Geometria analityczna
Liceum Ogólnokształcące — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 11
Hiperbola: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$; $c^2=a^2+b^2$; $|PF_1|-|PF_2|=\pm2a$.
Asymptoty: $y=\pm\frac{b}{a}x$; mimośród $e=\frac{c}{a}>1$.
Parabola: $y^2=2px$ (otwarta w prawo); ognisko $F(\frac{p}{2},0)$; kierownica $x=-\frac{p}{2}$.
Definicja paraboli: $|PF|=d(P, \text{kierownica})$.
Parabola $y=ax^2+bx+c$: wierzchołek $(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a})$; ognisko w $\frac{1}{4a}$ od wierzchołka.
$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$: $a=2$, $b=3$, asymptoty $y=\pm\frac{3}{2}x$.
Krzywe stożkowe to przekroje stożka: okrąg ($e=0$), elipsa, parabola ($e=1$), hiperbola ($e>1$).
• Ogólna: $Ax+By+C=0$
• Kierunkowa: $y=ax+b$ (gdzie $a$ = nachylenie, $b$ = wyraz wolny)
• Odcinkowa: $\tfrac{x}{p}+\tfrac{y}{q}=1$ (odcinki na osiach $p$ i $q$)
• Normalna: $\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)=0$
- Wyznaczanie równania prostej z danych warunków
- Geometria analityczna — przecięcia, równoległość, prostopadłość
- Interpolacja liniowa
- Wyznaczanie równania okręgu z trzech punktów
- Przecięcia okręgu z prostą
- Styczna do okręgu z punktu
- Sprawdzanie czy punkt leży na prostej ($d=0$)
- Wyznaczanie stycznej do okręgu
- Wysokość trójkąta (odległość wierzchołka od podstawy)
- Anteny paraboliczne — skupianie sygnału
- Reflektory samochodowe i latarki
- Tor rzutu ukośnego
- Nawigacja LORAN (różnice odległości od nadajników)
- Optyka — pewne soczewki i zwierciadła
- Termodynamika — izoterma gazu doskonałego ($pV=\text{const}$)
- Fizyka: siły, prędkości, przyspieszenia
- Geometria: wyznaczanie kątów, równania prostych
- Grafika komputerowa: transformacje
- Środek odcinka (środek ciężkości pary punktów)
- Środek ciężkości trójkąta (przecięcie środkowych)
- Interpolacja współrzędnych
- Obliczanie pól działek ze współrzędnych
- Geodezja i kartografia
- Grafika komputerowa (rasteryzacja)
- Zadania maturalne z geometrii analitycznej
- Optyka (kąt padania = kąt odbicia)
- Mechanika (wektor prędkości styczny do toru)
Punkty i odcinki
$$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
$$S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$
Wzór na odległość to twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Prosta
Postać kierunkowa $y=ax+b$ oraz ogólna $Ax+By+C=0$. Odległość punktu od prostej:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Wzór wymaga postaci ogólnej — prostą $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
Okrąg i koło
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Środek $S=(a,b)$, promień $r$. Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka. Koło to nierówność $\le r^2$. Z postaci rozwiniętej środek i promień wyznaczamy przez uzupełnianie do kwadratu.
Wektory
$$\vec{AB}=[x_2-x_1,\ y_2-y_1],\qquad |\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
$$\vec u\circ\vec v=u_1v_1+u_2v_2=|\vec u||\vec v|\cos\alpha$$
Iloczyn skalarny daje liczbę. Kluczowy wniosek: $\vec u\perp\vec v \iff \vec u\circ\vec v=0$.
Na co uważać
Wektor $\vec{AB}$ to „koniec minus początek”. Jeśli po uzupełnieniu do kwadratu prawa strona równania okręgu wyjdzie ujemna, równanie nie opisuje żadnego okręgu.
∑Wzory 5
Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych.
Przykład: $A(1,2)$, $B(4,6)$: $|AB|=\sqrt{9+16}=5$.
Odległość punktu $(x_0,y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$.
Przykład: $P(1,2)$ i $3x+4y-1=0$: $d=\frac{|3+8-1|}{5}=2$.
Opisuje także proste pionowe ($B=0$).
Przykład: $2x-y+3=0$ to $y=2x+3$; $x=4$ to prosta pionowa.
Okrąg o środku $S(a,b)$ i promieniu $r$.
Przykład: $(x-2)^2+(y+1)^2=9$: środek $(2,-1)$, $r=3$.
Współrzędne środka to średnie współrzędnych końców.
Przykład: $A(2,6)$, $B(8,-2)$: $S=(5,2)$.
🧩Quizy 2
✍Zadania dodatkowe 60
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Równanie okręgu o środku w początku układu i promieniu $5$ to:
Podaj środek i promień okręgu $(x-2)^2+(y+3)^2=16$.
Napisz równanie okręgu o środku $S=(1,\ -2)$ i promieniu $3$.
Nierówność $x^2+y^2\le9$ opisuje:
Sprawdź, czy punkt $P=(3,\ 4)$ leży na okręgu $x^2+y^2=25$.
Okrąg $(x+1)^2+(y-2)^2=4$ ma środek w punkcie:
Sprowadź równanie $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ do postaci kanonicznej.
Oblicz odległość między środkami okręgów o środkach $S_1=(1,\ 2)$ i $S_2=(4,\ 6)$.
Dwa okręgi mają promienie $3$ i $4$, a odległość ich środków wynosi $7$. Okręgi są:
Okręgi mają promienie $r_1=5$ i $r_2=2$, a odległość środków wynosi $3$. Określ ich wzajemne położenie.
Ile punktów wspólnych mają dwa okręgi przecinające się?
Wyznacz punkty przecięcia okręgu $x^2+y^2=25$ z osią $OX$.
Oblicz pole koła opisanego nierównością $x^2+y^2\le16$.
Punkt $(0,\ 0)$ względem okręgu $(x-3)^2+(y-4)^2=9$ leży:
Napisz równanie okręgu o środku $S=(2,\ 3)$ przechodzącego przez punkt $A=(5,\ 7)$.
Równanie $x^2+y^2=0$ opisuje:
Zbadaj wzajemne położenie okręgów $(x-1)^2+(y-2)^2=9$ oraz $(x-5)^2+(y-5)^2=4$.
Sprowadź równanie $x^2+y^2+6x-8y+9=0$ do postaci kanonicznej i podaj środek oraz promień okręgu.
Okrąg o środku $S=(3,\ 1)$ jest styczny do osi $OY$. Napisz jego równanie.
Wykaż, że prosta $y=r$ jest styczna do okręgu $x^2+y^2=r^2$ (dla $r>0$), i podaj punkt styczności.
Obrazem punktu $A=(3,\ 5)$ w symetrii względem osi $OX$ jest:
Podaj obraz punktu $A=(-2,\ 4)$ w symetrii względem osi $OY$.
Podaj obraz punktu $A=(3,\ -7)$ w symetrii względem początku układu $O$.
Symetria względem początku układu przekształca $(x,\ y)$ na:
Punkt $A=(2,\ 3)$ i jego obraz $A'=(2,\ -3)$. Względem czego wykonano symetrię?
Obrazem punktu $(0,\ 5)$ w symetrii względem osi $OY$ jest:
Punkt $B$ jest obrazem $A=(4,\ 1)$ w symetrii środkowej względem punktu $S=(1,\ 2)$. Wyznacz współrzędne $B$.
Podaj obrazy punktu $P=(5,\ -2)$ w symetriach względem: osi $OX$, osi $OY$ i początku układu.
Który punkt jest stały w symetrii względem początku układu?
Wyznacz równanie prostej symetrycznej do $y=2x+3$ względem osi $OX$.
Obrazem punktu $(a,\ b)$ w symetrii względem prostej $y=x$ jest:
Trójkąt ma wierzchołki $A=(1,\ 1)$, $B=(4,\ 1)$, $C=(1,\ 5)$. Podaj współrzędne obrazu w symetrii względem osi $OY$.
Punkt $A'=(6,\ -1)$ jest obrazem $A$ w symetrii względem początku układu. Wyznacz $A$.
Funkcja, której wykres jest symetryczny względem osi $OY$, to funkcja:
Wyznacz równanie prostej symetrycznej do $y=3x-1$ względem początku układu.
Obrazem punktu $(2,\ 8)$ w symetrii względem punktu $S=(2,\ 8)$ jest:
Punkt $A=(3,\ -4)$ odbito względem osi $OX$, otrzymując $A'$, a następnie $A'$ odbito względem osi $OY$, otrzymując $A''$. Wyznacz $A''$ i porównaj z symetrią środkową punktu $A$.
Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do $(x-2)^2+(y-3)^2=9$ względem osi $OX$.
Punkty $A=(-3,\ 2)$ i $B=(5,\ 2)$ są symetryczne względem pewnej prostej pionowej. Wyznacz równanie tej prostej.
Wykaż, że złożenie dwóch symetrii względem osi $OX$ (wykonanych jedna po drugiej) daje przekształcenie tożsamościowe.
Wektor o początku $A=(1,\,2)$ i końcu $B=(5,\,7)$ ma współrzędne:
Oblicz $\vec{u}+\vec{v}$, gdy $\vec{u}=[3,-1]$ i $\vec{v}=[2,\,5]$.
Oblicz długość wektora $\vec{u}=[6,\,8]$.
Iloczyn skalarny wektorów $[2,\,3]$ i $[4,-1]$ wynosi:
Oblicz $3\vec{u}$, gdy $\vec{u}=[-2,\,4]$.
Wektory są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn skalarny:
Sprawdź, czy wektory $\vec{u}=[3,\,4]$ i $\vec{v}=[-8,\,6]$ są prostopadłe.
Oblicz $\vec{u}-\vec{v}$ oraz $|\vec{u}-\vec{v}|$, gdy $\vec{u}=[7,\,3]$ i $\vec{v}=[4,-1]$.
Wektory $[2,\,6]$ i $[1,\,3]$ są:
Punkt $A=(2,\,1)$ przesunięto o wektor $\vec{u}=[5,-3]$. Podaj współrzędne obrazu punktu $A$.
Wektor $\vec{u}=[a,\,3]$ jest prostopadły do $\vec{v}=[6,\,2]$. Wtedy $a$ wynosi:
Oblicz $2\vec{u}-3\vec{v}$, gdy $\vec{u}=[1,\,4]$ i $\vec{v}=[2,-1]$.
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,0]$ i $\vec{v}=[1,\,1]$.
Iloczyn skalarny wektora ze sobą, czyli $\vec{u}\circ\vec{u}$, jest równy:
Punkty $A=(1,\,1)$, $B=(4,\,2)$, $C=(5,\,5)$ są trzema wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Wyznacz współrzędne punktu $D$.
Jeśli iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest ujemny, to kąt między nimi jest:
Oblicz kąt między wektorami $\vec{u}=[1,\,\sqrt3]$ i $\vec{v}=[\sqrt3,\,1]$.
Dane są punkty $A=(0,\,0)$, $B=(4,\,0)$, $C=(4,\,3)$. Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny, korzystając z iloczynu skalarnego, i oblicz jego pole.
Wyznacz wektor jednostkowy o tym samym kierunku i zwrocie co $\vec{u}=[3,-4]$.
Dane są wektory $\vec{u}=[2,\,1]$ i $\vec{v}=[m,\,4]$. Dla jakiej wartości $m$ wektory są równoległe, a dla jakiej prostopadłe?
📄Zadania z arkuszy 130
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu — pokazujemy 100 najnowszych z 130.
Środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ z zadania 24 ma współrzędne
Wykaż, że $|PQ|=\dfrac{\sqrt5}{5}\,a$.
Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
P
F
P
F
$\mathcal{O}_1$: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$
$\mathcal{O}_2$: $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 45$.
Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM} = -2 \cdot \overrightarrow{BM}$.
Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.
Równoległobok $ABCD$: $A=(-2,6)$, $B=(10,2)$; przekątne przecinają się w $P=(6,7)$. Oblicz długość boku $BC$.
Oblicz pola figur $AGF$ oraz $CEFG$.
Oblicz współrzędne punktu $S$. Rozważ wszystkie przypadki.
Oblicz długość boku \(BC\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Wykaż, że $|ND|=\sqrt{3}+1$.
Oblicz współrzędne punktu $C$.
Wierzchołek \(B\) ma współrzędne:
Promień tego okręgu jest równy:
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Pole trójkąta \(PAB\) jest równe polu trójkąta \(PAC\).
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(21\).
Pole trójkąta \(PAB\) jest równe polu trójkąta \(PAC\).
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(21\).
a) Wyznacz równanie prostej, która jest osią symetrii tego trapezu.
b) Oblicz współrzędne punktu będącego środkiem podstawy \(CD\).
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.