wyznacz $A\cup B$ oraz $A\cap B$, gdy $A=(1,\,5)$ i $B=\langle3,\,8\rangle$.
Suma — wszystko, co należy do któregokolwiek przedziału. Przedziały zachodzą na siebie, więc łączą się w jeden:
Dodatkowo. Wartość najmniejsza wynosi $2$ i jest osiągana dla $x=3$ — dowód dał nam więcej, niż wymagało polecenie.
Sprawdzenie: dla $x=3$ mamy $9-18+11=2$ ✔, a dla $x=0$ wychodzi $11>0$ ✔
📄Zadania z arkuszy 207
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu — pokazujemy 100 najnowszych z 207.
Zadanie nr 6 · Matura 2026
Wartość wyrażenia \(x^2+10x+25\) dla \(x=\sqrt{2}-5\) jest równa:
A\(2\)
B\(\sqrt{2}\)
C\(2-20\sqrt{2}\)
D\(62-10\sqrt{2}\)
Oczywiście możemy podstawić \(x=\sqrt{2}-5\) bezpośrednio do naszego wyrażenia (pamiętając oczywiście o tym by później poprawnie wykonać to potęgowanie), ale obliczenia staną się znacznie prostsze, gdy dostrzeżemy, że podane wyrażenie można zwinąć za pomocą wzoru na kwadrat sumy:
$$x^2+10x+25=(x+5)^2$$
I jeśli teraz podstawimy \(x=\sqrt{2}-5\) do uproszczonego wyrażenia, to otrzymamy:
$$(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2$$
Zadanie nr 8 · Matura 2026
Dane jest równanie \(3(x+3)(x-m)(2x+4)=0\) gdzie \(x\) jest niewiadomą, natomiast \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa \(0\). Liczba \(m\) jest równa:
A\((-7)\)
B\(2\)
C\(5\)
D\(7\)
Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania.
Mamy równanie w postaci iloczynowej. Aby iloczyn był równy zero, któryś z czynników musi być równy zero:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-m=0 \quad\lor\quad 2x+4=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=m \quad\lor\quad 2x=-4$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=m \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(m\).
Z treści zadania wiemy, że suma tych rozwiązań wynosi \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$-3+m+(-2)=0$$
$$m-5=0$$
$$m=5$$
Zadanie nr 30 · Matura 2026
Dane są dwa zbiory cyfr: \(X=\{1,3,5,7,9\}\) oraz \(Y=\{0,2,4,6,8\}\). Losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(Y\). Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru \(X\) jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru \(Y\) jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez \(6\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zbiór \(X\) ma \(5\) elementów, zbiór \(Y\) ma \(5\) elementów. Zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich możliwych utworzonych liczb dwucyfrowych wynosi w takim razie \(|\Omega|=5\cdot5=25\).
Krok 2. Wyznaczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Liczba jest podzielna przez \(6\), jeśli jest podzielna przez \(2\) i przez \(3\).
Ponieważ cyfrą jedności jest zawsze cyfra ze zbioru \(Y\) (a wszystkie cyfry w \(Y\) są parzyste), każda utworzona liczba będzie parzysta (podzielna przez \(2\)). Musimy zatem sprawdzić tylko warunek podzielności przez \(3\). Liczba dzieli się przez \(3\), gdy suma jej cyfr dzieli się przez \(3\). Wypiszmy pary (cyfra dziesiątek z \(X\), cyfra jedności z \(Y\)), których suma dzieli się przez \(3\):
· dla \(1\): \(1+2=3\), \(1+8=9\) (liczby: \(12\), \(18\))
· dla \(3\): \(3+0=3\), \(3+6=9\) (liczby: \(30\), \(36\))
· dla \(5\): \(5+4=9\) (liczba: \(54\))
· dla \(7\): \(7+2=9\), \(7+8=15\) (liczby: \(72\), \(78\))
· dla \(9\): \(9+0=9\), \(9+6=15\) (liczby: \(90\), \(96\))
To oznacza, że wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy:
$$|A|=2+2+1+2+2=9$$
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \((3x+2)^2-(2x-3)^2\) jest równa wartości wyrażenia:
A\(5x^2-5\)
B\(5x^2+13\)
C\(5x^2+24x-5\)
D\(5x^2+24x-13\)
W tym zadaniu musimy skorzystać z dwóch wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całe wyrażenie możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(3x+2)^2-(2x-3)^2=9x^2+12x+4-(4x^2-12x+9)=$$
$$=9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5$$
Zadanie nr 6 · Matura 2025
Dana jest nierówność
$$3-2(1-2x)\ge2x-17$$
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?
Zbiór rozwiązań tej nierówności znalazł się na rysunku z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie nr 7 · Matura 2025
Równanie \(2x(x+3)(x^2+25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie:
Adwa rozwiązania: \((-3\)) oraz \(0\)
Bdwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(2\)
Ctrzy rozwiązania: \((-5), (-3)\) oraz \(0\)
Dcztery rozwiązania: \((-5), (-3), 0\) oraz \(5\)
Aby wyrażenie po lewej stronie było równe \(0\), to albo to co jest przed nawiasami jest równe \(0\), albo to co w nawiasach musi być równe \(0\). Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$2x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x^2=-25$$
Równanie \(x^2=-25\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby wynik ujemny. Stąd też jedynymi rozwiązaniami całego równania będą \(-3\) oraz \(0\).
Zadanie nr 1 · Matura 2024
Dana jest nierówność \(|x-1|\ge3\). Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność?
Wyszło nam, że ta nierówność jest spełniana dla \(x\) mniejszego lub równego \(-2\), a także dla \(x\) większego lub równego \(4\), co matematycznie zapisalibyśmy jako \(x\in(-\infty;-2\rangle\cup\langle4;+\infty)\). Taka suma przedziałów znalazła się na drugim rysunku.
Zadanie nr 5 · Matura 2024
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia \((2a+b)^2-(2a-b)^2\) jest równa wartości wyrażenia:
A\(8a^2\)
B\(8ab\)
C\(-8ab\)
D\(2b^2\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2a+b)^2-(2a-b)^2=4a^2+4ab+b^2-(4a^2-4ab+b^2)=$$
$$=4a^2+4ab+b^2-4a^2+4ab-b^2=8ab$$
Zadanie nr 6 · Matura 2024
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(1-\frac{3}{2}x\lt\frac{2}{3}-x\) jest przedział:
A\(\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\)
B\(\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\)
C\(\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)\)
D\(\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\)
Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanej nierówności. Rozwiązać to możemy na różne sposoby, ale najprościej będzie zacząć od pozbycia się ułamków. Dobrym pomysłem byłoby wymnożenie obydwu stron przez \(6\) (bo taka jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb znajdujących się w mianownikach), otrzymując taką oto sytuację:
$$1-\frac{3}{2}x\lt\frac{2}{3}-x \quad\bigg/\cdot6$$
$$6-9x\lt4-6x$$
$$-3x\lt-2 \quad\bigg/:(-3)$$
$$x\gt\frac{2}{3}$$
Zwróć uwagę, że przy dzieleniu obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny. Wyszło nam więc, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\).
Zadanie nr 1 · Matura 2023
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
A\(|x-3,5|\ge1,5\)
B\(|x-1,5|\ge3,5\)
C\(|x-3,5|\le1,5\)
D\(|x-1,5|\le3,5\)
Najbezpieczniejszym sposobem byłoby rozwiązywanie każdej z podanych nierówności z wartością bezwzględną. Jeśli jednak mamy trochę wprawy w rozwiązywaniu takich nierówności, to nasz wzrok powinien kierować się przede wszystkim ku odpowiedziom A oraz B. Dlaczego? Wynik będący sumą przedziałów jest charakterystyczny dla nierówności w których występuje znak typu \(\ge\). Gdybyśmy mieli jeden przedział, to wtedy interesowałyby nas w pierwszej kolejności nierówności ze znakiem typu \(\le\). Spróbujmy zatem rozwiązać podane nierówności:
Odp. A.
$$|x-3,5|\ge1,5$$
$$x-3,5\ge1,5 \quad\lor\quad x-3,5\le-1,5$$
$$x\ge5 \quad\lor\quad x\le2$$
Odp. B.
$$|x-1,5|\ge3,5$$
$$x-1,5\ge3,5 \quad\lor\quad x-1,5\le-3,5$$
$$x\ge5 \quad\lor\quad x\le-2$$
Odp. C.
$$|x-3,5|\le1,5$$
$$x-3,5\le1,5 \quad\land\quad x-3,5\ge-1,5$$
$$x\le5 \quad\land\quad x\ge2$$
Odp. D.
$$|x-1,5|\le3,5$$
$$x-1,5\le3,5 \quad\land\quad x-1,5\ge-3,5$$
$$x\le5 \quad\land\quad x\ge-2$$
Interesujące nas rozwiązanie znalazło się zatem w drugiej nierówności.
Zadanie nr 5 · Matura 2023
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe:
A\(-24a\)
B\(0\)
C\(18\)
D\(16a^2-24a\)
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)=$$
$$=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$
Zadanie nr 6 · Matura 2023
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}\) jest przedział:
A\((-\infty;-4\rangle\)
B\((-\infty;4\rangle\)
C\(\langle-4;\infty)\)
D\(\langle4;\infty)\)
Rozwiązywanie nierówności możemy rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \(3\), otrzymując:
$$-2(x+3)\le\frac{2-x}{3} \quad\bigg/\cdot3$$
$$-6(x+3)\le2-x$$
$$-6x-18\le2-x$$
$$-5x\le20 \quad\bigg/:(-5)$$
$$x\ge-4$$
Zwróć uwagę na zmianę znaku po podzieleniu obydwu stron przez \(-5\). Zawsze, kiedy w nierówności dzielimy lub mnożymy obydwie strony przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też właśnie rozwiązaniem tej nierówności jest \(x\ge-4\), co możemy zapisać w formie przedziału jako \(\langle-4;\infty)\).
Zadanie nr 7 · Matura 2023
Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba:
A\(3\)
B\(2\)
C\(\sqrt{3}\)
D\(\sqrt{2}\)
Mamy równanie w postaci iloczynowej, czyli wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Liczba \(\sqrt{3}\) stojąca przed nawiasami niczego nam nie zmienia, moglibyśmy nawet obustronnie całość podzielić przez \(\sqrt{3}\) otrzymując równanie \((x^2-2)(x+3)=0\). Przyrównując zatem wartości w nawiasach do zera, otrzymamy:
$$x^2-2=0 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x^2=2 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-3$$
Widzimy więc, że pasującą odpowiedzią będzie liczba \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 3 · Próbny 2023
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) wyrażenie \((2a-3b)^2-(3a+2b)^2\) jest równe:
A\(-5a^2-13b^2\)
B\(-5a^2+5b^2\)
C\(-5a^2-24ab+5b^2\)
D\(-5a^2+24ab+5b^2\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Nasze wyrażenie z treści zadania możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(2a-3b)^2-(3a+2b)^2=4a^2-12ab+9b^2-(9a^2+12ab+4b^2)=$$
$$=4a^2-12ab+9b^2-9a^2-12ab-4b^2=-5a^2-24ab+5b^2$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2023
Równanie \(|x-3|=m\) z niewiadomą \(x\) ma dwa rozwiązania. Jednym z nich jest liczba \(5\). Drugim rozwiązaniem tego równania jest liczba:
A\(-5\)
B\(-2\)
C\(1\)
D\(8\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(m\).
Skoro jednym z rozwiązań tego równania jest \(x=5\), to możemy podstawić to rozwiązanie do naszego równania, co pozwoli nam dowiedzieć się jaka jest wartość \(m\), zatem:
$$|5-3|=m$$
$$|2|=m$$
$$m=2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro \(m=2\), to istota zadania opiera się tak naprawdę na tym, by rozwiązać równanie z wartością bezwzględną \(|x-3|=2\). Wartość bezwzględna z \(x-3\) będzie równa \(2\) wtedy, gdy \(x-3\) będzie równe \(2\), lub też gdy \(x-3\) będzie równe \(-2\). W związku z tym możemy zapisać, że:
$$x-3=2 \quad\lor\quad x-3=-2$$
$$x=5 \quad\lor\quad x=1$$
Widzimy więc, że drugim rozwiązaniem tego równania będzie \(x=1\).
Zadanie nr 1 · Matura 2023
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
A\(|x-3,5|\ge1,5\)
B\(|x-1,5|\ge3,5\)
C\(|x-3,5|\le1,5\)
D\(|x-1,5|\le3,5\)
Najbezpieczniejszym sposobem byłoby rozwiązywanie każdej z podanych nierówności z wartością bezwzględną. Jeśli jednak mamy trochę wprawy w rozwiązywaniu takich nierówności, to nasz wzrok powinien kierować się przede wszystkim ku odpowiedziom A oraz B. Dlaczego? Wynik będący sumą przedziałów jest charakterystyczny dla nierówności w których występuje znak typu \(\ge\). Gdybyśmy mieli jeden przedział, to wtedy interesowałyby nas w pierwszej kolejności nierówności ze znakiem typu \(\le\). Spróbujmy zatem rozwiązać podane nierówności:
Odp. A.
$$|x-3,5|\ge1,5$$
$$x-3,5\ge1,5 \quad\lor\quad x-3,5\le-1,5$$
$$x\ge5 \quad\lor\quad x\le2$$
Odp. B.
$$|x-1,5|\ge3,5$$
$$x-1,5\ge3,5 \quad\lor\quad x-1,5\le-3,5$$
$$x\ge5 \quad\lor\quad x\le-2$$
Odp. C.
$$|x-3,5|\le1,5$$
$$x-3,5\le1,5 \quad\land\quad x-3,5\ge-1,5$$
$$x\le5 \quad\land\quad x\ge2$$
Odp. D.
$$|x-1,5|\le3,5$$
$$x-1,5\le3,5 \quad\land\quad x-1,5\ge-3,5$$
$$x\le5 \quad\land\quad x\ge-2$$
Interesujące nas rozwiązanie znalazło się zatem w drugiej nierówności.
Zadanie nr 5 · Matura 2023
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe:
A\(-24a\)
B\(0\)
C\(18\)
D\(16a^2-24a\)
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)=$$
$$=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$
Zadanie nr 6 · Matura 2023
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}\) jest przedział:
A\((-\infty;-4\rangle\)
B\((-\infty;4\rangle\)
C\(\langle-4;\infty)\)
D\(\langle4;\infty)\)
Rozwiązywanie nierówności możemy rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \(3\), otrzymując:
$$-2(x+3)\le\frac{2-x}{3} \quad\bigg/\cdot3$$
$$-6(x+3)\le2-x$$
$$-6x-18\le2-x$$
$$-5x\le20 \quad\bigg/:(-5)$$
$$x\ge-4$$
Zwróć uwagę na zmianę znaku po podzieleniu obydwu stron przez \(-5\). Zawsze, kiedy w nierówności dzielimy lub mnożymy obydwie strony przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też właśnie rozwiązaniem tej nierówności jest \(x\ge-4\), co możemy zapisać w formie przedziału jako \(\langle-4;\infty)\).
Zadanie nr 7 · Matura 2023
Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba:
A\(3\)
B\(2\)
C\(\sqrt{3}\)
D\(\sqrt{2}\)
Mamy równanie w postaci iloczynowej, czyli wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Liczba \(\sqrt{3}\) stojąca przed nawiasami niczego nam nie zmienia, moglibyśmy nawet obustronnie całość podzielić przez \(\sqrt{3}\) otrzymując równanie \((x^2-2)(x+3)=0\). Przyrównując zatem wartości w nawiasach do zera, otrzymamy:
$$x^2-2=0 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x^2=2 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-3$$
Widzimy więc, że pasującą odpowiedzią będzie liczba \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 4 · Matura 2023
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2a-3)^2-(2a+3)^2\) jest równe:
A\(-24a\)
B\(0\)
C\(18\)
D\(16a^2-24a\)
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu jest wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tymi wzorami, całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$(2a-3)^2-(2a+3)^2=4a^2-12a+9-(4a^2+12a+9)=$$
$$=4a^2-12a+9-4a^2-12a-9=-24a$$
Zadanie nr 6 · Matura 2023
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}\) jest przedział:
A\((-\infty;-4\rangle\)
B\((-\infty;4\rangle\)
C\(\langle-4;\infty)\)
D\(\langle4;\infty)\)
Rozwiązywanie nierówności możemy rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \(3\), otrzymując:
$$-2(x+3)\le\frac{2-x}{3} \quad\bigg/\cdot3$$
$$-6(x+3)\le2-x$$
$$-6x-18\le2-x$$
$$-5x\le20 \quad\bigg/:(-5)$$
$$x\ge-4$$
Zwróć uwagę na zmianę znaku po podzieleniu obydwu stron przez \(-5\). Zawsze, kiedy w nierówności dzielimy lub mnożymy obydwie strony przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też właśnie rozwiązaniem tej nierówności jest \(x\ge-4\), co możemy zapisać w formie przedziału jako \(\langle-4;\infty)\).
Zadanie nr 7 · Matura 2023
Jednym z rozwiązań równania \(\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0\) jest liczba:
A\(3\)
B\(2\)
C\(\sqrt{3}\)
D\(\sqrt{2}\)
Mamy równanie w postaci iloczynowej, czyli wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Liczba \(\sqrt{3}\) stojąca przed nawiasami niczego nam nie zmienia, moglibyśmy nawet obustronnie całość podzielić przez \(\sqrt{3}\) otrzymując równanie \((x^2-2)(x+3)=0\). Przyrównując zatem wartości w nawiasach do zera, otrzymamy:
$$x^2-2=0 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x^2=2 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-3$$
Widzimy więc, że pasującą odpowiedzią będzie liczba \(\sqrt{2}\).
Zadanie nr 32 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność:
$$x^2+y^2+5\gt2x+4y$$
Krok 1. Przekształcenie podanej nierówności.
Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą oraz dokonując pewnych przekształceń, otrzymamy taką oto postać:
$$x^2+y^2+5\gt2x+4y$$
$$x^2+y^2+5-2x-4y\gt0$$
$$x^2+y^2+1+4-2x-4y\gt0$$
$$x^2-2x+1+y^2-4y+4\gt0$$
Teraz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy "zwinąć" wyrażenie \(x^2-2x+1\) do postaci \((x-1)^2\) oraz wyrażenie \(y^2-4y+4\) do postaci \((y-2)^2\). Otrzymamy zatem taką oto nierówność:
$$(x-1)^2+(y-2)^2\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(x\neq1\), a to oznacza, że wartość \(x-1\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje dodatni wynik, stąd też na pewno \((x-1)^2\) jest większe od zera.
Spójrzmy teraz na składnik \((y-2)^2\). Analogicznie moglibyśmy powiedzieć, że to wyrażenie jest na pewno dodatnie lub ewentualnie równe \(0\) (wtedy, gdy \(y=2\)). Możemy więc powiedzieć, że \((y-2)^2\) jest liczbą nieujemną.
Mamy więc sytuację, w której do dodatniej liczby \((x-1)^2\) dodajemy nieujemną liczbę \((y-2)^2\). Suma takich liczb jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.
Zadanie nr 5 · Matura 2022
Jednym z rozwiązań równania \(5(x+1)-x^2(x+1)=0\) jest liczba:
A\(1\)
B\((-1)\)
C\(5\)
D\((-5)\)
Gdybyśmy wymnożyli te wszystkie nawiasy i uporządkowali zapis, to powstanie nam równanie trzeciego stopnia, którego raczej samodzielnie (na poziomie podstawowym) nie damy rady rozwiązać.
Do zadania można byłoby więc podejść nieco inaczej. Przykładowo można byłoby podstawić każdą z proponowanych odpowiedzi i sprawdzić, kiedy lewa strona równania będzie równa stronie prawej. Najlepszym jednak sposobem będzie dostrzeżenie, że w nawiasach mamy tą samą wartość, czyli \(x+1\), co pozwoli nam na rozwiązanie tego w następujący sposób:
$$5(x+1)-x^2(x+1)=0$$
$$(5-x^2)\cdot(x+1)=0$$
Teraz postępujemy tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$5-x^2=0 \quad\lor\quad x+1=0$$
$$x^2=5 \quad\lor\quad x=-1$$
$$x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-1$$
Samo równanie ma więc trzy rozwiązania, a w proponowanych odpowiedziach znalazła się odpowiedź \(x=-1\).
Zadanie nr 6 · Matura 2022
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\dfrac{8x-3}{4}\gt6x\) jest przedział:
A\(\left(-\infty;-\frac{3}{4}\right)\)
B\(\left(-\frac{3}{4};+\infty\right)\)
C\(\left(-\infty;-\frac{3}{16}\right)\)
D\(\left(-\frac{3}{16};+\infty\right)\)
Zaczynając od mnożenia obu stron przez \(4\), otrzymamy:
$$\frac{8x-3}{4}\gt6x \quad\bigg/\cdot4$$
$$8x-3\gt24x$$
$$-16x-3\gt0$$
$$-16x\gt3 \quad\bigg/:(-16)$$
$$x\lt-\frac{3}{16}$$
Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez \(-16\), należało zmienić znak nierówności na przeciwny (to największa pułapka w tym zadaniu).
To oznacza, że zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie przedział \(\left(-\infty;-\frac{3}{16}\right)\).
Zadanie nr 7 · Matura 2022
Suma wszystkich rozwiązań równania \((2x-1)(2x-2)(x+2)=0\) jest równa:
A\(\left(-\frac{7}{2}\right)\)
B\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(1\)
W tym zadaniu musimy postąpić tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera. W związku z tym:
$$2x-1=0 \quad\lor\quad 2x-2=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$2x=1 \quad\lor\quad 2x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
$$x=\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1 \quad\lor\quad x=-2$$
Suma rozwiązań tego równania wynosi więc:
$$\frac{1}{2}+1+(-2)=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 31 · Matura 2022
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \(2a^2-4ab+5b^2\gt0\).
Aby móc wykonać to zadanie, musimy w pewien sprytny sposób przekształcić podaną nierówność, tak aby móc później zwinąć całość lub część zapisu przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Przykładowo, moglibyśmy rozbić \(2a^2\) na \(a^2+a^2\) oraz \(5b^2\) na \(4b^2+b^2\), co sprawi, iż otrzymamy następującą sytuację:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0$$
$$a^2+a^2-4ab+4b^2+b^2\gt0$$
$$a^2-4ab+4b^2+a^2+b^2\gt0$$
$$(a-2b)^2+a^2+b^2\gt0$$
Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny (czyli dodatni lub równy zero). Wartość \((a-2b)^2\) jest więc na pewno nieujemna. Zostaje nam jeszcze \(a^2\), który jest na pewno dodatni (bo \(a\) jest różne od zera) i \(b^2\), który jest także dodatni (bo \(b\) jest także różne od zera). To oznacza, że lewa strona jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.
Ewentualnie moglibyśmy dokonać jeszcze takiego rozbicia:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0$$
$$2(a^2-2ab+b^2)+3b^2\gt0$$
$$2(a-b)^2+3b^2\gt0$$
I tu uzasadnienie jest bardzo podobne - wartość \(2(a-b)^2\) jest na pewno nieujemna, a \(3b^2\) jest na pewno dodatnie, więc lewa strona nierówności jest większa od zera.
Zadanie nr 6 · Próbny 2022
Dla dowolnych liczb \(x\) i \(y\) wyrażenie \((2x-y)^2-(x+2y)^2\) jest równe:
A\(4x^2+4y^2\)
B\(3x^2-3y^2\)
C\(3x^2-8xy-3y^2\)
D\(4x^2-8xy+4y^2\)
Musimy uprościć nasze wyrażenie, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Pamiętając o tym, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz że \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) wyjdzie nam wtedy:
$$(2x-y)^2-(x+2y)^2=$$
$$=(4x^2-4xy+y^2)-(x^2+4xy+4y^2)=$$
$$=4x^2-4xy+y^2-x^2-4xy-4y^2=$$
$$=3x^2-8xy-3y^2$$
Aby odpowiedzieć na pytanie, musimy rozwiązać podaną nierówność. W trakcie obliczeń musimy pamiętać o tym, że dzieląc lub mnożąc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny:
$$3x-12\le5x-30+29$$
$$3x-12\le5x-1$$
$$-2x\le11$$
$$x\ge-5\frac{1}{2}$$
Musimy teraz ustalić, jaka jest najmniejsza liczba całkowita większa od \(-5\frac{1}{2}\). Taką liczbą będzie \(-5\) i taka też będzie nasza odpowiedź.
Zadanie nr 5 · Matura 2022
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \(5-(4+2a)(4-2a)\) jest równe:
A\(-4a^2-16a-11\)
B\(4a^2-11\)
C\(-4a^2-11\)
D\(4a^2+16a-11\)
Celem zadania jest poprawne uproszczenie podanego wyrażenia. Zwróć uwagę, że mnożąc nawiasy możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$5-(4+2a)(4-2a)=5-(4^2-(2a)^2)=$$
$$=5-(16-4a^2)=5-16+4a^2=$$
$$=4a^2-11$$
Zadanie nr 30 · Matura 2022
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\neq y\) prawdziwa jest nierówność:
Przekształcając podaną nierówność, otrzymamy taką oto sytuację:
$$\frac{1}{25}x^2+2\cdot\frac{1}{5}x\cdot\frac{4}{5}y+\frac{16}{25}y^2\lt \frac{x^2+4y^2}{5} \quad\bigg/\cdot25$$
$$x^2+8xy+16y^2\lt5x^2+20y^2$$
$$-4x^2+8xy-4y^2\lt0$$
$$-4(x^2-2xy+y^2)\lt0 \quad\bigg/:(-4)$$
$$x^2-2xy+y^2\gt0$$
$$(x-y)^2\gt0$$
Z treści zadania wynika, że \(x\neq y\), a to oznacza, że różnica \(x-y\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też \((x-y)^2\) jest na pewno większe od zera, co należało udowodnić.
Zadanie nr 7 · Matura 2022
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt\frac{x}{5}\) jest przedział:
A\((-\infty,0)\)
B\((0,+\infty)\)
C\((-\infty,\frac{3}{4})\)
D\((\frac{3}{4},+\infty)\)
Celem zadania jest rozwiązania nierówności. Aby tego dokonać, najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wszystkich wyrazów przez \(15\), dzięki czemu od razu pozbędziemy się ułamków:
$$\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt\frac{x}{5} \quad\bigg/\cdot15$$
$$6-5x\gt3x$$
$$6\gt8x$$
$$\frac{6}{8}\gt x$$
$$x\lt\frac{3}{4}$$
To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \((-\infty,\frac{3}{4})\).
Zadanie nr 8 · Matura 2022
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy:
A\(-3\)
B\(3\)
C\(0\)
D\(9\)
Chcąc rozwiązać podane równanie, wystarczy zachować się tak, jak przy postaci iloczynowej - czyli wystarczy przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$2x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \quad\lor\quad x+1=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=9 \quad\lor\quad x=-1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-1$$
Iloczyn tych wszystkich rozwiązań będzie równy:
$$0\cdot3\cdot(-3)\cdot(-1)=0$$
Zadanie nr 31 · Matura 2022
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że różnica \(a-b\) jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 4 · Matura 2021
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \((3x+8y)^2\) jest równe:
A\(9x^2+48xy+64y^2\)
B\(9x^2+64y^2\)
C\(3x^2+48xy+8y^2\)
D\(3x^2+8y^2\)
Zadanie polega jedynie na skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Trzeba tutaj pamiętać, że przykładowo \((3x)^2\) to \(9x^2\) i to jest chyba największa trudność tego zadania. Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$(3x+8y)^2=9x^2+48xy+64y^2$$
Zadanie nr 5 · Matura 2021
Liczba \((-2)\) jest rozwiązaniem równania:
A\(x^2+4=0\)
B\(\frac{x+2}{2}=1\)
C\(\frac{x}{x+2}=0\)
D\(x^2(x+2)+2(x+2)=0\)
Do zadania możemy podejść na różne sposoby, możemy wręcz wszędzie podstawić \(x=-2\) i sprawdzić, kiedy lewa i prawa strona równania będą sobie równe. Spróbujmy jednak przeanalizować szybko każde z równań, bo są one dość proste:
Odp. A. Tutaj przenosząc \(4\) na drugą stronę otrzymalibyśmy równanie \(x^2=-4\), a więc widzimy, że to równanie nie ma w ogóle rozwiązań (bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik).
Odp. B. Mnożąc obydwie strony równania przez 2 otrzymamy \(x+2=2\), czyli \(x=0\).
Odp. C. Tutaj liczba \(-2\) na pewno nie jest rozwiązaniem, co wynika wprost z samych założeń - wartość w mianowniku musi być różna od zera, stąd też \(x+2\neq0\), czyli \(x\neq-2\).
Odp. D. Tutaj faktycznie otrzymamy interesujące nas rozwiązanie, a oto dowód:
$$x^2(x+2)+2(x+2)=0$$
$$(x^2+2)(x+2)=0$$
$$x^2+2=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x^2=-2 \quad\lor\quad x=-2$$
Z równania \(x^2=-2\) nie będziemy mieć rozwiązań, ale z \(x+2=0\) wyszło nam, że \(x=-2\) i właśnie dlatego odpowiedź D będzie tutaj poprawna.
Zadanie nr 6 · Matura 2021
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(5-\frac{2-6x}{4}\ge2x+1\) jest przedział:
A\((-\infty,1\rangle\)
B\(\langle1,+\infty)\)
C\((-\infty,7\rangle\)
D\(\langle7,+\infty)\)
Naszym celem jest po prostu rozwiązanie tej nierówności, choć czyha na nas tutaj sporo arytmetycznych trudności. Całość najlepiej zacząć od pomnożenia obydwu stron przez \(4\), pamiętając przy tym, że po lewej stronie mamy odejmowanie, czyli piątkę stojącą na początku także trzeba będzie przez tą czwórkę pomnożyć. Całość będzie wyglądać następująco:
$$5-\frac{2-6x}{4}\ge2x+1 \quad\bigg/\cdot4$$
$$20-(2-6x)\ge8x+4$$
$$20-2+6x\ge8x+4$$
$$18+6x\ge8x+4$$
$$-2x\ge-14 \quad\bigg/:(-2)$$
$$x\le7$$
Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną \(-2\), trzeba było zmienić znak nierówności na przeciwny.
Wyszło nam, że rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby mniejsze lub równe \(7\), czyli interesującym nas przedziałem będzie \((-\infty,7\rangle\).
Zadanie nr 31 · Matura 2021
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\ge0\).
Na początek spróbujmy wymnożyć \(b\) przez wartości w nawiasach i uporządkować całe wyrażenie, otrzymując:
$$5b^2-4ab+a^2\ge0$$
$$a^2-4ab+5b^2\ge0$$
Powinniśmy dostrzec, że otrzymany zapis przypomina nieco to, co znamy ze wzorów skróconego mnożenia, ale przeszkadza nam tutaj wartość \(5b^2\). Kluczowym więc manewrem będzie rozpisanie tej liczby jako \(4b^2+b^2\), dzięki czemu otrzymamy:
$$a^2-4ab+4b^2+b^2\ge0$$
Teraz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) widzimy, że naszą nierówność da się zapisać jako:
$$(a-2b)^2+b^2\ge0$$
Wartość \((a-2b)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, bo jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Analogicznie wartość \(b^2\) jest większa lub równa zero. To oznacza, że suma tych dwóch nieujemnych liczb na pewno będzie większa lub równa zero i właśnie to kończy nasze dowodzenie.
Zadanie nr 6 · Próbny 2021
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2(x-4)(x^2-1)=0\) jest równy:
A\(-8\)
B\(-4\)
C\(4\)
D\(8\)
Krok 1. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie takich równań odbywa się dokładnie tak, jak robimy to przy postaci iloczynowej, czyli każdą wartość w nawiasie musimy przyrównać do zera. W związku z tym:
$$x-4=0 \quad\lor\quad x^2-1=0$$
$$x=4 \quad\lor\quad x^2=1$$
$$x=4 \quad\lor\quad x=1 \quad\lor\quad x=-1$$
Krok 2. Wyznaczenie iloczynu wszystkich rozwiązań równania.
Na koniec musimy jeszcze wyznaczyć iloczyn, czyli pomnożyć przez siebie wszystkie otrzymane wyniki:
$$4\cdot1\cdot(-1)=-4$$
Rozwiązanie tej nierówności najlepiej jest zacząć od mnożenia po prawej stronie:
$$\frac{12-5x}{2}\lt3\left(1-\frac{1}{2}x\right)+7x$$
$$\frac{12-5x}{2}\lt3-\frac{3}{2}x+7x \quad\bigg/\cdot2$$
$$12-5x\lt6-3x+14x$$
$$12-5x\lt6+11x$$
$$-16x\lt-6 \quad\bigg/:(-16)$$
$$x\gt\frac{6}{16}$$
$$x\gt\frac{3}{8}$$
To oznacza, że zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie \(\left(\frac{3}{8};+\infty\right)\).
Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną, czyli \(-16\) musieliśmy zmienić znak nierówności na przeciwny!
Zadanie nr 10 · Próbny 2021
Suma wszystkich rozwiązań równania \((x^3+8)(x^2-9)=0\) jest równa:
A\(5\)
B\(2\)
C\(1\)
D\(-2\)
Aby rozwiązać to równanie, musimy działać dokładnie tak jak przy standardowym równaniu zapisanym w postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera. W związku z tym:
$$x^3+8=0 \quad\lor\quad x^2-9=0$$
$$x^3=-8 \quad\lor\quad x^2=9$$
$$x=-2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Naszym celem jest poznanie sumy wszystkich rozwiązań, zatem:
$$-2+3+(-3)=-2$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2021
Udowodnij, że dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{x}{9}+\frac{4}{x}\le-\frac{4}{3}\).
Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest większa lub równa \(0\), zatem nasze dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 3 · Próbny 2021
Najmniejsza wartość wyrażenia \((x-y)(x+y)\) dla \(x,y\in\{2,3,4\}\) jest równa:
A\(-12\)
B\(0\)
C\(2\)
D\(24\)
Ze wzorów skróconego mnożenia wynika, że:
$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$
Powinniśmy dostrzec, że aby wartość tego wyrażenia była jak najmniejsza, to wartość \(x\) musi być jak najmniejsza, natomiast wartość \(y\) jak największa (bo wtedy dużo odejmiemy). Skoro tak, to najmniejszą wartość osiągniemy dla \(x=2\) oraz \(y=4\), a będzie ona równa:
$$2^2-4^2=4-16=-12$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2021
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\sqrt{2}-\frac{x}{3}\ge0\) jest:
A\(-3\sqrt{2}\)
B\(4\)
C\(3\sqrt{2}\)
D\(-4\)
Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na wstępie powinniśmy zauważyć, że odpowiedzi A oraz C możemy od razu odrzucić, gdyż nie są to liczby całkowite. Aby poznać prawidłową odpowiedź, musimy rozwiązać podaną nierówność:
$$\sqrt{2}\ge\frac{x}{3}$$
$$3\sqrt{2}\ge x$$
$$x\le3\sqrt{2}$$
Krok 2. Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność.
Wartość \(3\sqrt{2}\) to w przybliżeniu \(3\cdot1,41\approx4,23\). Nasza niewiadoma \(x\) musi być mniejsza od tej wartości, a skoro tak, to najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność będzie \(4\).
Zadanie nr 5 · Matura 2021
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((x-1)^2-(2-x)^2\) jest równe:
A\(2x-3\)
B\(2x^2-6x-3\)
C\((2x-3)^2\)
D\(9\)
W tym zadaniu nie chodzi o żadne podstawianie liczb, czy też rozwiązanie równania kwadratowego (bo to nie jest w ogóle równanie, gdyż nie mamy znaku "równa się"). Naszym celem jest po prostu uproszczenie podanego wyrażenia. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$(x-1)^2-(2-x)^2=x^2-2x+1-(4-4x+x^2)=$$
$$=x^2-2x+1-4+4x-x^2=2x-3$$
Zadanie nr 6 · Matura 2021
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(x\), spełniających jednocześnie nierówności \(0\lt7-3x\) oraz \(7-3x\le5x-3\).
A
B
C
D
Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na początek, rozwiążmy obydwie podane nierówności. Przy okazji musimy pamiętać, że gdy zajdzie konieczność pomnożenia lub podzielenia obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, to trzeba będzie zmienić znak nierówności na przeciwny. W związku z tym:
Pierwsza nierówność:
$$0\lt7-3x$$
$$3x\lt7$$
$$x\lt\frac{7}{3}$$
Druga nierówność:
$$7-3x\le5x-3$$
$$7-8x\le-3$$
$$-8x\le-10 \quad\bigg/:(-8)$$
$$x\ge\frac{10}{8}$$
$$x\ge\frac{5}{4}$$
Krok 2. Wybór właściwego rysunku.
Interesuje nas przedział liczb, które są jednocześnie mniejsze od \(\frac{7}{3}\) i większe lub równe \(\frac{5}{4}\). Taki przedział znajduje się na rysunku z odpowiedzi B.
Zadanie nr 7 · Matura 2021
Rozwiązaniem równania \(x\sqrt{3}+2=2x-8\) jest liczba:
A\(10(2+\sqrt{3})\)
B\(\frac{10}{\sqrt{3}-2}\)
C\(10(\sqrt{3}-2)\)
D\(\frac{\sqrt{3}+10}{2}\)
Przenosząc "iksy" na jedną stronę oraz liczby na drugą, otrzymamy:
$$x\sqrt{3}+2=2x-8$$
$$x\sqrt{3}-2x=-8-2$$
$$x\sqrt{3}-2x=-10$$
Jak rozwiązać tego typu równanie? Musimy po lewej stronie wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. Wspólnym czynnikiem \(x\sqrt{3}\) oraz \(-2x\) jest oczywiście \(x\), zatem:
$$x\sqrt{3}-2x=-10$$
$$x(\sqrt{3}-2)=-10$$
$$x=\frac{-10}{\sqrt{3}-2}$$
Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika.
Obliczony przed chwilą wynik jest jak najbardziej poprawny, ale nie znalazł się on w proponowanych odpowiedziach. To dlatego, że powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(\sqrt{3}+2\) (uwaga na znaki!), dzięki czemu w mianowniku otrzymamy wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). W związku z tym:
$$x=\frac{-10}{\sqrt{3}-2}$$
$$x=\frac{-10\cdot(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)\cdot(\sqrt{3}+2)}$$
$$x=\frac{-10\sqrt{3}-20}{3-4}$$
$$x=\frac{-10\sqrt{3}-20}{-1}$$
$$x=10\sqrt{3}+20=10(\sqrt{3}+2)=10(2+\sqrt{3})$$
Zadanie nr 30 · Matura 2021
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a, b\) i \(c\) takich, że \(\frac{a+b}{2}\gt c\) i \(\frac{b+c}{2}\gt a\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{a+c}{2}\lt b\)
Skoro \(\frac{a+b}{2}\gt c\) oraz \(\frac{b+c}{2}\gt a\), to możemy zapisać, że suma \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\) musi być większa od sumy \(c+a\). Zapiszmy zatem, że:
$$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\gt c+a$$
$$\frac{a+2b+c}{2}\gt c+a$$
$$a+2b+c\gt2c+2a$$
$$2b\gt a+c$$
$$b\gt\frac{a+c}{2}$$
$$\frac{a+c}{2}\lt b$$
Zadanie nr 3 · Matura 2021
Rozważmy przedziały liczbowe \((-\infty,5)\) i \(\langle-1,+\infty)\). Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedziałów?
A\(6\)
B\(5\)
C\(4\)
D\(7\)
Analizując podane przedziały możemy wywnioskować, że nasze liczby muszą należeć do przedziału \(\langle-1;5)\). Liczbami całkowitymi, które spełniają warunki zadania będą więc \(-1,0,1,2,3,4\). To oznacza, że takich liczb jest łącznie \(6\).
Zadanie nr 6 · Matura 2021
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2-x}{2}-2x\ge1\) jest przedział:
A\(\langle0;\infty)\)
B\((-\infty,0\rangle\)
C\((-\infty,5)\)
D\((-\infty,\frac{1}{3}\rangle\)
Zadanie wydaje się bardzo proste i takie rzeczywiście jest, choć należy tutaj dobrze wykonać wszystkie działania arytmetyczne. Na początek chcielibyśmy pewnie pozbyć się ułamka i pomnożyć wszystko przez \(2\) i to jest bardzo dobry pomysł, ale trzeba to mnożenie dobrze wykonać (pamiętając o tym, że trzeba wymnożyć także \(-2x\)). Otrzymamy zatem:
$$\frac{2-x}{2}-2x\ge1 \quad\bigg/\cdot2$$
$$2-x-4x\ge2$$
$$2-5x\ge2$$
$$-5x\ge0 \quad\bigg/:(-5)$$
$$x\le0$$
Zwróć uwagę, że dzieląc przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny.
Otrzymany wynik \(x\le0\) oznacza, że zbiorem wszystkich rozwiązań tej nierówności jest przedział \((-\infty,0\rangle\).
Zadanie nr 30 · Matura 2021
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a\), \(b\) i \(c\) takich, że \(a\lt b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c}\)
Kluczem do tego zadania jest pamiętanie o tym, że rozwiązując nierówności musimy być pewni tego przez jaką liczbę mnożymy obie strony nierówności. Gdyby to była liczba ujemna, to trzeba byłoby zmienić znak na przeciwny.
Z treści zadania wiemy, że liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) są dodatnie, więc możemy bez problemu mnożyć obie strony nierówności właśnie przez te liczby. Zaczynając od pomnożenia obydwu stron przez \(b\) otrzymamy;
$$\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c} \quad\bigg/\cdot b$$
$$a\lt\frac{ab+bc}{b+c} \quad\bigg/\cdot(b+c)$$
$$a\cdot(b+c)\lt ab+bc$$
$$ab+ac\lt ab+bc\quad\bigg/-ab$$
$$ac\lt bc$$
I teraz mamy różne możliwości na zakończenie dowodzenia. Przykładowo:
I sposób:
Mając nierówność \(ac\lt bc\) możemy obustronnie odjąć \(bc\) i otrzymać informację, że:
$$ac-bc\lt0$$
$$c(a-b)\lt0$$
Z treści zadania wiemy, że \(a\lt b\), więc wartość \(a-b\) znajdująca się w nawiasie musi być ujemna. Skoro liczba \(c\) jest dodatnia oraz \(a-b\) jest ujemne, to iloczyn tych dwóch liczb musi być mniejszy od zera, co należało właśnie udowodnić.
II sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy wywnioskować, że skoro \(a\lt b\) i wszystkie liczby są dodatnie, to iloczyn \(ac\) musi być mniejszy od \(bc\), co także należało udowodnić.
III sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy podzielić obie strony przez \(c\), otrzymując \(a\lt b\), co jest prawdą zgodnie z treścią zadania.
Zadanie nr 4 · Matura 2020
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{5(4-x)}{2}\lt x\) jest liczba:
Otrzymaliśmy informację, że nierówność jest spełniana przez wszystkie liczby większe od \(2\frac{6}{7}\), zatem najmniejszą liczbą całkowitą spełnianą przez tę nierówność będzie \(3\).
Zadanie nr 28 · Matura 2020
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a+b)+b^2\gt3ab\).
Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy:
$$a^2+ab+b^2\gt3ab$$
$$a^2-2ab+b^2\gt0$$
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość \(a^2-2ab+b^2\) możemy zwinąć do postaci \((a-b)^2\), zatem zostanie nam nierówność:
$$(a-b)^2\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, to różnica \(a-b\) jest różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.
Zadanie nr 5 · Próbny 2020
Liczba \((2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2\) jest równa:
A\(9\)
B\(3\)
C\(2809\)
D\(28-20\sqrt{7}\)
Można byłoby wykonać potęgowanie jednego i drugiego nawiasu, a potem pomnożyć te wartości między sobą, ale to zadanie da się zrobić znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że:
$$(2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)\cdot(2\sqrt{7}+5)\right)^2=\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2020
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek: \(11\le2x-7\le15\).
A
B
C
D
Aby się nie zgubić w obliczeniach, to najlepiej jest tego typu nierówności rozbić na dwie części:
$$11\le2x-7\le15$$
$$11\le2x-7 \quad\land\quad 2x-7\le15$$
$$18\le2x \quad\land\quad 2x\le22$$
$$9\le x \quad\land\quad x\le11$$
$$x\ge9 \quad\land\quad x\le11$$
Szukamy zatem rysunku na którym zaznaczono zbiór liczb większych lub równych \(9\) i mniejszych lub równych \(11\). Taka sytuacja jest przedstawiona na ostatnim rysunku.
Zadanie nr 28 · Próbny 2020
Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\ge4\).
Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez \(x\), ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że \(x\) jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:
$$4x+\frac{1}{x}\ge4 \quad\bigg/\cdot x$$
$$4x^2+1\ge4x$$
$$4x^2-4x+1\ge0$$
$$(2x-1)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 8 · Próbny 2020
Równanie \((x^2-1)\cdot(x^2+5x)=0\) ma:
Atrzy rozwiązania, których suma jest równa \(5\)
Bcztery rozwiązania, których suma jest równa \(5\)
Ctrzy rozwiązania, których suma jest równa \(-5\)
Dcztery rozwiązania, których suma jest równa \(-5\)
Choć nie jest to klasyczne równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, to możemy je rozwiązać właśnie tak jak postać iloczynową, czyli przyrównując wartości w nawiasach do zera. Otrzymamy wtedy:
$$x^2-1=0 \quad\lor\quad x^2+5x=0$$
$$x^2=1 \quad\lor\quad x(x+5)=0$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x+5=0$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x=-5$$
To oznacza, że nasze równanie ma cztery rozwiązania, a ich suma jest równa:
$$1+(-1)+0+(-5)=-5$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2020
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi nierówność \(x^2+y^2+11\gt2x+6y\).
Na początek spróbujmy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, otrzymując:
$$x^2+y^2+11-2x-6y\gt0$$
$$x^2-2x+y^2-6y+11\gt0$$
Teraz najtrudniejsza część zadania, która nie ma co ukrywać - wymaga od nas sprawnego wykorzystywania wzorów skróconego mnożenia. Musimy zwinąć odpowiednie wyrazy w taki sposób, by otrzymać kwadrat sumy, czyli postać \((a+b)^2\) lub kwadrat różnicy, czyli postać \((a-b)^2\). Trudność tego zadania jest tym większa, że takiego "zwinięcia" będziemy musieli dokonać dwukrotnie, a jakby tego było mało, to dodatkowo będziemy musieli rozbić liczbę \(11\) na sumę \(9+1+1\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2-2x+y^2-6y+11\gt0$$
$$x^2-2x+1+y^2-6y+9+1\gt0$$
$$(x^2-2x+1)+(y^2-6y+9)+1\gt0$$
$$(x-1)^2+(y-3)^2+1\gt0$$
Wiemy, że jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), stąd też na pewno \((x-1)^2\) jest większe lub równe \(0\) oraz \((y-3)^2\) jest także większe lub równe \(0\). Dodatkowe \(+1\) sprawia, że wyrażenie po lewej stronie na pewno jest większe od zera i to należało właśnie udowodnić.
Zadanie nr 2 · Próbny 2020
Przedział liczbowy \(\langle2, 7\rangle\) jest iloczynem zbioru \(A=\langle m;\infty)\) i zbioru \(B=(-3,7\rangle\) dla \(m\) równego:
A\(7\)
B\(2\)
C\(-3\)
D\(-1\)
Iloczyn zbiorów to zbiór, który zawiera elementy znajdujące się jednocześnie w jednym i drugim zbiorze. Skoro iloczynem zbiorów jest przedział \(\langle2, 7\rangle\), to możemy wywnioskować, że ten przedział musi znaleźć się zarówno w zbiorze \(A\) jak i \(B\). Aby tak się stało, to \(m\) musi być równe \(2\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2020
Wspólnym pierwiastkiem równania \(3x(x+\frac{2}{3})(2x-5)=0\) oraz równania \(\frac{2x-5}{3x+2}=0\) jest liczba:
A\(\frac{2}{3}\)
B\(-\frac{2}{3}\)
C\(2,5\)
D\(-2,5\)
Krok 1. Rozwiązanie pierwszego równania.
Na początek rozwiążmy pierwsze równanie. Traktujemy je tak samo jak równanie w postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy odpowiednie wartości do zera:
$$3x=0 \quad\lor\quad x+\frac{2}{3}=0 \quad\lor\quad 2x-5=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad 2x=5$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=2,5$$
Krok 2. Rozwiązanie drugiego równania.
Jest to przykład równania wymiernego w którym niewiadoma \(x\) pojawia się w mianowniku ułamka, zatem zanim zaczniemy liczyć, musimy zapisać założenia. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik musi być różny od zera, więc:
$$3x+2\neq0$$
$$3x\neq-2$$
$$x\neq-\frac{2}{3}$$
Dopiero teraz możemy przystąpić do obliczeń, a zaczniemy standardowo od wymnożenia obydwu stron przez wartość z mianownika:
$$\frac{2x-5}{3x+2}=0 \quad\bigg/\cdot(3x+2)$$
$$2x-5=0$$
$$2x=5$$
$$x=2,5$$
Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, więc możemy uznać, że rozwiązaniem tego równania jest \(x=2,5\).
Krok 3. Ustalenie wspólnych rozwiązań.
Wspólny pierwiastek to tak naprawdę wspólne rozwiązanie jednego i drugiego równania. Widzimy, że takim rozwiązaniem jest jedynie \(x=2,5\) i to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.
Zadanie nr 17 · Próbny 2020
Największą liczbą naturalną, która nie spełnia nierówności \(32^{10}-2^{48}\cdot x+8\cdot4^{23}\le(64^4)^2\), jest liczba:
A\(2^{48}\)
B\(6\)
C\(5\)
D\(4\)
Powinniśmy zauważyć, że wszystkie liczby z tej nierówności mają coś wspólnego z dwójką, bowiem \(32=2^5\), \(8=2^3\), \(4^2\) oraz \(64=2^6\). Korzystając teraz z działań na potęgach, całą nierówność możemy zapisać jako:
$$32^{10}-2^{48}\cdot x+8\cdot4^{23}\le{(64^4)}^2$$
$${(2^5)}^{10}-2^{48}\cdot x+2^3\cdot{(2^2)}^{23}\le{((2^6)^4)}^2$$
$$2^{50}-2^{48}\cdot x+2^3\cdot2^{46}\le2^{48}$$
$$2^{50}-2^{48}\cdot x+2^{49}\le2^{48} \quad\bigg/:2^{48}$$
$$2^2-x+2^1\le1$$
$$4-x+2\le1$$
$$6-x\le1$$
$$-x\le-5 \quad\bigg/:(-1)$$
$$x\ge5$$
Zwróć uwagę, że w ostatnim przekształceniu musieliśmy zmienić znak nierówności na przeciwny (a to dlatego, że dzieliliśmy przez liczbę ujemną \(-1\)).
Otrzymaliśmy informację, że \(x\ge5\). To oznacza, że największą liczbą naturalna, która nie spełnia tej nierówności będzie \(4\).
Zadanie nr 1 · Matura 2020
Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa:
A\(1\)
B\(3\)
C\(1+2\sqrt{3}\)
D\(1-2\sqrt{3}\)
Aby obliczyć wartość tego wyrażenia wystarczy podstawić w miejsce \(x\) liczbę \(\sqrt{3}+3\). W tym zadaniu skorzystamy przy okazji ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1-x)\gt2(3x-1)-12x\) jest przedział:
A\(\left(-\frac{5}{3};+\infty\right)\)
B\(\left(-\infty;\frac{5}{3}\right)\)
C\(\left(\frac{5}{3};+\infty\right)\)
D\(\left(-\infty;-\frac{5}{3}\right)\)
Wymnażając poszczególne liczby otrzymamy:
$$3(1-x)\gt2(3x-1)-12x$$
$$3-3x\gt6x-2-12x$$
$$3-3x\gt-6x-2$$
$$3x\gt-5$$
$$x\gt-\frac{5}{3}$$
To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(\left(-\frac{5}{3};+\infty\right)\).
Zadanie nr 6 · Matura 2020
Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x-3)(x+2)=0\) jest równa:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(3\)
Krok 1. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera (iksa przed nawiasem także przyrównujemy do zera):
$$x(x-3)(x+2)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich rozwiązań.
Zgodnie z poleceniem musimy jeszcze zsumować wszystkie rozwiązania, zatem:
$$0+3+(-2)=1$$
Zadanie nr 28 · Matura 2020
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a-2b)+2b^2\gt0\).
Kluczem do sukcesu jest rozbicie wartości \(2b^2\) na \(b^2+b^2\). Otrzymamy wtedy następującą sytuacje:
$$a(a-2b)+2b^2\gt0$$
$$a^2-2ab+b^2+b^2\gt0$$
Wyrażenie \(a^2-2ab+b^2\) możemy "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia do postaci \((a-b)^2\), co sprawi że otrzymamy:
$$(a-b)^2+b^2\gt0$$
Teraz przeanalizujmy co otrzymaliśmy. Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, zatem \(a-b\) jest na pewno różne od zera. Jakiejkolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też na pewno wartość \((a-b)^2\) jest większa od zera. Analogicznie możemy stwierdzić, że wartość \(b^2\) będzie większa od zera lub równa zero.
Suma \((a-b)^2\) oraz \(b^2\) musi być więc większa od zera, bo do liczby dodatniej dodajemy liczbę większą lub równą zero i właśnie to należało udowodnić.
Zadanie nr 5 · Matura 2020
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{1}{6}-x\ge\frac{2}{3}x+4\) jest:
A\(-3\)
B\(-2\)
C\(2\)
D\(3\)
Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Rozwiązywanie nierówności najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron przez \(6\), dzięki czemu pozbędziemy się wszystkich ułamków. Musimy jednak uważanie te wyrazy wymnożyć, gdyż po lewej stronie mamy odejmowanie, a po prawej dodawanie:
$$\frac{1}{6}-x\ge\frac{2}{3}x+4 \quad\bigg/\cdot6$$
$$1-6x\ge4x+24$$
$$-10x\ge23 \quad\bigg/:(-10)$$
$$x\le-2,3$$
Krok 2. Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającą nierówność.
Musimy jeszcze ustalić, jaka jest największa liczba całkowita, która spełnia tę nierówność. Największą liczbą całkowitą, która jest mniejsza od \(-2,3\), będzie \(-3\) i taka też jest nasza odpowiedź.
Zadanie nr 28 · Matura 2020
Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a\lt4\) i \(b\lt4\), to \(ab+16\gt4a+4b\).
Krok 1. Rozpisanie podanej nierówności.
Pierwszą rzeczą, która nasuwa się przy nierówności \(ab+16\gt4a+4b\), jest przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę. Tak też właśnie zróbmy, dzięki czemu otrzymamy:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$
Powinniśmy teraz zauważyć, że wartość po lewej stronie nierówności da się rozpisać, wyłączając wspólne czynniki przed nawias:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$
$$a(b-4)-4(b-4)\gt0$$
$$(a-4)(b-4)\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(a\lt4\), czyli \(a-4\lt0\). Analogicznie \(b\lt4\), czyli \(b-4\lt0\). Skoro tak, to iloczyn \((a-4)(b-4)\) musi być dodatni, bowiem pomnożenie liczby ujemnej przez ujemną daje wynik większy od zera. To oznacza, że nierówność \((a-4)(b-4)\gt0\) jest jak najbardziej poprawna, co też należało udowodnić.
Zadanie nr 4 · Matura 2019
Równanie \(x(5x+1)=5x+1\) ma dokładnie:
Ajedno rozwiązanie: \(x=1\)
Bdwa rozwiązania: \(x=1\) i \(x=-1\)
Cdwa rozwiązania: \(x=-\frac{1}{5}\) i \(x=1\)
Ddwa rozwiązania: \(x=\frac{1}{5}\) i \(x=-1\)
Możemy to równanie rozwiązać w standardowy sposób wymnażając iksa przez wartość w nawiasie i przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę. Otrzymamy wtedy równanie kwadratowe \(5x^2-4x-1=0\), które rozwiążemy klasyczną deltą. Wyjdzie nam wtedy, że \(Δ=36\), co doprowadzi nas do dwóch rozwiązań: \(x_{1}=-\frac{1}{5}\) oraz \(x_{2}=1\).
Jednak to zadanie da się zrobić nieco sprytniej w następujący sposób:
$$x(5x+1)=5x+1$$
$$x(5x+1)-5x-1=0$$
$$x\cdot(5x+1)-1\cdot(5x+1)=0$$
$$(x-1)(5x+1)=0$$
Aby wartość tego równania była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad 5x+1=0$$
$$x=1 \quad\lor\quad 5x=-1$$
$$x=1 \quad\lor\quad x=-\frac{1}{5}$$
To oznacza, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-\frac{1}{5}\) i \(x=1\).
Zadanie nr 28 · Matura 2019
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x+\frac{1-x}{x}\ge1\).
Krok 1. Przekształcenie nierówności.
Pierwszą rzeczą jaką chcielibyśmy zrobić to pomnożyć obydwie strony tego równania przez \(x\). Musimy się jednak pochylić nad tym działaniem, bowiem kiedy mnożymy (lub dzielimy) nierówność przez liczbę ujemną to trzeba zmienić znak nierówności. Tutaj akurat tego problemu nie mamy, bo w treści zadania podano, że dowodzenie ma dotyczyć tylko liczb dodatnich. W związku z tym bez obaw możemy obustronnie pomnożyć to wyrażenie przez \(x\):
$$x+\frac{1-x}{x}\ge1 \quad\bigg/\cdot x$$
$$x^2+1-x\ge x$$
$$x^2-2x+1\ge0$$
$$(x-1)^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Każda liczba podniesiona do kwadratu daje nam wynik dodatni lub równy \(0\). Z tego też względu wartość \((x-1)^2\) jest na pewno większa lub równa zero, co kończy nasze dowodzenie.
Zadanie nr 3 · Próbny 2019
Wartość bezwzględna liczby \(3\sqrt{2}-5\) jest równa:
A\(3\sqrt{2}+5\)
B\(5-3\sqrt{2}\)
C\(3\sqrt{2}-5\)
D\(-3\sqrt{2}-5\)
Krok 1. Ustalenie, czy liczba pod nawiasami bezwzględności jest dodatnia czy ujemna.
Naszym zadaniem jest obliczenie wartości \(|3\sqrt{2}-5|\). Aby opuścić nawiasy bezwzględności musimy najpierw ustalić, czy liczba z której wyznaczamy wartość bezwzględną jest dodatnia, czy też ujemna. Jeżeli wartość w nawiasie bezwzględności jest dodatnia, to opuszczając nawias nie zmieniamy znaku np \(|5|=5\). Jeżeli wartość w nawiasie jest ujemna, to opuszczając nawias wartości bezwzględnej musimy zmienić znak liczby np. \(|-5|=5\) (i na tym właśnie polega cała trudność tego zadania). Sprawdźmy zatem jaka wartość znalazła się w naszych nawiasach.
Krok 2. Obliczenie wartości bezwzględnej.
Liczba pod nawiasami bezwzględności wyszła nam ujemna, zatem opuszczając nawiasy musimy zmienić znaki na przeciwne. W związku z tym:
$$|3\sqrt{2}-5|=-(3\sqrt{2}-5)=-3\sqrt{2}+5=5-3\sqrt{2}$$
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Aby rozwiązać nierówność musimy najpierw sprawdzić jakie ma miejsca zerowe, czyli musimy sprawdzić dla jakich argumentów \((x+3)^2=0\). Nie musimy wykonywać potęgowania, zastosujemy tutaj własność znaną z funkcji zapisanych w postaci iloczynowej, czyli wartość w nawiasie musimy przyrównać do zera:
$$x+3=0$$
$$x=-3$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsce zerowe. Ramiona paraboli będą skierowane do góry (bo przed \(x^2\) nie stoi żadna ujemna wartość), zatem całość będzie wyglądać następująco:
Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero. Patrząc się na wykres widzimy, że pożądana wartość przyjmowana jest jedynie dla \(x=-3\). Dla wszystkich pozostałych argumentów wartości są większe od zera. To oznacza, że zbiorem rozwiązań nierówności jest tylko liczba \(-3\).
Zadanie nr 6 · Próbny 2019
Wyrażenie \((3x-y)^2-(x-3y)^2\) jest równe wyrażeniu:
A\(8x^2-8y^2\)
B\(-12xy+8x^2-8y^2\)
C\(8y^2-8x^2\)
D\(-12xy+8x^2+10y^2\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(3x-y)^2-(x-3y)^2=9x^2-6xy+y^2-(x^2-6xy+9y^2)=$$
$$=9x^2-6xy+y^2-x^2+6xy-9y^2=8x^2-8y^2$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2019
Iloczyn wszystkich pierwiastków równania \((2x-3)(x^2+2x)=0\) jest równy:
A\(-\frac{4}{3}\)
B\(0\)
C\(3\)
D\(-3\)
Krok 1. Rozwiązanie równania.
Na początek ustalmy co to są pierwiastki równania. To nic innego jak po prostu rozwiązania tego równania. To ważne, by nie mylić tego pojęcia ze standardowymi pierwiastkami, ani tym bardziej by nie wyliczać później pierwiastków z otrzymanych rozwiązań.
Przejdźmy zatem do rozwiązania równania. Aby wartość tego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi być równy zero. Możemy więc zapisać, że:
$$2x-3=0 \quad\lor\quad x^2+2x=0$$
$$2x=3 \quad\lor\quad x(x+2)=0$$
$$x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x=-2$$
Oczywiście równanie \(x^2+2x=0\) moglibyśmy rozwiązać także metodą liczenia delty (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), jednakże sposób z wyłączeniem iksa przed nawias był znacznie prostszy.
Krok 2. Obliczenie iloczynu pierwiastków równania.
Jak już sobie powiedzieliśmy - pierwiastkami równania są po prostu rozwiązania, które przed chwilą otrzymaliśmy. Zgodnie z treścią zadania musimy podać jeszcze iloczyn tych rozwiązań, zatem:
$$1\frac{1}{2}\cdot0\cdot(-2)=0$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2019
Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej prawdziwa jest nierówność \(9x+\frac{1}{x}\le-6\).
Skoro \(x\) ma być liczbą ujemną, to możemy pomnożyć obydwie strony tej nierówności przez \(x\), pamiętając jednak o tym, żeby zmienić w takiej sytuacji znak na przeciwny. To w zasadzie jest kluczowa pułapka w tym zadaniu. Na sam koniec otrzymane wyrażenie będziemy musieli "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$9x+\frac{1}{x}\le-6 \quad\bigg/\cdot x$$
$$9x^2+1\ge-6x$$
$$9x^2+6x+1\ge0$$
$$(3x+1)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), to dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 2 · Próbny 2019
Zbiorem rozwiązań nierówności \(|x|\le4\) jest przedział:
A\(\langle-4,4\rangle\)
B\((-\infty,4\rangle\)
C\((-4,4)\)
D\((-\infty,-4\rangle\cup\langle4,+\infty)\)
Nierówności z wartością bezwzględną rozwiązujemy w następujący sposób:
$$|x|\le4$$
$$x\le4 \quad\land\quad x\ge-4$$
Widzimy wyraźnie, że rozwiązaniem nierówności są liczby, które jednocześnie będą mniejsze lub równe \(4\) i większe lub równe \(-4\). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(\langle-4,4\rangle\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2019
Rozwiązaniem równania \((2x-5)(3x+2)=(3x+2)(x+5)\) są liczby:
A\(-\frac{2}{3}\) i \(10\)
B\(-5\) i \(2,5\)
C\(-5\), \(-\frac{2}{3}\) i \(2,5\)
D\(-5\) i \(10\)
Nie możemy podzielić obydwu stron równania przez \((3x+2)\), bo nie mamy pewności, że przypadkiem nie podzielimy tego równania przez \(0\). To równanie należy rozwiązać w następujący sposób:
$$(2x-5)(3x+2)=(3x+2)(x+5)$$
$$(2x-5)(3x+2)-(3x+2)(x+5)=0$$
$$(3x+2)\cdot[(2x-5)-(x+5)]=0$$
$$(3x+2)\cdot[(2x-5)-x-5]=0$$
$$(3x+2)\cdot(x-10)=0$$
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. Aby to równanie było równe \(0\), to któryś z nawiasów musi nam to równanie wyzerować, zatem:
$$3x+2=0 \quad\lor\quad x-10=0$$
$$3x=-2 \quad\lor\quad x=10$$
$$x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=10$$
Zadanie nr 11 · Matura 2019
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\) jest po uproszczeniu równe:
A\(5x^2-12x-5\)
B\(5x^2-13\)
C\(5x^2-12x+13\)
D\(5x^2+5\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)=$$
$$=9x^2-12x+4-(4x^2-9)=$$
$$=9x^2-12x+4-4x^2+9=$$
$$=5x^2-12x+13$$
Zadanie nr 29 · Matura 2019
Wykaż, że dla każdej liczby \(a\gt0\) i dla każdej liczby \(b\gt0\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\).
Wiemy, że \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, zatem mnożąc lub dzieląc tę nierówność przez \(a\) oraz \(b\) nie ma obaw, że będziemy mnożyć/dzielić przez liczbę ujemną (co wymuszałoby na nas zmianę znaku nierówności).
Mnożąc to równanie przez \(a\) oraz \(b\) (możemy to dla pewności zrobić powoli, najpierw mnożąc przez \(a\), potem przez \(b\)) otrzymamy:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b} \quad\bigg/\cdot a$$
$$1+\frac{1\cdot a}{b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot b$$
$$b+a\ge\frac{4ab}{a+b}$$
$$a+b\ge\frac{4ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot(a+b)$$
$$(a+b)\cdot(a+b)\ge4ab$$
$$a^2+2ab+b^2\ge4ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 28 · Matura 2019
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2-2ab+3b^2\ge0\).
Krok 1. Rozpisanie podanego wyrażenia.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym możemy rozbić sobie wyrażenie z treści zadania na takie, by jego częściami składowymi był właśnie zapis \(a^2-2ab+b^2\). Całość wyglądałaby następująco:
$$3a^2-2ab+3b^2=a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Przeanalizujmy sobie każdy ze składników powstałej sumy:
\((a-b)^2\) - jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero, bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny.
\(2a^2\) - ta liczba też jest na pewno dodatnia lub równa zero, bo \(a^2\) jest na pewno nieujemne, no a liczba nieujemna pomnożona przez \(2\) nadal jest liczbą nieujemną.
\(2b^2\) - podobnie jak \(2a^2\), jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero.
W związku z tym mając dodawanie \((a-b)^2+2a^2+2b^2\) dodajemy do siebie trzy liczby, które są na pewno dodatnie lub równe zero. Stąd też ich suma musi dać wynik większy lub równy \(0\).
Zadanie nr 5 · Matura 2018
Równość \((a+2\sqrt{3})^2=13+4\sqrt{3}\) jest prawdziwa dla:
A\(a=\sqrt{13}\)
B\(a=1\)
C\(a=0\)
D\(a=\sqrt{13}+1\)
I sposób - podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania.
Możemy podstawiać po kolei do równania poszczególne odpowiedzi, sprawdzając kiedy lewa strona będzie równa prawej. Rozwiązując to zadanie w ten sposób otrzymamy:
Odp. A. Dla \(a=\sqrt{13}\)
$$(\sqrt{13}+2\sqrt{3})^2=13+2\cdot\sqrt{13}\cdot2\sqrt{3}+4\cdot3=13+4\sqrt{39}+12=25+4\sqrt{39}$$
W tym przypadku nie udało nam się otrzymać wyniku \(13+4\sqrt{3}\).
Odp. B. Dla \(a=1\)
$$(1+2\sqrt{3})^2=1+4\sqrt{3}+4\cdot3=1+4\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3}$$
Otrzymaliśmy dokładnie \(13+4\sqrt{3}\), zatem możemy zaznaczyć, że poszukiwaną liczba jest \(a=1\) i nie musimy już obliczać kolejnych odpowiedzi.
II sposób - przekształcając lewą i prawą stronę równania.
Jeżeli chcemy podejść do zadania nieco bardziej matematycznie, to możemy całość rozwiązać w następujący sposób:
Lewa strona równania:
$$(a+2\sqrt{3})^2=a^2+4\sqrt{3}a+12$$
Prawa strona równania:
$$13+4\sqrt{3}=1+4\sqrt{3}+12$$
Porównując teraz zapisy lewej i prawej strony widzimy wyraźnie, że aby były one sobie równe, to \(a=1\).
Zadanie nr 29 · Matura 2018
Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge4\).
Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, to możemy być pewni że dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez te niewiadome nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności na przeciwny. W związku z tym możemy zacząć przekształcać naszą nierówność. Najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wartości w nawiasach:
$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4$$
$$1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4$$
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b$$
$$a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a$$
$$a^2+b^2\ge2ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 6 · Próbny 2018
Wskaż liczbę spełniającą nierówność: \((2-x)^2-9\lt(x-3)(x+3)\).
A\(-10\)
B\(0\)
C\(1\)
D\(10\)
Aby dowiedzieć się jaka liczba spełnia nierówność możemy podstawiać poszczególne odpowiedzi do nierówności albo też możemy po prostu naszą nierówność rozwiązać, korzystając przy okazji ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(2-x)^2-9\lt(x-3)(x+3)$$
$$4-4x+x^2-9\lt x^2-9$$
$$-4x-5\lt-9$$
$$-4x\lt-4$$
$$x\gt1$$
Pamiętaj o tym, że dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczbę ujemną musimy zmienić znak na przeciwny (tak jak przy tym ostatnim przekształceniu).
Z zaprezentowanych odpowiedzi jedyną liczbą większą od \(1\) jest \(10\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2018
Równanie \(3x(x^2+1)(x^3+8)=0\) ma dokładnie:
Ajedno rozwiązanie rzeczywiste
Bdwa rozwiązania rzeczywiste
Ctrzy rozwiązania rzeczywiste
Dcztery rozwiązania rzeczywiste
Chcąc rozwiązać to równanie musimy przyrównać poszczególne wartości do zera, zatem:
$$3x=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \quad\lor\quad x^3+8=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \quad\lor\quad x^3=-8$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \quad\lor\quad x=-2$$
Z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik. Z tego też względu nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=-2\).
Zadanie nr 28 · Próbny 2018
Udowodnij, że nierówność \((x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2}\) jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej.
Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Naszym zadaniem będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę oraz umiejętne skorzystanie z wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x^2-3)^2+x^4\ge4\frac{1}{2}$$
$$(x^2-3)^2+x^4-4\frac{1}{2}\ge0$$
$$x^4-6x^2+9+x^4-4\frac{1}{2}\ge0$$
$$2x^4-6x^2+4\frac{1}{2}\ge0 \quad\bigg/\cdot2$$
$$4x^4-12x^2+9\ge0$$
$$(2x^2-3)^2\ge0$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny, to wartość \((2x^2-3)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, zatem faktycznie ta nierówność będzie spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Zadanie nr 6 · Próbny 2018
Nierówność \(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}x\lt \frac{1}{6}\) jest równoważna nierówności:
A\(x\gt\frac{1}{3}\)
B\(x\lt\frac{1}{3}\)
C\(x\gt3\)
D\(x\lt3\)
Najprościej będzie rozpocząć rozwiązywanie naszej nierówności od pomnożenia obydwu stron przez \(6\), pozbędziemy się wtedy wszystkich ułamków. Trzeba tutaj pamiętać, że po lewej stronie mamy odejmowanie, zatem musimy przez \(6\) wymnożyć każdy jednomian:
$$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}x\lt \frac{1}{6} \quad\bigg/\cdot6$$
$$2-3x\lt1$$
$$-3x\lt-1 \quad\bigg/:(-3)$$
$$x\gt\frac{1}{3}$$
Pamiętaj, że dzieląc lub mnożąc nierówność przez liczbę ujemną trzeba zmienić znak na przeciwny, tak jak przy tym ostatnim przekształceniu.
Zadanie nr 27 · Próbny 2018
Wykaż, że jeżeli liczby \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba \(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2\) jest podzielna przez \(4\).
Krok 1. Rozpisanie liczby z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Korzystając z wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2=$$
$$=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)-\left(a^2-ab+\frac{1}{4}b^2\right)=$$
$$=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2-a^2+ab-\frac{1}{4}b^2=2ab$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Jeżeli liczby \(a\) oraz \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą parzystą. Pomnożenie liczby parzystej przez \(2\) (a pomnożymy ją przez \(2\), bo mamy zapis \(2ab\)) sprawi, że ta liczba na pewno będzie podzielna przez \(4\). W ten sposób dowodzenie można uznać za zakończone.
Zadanie nr 1 · Matura 2018
Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa:
A\(4\)
B\(1\)
C\(\sqrt{2}\)
D\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Krok 1. Uproszczenie liczby \(x\) oraz całości wyrażenia.
Oczywiście możemy to zadanie rozwiązać w taki sposób, że od razu podstawimy do wyrażenia wartości \(x\) oraz \(y\), ale można też podejść do tego nieco sprytniej i zauważyć, że:
$$x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1$$
$$x=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}+1$$
$$x=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1$$
$$x=\sqrt{2}+1$$
Uprościć możemy też nasze wyrażenie, wyraźnie widać że jest to po prostu wzór skróconego mnożenia:
$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$$
Krok 2. Podstawienie liczb do wyrażenia.
Teraz możemy podstawić iksa i igreka do naszego wyrażenia:
$$(x-y)^2=\left(\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1)\right)^2=(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^2=(1+1)^2=2^2=4$$
Zadanie nr 5 · Matura 2018
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{1-2x}{2}\gt\frac{1}{3}\) jest przedział:
A\(\left(-\infty,\frac{1}{6}\right)\)
B\(\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\)
C\(\left(\frac{1}{6},+\infty\right)\)
D\(\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\)
W tego typu zadaniach najlepiej jest na początku pozbyć się wszystkich ułamków, a zrobimy to mnożąc całość przez \(6\).
$$\frac{1-2x}{2}\gt\frac{1}{3} \quad\bigg/\cdot6$$
$$3-6x\gt2$$
$$-6x\gt-1 \quad\bigg/:(-6)$$
$$x\lt\frac{1}{6}$$
$$x\in\left(-\infty;\frac{1}{6}\right)$$
Pamiętaj, że dzieląc lub mnożąc obustronnie nierówność przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności (tak jak to miało miejsce przy dzieleniu przez \(-6)\).
Zadanie nr 28 · Matura 2018
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b}\).
Krok 1. Ustalenie znaku liczb znajdujących się w mianownikach ułamków.
Za chwilę będziemy wykonywali różne operacje na tej nierówności, będziemy mnożyli i dzielili obustronnie, tak aby pozbyć się ułamków. Przy nierównościach musimy być jednak bardzo ostrożni, bowiem mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną będziemy musieli zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też dobrze jest ustalić sobie jaka wartość kryje się pod \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\).
Z założeń wynika, że liczby \(a\) oraz \(b\) mają być dodatnie. W związku z tym wszystkie wyrażenia znajdujące się w mianownikach (czyli \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\)) także będą dodatnie. To oznacza, że mnożąc i dzieląc obustronnie tę nierówność nie będziemy musieli zmieniać znaku na przeciwny.
Krok 2. Przekształcenie nierówności.
Musimy naszą nierówność przekształcić w taki sposób, by finalnie otrzymać dowód na prawdziwość tej nierówności. Najlepiej będzie zacząć od pozbycia się ułamków, możemy to robić krok po kroku, by niczego nie zgubić:
$$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b} \quad\bigg/\cdot2a$$
$$1+\frac{2a}{2b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot2b$$
$$2b+2a\ge\frac{8ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot (a+b)$$
$$2b(a+b)+2a(a+b)\ge8ab$$
$$2ab+2b^2+2a^2+2ab\ge8ab$$
$$2a^2+2b^2+4ab\ge8ab$$
$$2a^2+2b^2\ge4ab \quad\bigg/:2$$
$$a^2+b^2\ge2ab$$
$$a^2-2ab+b^2\ge0$$
$$(a-b)^2\ge0$$
Z racji tego iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 5 · Matura 2017
Liczba \((2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2\) jest równa:
A\(9\)
B\(3\)
C\(2809\)
D\(28-20\sqrt{7}\)
Można byłoby wykonać potęgowanie jednego i drugiego nawiasu, a potem pomnożyć te wartości między sobą, ale to zadanie da się zrobić znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że:
$$(2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2=\left((2\sqrt{7}-5)\cdot(2\sqrt{7}+5)\right)^2=\left((2\sqrt{7})^2-5^2\right)^2=(28-25)^2=3^2=9$$
Zadanie nr 6 · Matura 2017
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek: \(11\le2x-7\le15\).
A
B
C
D
Aby się nie zgubić w obliczeniach, to najlepiej jest tego typu nierówności rozbić na dwie części:
$$11\le2x-7\le15$$
$$11\le2x-7 \quad\land\quad 2x-7\le15$$
$$18\le2x \quad\land\quad 2x\le22$$
$$9\le x \quad\land\quad x\le11$$
$$x\ge9 \quad\land\quad x\le11$$
Szukamy zatem rysunku na którym zaznaczono zbiór liczb większych lub równych \(9\) i mniejszych lub równych \(11\). Taka sytuacja jest przedstawiona na ostatnim rysunku.
Zadanie nr 28 · Matura 2017
Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(4x+\frac{1}{x}\ge4\).
Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez \(x\), ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że \(x\) jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:
$$4x+\frac{1}{x}\ge4 \quad\bigg/\cdot x$$
$$4x^2+1\ge4x$$
$$4x^2-4x+1\ge0$$
$$(2x-1)^2\ge0$$
Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 25 · Próbny 2017
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=(a+1)(x-2)^2(x+1)\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Dla jakich wartości \(a\) spełniona jest nierówność \(f(0)\cdot f(1)\le16\)?
Krok 1. Obliczenie wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\).
Na początek obliczmy wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\), podstawiając odpowiednio do wzoru funkcji \(x=0\) oraz \(x=1\):
$$f(0)=(a+1)\cdot(0-2)^2\cdot(0+1)$$
$$f(0)=(a+1)\cdot(-2)^2\cdot1$$
$$f(0)=(a+1)\cdot4\cdot1$$
$$f(0)=4a+4$$
Krok 2. Podstawienie obliczonych wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\) do nierówności.
Podstawmy teraz to co przed chwilą wyznaczyliśmy do wskazanej nierówności:
$$f(0)\cdot f(1)\le16$$
$$(4a+4)\cdot(2a+2)\le16$$
$$8a^2+8a+8a+8\le16$$
$$8a^2+16a+8\le16$$
$$8a^2+16a-8\le0 \quad\bigg/:2$$
$$a^2+2a-1\le0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Powstała nam klasyczna nierówność kwadratowa, której rozwiązywanie zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-1)=4-(-4)=4+4=8$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$
Teraz musimy naszkicować naszą parabolę, zatem nanosimy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki muszą być zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni:
Z rysunku możemy teraz odczytać, że wartości mniejsze od zera są przyjmowane dla \(a\in\langle-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rangle\).
Zadanie nr 15 · Próbny 2017
Rozwiązaniem nierówności \((3x+9)^2\gt 0\) jest:
Azbiór \(\mathbb{R}\)
Bzbiór pusty
Czbiór \(\mathbb{R}\backslash \{-3\}\)
Dzbiór \(\mathbb{R}\backslash \{-9\}\)
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Jak to w standardowej nierówności kwadratowej bywa - na początku musimy obliczyć miejsca zerowe. Nie musimy tutaj potęgować tego wyrażenia w nawiasie. Wyrażenie \((3x+9)^2\) będzie równe \(0\) tylko i wyłącznie wtedy, kiedy wartość w nawiasie będzie równa \(0\). Zatem:
$$3x+9=0$$
$$3x=-9$$
$$x=-3$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Gdybyśmy wykonali potęgowanie, to przed \(x^2\) nie stałaby żadna wartość ujemna, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, a co za tym idzie, parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi miejsce zerowe (kropka niezamalowana, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i szkicujemy parabolę:
Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe od zera, czyli wszystko to, co znalazło się nad osią iksów. Widzimy wyraźnie, że w takim razie nierówność spełnia praktycznie każda liczba, oprócz \(-3\) (bo dla \(x=-3\) mamy wartość równą \(0\)). Dlatego też rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych bez \(-3\).
Zadanie nr 16 · Próbny 2017
Jeśli \(A=(-\infty,0)\) i \(B=\langle0,5\rangle\) to różnica przedziałów \(B\) i \(A\) jest równa:
A\((-\infty,0)\)
B\((-\infty,0\rangle\)
C\((0,5\rangle\)
D\(\langle0,5\rangle\)
Najlepiej jest narysować sobie tę sytuację:
Interesuje nas różnica przedziałów \(B\) i \(A\), czyli innymi słowy: patrzymy co mieści się w przedziale \(B\) i usuwamy z tego przedziału \(B\) wszystkie wartości, które są w \(A\). W naszym przypadku przedziały \(A\) oraz \(B\) w ogóle nie mają ze sobą punktów wspólnych, zatem niczego z przedziału \(B\) nie usuniemy. Stąd też różnica przedziałów \(B\) i \(A\) jest równa \(\langle0,5\rangle\).
Zadanie nr 23 · Próbny 2017
Jeśli \(x+\frac{1}{x}=6\), to:
A\(x^2+\frac{1}{x^2}=2\sqrt{6}\)
B\(x^2+\frac{1}{x^2}=\sqrt{6}\)
C\(x^2+\frac{1}{x^2}=36\)
D\(x^2+\frac{1}{x^2}=34\)
Widzimy po odpowiedziach, że będziemy musieli przekształcić to nasze wyrażenie w taki sposób, by pojawiły się kwadraty przy iksach, zatem korzystając ze wzorów skróconego mnożenia spróbujmy przekształcić to nasze równanie do poszukiwanej postaci:
$$x+\frac{1}{x}=6 \quad\bigg/^2$$
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=6^2$$
$$x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1^2}{x^2}=36$$
$$x^2+2+\frac{1}{x^2}=36$$
$$x^2+\frac{1}{x^2}=34$$
Zadanie nr 10 · Matura 2017
Równanie \(x(x-3)(x^2+25)=0\) ma dokładnie:
Acztery rozwiązania: \(x=0, x=3, x=5, x=-5\)
Btrzy rozwiązania: \(x=3, x=5, x=-5\)
Cdwa rozwiązania: \(x=0, x=3\)
Djedno rozwiązanie: \(x=3\)
Równanie jest przedstawione w postaci iloczynowej, zatem aby równanie było równe zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym:
$$x(x-3)(x^2+25)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2+25=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-25$$
Z racji tego iż nie ma możliwości by liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu dała wynik ujemny, to z równania \(x^2=-25\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań. To oznacza, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=0 \lor x=3\).
Zadanie nr 5 · Matura 2017
Równość \((x\sqrt{2}-2)^2=(2+\sqrt{2})^2\) jest:
Aprawdziwa dla \(x=-\sqrt{2}\)
Bprawdziwa dla \(x=\sqrt{2}\)
Cprawdziwa dla \(x=-1\)
Dfałszywa dla każdej liczby \(x\)
Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\) do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź \(D\).
W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci \(a^2=b^2\) to aby ta równość była prawdziwa to albo \(a=b\), albo \(a=-b\).
Przykładowo: \(5^2=(-5)^2\), czyli w tym przypadku \(a=-b\).
Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że:
$$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2$$
$$\color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})}$$
$$x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2}$$
$$x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2}$$
$$x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$
$$x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$
No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi \(C\).
Zadanie nr 6 · Matura 2017
Do zbioru rozwiązań nierówności \((x^4+1)(2-x)\gt0\) nie należy liczba:
A\(-3\)
B\(-1\)
C\(1\)
D\(3\)
Do powyższej nierówności możemy podstawić po kolei każdą z odpowiedzi i sprawdzić tym samym, która z nich nie będzie należeć do zbioru rozwiązań. Można też po prostu rozwiązać taką nierówność, dzieląc obie strony przez \((x^4+1)\). Możemy tak zrobić i być pewni, że nie zmieni się znak nierówności, bo wartość \((x^4+1)\) jest zawsze dodatnia, zatem:
$$(x^4+1)(2-x)\gt0 \quad\bigg/:(x^4+1)$$
$$2-x\gt0$$
$$-x\gt-2 \quad\bigg/:(-1)$$
$$x\lt2$$
Jedyną liczbą spośród podanych odpowiedzi, która nie spełnia tej nierówności jest \(3\).
Zadanie nr 7 · Matura 2017
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(2-3x\ge4\).
Pamiętaj, że dzieląc przez liczbę ujemną musimy zmienić znak nierówności.
Rozwiązanie naszej nierówności zostało więc przedstawione na czwartym rysunku.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
