Zastosowania funkcji kwadratowej

Krok 1 — wyróżnik:

$$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}$$

$$x_1=\frac{4}{2}=2,\qquad x_2=\frac{6}{2}=3$$

Odpowiedź: B. Sprawdzenie wzorami Viète’a: suma $2+3=5=\frac{-b}{a}$ ✔, iloczyn $2\cdot3=6=\frac{c}{a}$ ✔

$$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25$$

Odpowiedź: A.

Uwaga: $b=-7$, ale $b^2=49$ — kwadrat usuwa znak. Odpowiedź B to typowy błąd polegający na pominięciu członu $-4ac$.

$$\Delta=2^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16$$

Wyróżnik jest ujemny, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: C.

Interpretacja: parabola $y=x^2+2x+5$ ma ramiona w górę i leży w całości nad osią $OX$ — nigdy jej nie przecina.

To równanie niezupełne (brak wyrazu z $x$) — nie musimy liczyć delty.

$$3x^2=12 \quad\Rightarrow\quad x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2$$

Odpowiedź: $x=-2$ lub $x=2$.

Uwaga: z $x^2=4$ wynikają dwa rozwiązania. Zapisanie samego $x=2$ to najczęstszy błąd.

Wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(x-6)=0$$

Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x-6=0 \Rightarrow x=6$$

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=6$.

Ostrzeżenie: nigdy nie dziel obu stron przez $x$ — straciłbyś rozwiązanie $x=0$.

$$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$

Delta równa zero oznacza jeden pierwiastek podwójny:

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2$$

Odpowiedź: D. Można też zauważyć wzór skróconego mnożenia: $x^2-4x+4=(x-2)^2=0$.

Najpierw upewniamy się, że pierwiastki istnieją:

$$\Delta=49-40=9>0 \quad\checkmark$$

Stosujemy wzory Viète’a ($a=1$, $b=-7$, $c=10$):

$$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=7$$

$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=10$$

Odpowiedź: suma $=7$, iloczyn $=10$.

Weryfikacja: pierwiastkami są $2$ i $5$ — istotnie $2+5=7$ i $2\cdot5=10$. ✔

Korzystamy z tożsamości:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

Podstawiamy dane:

$$x_1^2+x_2^2=5^2-2\cdot 6=25-12=13$$

Odpowiedź: $13$.

Sprawdzenie: pierwiastkami są $2$ i $3$, więc $4+9=13$. ✔ Ta tożsamość pozwala policzyć wynik bez wyznaczania pierwiastków.

Krok 1 — odcięta wierzchołka:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — rzędna (najbezpieczniej przez podstawienie):

$$q=f(3)=9-18+5=-4$$

Odpowiedź: A. Wierzchołek $W=(3,-4)$, a postać kanoniczna to $f(x)=(x-3)^2-4$.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$.

Krok 2 — szkic. Współczynnik $a=1>0$, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Parabola jest poniżej osi $OX$ między miejscami zerowymi.

Krok 3 — odczyt. Nierówność jest ostra, więc końce wykluczamy:

$$x\in(-2,\,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-2,2)$.

Krok 1 — miejsca zerowe: $\Delta=25-24=1$, stąd $x_1=2$, $x_2=3$.

Krok 2 — szkic. $a=1>0$, ramiona w górę. Wartości dodatnie parabola przyjmuje na zewnątrz miejsc zerowych.

Krok 3 — odczyt:

$$x\in(-\infty,\,2)\cup(3,\,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$.

Zapamiętaj: dla $a>0$ nierówność „$>0$" daje dwa przedziały zewnętrzne, a „$\lt 0$" — jeden przedział wewnętrzny.

Metoda 1 — uzupełnianie do kwadratu:

$$x^2-4x+7=(x^2-4x+4)-4+7=(x-2)^2+3$$

Metoda 2 — ze wzorów: $p=\frac{4}{2}=2$, $q=f(2)=4-8+7=3$.

Odpowiedź: $f(x)=(x-2)^2+3$, wierzchołek $W=(2,3)$.

Wniosek: ponieważ $a>0$ i $q=3>0$, funkcja nie ma miejsc zerowych, a jej najmniejsza wartość wynosi $3$.

Krok 1 — miejsca zerowe:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25,\qquad \sqrt{\Delta}=5$$

$$x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{1+5}{2}=3$$

Krok 2 — postać iloczynowa $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$:

$$f(x)=(x+2)(x-3)$$

Odpowiedź: C.

Uwaga na znaki: pierwiastek $-2$ daje czynnik $(x+2)$, bo $x-(-2)=x+2$.

Ponieważ $a=1>0$, ramiona paraboli są skierowane w górę — funkcja osiąga minimum w wierzchołku.

$$p=\frac{2}{2}=1$$

$$q=f(1)=1-2+5=4$$

Odpowiedź: najmniejsza wartość wynosi $4$ i jest przyjmowana dla $x=1$.

Sprawdzenie: postać kanoniczna $f(x)=(x-1)^2+4$ — kwadrat jest nieujemny, więc $f(x)\ge 4$. ✔

Dwa różne pierwiastki istnieją dokładnie wtedy, gdy $\Delta>0$.

$$\Delta=m^2-4\cdot1\cdot4=m^2-16$$

$$m^2-16>0$$

Rozwiązujemy nierówność kwadratową względem $m$. Miejsca zerowe: $m=\pm 4$; ramiona w górę, więc wartości dodatnie są na zewnątrz:

$$m\in(-\infty,\,-4)\cup(4,\,+\infty)$$

Odpowiedź: $m\lt -4$ lub $m>4$.

Sprawdzenie: dla $m=5$ mamy $\Delta=9>0$ ✔; dla $m=0$ mamy $\Delta=-16\lt 0$ ✘

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=x^2$, przy czym $t\ge 0$:

$$t^2-5t+4=0$$

Krok 2 — rozwiązanie względem $t$:

$$\Delta=25-16=9,\qquad t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$

$$t_1=1,\qquad t_2=4$$

Oba spełniają warunek $t\ge 0$. ✔

Krok 3 — powrót do $x$:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,-1,1,2\}$ — cztery rozwiązania.

Krok 1 — układ równań. Niech $a$, $b$ będą bokami:

$$2(a+b)=20 \Rightarrow a+b=10$$

$$a\cdot b=21$$

Krok 2 — interpretacja przez wzory Viète’a. Skoro suma wynosi $10$, a iloczyn $21$, to $a$ i $b$ są pierwiastkami równania:

$$x^2-10x+21=0$$

Krok 3 — rozwiązanie:

$$\Delta=100-84=16,\qquad x_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2}$$

$$x_1=3,\qquad x_2=7$$

Odpowiedź: boki mają $3$ cm i $7$ cm.

Sprawdzenie: obwód $2(3+7)=20$ ✔, pole $3\cdot7=21$ ✔

Wyłączamy wspólny czynnik:

$$-x^2+4x=0 \quad\Rightarrow\quad -x(x-4)=0$$

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=4$$

Odpowiedź: B.

Dodatkowo: $a=-1\lt 0$, więc ramiona są skierowane w dół, a wierzchołek $(2,4)$ to maksimum funkcji.

Dokładnie jedno rozwiązanie (pierwiastek podwójny) występuje, gdy $\Delta=0$.

$$\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot m=36-4m$$

$$36-4m=0 \quad\Rightarrow\quad m=9$$

Odpowiedź: $m=9$.

Sprawdzenie: dla $m=9$ równanie ma postać $x^2-6x+9=(x-3)^2=0$, czyli $x=3$ — jeden pierwiastek podwójny. ✔

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyłączamy czynnik:

$$2x(x-4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \ \text{lub}\ x=4$$

Krok 2 — szkic. $a=2>0$, ramiona w górę, więc wartości niedodatnie parabola przyjmuje między miejscami zerowymi.

Krok 3 — odczyt. Nierówność jest nieostra ($\le$), więc końce należą do rozwiązania:

$$x\in\langle 0,\,4\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle 0,4\rangle$.

Uwaga: przy nierówności nieostrej używamy nawiasów domkniętych — pominięcie tego to częsty błąd punktowany na maturze.

Liczba pierwiastków zależy od znaku wyróżnika:

$$\Delta>0 \ \Rightarrow\ \text{dwa różne},\quad \Delta=0 \ \Rightarrow\ \text{jeden (podwójny)},\quad \Delta\lt 0 \ \Rightarrow\ \text{brak}$$

Odpowiedź: B. $\Delta>0$.

Krok 1 — warunek: $\Delta=0$.

Krok 2 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=16-4m$$

Krok 3 — przyrównujemy do zera:

$$16-4m=0 \quad\Rightarrow\quad m=4$$

Sprawdzenie: $x^2-4x+4=(x-2)^2$, pierwiastek podwójny $x=2$ ✔

Odpowiedź: $m=4$.

Krok 1 — warunek: $\Delta>0$.

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=4-4m>0 \quad\Rightarrow\quad 4>4m \quad\Rightarrow\quad m\lt 1$$

Odpowiedź: $m\lt 1$, czyli $m\in(-\infty,\ 1)$.

Brak pierwiastków oznacza $\Delta\lt 0$:

$$\Delta=36-4m\lt 0 \quad\Rightarrow\quad 36\lt 4m \quad\Rightarrow\quad m>9$$

Odpowiedź: C. $m>9$.

Równanie jest kwadratowe, gdy współczynnik przy $x^2$ jest różny od zera:

$$m\neq0$$

Uwaga. Dla $m=0$ równanie staje się liniowe ($-3x+1=0$), a nie kwadratowe. To standardowe zastrzeżenie w zadaniach z parametrem przy $x^2$.

Odpowiedź: $m\neq0$.

Warunek $\Delta=0$:

$$m^2-36=0 \quad\Rightarrow\quad m^2=36 \quad\Rightarrow\quad m=\pm6$$

Uwaga: równanie kwadratowe względem $m$ daje dwa rozwiązania — pominięcie ujemnego to częsty błąd.

Odpowiedź: A. $m=6$ lub $m=-6$.

Krok 1 — warunek: $\Delta\ge0$.

Krok 2 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=4-4(m-3)=4-4m+12=16-4m$$

Krok 3 — nierówność:

$$16-4m\ge0 \quad\Rightarrow\quad m\le4$$

Uwaga na sformułowanie. „Co najmniej jeden pierwiastek” obejmuje przypadek pierwiastka podwójnego, więc bierzemy nierówność nieostrą $\ge$.

Odpowiedź: $m\le4$.

Krok 1 — trzy warunki: $\Delta>0$, suma $>0$, iloczyn $>0$.

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=m^2-16>0 \quad\Rightarrow\quad m\lt -4 \ \text{lub}\ m>4$$

Krok 3 — iloczyn pierwiastków:

$$x_1 x_2=4>0 \quad\Rightarrow\quad \text{zawsze spełnione}$$

Krok 4 — suma pierwiastków:

$$x_1+x_2=m>0$$

Krok 5 — część wspólna. Łączymy $m>4$ (z wyróżnika i sumy):

$$m>4$$

Uwaga. Warunek $m\lt -4$ z wyróżnika odpada, bo kłóci się z $m>0$.

Odpowiedź: $m>4$.

Parabola o ramionach w górę leży w całości nad osią, gdy nie ma pierwiastków, czyli $\Delta\lt 0$:

$$\Delta=4-4m\lt 0 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Interpretacja. Brak pierwiastków oznacza, że wykres nie dotyka osi $OX$ — a skoro ramiona idą w górę, cała parabola jest dodatnia.

Odpowiedź: D. $m>1$.

Krok 1 — warunek na przeciwne znaki. Pierwiastki mają przeciwne znaki dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn jest ujemny:

$$x_1 x_2\lt 0$$

Krok 2 — iloczyn ze wzoru Viète'a:

$$x_1 x_2=m\lt 0$$

Krok 3 — czy trzeba sprawdzać wyróżnik. Gdy iloczyn pierwiastków jest ujemny, wyróżnik jest automatycznie dodatni — pierwiastki różnych znaków muszą być różne i rzeczywiste. Warunek $\Delta>0$ jest więc spełniony sam.

Odpowiedź: $m\lt 0$.

Podstawiamy $b=m$, $c=m$:

$$\Delta=b^2-4ac=m^2-4\cdot1\cdot m=m^2-4m$$

Odpowiedź: B. $m^2-4m$.

Krok 1 — warunek: $\Delta>0$.

Krok 2 — wyróżnik i nierówność:

$$m^2-4m>0 \quad\Rightarrow\quad m(m-4)>0$$

Krok 3 — rozwiązujemy nierówność kwadratową. Miejsca zerowe $m=0$ i $m=4$, ramiona w górę, więc iloczyn dodatni na zewnątrz pierwiastków:

$$m\lt 0 \quad\text{lub}\quad m>4$$

$$m\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$$

Odpowiedź: $m\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$.

Krok 1 — warunek. Parabola o ramionach w górę jest nieujemna wszędzie, gdy $\Delta\le0$:

$$\Delta=(-2m)^2-4\cdot9=4m^2-36\le0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4m^2\le36 \quad\Rightarrow\quad m^2\le9 \quad\Rightarrow\quad -3\le m\le3$$

Dlaczego $\le$, a nie $\lt $. Nierówność jest nieostra ($\ge0$), więc parabola może dotykać osi — dopuszczamy $\Delta=0$.

Odpowiedź: $m\in\langle-3,\ 3\rangle$.

Dwa pierwiastki ujemne mają iloczyn dodatni:

$$x_1 x_2=m>0$$

Pełna analiza: suma $x_1+x_2=-4\lt 0$ (spełnione), iloczyn $m>0$, wyróżnik $16-4m\ge0$ czyli $m\le4$. Razem: $0\lt m\le4$. Ale samo pytanie dotyczy warunku na iloczyn, więc $m>0$.

Odpowiedź: A. $m>0$.

Krok 1 — suma ze wzoru Viète'a:

$$x_1+x_2=2m+1$$

Krok 2 — przyrównujemy do $7$:

$$2m+1=7 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Krok 3 — sprawdzamy istnienie pierwiastków. Dla $m=3$ równanie to $x^2-7x+3=0$, $\Delta=49-12=37>0$ ✔ — pierwiastki istnieją.

Odpowiedź: $m=3$.

Styczność do osi $OX$ oznacza dokładnie jeden punkt wspólny, czyli pierwiastek podwójny:

$$\Delta=0$$

Interpretacja: wierzchołek paraboli leży wtedy na osi $OX$.

Odpowiedź: C. $\Delta=0$.

Krok 1 — wyróżnik. Tu $b=-2(m-1)$, więc:

$$\Delta=\bigl[-2(m-1)\bigr]^2-4\cdot1\cdot m^2=4(m-1)^2-4m^2$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$\Delta=4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2=4m^2-8m+4-4m^2=-8m+4$$

Krok 3 — warunek $\Delta>0$:

$$-8m+4>0 \quad\Rightarrow\quad 4>8m \quad\Rightarrow\quad m\lt \frac12$$

Uwaga na rachunek. Kluczowe było poprawne podniesienie $-2(m-1)$ do kwadratu — nawias i mnożnik $4$ łatwo pogubić. Wyrazy z $m^2$ skróciły się, więc wyróżnik okazał się liniowy.

Odpowiedź: $m\lt \frac12$.

Krok 1 — trzy warunki na dwa dodatnie pierwiastki.

Wyróżnik $\Delta\ge0$:

$$m^2-4(m+3)\ge0 \quad\Rightarrow\quad m^2-4m-12\ge0$$

Miejsca zerowe $m=-2$ i $m=6$, więc $m\le-2$ lub $m\ge6$.

Suma $>0$:

$$x_1+x_2=m>0$$

Iloczyn $>0$:

$$x_1 x_2=m+3>0 \quad\Rightarrow\quad m>-3$$

Krok 2 — część wspólna trzech warunków. Z sumy $m>0$, z iloczynu $m>-3$ (słabsze), z wyróżnika $m\le-2$ lub $m\ge6$. Łącząc z $m>0$:

$$m\ge6$$

Sprawdzenie dla $m=6$: $x^2-6x+9=(x-3)^2$, pierwiastek podwójny $x=3>0$ ✔

Odpowiedź: $m\ge6$.

Przypadek 1: $m=0$. Nierówność redukuje się do $2x+1>0$, czyli $x>-\frac12$ — nie zachodzi dla wszystkich $x$. Odrzucamy.

Przypadek 2: $m\neq0$. Aby parabola była zawsze dodatnia, potrzeba ramion w górę i braku pierwiastków:

• $m>0$ — ramiona w górę,
• $\Delta\lt 0$ — brak miejsc zerowych.

Wyróżnik:

$$\Delta=4-4m\lt 0 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Część wspólna: $m>0$ i $m>1$ daje $m>1$.

Wniosek. Warunek $m>1$ pochłania $m>0$, a przypadek $m=0$ odpadł osobno. Zawsze trzeba go rozpatrzyć oddzielnie, bo dla $m=0$ wyrażenie przestaje być kwadratowe.

Odpowiedź: $m>1$.

Krok 1 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=(-m)^2-4\cdot1\cdot(-1)=m^2+4$$

Krok 2 — szacujemy. Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc:

$$m^2\ge0 \quad\Rightarrow\quad m^2+4\ge4>0$$

Krok 3 — wniosek. Wyróżnik jest dodatni dla każdego $m$, więc równanie zawsze ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. $\qquad ∎$

Interpretacja przez Viète'a. Iloczyn pierwiastków wynosi $x_1 x_2=-1\lt 0$, więc pierwiastki zawsze mają przeciwne znaki — muszą być dwa różne i rzeczywiste. To niezależne potwierdzenie tezy.

Sprawdzenie dla $m=0$: $x^2-1=0$ daje $x=\pm1$ — dwa różne pierwiastki ✔

W metodzie podstawiania wyznaczamy jedną zmienną z jednego równania i wstawiamy do drugiego, otrzymując równanie z jedną niewiadomą.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — porównujemy prawe strony:

$$x^2=x+2 \quad\Rightarrow\quad x^2-x-2=0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$(x-2)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{lub}\ x=-1$$

Krok 3 — obliczamy $y$:

$$x=2\Rightarrow y=4,\qquad x=-1\Rightarrow y=1$$

Odpowiedź: $(2,\ 4)$ oraz $(-1,\ 1)$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$, gdzie $t\ge0$:

$$t^2-5t+4=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$(t-1)(t-4)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \ \text{lub}\ t=4$$

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=1\Rightarrow x=\pm1,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,-1,1,2\}$.

Porównujemy: $x^2=-1$. Kwadrat nie może być ujemny, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Geometrycznie: parabola $y=x^2$ leży nad osią, a prosta $y=-1$ pod nią — nie przecinają się.

Odpowiedź: C. $0$.

Krok 1 — z pierwszego równania $y=5-x$.

Krok 2 — podstawiamy do drugiego:

$$x(5-x)=6 \quad\Rightarrow\quad -x^2+5x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x^2-5x+6=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$(x-2)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{lub}\ x=3$$

Krok 4 — pary: $(2,\ 3)$ oraz $(3,\ 2)$.

Odpowiedź: $(2,3)$ i $(3,2)$.

Podstawienie $t=x^2$ zamienia równanie czwartego stopnia na kwadratowe.

Ważne zastrzeżenie: $t=x^2\ge0$, więc ujemne wartości $t$ odrzucamy — nie dają rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź: A. $t=x^2$, $t\ge0$.

Krok 1 — porównujemy:

$$x^2-2x=3 \quad\Rightarrow\quad x^2-2x-3=0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$(x-3)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{lub}\ x=-1$$

Krok 3 — dla obu $y=3$:

$$(3,\ 3) \quad\text{oraz}\quad (-1,\ 3)$$

Interpretacja: pozioma prosta $y=3$ przecina parabolę w dwóch punktach.

Odpowiedź: $(3,3)$ i $(-1,3)$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2\ge0$:

$$t^2-13t+36=0$$

Krok 2 — wyróżnik i pierwiastki:

$$\Delta=169-144=25,\qquad t=\frac{13\pm5}{2}$$

$$t_1=9,\qquad t_2=4$$

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=9\Rightarrow x=\pm3,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-3,-2,2,3\}$.

Porównujemy: $x^2=2x-1$, czyli $x^2-2x+1=0$, więc $(x-1)^2=0$.

To pierwiastek podwójny $x=1$ — prosta jest styczna do paraboli, więc jest tylko jeden punkt wspólny $(1,\ 1)$.

Odpowiedź: D. jedno rozwiązanie.

Krok 1 — dodajemy równania stronami. Wyrazy $y$ się znoszą:

$$2x^2=8 \quad\Rightarrow\quad x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

Krok 2 — obliczamy $y$ z pierwszego równania:

$$y=7-x^2=7-4=3$$

Krok 3 — pary: $(2,\ 3)$ oraz $(-2,\ 3)$.

Uwaga: $y$ zależy od $x^2$, więc dla obu wartości $x$ wychodzi to samo $y$.

Odpowiedź: $(2,3)$ i $(-2,3)$.

$$x^4=16 \quad\Rightarrow\quad x^2=4 \quad(\text{bo } x^2\ge0)$$

$$x=\pm2$$

Rozwiązanie $x^2=-4$ odrzucamy. Zostają dwa rozwiązania rzeczywiste.

Odpowiedź: B. dwa.

Krok 1 — iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x^2-4=0 \quad\text{lub}\quad x^2-1=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdy:

$$x=\pm2 \quad\text{lub}\quad x=\pm1$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,-1,1,2\}$.

Krok 1 — układ:

$$x+y=10,\qquad x^2+y^2=58$$

Krok 2 — korzystamy z tożsamości. $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$:

$$58=100-2xy \quad\Rightarrow\quad xy=21$$

Krok 3 — mamy sumę $10$ i iloczyn $21$. Liczby to pierwiastki $t^2-10t+21=0$:

$$(t-3)(t-7)=0 \quad\Rightarrow\quad t=3 \ \text{lub}\ t=7$$

Sprawdzenie: $9+49=58$ ✔

Odpowiedź: liczby to $3$ i $7$.

Każde równanie to wykres (parabola i prosta). Rozwiązania układu to współrzędne ich punktów wspólnych.

Liczba rozwiązań: $0$, $1$ (styczność) lub $2$ — zależnie od położenia prostej względem paraboli.

Odpowiedź: A. punkty przecięcia.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $x^2$:

$$x^2\left(x^2-8\right)=0$$

Krok 2 — dwa przypadki:

$$x^2=0 \quad\text{lub}\quad x^2=8$$

Krok 3 — rozwiązania:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=\pm2\sqrt2$$

Uwaga: tu wygodniejsze było wyłączenie czynnika niż podstawienie — $x=0$ łatwo przeoczyć przy $t=x^2$.

Odpowiedź: $x\in\{-2\sqrt2,\ 0,\ 2\sqrt2\}$.

Podstawienie $t=x^2\ge0$ daje $t^2+3t+2=0$, czyli $(t+1)(t+2)=0$, więc $t=-1$ lub $t=-2$.

Obie wartości są ujemne, a $t=x^2\ge0$ — więc odrzucamy obie. Brak rozwiązań rzeczywistych.

Wniosek: gdy oba pierwiastki po podstawieniu są ujemne, równanie dwukwadratowe nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Krok 1 — podstawiamy $y=x+1$ do pierwszego równania:

$$x^2+(x+1)^2=25$$

Krok 2 — rozwijamy:

$$x^2+x^2+2x+1=25 \quad\Rightarrow\quad 2x^2+2x-24=0$$

Krok 3 — dzielimy przez $2$ i rozkładamy:

$$x^2+x-12=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+4)=0$$

$$x=3 \quad\text{lub}\quad x=-4$$

Krok 4 — obliczamy $y=x+1$:

$$x=3\Rightarrow y=4,\qquad x=-4\Rightarrow y=-3$$

Interpretacja geometryczna. Prosta przecina okrąg o promieniu $5$ w dwóch punktach: $(3,4)$ i $(-4,-3)$.

Sprawdzenie: $9+16=25$ ✔, $16+9=25$ ✔

Odpowiedź: $(3,4)$ i $(-4,-3)$.

Krok 1 — warunek wspólnych punktów:

$$x^2=x+m \quad\Rightarrow\quad x^2-x-m=0$$

Krok 2 — styczność oznacza jeden punkt wspólny, czyli pierwiastek podwójny:

$$\Delta=0$$

Krok 3 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-m)=1+4m$$

Krok 4 — przyrównujemy do zera:

$$1+4m=0 \quad\Rightarrow\quad m=-\frac14$$

Interpretacja. Dla $m=-\frac14$ prosta dotyka paraboli w jednym punkcie; dla $m>-\frac14$ przecina ją w dwóch, dla $m\lt -\frac14$ omija.

Odpowiedź: $m=-\frac14$.

Krok 1 — układ równań. Niech boki to $x$ i $y$:

$$2(x+y)=28,\qquad xy=48$$

Krok 2 — upraszczamy pierwsze:

$$x+y=14$$

Krok 3 — suma $14$, iloczyn $48$. Boki to pierwiastki równania:

$$t^2-14t+48=0 \quad\Rightarrow\quad (t-6)(t-8)=0$$

$$t=6 \quad\text{lub}\quad t=8$$

Sprawdzenie: obwód $2\cdot14=28$ ✔, pole $6\cdot8=48$ ✔

Odpowiedź: boki $6$ i $8$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=x^2$, gdzie $t\ge0$:

$$t^2+bt+c=0$$

Krok 2 — analiza za pomocą wzorów Viète'a. Gdyby to równanie miało pierwiastki $t_1$, $t_2$, to:

$$t_1+t_2=-b\lt 0,\qquad t_1 t_2=c>0$$

Krok 3 — wnioskowanie. Iloczyn dodatni oznacza jednakowe znaki pierwiastków, a suma ujemna — że oba są ujemne.

Krok 4 — sprzeczność z podstawieniem. Skoro oba $t$ są ujemne (lub nie istnieją rzeczywiste, gdy $\Delta\lt 0$), a musi być $t=x^2\ge0$, żadne nie daje rozwiązania dla $x$. $\qquad ∎$

Sprawdzenie: $x^4+3x^2+2=0$ ($b=3$, $c=2$) nie ma pierwiastków rzeczywistych ✔

Wzory Viète'a dla równania $x^2+bx+c=0$ (współczynnik przy $x^2$ równy $1$):

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1\cdot x_2=c$$

Uwaga na znak: suma to $-b$ (z minusem), a iloczyn to $c$ (bez zmiany znaku).

Odpowiedź: B. $-b$.

Odczytujemy współczynniki: $b=-7$, $c=10$.

$$x_1+x_2=-b=7,\qquad x_1\cdot x_2=c=10$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $5$, a $2+5=7$ oraz $2\cdot5=10$ ✔

Odpowiedź: suma $7$, iloczyn $10$.

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Uwaga: gdy współczynnik $a\neq1$, dzielimy przez $a$. Dla $a=1$ wzory upraszczają się do $-b$ i $c$.

Odpowiedź: jak wyżej.

Współczynniki: $a=2$, $b=-8$, $c=6$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $1$ i $3$, a $1+3=4$ ✔

Odpowiedź: C. $4$.

Współczynniki: $a=3$, $c=-12$:

$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-12}{3}=-4$$

Uwaga na znak: ujemny iloczyn oznacza, że pierwiastki mają przeciwne znaki.

Odpowiedź: $-4$.

Iloczyn dwóch liczb jest ujemny tylko wtedy, gdy jedna jest dodatnia, a druga ujemna:

$$x_1\cdot x_2\lt 0 \quad\Rightarrow\quad \text{różne znaki}$$

Zastosowanie: wzory Viète'a pozwalają określić znaki pierwiastków bez ich liczenia — wystarczą znaki sumy i iloczynu.

Odpowiedź: A. mają różne znaki.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1 x_2=8$$

Krok 2 — kluczowa tożsamość:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$x_1^2+x_2^2=6^2-2\cdot8=36-16=20$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Idea. Wzory Viète'a pozwalają liczyć wyrażenia symetryczne w pierwiastkach bez wyznaczania samych pierwiastków.

Odpowiedź: $x_1^2+x_2^2=20$.

Krok 1 — suma i iloczyn:

$$x_1+x_2=3+(-5)=-2,\qquad x_1 x_2=3\cdot(-5)=-15$$

Krok 2 — budujemy równanie. Dla postaci $x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2=0$:

$$x^2-(-2)x+(-15)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2x-15=0$$

Sprawdzenie: $(x-3)(x+5)=x^2+2x-15$ ✔

Odpowiedź: $x^2+2x-15=0$.

Suma pierwiastków to $-p$:

$$x_1+x_2=2+3=5=-p \quad\Rightarrow\quad p=-5$$

Sprawdzenie: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ✔

Odpowiedź: D. $p=-5$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=10,\qquad x_1 x_2=21$$

Krok 2 — sprowadzamy sumę odwrotności do wspólnego mianownika:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\frac{10}{21}$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $3$ i $7$, a $\frac13+\frac17=\frac{7+3}{21}=\frac{10}{21}$ ✔

Odpowiedź: $\frac{10}{21}$.

Dodatni iloczyn oznacza jednakowe znaki pierwiastków. Dodatnia suma przy jednakowych znakach wymusza, by oba były dodatnie.

Rozumowanie: gdyby oba były ujemne, ich suma byłaby ujemna — sprzeczność.

Odpowiedź: B. dodatnie.

Krok 1 — warunek równych pierwiastków: $\Delta=0$.

Krok 2 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=m^2-4\cdot1\cdot9=m^2-36$$

Krok 3 — przyrównujemy do zera:

$$m^2-36=0 \quad\Rightarrow\quad m=6 \ \text{lub}\ m=-6$$

Kontrola przez Viète'a. Dla równych pierwiastków $x_1=x_2=t$ mamy $t^2=9$, więc $t=\pm3$, a suma $2t=\pm6=m$ ✔

Odpowiedź: $m=6$ lub $m=-6$.

Krok 1 — dane wyjściowe. Dla $x^2-5x+6=0$: $x_1+x_2=5$, $x_1 x_2=6$.

Krok 2 — suma nowych pierwiastków $\frac{1}{x_1}$ i $\frac{1}{x_2}$:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=\frac{5}{6}$$

Krok 3 — iloczyn nowych pierwiastków:

$$\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1 x_2}=\frac16$$

Krok 4 — budujemy równanie:

$$x^2-\frac56 x+\frac16=0 \quad\Big|\cdot6 \quad\Rightarrow\quad 6x^2-5x+1=0$$

Sprawdzenie: pierwiastki wyjściowe to $2$ i $3$, ich odwrotności $\frac12$ i $\frac13$, a $6x^2-5x+1=(2x-1)(3x-1)$ ✔

Odpowiedź: $6x^2-5x+1=0$.

Z sumy Viète'a $x_1+x_2=-4$:

$$1+x_2=-4 \quad\Rightarrow\quad x_2=-5$$

Sprawdzenie: iloczyn to $1\cdot(-5)=-5=c$, a $x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$ ✔

Odpowiedź: C. $-5$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=8,\qquad x_1 x_2=15$$

Krok 2 — tożsamość:

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$(x_1-x_2)^2=64-60=4$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $3$ i $5$, a $(3-5)^2=4$ ✔

Uwaga. $(x_1-x_2)^2$ zawsze wychodzi nieujemnie — to kontrola poprawności rachunku.

Odpowiedź: $4$.

Pierwiastki przeciwne to $x_1$ i $-x_1$. Ich suma:

$$x_1+(-x_1)=0=-b \quad\Rightarrow\quad b=0$$

Przykład: $x^2-9=0$ ma pierwiastki $3$ i $-3$ — współczynnik przy $x$ wynosi zero.

Odpowiedź: A. $b=0$.

Krok 1 — trzy warunki na dwa dodatnie pierwiastki. Potrzeba: $\Delta\ge0$, suma $>0$, iloczyn $>0$.

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=(m+1)^2-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2\ge0$$

To zachodzi zawsze — wyróżnik jest kwadratem.

Krok 3 — suma pierwiastków:

$$x_1+x_2=m+1>0 \quad\Rightarrow\quad m>-1$$

Krok 4 — iloczyn pierwiastków:

$$x_1 x_2=m>0 \quad\Rightarrow\quad m>0$$

Krok 5 — część wspólna warunków:

$$m>0$$

Wniosek. Warunek $m>0$ jest najostrzejszy i pochłania $m>-1$. Wyróżnik nie nakłada ograniczeń.

Sprawdzenie dla $m=4$: $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$ — pierwiastki $1$ i $4$, oba dodatnie ✔

Odpowiedź: $m>0$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1 x_2=m$$

Krok 2 — tożsamość na sumę kwadratów:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=36-2m$$

Krok 3 — podstawiamy warunek zadania:

$$36-2m=20 \quad\Rightarrow\quad 2m=16 \quad\Rightarrow\quad m=8$$

Krok 4 — kontrola istnienia pierwiastków. Dla $m=8$: $\Delta=36-32=4>0$ ✔ — pierwiastki istnieją i są rzeczywiste.

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Odpowiedź: $m=8$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1 x_2=12$$

Krok 2 — tożsamość:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=p^2-24$$

Krok 3 — warunek zadania:

$$p^2-24=25 \quad\Rightarrow\quad p^2=49 \quad\Rightarrow\quad p=7 \ \text{lub}\ p=-7$$

Krok 4 — sprawdzamy istnienie pierwiastków. $\Delta=p^2-48=49-48=1>0$ dla obu wartości ✔

Dlaczego dwie odpowiedzi. Suma kwadratów zależy od $p^2$, więc znak $p$ nie ma znaczenia — dostajemy parę wartości przeciwnych.

Odpowiedź: $p=7$ lub $p=-7$.

Krok 1 — założenie. Niech $x_1>0$ i $x_2>0$ będą pierwiastkami równania.

Krok 2 — iloczyn. Ze wzoru Viète'a $x_1 x_2=c$. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni:

$$c=x_1 x_2>0 \qquad ✔$$

Krok 3 — suma. Ze wzoru $x_1+x_2=-b$. Suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia:

$$-b=x_1+x_2>0 \quad\Rightarrow\quad b\lt 0 \qquad ✔$$

Krok 4 — wniosek. Otrzymaliśmy $c>0$ oraz $b\lt 0$. $\qquad ∎$

Uwaga. To warunek konieczny, ale nie wystarczający — sam znak współczynników nie gwarantuje istnienia pierwiastków. Trzeba jeszcze $\Delta\ge0$. Przykład: $x^2-2x+5=0$ ma $b\lt 0$, $c>0$, ale $\Delta\lt 0$ i nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Krok 1 — miejsca zerowe:

$$x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2 \ \text{ lub } \ x=2$$

Krok 2 — kierunek ramion. Współczynnik $a=1>0$, więc parabola jest skierowana w górę i leży poniżej osi OX między miejscami zerowymi.

$$x\in(-2,\,2)$$

Nawiasy okrągłe: nierówność jest ostra ($\lt $), więc końce nie należą.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — miejsca zerowe. Rozkładamy na czynniki:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=3$$

Krok 2 — kierunek ramion. $a=1>0$, więc parabola jest nad osią OX na zewnątrz miejsc zerowych.

Krok 3 — zapisujemy rozwiązanie. Nierówność jest nieostra ($\ge$), więc końce dołączamy:

$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$

Sprawdzenie: dla $x=0$ mamy $6\ge0$ ✔, dla $x=2{,}5$ mamy $-0{,}25\lt 0$ (poza zbiorem) ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.

Wzory Viete dla równania $ax^2+bx+c=0$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Podstawiamy $a=1$, $b=-7$, $c=10$:

$$x_1+x_2=-\frac{-7}{1}=7$$

$$x_1\cdot x_2=\frac{10}{1}=10$$

Sprawdzenie: pierwiastkami są $2$ i $5$, bo $2+5=7$ ✔ i $2\cdot5=10$ ✔

Odpowiedź: suma $7$, iloczyn $10$.

Jedno rozwiązanie oznacza $\Delta=0$:

$$\Delta=b^2-4\cdot1\cdot9=b^2-36=0$$

Rozwiązujemy:

$$b^2=36 \quad\Rightarrow\quad b=6 \ \text{ lub } \ b=-6$$

Sprawdzenie dla $b=6$: $x^2+6x+9=(x+3)^2$ — jedno rozwiązanie $x=-3$ ✔

Uwaga: pierwiastkowanie równania $b^2=36$ daje dwa wyniki — pominięcie ujemnego to częsty błąd.

Odpowiedź: B.

Dwa różne pierwiastki oznaczają $\Delta>0$:

$$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot m=16-4m$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$16-4m>0 \quad\Rightarrow\quad -4m>-16 \quad\Rightarrow\quad m\lt 4$$

Uwaga na znak: dzieląc przez liczbę ujemną ($-4$), odwracamy znak nierówności.

Sprawdzenie dla $m=0$: $x^2-4x=x(x-4)$ ma pierwiastki $0$ i $4$ — dwa różne ✔

Odpowiedź: $m\in(-\infty,\,4)$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=x^2$, przy czym $t\ge0$:

$$t^2-13t+36=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=169-144=25,\qquad \sqrt{\Delta}=5$$

$$t_1=\frac{13-5}{2}=4,\qquad t_2=\frac{13+5}{2}=9$$

Oba wyniki są nieujemne, więc oba są dopuszczalne.

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

$$x^2=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm3$$

Uwaga: każde $t$ daje dwa rozwiązania w $x$ — łącznie cztery.

Odpowiedź: $x=-3,\ -2,\ 2,\ 3$.

Ze wzoru Viete na sumę pierwiastków:

$$x_1+x_2=-p \quad\Rightarrow\quad 2+(-5)=-p \quad\Rightarrow\quad -3=-p \quad\Rightarrow\quad p=3$$

Sprawdzenie: równanie ma postać $x^2+3x-10=0$. Podstawiamy $x=2$: $4+6-10=0$ ✔

Uwaga na minus we wzorze — suma pierwiastków to $-p$, a nie $p$.

Odpowiedź: A. $p=3$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyłączamy $x$ przed nawias:

$$-x^2+4x=x(-x+4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \ \text{ lub } \ x=4$$

Krok 2 — kierunek ramion. Tu $a=-1\lt 0$, więc parabola jest skierowana w dół i leży nad osią OX między miejscami zerowymi.

$$x\in(0,\,4)$$

Kluczowe: przy ujemnym $a$ obszary „nad osią” i „pod osią” zamieniają się miejscami w stosunku do przypadku $a>0$.

Sprawdzenie dla $x=2$: $-4+8=4>0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(0,\,4)$.

Brak rozwiązań oznacza $\Delta\lt 0$:

$$\Delta=2^2-4\cdot1\cdot m=4-4m$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$4-4m\lt 0 \quad\Rightarrow\quad -4m\lt -4 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Sprawdzenie dla $m=2$: $\Delta=4-8=-4\lt 0$ — brak pierwiastków ✔

Odpowiedź: $m\in(1,\,+\infty)$.

Wyrażenie $x^2$ jest zawsze nieujemne, więc:

$$x^2+1\ge 1>0$$

Lewa strona nigdy nie jest ujemna, a nierówność wymaga wartości mniejszej od zera — nie ma rozwiązań.

Potwierdzenie wyróżnikiem: $\Delta=0-4=-4\lt 0$, a $a=1>0$, więc cała parabola leży nad osią OX.

Odpowiedź: D. żadnego.

Krok 1 — wzory Viete:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1\cdot x_2=k$$

Krok 2 — przekształcamy warunek wzorem $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$20=6^2-2k \quad\Rightarrow\quad 20=36-2k \quad\Rightarrow\quad 2k=16 \quad\Rightarrow\quad k=8$$

Krok 4 — sprawdzamy istnienie pierwiastków:

$$\Delta=36-32=4>0 \ ✔$$

Weryfikacja: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Odpowiedź: $k=8$.

Uwaga: nie wolno przyrównać czynników do $5$ — reguła „iloczyn równy zero” działa tylko dla zera.

Krok 1 — rozwijamy i porządkujemy:

$$x^2+3x-x-3=5 \quad\Rightarrow\quad x^2+2x-8=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$\Delta=4+32=36,\qquad \sqrt{\Delta}=6$$

$$x_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-2+6}{2}=2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $(2-1)(2+3)=1\cdot5=5$ ✔

Odpowiedź: $x=-4$ lub $x=2$.

Ze wzoru Viete, pamiętając o współczynniku $a=2$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4$$

Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez $a$ i podanie $8$ (odpowiedź A). Gdy $a\neq1$, trzeba dzielić.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — suma pierwiastków ze wzoru Viete:

$$x_1+x_2=-\frac{-2m}{1}=2m$$

Krok 2 — warunek z treści:

$$2m=6 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Krok 3 — sprawdzamy, czy pierwiastki istnieją. Dla $m=3$:

$$\Delta=(-6)^2-4(9-1)=36-32=4>0 \ ✔$$

Weryfikacja: równanie to $x^2-6x+8=0$ o pierwiastkach $2$ i $4$, a $2+4=6$ ✔

Uwaga: warunek na $\Delta$ trzeba sprawdzić zawsze — bez pierwiastków mówienie o ich sumie nie miałoby sensu.

Odpowiedź: $m=3$.

Krok 1 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-9\le 0$$

Krok 2 — miejsca zerowe:

$$(x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3 \ \text{ lub } \ x=3$$

Krok 3 — ramiona w górę ($a=1>0$), więc wartości niedodatnie są między miejscami zerowymi. Nierówność nieostra dołącza końce:

$$x\in\langle -3,\,3\rangle$$

Częsty błąd: zapisanie odpowiedzi jako $x\le3$ — pomija się wtedy ograniczenie od dołu. Sprawdź $x=-10$: $100\le9$ to fałsz.

Odpowiedź: $x\in\langle -3,\,3\rangle$.

Przekształcamy równanie:

$$x^2=-4$$

Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Potwierdzenie wyróżnikiem: $\Delta=0-16=-16\lt 0$.

Uwaga: $x^2-4=0$ (z minusem) miałoby rozwiązania $\pm2$ — znak przy stałej zmienia wszystko.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — oznaczenia. Niech pierwsza liczba to $x$, druga $x+1$:

$$x(x+1)=132$$

Krok 2 — porządkujemy do postaci ogólnej:

$$x^2+x-132=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$\Delta=1+528=529,\qquad \sqrt{529}=23$$

$$x_1=\frac{-1-23}{2}=-12,\qquad x_2=\frac{-1+23}{2}=11$$

Krok 4 — wybieramy sensowne rozwiązanie. Szukamy liczb naturalnych, więc odrzucamy $-12$.

Sprawdzenie: $11\cdot12=132$ ✔

Odpowiedź: liczby to $11$ i $12$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$, $t\ge0$:

$$t^2-5t+4=0$$

Krok 2 — rozkładamy na czynniki:

$$(t-1)(t-4)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \ \text{ lub } \ t=4$$

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1$$

$$x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $16-20+4=0$ ✔

Odpowiedź: $x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, długość $x+7$:

$$x(x+7)=60$$

Krok 2 — porządkujemy:

$$x^2+7x-60=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$\Delta=49+240=289,\qquad \sqrt{289}=17$$

$$x_1=\frac{-7-17}{2}=-12,\qquad x_2=\frac{-7+17}{2}=5$$

Krok 4 — odrzucamy wynik bez sensu. Bok nie może być ujemny, więc $x=5$.

Wymiary: szerokość $5$ cm, długość $5+7=12$ cm.

Sprawdzenie: $5\cdot12=60$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $5$ cm na $12$ cm.

Potrzebne są trzy warunki naraz.

Warunek 1 — istnienie dwóch pierwiastków ($\Delta>0$):

$$\Delta=(m+1)^2-4m=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2$$

$$(m-1)^2>0 \quad\Rightarrow\quad m\neq1$$

Warunek 2 — suma pierwiastków dodatnia:

$$x_1+x_2=m+1>0 \quad\Rightarrow\quad m>-1$$

Warunek 3 — iloczyn pierwiastków dodatni:

$$x_1\cdot x_2=m>0$$

Część wspólna warunków: $m>0$ (to mocniejsze niż $m>-1$) oraz $m\neq1$:

$$m\in(0,\,1)\cup(1,\,+\infty)$$

Dlaczego trzy warunki: sama dodatnia suma nie wystarcza (jeden pierwiastek mógłby być ujemny, a drugi duży dodatni) — dopiero dodatni iloczyn gwarantuje ten sam znak obu.

Odpowiedź: $m\in(0,\,1)\cup(1,\,+\infty)$.

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{8}{2}=4$$

Uwaga na znak: $b=-8$, więc $-b=8$.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — odcięta wierzchołka:

$$p=\frac{-6}{2\cdot(-1)}=3$$

Krok 2 — wartość:

$$f(3)=-9+18=9$$

Dlaczego największa: $a=-1\lt 0$, więc ramiona skierowane są w dół.

Odpowiedź: wartość największa $9$ dla $x=3$.

Niech pierwsza liczba to $x$, wtedy druga to $12-x$:

$$P(x)=x(12-x)=12x-x^2$$

To funkcja kwadratowa o ramionach w dół — ma więc wartość największą.

Odpowiedź: $P(x)=-x^2+12x$.

Maksimum funkcji $P(x)=-x^2+12x$ wypada w wierzchołku:

$$p=\frac{-12}{-2}=6$$

Obie liczby są równe $6$, a iloczyn wynosi $36$.

Porównanie: $4\cdot8=32$, $2\cdot10=20$, $1\cdot11=11$ — wszystkie mniejsze.

Odpowiedź: C. $6$ i $6$.

Krok 1 — odcięta wierzchołka:

$$p=\frac{10}{2}=5$$

Krok 2 — wartość:

$$f(5)=25-50+30=5$$

Odpowiedź: wartość najmniejsza $5$.

Suma sąsiednich boków to $10$, więc pole to $P(x)=x(10-x)$.

$$p=\frac{-10}{-2}=5$$

Oba boki po $5$, pole $25$. Dla porównania: $8\cdot2=16$, $7\cdot3=21$, $9\cdot1=9$.

Odpowiedź: A. kwadratem o boku $5$.

Krok 1 — moment maksimum:

$$t=\frac{-20}{2\cdot(-5)}=\frac{-20}{-10}=2\ \text{s}$$

Krok 2 — wysokość:

$$h(2)=-5\cdot4+40=-20+40=20\ \text{m}$$

Odpowiedź: po $2$ sekundach, wysokość $20$ m.

Krok 1 — warunek. Piłka jest na ziemi, gdy $h=0$:

$$-5t^2+20t=0$$

Krok 2 — wyłączamy przed nawias:

$$-5t(t-4)=0 \quad\Rightarrow\quad t=0 \ \text{lub}\ t=4$$

Krok 3 — wybór rozwiązania. Wartość $t=0$ to moment wyrzutu, więc szukamy $t=4$.

Kontrola: maksimum wypadło w $t=2$, dokładnie w połowie między $0$ a $4$ — tak być musi, bo parabola jest symetryczna ✔

Odpowiedź: po $4$ sekundach.

Z postaci kanonicznej $a(x-p)^2+q$ odczytujemy wierzchołek $(3,\,7)$.

Skoro $a=2>0$, ramiona idą w górę i wierzchołek daje minimum:

$$q=7$$

Uwaga: $3$ to argument, a nie wartość.

Odpowiedź: D. $7$.

Krok 1 — wierzchołek:

$$p=\frac{6}{2}=3,\qquad q=f(3)=9-18+11=2$$

Krok 2 — postać kanoniczna:

$$f(x)=(x-3)^2+2$$

Sprawdzenie przez rozwinięcie: $(x-3)^2+2=x^2-6x+9+2=x^2-6x+11$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=(x-3)^2+2$.

Wierzchołek to $(-2,\,5)$, a $a=-1\lt 0$ — ramiona w dół.

Wartość $5$ jest największa, funkcja przyjmuje wszystko poniżej:

$$ZW=(-\infty,\,5\rangle$$

Odpowiedź: B. $(-\infty,\,5\rangle$.

Krok 1 — cena optymalna:

$$x=\frac{-80}{2\cdot(-2)}=\frac{-80}{-4}=20\ \text{zł}$$

Krok 2 — zysk:

$$Z(20)=-2\cdot400+1600-600=-800+1600-600=200$$

Odpowiedź: cena $20$ zł, zysk $200$ zł.

Krok 1 — miejsca zerowe. Dzielimy równanie przez $-2$:

$$x^2-40x+300=0$$

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=1600-1200=400,\qquad \sqrt\Delta=20$$

$$x_1=\frac{40-20}{2}=10,\qquad x_2=\frac{40+20}{2}=30$$

Krok 3 — znak. Ramiona pierwotnej paraboli idą w dół, więc wartości nieujemne są między pierwiastkami:

$$x\in\langle10,\,30\rangle$$

Kontrola: optymalne $20$ leży w środku tego przedziału ✔

Odpowiedź: ceny od $10$ do $30$ zł.

Szukamy liczb o sumie $4$ i iloczynie $3$ — to $1$ i $3$.

Sprawdzenie wyróżnikiem: $\Delta=16-12=4$, więc $x_{1,2}=\frac{4\pm2}{2}$, czyli $1$ i $3$ ✔

Odpowiedź: C. $1$ i $3$.

Krok 1 — związek między bokami:

$$2(x+y)=60 \quad\Rightarrow\quad y=30-x$$

Krok 2 — funkcja pola:

$$P(x)=x(30-x)=-x^2+30x,\qquad 0\lt x\lt 30$$

Krok 3 — maksimum:

$$x=\frac{-30}{-2}=15,\qquad P(15)=15\cdot15=225$$

Odpowiedź: $P(x)=-x^2+30x$, największa powierzchnia $225$ m$^2$ (kwadrat o boku $15$ m).

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{6}=-2$$

Sprawdzenie: $f(-2)=12-24+5=-7$, a np. $f(-1)=3-12+5=-4$ — faktycznie więcej ✔

Odpowiedź: A. $-2$.

Krok 1 — moment maksimum:

$$t=\frac{-15}{-10}=1{,}5\ \text{s}$$

Krok 2 — maksymalna wysokość:

$$h(1{,}5)=-5\cdot2{,}25+22{,}5+2=-11{,}25+24{,}5=13{,}25\ \text{m}$$

Krok 3 — moment upadku. Rozwiązujemy $h(t)=0$:

$$-5t^2+15t+2=0 \quad\Rightarrow\quad 5t^2-15t-2=0$$

$$\Delta=225+40=265,\qquad \sqrt{265}\approx16{,}28$$

$$t=\frac{15+16{,}28}{10}\approx3{,}13\ \text{s}$$

Krok 4 — odrzucenie drugiego pierwiastka. Drugi wynik $\frac{15-16{,}28}{10}\approx-0{,}13$ jest ujemny, więc nie ma sensu fizycznego.

Odpowiedź: maksymalna wysokość $13{,}25$ m, czas lotu około $3{,}13$ s.

Krok 1 — funkcja pola. Suma sąsiednich boków to $20$:

$$P(x)=x(20-x)=-x^2+20x$$

Krok 2 — maksimum:

$$x=\frac{-20}{-2}=10 \quad\Rightarrow\quad P=100\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — porównanie:

$$12\cdot8=96\ \text{cm}^2,\qquad 100-96=4\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu ramki porównawczej: $2(12+8)=40$ cm ✔ — obie ramki zużywają tyle samo drutu.

Odpowiedź: kwadrat $10\times10$ o polu $100$ cm$^2$, czyli o $4$ cm$^2$ więcej.

Krok 1 — oznaczenie. Niech $x$ to liczba złotówek obniżki. Wtedy cena wynosi $50-x$, a sprzedaż $300+10x$.

Krok 2 — funkcja przychodu:

$$R(x)=(50-x)(300+10x)$$

$$R(x)=15\,000+500x-300x-10x^2=-10x^2+200x+15\,000$$

Krok 3 — maksimum:

$$x=\frac{-200}{-20}=10$$

Krok 4 — cena i przychód:

$$\text{cena}=50-10=40\ \text{zł},\qquad \text{sprzedaż}=400\ \text{biletów}$$

$$R=40\cdot400=16\,000\ \text{zł}$$

Porównanie: przy cenie wyjściowej przychód wynosił $50\cdot300=15\,000$ zł — obniżka opłaciła się o $1000$ zł.

Odpowiedź: cena $40$ zł, przychód $16\,000$ zł.

Sposób 1 — przez wyróżnik.

$$\Delta=36-40=-4\lt 0$$

Ujemny wyróżnik oznacza brak miejsc zerowych, a skoro $a=1>0$, cała parabola leży nad osią $OX$. ∎

Sposób 2 — przez postać kanoniczną (bardziej przekonujący, bo pokazuje dlaczego):

$$x^2-6x+10=(x^2-6x+9)+1=(x-3)^2+1$$

Kwadrat jest zawsze nieujemny, więc:

$$(x-3)^2+1\ge0+1=1>0 \qquad ∎$$

Bonus. Drugi sposób daje więcej: pokazuje, że wyrażenie nigdy nie spada poniżej $1$, a wartość $1$ osiąga dokładnie dla $x=3$.

Wniosek: nierówność $x^2-6x+10>0$ zachodzi dla każdego $x\in\mathbb{R}$, a najmniejsza wartość wyrażenia wynosi $1$.