Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Wyraz o numerze $n$ oznaczamy $a_n$. Ciąg można zadać wzorem ogólnym (jawnym) albo rekurencyjnym.
Ciąg arytmetyczny
Stała różnica $r$ między kolejnymi wyrazami:
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Własność charakterystyczna: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.
Ciąg geometryczny
Stały iloraz $q$ kolejnych wyrazów:
$$a_n=a_1q^{n-1}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad(q\ne1)$$
Własność: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Szereg geometryczny
Dla $|q|\lt 1$ suma nieskończenie wielu wyrazów jest skończona:
To bezpośrednie zastosowanie ciągu geometrycznego — kapitał rośnie geometrycznie.
Na co uważać
We wzorze ogólnym ciągu arytmetycznego jest $(n-1)r$, a nie $nr$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy. Wzór na sumę ciągu geometrycznego nie działa dla $q=1$ (dzielenie przez zero) — ten przypadek rozpatruj osobno. Przy szeregu najpierw sprawdź warunek $|q|\lt 1$.
Ciągi arytmetyczne i geometryczne — wzory i zastosowania
Dwa rodzaje ciągów
Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.
Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.
To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Sprytne podstawienia
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Monotoniczność
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r\lt 0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
Szereg geometryczny
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|\lt 1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q\lt 1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
Procent składany
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Spadek wartości
Ten sam wzór z $q\lt 1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Na co uważać
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|\lt 1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Sprawdzenie: $a_{10}=39$, a $S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot10=210$ ✔
Odpowiedź: $10$ wyrazów.
Zadanie nr 11
Ciąg arytmetyczny jest malejący dokładnie wtedy, gdy:
A$a_1\lt 0$
B$r\lt 0$
C$r>0$
D$a_1>r$
Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie $r$:
$$a_{n+1}-a_n=r$$
Ciąg maleje, gdy ta różnica jest ujemna, czyli gdy $r\lt 0$.
Pierwszy wyraz nie ma znaczenia — ciąg $-5$, $-2$, $1$, $4$ zaczyna się od liczby ujemnej, a mimo to rośnie.
Odpowiedź: B. $r\lt 0$.
Zadanie nr 12
W ciągu arytmetycznym suma pierwszego i piątego wyrazu wynosi $16$, a trzeci wyraz to $a_3$. Wyznacz $a_3$.
Krok 1 — zapisujemy oba wyrazy przez $a_3$:
$$a_1=a_3-2r,\qquad a_5=a_3+2r$$
Krok 2 — dodajemy. Składniki z $r$ się znoszą:
$$a_1+a_5=2a_3=16$$
Krok 3 — wynik:
$$a_3=8$$
Warto zapamiętać. W ciągu arytmetycznym wyrazy równo oddalone od danego wyrazu sumują się do jego podwojonej wartości — to bardzo częsty motyw w zadaniach.
Odpowiedź: $a_3=8$.
Zadanie nr 13
Widownia teatru ma $25$ rzędów. W pierwszym jest $18$ miejsc, a w każdym następnym o $2$ więcej. Ile miejsc ma cała widownia?
Krok 1 — dane: $a_1=18$, $r=2$, $n=25$.
Krok 2 — ostatni rząd:
$$a_{25}=18+24\cdot2=66$$
Krok 3 — suma:
$$S_{25}=\frac{18+66}{2}\cdot25=42\cdot25=1050$$
Odpowiedź: $1050$ miejsc.
Zadanie nr 14
Wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to:
A$S_n=a_1\cdot n$
B$S_n=\frac{a_1\cdot a_n}{2}$
C$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$
D$S_n=a_1+(n-1)r$
Sumę liczymy jako liczbę wyrazów razy ich średnia:
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Skąd to się bierze: parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd. — każda para ma tę samą sumę $a_1+a_n$.
Uwaga: odpowiedź D to wzór na wyraz ogólny, nie na sumę.
Odpowiedź: C. $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
Zadanie nr 15
Oblicz sumę wszystkich liczb parzystych od $2$ do $200$.
Krok 1 — ile jest składników:
$$n=\frac{200}{2}=100$$
Krok 2 — suma:
$$S=\frac{2+200}{2}\cdot100=101\cdot100=10\,100$$
Odpowiedź: $10\,100$.
Zadanie nr 16
Ciąg dany wzorem $a_n=4n-1$ jest arytmetyczny o różnicy:
A$4$
B$-1$
C$3$
D$5$
Liczymy różnicę kolejnych wyrazów:
$$a_{n+1}-a_n=\bigl[4(n+1)-1\bigr]-(4n-1)=4$$
Reguła. Gdy wzór ma postać $a_n=pn+q$, ciąg jest arytmetyczny, a różnica to współczynnik $p$ przy $n$.
Sprawdzenie: $3$, $7$, $11$, $15$ ✔
Odpowiedź: A. $r=4$.
Zadanie nr 17
Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi $30$, a ich iloczyn $840$. Wyznacz te wyrazy.
Krok 1 — sprytny zapis. Oznaczmy wyrazy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy suma nie zależy od $r$:
Krok 5 — interpretacja. Po $10$ dniach mamy $(37+30)\cdot10=670$ płytek — jeszcze za mało. Jedenastego dnia robotnik ułoży $a_{11}=40+60=100$ płytek, więc próg $700$ zostanie przekroczony w trakcie jedenastego dnia.
Odpowiedź: potrzeba $11$ dni pracy.
Zadanie nr 20
Wykaż, że suma $n$ początkowych liczb nieparzystych jest równa $n^2$.
Krok 1 — opis ciągu. Kolejne liczby nieparzyste to ciąg arytmetyczny:
Wniosek. Częstsza kapitalizacja daje więcej, bo odsetki zaczynają procentować wcześniej. Efektywna stopa roczna to tu około $12{,}55\%$.
Odpowiedź: około $5627{,}54$ zł, czyli o $27{,}54$ zł więcej.
Zadanie nr 18
Liczby $x-1$, $x+1$, $2x+4$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$.
Krok 1 — warunek na wyraz środkowy:
$$(x+1)^2=(x-1)(2x+4)$$
Krok 2 — rozwijamy obie strony:
$$x^2+2x+1=2x^2+4x-2x-4=2x^2+2x-4$$
Krok 3 — porządkujemy:
$$0=x^2-5 \quad\Rightarrow\quad x^2=5$$
$$x=\sqrt5 \quad\text{lub}\quad x=-\sqrt5$$
Krok 4 — sprawdzamy założenia. W ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem. Dla $x=\sqrt5\approx2{,}24$ mamy wyrazy $\approx1{,}24$, $\approx3{,}24$, $\approx8{,}47$ — wszystkie niezerowe ✔ Dla $x=-\sqrt5\approx-2{,}24$ wyrazy to $\approx-3{,}24$, $\approx-1{,}24$, $\approx-0{,}47$ — również niezerowe ✔
Odpowiedź: $x=\sqrt5$ lub $x=-\sqrt5$.
Zadanie nr 19
Piłka spuszczona z wysokości $2$ m odbija się za każdym razem na $60\%$ poprzedniej wysokości. Oblicz łączną drogę, jaką przebędzie do zatrzymania.
Krok 1 — pierwszy spadek: $2$ m.
Krok 2 — kolejne odbicia. Każde wzniesienie na wysokość $h$ oznacza drogę $2h$ (w górę i z powrotem). Wysokości tworzą ciąg geometryczny:
Obserwacja: wyrazy rosną i zbliżają się do $1$, ale nigdy jej nie osiągają.
Odpowiedź: $\frac12$, $\frac23$, $\frac34$.
Zadanie nr 6
Który wzór opisuje ciąg $2$, $4$, $6$, $8$, $\dots$?
A$a_n=n+2$
B$a_n=2^n$
C$a_n=2n$
D$a_n=n^2$
Sprawdzamy wzór $a_n=2n$ dla kolejnych $n$:
$$2,\quad 4,\quad 6,\quad 8 \ ✔$$
Pozostałe wzory dają: $3,4,5,6$ (A); $2,4,8,16$ (B); $1,4,9,16$ (D) — tylko pierwsze dwa wyrazy się zgadzają w niektórych przypadkach, co pokazuje, że sprawdzenie jednego wyrazu nie wystarcza.
Sprawdzenie: $1{,}5$; $1\frac13$; $1{,}25$; $1{,}2$ — maleje i pozostaje nad jedynką ✔
Zadanie nr 19
W pierwszym rzędzie kina jest $20$ miejsc, a w każdym następnym o $2$ więcej. Zapisz wzór ogólny i rekurencyjny tego ciągu, a następnie oblicz, ile miejsc jest w rzędzie piętnastym.
Krok 1 — wzór rekurencyjny. Każdy rząd ma o $2$ miejsca więcej niż poprzedni:
$$a_1=20,\qquad a_{n+1}=a_n+2$$
Krok 2 — wzór ogólny. Do pierwszego rzędu dodajemy $(n-1)$ razy po $2$ miejsca:
$$a_n=20+2(n-1)=2n+18$$
Krok 3 — piętnasty rząd:
$$a_{15}=2\cdot15+18=48$$
Kontrola wzoru: $a_1=2+18=20$ ✔
Porównanie obu zapisów. Wzór rekurencyjny lepiej opisuje regułę („o dwa więcej"), ale żeby policzyć $a_{15}$, trzeba przejść przez wszystkie poprzednie. Wzór ogólny daje wynik od razu.
Odpowiedź: $a_n=2n+18$; w rzędzie piętnastym jest $48$ miejsc.
Zadanie nr 20
Dany jest ciąg $a_n=\frac{3n-1}{n}$. Zbadaj jego monotoniczność i wyjaśnij, do jakiej wartości zbliżają się jego wyrazy.
Krok 3 — do czego zbliżają się wyrazy. Gdy $n$ rośnie, $\frac1n$ maleje do zera, więc wyrazy zbliżają się do $3$ — ale nigdy jej nie osiągają, bo $\frac1n$ nigdy nie jest zerem.
Wniosek metodyczny. Rozdzielenie ułamka na część stałą i malejącą ($3-\frac1n$) od razu pokazuje obie odpowiedzi: co rośnie i do czego zmierza. Ten sam chwyt działa dla każdego ciągu postaci $\frac{an+b}{n}$.
Odpowiedź: ciąg jest rosnący, a jego wyrazy zbliżają się do $3$.
Zadanie nr 1
W ciągu arytmetycznym $a_1=3$ i $r=4$. Oblicz $a_{10}$.
A43
B39
C40
D37
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
$$a_{10}=3+9\cdot4=3+36=39$$
Odpowiedź: B. Uwaga: mnożymy przez $n-1=9$, a nie przez $10$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy.
Zadanie nr 2
W ciągu arytmetycznym $a_1=3$ i $r=4$. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów.
Najpierw ostatni wyraz: $a_{10}=3+9\cdot4=39$.
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
$$S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot10=21\cdot10=210$$
Odpowiedź: $S_{10}=210$.
Zadanie nr 3
W ciągu geometrycznym $a_1=2$ i $q=3$. Oblicz $a_5$.
A54
B243
C162
D96
$$a_n=a_1q^{n-1}$$
$$a_5=2\cdot3^4=2\cdot81=162$$
Odpowiedź: C. Wykładnik to $n-1=4$, nie $5$.
Zadanie nr 4
Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=2$ i $q=3$.
Piłka spuszczona z wysokości $9$ m odbija się za każdym razem na $\frac13$ poprzedniej wysokości. Oblicz sumę wszystkich wysokości odbić (bez pierwszego spadku).
Krok 1 — pierwsze odbicie:
$$a_1=9\cdot\frac13=3\ \text{m}$$
Krok 2 — kolejne odbicia tworzą szereg geometryczny o ilorazie $q=\frac13$ (a $|q|\lt 1$, więc zbieżny):
Uwaga. Pierwszy spadek liczymy raz, każde odbicie podwójnie — stąd $a_1=2\cdot(3\cdot\frac23)=4$? Sprawdźmy: pierwsze wzniesienie to $3\cdot\frac23=2$ m, droga w górę i w dół to $4$ m... — przyjmujemy sumę dróg odbić jako $2\cdot\frac{2}{1-\frac23}=2\cdot6=12$? Uporządkujmy w kroku końcowym.
Poprawny rachunek. Wysokości odbić: $2, \frac43, \dots$, suma $=\frac{2}{1-\frac23}=6$. Każdą przebywa dwukrotnie: $2\cdot6=12$. Z pierwszym spadkiem: $3+12=15$ m.
Kluczowy moment. To warunek $|q|\lt 1$ sprawia, że $q^n$ znika w granicy. Dla $|q|\ge1$ potęga nie dąży do zera i szereg jest rozbieżny.
Sprawdzenie: dla $a_1=8$, $q=\frac12$: $S=\frac{8}{1-\frac12}=16$ — zgadza się z zadaniem 2 ✔
📄Zadania z arkuszy 76
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 2 · Matura 2026
Klient wpłacił do banku \(10000\) \(zł\) na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa:
A\(1200 zł\)
B\(1236 zł\)
C\(1836 zł\)
D\(3600 zł\)
Krok 1. Obliczenie kapitału końcowego.
Korzystamy ze wzoru na procent składany, gdzie kapitał początkowy to \(10000\), oprocentowanie to \(0,06\), a liczba lat to \(2\):
$$K_k=10000\cdot(1+0,06)^2=10000\cdot(1,06)^2=10000\cdot1,1236=11236$$
Krok 2. Obliczenie wartości doliczonych odsetek.
Odejmujemy kapitał początkowy od kapitału końcowego:
$$11236-10000=1236$$
Zadanie nr 15 · Matura 2026
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_{1},a_{9},a_{k})\) jest geometryczny. Oblicz \(k\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Obliczenie wyrazów \(a_1\) oraz \(a_9\).
Podstawiając odpowiednie wartości \(n\) do wzoru ciągu, otrzymamy:
$$a_1=3\cdot1+5=3+5=8$$
$$a_9=3\cdot9+5=27+5=32$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_k\).
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$$a_{2}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając znane informacje do tej zależności, otrzymamy:
$$32^2=8\cdot a_{k}$$
$$1024=8\cdot a_{k}$$
$$a_{k}=128$$
Krok 3. Obliczenie \(k\).
Wiemy już, że nasz trzeci wyraz określony jako \(a_{k}\) jest równy \(128\). Celem zadania jest obliczenie ile wynosi to \(k\), czyli tak obrazowo rzecz ujmując, musimy ustalić którym wyrazem ciągu \(a_{n}\) jest liczba \(128\). W tym celu musimy przyrównać \(128\) do wzoru \(a_{n}=3n+5\), otrzymując:
$$3n+5=128$$
$$3n=123$$
$$n=41$$
To oznacza, że jest to \(41.\) wyraz ciągu \(a_{n}\), czyli tym samym \(k=41\).
Zadanie nr 16 · Matura 2026
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). W tym ciągu \(a_{1}=1\) oraz \(a_{5}=17\). Dziewiąty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:
A\(29\)
B\(33\)
C\(34\)
D\(37\)
Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_n=a_1+(n-1)r\), otrzymamy:
$$a_5=a_1+4r$$
$$17=1+4r$$
$$16=4r$$
$$r=4$$
Krok 2. Obliczenie dziewiątego wyrazu ciągu.
Znając różnicę oraz wartość pierwszego wyrazu, obliczenie wartości dziewiątego wyrazu jest już tylko formalnością:
$$a_9=a_1+8r$$
$$a_9=1+8\cdot4$$
$$a_9=1+32$$
$$a_9=33$$
Zadanie nr 17 · Matura 2026
Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek \(a_{3}\cdot a_{6}=18\). Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Iloczyn \(a_{2}\cdot a_{7}\) jest równy \(.........\)
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najlepiej byłoby zauważyć, że \(a_{3}=a_{2}\cdot q\) oraz \(a_{6}=a_{7}:q\). Tym samym moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{3}\cdot a_{6}=18$$
$$(a_{2}\cdot q)\cdot(a_{7}:q)=18$$
$$a_{2}\cdot a_{7}=18$$
Zadanie nr 14 · Matura 2025
Ciąg \((a_{n})\) jest określony następująco:
\begin{cases} a_{1}=2 \\ a_{n+1}=2a_{n}+1 \end{cases}
dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 14.1. (1pkt) Trzeci wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:
Zadanie 14.2. (1pkt) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Już po wypisaniu pierwszych trzech wyrazów widać, że ten ciąg ani nie jest arytmetyczny, ani nie jest geometryczny. Obydwa zdania będą więc fałszem.
Zadanie nr 15 · Matura 2025
Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \((2m+11,\quad m^2+3,\quad 5-m)\) jest arytmetyczny i malejący.
Krok 1. Zapisanie równania.
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Ten ciąg będzie więc arytmetyczny wtedy, gdy spełni powyższą równość. Podstawiając zatem znane nam wyrazy, otrzymamy:
$$m^2+3=\frac{2m+11+5-m}{2}$$
$$m^2+3=\frac{m+16}{2}$$
$$2m^2+6=m+16$$
$$2m^2-m-10=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Jest to równanie w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=2,\;b=-1,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-10)=1-(-80)=1+80=81$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$
Krok 3. Ustalenie, kiedy ciąg będzie malejący.
Wiemy już, że ciąg będzie arytmetyczny, gdy \(m=-2\) oraz gdy \(m=2,5\). Musimy jeszcze ustalić, dla którego z tych przypadków, ciąg ten będzie malejący. Podstawmy zatem wyznaczone \(m\) do wyrażeń z treści zadania i zobaczmy co otrzymamy:
Gdy \(m=-2\):
\(a_{1}=2\cdot(-2)+11=-4+11=7\)
\(a_{2}=(-2)^2+3=4+3=7\)
\(a_{3}=5-(-2)=5+2=7\)
Gdy \(m=2,5\):
\(a_{1}=2\cdot2,5+11=5+11=16\)
\(a_{2}=2,5^2+3=6,25+3=9,25\)
\(a_{3}=5-2,5=2,5\)
Widzimy więc, że dla \(m=-2\) ciąg jest stały, a dla \(m=2,5\) ciąg jest rzeczywiście malejący (różnica tego ciągu będzie równa \(r=-6,75\)). Stąd też jedyną poprawną odpowiedzią do tego zadania będzie \(m=2,5\).
Zadanie nr 16 · Matura 2025
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), w którym \(a_{1}=27\) oraz \(a_{2}=9\). Czwarty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:
A\(\frac{1}{3}\)
B\(1\)
C\(3\)
D\(729\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu \(q\).
Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów naszego ciągu, możemy bez problemu obliczyć iloraz \(q\), zatem:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{9}{27}$$
$$q=\frac{1}{3}$$
Krok 2. Obliczenie wartości czwartego wyrazu ciągu.
Do wartości czwartego wyrazu możemy dojść na różne sposoby. Przykładowo korzystając z własności ciągów geometrycznych moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{2}\cdot q^2$$
$$a_{4}=9\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2$$
$$a_{4}=9\cdot\frac{1}{9}$$
$$a_{4}=1$$
Zadanie nr 15 · Matura 2024
Ciąg $(a_n)$ dany wzorem $a_n=(-1)^n\cdot(n-5)$, $n\ge1$. Oceń: 1) $a_1$ jest dwa razy większy od $a_3$; 2) wszystkie wyrazy są dodatnie.
P/Pobie P
P/F1P 2F
F/P1F 2P
F/Fobie F
Rozwiązanie
$a_1=(-1)(1-5)=4$, $a_3=(-1)^3(3-5)=2$; $4=2\cdot2$ → P.
$a_2=(1)(2-5)=-3\lt 0$ → F.
Odpowiedź: PF
Zadanie nr 15 · Matura 2024
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-1)^n\cdot(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Pierwszy wyraz ciągu \((a_{n})\) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.
P
F
Wszystkie wyrazy ciągu \((a_{n})\) są dodatnie.
P
F
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obliczmy wartość pierwszego i trzeciego wyrazu, podstawiając do wzoru ciągu odpowiednio \(n=1\) oraz \(n=3\):
$$a_{1}=(-1)^1\cdot(1-5)=(-1)\cdot(-4)=4$$
$$a_{3}=(-1)^3\cdot(3-5)=(-1)\cdot(-2)=2$$
Pierwszy wyraz jest więc dwa razy większy od wyrazu trzeciego, zatem zdanie jest prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tu prosta obserwacja pozwala stwierdzić, że na pewno nie wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Przykładowo drugi wyraz tego ciągu będzie ujemny, ponieważ:
$$a_{2}=(-1)^2\cdot(2-5)=1\cdot(-3)=-3$$
Zdanie jest więc fałszem.
Zadanie nr 16 · Matura 2024
Trzywyrazowy ciąg \((12, 6, 2m-1)\) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest:
A.
B.
rosnący
malejący
oraz
1.
2.
3.
\(m=\frac{1}{2}\)
\(m=2\)
\(m=3\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu \(q\) tego ciągu.
Już na pierwszy rzut oka widać, że ciąg musi być malejący, bo drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego. Jednak najpierw ustalmy iloraz \(q\) tego ciągu:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{6}{12}$$
$$q=\frac{1}{2}$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(m\).
Trzeci wyraz ciągu musi być równy \(a_{2}\cdot q\), czyli w naszym przypadku:
$$a_{3}=6\cdot\frac{1}{2}$$
$$a_{3}=3$$
Trzeci wyraz jest opisany wyrażeniem \(2m-1\), a skoro tak, to:
$$2m-1=3$$
$$2m=4$$
$$m=2$$
To oznacza, że ciąg jest malejący oraz \(m=2\).
Zadanie nr 17 · Matura 2024
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).
Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Nas będzie interesować suma piętnastu wyrazów, więc podstawiamy \(n=15\):
$$S_{15}=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15$$
Wiemy, że \(S_{15}=-165\), zatem:
$$-165=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15 \quad\bigg/:15$$
$$-11=\frac{2a_{1}+14r}{2}$$
$$-22=2a_{1}+14r$$
$$-11=a_{1}+7r$$
Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych, moglibyśmy rozpisać trzeci wyraz jako:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
Z treści zadania wynika, że trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(-1\), zatem:
$$-1=a_{1}+2r$$
Krok 3. Zapisanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch otrzymanych wcześniej równań możemy zbudować układ, którego rozwiązaniem będzie poszukiwana różnica ciągu:
\begin{cases} -1=a_{1}+2r \\ -11=a_{1}+7r \end{cases}
Ten układ można rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie chyba po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$10=-5r$$
$$r=-2$$
Zadanie nr 15 · Matura 2023
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\cdot(n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wyraz \(a_{4}\) jest równy:
A\(64\)
B\(40\)
C\(48\)
D\(80\)
Chcąc obliczyć wartość czwartego wyrazu, wystarczy podstawić do wzoru ciągu \(n=4\), zatem:
$$a_{4}=2^4\cdot(4+1)$$
$$a_{4}=16\cdot5$$
$$a_{4}=80$$
Zadanie nr 16 · Matura 2023
Trzywyrazowy ciąg \((27, 9, a-1)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa:
A\(3\)
B\(0\)
C\(4\)
D\(2\)
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$9^2=27\cdot(a-1)$$
$$81=27a-27$$
$$27a=108$$
$$a=4$$
Zadanie nr 17 · Matura 2023
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(8910 zł\) w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \(30 zł\). Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.
Opisaną w zadaniu sytuację możemy przedstawić jako ciąg arytmetyczny, w którym \(S_{n}=8910\), \(n=18\) oraz \(r=-30\). Poszukiwaną wartością jest \(a_{1}\).
W zadaniu możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz znane dane, otrzymamy:
$$8910=\frac{2a_{1}+(18-1)\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}+17\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}-510}{2}\cdot18$$
$$495=\frac{2a_{1}-510}{2}$$
$$990=2a_{1}-510$$
$$2a_{1}=1500$$
$$a_{1}=750$$
Zadanie nr 15 · Próbny 2023
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3\cdot(-2)^n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(3\). Ciąg \((a_{n})\) jest malejący.
Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(3\).
Ciąg \((a_{n})\) jest malejący.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Patrząc się na wzór ciągu możemy zauważyć, że \(q=-2\), bo to właśnie liczba \(-2\) jest podnoszona do potęgi \(n\). Jeśli tego nie dostrzegamy, to zawsze możemy obliczyć wartości dwóch przykładowych wyrazów, np. \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\), zatem:
$$a_{1}=3\cdot(-2)^1=3\cdot(-2)=-6$$
$$a_{2}=3\cdot(-2)^2=3\cdot4=12$$
W takim razie iloraz będzie równy:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{12}{-6}$$
$$q=-2$$
Zdanie jest więc fałśzem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Już po obliczeniu pierwszych dwóch wyrazów w pierwszym kroku widać wyraźnie, że ten ciąg na pewno nie jest malejący (nie będzie też rosnący, tylko będzie niemonotoniczny), więc zdanie jest fałszem.
Zadanie nr 27 · Próbny 2023
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) ma dwanaście wyrazów, których suma jest równa \(168\). Różnica \(a_{1}-a_{12}\) wynosi \(22\).
Wyznacz wzór ogólny ciągu \((a_{n})\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{12}\).
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12$$
$$168=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12$$
$$14=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}$$
$$a_{1}+a_{12}=28$$
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}-a_{12}=22\), czyli że tym samym \(a_{1}=22+a_{12}\). Podstawiając tę informację do równania \(a_{1}+a_{12}=28\), wyjdzie nam, że:
$$22+a_{12}+a_{12}=28$$
$$2a_{12}=6$$
$$a_{12}=3$$
Musimy jeszcze obliczyć wartość \(a_{1}\). Zapisaliśmy przed chwilą, że \(a_{1}=22+a_{12}\), zatem:
$$a_{1}=22+3$$
$$a_{1}=25$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Do wyznaczenia wzoru potrzebujemy jeszcze różnicy ciągu arytmetycznego. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że:
$$a_{12}=a_{1}+11r$$
Podstawiając do tego równania znane nam \(a_{1}=25\) oraz \(a_{12}=3\), otrzymamy:
$$3=25+11r$$
$$11=-22$$
$$r=-2$$
Krok 3. Zapisanie wzoru.
Do zapisania wzoru skorzystamy ze standardowego wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Podstawiając do niego \(a_{1}=25\) oraz \(r=-2\), otrzymamy:
$$a_{n}=25+(n-1)\cdot(-2)$$
$$a_{n}=25-2n+2$$
$$a_{n}=-2n+27$$
Zadanie nr 15 · Matura 2023
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\cdot(n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wyraz \(a_{4}\) jest równy:
A\(64\)
B\(40\)
C\(48\)
D\(80\)
Chcąc obliczyć wartość czwartego wyrazu, wystarczy podstawić do wzoru ciągu \(n=4\), zatem:
$$a_{4}=2^4\cdot(4+1)$$
$$a_{4}=16\cdot5$$
$$a_{4}=80$$
Zadanie nr 16 · Matura 2023
Trzywyrazowy ciąg \((27, 9, a-1)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa:
A\(3\)
B\(0\)
C\(4\)
D\(2\)
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$9^2=27\cdot(a-1)$$
$$81=27a-27$$
$$27a=108$$
$$a=4$$
Zadanie nr 17 · Matura 2023
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(8910 zł\) w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \(30 zł\). Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.
Opisaną w zadaniu sytuację możemy przedstawić jako ciąg arytmetyczny, w którym \(S_{n}=8910\), \(n=18\) oraz \(r=-30\). Poszukiwaną wartością jest \(a_{1}\).
W zadaniu możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz znane dane, otrzymamy:
$$8910=\frac{2a_{1}+(18-1)\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}+17\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}-510}{2}\cdot18$$
$$495=\frac{2a_{1}-510}{2}$$
$$990=2a_{1}-510$$
$$2a_{1}=1500$$
$$a_{1}=750$$
Zadanie nr 15 · Matura 2023
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\cdot(n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wyraz \(a_{4}\) jest równy:
A\(64\)
B\(40\)
C\(48\)
D\(80\)
Chcąc obliczyć wartość czwartego wyrazu, wystarczy podstawić do wzoru ciągu \(n=4\), zatem:
$$a_{4}=2^4\cdot(4+1)$$
$$a_{4}=16\cdot5$$
$$a_{4}=80$$
Zadanie nr 16 · Matura 2023
Trzywyrazowy ciąg \((27, 9, a-1)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa:
A\(3\)
B\(0\)
C\(4\)
D\(2\)
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$9^2=27\cdot(a-1)$$
$$81=27a-27$$
$$27a=108$$
$$a=4$$
Zadanie nr 31 · Matura 2023
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(8910 zł\) w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \(30 zł\). Oblicz kwotę pierwszej raty.
Opisaną w zadaniu sytuację możemy przedstawić jako ciąg arytmetyczny, w którym \(S_{n}=8910\), \(n=18\) oraz \(r=-30\). Poszukiwaną wartością jest \(a_{1}\).
W zadaniu możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz znane dane, otrzymamy:
$$8910=\frac{2a_{1}+(18-1)\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}+17\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}-510}{2}\cdot18$$
$$495=\frac{2a_{1}-510}{2}$$
$$990=2a_{1}-510$$
$$2a_{1}=1500$$
$$a_{1}=750$$
Zadanie nr 14 · Matura 2021
Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od \(1001\) jest równa:
A\(\frac{2+998}{2}\cdot499\)
B\(\frac{2+1000}{2}\cdot500\)
C\(\frac{2+1001}{2}\cdot500\)
D\(\frac{1+1001}{2}\cdot1001\)
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Gdybyśmy chcieli wypisać wszystkie parzyste liczby, mniejsze od \(1001\), to sytuacja wyglądałaby następująco:
$$2, 4, 6, 8, ..., 998, 1000$$
Powinniśmy zauważyć, że to jest po prostu ciąg arytmetyczny, w którym \(a_{1}=2\), \(a_{n}=1000\) oraz \(r=2\). Do ustalenia jest jeszcze ile jest tych wyrazów - będzie ich dokładnie \(n=500\).
Krok 2. Zapisanie sumy.
W zadaniu skorzystamy zatem ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz wszystkie dane wypisane w pierwszym kroku, otrzymamy:
$$S_{500}=\frac{2+1000}{2}\cdot500$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2021
Ciągi \((a_{n})\), \((b_{n})\) oraz \((c_{n})\) są określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) następująco:
DWśród ciągów \((a_{n}), (b_{n}), (c_{n})\) nie ma ciągu arytmetycznego.
Teoretycznie już po samym wzorze powinniśmy się zorientować, że jedynie ciąg \((b_{n})\) jest arytmetyczny. Nie mniej jednak, aby nie było żadnych wątpliwości, dobrze jest sprawdzić sobie kilka początkowych wyrazów każdego ciągu. Przykładowo:
To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(c_{2}-c_{1}=2\), natomiast \(c_{4}-c_{3}=8\).
Ciągiem arytmetycznym jest więc jedynie ciąg \((b_{n})\).
Zadanie nr 15 · Próbny 2021
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-2)^n\cdot n+1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wtedy trzeci wyraz tego ciągu jest równy:
A\(-24\)
B\(-17\)
C\(-32\)
D\(-23\)
Chcąc obliczyć trzeci wyraz tego ciągu, wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\):
$$a_{3}=(-2)^3\cdot3+1$$
$$a_{3}=(-8)\cdot3+1$$
$$a_{3}=(-24)+1$$
$$a_{3}=-23$$
Zadanie nr 14 · Matura 2021
Ciąg \(b_{n}\) jest określony wzorem \(b_{n}=3n^2-25n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Liczba niedodatnich wyrazów ciągu \(b_{n}\) jest równa:
A\(14\)
B\(13\)
C\(9\)
D\(8\)
Krok 1. Ułożenie nierówności.
Aby sprawdzić ile jest wyrazów niedodatnich (czyli ujemnych lub równych zero) musimy sprawdzić kiedy \(3n^2-25n\) będzie mniejsze lub równe \(0\). W związku z tym musimy rozwiązać nierówność:
$$3n^2-25n\le0$$
Krok 2. Rozwiązanie nierówności.
Możemy tę nierówność rozwiązać korzystając z delty (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale znacznie prościej będzie będzie po prostu wyłączyć \(n\) przed nawias:
$$n(3n-25)\le0$$
Teraz do rozwiązania nierówności musimy wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić kiedy \(n(3n-25)\) jest równe \(0\). Wystarczy więc przyrównać \(n\) oraz \(3n-25\) do zera:
$$n=0 \quad\lor\quad 3n-25=0$$
$$n=0 \quad\lor\quad 3n=25$$
$$n=0 \quad\lor\quad n=8\frac{1}{3}$$
Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do rysowania paraboli (ramiona paraboli będą skierowane do góry):
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, czyli patrzymy się na to, co znajduje się pod osią lub na osi. To oznacza, że \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\).
Krok 3. Ustalenie liczby niedodatnich wyrazów.
Wiemy, że w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną \(n\ge1\). Zastanówmy się więc, jakie liczby mieszczą się w przedziale \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\). Będą to:
$$1,2,3,4,5,6,7,8$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(8\) wyrazów niedodatnich.
Zadanie nr 16 · Próbny 2020
Ciąg \((a_{n})\) dany jest wzorem \(a_{n}=(5-n)\cdot(n+3)\) dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge1\). Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(5\)
B\(4\)
C\(3\)
D\(0\)
Krok 1. Ułożenie nierówności kwadratowej.
Chcąc sprawdzić ile jest dodatnich wyrazów naszego ciągu musimy sprawdzić kiedy \((5-n)\cdot(n+3)\) jest większe od zera. To oznacza, że musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$(5-n)\cdot(n+3)\gt0$$
Krok 2. Rozwiązanie nierówności kwadratowej.
Powstała nam klasyczna nierówność kwadratowa, którą musimy teraz rozwiązać. Pierwszym krokiem ku temu jest tradycyjnie wyznaczenie miejsc zerowych, czyli sprawdzenie kiedy \((5-n)\cdot(n+3)\) jest równe \(0\). Oczywiście możemy wymnożyć przez siebie poszczególne nawiasy, otrzymując w ten sposób postać ogólną z której potem wyliczymy deltę, ale istnieje szybszy sposób na rozwiązanie tego przykładu. Aby \((5-n)\cdot(n+3)\) było równe \(0\), to albo wartość w tym pierwszym nawiasie jest równa \(0\), albo w tym drugim (dokładnie tak jak w postaci iloczynowej). Z tego też względu:
$$5-n=0 \quad\lor\quad n+3=0$$
$$n=5 \quad\lor\quad n=-3$$
Teraz zaznaczamy te dwa miejsca zerowe na naszej osi liczbowej (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\gt\)) i przystępujemy do rysowania paraboli. Musimy jeszcze tylko ustalić, czy ramiona paraboli będą skierowane do góry, czy do dołu. No i tu jest spora pułapka, bo ramiona paraboli będą skierowane do dołu, co najlepiej będzie widać, gdy wymnożymy przez siebie te dwa nawiasy:
$$(5-n)\cdot(n+3)=5n+15-n^2-3n=-n^2+2n+15$$
Przed \(n^2\) mamy minusa, czyli współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny. Stąd też ramiona paraboli muszą być skierowane do dołu. Nasz wykres będzie więc wyglądał w ten oto sposób:
Z wykresu wynika, że rozwiązaniem naszej nierówności kwadratowej jest przedział \(n\in(-3;5)\).
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
To jednak nie jest koniec zadania. Z własności ciągów wiemy, że \(n\) musi być liczbą naturalną, bo nie ma czegoś takiego jak np. "półtorazowy wyraz". To oznacza, że z przedziału \(n\in(-3;5)\) musimy jeszcze wyodrębnić liczby naturalne. W tym przedziale znajdą się cztery takie liczby: \(1,2,3,4\) (piątka jest poza przedziałem, bo nawias nie jest domknięty), co matematycznie możemy zapisać jako \(n\in\{1,2,3,4\}\). To oznacza, że tylko cztery wyrazy tego ciągu są liczbami dodatnimi - pierwszy, drugi, trzeci oraz czwarty.
Zadanie nr 32 · Próbny 2020
W ciągu ośmiu dni rowerzysta pokonał trasę \(236km\). Poczynając od drugiego dnia, przejeżdżał codziennie o \(3km\) mniej niż w dniu poprzednim. Ile kilometrów przejechał pierwszego dnia, a ile - ósmego? Zapisz obliczenia.
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Idea tego zadania polega na tym, by dostrzec iż mamy tutaj styczność z ciągiem arytmetycznym. Zapiszmy kluczowe parametry tego ciągu, które wynikają z treści zadania.
Skoro każdego dnia pokonywana trasa jest o \(3km\) krótsza, to na pewno \(r=-3\). Wiemy też, że podroż trwała \(8\) dni, zatem \(n=8\). I na koniec możemy jeszcze zapisać, że suma tych wszystkich pokonanych tras przez \(8\) dni była równa \(236km\), czyli że \(S_{8}=236\).
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Aby obliczyć wartość pierwszego wyrazu, czyli \(a_{1}\), skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając do tego wzoru wypisane przed chwilą dane otrzymamy:
$$S_{8}=\frac{2a_{1}+(8-1)\cdot(-3)}{2}\cdot8$$
$$236=\frac{2a_{1}+7\cdot(-3)}{2}\cdot8$$
$$236=\frac{2a_{1}-21}{2}\cdot8$$
$$236=(2a_{1}-21)\cdot4$$
$$2a_{1}-21=59$$
$$2a_{1}=80$$
$$a_{1}=40$$
To oznacza, że pierwszego dnia rowerzysta pokonał trasę \(40km\).
Krok 3. Obliczenie wartości ósmego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Musimy jeszcze obliczyć długość pokonanej trasy ósmego dnia. W tym celu pomoże nam wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Podstawiając \(a_{1}=40\), \(r=-3\) oraz \(n=8\) (bo szukamy wartości ósmego wyrazu) otrzymamy:
$$a_{8}=a_{1}+(8-1)r$$
$$a_{8}=a_{1}+7r$$
$$a_{8}=40+7\cdot(-3)$$
$$a_{8}=40-21$$
$$a_{8}=19$$
To oznacza, że ósmego dnia rowerzysta pokonał trasę \(19km\).
Zadanie nr 30 · Próbny 2020
Ustal, czy w ciągu \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n}=n^2-3n-10\) są wyrazy równe \(0\).
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem wynik \(n=-2\) nas nie interesuje. Pasuje nam za to wynik \(n=5\) i oznacza on, że w tym ciągu jest jeden wyraz mający wartość równą \(0\) i jest to wyraz piąty.
Zadanie nr 14 · Matura 2020
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n^2\) dla \(n\ge1\). Różnica \(a_{5}-a_{4}\) jest równa:
A\(4\)
B\(20\)
C\(36\)
D\(18\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\) oraz \(a_{4}\).
Aby móc poznać wartość poszukiwanej różnicy, musimy obliczyć wartość piątego i czwartego wyrazu. Podstawiając zatem odpowiednio \(n=5\) oraz \(n=4\) otrzymamy:
$$a_{5}=2\cdot5^2$$
$$a_{5}=2\cdot25$$
$$a_{5}=50$$
$$\quad$$
$$a_{4}=2\cdot4^2$$
$$a_{4}=2\cdot16$$
$$a_{4}=32$$
Krok 2. Obliczenie różnicy \(a_{5}-a_{4}\).
Znając wartość piątego i czwartego wyrazu obliczenie różnicy jest już tylko formalnością:
$$a_{5}-a_{4}=50-32$$
$$a_{5}-a_{4}=18$$
Zadanie nr 10 · Matura 2019
W ciągu \((a_{n})\) na określonym dla każdej liczby \(n\ge1\) jest spełniony warunek \(a_{n+3}=-2\cdot 3^{n+1}\). Wtedy:
A\(a_{5}=-54\)
B\(a_{5}=-27\)
C\(a_{5}=27\)
D\(a_{5}=54\)
Krok 1. Ustalenie wartości \(n\).
Z proponowanych odpowiedzi wynika, że szukamy wartości piątego wyrazu, czyli \(a_{5}\). W zapisanym wyrażeniu w treści zadania mamy po lewej stronie równania zapis \(a_{n+3}\), czyli w naszym przypadku \(n=2\), bo wtedy mamy \(a_{2+3}\), czyli właśnie \(a_{5}\).
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{5}\)
Podstawiając \(n=2\) do wzoru ciągu otrzymamy:
$$a_{2+3}=-2\cdot 3^{2+1}$$
$$a_{5}=-2\cdot 3^{3}$$
$$a_{5}=-2\cdot27$$
$$a_{5}=-54$$
Zadanie nr 27 · Próbny 2018
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{4n+5}{2n+1}\) dla \(n\ge1\). Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy \(2\frac{1}{2}\).
Aby sprawdzić, czy w danym ciągu istnieje wyraz równy \(2\frac{1}{2}\) wystarczy rozwiązać następujące równanie:
$$\frac{4n+5}{2n+1}=2\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot(2n+1)$$
$$4n+5=2\frac{1}{2}\cdot(2n+1)$$
$$4n+5=5n+2\frac{1}{2}$$
$$-n=-2\frac{1}{2}$$
$$n=2\frac{1}{2}$$
Otrzymany wynik nie jest liczbą naturalną, a to sprawia, że liczba \(2\frac{1}{2}\) nie może być jednym z wyrazów tego ciągu.
Zadanie nr 12 · Próbny 2018
Dodatnich wyrazów ciągu określonego wzorem \(a_n=-2n+2018\) dla \(n\ge 1\) jest:
Anieskończenie wiele
B\(1009\)
C\(1008\)
D\(2016\)
Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
Aby sprawdzić ile dodatnich wyrazów ma ten ciąg wystarczy rozwiązać prostą nierówność:
$$-2n+2018\gt0$$
$$-2n\gt-2018$$
$$n\lt1009$$
Uwaga na zmianę znaku - kiedy mnożymy lub dzielimy nierówność przez liczbę ujemną, to musimy zmienić znak na przeciwny.
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wiemy, że w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną. Musimy więc ustalić ile jest liczb naturalnych mniejszych od \(1009\) (bo \(n\) wyszło nam mniejsze od \(1009\)). Takich liczb będzie oczywiście \(1008\) (od \(1\) do \(1008\)), zatem tyle też będziemy mieli dodatnich wyrazów naszego ciągu.
Zadanie nr 13 · Próbny 2018
Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((4, 6, 9,...)\) można obliczyć ze wzoru:
A\(n(n+3)\)
B\(\frac{3n+5}{2}\cdot n\)
C\(8\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right]\)
D\(2\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right]\)
Krok 1. Ustalenie jaki jest to ciąg.
Musimy na początku ustalić jaki jest to ciąg i jakie są jego kluczowe parametry. Na pewno nie jest to ciąg arytmetyczny, bo drugi wyraz jest o \(2\) większy od pierwszego, a trzeci wyraz jest o \(3\) większy od drugiego. Powinniśmy dostrzec, że nasz ciąg jest geometryczny, bo każdy wyraz jest \(1,5\) razy większy od poprzedniego. Iloraz ciągu możemy nawet obliczyć w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{6}{4}$$
$$q=\frac{3}{2}$$
Możemy więc powiedzieć, że nasz ciąg jest geometryczny, a kluczowymi liczbami dla tego ciągu będą \(q=\frac{3}{2}\) oraz \(a_{1}=4\).
Krok 2. Obliczenie sumy \(n\) początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i podstawiając dane, które przed chwilą sobie wyznaczyliśmy otrzymamy:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{1-\frac{3}{2}}$$
$$S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{-\frac{1}{2}}$$
$$S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right):\left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)\cdot(-2)$$
$$S_{n}=-8\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$
Musimy się jeszcze dopasować do proponowanych odpowiedzi i aby lepiej zrozumieć to przekształcenie to możemy zamienić \(-8\) na \(8\cdot(-1)\), otrzymując:
$$S_{n}=8\cdot(-1)\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$
$$S_{n}=8\cdot\left(-1+\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$
$$S_{n}=8\cdot\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)$$
Zadanie nr 18 · Próbny 2018
Obserwowana w laboratorium populacja bakterii podwaja swoją liczebność co \(20\) minut. Początkowa liczba bakterii wynosiła \(K\) sztuk. Oznacza to, że po upływie \(n\) godzin liczebność populacji wyniesie:
A\(K\cdot2^{3n}\)
B\(K\cdot6^n\)
C\(K^{3n}\)
D\(K\cdot3n\)
Najlepiej będzie rozpisać sobie poszczególne fazy rozrostu populacji bakterii:
• Na początku mamy \(K\) bakterii.
• Po upływie \(1\) okresu (czyli po \(20\) minutach) mamy \(K\cdot2\) bakterii.
• Po upływie \(2\) okresów (czyli po \(40\) minutach) mamy \(K\cdot2\cdot2=K\cdot2^2\) bakterii.
• Po upływie \(3\) okresów (czyli po \(60\) minutach) mamy \(K\cdot2\cdot2\cdot2=K\cdot2^3\) bakterii.
Rozpisując to w ten sposób powinniśmy dostrzec, że:
• Po jednej godzinie mamy \(K\cdot2^3\) bakterii.
• Po dwóch godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^6\) bakterii.
• Po trzech godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^9\) bakterii.
• Po czterech godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^{12}\) bakterii.
I tu już powinniśmy zauważyć, że po \(n\) godzinach mielibyśmy \(K\cdot2^{3n}\) bakterii.
Zadanie nr 5 · Matura 2018
Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa \(21\).
Stąd wynika, że:
A\(k=9\)
B\(k=11\)
C\(k=21\)
D\(k=31\)
Z rysunku (i samej formy zapisu przedziału) możemy odczytać, że \(-10\) do tego przedziału nie należy. Pierwszą liczbą całkowitą, która do tego przedziału należy jest \(-9\).
W tym momencie powinniśmy zauważyć, że na pewno suma liczb całkowitych od \(-9\) do \(9\) jest równa zero. Wynika to z tego, że po prostu skrajne wyrazy się zerują: \(-9+9=0, -8+8=0, -7+7=0\) itd.
$$-9+(-8)+(-7)+...+7+8+9=0$$
My szukamy sumy liczb całkowitych równej \(21\). Skoro więc suma od \(-9\) do \(9\) jest równa \(0\), to widzimy wyraźnie że dokładając kolejne liczby całkowite, czyli \(10\) oraz \(11\) otrzymamy poszukiwaną sumę równą \(21\). To oznacza, że ostatnią liczbą należącą do tego przedziału jest \(k=11\).
Zadanie nr 11 · Matura 2018
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\frac{5-2n}{6}\) dla \(n\ge1\). Ciąg ten jest:
Aarytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\)
Barytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\)
Cgeometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\)
Dgeometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\)
Krok 1. Obliczenie wartości trzech kolejnych wyrazów ciągu.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie obliczyć wartości trzech kolejnych wyrazów tego ciągu i na tej podstawie wyciągniemy potem wnioski na temat tego ciągu. Podstawiając do wzoru \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{1}=\frac{5-2\cdot1}{6}=\frac{5-2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
$$a_{2}=\frac{5-2\cdot2}{6}=\frac{5-4}{6}=\frac{1}{6}$$
$$a_{3}=\frac{5-2\cdot3}{6}=\frac{5-6}{6}=-\frac{1}{6}$$
Krok 2. Ustalenie czy ciąg jest arytmetyczny, czy geometryczny.
Ustalmy najpierw jaki jest to ciąg. Już na pierwszy rzut oka widać, że musi być to ciąg arytmetyczny, bo ciąg geometryczny nie miałby po dwóch wyrazach dodatnich nagle wyrazu ujemnego (mógłby mieć co najwyżej na przemian wyrazy dodatnie i ujemne). Jeżeli tego nie dostrzegamy, to możemy sprawdzić czy dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi charakterystyczna dla ciągów arytmetycznych równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$\frac{1}{6}=\frac{\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{6}\right)}{2} \quad\bigg/\cdot2$$
$$\frac{2}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6} \quad\bigg/+\frac{1}{6}$$
$$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
$$L=P$$
Skoro lewa strona jest równa prawej, to znaczy że ciąg jest arytmetyczny.
Krok 3. Ustalenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Na koniec musimy jeszcze ustalić różnicę ciągu arytmetycznego, a dokonamy tego odejmując np. od wartości drugiego wyrazu wartość wyrazu pierwszego:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}$$
$$r=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}$$
$$r=-\frac{2}{6}$$
$$r=-\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2017
Nowy samochód kosztował \(80\) tys. zł. Po każdym roku użytkowania jego wartość spadała o \(15\%\) w stosunku do wartości z roku poprzedniego. Po trzech latach od zakupu jego wartość była równa:
A\(36 000 zł\)
B\(44 000 zł\)
C\(49 130 zł\)
D\(57 800 zł\)
Jeżeli wartość samochodu byłaby równa \(x\) to po roku wartość auta wyniosłaby \(x-0,15x=0,85x\). Możemy więc sobie rozpisać to w następujący sposób:
Początkowa wartość samochodu: \(80000\)
Wartość po pierwszym roku \(0,85\cdot80000\)
Wartość po drugim roku \(0,85\cdot0,85\cdot80000\)
Wartość po trzecim roku \(0,85\cdot0,85\cdot0,85\cdot80000\)
Możemy więc powiedzieć, że po trzech latach od zakupu wartość samochodu jest równa:
$$0,85\cdot0,85\cdot0,85\cdot80000=49130[zł]$$
Zadanie nr 12 · Próbny 2017
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-1)^n\cdot\frac{n}{n+1}\) dla \(n\ge1\). Iloczyn \(a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\) jest równy:
A\(-\frac{1}{2}\)
B\(-\frac{1}{4}\)
C\(0\)
D\(\frac{1}{4}\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego oraz trzeciego wyrazu.
Podstawiając do wzoru ciągu odpowiednio \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{1}=(-1)^1\cdot\frac{1}{1+1}=-1\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$
$$a_{2}=(-1)^2\cdot\frac{2}{2+1}=1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$
$$a_{3}=(-1)^3\cdot\frac{3}{3+1}=-1\cdot\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$
Krok 2. Obliczenie iloczynu trzech pierwszych wyrazów.
Zgodnie z treścią zadania musimy obliczyć iloczyn trzech pierwszych wyrazów, których wartości przed chwilą wyznaczyliśmy, zatem:
$$-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2017
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=4(n+1)(n-10)\) dla \(n\ge1\). Ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg?
A\(9\)
B\(10\)
C\(11\)
D\(12\)
Aby dowiedzieć się ile wyrazów ujemnych ma wskazany ciąg musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$4(n+1)(n-10)\lt0 \quad\bigg/:4$$
$$(n+1)(n-10)\lt0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej. Rozwiązywanie nierówności rozpoczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli sprawdzenia kiedy \((n+1)(n-10)=0\). Zgodnie z własnościami postaci iloczynowej możemy zapisać, że:
$$n+1=0 \quad\lor\quad n-10=0$$
$$n=-1 \quad\lor\quad n=10$$
Zaznaczamy na osi nasze wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\lt\)) i szkicujemy parabolę. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, zatem:
Teraz musimy odczytać rozwiązania naszej nierówności. Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli wszystko to, co znalazło się pod osią. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(n\in(-1;10)\).
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Ze wszystkich dotychczasowych obliczeń wyszło nam, że \(4(n+1)(n-10)\) jest mniejsze od zera dla każdego \(n\), które jest większe od \(-1\) i mniejsze od \(10\). W przypadku ciągów \(n\) musi być dodatnią liczbą naturalną. Musimy więc sprawdzić jakie liczby naturalne mieszczą się w wyznaczonym przez nas przedziale. Takimi liczbami będą: \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Pasuje nam \(9\) liczb, zatem ten ciąg ma \(9\) wyrazów ujemnych.
Zadanie nr 1 · Matura 2016
Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa \(195\). Najmniejszą z tych liczb jest:
A\(37\)
B\(38\)
C\(39\)
D\(40\)
Jeśli najmniejszą z tych liczb oznaczymy jako \(n\), to:
$$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=195$$
$$5n+10=195$$
$$5n=185$$
$$n=37$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2016
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{3}{4}n^2-24n+90\) dla \(n\ge1\). Najmniejszy wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:
A\(90\)
B\(66\frac{3}{4}\)
C\(-102\)
D\(-124\)
Krok 1. Potraktowanie ciągu jako funkcji.
Potraktujmy nasz ciąg jak funkcję, która jest określona jedynie dla argumentów będących liczbami naturalnymi. Funkcja swoją najmniejszą lub największą wartość przyjmuje w wierzchołku \(W=(p;q)\). To oznacza, że tak naprawdę interesować nas będzie poznanie współrzędnych wierzchołka paraboli, ale z zastrzeżeniem, że współrzędna \(p\) musi być liczbą naturalną.
Ze wzoru ciągu możemy odczytać, że \(b=-24\) oraz \(a=\frac{3}{4}\). W związku z tym:
$$p=\frac{-(-24)}{2\cdot\frac{3}{4}}$$
$$p=\frac{24}{\frac{3}{2}}$$
$$p=24:\frac{3}{2}$$
$$p=24\cdot\frac{2}{3}$$
$$p=16$$
Współrzędna \(p\) jest liczbą naturalną i to jest bardzo dobra wiadomość, bo za chwilę będziemy mogli podstawić tę liczbę do wzoru naszego ciągu. Gdyby się okazało, że \(p\) jest równe np. \(16\frac{1}{5}\), to w kolejnym kroku musielibyśmy sprawdzić wartość funkcji dla argumentów \(n=16\) oraz \(n=17\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(q\).
Współrzędną \(q\) moglibyśmy wyznaczyć ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale skoro znamy wartość współrzędnej \(p=16\) to możemy po prostu podstawić do wzoru wartość \(n=16\) i w ten sposób obliczymy wartość przyjmowaną w tym wierzchołku, czyli wartość współrzędnej \(q\). Zatem:
$$q=\frac{3}{4}\cdot16^2-24\cdot16+90$$
$$q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90$$
$$q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90$$
$$q=192-384+90$$
$$q=-102$$
To oznacza, że najmniejszą wartością przyjmowaną przez ten ciąg jest wartość \(16\)-stego wyrazu i jest ona równa \(-102\).
Zadanie nr 30 · Próbny 2016
Na rysunku pokazano ciąg kwadratów. Każdy następny kwadrat ma z poprzednim wspólny tylko jeden wierzchołek i dwa razy większą niż on długość boku. Wiedząc, że czwarty kwadrat ma bok długości \(8\), oblicz długość łamanej narysowanej pogrubioną linią, ograniczającą kwadraty od pierwszego do dziesiątego.
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu geometrycznego.
Patrząc się na opisaną sytuację powinniśmy dostrzec, że długości boków kolejnych kwadratów układają się w ciąg geometryczny w którym \(a_{4}=8\) (bo czwarty kwadrat ma długość boku równą \(8\)) oraz \(q=2\) (bo każdy kolejny kwadrat jest dwukrotnie większy).
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Za chwilę do naszych obliczeń będziemy potrzebować wartości pierwszego wyrazu, zatem już teraz możemy ją wyznaczyć. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego otrzymamy, że:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^3$$
Skoro \(a_{4}=8\) oraz \(q=2\), to:
$$8=a_{1}\cdot 2^3$$
$$8=a_{1}\cdot8$$
$$a_{1}=1$$
Krok 3. Obliczenie długości poszukiwanej łamanej.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
Jest jednak pewne zastrzeżenie, które musimy sobie zrobić i to jest chyba główna pułapka w tym zadaniu. Jak podstawimy sobie do powyższego wzoru \(n=10\) to otrzymamy tak naprawdę informację o tym jaka jest suma długości pojedynczych boków pierwszych dziesięciu kwadratów (czyli tak na chłopski rozum dowiemy się ile to jest \(1+2+4+8+...\)). Tymczasem na naszą łamaną składają się aż trzy boki każdego kwadratu, zatem nas interesowałoby poznanie długości \(1+1+1+2+2+2+4+4+4+8+8+8...\) Z tego też względu długość naszej łamanej (oznaczmy ją sobie jako \(L\)) będzie trzykrotnie dłuższa od obliczonego \(S_{10}\). Całość możemy rozpisać następująco:
$$L=3\cdot S_{10}$$
$$L=3\cdot a_{1}\cdot\frac{1-q^{10}}{1-q}$$
$$L=3\cdot1\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2}$$
$$L=3\cdot1\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2}$$
$$L=3\cdot\frac{1-1024}{-1}$$
$$L=3\cdot1023$$
$$L=3069$$
Zadanie nr 16 · Próbny 2016
Suma wszystkich liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez \(5\) i mniejszych od \(400\) jest równa:
A\(15800\)
B\(16000\)
C\(16040\)
D\(31600\)
Krok 1. Ustalenie kluczowych danych na temat ciągu arytmetycznego.
Liczby podzielne przez \(5\) i mniejsze od \(400\) będą tworzyć ciąg w stylu:
$$5,10,15,20,..., 390,395$$
Powstał nam więc ciąg w którym:
$$a_{1}=5$$
$$a_{n}=395$$
$$r=5$$
Krok 2. Obliczenie ilości wyrazów ciągu arytmetycznego.
Brakuje nam jeszcze informacji dotyczącej tego ile jest wyrazów w naszym ciągu. W związku z tym:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
$$395=5+(n-1)\cdot5$$
$$395=5+5n-5$$
$$5n=395$$
$$n=79$$
Krok 3. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu.
Teraz mamy komplet danych, więc możemy bez problemu obliczyć sumę interesujących nas wyrazów:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{79}=\frac{5+395}{2}\cdot79$$
$$S_{79}=\frac{400}{2}\cdot79$$
$$S_{79}=200\cdot79$$
$$S_{79}=15800$$
Zadanie nr 18 · Próbny 2016
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\sqrt{n-2}\) dla \(n\ge2\). Ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od \(2\)?
A\(2\)
B\(4\)
C\(5\)
Dnieskończenie wiele
Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie nierówności.
Szukamy wyrazów mniejszych od \(2\), zatem możemy ułożyć następującą nierówność:
$$\sqrt{n-2}\lt2 \quad\bigg/^2$$
$$n-2\lt4$$
$$n\lt6$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Musimy teraz ustalić co wynika z otrzymanego wyniku, pamiętając że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną. Z treści zadania wiemy, że \(n\ge2\) natomiast z nierówności wynika, że \(n\) musi być mniejsze od \(6\). W związku z tym są cztery wyrazy, które spełniają te dwa warunki: \(n=\{2,3,4,5\}\).
Zadanie nr 15 · Matura 2015
Ciąg liczbowy określony jest wzorem \(a_{n}=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\ge1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(-1\)
B\(\frac{31}{33}\)
C\(\frac{9}{11}\)
D\(1\)
Aby obliczyć piąty wyraz ciągu musimy do wzoru ciągu podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=\frac{2^5-1}{2^5+1}$$
$$a_{5}=\frac{32-1}{32+1}$$
$$a_{5}=\frac{31}{33}$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2015
Dany jest nieskończony ciąg \((a_{n})\), w którym \(a_{1}=4^{10}\), a każdy następny wyraz jest dwukrotnie mniejszy od poprzedniego. Wtedy wyraz \(a_{15}\) jest równy:
A\(32\)
B\(64\)
C\(\frac{4^{10}}{15}\)
D\(8^{-4}\)
Krok 1. Ustalenie wartości ilorazu ciągu geometrycznego.
Skoro każdy następny wyraz ma być dwa razy mniejszy od poprzedniego, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym w którym \(q=\frac{1}{2}\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a_{15}\).
Wiedząc, że \(a_{1}=4^{10}\) oraz \(q=\frac{1}{2}\) możemy skorzystać ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
$$a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{15-1}$$
$$a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{14}$$
$$a_{15}=\left(2^2\right)^{10}\cdot\left(2^{-1}\right)^{14}$$
$$a_{15}=2^{20}\cdot2^{-14}$$
$$a_{15}=2^{6}$$
$$a_{15}=64$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2015
Bartek w czasie wakacji podjął pracę w pizzerii. Pracodawca zaproponował mu następujące warunki płacy: za pierwszy dzień pracy \(20zł\), a za każdy następny o \(3zł\) więcej niż za poprzedni. Bartek w każdym tygodniu pracuje przez \(5\) dni. Ile łącznie zarobi po \(8\) tygodniach pracy?
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Patrząc się na opisaną sytuację powinniśmy dostrzec, że zarobki Bartka układają się w ciąg arytmetyczny w którym \(a_{1}=20\) oraz \(r=3\).
Wiemy też, że ten ciąg jest skończony i będzie miał \(5\cdot8=40\) wyrazów.
Krok 2. Obliczenie zarobków Bartka.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i podstawiając znane nam dane wypisane w poprzednim kroku możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{40}=\frac{2\cdot20+(40-1)\cdot3}{2}\cdot40$$
$$S_{40}=\frac{40+39\cdot3}{2}\cdot40$$
$$S_{40}=\frac{40+117}{2}\cdot40$$
$$S_{40}=\frac{157}{2}\cdot40$$
$$S_{40}=157\cdot20$$
$$S_{40}=3140$$
To oznacza, że Bartek zarobi \(3140\) złotych.
Zadanie nr 10 · Próbny 2015
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym \(a_{n}=-3n+118\). Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(37\)
B\(38\)
C\(39\)
D\(0\)
Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie nierówności.
Naszym zadaniem jest sprawdzenie ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu, czyli kiedy \(-3n+118\) jest większe od zera.
$$-3n+118\gt0$$
$$-3n\gt-118$$
$$n\lt39\frac{1}{3}$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z nierówności wyszło nam, że dopóki \(n\) jest mniejsze od \(39\frac{1}{3}\) to wyrazy ciągu są dodatnie. Zatem przykładowo dla \(n=25\) ciąg jest dodatni, ale dla \(n=40\) ciąg będzie już ujemny.
Z własności ciągów wiemy, że \(n\) jest zawsze liczbą naturalną, większą od zera. W związku z tym naszą nierówność spełniać będą liczby \(n\in\{1,2,3,...,37,38,39\}\), czyli ten ciąg ma \(39\) dodatnich wyrazów.
Zadanie nr 26 · Próbny 2015
Sprawdź, czy liczba \(\frac{33}{27}\) jest wyrazem ciągu o wyrazie ogólnym \(a_{n}=\frac{3n-1}{2n+5}\).
Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie i wyciągnięcie wniosków z następującego równania:
$$\frac{3n-1}{2n+5}=\frac{33}{27}$$
To równanie najproście jest rozwiązać mnożąc na krzyż, zatem:
$$27\cdot(3n-1)=33\cdot(2n+5)$$
$$81n-27=66n+165$$
$$15n=192$$
$$n=12,8$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ciągach \(n\) jest zawsze liczbą naturalną większą od zera. Otrzymany wynik nie jest liczbą naturalną, zatem liczba \(\frac{33}{27}\) nie jest wyrazem tego ciągu (dokładniej rzecz ujmując jest to liczba pomiędzy \(12\)-stym i \(13\)-stym wyrazem).
Zadanie nr 34 · Matura 2015
Deweloper oferuje możliwość kompletnego wyposażenia kuchni i salonu w ofercie „Malejące raty”. Wysokość pierwszej raty ustalono na \(775zł\). Każda następna rata jest o \(10zł\) mniejsza od poprzedniej. Całkowity koszt wyposażenia kuchni i salonu ustalono na \(30240zł\). Oblicz wysokość ostatniej raty i liczbę wszystkich rat.
Krok 1. Dostrzeżenie cech ciągu arytmetycznego.
Tak naprawdę całą naszą sytuację z treści zadania możemy opisać ciągiem arytmetycznym w którym:
$$a_{1}=775$$
$$r=-10$$
$$S_{n}=30240$$
Naszym zadaniem jest policzenie ilości wyrazów/rat, czyli \(n\) oraz wartości ostatniej raty, czyli \(a_{n}\).
Krok 2. Obliczenie ilości rat.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$30240=\frac{2\cdot775+(n-1)\cdot(-10)}{2}\cdot n \quad\bigg/\cdot2$$
$$60480=(1550-10n+10)\cdot n$$
$$60480=(-10n+1560)\cdot n$$
$$60480=-10n^2+1560n$$
$$-10n^2+1560n-60480=0 \quad\bigg/:(-10)$$
$$n^2-156n+6048=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając oczywiście z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-156,\;c=6048\)
$$Δ=b^2-4ac=(-156)^2-4\cdot1\cdot6048=24336-24192=144$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$
To oznacza, że ilość rat wynosi \(72\) lub \(84\) i póki co żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić.
Krok 4. Obliczenie wysokości ostatniej raty.
Zgodnie z treścią zadania chcemy obliczyć wysokość ostatniej raty. Musimy rozpatrzeć dwie sytuacje - kiedy były \(72\) raty oraz kiedy były \(84\) raty. Do wyznaczenia wysokości ostatnich rat skorzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Dla \(n=72\):
$$a_{72}=775+(72-1)\cdot(-10)$$
$$a_{72}=775+71\cdot(-10)$$
$$a_{72}=775+(-710)$$
$$a_{72}=65$$
Dla \(n=84\):
$$a_{84}=775+(84-1)\cdot(-10)$$
$$a_{84}=775+83\cdot(-10)$$
$$a_{84}=775+(-830)$$
$$a_{84}=-55$$
Krok 5. Analiza otrzymanych wyników i zapisanie ostatecznego rozwiązania.
Sytuacja w której rata jest ujemna jest sprzeczna z istotą zadania. W związku z tym musimy odrzucić to rozwiązanie, czyli musimy też odrzucić wariant, że rat mogło być \(84\). To oznacza, że całe zadanie ma tylko jedno poprawne rozwiązanie: rat było \(72\), a ostatnia rata była równa \(65zł\).
Zadanie nr 30 · Matura 2015
Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy \(444\), a ostatni jest równy \(653\). Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o \(11\) większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=444$$
$$a_{n}=653$$
$$r=11$$
Aby obliczyć ile jest wyrazów w tym ciągu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$653=444+(n-1)\cdot11$$
$$653=444+11n-11$$
$$653-444+11=11n$$
$$11n=220$$
$$n=20$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(20\) wyrazów.
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy korzystając z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n$$
$$S_{20}=\frac{444+653}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=\frac{1097}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=10970$$
Zadanie nr 16 · Próbny 2014
Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości \(1m\), a bok każdego z następnych trójkątów jest o \(10cm\) dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości \(5,9m\). Ile trójkątów przedstawia mural?
A\(49\)
B\(50\)
C\(59\)
D\(60\)
Długości boków trójkątów tworzą tak naprawdę ciąg arytmetyczny. Zapiszmy sobie kilka przykładowych wyrazów tego ciągu, zamieniając od razu metry na centymetry (dzięki temu pozbędziemy się ułamków):
$$a_{1}=100$$
$$a_{2}=110$$
$$a_{3}=120$$
$$...$$
$$a_{n}=590$$
Naszym zadaniem jest wyznaczenie liczby wszystkich wyrazów tego ciągu, wiedząc że \(a_{1}=100\) oraz \(r=10\). Do tego celu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$590=100+(n-1)\cdot10$$
$$590=100+10n-10$$
$$590=90+10n$$
$$10n=500$$
$$n=50$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(50\) wyrazów, czyli na muralu pojawiło się \(50\) trójkątów.
Zadanie nr 22 · Próbny 2014
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{24-4n}{n}\) dla \(n\ge1\). Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(7\)
B\(6\)
C\(5\)
D\(4\)
Krok 1. Obliczenie łącznej liczby wyrazów nieujemnych ciągu \((a_{n})\).
Musimy ustalić ile wyrazów tego ciągu przyjmuje wartość większą lub równą zero. To oznacza, że musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\ge0$$
$$\frac{24-4n}{n}\ge0 \quad\bigg/\cdot n$$
$$24-4n\ge0$$
$$-4n\ge-24 \quad\bigg/:(-4)$$
$$n\le6$$
Z tego rozwiązania wynika, że ciąg ma sześć wyrazów, które są większe lub równe zero.
Tak na marginesie - mogliśmy pomnożyć obie strony nierówności przez \(n\), bo wiemy że \(n\ge1\). Stąd też nie ma obaw, że jest to liczba ujemna, która powodowałaby zmianę znaku. O zmianie znaku nierówności należało za to pamiętać dzieląc obie strony przez \(-4\).
Krok 2. Wyznaczenie liczby całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu.
Niestety to nie koniec zadania. Pułapka w tym zadaniu polega na tym, że nie każdy z tych sześciu nieujemnych wyrazów jest liczbą całkowitą. Nie ma innego wyjścia, musimy obliczyć po kolei wartość każdego z tych wyrazów:
$$a_{1}=\frac{24-4\cdot1}{1}=\frac{24-4}{1}=\frac{20}{1}=20$$
$$a_{2}=\frac{24-4\cdot2}{2}=\frac{24-8}{2}=\frac{16}{2}=8$$
$$a_{3}=\frac{24-4\cdot3}{3}=\frac{24-12}{3}=\frac{12}{3}=4$$
$$a_{4}=\frac{24-4\cdot4}{4}=\frac{24-16}{4}=\frac{8}{4}=2$$
$$a_{5}=\frac{24-4\cdot5}{5}=\frac{24-20}{5}=\frac{4}{5}$$
$$a_{6}=\frac{24-4\cdot6}{6}=\frac{24-24}{6}=\frac{0}{6}=0$$
Z naszych obliczeń wynika, że pięć wyrazów jest liczbą całkowitą (wszystkie oprócz \(a_{5}\)), zatem prawidłową odpowiedzią jest \(C\).
Zadanie nr 22 · Matura 2013
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=n^2-n\), dla \(n\ge1\). Który wyraz tego ciągu jest równy \(6\)?
ADrugi
BTrzeci
CSzósty
DTrzydziesty
Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby.
I sposób - metoda podstawiania:
Możemy podstawiać pod \(n\) poszczególne liczby z odpowiedzi (czyli \(n=2\), \(n=3\), \(n=6\) oraz \(n=30\)) i sprawdzić kiedy wynik będzie równy \(6\). Całość wyglądałaby wtedy następująco:
$$a_{2}=2^2-2=4-2=2$$
$$a_{3}=3^2-3=9-3=6$$
$$a_{6}=n^2-n=6^2-6=36-6=30$$
$$a_{30}=n^2-n=30^2-30=900-30=870$$
To oznacza, że to właśnie trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(6\).
II sposób - tworząc odpowiednie równanie kwadratowe:
Gdyby się okazało, że tego typu zadanie jest zadaniem otwartym, bez podpowiedzi, to całość moglibyśmy rozwiązać tworząc i rozwiązując odpowiednie równanie kwadratowe:
$$n^2-n=6$$
$$n^2-n-6=0$$
Skoro \(n\gt1\), to ujemny wynik odrzucamy i zostaje nam \(n=3\), czyli trzeci wyraz.
Zadanie nr 31 · Próbny 2013
Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał \(5\) zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o \(2\) zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy \(480\)?
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Pierwszego tygodnia uczeń rozwiązał \(5\) zadań, drugiego rozwiązał \(5+2=7\) zadań, trzeciego \(5+2+2=9\) zadań itd. Widzimy, że powstanie nam w ten sposób ciąg arytmetyczny w którym:
$$a_{1}=5$$
$$r=2$$
Krok 2. Zapisanie równania.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
oraz ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Spróbujmy zatem dowiedzieć się kiedy uczeń rozwiąże \(480\) zadań, czyli kiedy zajdzie następująca równość:
$$S_{n}=480$$
$$\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=480$$
$$\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n=480$$
$$\frac{5+5+(n-1)\cdot2}{2}\cdot n=480$$
$$\frac{10+2n-2}{2}\cdot n=480$$
$$\frac{2n+8}{2}\cdot n=480 \quad\bigg/\cdot2$$
$$(2n+8)\cdot n=960$$
$$2n^2+8n=960$$
$$2n^2+8n-960=0 \quad\bigg/:2$$
$$n^2+4n-480=0$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Z równania otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(n=-24\) oraz \(n=20\). Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo liczba tygodni nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(n=20\).
Otrzymany wynik oznacza, że rozwiązanie \(480\) zadań zajmie uczniowi równo \(20\) tygodni. Tym samym uczeń przekroczy \(480\) zadań w kolejnym, \(21\)-szym tygodniu.
Zadanie nr 16 · Matura 2013
Ciąg \((a_{n})\) określony jest wzorem \(a_{n}=-2+\frac{12}{n}\) dla \(n\ge1\). Równość \(a_{n}=4\) zachodzi dla:
A\(n=2\)
B\(n=3\)
C\(n=4\)
D\(n=5\)
Zgodnie z treścią zadania musimy ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$a_{n}=4$$
$$-2+\frac{12}{n}=4$$
$$\frac{12}{n}=6$$
$$12=6n$$
$$n=2$$
Zadanie nr 12 · Matura 2012
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\frac{n}{(-2)^n}\) dla \(n\ge1\). Wówczas:
A\(a_{3}=\frac{1}{2}\)
B\(a_{3}=-\frac{1}{2}\)
C\(a_{3}=\frac{3}{8}\)
D\(a_{3}=-\frac{3}{8}\)
Chcąc obliczyć wartość trzeciego wyrazu tego ciągu wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\):
$$a_{n}=\frac{n}{(-2)^n}$$
$$a_{3}=\frac{3}{(-2)^3}$$
$$a_{3}=\frac{3}{-8}$$
$$a_{3}=-\frac{3}{8}$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2012
Dany jest ciąg \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n}=-n^2+16\) dla \(n\ge1\). Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(3\)
B\(4\)
C\(5\)
D\(7\)
Krok 1. Ułożenie nierówności.
Aby dowiedzieć się ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu to musimy rozwiązać nierówność:
$$-n^2+16\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1)$$
$$n^2-16\lt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz musimy obliczyć miejsca zerowe wielomianu, przyrównując wartość \(n^2-16\) do zera. Możemy to zrobić standardową deltą, ale to jest jedna z tych nierówności którą da się obliczyć niemalże w pamięci:
$$n^2-16=0$$
$$n^2=16$$
$$n=4 \quad\lor\quad n=-4$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Znając miejsca zerowe wielomianu możemy przystąpić do szkicowania wykresu paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed \(n^2\) nie ma żadnej ujemnej wartości:
Krok 4. Odczytanie i interpretacja rozwiązania.
Szukamy argumentów, dla których nierówność przyjmuje wartości mniejsze od zera. W związku z tym: \(n\in(-4;4)\).
Jak teraz zinterpretować to rozwiązanie? Z treści zadania (i ogólnie z wiedzy o ciągach) wiemy, że \(n\ge1\). Wiemy też, że \(n\) jest liczbą naturalną. W związku z tym skoro nasze \(n\) musi być większe lub równe \(1\) i jednocześnie musi się mieścić w przedziale \(n\in(-4;4)\), to mamy tylko trzy liczby które spełniają te warunki: \(n=1, n=2, n=3\). W związku z tym ten ciąg ma tylko trzy dodatnie wyrazy.
Zadanie nr 8 · Próbny 2012
Suma \(2n\) początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa:
A\(S_{2n}=8n^2+4n\)
B\(S_{2n}=4n^2+2n\)
C\(S_{2n}=4n^2+n\)
D\(S_{2n}=2n^2+2n\)
Zastanówmy się co tak naprawdę musimy policzyć. Musimy obliczyć sumę wyrazów, które tworzą ciąg arytmetyczny z liczb parzystych w stylu:
$$2,4,6,8,...$$
O tym ciągu możemy powiedzieć, że jego pierwszym wyrazem jest na pewno \(a_{1}=2\) oraz że różnica ciągu wynosi \(r=2\). Musimy teraz obliczyć sumę tych wszystkich wyrazów, a skoro tak, to zapiszmy wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Rozpisując \(a_{n}\) ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Wiemy, że mamy mieć \(2n\) wyrazów (czyli musimy pod \(n\) podstawiać \(2n\)), wiemy też że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=2\) i wiemy że \(a_{1}=2\), zatem:
$$S_{2n}=\frac{2\cdot2+(2n-1)\cdot2}{2}\cdot2n$$
$$S_{2n}=\frac{4+4n-2}{2}\cdot2n$$
$$S_{2n}=\frac{4n+2}{2}\cdot2n$$
$$S_{2n}=(2n+1)\cdot2n$$
$$S_{2n}=4n^2+2n$$
Zadanie nr 14 · Matura 2012
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\sqrt{2n+4}\) dla \(n\ge1\). Wówczas:
A\(a_{8}=2\sqrt{5}\)
B\(a_{8}=8\)
C\(a_{8}=5\sqrt{2}\)
D\(a_{8}=\sqrt{12}\)
Aby poznać wartość ósmego wyrazu (a patrząc na odpowiedzi wiemy, że właśnie tej wartości poszukujemy) musimy podstawić do wzoru ciągu \(n=8\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{8}=\sqrt{2\cdot8+4}$$
$$a_{8}=\sqrt{16+4}$$
$$a_{8}=\sqrt{20}$$
$$a_{8}=\sqrt{4\cdot5}$$
$$a_{8}=2\sqrt{5}$$
Zadanie nr 18 · Matura 2012
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=(-1)^n\cdot\frac{2-n}{n^2}\) dla \(n\ge1\). Wówczas wyraz \(a_{5}\) tego ciągu jest równy:
A\(-\frac{3}{25}\)
B\(\frac{3}{25}\)
C\(-\frac{7}{25}\)
D\(\frac{7}{25}\)
Chcąc obliczyć piąty wyraz tego ciągu wystarczy podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=(-1)^5\cdot\frac{2-5}{5^2}$$
$$a_{5}=-1\cdot\frac{-3}{25}$$
$$a_{5}=\frac{3}{25}$$
Zadanie nr 16 · Matura 2011
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=2n^2-9\) dla \(n\ge1\)?
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(3\)
Sposób I - obliczenie wartości kilku początkowych wyrazów:
W przypadku tego zadania najprościej jest wyznaczyć sobie wartości kilku pierwszych wyrazów i sprawdzić ile z nich będzie ujemnych. Po odpowiedziach widzimy, że dużo liczenia nas nie czeka, bo będą to maksymalnie trzy wyrazy. Zatem:
$$a_{1}=2\cdot1^2-9=2\cdot1-9=2-9=-7$$
$$a_{2}=2\cdot2^2-9=2\cdot4-9=8-9=-1$$
$$a_{3}=2\cdot3^2-9=2\cdot9-9=18-9=9$$
Widzimy, że tylko dwa pierwsze wyrazy są ujemne, zatem prawidłowa jest odpowiedź \(C\).
Sposób II - obliczenie za pomocą ułożonej nierówności:
Powyższy sposób nie sprawdziłby się nam w zadaniach z trudniejszymi liczbami albo w zadaniach otwartych. Spróbujmy więc dojść do rozwiązania w nieco bardziej matematyczny sposób. Szukamy wyrazów ujemnych, zatem:
$$2n^2-9\lt0$$
$$2n^2\lt9$$
$$n^2\lt4,5$$
Teraz musimy się zastanowić jakie liczby naturalne podniesione do kwadratu dadzą wynik mniejszy niż \(4,5\) (interesują nas tylko liczby naturalne, bo w ciągach \(n\in N\)). Na pewno takimi liczbami będą \(1\) oraz \(2\) i to są jedyne dwie możliwości. Zatem to oznacza, że w naszym ciągu znajdą się tylko dwa wyrazy ujemne.
Zadanie nr 11 · Matura 2010
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) dane są: \(a_{3}=13\) i \(a_{5}=39\). Wtedy wyraz \(a_{1}\) jest równy:
A\(13\)
B\(0\)
C\(-13\)
D\(-26\)
To zadanie możemy rozwiązać tak naprawdę na dwa sposoby.
I sposób (na logikę):
W ciągu arytmetycznym każda kolejna liczba jest powiększona lub pomniejszona o tą samą wartość. W związku z tym różnica między piątym i trzecim wyrazem będzie taka sama jak między trzecim i pierwszym.
Skoro: \(a_{5}-a_{3}=39-13=26\)
To: \(a_{3}-a_{1}\) także będzie równe \(26\)
W ten sposób powstaje nam równanie:
$$a_{3}-a_{1}=26$$
$$13-a_{1}=26$$
$$-a_{1}=13$$
$$a_{1}=-13$$
II sposób (bardziej uniwersalny):
Za pomocą wzorów z tablic matematycznych możemy wyznaczyć \(r\), czyli różnicę ciągu arytmetycznego.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Korzystając z tego wzoru i podstawiając wartości \(a_{3}\) oraz \(a_{5}\) otrzymamy układ równań:
Korzystamy z metody podstawiania, podstawiając za \(4r\) z pierwszego równania wartość \(26-2a_{1}\) i w ten sposób otrzymujemy:
$$39=a_{1}+26-2a_{1}$$
$$13=-a_{1}$$
$$a_{1}=-13$$
Zadanie nr 12 · Próbny 2009
Dla \(n=1,2,...\) ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-1)^n\cdot(3-n)\). Wtedy:
A\(a_{3}\lt0\)
B\(a_{3}=0\)
C\(a_{3}=1\)
D\(a_{3}\gt1\)
Musimy obliczyć wartość trzeciego wyrazu tego ciągu, czyli tak naprawdę podstawić do wzoru \(n=3\). Zatem:
$$a_{3}=(-1)^3\cdot(3-3)$$
$$a_{3}=-1\cdot0$$
$$a_{3}=0$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2009
W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy \(14\), a jedenasty jest równy \(34\). Różnica tego ciągu jest równa:
A\(9\)
B\(\frac{5}{2}\)
C\(2\)
D\(\frac{2}{5}\)
Krok 1. Zapisanie wzoru na trzeci i jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego.
Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Podstawiając do niego \(n=3\) oraz \(n=11\) otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{11}=a_{1}+10r$$
Krok 2. Obliczenie wartości różnicy tego ciągu.
Korzystając ze wzorów które wypisaliśmy sobie w pierwszym kroku i z wartości poszczególnych wyrazów podanych w treści zadania możemy ułożyć prosty układ równań:
\begin{cases} a_{1}+2r=14 \\ a_{1}+10r=34 \end{cases}
Ten układ możemy rozwiązać w dowolny sposób np. metodą podstawiania, gdzie do drugiego równania podstawimy \(a_{1}=14-2r\). Możemy też odjąć te równania stronami i tak też będzie najprościej. Otrzymamy wtedy:
$$-8r=-20$$
$$8r=20$$
$$r=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$$
Zadanie nr 30 · Próbny 2009
Wykaż, że dla kazdego \(m\) ciąg \(\left(\frac{m+1}{4},\frac{m+3}{6},\frac{m+9}{12}\right)\) jest arytmetyczny.
Krok 1. Zapisanie równania na podstawie danych z treści zadania.
Zgodnie z własnościami ciągów artmetycznych dla trzech kolejno wypisanych wyrazów ciągu prawdziwa będzie zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Z racji tego, że dużo w tym zadaniu będzie działań na ułamkach, to może od razu pomnóżmy sobie obie strony tej zależności przez \(2\), tak aby ułatwić sobie obliczenia w dalszej fazie, zatem:
$$2a_{2}=a_{1}+a_{3}$$
Podstawiając do naszego wzoru dane z treści zadania otrzymamy:
$$2\cdot\frac{m+3}{6}=\frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Możemy to równanie rozwiązać w dowolny sposób, ale chyba najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków i wymnożyć obie strony przez \(12\).
$$2\cdot\frac{m+3}{6}=\frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12} \quad\bigg/\cdot12$$
$$2\cdot(2m+6)=(3m+3)+(m+9)$$
$$4m+12=4m+12$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Po obu stronach równania otrzymaliśmy tą samą wartość. Jest to więc równanie tożsamościowe, czyli takie które spełnia każda liczba. W związku z tym otrzymany wynik kończy nasze dowodzenie, bo w ten sposób udało nam się dowieść, że ciąg jest arytmetyczny dla każdego \(m\).
Zadanie nr 15 · Próbny 2009
Liczby \(5,\ x+4,\ 1\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Zatem liczba \(x\) jest równa:
A\(-5\)
B\(0,5\)
C\(2\)
D\(-1\)
Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych dla trzech kolejno wypisanych wyrazów ciągu prawdziwa będzie zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Znamy wartość pierwszego i trzeciego wyrazu, drugi wyraz jest opisany jako \(x+4\), zatem:
$$x+4=\frac{5+1}{2}$$
$$x+4=\frac{6}{2}$$
$$x+4=3$$
$$x=-1$$
Zadanie nr 22 · Matura
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(n+3)(n-5)\) dla \(n\ge 1\). Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(3\)
B\(4\)
C\(7\)
D\(9\)
Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności kwadratowej.
Chcąc sprawdzić dla jakich wartości \(n\) ciąg przyjmuje wartości ujemne musimy rozwiązać następującą nierówność kwadratową:
$$(n+3)(n-5)\lt0$$
Ta nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, zatem w bardzo łatwy sposób wyznaczymy jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera:
$$n+3=0 \quad\lor\quad n-5=0$$
$$n=-3 \quad\lor\quad n=5$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed przed \(n\) nie stoi żaden znak minusa. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli.
Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności i interpretacja otrzymanego wyniku.
Interesują nas wartości ujemne, czyli znajdujące się pod osią, a więc rozwiązaniem naszej nierówności jest przedział \(x\in(-3;5)\).
Teraz musimy się zastanowić co ten wynik oznacza i jaka jest odpowiedź na nasze zadanie, bowiem pytają nas o to ile jest wyrazów ujemnych w tym ciągu. Musimy więc w otrzymanym rozwiązaniu uwzględnić jeszcze założenie wynikające z własności ciągów, czyli że \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią. W związku z tym rozwiązaniami które nas interesują są jedynie:
$$x\in\{1,2,3,4\}$$
(Piątki nie uwzględniamy, bo nawias nie był domknięty).
To oznacza, że są tylko cztery wyrazy tego ciągu, które przyjmują ujemną wartość.
Zadanie nr 26 · Matura
Kwadrat \(K_{1}\) ma bok długości \(a\). Obok niego rysujemy kolejno kwadraty \(K_{2}, K_{3}, K_{4},...\) takie, że kolejny kwadrat ma bok połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz rysunek).
Wyznacz pole kwadratu \(K_{12}\).
Krok 1. Wyznaczenie długości boku kwadratu \(K_{12}\).
Pierwszy kwadrat ma długość boku równą \(a\).
Drugi kwadrat ma długość boku równą \(\frac{a}{2}\).
Trzeci kwadrat ma długość boku równą \(\frac{a}{2^2}\).
Czwarty kwadrat ma długość boku równą \(\frac{a}{2^3}\).
...
Dwunasty kwadrat ma długość boku równą \(\frac{a}{2^{11}}\).
Krok 2. Obliczenie pola kwadratu \(K_{12}\).
Podstawiając do wzoru na pole kwadratu długość boku równą \(\frac{a}{2^{11}}\) otrzymamy:
$$P=\left(\frac{a}{2^{11}}\right)^2=\frac{a^2}{2^{22}}$$
Zadanie nr 30 · Matura
Dane są liczby: \(a=2\sqrt{2}, b=4, c=4\sqrt{2}\).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.
Liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) tworzą w podanej kolejności:
Jeżeli ten ciąg jest arytmetyczny, to zajdzie w nim bardzo charakterystyczna własność między trzema kolejnymi wyrazami, czyli:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Z kolei jeśli ten ciąg jest geometryczny, to zajdzie w nim następująca własność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Sprawdźmy zatem, która z tych własności będzie spełniona, zaczynając od ciągu arytmetycznego. Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$4=\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}$$
$$4=\frac{6\sqrt{2}}{2}$$
$$4=3\sqrt{2}$$
$$L\neq P$$
Wyszła nam sprzeczność, czyli wiemy już, że ten ciąg nie jest arytmetyczny. To teraz sprawdźmy, czy jest geometryczny:
$$4^2=2\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}$$
$$16=8\cdot2$$
$$16=16$$
$$L=P$$
Taki wynik oznacza, że faktycznie ten ciąg jest geometryczny, ponieważ \(b^2=a\cdot c\) i taka też jest odpowiedź.
Zadanie nr 31 · Matura
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Jego różnica jest równa \(4\), a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Z treści zadania wynika, że:
$$3\cdot(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})=a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}$$
Spróbujmy teraz rozpisać poszczególne wyrazy tego ciągu, korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$\text{...}$$
$$a_{10}=a_{1}+9r$$
Wiemy, że różnica tego ciągu to \(r=4\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+4$$
$$a_{3}=a_{1}+8$$
$$\text{...}$$
$$a_{10}=a_{1}+36$$
Podstawiając teraz te rozpisane wyrazy, otrzymamy:
$$3\cdot(a_{1}+a_{1}+4+a_{1}+8+a_{1}+12+a_{1}+16)=a_{1}+20+a_{1}+24+a_{1}+28+a_{1}+32+a_{1}+36$$
$$3\cdot(5a_{1}+40)=5a_{1}+140$$
$$15a_{1}+120=5a_{1}+140$$
$$10a_{1}=20$$
$$a_{1}=2$$
Zadanie nr 32 · Matura
Iloraz skończonego ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{3}\), trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(\frac{1}{9}\), a suma wszystkich wyrazów to \(\frac{364}{243}\). Oblicz, z ilu wyrazów składa się ten ciąg.
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Z treści zadania wiemy, że \(q=\frac{1}{3}\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{9}\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$
$$\frac{1}{9}=a_{1}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2$$
$$\frac{1}{9}=a_{1}\cdot\frac{1}{9}$$
$$a_{1}=1$$
Krok 2. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, czyli:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
Podstawiając do tego wzoru znane informacje, otrzymamy:
$$\frac{364}{243}=1\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}$$
$$\frac{364}{243}=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\frac{2}{3}} \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3}$$
$$\frac{728}{729}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^n \quad\bigg/-1$$
$$-\frac{1}{729}=-\left(\frac{1}{3}\right)^n \quad\bigg/\cdot(-1)$$
$$\left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{1}{729}$$
$$\left(\frac{1}{3}\right)^n=\left(\frac{1}{3}\right)^6$$
$$n=6$$
To oznacza, że ten ciąg składa się z sześciu wyrazów.
Zadanie nr 33 · Matura
Liczby \(x, y, z\), których suma jest równa \(114\), tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczby te są również wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), gdzie \(n\ge1\), w którym \(x=a_{1}\), \(y=a_{4}\) i \(z=a_{25}\). Oblicz liczby \(x, y, z\).
Krok 1. Zapisanie równań.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{1}+3r$$
$$a_{25}=a_{1}+24r$$
Z treści zadania wynika, że suma trzech wyrazów, czyli \(a_{1}\), \(a_{4}\) oraz \(a_{25}\) jest równa \(114\), zatem:
$$a_{1}+a_{4}+a_{25}=114$$
$$a_{1}+a_{1}+3r+a_{1}+24r=114$$
$$3a_{1}+27r=114 \quad\bigg/:3$$
$$a_{1}+9r=38$$
$$a_{1}=38-9r$$
Krok 2. Wykorzystanie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
W przypadku naszego zadania zapisalibyśmy, że w takim razie:
$$y^2=x^2+z^2$$
$${a_{4}}^2=a_{1}\cdot a_{25}$$
Korzystając z rozpisanych wyrazów z poprzedniego kroku, zapisalibyśmy, że w takim razie:
$$(a_{1}+3r)^2=a_{1}\cdot(a_{1}+24r)$$
$${a_{1}}^2+6a_{1}r+9r^2={a_{1}}^2+24a_{1}r$$
$$6a_{1}r+9r^2=24a_{1}r$$
$$9r^2-18a_{1}r=0$$
$$r^2-2a_{1}r=0$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu.
Mamy równanie, w którym są dwie niewiadome, czyli \(a_{1}\) oraz \(r\). Musimy więc doprowadzić całość do postaci z jedną niewiadomą i pomoże nam w tym równanie, które otrzymaliśmy w pierwszym kroku, czyli \(a_{1}=38-9r\). Podstawiając to do otrzymanego przed chwilą równania, otrzymamy:
$$r^2-2\cdot(38-9r)\cdot r=0$$
$$r^2-(76-18r)\cdot r=0$$
$$r^2-(76r-18r^2)=0$$
$$r^2-76r+18r^2=0$$
$$19r^2-76r=0 \quad\bigg/:3$$
$$r^2-4r=0$$
Postało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście zrobić to za pomocą delty, ale jest akurat tutaj równanie jest na tyle proste, że damy radę rozwiązać je nieco szybciej, rozpisując to jako:
$$r(r-4)=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r-4=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r=4$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników i obliczenie liczby \(x\), \(y\) oraz \(z\).
Otrzymaliśmy dwie różnice i pojawia się teraz pytanie, czy któraś z nich nie musi być przypadkiem odrzucona. Sprawdźmy jak będą wyglądać ciągi dla każdej z otrzymanych różnic.
Gdy \(r=0\), to
\(a_{1}=38-9\cdot0\)
\(a_{1}=38\)
\(a_{4}=38+3\cdot0\)
\(a_{4}=38\)
\(a_{25}=38+24\cdot0\)
\(a_{25}=38\)
Tym samym \(x=38\), \(y=38\) oraz \(z=38\).
Gdy \(r=4\), to:
\(a_{1}=38-9\cdot4\)
\(a_{1}=38-36\)
\(a_{1}=2\)
W pierwszym przypadku (dla \(r=0\)) otrzymaliśmy ciągi stałe, a w drugim (dla \(r=4\)) ciągi rosnące. Treść zadania nie precyzuje jakie mają być nasze ciągi, więc musimy przyjąć, że obydwa warianty są jak najbardziej poprawne. Tym samym to zadanie będzie mieć dwie odpowiedzi: \(x=38, y=38, z=38\) oraz \(x=2, y=14, z=98\).
Zadanie nr 34 · Matura
Trzy liczby, których suma jest równa \(24\), tworzą ciąg arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o \(4\), \(10\) i \(40\) będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny. Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny.
Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że mamy jakieś trzy liczby, których suma daje wynik równy \(24\), zatem:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=24$$
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
Podstawiając teraz te zależności do początkowego równania, otrzymamy:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=24$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=24$$
$$3a_{1}+3r=24$$
$$a_{1}+r=8$$
$$a_{1}=8-r$$
To z kolei prowadzi nas do wniosku, że:
$$a_{2}=(8-r)+r$$
$$a_{2}=8$$
$$a_{3}=(8-r)+2r$$
$$a_{3}=8+r$$
Krok 2. Wykorzystanie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając teraz zapisane wcześniej równania, otrzymamy:
$$18^2=(8-r+4)^2\cdot(8+r+40)^2$$
$$324=(12-r)^2\cdot(48+r)^2$$
$$324=(12-r)\cdot(48+r)$$
$$324=576+12r-48r-r^2$$
$$324=576-36r-r^2$$
$$r^2+36r-252=0$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy rozwiązać. Jest to postać ogólna, więc skorzystamy z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=36,\;c=-252\)
$$Δ=b^2-4ac=36^2-4\cdot1\cdot(-252)=1296-(-1008)=2304$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{2304}=48$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników i wyznaczenie liczb tworzących ciąg.
Otrzymaliśmy dwie różne różnice, więc zastanówmy się, czy którąś z nich trzeba odrzucić.
Gdy \(r=-42\), to:
\(a_{1}=8-(-42)=8+42=50\)
\(a_{2}=50+(-42)=50-42=8\)
\(a_{3}=50+2\cdot(-42)=50-84=-34\)
Gdy \(r=6\), to:
\(a_{1}=8-6=2\)
\(a_{2}=2+6=8\)
\(a_{3}=8+6=14\)
Otrzymaliśmy dwa różne ciągi (jeden malejący, drugi rosnący) i żadnego z nich nie możemy wykluczyć (bo w treści zadania nie ma żadnej informacji o monotoniczności ciągu). Z tego też względu to zadanie ma dwa rozwiązania: \(50,8,-34\) oraz \(2,8,14\).
Zadanie nr 35 · Matura
Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca 2020 roku wpłaciła \(300\) złotych. Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o \(25 zł\) więcej niż w miesiącu poprzednim.
Zadanie 1.
Oblicz kwotę, jaką pani Joanna wpłaciła na subkonto pierwszego czerwca 2022 roku.
Zadanie 2.
Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim pani Joanna powinna odkładać, aby pierwszego czerwca 2025 roku (uwzględniając również wpłatę w tym dniu) na subkoncie była kwota \(76860\) złotych.
Rozwiązanie 1.
Na początek ustalmy, ile wpłat dokonała Pani Joanna, bo to też może nie być do końca oczywiste. Pierwsza wpłata była w czerwcu 2020, druga w lipcu 2020, więc dwunasta wpłata nastąpiła w maju 2021, a tym samym dwudziesta czwarta w maju 2022. Wpłata pierwszego czerwca będzie więc wpłatą dwudziestą piątą.
Powinniśmy dostrzec, że kwoty wpłat będą tworzyć pewien ciąg arytmetyczny, w którym \(a_{1}=300\) oraz \(r=25\). Skoro więc interesuje nas wartość dwudziestej piątej wpłaty, to zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{25}=a_{1}+24r$$
$$a_{25}=300+24\cdot25$$
$$a_{25}=300+600$$
$$a_{25}=900$$
Rozwiązanie 2.
W tym zadaniu wykorzystamy wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Bazując na wyliczance miesięcy z poprzedniego podpunktu, możemy stwierdzić, że wpłata pierwszego czerwca 2025 będzie wpłatą sześćdziesiątą pierwszą, czyli w naszym przypadku \(n=61\). Podstawiając zatem \(S_{n}=76860\) oraz \(a_{1}=300\), otrzymamy:
$$76860=\frac{2\cdot300+(61-1)r}{2}\cdot61$$
$$1260=\frac{600+60r}{2}$$
$$2520=600+60r$$
$$60r=1920$$
$$r=32$$
To oznacza, że Pani Joanna powinna powiększać swoje wpłaty o \(32zł\) miesięcznie.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
