Funkcje trygonometryczne

To wartość z tablicy kątów szczególnych, którą warto pamiętać:

$$\sin 30^\circ=\frac12$$

Pełny zestaw dla $30^\circ$: $\sin 30^\circ=\frac12$, $\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$.

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Zamiany dokonujemy przez mnożenie przez $\frac{\pi}{180^\circ}$:

$$60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{60\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$$

Warto zapamiętać podstawowe zamiany: $180^\circ=\pi$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $30^\circ=\frac{\pi}{6}$.

Odpowiedź: $\frac{\pi}{3}$.

W drugą stronę mnożymy przez $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$$\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3\cdot180^\circ}{4}=\frac{540^\circ}{4}=135^\circ$$

Symbol $\pi$ się skraca, więc zostaje sam rachunek na liczbach.

Odpowiedź: $135^\circ$.

Na okręgu jednostkowym cosinus to współrzędna pozioma punktu. Dla kąta $90^\circ$ punkt leży na samej górze osi OY, więc jego współrzędna pozioma to zero:

$$\cos 90^\circ=0$$

Dla porównania: $\sin 90^\circ=1$ (współrzędna pionowa jest maksymalna).

Odpowiedź: A. $0$.

Korzystamy z tożsamości $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Wyciągamy pierwiastek. Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Rozpoznanie: to klasyczny trójkąt $3$–$4$–$5$.

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac45$.

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34$$

Dzielenie ułamków: mnożymy przez odwrotność mianownika, a piątki się skracają.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac34$.

Znak funkcji zależy od położenia punktu na okręgu jednostkowym:

• $\sin\alpha>0$ — punkt nad osią OX (ćwiartki I i II)
• $\cos\alpha\lt 0$ — punkt na lewo od osi OY (ćwiartki II i III)

Oba warunki spełnia jednocześnie tylko ćwiartka II.

Pomocna reguła (kolejność znaków sinusa/cosinusa/tangensa po ćwiartkach): „wszystkie dodatnie” w I, „sinus” w II, „tangens” w III, „cosinus” w IV.

Odpowiedź: C. druga.

Krok 1 — zapisujemy kąt jako $180^\circ$ minus kąt ostry:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny. Sinus dla kąta w drugiej ćwiartce jest dodatni i zachodzi $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$:

$$\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac12$$

Kontrola znaku: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Funkcja sinus powtarza swoje wartości co pełny obrót:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$

Najmniejszą taką dodatnią liczbą jest $2\pi$, więc okres podstawowy to $2\pi$.

Uwaga na jednostki: w miary łukowej okres to $2\pi$, a nie $360$ — odpowiedź C myli radiany ze stopniami.

Dla porównania: tangens ma okres $\pi$.

Odpowiedź: D. $2\pi$.

To bezpośrednie zastosowanie jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Tożsamość ta zachodzi dla dowolnego kąta, więc:

$$\sin^2 40^\circ+\cos^2 40^\circ=1$$

Kluczowa obserwacja: nie trzeba znać wartości $\sin 40^\circ$ ani $\cos 40^\circ$ — wynik jest $1$ niezależnie od kąta.

Odpowiedź: $1$.

Dla kąta $45^\circ$ sinus i cosinus są równe:

$$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$

Zatem ich iloraz wynosi:

$$\tg 45^\circ=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=1$$

Interpretacja: w trójkącie prostokątnym równoramiennym obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek to $1$.

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wiemy, że $\sin 30^\circ=\frac12$.

Krok 2 — szukamy wszystkich rozwiązań w zadanym przedziale. Sinus jest dodatni w ćwiartkach I i II, więc drugie rozwiązanie to:

$$180^\circ-30^\circ=150^\circ$$

Krok 3 — zestawiamy:

$$x=30^\circ \quad \text{lub} \quad x=150^\circ$$

Częsty błąd: podanie tylko $30^\circ$. Równanie z sinusem ma zwykle dwa rozwiązania na pełnym okręgu.

Odpowiedź: $x=30^\circ$ lub $x=150^\circ$.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$$

Krok 2 — wyciągamy pierwiastek, dobierając znak.

$$\sin\alpha=\pm\frac{5}{13}$$

Krok 3 — ustalamy znak. W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, więc:

$$\sin\alpha=\frac{5}{13}$$

Kluczowa uwaga: jedynka daje wartość bezwzględną — znak rozstrzyga informacja o ćwiartce. Pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.

Na okręgu jednostkowym kąt $180^\circ$ wskazuje punkt $(-1,\,0)$ — skrajnie po lewej stronie osi OX.

Cosinus to współrzędna pozioma tego punktu:

$$\cos 180^\circ=-1$$

Dla porządku: $\sin 180^\circ=0$ (współrzędna pionowa).

Odpowiedź: A. $-1$.

Krok 1 — rozpoznajemy tangens:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha$$

Krok 2 — mnożymy, cosinus się skraca:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$$

Założenie: $\cos\alpha\neq0$, bo dzielimy przez cosinus.

Odpowiedź: $\sin\alpha$.

Sposób 1 — podstawiamy wartości z tablicy:

$$\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\cdot\frac12=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$$

Sposób 2 — wzór na sinus sumy kątów:

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)$$

$$=\sin(60^\circ+30^\circ)=\sin 90^\circ=1$$

Drugi sposób jest szybszy — warto rozpoznawać wzory na funkcje sumy kątów.

Odpowiedź: $1$.

Sinus jako współrzędna punktu na okręgu jednostkowym przyjmuje wszystkie wartości od $-1$ do $1$ włącznie:

$$-1\le\sin x\le 1$$

Skrajne wartości są osiągane: $\sin 90^\circ=1$ i $\sin 270^\circ=-1$, dlatego przedział jest domknięty (to odróżnia odpowiedź C od D).

Odpowiedź: C. $\langle -1,\,1\rangle$.

Krok 1 — wyznaczamy cosinus:

$$2\cos x=1 \quad\Rightarrow\quad \cos x=\frac12$$

Krok 2 — kąt podstawowy. Wiemy, że $\cos 60^\circ=\frac12$.

Krok 3 — wszystkie rozwiązania. Cosinus jest dodatni w ćwiartkach I i IV, więc drugie rozwiązanie to:

$$360^\circ-60^\circ=300^\circ$$

Krok 4 — zestawiamy:

$$x=60^\circ \quad \text{lub} \quad x=300^\circ$$

Uwaga: dla cosinusa drugie rozwiązanie leży w ćwiartce IV ($360^\circ-\alpha$), inaczej niż dla sinusa ($180^\circ-\alpha$).

Odpowiedź: $x=60^\circ$ lub $x=300^\circ$.

Sposób z trójkątem prostokątnym. Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przy kącie. Skoro $\tg\alpha=\frac21$, przyjmijmy bok naprzeciw $=2$, bok przy kącie $=1$.

Krok 1 — przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$$

Krok 2 — odczytujemy funkcje:

$$\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}$$

Sprawdzenie jedynką: $\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}$, $\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}$.

Krok 1 — przekształcamy licznik. Z jedynki trygonometrycznej wynika:

$$1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy do wyrażenia:

$$\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}$$

Krok 3 — skracamy (możemy, bo $\sin\alpha\neq0$):

$$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha$$

Otrzymaliśmy prawą stronę, co kończy dowód.

Uwaga: założenie $\sin\alpha\neq0$ jest konieczne — bez niego nie wolno byłoby ani dzielić, ani skracać.

Odpowiedź: wyrażenie upraszcza się do $\sin\alpha$, co należało wykazać.

Kąt pełny odpowiada obwodowi okręgu jednostkowego:

$$360^\circ=2\pi \ \text{rad}$$

Stąd przelicznik: $180^\circ=\pi$ radianów.

Odpowiedź: B. $2\pi$.

Mnożymy przez $\frac{\pi}{180^\circ}$:

$$90^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{2}$$

Odpowiedź: $\frac{\pi}{2}$.

Mnożymy przez $\frac{180^\circ}{\pi}$:

$$\frac{\pi}{3}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=60^\circ$$

Odpowiedź: $60^\circ$.

Sinus powtarza swoje wartości co $2\pi$:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$

Odpowiedź: C. $2\pi$.

$$135^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{135\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$$

Skracanie: $\frac{135}{180}=\frac34$ po podzieleniu przez $45$.

Odpowiedź: $\frac{3\pi}{4}$.

Tangens powtarza wartości co $\pi$ — dwa razy częściej niż sinus i cosinus:

$$\operatorname{tg}(x+\pi)=\operatorname{tg}x$$

Odpowiedź: A. $\pi$.

Definicja okresu: $f(x+T)=f(x)$ dla każdego $x$.

Wartość w $4\pi$: to $0$ powiększone o dwa okresy:

$$f(4\pi)=f(0)=3$$

Wartość w $-2\pi$: to $0$ pomniejszone o jeden okres:

$$f(-2\pi)=f(0)=3$$

Wniosek: funkcja okresowa przyjmuje tę samą wartość we wszystkich punktach różniących się o wielokrotność okresu.

Odpowiedź: oba równe $3$.

Wzór na długość łuku (kąt w radianach):

$$l=r\cdot\alpha$$

$$l=6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi\approx6{,}28$$

Dlaczego radiany: to właśnie po to wprowadzono miarę łukową — wzór $l=r\alpha$ działa tylko dla kątów w radianach.

Odpowiedź: $l=2\pi$.

Cosinus spełnia $\cos(-x)=\cos x$, więc jest funkcją parzystą — jego wykres jest symetryczny względem osi $OY$.

Dla porównania: sinus jest nieparzysty ($\sin(-x)=-\sin x$).

Odpowiedź: D. parzystą.

Definicja nieparzystości: $f(-x)=-f(x)$.

Dla sinusa z własności kątów przeciwnych:

$$\sin(-x)=-\sin x$$

Warunek jest spełniony dla każdego $x$, więc sinus jest nieparzysty.

Przykład liczbowy: $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12=-\sin\frac{\pi}{6}$ ✔

Interpretacja: wykres sinusa jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Wniosek: $\sin(-x)=-\sin x$ dla każdego $x$, więc sinus jest funkcją nieparzystą.

$$\frac{\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=30^\circ$$

Warto zapamiętać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.

Odpowiedź: B. $30^\circ$.

Krok 1 — sprowadzamy argumenty do znanego. $9=1+2\cdot4$, więc:

$$f(9)=f(1)=5$$

Krok 2 — dla $13$: $13=1+3\cdot4$:

$$f(13)=f(1)=5$$

Zasada: odejmujemy wielokrotność okresu, aż trafimy do znanego argumentu.

Odpowiedź: oba równe $5$.

Krok 1 — przekształcamy wzór $l=r\alpha$:

$$\alpha=\frac{l}{r}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\alpha=\frac{10}{5}=2 \ \text{rad}$$

Interpretacja: miara łukowa to stosunek długości łuku do promienia — dlatego jest bezwymiarowa.

Odpowiedź: $\alpha=2$ radiany.

$$\pi \ \text{rad}=180^\circ$$

To kąt półpełny — połowa kąta pełnego.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Krok 1 — obliczamy $f(-x)$:

$$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$$

Krok 2 — wniosek. Warunek $f(-x)=f(x)$ jest spełniony, więc funkcja jest parzysta.

Sprawdzenie geometryczne: parabola $y=x^2$ jest symetryczna względem osi $OY$ ✔

Odpowiedź: parzysta.

Choć $\sin(x+4\pi)=\sin x$ też zachodzi, najmniejszym okresem dodatnim jest $2\pi$ — po tylu radianach wykres po raz pierwszy się powtarza.

Odpowiedź: A. $2\pi$.

Krok 1 — reguła dla funkcji $\sin(bx)$. Okres skraca się $b$-krotnie:

$$T=\frac{2\pi}{|b|}$$

Krok 2 — podstawiamy $b=2$:

$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$$

Sprawdzenie: $\sin\bigl(2(x+\pi)\bigr)=\sin(2x+2\pi)=\sin2x$ ✔

Interpretacja. Mnożenie argumentu przez $2$ „ściska" wykres poziomo dwukrotnie, więc powtarza się dwa razy szybciej.

Odpowiedź: $T=\pi$.

Krok 1 — podstawiamy do wzoru:

$$P=\frac12\cdot4^2\cdot\frac{3\pi}{4}$$

Krok 2 — obliczamy:

$$P=\frac12\cdot16\cdot\frac{3\pi}{4}=8\cdot\frac{3\pi}{4}=6\pi$$

Kontrola sensu. Kąt $\frac{3\pi}{4}$ to $135^\circ$, czyli $\frac38$ pełnego kąta. Pole całego koła to $16\pi$, a $\frac38\cdot16\pi=6\pi$ ✔

Zaleta radianów: wzór $P=\frac12 r^2\alpha$ jest prostszy niż wersja ze stopniami ($\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$).

Odpowiedź: $P=6\pi$.

Krok 1 — obliczamy $f(-x)$:

$$f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x$$

Krok 2 — porównujemy z $-f(x)$:

$$-f(x)=-\left(x^3-x\right)=-x^3+x$$

Krok 3 — wniosek. Zachodzi $f(-x)=-f(x)$, więc funkcja jest nieparzysta.

Uwaga metodyczna. Wielomian złożony z samych potęg nieparzystych jest funkcją nieparzystą; z samych parzystych — parzystą. Mieszanka potęg daje funkcję bez symetrii.

Sprawdzenie: $f(-2)=-8+2=-6=-f(2)$ ✔

Krok 1 — założenie. Funkcja $f$ ma okres $T$, czyli dla każdego $x$:

$$f(x+T)=f(x)$$

Krok 2 — stosujemy własność dwukrotnie. Zastępujemy $x$ przez $x+T$:

$$f(x+2T)=f\bigl((x+T)+T\bigr)=f(x+T)$$

Krok 3 — łączymy z założeniem:

$$f(x+2T)=f(x+T)=f(x) \qquad ∎$$

Zatem $2T$ też jest okresem funkcji.

Uogólnienie. Tym samym rozumowaniem każda dodatnia wielokrotność $kT$ ($k\in\mathbb{N}$) jest okresem. Dlatego mówimy o najmniejszym okresie dodatnim — to on jednoznacznie charakteryzuje funkcję.

Wniosek: jeśli $T$ jest okresem, to $2T$ (i każde $kT$) również — co należało wykazać.

Sinus jest dodatni w pierwszej i drugiej ćwiartce, czyli tam, gdzie wykres leży nad osią:

$$x\in(0,\ \pi)$$

Odpowiedź: B. $(0,\ \pi)$.

Cosinus jest dodatni w pierwszej i czwartej ćwiartce:

$$x\in\left(0,\ \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},\ 2\pi\right)$$

Interpretacja: to fragmenty, gdzie wykres cosinusa jest nad osią — na krańcach okresu.

Odpowiedź: $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$.

Tangens to $\frac{\sin x}{\cos x}$, więc jest nieokreślony tam, gdzie $\cos x=0$:

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

W tych punktach wykres tangensa ma asymptoty pionowe.

Odpowiedź: C. $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.

Okres: $\pi$ — dwa razy krótszy niż sinusa i cosinusa.

Zbiór wartości: $\mathbb{R}$ — tangens przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.

Odpowiedź: okres $\pi$, $ZW=\mathbb{R}$.

Sinus osiąga $\frac12$ po raz pierwszy (dla dodatnich $x$) w:

$$x=\frac{\pi}{6}$$

Od tego punktu $\sin x\ge\frac12$ aż do $\frac{5\pi}{6}$.

Odpowiedź: A. $\frac{\pi}{6}$.

W pierwszej ćwiartce sinus i cosinus są dodatnie, więc tangens też:

$$\operatorname{tg}x>0 \ \text{dla całego } \left(0,\ \frac{\pi}{2}\right)$$

Odpowiedź: $x\in\left(0,\ \frac{\pi}{2}\right)$.

Krok 1 — kąty, gdzie $\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$:

$$x=\frac{\pi}{4} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{3\pi}{4}$$

Krok 2 — sinus jest większy lub równy między tymi wartościami (nad poziomem $\frac{\sqrt2}{2}$):

$$x\in\left\langle\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}\right\rangle$$

Odpowiedź: $\left\langle\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right\rangle$.

Krok 1 — kąty, gdzie $\cos x=-\frac12$:

$$x=\frac{2\pi}{3} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{4\pi}{3}$$

Krok 2 — cosinus jest mniejszy lub równy $-\frac12$ między tymi wartościami (poniżej poziomu):

$$x\in\left\langle\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}\right\rangle$$

Odpowiedź: $\left\langle\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right\rangle$.

Tangens jest rosnący w każdym przedziale między kolejnymi asymptotami (np. w $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$).

Uwaga: nie jest rosnący „w całości" — między przedziałami są asymptaty, a okres wynosi $\pi$ (nie $2\pi$).

Odpowiedź: D. rosnąca.

Sinus jest ujemny w trzeciej i czwartej ćwiartce, czyli tam, gdzie wykres jest pod osią:

$$x\in(\pi,\ 2\pi)$$

Odpowiedź: $x\in(\pi,\ 2\pi)$.

Asymptoty są w punktach zerowania cosinusa:

$$x=\frac{\pi}{2} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{3\pi}{2}$$

W przedziale $(0,\ 2\pi)$ są dwie.

Odpowiedź: B. $2$.

Korzystamy z wartości dla kątów podstawowych:

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1$$

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3$$

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}$$

Odpowiedź: $1$, $\sqrt3$, $\frac{\sqrt3}{3}$.

Krok 1 — izolujemy sinus:

$$\sin x\lt \frac12$$

Krok 2 — kąty równości $\sin x=\frac12$: $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6}$.

Krok 3 — sinus jest mniejszy od $\frac12$ poza przedziałem między nimi:

$$x\in\left\langle0,\ \frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6},\ 2\pi\right\rangle$$

Odpowiedź: $\left\langle0,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6},2\pi\right\rangle$.

W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus ujemny, więc:

$$\operatorname{tg}x=\frac{(+)}{(-)}\lt 0$$

Znaki tangensa w ćwiartkach: I dodatni, II ujemny, III dodatni, IV ujemny.

Odpowiedź: A. ujemny.

Krok 1 — kąt podstawowy: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1$.

Krok 2 — okres tangensa to $\pi$, więc kolejne rozwiązanie:

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}$$

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{4}$ lub $x=\frac{5\pi}{4}$.

Cosinus osiąga wartość $1$ tylko dla $x=2k\pi$. Wszędzie indziej $\cos x\lt 1$.

Odpowiedź: C. dla wszystkich $x$ oprócz $x=2k\pi$.

Krok 1 — kąty równości $\cos x=\frac{\sqrt3}{2}$:

$$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{11\pi}{6}$$

Krok 2 — cosinus jest większy od $\frac{\sqrt3}{2}$ w pobliżu $x=0$ (gdzie cosinus jest największy). To fragment od $0$ do $\frac{\pi}{6}$ oraz od $\frac{11\pi}{6}$ do $2\pi$:

$$x\in\left\langle0,\ \frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6},\ 2\pi\right)$$

Uwaga. Rozwiązanie „rozpada się" na dwa kawałki na krańcach przedziału, bo cosinus ma maksimum w $x=0$ i wraca do niego przy $2\pi$.

Odpowiedź: $\left\langle0,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6},2\pi\right)$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $u=2x$. Gdy $x\in\langle0,\ \pi\rangle$, to $u\in\langle0,\ 2\pi\rangle$.

Krok 2 — nierówność $\sin u>0$ zachodzi dla $u\in(0,\ \pi)$.

Krok 3 — wracamy do $x=\frac{u}{2}$:

$$0\lt 2x\lt \pi \quad\Rightarrow\quad 0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$$

Wniosek: $x\in\left(0,\ \frac{\pi}{2}\right)$.

Uwaga. Argument $2x$ „ściska" wykres — trzeba przełożyć zarówno nierówność, jak i granice przedziału.

Odpowiedź: $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$.

Krok 1 — dwa warunki. Tangens musi być określony (mianownik jego definicji $\neq0$) ORAZ różny od zera (nasz mianownik):

Krok 2 — tangens nieokreślony dla $\cos x=0$:

$$x\neq\frac{\pi}{2},\qquad x\neq\frac{3\pi}{2}$$

Krok 3 — tangens równy zero dla $\sin x=0$:

$$x\neq\pi \quad (\text{w }(0,\ 2\pi))$$

Krok 4 — dziedzina:

$$x\in(0,\ 2\pi)\setminus\left\{\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}\right\}$$

Uwaga. $\frac{1}{\operatorname{tg}x}=\operatorname{ctg}x$, a cotangens jest nieokreślony właśnie tam, gdzie $\sin x=0$ lub tangens nie istnieje.

Odpowiedź: $(0,2\pi)$ bez $\left\{\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Krok 1 — korzystamy z parzystości sinusa i cosinusa. Sinus jest nieparzysty, cosinus parzysty:

$$\sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos(-x)=\cos x$$

Krok 2 — liczymy $\operatorname{tg}(-x)$:

$$\operatorname{tg}(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\operatorname{tg}x$$

Krok 3 — wniosek. Warunek $\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}x$ oznacza nieparzystość. $\qquad ∎$

Interpretacja graficzna. Wykres tangensa jest symetryczny względem początku układu współrzędnych — obrót o $180^\circ$ wokół punktu $(0,0)$ nakłada go na siebie.

Sprawdzenie: $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1=-\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$ ✔

Sinus zeruje się w punktach, gdzie wykres przecina oś:

$$x=0,\quad x=\pi \quad (\text{w } \langle0,\ 2\pi))$$

Ogólnie: $\sin x=0$ dla $x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Odpowiedź: B. $x=0$ i $x=\pi$.

Cosinus osiąga wartość $1$ tylko na początku okresu:

$$x=0$$

Dlaczego tylko jeden punkt: $\cos x=1$ zachodzi dla $x=2k\pi$, a w przedziale $\langle0,\ 2\pi)$ mieści się jedynie $x=0$.

Odpowiedź: $x=0$.

Sinus osiąga maksimum $1$ w:

$$x=\frac{\pi}{2}$$

Interpretacja: to najwyższy punkt wykresu sinusa w pierwszym okresie.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{2}$.

Cosinus przyjmuje wartości tylko z przedziału $\langle-1,\ 1\rangle$:

$$-1\le\cos x\le1$$

Ponieważ $2>1$, równanie nie ma rozwiązań.

Zawsze sprawdzaj zakres: zanim rozwiążesz równanie trygonometryczne, upewnij się, że wartość mieści się w $\langle-1,\ 1\rangle$.

Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Tangens jest zerem tam, gdzie sinus jest zerem (a cosinus różny od zera):

$$x=0,\quad x=\pi$$

Ogólnie: $\operatorname{tg}x=0$ dla $x=k\pi$.

Odpowiedź: $x=0$ oraz $x=\pi$.

Wartość $\frac12$ sinus osiąga dwukrotnie w jednym okresie — raz w pierwszej, raz w drugiej ćwiartce:

$$x=\frac{\pi}{6} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{5\pi}{6}$$

Zasada: dla wartości z wnętrza $(-1,\ 1)$ sinus daje zwykle dwa rozwiązania na okres.

Odpowiedź: A. $2$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wartość $\frac{\sqrt3}{2}$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{3}$ (czyli $60^\circ$).

Krok 2 — druga ćwiartka. Sinus jest dodatni także w drugiej ćwiartce, gdzie kąt to $\pi-\frac{\pi}{3}$:

$$x=\frac{\pi}{3} \quad\text{oraz}\quad x=\frac{2\pi}{3}$$

Kontrola: $\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{3}$ lub $x=\frac{2\pi}{3}$.

Krok 1 — kąt podstawowy. Wartość bezwzględna $\frac12$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{3}$.

Krok 2 — ćwiartki. Cosinus jest ujemny w drugiej i trzeciej ćwiartce:

$$x=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

Kontrola: $\cos\frac{2\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{2\pi}{3}$ lub $x=\frac{4\pi}{3}$.

Sinus zeruje się co pół okresu, w każdej wielokrotności $\pi$:

$$x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$$

Uwaga: odpowiedź B ($2k\pi$) obejmuje tylko $0,\ 2\pi,\ 4\pi,\dots$ — pomija $\pi,\ 3\pi,\dots$, gdzie sinus też jest zerem.

Odpowiedź: D. $x=k\pi$.

Krok 1 — izolujemy sinus:

$$2\sin x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac12$$

Krok 2 — rozwiązania. Wartość $\frac12$ odpowiada kątowi $\frac{\pi}{6}$, a sinus jest dodatni w I i II ćwiartce:

$$x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{6}$$

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{6}$ lub $x=\frac{5\pi}{6}$.

Sinus osiąga minimum $-1$ w:

$$x=\frac{3\pi}{2}$$

Interpretacja: to najniższy punkt wykresu sinusa w pierwszym okresie.

Odpowiedź: B. $x=\frac{3\pi}{2}$.

Krok 1 — pierwiastkujemy obie strony. Uwaga na oba znaki:

$$\cos x=\frac12 \quad\text{lub}\quad \cos x=-\frac12$$

Krok 2 — dla $\cos x=\frac12$:

$$x=\frac{\pi}{3},\qquad x=\frac{5\pi}{3}$$

Krok 3 — dla $\cos x=-\frac12$:

$$x=\frac{2\pi}{3},\qquad x=\frac{4\pi}{3}$$

Częsty błąd: pominięcie ujemnego pierwiastka. Z $\cos^2 x=\frac14$ wynikają cztery rozwiązania, nie dwa.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right\}$.

Krok 1 — iloczyn jest zerem, gdy zeruje się czynnik:

$$\sin x=0 \quad\text{lub}\quad \cos x=0$$

Krok 2 — dla $\sin x=0$:

$$x=0,\qquad x=\pi$$

Krok 3 — dla $\cos x=0$:

$$x=\frac{\pi}{2},\qquad x=\frac{3\pi}{2}$$

Uwaga: zamiast mnożyć przez... lepiej rozłożyć na czynniki. Można też zauważyć, że $\sin x\cos x=\frac12\sin2x=0$, co daje ten sam zbiór.

Odpowiedź: $x\in\left\{0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Tangens ma okres $\pi$, więc $\operatorname{tg}x=1$ powtarza się co $\pi$:

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}$$

Uwaga na okres. Tangens ma okres $\pi$ (nie $2\pi$ jak sinus i cosinus), dlatego oba rozwiązania różnią się o $\pi$.

Odpowiedź: A. $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{5\pi}{4}$.

Krok 1 — izolujemy cosinus:

$$2\cos x=-\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Krok 2 — kąt podstawowy $\frac{\pi}{6}$, cosinus ujemny w II i III ćwiartce:

$$x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6},\qquad x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$

Kontrola: $\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{5\pi}{6}$ lub $x=\frac{7\pi}{6}$.

Cosinus osiąga $1$ raz na okres $2\pi$. W przedziale o długości $4\pi$ mieszczą się dwa okresy:

$$x=0 \quad\text{oraz}\quad x=2\pi$$

Uwaga na przedział: $4\pi$ jest wyłączone (nawias otwarty), więc go nie liczymy.

Odpowiedź: C. $2$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=\sin x$, gdzie $t\in\langle-1,\ 1\rangle$:

$$2t^2+t-1=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=1+8=9,\qquad t=\frac{-1\pm3}{4}$$

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-1$$

Krok 3 — wracamy do $x$ dla $\sin x=\frac12$:

$$x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{6}$$

Krok 4 — dla $\sin x=-1$:

$$x=\frac{3\pi}{2}$$

Uwaga. Oba pierwiastki $t$ mieszczą się w $\langle-1,\ 1\rangle$, więc żadnego nie odrzucamy. Gdyby któryś wypadł poza ten zakres, nie dałby rozwiązań.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $u=2x$. Gdy $x\in\langle0,\ 2\pi)$, to $u\in\langle0,\ 4\pi)$.

Krok 2 — rozwiązujemy $\cos u=\frac12$. Kąt podstawowy $\frac{\pi}{3}$, cosinus dodatni w I i IV ćwiartce, i powtarzamy co $2\pi$:

$$u=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{11\pi}{3}$$

Krok 3 — wracamy do $x=\frac{u}{2}$:

$$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$

Klucz do zadania. Skoro argumentem jest $2x$, trzeba rozpatrzyć przedział dwukrotnie dłuższy — stąd cztery rozwiązania, a nie dwa.

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}$.

Krok 1 — dzielimy przez $\cos x$. Najpierw sprawdzamy, czy $\cos x=0$ może dać rozwiązanie: wtedy $\sin x=0$, ale sinus i cosinus nie zerują się jednocześnie, więc bezpiecznie dzielimy:

$$\frac{\sin x}{\cos x}=1 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}x=1$$

Krok 2 — rozwiązania $\operatorname{tg}x=1$ (okres $\pi$):

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=\frac{5\pi}{4}$$

Kontrola. W $\frac{\pi}{4}$: $\sin=\cos=\frac{\sqrt2}{2}$ ✔ W $\frac{5\pi}{4}$: oba równe $-\frac{\sqrt2}{2}$ ✔

Interpretacja geometryczna. Sinus równa się cosinusowi tam, gdzie wykresy się przecinają — na przekątnych, pod kątem $45^\circ$ do osi.

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{4}$ lub $x=\frac{5\pi}{4}$.

Sposób 1 — szacowanie grube. Sinus i cosinus nie przekraczają $1$, więc ich suma nie przekracza $2$:

$$\sin x+\cos x\le1+1=2\lt 3$$

Lewa strona nigdy nie osiąga $3$, więc równanie jest sprzeczne. $\qquad ∎$

Sposób 2 — dokładne oszacowanie. Korzystając z tożsamości:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Ponieważ sinus mieści się w $\langle-1,\ 1\rangle$, cała suma należy do $\langle-\sqrt2,\ \sqrt2\rangle$. Skoro $\sqrt2\approx1{,}41\lt 3$, wartość $3$ jest nieosiągalna.

Wniosek dodatkowy. Drugi sposób daje więcej: pokazuje, że największa możliwa wartość wyrażenia to $\sqrt2$, a nie $2$ — pierwsze oszacowanie było poprawne, ale zawyżone.

Współrzędne punktu na okręgu jednostkowym to $(\cos\alpha,\ \sin\alpha)$. Dla $\alpha=0$:

$$(\cos0,\ \sin0)=(1,\ 0)$$

Odpowiedź: B. $(1,\ 0)$.

$$(\cos\tfrac{\pi}{2},\ \sin\tfrac{\pi}{2})=(0,\ 1)$$

Interpretacja: obrót o $90^\circ$ przenosi punkt z $(1,0)$ na szczyt okręgu.

Odpowiedź: $(0,\ 1)$.

Przesunięcie o $3$ w górę przenosi zbiór $\langle-1,1\rangle$:

$$\langle-1+3,\ 1+3\rangle=\langle2,\ 4\rangle$$

Odpowiedź: A. $\langle2,\ 4\rangle$.

Odjęcie $\frac{\pi}{4}$ od argumentu przesuwa wykres o $\frac{\pi}{4}$ w prawo.

Zasada: $f(x-p)$ to przesunięcie o $p$ w prawo (dla $p>0$).

Odpowiedź: o $\frac{\pi}{4}$ w prawo.

Okres $T$ to czas jednego pełnego obrotu ($2\pi$ radianów).

Prędkość kątowa: $\omega=\frac{2\pi}{T}$.

Odpowiedź: C. $T$ sekund.

$$(\cos\pi,\ \sin\pi)=(-1,\ 0)$$

Interpretacja: obrót o $180^\circ$ przenosi punkt na przeciwną stronę okręgu.

Odpowiedź: $(-1,\ 0)$.

Krok 1 — amplituda $2$ daje $\langle-2,\ 2\rangle$.

Krok 2 — przesunięcie o $1$ w dół:

$$ZW=\langle-3,\ 1\rangle$$

Krok 3 — wartości skrajne: max $1$, min $-3$.

Odpowiedź: $ZW=\langle-3,1\rangle$, max $1$, min $-3$.

Dla okręgu o promieniu $r$ współrzędne to $(r\cos\alpha,\ r\sin\alpha)$:

$$x=2\cos\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$$

$$y=2\sin\frac{\pi}{6}=2\cdot\frac12=1$$

Odpowiedź: $(\sqrt3,\ 1)$.

Odjęcie $2$ od funkcji to przesunięcie o $2$ w dół, czyli wektor $[0,\ -2]$.

Odpowiedź: D. $[0,\ -2]$.

Ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x$$

Interpretacja: przesunięcie sinusa o $\frac{\pi}{2}$ w lewo daje wykres cosinusa.

Sprawdzenie dla $x=0$: $\sin\frac{\pi}{2}=1=\cos0$ ✔

Odpowiedź: $\cos x$.

$$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$$

Odpowiedź: B. $\frac{\pi}{2}$.

Krok 1 — przyrównujemy do zera:

$$\cos x+1=0 \quad\Rightarrow\quad \cos x=-1$$

Krok 2 — kiedy cosinus wynosi $-1$:

$$x=\pi$$

Interpretacja: wykres $\cos x+1$ dotyka osi $OX$ tylko w najniższym punkcie — dla $x=\pi$.

Odpowiedź: $x=\pi$.

Przekształcenie: znak minus odbija wykres względem osi $OX$ (wartości zmieniają znak).

Wartość w $x=0$:

$$y=-\cos0=-1$$

Interpretacja: tam gdzie cosinus ma maksimum ($1$), $-\cos x$ ma minimum ($-1$).

Odpowiedź: odbicie względem osi $OX$; $y(0)=-1$.

Amplituda to współczynnik przy sinusie:

$$A=4$$

Zbiór wartości to $\langle-4,\ 4\rangle$.

Odpowiedź: A. $4$.

Krok 1 — sprowadzamy kąt do jednego obrotu. Odejmujemy pełny obrót $2\pi$:

$$\frac{5\pi}{2}-2\pi=\frac{5\pi}{2}-\frac{4\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$$

Krok 2 — współrzędne dla $\frac{\pi}{2}$:

$$(\cos\tfrac{\pi}{2},\ \sin\tfrac{\pi}{2})=(0,\ 1)$$

Interpretacja: obrót o $\frac{5\pi}{2}$ to jeden pełny obrót plus ćwierć — kończy na szczycie okręgu.

Odpowiedź: $(0,\ 1)$.

Ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin(x-\pi)=-\sin x$$

Interpretacja: przesunięcie o $\pi$ (połowa okresu) odwraca wykres sinusa.

Odpowiedź: C. $-\sin x$.

Krok 1 — amplituda: $A=3$.

Krok 2 — zbiór wartości. $\langle-3,3\rangle$ przesunięte o $2$ w górę:

$$ZW=\langle-1,\ 5\rangle$$

Krok 3 — wartość największa. Gdy $\cos x=1$, czyli $x=0$:

$$y=3\cdot1+2=5$$

Odpowiedź: $A=3$, $ZW=\langle-1,5\rangle$, max $5$ w $x=0$.

Krok 1 — kąt obrotu. Pełny obrót ($2\pi$) trwa $60$ minut, więc $15$ minut to ćwierć obrotu:

$$\alpha=\frac{15}{60}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}$$

Krok 2 — droga końca wskazówki to długość łuku:

$$l=r\alpha=10\cdot\frac{\pi}{2}=5\pi\approx15{,}7\ \text{cm}$$

Interpretacja. Koniec wskazówki porusza się ruchem jednostajnym po okręgu — w $15$ min pokonuje ćwierć obwodu.

Odpowiedź: kąt $\frac{\pi}{2}$, droga $5\pi$ cm.

Krok 1 — składowa pozioma. $x-\frac{\pi}{6}$ oznacza przesunięcie o $\frac{\pi}{6}$ w prawo.

Krok 2 — składowa pionowa. $+1$ to przesunięcie o $1$ w górę.

Krok 3 — wektor:

$$\vec{u}=\left[\frac{\pi}{6},\ 1\right]$$

Krok 4 — zbiór wartości. Przesunięcie poziome nie zmienia zakresu, pionowe podnosi go o $1$:

$$ZW=\langle0,\ 2\rangle$$

Uwaga. Amplituda pozostaje $1$ (brak współczynnika przed sinusem), więc zbiór wartości ma „szerokość" $2$.

Odpowiedź: wektor $\left[\frac{\pi}{6},1\right]$, $ZW=\langle0,2\rangle$.

Krok 1 — współrzędne punktu. Punkt na okręgu jednostkowym odpowiadający kątowi $\alpha$ ma współrzędne:

$$x=\cos\alpha,\qquad y=\sin\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy do wyrażenia $x^2+y^2$:

$$x^2+y^2=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 \qquad ∎$$

Interpretacja. To dowód, że definicja sinusa i cosinusa przez okrąg jednostkowy jest spójna z równaniem tego okręgu $x^2+y^2=1$. Jedynka trygonometryczna to po prostu twierdzenie Pitagorasa dla promienia jednostkowego.

Sprawdzenie dla $\alpha=\frac{\pi}{4}$: $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac12+\frac12=1$ ✔

Wzór na sumę sinusów zamienia sumę na iloczyn:

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Zapamiętaj: „suma sinusów — sinus półsumy razy cosinus półróżnicy".

Odpowiedź: B.

Krok 1 — wzór na sumę sinusów:

$$\sin70^\circ+\sin10^\circ=2\sin\frac{70^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ-10^\circ}{2}$$

Krok 2 — obliczamy kąty:

$$=2\sin40^\circ\cos30^\circ$$

Odpowiedź: $2\sin40^\circ\cos30^\circ$.

Różnica cosinusów ma charakterystyczny znak minus:

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Uwaga: to jedyny z czterech wzorów z minusem z przodu.

Odpowiedź: A.

Odejmujemy pełny obrót $360^\circ$:

$$450^\circ-360^\circ=90^\circ$$

Interpretacja: obrót o $450^\circ$ to jeden pełny obrót plus $90^\circ$ — kończy się w tym samym miejscu co $90^\circ$.

Odpowiedź: $90^\circ$.

Suma cosinusów to iloczyn dwóch cosinusów:

$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Odpowiedź: C.

$$\cos50^\circ+\cos10^\circ=2\cos\frac{50^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{50^\circ-10^\circ}{2}=2\cos30^\circ\cos20^\circ$$

Odpowiedź: $2\cos30^\circ\cos20^\circ$.

Krok 1 — wzór na sumę sinusów:

$$\sin75^\circ+\sin15^\circ=2\sin\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\cos\frac{75^\circ-15^\circ}{2}$$

Krok 2 — obliczamy kąty:

$$=2\sin45^\circ\cos30^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{2}$$

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6}{2}\approx1{,}22$.

Wzór na różnicę sinusów:

$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Podstawiamy:

$$\sin40^\circ-\sin20^\circ=2\cos30^\circ\sin10^\circ$$

Uwaga na kolejność: w różnicy sinusów cosinus jest z półsumy, a sinus z półróżnicy — odwrotnie niż w sumie.

Odpowiedź: $2\cos30^\circ\sin10^\circ$.

Dodajemy pełny obrót:

$$-30^\circ+360^\circ=330^\circ$$

Interpretacja: obrót o $30^\circ$ w przeciwną stronę kończy się w tym samym miejscu co obrót o $330^\circ$ zgodnie z ruchem.

Odpowiedź: D. $330^\circ$.

Krok 1 — suma cosinusów:

$$\cos75^\circ+\cos15^\circ=2\cos45^\circ\cos30^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt6}{2}$$

Ciekawostka: $\cos75^\circ+\cos15^\circ$ i $\sin75^\circ+\sin15^\circ$ dają tę samą wartość $\frac{\sqrt6}{2}$.

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6}{2}$.

$$720^\circ=2\cdot360^\circ$$

To dwa pełne obroty — koniec w położeniu wyjściowym ($0^\circ$).

Odpowiedź: A. dwóm pełnym obrotom.

Krok 1 — zamieniamy sumy na iloczyny:

$$\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}$$

Krok 2 — skracamy wspólne czynniki ($2$ i $\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$):

$$\frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}=\operatorname{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}$$

Elegancki wynik. Zamiana sum na iloczyny pozwoliła skrócić ułamek do jednego tangensa.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Wzór na różnicę cosinusów:

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

Podstawiamy:

$$\cos20^\circ-\cos80^\circ=-2\sin50^\circ\sin(-30^\circ)$$

Upraszczamy ($\sin(-30^\circ)=-\sin30^\circ$):

$$=-2\sin50^\circ\cdot(-\tfrac12)=\sin50^\circ$$

Odpowiedź: $\sin50^\circ$.

Dla małych kątów sinus jest bliski zeru:

$$\sin1^\circ\approx0{,}0175$$

Przybliżenie dla małych kątów: $\sin x\approx x$ (w radianach) — dla bardzo małych argumentów.

Odpowiedź: B. bliska $0$.

Krok 1 — suma sinusów:

$$\sin3x+\sin x=2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}=2\sin2x\cos x$$

Krok 2 — równanie:

$$2\sin2x\cos x=0$$

Krok 3 — iloczyn zerowy:

$$\sin2x=0 \quad\text{lub}\quad \cos x=0$$

$$2x=k\pi \ \Rightarrow\ x=\frac{k\pi}{2},\qquad x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

Wniosek: rozwiązania $\cos x=0$ zawierają się już w $x=\frac{k\pi}{2}$, więc pełny zbiór to $x=\frac{k\pi}{2}$.

Odpowiedź: $x=\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.

$$390^\circ-360^\circ=30^\circ$$

Kąty różniące się o pełny obrót mają to samo ramię końcowe, więc te same wartości funkcji trygonometrycznych.

Odpowiedź: C. $30^\circ$.

Krok 1 — lewa strona przez wzór na sumę sinusów:

$$\sin50^\circ+\sin10^\circ=2\sin\frac{50^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{50^\circ-10^\circ}{2}$$

Krok 2 — obliczamy kąty:

$$=2\sin30^\circ\cos20^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy $\sin30^\circ=\frac12$:

$$=2\cdot\frac12\cdot\cos20^\circ=\cos20^\circ \qquad ∎$$

Klucz do dowodu. Pojawienie się $\sin30^\circ=\frac12$ skróciło mnożnik $2$ — dlatego dobór kątów o półsumie $30^\circ$ dawał ładny wynik.

Sprawdzenie numeryczne: $0{,}766+0{,}174\approx0{,}940$, a $\cos20^\circ\approx0{,}940$ ✔

Krok 1 — różnica cosinusów:

$$\cos5x-\cos x=-2\sin\frac{5x+x}{2}\sin\frac{5x-x}{2}=-2\sin3x\sin2x$$

Krok 2 — równanie:

$$-2\sin3x\sin2x=0$$

Krok 3 — iloczyn zerowy:

$$\sin3x=0 \quad\text{lub}\quad \sin2x=0$$

Krok 4 — rozwiązania:

$$3x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{3},\qquad 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi}{2}$$

Odpowiedź: $x=\frac{k\pi}{3}$ lub $x=\frac{k\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Krok 1 — licznik przez różnicę sinusów:

$$\sin3x-\sin x=2\cos2x\sin x$$

Krok 2 — mianownik przez sumę cosinusów:

$$\cos3x+\cos x=2\cos2x\cos x$$

Krok 3 — dzielimy i skracamy ($2\cos2x$):

$$\frac{2\cos2x\sin x}{2\cos2x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg}x$$

Metoda. Zamiana sum i różnic na iloczyny to standardowy sposób na upraszczanie takich ułamków — wspólne czynniki się skracają.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}x$.

Krok 1 — pomysł. Oznaczmy $p=\frac{\alpha+\beta}{2}$ i $q=\frac{\alpha-\beta}{2}$. Wtedy $\alpha=p+q$ oraz $\beta=p-q$.

Krok 2 — rozpisujemy oba sinusy wzorami na sumę i różnicę:

$$\sin\alpha=\sin(p+q)=\sin p\cos q+\cos p\sin q$$

$$\sin\beta=\sin(p-q)=\sin p\cos q-\cos p\sin q$$

Krok 3 — dodajemy stronami. Składniki $\cos p\sin q$ się znoszą:

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin p\cos q$$

Krok 4 — wracamy do $\alpha$, $\beta$:

$$=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \qquad ∎$$

Uwaga. Analogicznie, odejmując te równania, otrzymamy wzór na różnicę sinusów — wszystkie cztery wzory pochodzą z tego samego podstawienia.

Sprawdzenie dla $\alpha=\beta$: lewa strona $2\sin\alpha$, prawa $2\sin\alpha\cos0=2\sin\alpha$ ✔

Podstawowa tożsamość trygonometryczna:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$

Skąd: to twierdzenie Pitagorasa w kole jednostkowym.

Odpowiedź: B.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Kąt ostry → cosinus dodatni:

$$\cos x=\frac45$$

Odpowiedź: $\cos x=\frac45$.

Z definicji tangensa:

$$\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

Założenie: $\cos x\neq0$.

Odpowiedź: C. $\operatorname{tg}x$.

Z jedynki trygonometrycznej, dla dowolnego kąta:

$$\sin^2 30^\circ+\cos^2 30^\circ=1$$

Sprawdzenie: $\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

Przekształcamy jedynkę trygonometryczną:

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1 \quad\Rightarrow\quad \sin^2 x=1-\cos^2 x$$

Odpowiedź: A. $\sin^2 x$.

$$\sin^2 x=1-\left(\frac{12}{13}\right)^2=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$$

$$\sin x=\frac{5}{13}$$

Odpowiedź: $\sin x=\frac{5}{13}$.

Krok 1 — zamieniamy tangens na $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\sin x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}+\cos x=\frac{\sin^2 x}{\cos x}+\cos x$$

Krok 2 — wspólny mianownik:

$$\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos x}$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\frac{1}{\cos x}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{\cos x}$.

Skracamy $\sin x$ i $\cos x$:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=1$$

Interpretacja: to iloczyn $\operatorname{tg}x$ i $\operatorname{ctg}x$, które są swoimi odwrotnościami.

Odpowiedź: $1$.

Wzór na sinus sumy:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Uwaga: odpowiedź C to wzór na $\cos(\alpha+\beta)$.

Odpowiedź: D.

Krok 1 — przekształcamy licznik jedynką trygonometryczną:

$$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\frac{\sin^2 x}{\sin x}$$

Krok 3 — skracamy:

$$\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x \qquad ∎$$

Wniosek: tożsamość zachodzi dla każdego $x$, dla którego $\sin x\neq0$.

Wzór na sinus podwojonego kąta:

$$\sin2x=2\sin x\cos x$$

Odpowiedź: B. $2\sin x\cos x$.

Sinus podwojonego kąta:

$$\sin2x=2\cdot0{,}6\cdot0{,}8=0{,}96$$

Cosinus podwojonego kąta:

$$\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x=0{,}64-0{,}36=0{,}28$$

Kontrola jedynką: $0{,}96^2+0{,}28^2=0{,}9216+0{,}0784=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin2x=0{,}96$, $\cos2x=0{,}28$.

Krok 1 — redukujemy wyrazy z $\sin^2 x$:

$$\cos^2 x+\sin^2 x$$

Krok 2 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$

Odpowiedź: $1$.

Rozpisujemy tangens:

$$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x$$

Odpowiedź: A. $\sin x$.

Wzór na cosinus sumy:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Podstawiamy:

$$\cos75^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0{,}259$.

Jedna z postaci wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$$\cos2x=2\cos^2 x-1$$

Wyprowadzenie: z $\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ i $\sin^2 x=1-\cos^2 x$.

Odpowiedź: C. $2\cos^2 x-1$.

Krok 1 — wspólny mianownik $\sin x(1+\cos x)$:

$$\frac{\sin^2 x+(1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$$

Krok 2 — rozwijamy licznik:

$$\sin^2 x+1+2\cos x+\cos^2 x$$

Krok 3 — grupujemy jedynkę trygonometryczną:

$$\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)+1+2\cos x=1+1+2\cos x=2+2\cos x$$

Krok 4 — wyłączamy $2$ i skracamy:

$$\frac{2(1+\cos x)}{\sin x(1+\cos x)}=\frac{2}{\sin x} \qquad ∎$$

Kluczowy moment. Czynnik $(1+\cos x)$ skrócił się — to dlatego licznik trzeba było rozwinąć i zwinąć jedynką trygonometryczną.

Wniosek: obie strony są równe $\frac{2}{\sin x}$, więc tożsamość zachodzi dla wszystkich dopuszczalnych $x$.

Krok 1 — związek tangensa z sinusem i cosinusem:

$$\frac{\sin x}{\cos x}=2 \quad\Rightarrow\quad \sin x=2\cos x$$

Krok 2 — podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:

$$(2\cos x)^2+\cos^2 x=1 \quad\Rightarrow\quad 5\cos^2 x=1$$

Krok 3 — wyznaczamy cosinus (ostry → dodatni):

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}$$

Krok 4 — sinus:

$$\sin x=2\cos x=\frac{2\sqrt5}{5}$$

Kontrola: $\frac{4\cdot5}{25}+\frac{5}{25}=\frac{25}{25}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin x=\frac{2\sqrt5}{5}$, $\cos x=\frac{\sqrt5}{5}$.

Krok 1 — zauważamy dopełnienie do $90^\circ$. Kąty $10^\circ$ i $80^\circ$ dopełniają się, a ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin80^\circ=\cos10^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\sin^2 10^\circ+\sin^2 80^\circ=\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2 10^\circ+\cos^2 10^\circ=1$$

Sprytny trik. Nie trzeba znać wartości $\sin10^\circ$ — wystarczyło rozpoznać dopełnienie kątów i zastosować jedynkę.

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — zapisujemy $2x$ jako sumę:

$$\sin2x=\sin(x+x)$$

Krok 2 — stosujemy wzór na sinus sumy:

$$\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x$$

Krok 3 — redukujemy identyczne składniki:

$$\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x \qquad ∎$$

Uwaga. Analogicznie ze wzoru na cosinus sumy dostajemy $\cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ — wszystkie wzory na kąt podwojony pochodzą ze wzorów na sumę kątów.

Sprawdzenie dla $x=30^\circ$: $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, a $2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Sinus przyjmuje wszystkie wartości od $-1$ do $1$ włącznie:

$$ZW=\langle-1,\ 1\rangle$$

Odpowiedź: C. $\langle-1,\ 1\rangle$.

Największa wartość $1$ dla $x=0$.

Najmniejsza wartość $-1$ dla $x=\pi$.

Odpowiedź: max $1$ w $x=0$, min $-1$ w $x=\pi$.

Amplituda to współczynnik przy sinusie — o tyle wykres rozciąga się w pionie:

$$A=3$$

Zbiór wartości funkcji $3\sin x$ to $\langle-3,\ 3\rangle$.

Odpowiedź: B. $3$.

Dodanie liczby do całej funkcji przesuwa wykres w pionie o tę liczbę:

$$y=\sin x+2 \Rightarrow \text{przesunięcie o } 2 \text{ w górę}$$

Zbiór wartości przesuwa się na $\langle1,\ 3\rangle$.

Odpowiedź: A. o $2$ w górę.

Amplituda $2$ rozciąga wykres cosinusa w pionie:

$$ZW=\langle-2,\ 2\rangle$$

Odpowiedź: $\langle-2,\ 2\rangle$.

Cosinus, tak jak sinus, ma okres $2\pi$:

$$\cos(x+2\pi)=\cos x$$

Odpowiedź: D. $2\pi$.

Krok 1 — przesunięcie. Odjęcie $\frac{\pi}{2}$ od argumentu przesuwa wykres o $\frac{\pi}{2}$ w prawo.

Krok 2 — rozpoznanie. Ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x$$

Interpretacja. Przesunięty sinus pokrywa się z wykresem $-\cos x$ — to ilustracja związku między sinusem a cosinusem.

Odpowiedź: przesunięcie o $\frac{\pi}{2}$ w prawo; to funkcja $-\cos x$.

Dla $y=\sin(bx)$ okres to $\frac{2\pi}{|b|}$:

$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$$

Interpretacja: współczynnik $2$ „ściska" wykres poziomo dwukrotnie.

Odpowiedź: B. $\pi$.

Krok 1 — przesunięcie o $1$ w górę. Zbiór wartości sinusa $\langle-1,\ 1\rangle$ przesuwa się:

$$ZW=\langle0,\ 2\rangle$$

Krok 2 — wartości skrajne:

$$\text{max}=2,\qquad \text{min}=0$$

Odpowiedź: $ZW=\langle0,\ 2\rangle$, max $2$, min $0$.

Ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin(x+\pi)=-\sin x$$

Geometrycznie: przesunięcie o $\pi$ (połowa okresu) odbija wykres sinusa względem osi $OX$.

Odpowiedź: A. $-\sin x$.

Znak minus przed funkcją odbija wykres względem osi $OX$ (wartości zmieniają znak).

Odpowiedź: C. symetrię względem osi $OX$.

Sinus zeruje się w punktach:

$$x=0,\quad x=\pi,\quad x=2\pi$$

W przedziale domkniętym $\langle0,\ 2\pi\rangle$ są trzy miejsca zerowe.

Uwaga na krańce: przedział jest domknięty z obu stron, więc $2\pi$ liczymy.

Odpowiedź: $3$.

Amplituda: $A=2$.

Okres: współczynnik przy $x$ to $1$, więc $T=2\pi$.

Zbiór wartości:

$$ZW=\langle-2,\ 2\rangle$$

Uwaga: amplituda zmienia zbiór wartości, ale nie okres. Okres zależy od współczynnika przy $x$, a nie przed sinusem.

Odpowiedź: $A=2$, $T=2\pi$, $ZW=\langle-2,2\rangle$.

Cosinus spełnia $\cos(-x)=\cos x$, więc jest parzysty — wykres symetryczny względem osi $OY$.

Odpowiedź: B. parzysta.

Ze wzoru redukcyjnego:

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x$$

Interpretacja. Przesunięcie cosinusa o $\frac{\pi}{2}$ w prawo daje wykres sinusa. Sinus i cosinus to ta sama krzywa, przesunięta o ćwierć okresu.

Sprawdzenie dla $x=\frac{\pi}{2}$: $\cos 0=1=\sin\frac{\pi}{2}$ ✔

Odpowiedź: $\sin x$.

Krok 1 — amplituda $3$ daje $\langle-3,\ 3\rangle$.

Krok 2 — przesunięcie o $1$ w dół:

$$\langle-3-1,\ 3-1\rangle=\langle-4,\ 2\rangle$$

Odpowiedź: D. $\langle-4,\ 2\rangle$.

Krok 1 — amplituda: $A=2$.

Krok 2 — zbiór wartości. $\langle-2,\ 2\rangle$ przesunięte o $1$ w dół:

$$ZW=\langle-3,\ 1\rangle$$

Krok 3 — wartość największa. Gdy $\sin x=1$, czyli $x=\frac{\pi}{2}$:

$$y=2\cdot1-1=1$$

Krok 4 — wartość najmniejsza. Gdy $\sin x=-1$, czyli $x=\frac{3\pi}{2}$:

$$y=2\cdot(-1)-1=-3$$

Odpowiedź: $A=2$, $ZW=\langle-3,\ 1\rangle$, max $1$ w $\frac{\pi}{2}$, min $-3$ w $\frac{3\pi}{2}$.

Krok 1 — wektor przesunięcia. Dodanie $\frac{\pi}{3}$ do argumentu przesuwa wykres o $\frac{\pi}{3}$ w lewo:

$$\vec{u}=\left[-\tfrac{\pi}{3},\ 0\right]$$

Krok 2 — miejsca zerowe. Sinus jest zerem, gdy argument to wielokrotność $\pi$:

$$x+\frac{\pi}{3}=k\pi \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{\pi}{3}+k\pi$$

Krok 3 — najbliższe zeru z prawej. Dla $k=1$:

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{2\pi}{3}$$

Uwaga na kierunek. Znak plus w nawiasie oznacza przesunięcie w lewo, nie w prawo — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: wektor $\left[-\frac{\pi}{3},0\right]$, miejsce zerowe $\frac{2\pi}{3}$.

Krok 1 — okres. Współczynnik przy $x$ to $2$:

$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$$

Krok 2 — amplituda i przesunięcie. Amplituda $3$, przesunięcie o $1$ w górę.

Krok 3 — zbiór wartości. Cosinus daje $\langle-1,1\rangle$, po pomnożeniu przez $3$: $\langle-3,3\rangle$, po przesunięciu o $1$:

$$ZW=\langle-2,\ 4\rangle$$

Uwaga. Okres zależy tylko od współczynnika przy $x$ ($2$), a zbiór wartości od amplitudy ($3$) i przesunięcia ($+1$) — to niezależne parametry.

Odpowiedź: $T=\pi$, $ZW=\langle-2,\ 4\rangle$.

Krok 1 — definicja okresu. Funkcja $f$ ma okres $T$, gdy $f(x+T)=f(x)$ dla każdego $x$.

Krok 2 — własność sinusa. Z definicji sinusa na okręgu jednostkowym pełny obrót o $2\pi$ wraca do tego samego punktu:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$

Warunek jest spełniony dla każdego $x$, więc $2\pi$ jest okresem.

Krok 3 — najmniejszy okres. Żadna mniejsza dodatnia liczba nie jest okresem — np. $\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)=-1\neq\sin\frac{\pi}{2}=1$, więc $\pi$ okresem nie jest. Zatem $2\pi$ to najmniejszy okres dodatni.

Krok 4 — powtarzalność wykresu. Skoro $\sin(x+2\pi)=\sin x$, to fragment wykresu nad dowolnym przedziałem $\langle a,\ a+2\pi)$ jest identyczny jak nad $\langle0,\ 2\pi)$ — wystarczy przesunąć argument o $2\pi$. $\qquad ∎$

Wniosek: wykres sinusa to nieskończone powtórzenie jednego „zęba" o szerokości $2\pi$.

To podstawowy wzór redukcyjny — kąty $\alpha$ i $90^\circ-\alpha$ dopełniają się do kąta prostego:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Skąd to wynika: w trójkącie prostokątnym oba kąty ostre dopełniają się do $90^\circ$, a sinus jednego jest cosinusem drugiego.

Sprawdzenie: $\sin60^\circ=\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: B. $\cos\alpha$.

Krok 1 — zapisujemy kąt w dogodnej postaci:

$$150^\circ=180^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór redukcyjny:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12$$

Kontrola ćwiartką: $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni ✔

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$120^\circ=180^\circ-60^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\frac12$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce cosinus jest ujemny ✔

Odpowiedź: $-\frac12$.

Kąt $180^\circ-\alpha$ leży w drugiej ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, a jego wartość bezwzględna nie zmienia się:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Porównaj z sinusem: $\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$ — bez minusa, bo sinus w drugiej ćwiartce pozostaje dodatni.

Odpowiedź: B. $-\cos\alpha$.

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

Jak je zapamiętać. W sinusie funkcje się „mieszają” ($\sin\cos+\cos\sin$), a znak zgadza się ze znakiem w nawiasie. W cosinusie funkcje występują parami ($\cos\cos-\sin\sin$), a znak jest przeciwny do tego w nawiasie.

Odpowiedź: jak wyżej.

Wystarczy podstawić $\beta=\alpha$ we wzorze na sinus sumy:

$$\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$

Częsty błąd: $\sin2\alpha\neq2\sin\alpha$. Sprawdź dla $\alpha=30^\circ$: $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87$, a $2\sin30^\circ=1$.

Odpowiedź: C. $2\sin\alpha\cos\alpha$.

Krok 1 — rozkładamy na kąty znane:

$$75^\circ=45^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — stosujemy wzór na sinus sumy:

$$\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}$$

Krok 4 — zapisujemy jednym ułamkiem:

$$\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966$$

Kontrola sensu: $75^\circ$ jest blisko $90^\circ$, więc sinus powinien być bliski $1$ ✔

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Krok 1 — rozkładamy kąt:

$$15^\circ=45^\circ-30^\circ$$

Krok 2 — wzór na cosinus różnicy:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\cos15^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0{,}966$$

Warto zauważyć: $\cos15^\circ=\sin75^\circ$ — bo kąty $15^\circ$ i $75^\circ$ dopełniają się do $90^\circ$.

Odpowiedź: $\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$135^\circ=180^\circ-45^\circ$$

Krok 2 — wzór redukcyjny:

$$\operatorname{tg}\left(180^\circ-\alpha\right)=-\operatorname{tg}\alpha$$

$$\operatorname{tg}135^\circ=-\operatorname{tg}45^\circ=-1$$

Kontrola ćwiartką: w drugiej ćwiartce tangens jest ujemny, bo sinus jest dodatni, a cosinus ujemny ✔

Odpowiedź: B. $-1$.

Krok 1 — pierwszy składnik:

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — drugi składnik:

$$\cos\left(180^\circ-\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — sumujemy:

$$\cos\alpha+\left(-\cos\alpha\right)=0$$

Sprawdzenie dla $\alpha=30^\circ$: $\sin120^\circ+\cos150^\circ=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0$ ✔

Odpowiedź: $0$ dla każdego $\alpha$.

Krok 1 — punkt wyjścia:

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$

Krok 2 — korzystamy z jedynki trygonometrycznej $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$:

$$\cos2\alpha=\left(1-\sin^2\alpha\right)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=30^\circ$: $1-2\cdot\frac14=\frac12=\cos60^\circ$ ✔

Uwaga: odpowiedź B to $-\cos2\alpha$ — łatwo pomylić kolejność odejmowania.

Odpowiedź: A. $1-2\sin^2\alpha$.

Krok 1 — wyznaczamy cosinus z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2\alpha=1-\left(\frac35\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Krok 2 — wybieramy znak. Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac45$$

Krok 3 — wzór na sinus podwojonego kąta:

$$\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}=0{,}96$$

Odpowiedź: $\sin2\alpha=\frac{24}{25}$.

Krok 1 — rozbijamy kąt:

$$210^\circ=180^\circ+30^\circ$$

Krok 2 — wzory redukcyjne dla trzeciej ćwiartki:

$$\sin\left(180^\circ+\alpha\right)=-\sin\alpha,\qquad \cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\sin210^\circ=-\frac12,\qquad \cos210^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Kontrola ćwiartką: w trzeciej ćwiartce obie funkcje są ujemne ✔

Odpowiedź: $-\frac12$ oraz $-\frac{\sqrt3}{2}$.

Sinus jest funkcją nieparzystą, więc zmiana znaku argumentu zmienia znak wartości:

$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$

Cosinus zachowuje się inaczej — jest funkcją parzystą, więc $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$.

Na wykresie: sinus jest symetryczny względem początku układu, a cosinus względem osi $OY$.

Odpowiedź: B. $-\sin\alpha$.

Krok 1 — redukujemy licznik:

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

Krok 2 — redukujemy mianownik:

$$\sin\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 3 — składamy:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$$

Założenie: $\cos\alpha\neq0$, czyli $\alpha\neq90^\circ+k\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha$.

We wzorze na cosinus znak jest przeciwny do tego w nawiasie:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Sprawdzenie skrajnym przypadkiem: dla $\beta=\alpha$ dostajemy $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$, a przecież $\cos0^\circ=1$ ✔

Uwaga: odpowiedź D to wzór na $\sin(\alpha+\beta)$.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — rozkładamy na kąty znane:

$$105^\circ=60^\circ+45^\circ$$

Krok 2 — wzór na cosinus sumy:

$$\cos105^\circ=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ$$

Krok 3 — podstawiamy wartości:

$$=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{4}-\frac{\sqrt6}{4}$$

Krok 4 — jeden ułamek:

$$\cos105^\circ=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\approx-0{,}259$$

Kontrola znaku: $105^\circ$ leży w drugiej ćwiartce, więc cosinus musi być ujemny — i jest, bo $\sqrt6>\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$.

Krok 1 — cosinus podwojonego kąta. Wybieramy postać zależną tylko od cosinusa:

$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{32}{25}-\frac{25}{25}=\frac{7}{25}$$

Krok 2 — wyznaczamy sinus. Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, więc:

$$\sin\alpha=\frac35$$

Krok 3 — sinus podwojonego kąta:

$$\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}$$

Kontrola jedynką: $\left(\frac{7}{25}\right)^2+\left(\frac{24}{25}\right)^2=\frac{49+576}{625}=\frac{625}{625}=1$ ✔

Uwaga na ćwiartkę. Znak sinusa musieliśmy odczytać z położenia kąta — sama jedynka trygonometryczna daje dwie możliwości.

Odpowiedź: $\cos2\alpha=\frac{7}{25}$, $\sin2\alpha=-\frac{24}{25}$.

Krok 1 — redukujemy każdy czynnik osobno:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\sin\alpha\cdot\sin\alpha+\left(-\cos\alpha\right)\cdot\cos\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha$$

Krok 3 — rozpoznajemy wzór:

$$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)=-\cos2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=45^\circ$: wyrażenie wyjściowe daje $\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=0$, a $-\cos90^\circ=0$ ✔

Odpowiedź: $-\cos2\alpha$.

Krok 1 — rozpisujemy lewą stronę. Pierwszy składnik:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Krok 2 — drugi składnik:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

Krok 3 — dodajemy. Składniki z $\cos\alpha\sin\beta$ mają przeciwne znaki i się redukują:

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=2\sin\alpha\cos\beta \qquad ∎$$

Do czego to służy. Wzór czytany od prawej do lewej zamienia iloczyn na sumę — a sumy łatwiej się całkuje i rozwiązuje w równaniach trygonometrycznych. Analogicznie odejmowanie tych wzorów daje $\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$.

Sprawdzenie dla $\alpha=60^\circ$, $\beta=30^\circ$: lewa strona to $\sin90^\circ+\sin30^\circ=1+\frac12=\frac32$, prawa $2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac32$ ✔