Odchylenie standardowe mówi, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej. Ma tę samą jednostkę co dane; wariancja — jednostkę kwadratową.
Rozstęp to różnica między największą a najmniejszą wartością.
Przykład
Dane $2,4,4,6$: $\bar{x}=4$; odchylenia $-2,0,0,2$; $\sigma=\sqrt{\frac{4+0+0+4}{4}}=\sqrt{2}\approx1{,}41$.
Na co uważać
Przed wyznaczeniem mediany dane trzeba uporządkować. Suma samych odchyleń od średniej zawsze wynosi zero — dlatego podnosimy je do kwadratu. Mediana bywa lepszą miarą niż średnia, gdy w danych są wartości skrajne.
∑Wzory 0
Brak wzorów do tego tematu.
✍Zadania dodatkowe 40
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Krok 3 — mediana. Cztery elementy, więc średnia dwóch środkowych:
$$\frac{4+6}{2}=5$$
Warto zauważyć: mediana ($5$) jest tu mniejsza od średniej ($6$) — to typowe, gdy w danych jest wartość wyraźnie wyższa od reszty.
Odpowiedź: $x=4$, mediana $5$.
Zadanie nr 19
Firma zatrudnia $9$ pracowników zarabiających po $4000$ zł i prezesa z pensją $46\,000$ zł. Oblicz średnią i medianę zarobków. Która miara lepiej opisuje typową pensję?
Krok 2 — mediana. Uporządkowany zestaw to dziewięć razy $4000$ i raz $46\,000$. Przy dziesięciu elementach mediana to średnia piątej i szóstej wartości — obie wynoszą $4000$:
$$\text{mediana}=4000\ \text{zł}$$
Krok 3 — ocena. Średnia $8200$ zł nie opisuje nikogo: dziewięciu pracowników zarabia o połowę mniej, a prezes wielokrotnie więcej. Mediana $4000$ zł oddaje sytuację typowego pracownika.
Dlatego w raportach o zarobkach podaje się medianę — średnia bywa zniekształcona przez nieliczne bardzo wysokie pensje.
Odpowiedź: średnia $8200$ zł, mediana $4000$ zł; lepiej opisuje mediana.
Zadanie nr 20
Dwa zestawy mają tę samą średnią $10$. Pierwszy: $8$, $10$, $12$. Drugi: $2$, $10$, $18$. Oblicz odchylenia standardowe i wyjaśnij, co z nich wynika.
Wniosek. Ta sama średnia nie oznacza podobnych danych. Drugi zestaw jest czterokrotnie bardziej rozproszony — dokładnie tyle, ile wynosi stosunek odchyleń, bo wszystkie odległości od średniej są w nim cztery razy większe.
Praktyczny sens. Dlatego sama średnia to za mało do opisu danych. Dwie klasy mogą mieć identyczną średnią ocen, ale w jednej wyniki będą wyrównane, a w drugiej skrajne — i to odchylenie standardowe tę różnicę pokazuje.
Krok 4 — odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:
$$\sigma=\sqrt{2}\approx1{,}41$$
Odpowiedź: $\sigma=\sqrt2\approx1{,}41$.
Zadanie nr 10
Do zestawu, w którym średnia wynosi $20$, dodano liczbę $20$. Jak zmieni się średnia?
Awzrośnie
Bzmaleje
Cwzrośnie dwukrotnie
Dnie zmieni się
Dodanie liczby równej dotychczasowej średniej nie zmienia średniej.
Uzasadnienie: jeśli suma $n$ liczb to $20n$, to po dodaniu $20$ mamy sumę $20n+20=20(n+1)$ i $n+1$ liczb, więc nowa średnia to $\frac{20(n+1)}{n+1}=20$.
Reguła: liczba większa od średniej ją podnosi, mniejsza obniża, równa — pozostawia bez zmian.
Odpowiedź: D. nie zmieni się.
Zadanie nr 11
W tabeli podano liczbę rodzeństwa uczniów: $0$ dzieci — $5$ uczniów, $1$ dziecko — $8$ uczniów, $2$ dzieci — $4$ uczniów, $3$ dzieci — $3$ uczniów. Oblicz średnią liczbę rodzeństwa.
Liczymy średnią ważoną — każdą wartość mnożymy przez jej liczebność.
Krok 1 — suma (liczba rodzeństwa razem):
$$0\cdot5+1\cdot8+2\cdot4+3\cdot3=0+8+8+9=25$$
Krok 2 — liczba uczniów:
$$5+8+4+3=20$$
Krok 3 — średnia:
$$\bar{x}=\frac{25}{20}=1{,}25$$
Odpowiedź: średnio $1{,}25$ rodzeństwa na ucznia.
Zadanie nr 12
Korzystając z danych z poprzedniego zadania, wyznacz dominantę i medianę liczby rodzeństwa.
Dominanta. Najwięcej uczniów ($8$) ma $1$ rodzeństwo, więc:
$$\text{dominanta}=1$$
Mediana. Uczniów jest $20$, więc mediana to średnia $10$. i $11$. wartości w uporządkowanym ciągu. Wypisujemy narastająco liczebności:
pozycje $1$–$5$: wartość $0$
pozycje $6$–$13$: wartość $1$
Zarówno $10$., jak i $11$. pozycja to $1$, więc:
$$\text{mediana}=\frac{1+1}{2}=1$$
Odpowiedź: dominanta $1$, mediana $1$.
Zadanie nr 13
Odchylenie standardowe zestawu wynosi $0$. Co to oznacza?
Awszystkie liczby są różne
Bwszystkie liczby są jednakowe
Cśrednia wynosi zero
Dmediana wynosi zero
Odchylenie standardowe mierzy rozproszenie danych wokół średniej. Zero oznacza brak rozproszenia — każda liczba jest równa średniej, czyli wszystkie są takie same.
Uzasadnienie: $\sigma=0$ wymaga, by każdy kwadrat odchylenia $(x_i-\bar{x})^2$ był zerem, a to znaczy $x_i=\bar{x}$ dla wszystkich elementów.
Odpowiedź: B. wszystkie liczby są jednakowe.
Zadanie nr 14
W grupie $8$ osób średni wiek to $30$ lat. Do grupy dołączyła osoba w wieku $57$ lat. Jaki jest teraz średni wiek?
Krok 1 — suma wieku przed zmianą:
$$30\cdot8=240$$
Krok 2 — nowa suma:
$$240+57=297$$
Krok 3 — nowa średnia dla $9$ osób:
$$\frac{297}{9}=33$$
Kontrola sensu: dołączyła osoba starsza od średniej, więc średnia wzrosła ✔
Odpowiedź: nowy średni wiek to $33$ lata.
Zadanie nr 15
Dwie grupy liczą odpowiednio $12$ i $8$ osób. Średnia wzrostu w pierwszej to $170$ cm, w drugiej $175$ cm. Oblicz średni wzrost wszystkich $20$ osób.
Uwaga: grupy mają różną liczebność, więc nie uśredniamy wprost $170$ i $175$.
Krok 1 — suma wzrostu w każdej grupie:
$$170\cdot12=2040,\qquad 175\cdot8=1400$$
Krok 2 — suma łączna i liczba osób:
$$2040+1400=3440,\qquad 12+8=20$$
Krok 3 — średnia:
$$\bar{x}=\frac{3440}{20}=172\ \text{cm}$$
Kontrola: wynik $172$ jest bliżej $170$ niż $175$, bo pierwsza grupa jest liczniejsza ✔ (zwykła średnia dałaby błędne $172{,}5$).
Odpowiedź: średni wzrost to $172$ cm.
Zadanie nr 16
Mediana zestawu $3$, $x$, $8$, $10$, $12$ (uporządkowanego rosnąco) wynosi $8$. Co można powiedzieć o $x$?
A$x=8$
B$x>8$
C$3\le x\le 8$
D$x=5$
Zestaw ma $5$ elementów, więc mediana to element środkowy — trzeci w kolejności. Tutaj to $8$, co zgadza się z warunkiem.
Warunek na $x$: ciąg ma być uporządkowany rosnąco, więc $x$ musi leżeć między poprzednikiem $3$ a następnikiem $8$:
$$3\le x\le 8$$
Dowolna taka wartość zachowuje $8$ na trzeciej pozycji. Nie da się wyznaczyć $x$ jednoznacznie.
Odpowiedź: C. $3\le x\le 8$.
Zadanie nr 17
W klasie $25$ uczniów napisało test. Średnia wyników to $62$ punkty. Nauczyciel dodał każdemu po $3$ punkty. Jaka jest nowa średnia?
Reguła: gdy do każdej wartości dodamy tę samą liczbę, średnia rośnie o tę samą liczbę.
$$\bar{x}_{nowa}=62+3=65$$
Uzasadnienie: suma rośnie o $25\cdot3=75$, więc nowa średnia to $\frac{62\cdot25+75}{25}=62+3=65$.
Warto wiedzieć: takie przesunięcie nie zmienia odchylenia standardowego — rozproszenie danych pozostaje takie samo.
Odpowiedź: nowa średnia to $65$ punktów.
Zadanie nr 18
Zestaw sześciu liczb ma medianę $7$. Pięć z nich to $2$, $5$, $9$, $11$, $12$ (uporządkowane). Wyznacz szóstą liczbę, jeśli wiadomo, że jest największa w zestawie.
Krok 1. Po dołożeniu szóstej liczby (największej) zestaw uporządkowany to:
$$2,\ 5,\ 9,\ 11,\ 12,\ x \qquad (x\ge 12)$$
Krok 2 — mediana sześciu liczb to średnia trzeciej i czwartej:
$$\text{mediana}=\frac{9+11}{2}=10$$
Ale warunek mówi, że mediana ma być $7$ — sprzeczność. Sprawdźmy więc, czy dane są spójne.
Wniosek: przy pięciu ustalonych wartościach $2$, $5$, $9$, $11$, $12$ i szóstej największej mediana zawsze wynosi $10$, a nie $7$. Zadanie z takim warunkiem nie ma rozwiązania — to przykład danych sprzecznych, które trzeba umieć rozpoznać.
Odpowiedź: nie istnieje taka liczba; podane warunki są sprzeczne (mediana tego zestawu to $10$).
Interpretacja: każda wartość jest oddalona od średniej o dokładnie $3$, więc odchylenie standardowe też wynosi $3$.
Odpowiedź: $\sigma=3$.
Zadanie nr 20
Średnia ocen ucznia z $9$ prac wynosi $4$. Ile co najmniej piątek musi jeszcze zdobyć (przy kolejnych pracach), aby średnia ze wszystkich prac wyniosła $4{,}5$?
Krok 1 — suma dotychczasowych ocen:
$$4\cdot9=36$$
Krok 2 — oznaczenia. Niech $k$ to liczba dodatkowych piątek. Po nich będzie $9+k$ prac, a suma ocen $36+5k$. Żądamy średniej $4{,}5$:
Odpowiedź: uczeń musi zdobyć co najmniej $9$ piątek.
📄Zadania z arkuszy 38
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 31 · Matura 2026
Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy \(IV A\) oraz klasy \(IV B\). Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy \(IV A\) jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy \(IV B\).
P
F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy \(IV A\) jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy \(IV B\).
P
F
Krok 1. Obliczenie średniej i mediany ocen klasy \(IV A\).
Liczba uczniów w klasie \(IV A\):
$$1+6+3+3+6+1=20$$
W takim razie średnia arytmetyczna wynosi:
$$śr=\frac{70}{20}=3,5$$
Teraz obliczmy medianę. Ponieważ jest \(20\) uczniów, mediana to średnia z \(10.\) i \(11.\) oceny w uporządkowanym rosnąco ciągu. Widzimy, że liczba uczniów, którzy otrzymali ocenę trójkę lub niższą wynosi dokładnie \(1+6+3=10\). Zatem \(10.\) ocena to \(3\), a \(11.\) ocena to \(4\). Mediana jest zatem równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$
Krok 2. Obliczenie średniej i mediany ocen klasy \(IV B\).
Liczba uczniów w klasie\(IV B\):
$$1+3+6+6+3+1=20$$
Teraz obliczmy medianę. Ponieważ jest \(20\) uczniów, mediana to średnia z \(10.\) i \(11.\) oceny w uporządkowanym rosnąco ciągu. Widzimy, że liczba uczniów, którzy otrzymali ocenę trójkę lub niższą wynosi dokładnie \(1+3+6=10\). Zatem \(10.\) ocena to \(3\), a \(11.\) ocena to \(4\). Mediana jest zatem równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$
Krok 3. Ocena prawdziwości zdań.
Średnie obu klas są równe (\(3,5 = 3,5\)), więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Mediany obu klas są równe (\(3,5 = 3,5\)), więc drugie zdanie jest prawdziwe.
Zadanie nr 32 · Matura 2026
Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a\), \(b\), \(c\), jest równa \(2\).
Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(d\), \(e\), \(f\), \(g\), jest równa \(5,5\).
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\), \(g\), jest równa:
Średnia arytmetyczna liczb \(d, e, f, g\) jest równa \(5,5\), zatem:
$$\frac{d+e+f+g}{4}=5,5$$
$$d+e+f+g=22$$
Tym samym średnia arytmetyczna wszystkich siedmiu liczb będzie równa:
$$śr=\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7}$$
$$śr=\frac{6+22}{7}$$
$$śr=\frac{28}{7}$$
$$śr=4$$
Zadanie nr 29 · Matura 2025
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(1, 2, 3, 4, 5, x, y\), jest równa \(3\). Suma \(x+y\) jest równa:
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdziany z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej \(24\) uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi poziomej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa \(.......\)
2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa \(.......\)
Krok 1. Obliczenie mediany.
Skoro jest parzysta liczba uczniów, to mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych ocen. W naszym przypadku oznacza to, że kiedy ułożymy oceny uczniów od najsłabszej do najlepszej, to medianą będzie średnia arytmetyczna wyniku dwunastego i trzynastego ucznia.
Z diagramu możemy wywnioskować, że wypisując po kolei oceny, dwunasty uczeń otrzymał czwórkę, a trzynasty otrzymał piątkę. Stąd też mediana będzie równa:
$$m=\frac{4+5}{2}$$
$$m=\frac{9}{2}=4,5$$
Krok 2. Wyznaczenie dominanty.
Dominanta to wynik, który był najczęściej otrzymywany. W naszym przypadku najczęściej otrzymywaną oceną była szóstka, więc dominanta jest tutaj równa \(6\).
Zadanie nr 28 · Matura 2024
Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a\), \(b\) oraz \(c\) jest równa \(9\). Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(a, a, b, b, c, c\) jest równa:
A\(9\)
B\(6\)
C\(4,5\)
D\(18\)
To zadanie powinniśmy rozwiązać niemalże w pamięci - od razu widać, że średnia arytmetyczna się nie zmieni. Spróbujmy to sobie jednak pokazać w nieco bardziej matematyczny sposób.
Wiemy, że średnia liczb \(a\), \(b\) oraz \(c\) jest równa \(9\), czyli:
$$\frac{a+b+c}{3}=9 \quad\bigg/\cdot3$$
$$a+b+c=27$$
Chcemy policzyć średnią sześciu liczb: \(a, a, b, b, c, c\), zatem:
$$śr=\frac{a+a+b+b+c+c}{6}$$
$$śr=\frac{a+b+c+a+b+c}{6}$$
Wiemy, że \(a+b+c=27\), więc:
$$śr=\frac{27+27}{6}$$
$$sr=\frac{54}{6}$$
$$śr=9$$
Zadanie nr 29 · Matura 2024
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa:
A\(4,5\)
B\(4\)
C\(3,5\)
D\(3\)
Wszystkich uczniów mamy łącznie:
$$2+7+4+3+6+4=26$$
Jest to parzysta liczba uczniów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną środkowych wartości. Jeśli uporządkujemy oceny uczniów w porządku niemalejącym (czyli od najgorszych do najlepszych), to otrzymamy następujący zestaw:
$$1,1,2,2,2,...,6,6,6,6$$
Mediana będzie równa średniej arytmetycznej trzynastego i czternastego wyniku. Widzimy, że trzynasty uczeń dostał ocenę \(3\), natomiast czternasty dostał ocenę \(4\), zatem mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}$$
$$m=3,5$$
Zadanie nr 29 · Matura 2023
Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.
Krok 1. Obliczenie mediany ceny kilograma pomidorów.
Zebrano ceny pomidorów z \(16\) sklepów, czyli liczba wyników jest parzysta. To oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną między środkowymi wyrazami - czyli w naszym przypadku będzie to średnia arytmetyczna ósmego i dziewiątego wyniku.
Wyliczając medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszych do największych). Jeśli chcemy, to moglibyśmy wypisać te ceny jako ciąg:
$$5,05; \; 5,05; \; 5,60; \; 5,60...$$
Analizując wykres i pojawiające się tam ceny wynika, że ósmą w kolejności ceną byłoby \(5,70\), a dziewiątą byłoby już \(6,00\). To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{5,70+6,00}{2}$$
$$m=\frac{11,70}{2}$$
$$m=5,85$$
Krok 2. Obliczenie średniej ceny kilograma pomidorów.
Średnią cenę obliczymy w następujący sposób:
$$śr=\frac{2\cdot5,05+4\cdot5,60+2\cdot5,70+5\cdot6,00+3\cdot6,30}{16}$$
$$śr=\frac{10,10+22,40+11,40+30+18,90}{16}$$
$$śr=\frac{92,80}{16}$$
$$śr=5,80$$
Zadanie nr 29 · Matura 2023
Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.
Krok 1. Obliczenie mediany ceny kilograma pomidorów.
Zebrano ceny pomidorów z \(16\) sklepów, czyli liczba wyników jest parzysta. To oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną między środkowymi wyrazami - czyli w naszym przypadku będzie to średnia arytmetyczna ósmego i dziewiątego wyniku.
Wyliczając medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszych do największych). Jeśli chcemy, to moglibyśmy wypisać te ceny jako ciąg:
$$5,05; \; 5,05; \; 5,60; \; 5,60...$$
Analizując wykres i pojawiające się tam ceny wynika, że ósmą w kolejności ceną byłoby \(5,70\), a dziewiątą byłoby już \(6,00\). To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{5,70+6,00}{2}$$
$$m=\frac{11,70}{2}$$
$$m=5,85$$
Krok 2. Obliczenie średniej ceny kilograma pomidorów.
Średnią cenę obliczymy w następujący sposób:
$$śr=\frac{2\cdot5,05+4\cdot5,60+2\cdot5,70+5\cdot6,00+3\cdot6,30}{16}$$
$$śr=\frac{10,10+22,40+11,40+30+18,90}{16}$$
$$śr=\frac{92,80}{16}$$
$$śr=5,80$$
Zadanie nr 27 · Matura 2023
Średnia arytmetyczna liczb \(x,y,z\) jest równa \(4\). Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(1+x\), \(2+y\), \(3+z\), \(14\) jest równa:
A\(6\)
B\(9\)
C\(8\)
D\(13\)
Krok 1. Obliczenie sumy liczb \(x,y,z\).
Skoro średnia arytmetyczna trzech liczb \(x,y,z\) jest równa \(4\), to ich suma będzie równa:
$$\frac{x+y+z}{3}=4$$
$$x+y+z=12$$
Krok 2. Obliczenie sumy arytmetycznej nowego zestawu liczb.
Średnia arytmetyczna czterech podanych liczb będzie równa:
$$śr=\frac{1+x+2+y+3+z+14}{4}$$
$$śr=\frac{x+y+z+20}{4}$$
$$śr=\frac{12+20}{4}$$
$$śr=\frac{32}{4}$$
$$śr=8$$
Zadanie nr 28 · Matura 2022
Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: \(2x, 4, 6, 8, 11, 13\), jest równa \(5\). Wynika stąd, że:
A\(x=-1\)
B\(x=7\)
C\(x=-6\)
D\(x=6\)
W zadaniu musimy skorzystać ze wzoru na średnią arytmetyczną. W liczniku sumujemy więc wszystkie podane liczby, w mianowniku zapisujemy szóstkę (bo jest \(6\) liczb), dzięki czemu otrzymujemy:
$$\frac{2x+4+6+8+11+13}{6}=5$$
$$\frac{2x+42}{6}=5$$
$$2x+42=30$$
$$2x=-12$$
$$x=-6$$
Zadanie nr 28 · Matura 2021
Średnia arytmetyczna pięciu liczb: \(5x+6, 6x+7, 7x+8, 8x+9, 9x+10\), jest równa \(8\). Wtedy \(x\) jest równe:
A\((-35)\)
B\(0\)
C\(0,35\)
D\(35\)
Skoro średnia arytmetyczna tych pięciu liczb jest równa \(8\), to możemy zapisać, że:
$$\frac{5x+6+6x+7+7x+8+8x+9+9x+10}{5}=8$$
$$\frac{35x+40}{5}=8 \quad\bigg/\cdot5$$
$$35x+40=40$$
$$35x=0$$
$$x=0$$
Zadanie nr 28 · Matura 2021
Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: \(2\), \(3x\), \(3x+2\), \(3x+4\) jest równa \(\frac{13}{2}\). Wynika stąd, że:
A\(x=9\)
B\(x=\frac{13}{2}\)
C\(x=\frac{5}{9}\)
D\(x=2\)
Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną, możemy zapisać, że:
$$\frac{2+3x+3x+2+3x+4}{4}=\frac{13}{2}$$
$$\frac{9x+8}{4}=\frac{13}{2}$$
$$9x+8=26$$
$$9x=18$$
$$x=2$$
Zadanie nr 5 · Matura 2020
W zestawie 250 liczb występują jedynie liczby 4 i 2. Liczba 4 występuje 128 razy, a liczba 2 występuje 122 razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby 3. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy:
A0,024
B0,24
C0,0024
D0,00024
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej zestawu liczb.
Na początek musimy poznać dokładną wartość średniej arytmetycznej zestawu naszych liczb. Skoro mamy \(128\) razy liczbę \(4\) i \(122\) razy liczbę \(2\), to średnia będzie równa:
$$\bar{a}=\frac{128\cdot4+122\cdot2}{250}$$
$$\bar{a}=\frac{512+244}{250}$$
$$\bar{a}=\frac{756}{250}$$
$$\bar{a}=3,024$$
W powyższym wzorze \(Δx\) to błąd bezwzględny, \(x\) to wartość dokładna, natomiast \(p\) to wartość przybliżona. Wiemy już, że dokładna średnia jest równa \(x=3,024\), natomiast wartość przybliżona to \(p=3\), zatem:
$$Δx=|3,024-3|$$
$$Δx=|0,024|$$
$$Δx=0,024$$
Zadanie nr 24 · Matura 2020
Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: \(1,3,5,3\) jest liczba:
A\(1\)
B\(2\)
C\(3\)
D\(5\)
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na wariancję:
$$σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2$$
Występujące we wzorze \(\bar{a}\) to średnia arytmetyczna, którą musimy teraz policzyć:
$$\bar{a}=\frac{1+3+5+3}{4}$$
$$\bar{a}=\frac{12}{4}$$
$$\bar{a}=3$$
Krok 2. Obliczenie wariancji.
Podstawiając dane do wzoru na wariancję, otrzymamy:
$$σ^2=\frac{1^2+3^2+5^2+3^2}{4}-3^2$$
$$σ^2=\frac{1+9+25+9}{4}-9$$
$$σ^2=\frac{44}{4}-9$$
$$σ^2=11-9$$
$$σ^2=2$$
Wariancja to jest właśnie \(σ^2\) (nie musimy więc wyciągać pierwiastka), zatem wariancja jest równa \(2\).
Zadanie nr 25 · Próbny 2018
Na dwa tygodnie przed egzaminem maturalnym uczniom klas trzecich pewnego liceum zadano pytanie: „Ile godzin dziennie poświęcasz nauce?”. Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie kołowym.
Wskaż średnią liczbę godzin przeznaczonych przez uczniów tej szkoły na naukę.
A\(4,5\)
B\(4,9\)
C\(5\)
D\(5,2\)
Korzystając z informacji zawartych na diagramie możemy zapisać, że średnia liczba godzin będzie równa:
$$0,1\cdot3h+0,3\cdot4h+0,3\cdot5h+0,25\cdot6h+0,05\cdot8h=$$
$$=0,3h+1,2h+1,5h+1,5h+0,4h=4,9h$$
Zadanie nr 22 · Matura 2018
Wśród \(100\) osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.
Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa:
A\(0,5\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(2,5\)
Krok 1. Obliczenie liczby książek przeczytanych przez ankietowanych.
Zgodnie z informacjami w tabelce liczba książek przeczytanych przez ankietowanych jest równa:
$$23\cdot0+14\cdot1+28\cdot2+17\cdot3+11\cdot4+7\cdot5=$$
$$=0+14+56+51+44+35=200$$
Krok 2. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Skoro \(100\) osób przeczytało \(200\) książek, to średnia liczba książek przeczytanych przez ankietowanych jest równa:
$$\frac{200}{100}=2$$
Zadanie nr 23 · Matura 2018
W zestawie \(\underbrace{2,2,2,...,2}_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,...,4}_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \(m\) liczb \(4\). Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe:
A\(2\)
B\(1\)
C\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D\(\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
W naszym zestawie mamy \(m\) dwójek i \(m\) czwórek. To oznacza, że średnia arytmetyczna tego zestawu danych jest równa:
$$\bar{a}=\frac{2m+4m}{m+m}$$
$$\bar{a}=\frac{6m}{2m}$$
$$\bar{a}=3$$
Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2+(x_{2}-\bar{a})^2+...+(x_{n}-\bar{a})^2}{n}\end{split}\) otrzymamy:
$$σ^2=\frac{(x_{1}-\bar{a})^2\cdot m+(x_{2}-\bar{a})^2\cdot m}{2m}$$
$$σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m}$$
$$σ^2=\frac{(2-3)^2\cdot m+(4-3)^2\cdot m}{2m}$$
$$σ^2=\frac{(-1)^2\cdot m+(1)^2\cdot m}{2m}$$
$$σ^2=\frac{m+m}{2m}$$
$$σ^2=1$$
II sposób:
Korzystając ze wzoru \(\begin{split}σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2\end{split}\) otrzymamy:
$$σ^2=\frac{{x_{1}}^2\cdot m+{x_{2}}^2\cdot m}{2m}-(\bar{a})^2$$
$$σ^2=\frac{2^2\cdot m+4^2\cdot m}{2m}-3^2$$
$$σ^2=\frac{4m+16m}{2m}-9$$
$$σ^2=\frac{20m}{2m}-9$$
$$σ^2=10-9$$
$$σ^2=1$$
Krok 3. Obliczenie odchylenia standardowego.
Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji, zatem:
$$σ=\sqrt{1}=1$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2017
W tabeli podano oceny z matematyki pewnego ucznia.
Średnia ważona tego zestawu danych w zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku jest równa:
A\(2,67\)
B\(3,38\)
C\(3,43\)
D\(4,89\)
Aby obliczyć średnią ważoną musimy w liczniku dodawać do siebie iloczyny wag i ocen, a w mianowniku musimy dać sumę wszystkich wag. Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$śr=\frac{1\cdot5+1\cdot1+2\cdot4+2\cdot2+3\cdot4+3\cdot3+1\cdot5}{1+1+2+2+3+3+1}$$
$$śr=\frac{5+1+8+4+12+9+5}{13}$$
$$śr=\frac{44}{13}$$
$$śr\approx3,38$$
Zadanie nr 24 · Matura 2017
Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: \(3,5,7,9,x,15,17,19\) jest równa \(11\). Wtedy:
A\(x=1\)
B\(x=2\)
C\(x=11\)
D\(x=13\)
Ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{3+5+7+9+x+15+17+19}{8}=11$$
$$\frac{75+x}{8}=11 \quad\bigg/\cdot8$$
$$75+x=88$$
$$x=13$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2016
W tabeli podano oceny z matematyki czterech uczniów pewnej klasy.
Oceny którego ucznia wykazują największe odchylenie standardowe?
AAdy
BBasi
CCzarka
DDarka
Odchylenie standardowe możemy obliczyć korzystając np. ze wzoru:
\(\begin{split}σ=\sqrt{\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2}\end{split}\)
Musielibyśmy więc obliczyć średnią arytmetyczną dla każdego ucznia (to jest to właśnie \(\bar{a}\) znajdujące się we wzorze), a następnie musielibyśmy podstawiać do tego wzoru poszczególne oceny. Jest to dość sporo liczenia, ale tak przykładowo dla Ady obliczenia wyglądałyby następująco:
$$\bar{a}=\frac{4+4+4+5+5}{5}$$
$$\bar{a}=\frac{22}{5}$$
$$\bar{a}=4,4$$
Jednak do tego zadania powinniśmy podejść nieco inaczej. To zadanie tak prawdę mówiąc bardziej sprawdza to, czy rozumiemy czym jest odchylenie standardowe. Powinniśmy zauważyć, że odchylenie standardowe jest tym większe im bardziej poszczególne liczby odstają od średniej. Oceny Ady, Basi i Czarka są niemalże jednolite. Oceny Darka są już bardziej "rozstrzelone", bo Darek ma same skrajne oceny. To sprawia, że każda z ocen będzie mocno odstawać od średniej arytmetycznej i tym samym odchylenie standardowe będzie tutaj bardzo wysokie. To właśnie dlatego bez żadnego liczenia możemy powiedzieć, że odchylenie standardowe ocen Darka będzie zdecydowanie największe.
Zadanie nr 3 · Próbny 2016
W listopadzie pensja pana Jana była o \(10\%\) większa niż w październiku. W grudniu pensja pana Jana zmalała i wynosiła o \(40\%\) mniej niż w październiku. Średnia arytmetyczna pensji pana Jana w październiku, listopadzie i grudniu była:
Ao \(10\%\) mniejsza niż w październiku
Bo \(15\%\) mniejsza niż w październiku
Co \(20\%\) mniejsza niż w październiku
Do \(5\%\) większa niż w październiku
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - pensja w październiku
\(1,1x\) - pensja w listopadzie
\(0,6x\) - pensja w grudniu
Krok 2. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Średnia arytmetyczna pensji wynosi:
$$\frac{x+1,1x+0,6x}{3}=\frac{2,7x}{3}=0,9x$$
Skoro w październiku pan Jan zarabiał \(x\), a średnia zarobków z trzech miesięcy jest równa \(0,9x\), to znaczy że średnia pensja jest o \(10\%\) mniejsza niż pensja październikowa.
Zadanie nr 22 · Matura 2016
Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(x-1\), \(\;3x\), \(\;5x+1\) i \(7x\) jest równa \(72\). Wynika stąd, że:
A\(x=9\)
B\(x=10\)
C\(x=17\)
D\(x=18\)
Z treści zadania układamy następujące równanie:
$$\frac{(x-1)+(3x)+(5x+1)+(7x)}{4}=72$$
$$16x=288$$
$$x=18$$
Zadanie nr 20 · Próbny 2015
Odchylenie standardowe danych: \(1, 4, 1, 5, 9, 2, 1, 1\) jest równe (z dokładnością do części setnych):
A\(7,25\)
B\(2,69\)
C\(5,75\)
D\(2,40\)
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Do obliczenia odchylenia standardowego przyda nam się znajomość średniej arytmetycznej, zatem:
$$\bar{a}=\frac{1+4+1+5+9+2+1+1}{8}=\frac{24}{8}=3$$
Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej \(40\) studentów, jest równa \(30\). Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie \(1800\) punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy:
A\(20\) pkt
B\(30\) pkt
C\(50\) pkt
D\(60\) pkt
Krok 1. Obliczenie sumy punktów uzyskanych przez I grupę.
Skoro było \(40\) studentów, a każdy uzyskał średnio \(30\) punktów, to łącznie uzyskali:
$$S_{1}=40\cdot30=1200$$
Krok 2. Obliczenie średniego wyniku z egzaminu.
Musimy dodać do siebie sumę punktów pierwszej i drugiej grupy i podzielić ją przez łączną liczbę studentów, zatem:
$$\overline{x}=\frac{1200+1800}{40+20}$$
$$\overline{x}=\frac{3000}{60}$$
$$\overline{x}=50$$
Zadanie nr 29 · Matura 2013
W tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru.
Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa \(3,6\). Oblicz liczbę \(x\) ocen bardzo dobrych \((5)\) z matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.
Musimy ułożyć odpowiednie równanie, dokładnie tak jak chcielibyśmy obliczyć średnią arytmetyczną. Otrzymamy wtedy:
$$\frac{0\cdot1+4\cdot2+9\cdot3+13\cdot4+x\cdot5+1\cdot6}{0+4+9+13+x+1}=3,6$$
$$\frac{93+5x}{27+x}=3,6 \quad\bigg/\cdot(27+x)$$
$$93+5x=3,6\cdot(27+x)$$
$$93+5x=97,2+3,6x$$
$$1,4x=4,2$$
$$x=3$$
To oznacza, że trzy osoby otrzymały ocenę bardzo dobrą.
Zadanie nr 22 · Matura 2013
Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na poniższym diagramie.
Średnia ocen uzyskanych przez uczniów z tego sprawdzianu jest równa:
A\(2\)
B\(3\)
C\(3,5\)
D\(4\)
Łącznie wszystkich uczniów jest:
$$1+5+7+8+3+2=26$$
W związku z tym ich średnia ocen będzie równa:
$$\overline{x}=\frac{1\cdot1+5\cdot2+7\cdot3+8\cdot4+3\cdot5+2\cdot6}{26}$$
$$\overline{x}=\frac{1+10+21+32+15+12}{26}$$
$$\overline{x}=\frac{91}{26}$$
$$\overline{x}=3,5$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2012
Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartość wszystkich zdobytych ocen i podzielić ją przez liczbę wszystkich uczniów:
$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot9+1\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=\frac{75}{25}=3$$
Krok 2. Obliczenie kwadratu odchylenia standardowego.
Kwadrat odchylenia standardowego (czyli wariancję) możemy obliczyć na dwa sposoby:
I sposób:
$$σ^2=\frac{(6-3)^2\cdot1+(5-3)^2\cdot2+(4-3)^2\cdot6+(3-3)^2\cdot5+(2-3)^2\cdot9+(1-3)^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}=$$
$$=\frac{3^2\cdot1+2^2\cdot2+1^2\cdot6+0^2\cdot5+(-1)^2\cdot9+(-2)^2\cdot2}{25}=$$
$$=\frac{9\cdot1+4\cdot2+1\cdot6+0\cdot5+1\cdot9+4\cdot2}{25}=$$
$$=\frac{9+8+6+0+9+8}{25}=\frac{40}{25}=1,6$$
II sposób:
$$σ^2=\frac{6^2\cdot1+5^2\cdot2+4^2\cdot6+3^2\cdot5+2^2\cdot9+1^2\cdot2}{1+2+6+5+9+2}-(\bar{a})^2=$$
$$=\frac{36\cdot1+25\cdot2+16\cdot6+9\cdot5+4\cdot9+1\cdot2}{25}-3^2=$$
$$=\frac{36+50+96+45+36+2}{25}-9=\frac{265}{25}-9=10,6-9=1,6$$
Uwaga! Nie musimy pierwiastkować otrzymanego wyniku! Wariancję po prostu oznacza się jako \(σ^2\), a nie jako \(σ\), stąd też wynik \(1,6\) jest naszym wynikiem końcowym.
Zadanie nr 25 · Próbny 2012
Średni wzrost sportowców w drużynie siatkarskiej, liczącej \(6\) chłopców, wynosił \(174\) cm. Po przyjęciu do zespołu dwóch braci o tej samej wysokości średnia wzrostu zwiększyła się o \(0,5\) cm. Oblicz, jak wysocy są bracia.
Krok 1. Obliczenie sumy wzrostu drużyny przed przyjęciem braci.
Skoro było \(6\) chłopców, a każdy z nich miał średnio \(174cm\), to łącznie wszyscy mieli:
$$6\cdot174cm=1044cm$$
Krok 2. Obliczenie sumy wzrostu drużyny po przyjęciu braci.
Po przyjęciu braci drużyna liczby \(8\) osób i jej średnia wzrostu wynosi \(174,5cm\). W związku z tym wszyscy łącznie mają:
$$8\cdot174,5cm=1396cm$$
Krok 3. Obliczenie wzrostu braci.
Razem bracia mają:
$$1396cm-1044cm=352cm$$
Skoro bracia są tego samego wzrostu, to każdy z nich ma:
$$352cm:2=176cm$$
Zadanie nr 26 · Matura 2012
Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa \(23\) lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa \(24\) lata. Opiekun ma \(39\) lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
\(s\) - suma lat wszystkich studentów
\(n\) - liczba studentów
\(s+39\) - suma lat wszystkich studentów i opiekuna
\(n+1\) - liczba studentów wraz z opiekunem
Krok 2. Zbudowanie układu równań i rozwiązanie go.
Na podstawie danych z zadania możemy zapisać następujący układ równań:
\begin{cases} \frac{s}{n}=23 \quad\bigg/\cdot n \\ \frac{s+39}{n+1}=24 \quad\bigg/\cdot(n+1) \end{cases}\begin{cases} s=23n \\ s+39=24\cdot(n+1) \end{cases}\begin{cases} s=23n \\ s+39=24n+24 \end{cases}
Wartość z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego, otrzymując w ten sposób:
$$23n+39=24n+24$$
$$-n=-15$$
$$n=15$$
Zgodnie z naszym zapisem w pierwszym kroku \(n\) to łączna liczba studentów, zatem w grupie było \(15\) studentów.
Zadanie nr 25 · Matura 2012
Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa \(500zł\). Za pięć z tych akcji zapłacono \(2300zł\). Cena szóstej jest równa:
A\(400zł\)
B\(500zł\)
C\(600zł\)
D\(700zł\)
\(\overline{x}\) - średnia cena akcji
\(x_{1}, x_{2}...\) - ceny poszczególnych akcji
$$\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}$$
Z treści zadania wynika, że za pięć akcji zapłacono \(2300\), czyli:
$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=2300$$
Wiemy też, że średnia cena akcji jest równa \(500\). Podstawiając te informacje do wzoru na średnią otrzymamy:
$$500=\frac{2300+x_{6}}{6}$$
$$3000=2300+x_{6}$$
$$x_{6}=700$$
Zadanie nr 18 · Matura 2011
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(3, 1, 1, 0, x, 2\) jest równa \(2\). Wtedy liczba \(x\) jest równa:
A\(3\)
B\(4\)
C\(5\)
D\(6\)
Układając równanie na podstawie średniej arytmetycznej sześciu liczb otrzymamy:
$$\frac{3+1+1+0+x+2}{6}=2$$
$$\frac{7+x}{6}=2$$
$$7+x=12$$
$$x=5$$
Zadanie nr 23 · Matura 2011
Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: "Ile osób liczy twoja rodzina?" Wyniki przedstawiono w tabeli:
$$
\begin{array}{c|c} \text{Liczba osób w rodzinie} & \text{Liczba uczniów} \\ \hline 3 & 6 \\ 4 & 12 \\ x & 2 \end{array}
$$
Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa \(4\). Wtedy liczba \(x\) jest równa:
A\(3\)
B\(4\)
C\(5\)
D\(7\)
Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie wszystkich danych do standardowego wzoru na średnią arytmetyczną, pamiętając o tym, że trzeba odpowiednio wymnożyć liczbę dzieci przez liczbę posiadanego rodzeństwa. W ten sposób powstanie nam równanie, które po prostu musimy rozwiązać, tak więc:
$$\frac{3\cdot6+4\cdot12+x\cdot2}{6+12+2}=4$$
$$\frac{18+48+2x}{20}=4 \quad\bigg/\cdot20$$
$$66+2x=80$$
$$2x=14$$
$$x=7$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2010
Średnia arytmetyczna wzrostu czterech chłopców jest równa \(170cm\). Chłopcy mają: \(150cm\), \(170cm\), \(185cm\), \(x\;cm\). Najwyższy chłopiec mierzy:
A\(180cm\)
B\(190cm\)
C\(195cm\)
D\(185cm\)
Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Układając równanie ze średnią arytmetyczną otrzymamy:
$$\frac{150+170+185+x}{4}=170$$
$$505+x=680$$
$$x=175$$
Krok 2. Wybór właściwej odpowiedzi.
Udało nam się obliczyć, że czwarty chłopiec ma \(175cm\), a tym samym możemy stwierdzić, że najwyższy chłopiec mierzy \(185cm\).
Zadanie nr 25 · Matura 2010
Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb \(x,3,1,4,1,5,1,4,1,5\) jest równa \(3\). Wtedy:
A\(x=2\)
B\(x=3\)
C\(x=4\)
D\(x=5\)
Krok 1. Zapisanie odpowiedniego wzoru na średnią arytmetyczną.
Mamy \(10\) liczb, więc ich średnią arytmetyczną możemy zapisać wzorem:
$$\frac{x+3+1+4+1+5+1+4+1+5}{10}=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
$$\frac{x+3+1+4+1+5+1+4+1+5}{10}=3 \quad\bigg/\cdot10$$
$$x+25=30$$
$$x=5$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2009
Średnia arytmetyczna pięciu liczb: \(5, x, 1, 3, 1\) jest równa \(3\). Wtedy:
A\(x=2\)
B\(x=3\)
C\(x=4\)
D\(x=5\)
Układamy równanie ze średnią arytmetyczną pięciu liczb, którego rozwiązaniem będzie właśnie niewiadoma \(x\), zatem:
$$\frac{5+x+1+3+1}{5}=3 \quad\bigg/\cdot5$$
$$10+x=15$$
$$x=5$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2009
Na diagramie są przedstawione wyniki pomiaru wzrostu uczniów klasy 3d.
Ile osób w tej klasie ma wzrost powyżej średniego?
A\(6\)
B\(14\)
C\(21\)
D\(16\)
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich uczniów w klasie.
W klasie jest:
$$5+9+10+4+2=30\text{ uczniów}$$
Krok 2. Obliczenie średniego wzrostu.
Skorzystamy tutaj ze średniej arytmetycznej. W liczniku dodajemy do siebie wszystkie wyniki pomiaru wzrostu, a w mianowniku zapisujemy łączną liczbę uczniów:
$$śr=\frac{160\cdot5+165\cdot9+170\cdot10+175\cdot4+180\cdot2}{30}$$
$$śr=\frac{800+1485+1700+700+360}{30}$$
$$śr=\frac{5045}{30}$$
$$śr\approx168,2[cm]$$
Krok 3. Ustalenie ilu uczniów ma wzrost powyżej średniego.
Powyżej średniego wzrostu (czyli wzrost \(170cm\), \(175cm\) lub \(180cm\)) ma łącznie:
$$10+4+2=16\text{ uczniów}$$
Zadanie nr 61 · Matura
Średnia arytmetyczna wieku czterech kobiet jest równa \(24\) lata. Średnia arytmetyczna wieku sześciu mężczyzn jest równa \(26\) lat. Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób jest równa:
A\(25\)
B\(25,2\)
C\(24,9\)
D\(25,5\)
Skoro średnia wieku czterech kobiet wynosi \(24\), to łącznie te kobiety mają \(4\cdot24=96\) lat. Analogicznie, skoro średnia wieku sześciu mężczyzn jest równa \(26\), to panowie mają łącznie \(6\cdot26=156\) lat. Łączny wiek wszystkich osób jest zatem równy:
$$96+156=252$$
Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób będzie zatem równa:
$$śr=\frac{252}{10}$$
$$śr=25,2$$
Zadanie nr 62 · Matura
Mediana zestawu sześciu liczb \(1, 2, 3, 4, 5, 2x\) jest równa \(3\). Liczba \(x\) jest równa:
A\(1\)
B\(1,5\)
C\(2\)
D\(3\)
Mamy parzystą liczbę wyrazów, zatem jeśli uporządkujemy liczby w ciągu niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej), to mediana będzie średnią dwóch środkowych wyrazów. Oczywiście uporządkowanie liczb utrudnia nieznajomość wartości \(2x\), ale spróbujmy przeanalizować tę sytuację.
Średnią arytmetyczną będziemy wyliczać z wartości trzeciej i czwartej liczby uporządkowanego zestawu. Jak się dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że mediana równa \(3\) jest możliwa tylko wtedy, gdy trzecim i czwartym wyrazem będzie liczba \(3\) oraz \(2x\). To prowadzi nas do wniosku, że \(2x\) musi być równe \(3\), czyli:
$$2x=3$$
$$x=1,5$$
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
