Liceum Ogólnokształcące — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\qquad \log_a x^n=n\log_a x$$
$$\text{po zmianie o } p\%:\ a\left(1\pm\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{procent składany: } K_n=K_0\left(1+\tfrac{p}{100}\right)^n$$
Podwyżka i obniżka o ten sam procent nie znoszą się — drugi procent liczony jest od innej kwoty.
$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad p=\frac{-b}{2a}$$
Postać kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ pokazuje wierzchołek $W=(p,\,q)$ wprost.
$$\text{arytmetyczny: } a_n=a_1+(n-1)r,\qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
$$\text{geometryczny: } a_n=a_1q^{n-1},\qquad S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} \ (q\neq1)$$
$$c^2=a^2+b^2 \ \text{(Pitagoras)},\qquad P_{\triangle}=\tfrac12 ab\sin\gamma$$
Kąt wpisany jest połową środkowego opartego na tym samym łuku; kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\qquad S=\left(\tfrac{x_A+x_B}{2},\ \tfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$
$$k\parallel l \iff a_1=a_2,\qquad k\perp l \iff a_1a_2=-1$$
$$V_{gr}=P_p H,\qquad V_{ostr}=\tfrac13 P_p H,\qquad V_{walca}=\pi r^2H,\qquad V_{kuli}=\tfrac43\pi r^3$$
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad P(A\prime)=1-P(A)$$
Mediana jest odporna na wartości odstające, średnia nie. Przy grupach o różnej liczebności liczymy średnią ważoną, a nie zwykłą.
$3$–$4$–$5$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$ oraz ich wielokrotności (np. $9$–$12$–$15$).
Na maturze najwięcej punktów przepada nie na trudnych rachunkach, lecz na pominiętych warunkach: dziedzinie w równaniach wymiernych i logarytmicznych, warunku $\Delta\ge0$ przy wzorach Viete oraz odrzuceniu wyników bez sensu fizycznego (ujemny bok, ujemny wiek). Zawsze wracaj na koniec do pytania z treści zadania.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Dziedziną funkcji $f(x)=\frac{2}{x-5}$ jest zbiór:
Miejsce zerowe funkcji $f(x)=3x-12$ to:
Dla funkcji $f(x)=x^2-3x$ oblicz $f(-2)$.
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+3$ jest:
Oblicz $\sqrt{48}$ w postaci uproszczonej.
Funkcja liniowa $f(x)=-2x+5$ przecina oś OY w punkcie:
Wyznacz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $(0,\,-1)$ i $(2,\,5)$.
Ile wynosi $\log_2 8+\log_2 2$?
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=x^2-5x+6$.
Cena po podwyżce o $25\%$ wynosi $250$ zł. Cena przed podwyżką to:
Funkcja $f(x)=(x-3)^2+2$ ma wartość najmniejszą równą:
Rozwiąż nierówność $2x-6>0$ i zapisz przedziałem.
Oblicz odległość punktów $A=(2,\,-1)$ i $B=(6,\,2)$.
Funkcja $f(x)=2^x$ jest:
Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A=(1,\,3)$ i $B=(7,\,9)$. Wyznacz $S$.
Wyrażenie $\frac{x^2-9}{x-3}$ dla $x\neq3$ upraszcza się do:
Wyznacz największą wartość funkcji $f(x)=-x^2+4x+1$.
Rozwiąż równanie $2^{x+1}=16$.
Prosta przechodzi przez punkt $A=(1,\,2)$ i jest równoległa do prostej $y=3x-4$. Wyznacz jej równanie.
Lokata $8000$ zł na $5\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $2$ latach i ile wyniosą same odsetki?
Dziedziną funkcji $f(x)=\sqrt{x-3}$ jest:
Ile wynosi $5!$ i ile sposobów ustawienia w rzędzie ma $5$ różnych osób?
Rzucamy kostką dwa razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że za każdym razem wypadnie szóstka.
Funkcja $f(x)=-3x+7$ jest:
Ile jest różnych czterocyfrowych kodów PIN, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2-4$ jest:
Wyznacz miejsca zerowe i wierzchołek funkcji $f(x)=x^2-8x+15$.
Z grupy $10$ osób wybieramy trzyosobową delegację. Na ile sposobów można to zrobić?
Rzucamy monetą cztery razy. Prawdopodobieństwo wyrzucenia samych orłów wynosi:
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$.
Ile wynosi $\binom{6}{2}$?
Funkcja liniowa przechodzi przez punkty $(1,\,3)$ i $(4,\,12)$. Wyznacz jej wzór.
W urnie jest $5$ kul białych i $7$ czarnych. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej oraz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
Funkcja $f(x)=2^x$ jest:
Ile jest liczb trzycyfrowych o wszystkich cyfrach różnych?
Funkcja $f(x)=\log_2 x$ jest określona dla:
Z talii $52$ kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest asem lub kierem.
Funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe $-2$ i $6$ oraz przechodzi przez punkt $(0,-12)$. Wyznacz jej wzór w postaci ogólnej.
W klasie jest $12$ dziewcząt i $14$ chłopców. Losujemy dwuosobową delegację. Oblicz prawdopodobieństwo, że będą to dwie dziewczyny.
Dana jest funkcja $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$. Wyznacz dziedzinę, miejsce zerowe oraz asymptoty wykresu.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $8$ i $15$. Ile ma przeciwprostokątna?
Oblicz $\sin 60^\circ+\cos 30^\circ$.
Oblicz odległość punktów $A=(1,\,2)$ i $B=(4,\,6)$.
Pole trójkąta równobocznego o boku $6$ wynosi:
Oblicz pole trójkąta o bokach $7$ i $10$ oraz kącie $30^\circ$ między nimi.
Kąt wpisany oparty na łuku, któremu odpowiada kąt środkowy $100^\circ$, ma miarę:
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(1,\,1)$ i $B=(3,\,7)$.
Oblicz pole koła o obwodzie $12\pi$.
Objętość walca o promieniu $3$ i wysokości $10$ wynosi:
W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $10$ jeden z kątów ostrych ma $30^\circ$. Oblicz pole tego trójkąta.
Środek odcinka o końcach $A=(-1,\,3)$ i $B=(5,\,7)$ to:
Przekątna kwadratu ma $8\sqrt2$. Oblicz bok i pole kwadratu.
Objętość ostrosłupa o polu podstawy $30$ i wysokości $9$ wynosi:
Oblicz odległość punktu $P=(2,\,3)$ od prostej $4x-3y+5=0$.
Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\sin\alpha=\frac{8}{17}$. Oblicz $\cos\alpha$.
Okrąg ma równanie $(x+2)^2+(y-5)^2=9$. Jaki jest jego środek?
W trapezie równoramiennym podstawy mają $10$ i $4$, a ramię $5$. Oblicz wysokość i pole.
Oblicz objętość i pole powierzchni kuli o promieniu $6$.
Trójkąt ma wierzchołki $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$, $C=(0,\,8)$. Oblicz jego obwód i promień okręgu opisanego.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $6$. Oblicz objętość, pole powierzchni całkowitej i długość przekątnej bryły.
Rozwiązaniem równania $3x-12=0$ jest:
Rozwiąż równanie $x^2-5x+6=0$.
W ciągu arytmetycznym $a_1=5$ i $r=3$. Oblicz $a_{12}$.
Rozwiązaniem nierówności $2x-6>0$ jest:
W ciągu geometrycznym $a_1=3$ i $q=2$. Oblicz $a_5$.
Rozwiązaniem nierówności $-3x>9$ jest:
Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym $a_1=2$ i $r=3$.
Rozwiąż układ równań $\begin{cases}x+y=10\\ 2x-y=5\end{cases}$
Równanie $x^2+4=0$:
Liczby $x$, $8$, $32$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$.
Suma szeregu geometrycznego $6+2+\frac23+\dots$ wynosi:
Rozwiąż nierówność $x^2-9\le0$.
W ciągu arytmetycznym $a_3=11$ i $a_7=27$. Wyznacz $a_1$ i $r$.
Rozwiązaniem równania $|x-2|=5$ jest:
Rozwiąż równanie $\frac{2x+1}{x-3}=3$.
Ciąg $a_n=5-2n$ jest:
Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^2-6x+m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi $27$, a ich iloczyn $585$. Wyznacz te wyrazy.
Rozwiąż nierówność $\frac{x-1}{x+2}\le0$.
Pan Kowalski wpłacił $10\,000$ zł na lokatę o oprocentowaniu $4\%$ w skali roku z coroczną kapitalizacją odsetek. Ile będzie miał po $3$ latach? (pomijamy podatek, zaokrąglij do pełnych złotych)
Średnia arytmetyczna liczb $4$, $7$, $10$, $11$ wynosi:
Wyznacz medianę zestawu: $3$, $8$, $5$, $12$, $7$.
Wyznacz dominantę zestawu: $2$, $5$, $5$, $7$, $9$, $5$, $2$.
Mediana zestawu $2$, $4$, $6$, $10$ wynosi:
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{5}{x-4}$.
Która miara jest odporna na wartości odstające?
Średnia pięciu liczb wynosi $12$. Po dołączeniu szóstej liczby średnia wzrosła do $13$. Jaka to liczba?
W klasie $10$ uczniów dostało ocenę $4$, a $15$ uczniów ocenę $5$. Oblicz średnią ocenę w klasie.
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+3$ jest:
Oblicz rozstęp i medianę zestawu: $12$, $8$, $20$, $15$, $8$, $17$.
Funkcja $f(x)=-2x+6$ jest:
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=3x-15$ oraz punkt przecięcia jej wykresu z osią $OY$.
W zestawie $x$, $6$, $9$, $11$ mediana wynosi $7{,}5$. Wyznacz $x$, wiedząc, że $x\lt 6$.
Funkcja kwadratowa $f(x)=(x-2)^2+5$ ma wierzchołek w punkcie:
Średnia ocen ucznia z pięciu sprawdzianów wynosi $3{,}8$. Jaką ocenę musi dostać z szóstego, aby średnia wzrosła do $4$?
Funkcja parzysta ma wykres symetryczny względem:
W zestawie danych $2$, $4$, $4$, $6$, $9$ oblicz średnią, medianę i dominantę. Która z tych miar najlepiej opisuje „typową” wartość?
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x+1}{x^2-9}$.
Funkcja kwadratowa dana jest wzorem $f(x)=x^2-6x+5$. Wyznacz miejsca zerowe, współrzędne wierzchołka i zbiór wartości.
Do zestawu $3$, $5$, $7$, $9$ dodano jedną liczbę i średnia się nie zmieniła. Jaką liczbę dodano? Jak zmieniła się mediana?
Objętość sześcianu o krawędzi $5$ wynosi:
Zestaw wzory na objętość: graniastosłupa, ostrosłupa, walca, stożka i kuli.
Oblicz przekątną prostopadłościanu o wymiarach $2$, $3$ i $6$.
Pole powierzchni kuli o promieniu $r$ wyraża się wzorem:
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $10$. Oblicz objętość.
Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ wynosi:
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $8$ i wysokość $3$. Oblicz objętość i wysokość ściany bocznej.
Walec ma promień $4$ i wysokość $9$. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.
Ostrosłup ma $10$ krawędzi. Jego podstawą jest:
Stożek ma promień $5$ i wysokość $12$. Oblicz tworzącą, objętość i pole powierzchni całkowitej.
Jeśli wszystkie wymiary bryły powiększymy dwukrotnie, jej objętość:
Objętość kuli wynosi $\frac{256}{3}\pi$. Oblicz jej promień i pole powierzchni.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $8$. Oblicz objętość.
Przekrój osiowy walca o promieniu $r$ i wysokości $H$ ma pole:
Objętość ostrosłupa wynosi $48$, a pole podstawy $24$. Oblicz wysokość.
Ile ścian ma graniastosłup o podstawie siedmiokąta?
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $12$ i krawędź boczną $10$. Oblicz wysokość ostrosłupa i jego objętość.
Zbiornik w kształcie walca ma średnicę $2$ m i wysokość $3$ m. Ile litrów wody mieści? Przyjmij $\pi\approx3{,}14$.
Kulę o promieniu $3$ wpisano w sześcian. Oblicz krawędź sześcianu, objętość obu brył i sprawdź, jaki procent sześcianu wypełnia kula.
Porównaj objętości trzech brył o tej samej podstawie (koło o promieniu $6$) i tej samej wysokości $10$: walca i stożka. Następnie sprawdź, ile stożków wypełni walec.
Liczba $\sqrt{18}$ jest równa:
Ile wynosi $\log_2 64$?
Cena towaru wzrosła o $20\%$, a następnie spadła o $20\%$. O ile procent zmieniła się cena względem początkowej?
Rozwiąż równanie $x^2-5x+6=0$.
Funkcja liniowa $f(x)=-3x+7$ jest:
Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $a_1=5$ i różnicę $r=3$. Oblicz $a_{10}$ oraz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów.
Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy ma miarę:
Oblicz odległość między punktami $A=(-1,\,2)$ i $B=(3,\,5)$.
Rozwiąż nierówność $2x-6\ge 0$ i zapisz rozwiązanie przedziałem.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $5$ i $12$. Ile ma przeciwprostokątna?
Oblicz $\sin 30^\circ+\cos 60^\circ+\tg 45^\circ$.
Ciąg geometryczny ma $a_1=3$ i iloraz $q=2$. Oblicz $a_5$ oraz sumę pięciu pierwszych wyrazów.
Rzucamy dwiema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów?
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $5$ cm i wysokości $8$ cm.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\,3)$ i $B=(2,\,7)$.
Mediana zestawu $4$, $7$, $2$, $9$, $6$ wynosi:
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x)=x^2-6x+11$ i argument, dla którego jest osiągana.
Pole trapezu wynosi $84$ cm$^2$, podstawy mają $10$ cm i $18$ cm. Oblicz wysokość trapezu.
Kapitał $5000$ zł ulokowano na $4\%$ w skali roku z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $2$ latach?
Z pudełka z $4$ kulami białymi i $6$ czarnymi losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czarne.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.