Wielomiany

Reszta z dzielenia $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ to wartość wielomianu w punkcie $a$:

$$R=W(a)$$

Wniosek: $W(x)$ dzieli się przez $(x-a)$ bez reszty dokładnie wtedy, gdy $W(a)=0$, czyli gdy $a$ jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: B. $W(a)$.

Z twierdzenia Bézouta reszta to $W(1)$:

$$W(1)=1-2+5=4$$

Zaleta metody: nie trzeba wykonywać dzielenia — wystarczy podstawić jedną liczbę.

Odpowiedź: reszta wynosi $4$.

Dzielnik $(x-2)$ dzieli $W(x)$ bez reszty, gdy $W(2)=0$:

$$W(2)=8-12+4=0$$

Reszta wynosi zero, więc $(x-2)$ jest dzielnikiem.

Odpowiedź: tak, $(x-2)$ jest dzielnikiem.

To bezpośredni wniosek z twierdzenia Bézouta:

$$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$$

Pierwiastek odpowiada czynnikowi liniowemu w rozkładzie wielomianu.

Odpowiedź: C. $(x-a)$ dzieli $W(x)$.

Reszta z dzielenia przez $(x+1)=\bigl(x-(-1)\bigr)$ to $W(-1)$:

$$W(-1)=2\cdot(-1)+1-(-1)+3=-2+1+1+3=3$$

Uwaga na znak: dwumian $(x+1)$ odpowiada $a=-1$, nie $a=1$.

Odpowiedź: $W(-1)=3$, reszta $3$.

Z twierdzenia Bézouta:

$$W(1)=1^4+1=2$$

Reszta nie jest zerem, więc $(x-1)$ nie jest dzielnikiem $x^4+1$.

Odpowiedź: A. $2$.

Krok 1 — pierwszy wyraz ilorazu. Dzielimy najwyższe wyrazy: $\frac{x^2}{x}=x$.

Krok 2 — odejmujemy $x(x+2)=x^2+2x$:

$$\left(x^2+5x+6\right)-\left(x^2+2x\right)=3x+6$$

Krok 3 — kolejny wyraz ilorazu: $\frac{3x}{x}=3$.

Krok 4 — odejmujemy $3(x+2)=3x+6$:

$$(3x+6)-(3x+6)=0$$

Wynik: iloraz $x+3$, reszta $0$.

Sprawdzenie: $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$ ✔

Odpowiedź: $x+3$.

Krok 1 — warunek podzielności: $W(2)=0$.

Krok 2 — obliczamy $W(2)$:

$$W(2)=8+2m-6=2+2m$$

Krok 3 — przyrównujemy do zera:

$$2+2m=0 \quad\Rightarrow\quad m=-1$$

Sprawdzenie: dla $m=-1$ mamy $W(x)=x^3-x-6$, a $W(2)=8-2-6=0$ ✔

Odpowiedź: $m=-1$.

Z twierdzenia Bézouta pierwiastek $a=3$ odpowiada czynnikowi $(x-3)$:

$$W(3)=0 \iff (x-3)\mid W(x)$$

Uwaga na znak: pierwiastek $3$ daje czynnik $(x-3)$, nie $(x+3)$.

Odpowiedź: D. $x-3$.

Zasada równości wielomianów. Dwa wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach.

Porównujemy:

$$\text{przy } x^2:\ a=2$$

$$\text{przy } x^1:\ 3=b \quad\Rightarrow\quad b=3$$

$$\text{wyraz wolny:}\ 1=1 \ ✔$$

Odpowiedź: $a=2$, $b=3$.

Przy dzieleniu stopnie się odejmują:

$$5-2=3$$

Reguła: $\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$, a reszta ma stopień mniejszy od dzielnika.

Odpowiedź: B. $3$.

Z twierdzenia Bézouta reszta z dzielenia przez $(x-a)$ to wprost $W(a)$:

$$W(1)=3 \quad\text{(reszta z dzielenia przez } x-1)$$

$$W(-2)=-6 \quad\text{(reszta z dzielenia przez } x+2)$$

Idea. Twierdzenie działa w obie strony — znając resztę, znamy wartość wielomianu w danym punkcie bez wykonywania dzielenia.

Odpowiedź: $W(1)=3$, $W(-2)=-6$.

Krok 1 — dopisujemy dzielną z brakującymi potęgami:

$$x^3+0x^2+0x-1$$

Krok 2 — kolejne wyrazy ilorazu: $x^2$, potem $x$, potem $1$. Po wykonaniu dzielenia otrzymujemy:

$$\left(x^3-1\right):(x-1)=x^2+x+1$$

Sprawdzenie: $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$ ✔ To wzór na różnicę sześcianów.

Uwaga: uzupełnienie brakujących potęg zerami jest kluczowe — inaczej łatwo pogubić kolumny przy dzieleniu pisemnym.

Odpowiedź: $x^2+x+1$.

Sprawdzamy wartość w $x=1$:

$$W(1)=1+2-1-2=0$$

Ponieważ $W(1)=0$, liczba $1$ jest pierwiastkiem (twierdzenie Bézouta).

Odpowiedź: A. $W(1)=0$.

Krok 1 — dwa warunki Bézouta: $W(1)=0$ oraz $W(2)=0$.

Krok 2 — pierwszy warunek:

$$1+a+b-6=0 \quad\Rightarrow\quad a+b=5$$

Krok 3 — drugi warunek:

$$8+4a+2b-6=0 \quad\Rightarrow\quad 4a+2b=-2 \quad\Rightarrow\quad 2a+b=-1$$

Krok 4 — układ równań. Odejmujemy pierwsze od drugiego:

$$(2a+b)-(a+b)=-1-5 \quad\Rightarrow\quad a=-6$$

$$b=5-a=5-(-6)=11$$

Sprawdzenie: $W(x)=x^3-6x^2+11x-6$, $W(1)=1-6+11-6=0$ ✔, $W(2)=8-24+22-6=0$ ✔

Odpowiedź: $a=-6$, $b=11$.

Reszta musi mieć stopień mniejszy od dzielnika. Dzielnik $(x-a)$ ma stopień $1$, więc reszta ma stopień $0$ — jest po prostu liczbą (stałą).

Dlatego twierdzenie Bézouta podaje resztę jako pojedynczą wartość $W(a)$, a nie wyrażenie.

Odpowiedź: C. $0$ (stała).

Krok 1 — warunki z twierdzenia Bézouta: $W(1)=2$ oraz $W(-1)=-6$.

Krok 2 — pierwszy warunek:

$$W(1)=1-4+a+b=2 \quad\Rightarrow\quad a+b=5$$

Krok 3 — drugi warunek:

$$W(-1)=-1-4-a+b=-6 \quad\Rightarrow\quad -a+b=-1$$

Krok 4 — rozwiązujemy układ. Dodajemy równania:

$$(a+b)+(-a+b)=5+(-1) \quad\Rightarrow\quad 2b=4 \quad\Rightarrow\quad b=2$$

$$a=5-b=3$$

Sprawdzenie: $W(x)=x^3-4x^2+3x+2$, $W(1)=1-4+3+2=2$ ✔, $W(-1)=-1-4-3+2=-6$ ✔

Odpowiedź: $a=3$, $b=2$.

Krok 1 — potwierdzamy pierwiastek:

$$W(1)=1-6+11-6=0 \ ✔$$

Zatem $(x-1)$ jest dzielnikiem.

Krok 2 — dzielimy $W(x)$ przez $(x-1)$:

$$W(x)=(x-1)\left(x^2-5x+6\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o iloczynie $6$ i sumie $5$: to $2$ i $3$:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Krok 4 — pełny rozkład:

$$W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$$

Wniosek. Pierwiastki to $1$, $2$, $3$. Twierdzenie Bézouta pozwoliło zredukować sześcian do trójmianu — dalej szło już łatwo.

Odpowiedź: $(x-1)(x-2)(x-3)$.

Krok 1 — twierdzenie o pierwiastkach całkowitych. Pierwiastki całkowite są dzielnikami wyrazu wolnego $6$:

$$\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$$

Krok 2 — sprawdzamy kandydatów:

$$W(1)=1-2-5+6=0 \ ✔$$

$$W(-2)=-8-8+10+6=0 \ ✔$$

$$W(3)=27-18-15+6=0 \ ✔$$

Krok 3 — wniosek. Znaleźliśmy trzy pierwiastki: $1$, $-2$, $3$. Wielomian stopnia trzeciego ma co najwyżej trzy pierwiastki, więc to wszystkie.

Rozkład: $W(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$.

Metoda. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych zawęża poszukiwania do dzielników wyrazu wolnego — bez niego trzeba by zgadywać.

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 1,\ 3\}$.

Krok 1 — oznaczenie. Niech $W(x)=x^n-1$.

Krok 2 — stosujemy twierdzenie Bézouta. Wielomian dzieli się przez $(x-1)$ dokładnie wtedy, gdy $W(1)=0$.

Krok 3 — obliczamy $W(1)$:

$$W(1)=1^n-1=1-1=0 \qquad ∎$$

Ponieważ $1^n=1$ dla każdego $n$, reszta zawsze wynosi zero.

Postać ilorazu. Faktycznie zachodzi wzór:

$$x^n-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1\right)$$

Sprawdzenie dla $n=3$: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ ✔

Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego:

$$\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$$

Odpowiedź: B. dzielników wyrazu wolnego.

Kandydaci to dzielniki wyrazu wolnego $-2$:

$$\pm1,\ \pm2$$

Odpowiedź: $-2,\ -1,\ 1,\ 2$.

$$W(1)=1+2-1-2=0$$

Ponieważ $W(1)=0$, liczba $1$ jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: tak, $x=1$ jest pierwiastkiem.

Czynnik $(x-2)^2$ w kwadracie oznacza, że $x=2$ jest pierwiastkiem podwójnym (krotności $2$).

Pierwiastek $x=-1$ (z czynnika $(x+1)$) jest pojedynczy.

Odpowiedź: C. $x=2$.

Pierwiastek $x=3$ — krotność $2$ (podwójny).

Pierwiastek $x=-2$ — krotność $3$ (potrójny).

Odpowiedź: $x=3$ (krotność $2$), $x=-2$ (krotność $3$).

Pierwiastek o krotności parzystej — wykres odbija się od osi $OX$ (dotyka jej i wraca po tej samej stronie).

Dla porównania: przy krotności nieparzystej wykres przecina oś, zmieniając znak.

Odpowiedź: A. dotyka osi, nie przecinając.

Krok 1 — kandydaci to dzielniki $6$: $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$.

Krok 2 — sprawdzamy:

$$W(-1)=-1-4-1+6=0 \ ✔$$

$$W(2)=8-16+2+6=0 \ ✔$$

$$W(3)=27-36+3+6=0 \ ✔$$

Krok 3 — wniosek. Trzy pierwiastki dla wielomianu stopnia trzeciego to komplet:

$$W(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 2,\ 3\}$.

Krok 1 — szukamy pierwiastka wśród dzielników $4$.

$$W(1)=1-1-4+4=0 \ ✔$$

Krok 2 — dzielimy przez $(x-1)$:

$$x^3-x^2-4x+4=(x-1)\left(x^2-4\right)$$

Krok 3 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$(x-1)(x-2)(x+2)=0$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 1,\ 2\}$.

Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych (licząc z krotnościami).

Dla stopnia $3$ — najwyżej trzy.

Odpowiedź: D. $3$.

Miejsca zerowe: $x=1$ (krotność $1$) i $x=-2$ (krotność $2$).

Zachowanie wykresu:

• w $x=1$ (krotność nieparzysta) — wykres przecina oś $OX$,
• w $x=-2$ (krotność parzysta) — wykres dotyka osi i odbija się.

Odpowiedź: dwa miejsca zerowe; przecięcie w $1$, odbicie w $-2$.

Krotność nieparzysta oznacza zmianę znaku wielomianu — wykres przecina oś $OX$.

Odpowiedź: B. przecina oś, zmieniając znak.

Sprawdzamy $x=\frac12$:

$$W\left(\tfrac12\right)=2\cdot\tfrac18+3\cdot\tfrac14-1=\tfrac14+\tfrac34-1=0 \ ✔$$

Sprawdzamy $x=-1$:

$$W(-1)=-2+3-1=0 \ ✔$$

Wniosek. Oba są pierwiastkami. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych: kandydaci to $\frac{p}{q}$, gdzie $p\mid1$ (wyraz wolny), $q\mid2$ (współczynnik wiodący) — stąd $\frac12$ w grze.

Odpowiedź: oba są pierwiastkami.

Dla stopnia nieparzystego ze współczynnikiem wiodącym dodatnim ramiona idą w przeciwnych kierunkach:

$$x\to+\infty:\ W(x)\to+\infty$$

$$x\to-\infty:\ W(x)\to-\infty$$

Reguła. Nieparzysty stopień — ramiona przeciwne (jedno w górę, jedno w dół); parzysty stopień — ramiona w tę samą stronę.

Odpowiedź: prawe ramię w górę, lewe w dół.

W twierdzeniu o pierwiastkach wymiernych licznik $p$ dzieli wyraz wolny ($1$), a mianownik $q$ — współczynnik wiodący ($2$):

$$p\mid1,\qquad q\mid2$$

Kandydaci: $\pm1,\ \pm\frac12$.

Odpowiedź: C. $p\mid1$, $q\mid2$.

Krok 1 — potwierdzamy: $W(1)=1-7+6=0$ ✔

Krok 2 — dzielimy przez $(x-1)$:

$$x^3-7x+6=(x-1)\left(x^2+x-6\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Liczby o iloczynie $-6$ i sumie $1$ to $3$ i $-2$:

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$

Krok 4 — pełny rozkład:

$$W(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$$

Odpowiedź: $(x-1)(x-2)(x+3)$.

Równanie $x^2+1=0$ daje $x^2=-1$, co nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Wykres leży w całości nad osią $OX$ — nie ma miejsc zerowych.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — kandydaci wymierni $\frac{p}{q}$: $p\mid4$, $q\mid2$, więc $\pm1,\pm2,\pm4,\pm\frac12$.

Krok 2 — sprawdzamy $x=\frac12$:

$$W\left(\tfrac12\right)=2\cdot\tfrac18-\tfrac14-4+4=\tfrac14-\tfrac14=0 \ ✔$$

Krok 3 — grupujemy pozostałe wyrazy. Zauważamy strukturę:

$$2x^3-x^2-8x+4=x^2(2x-1)-4(2x-1)=(2x-1)\left(x^2-4\right)$$

Krok 4 — różnica kwadratów:

$$(2x-1)(x-2)(x+2)$$

Pierwiastki: $\frac12$, $2$, $-2$.

Odpowiedź: $(2x-1)(x-2)(x+2)$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$:

$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$$

Krok 2 — wracamy do $x$:

$$\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)$$

Krok 3 — rozkładamy obie różnice kwadratów:

$$(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$

Krok 4 — pierwiastki. Cztery różne, każdy krotności $1$:

$$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$$

Wniosek. Wielomian stopnia $4$ ma tu cztery pojedyncze pierwiastki — wykres przecina oś w czterech punktach.

Odpowiedź: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$; pierwiastki $-2,-1,1,2$ (krotność $1$).

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=-1$ (krotność $1$) i $x=2$ (krotność $2$).

Krok 2 — zachowanie w miejscach zerowych:

• $x=-1$: krotność nieparzysta — wykres przecina oś,
• $x=2$: krotność parzysta — wykres dotyka osi i odbija się.

Krok 3 — ramiona. Stopień $3$ (nieparzysty), współczynnik wiodący dodatni:

$$x\to-\infty:\ W\to-\infty,\qquad x\to+\infty:\ W\to+\infty$$

Krok 4 — przebieg. Od dołu z lewej, przecina oś w $-1$, rośnie, schodzi i dotyka osi w $2$, potem rośnie do $+\infty$.

Odpowiedź: przecięcie w $-1$, odbicie w $2$, lewe ramię w dół, prawe w górę.

Krok 1 — twierdzenie o pierwiastkach wymiernych. Ewentualny pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ ma $p\mid1$ (wyraz wolny) i $q\mid1$ (współczynnik wiodący), więc kandydaci to tylko $\pm1$.

Krok 2 — sprawdzamy $x=1$:

$$W(1)=1+1+1=3\neq0$$

Krok 3 — sprawdzamy $x=-1$:

$$W(-1)=-1-1+1=-1\neq0$$

Krok 4 — wniosek. Żaden z jedynych możliwych kandydatów wymiernych nie jest pierwiastkiem, więc wielomian nie ma pierwiastków wymiernych. $\qquad ∎$

Uwaga. Wielomian ma pierwiastek rzeczywisty (stopień nieparzysty gwarantuje co najmniej jeden), ale jest on niewymierny — około $-0{,}68$.

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x-3=0$$

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=3$$

Odpowiedź: B. $0$ i $3$.

Przyrównujemy każdy czynnik do zera:

$$x=2,\quad x=-1,\quad x=5$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 2,\ 5\}$.

Krok 1 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^3-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^2-4)=0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$x(x-2)(x+2)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-2$$

Uwaga: nie wolno dzielić przez $x$ — straciłoby się pierwiastek $x=0$.

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 0,\ 2\}$.

Dla dużych dodatnich $x$ sześcian rośnie nieograniczenie:

$$x\to+\infty \Rightarrow x^3\to+\infty$$

Odpowiedź: C. $+\infty$.

Przyrównujemy czynniki do zera:

$$x=-3 \quad\text{(krotność 1)},\qquad x=1 \quad\text{(krotność 2)}$$

Odpowiedź: $x=-3$ i $x=1$.

Stopień nieparzysty → ramiona w przeciwnych kierunkach. Współczynnik dodatni → prawe w górę:

$$x\to-\infty:\ W\to-\infty,\qquad x\to+\infty:\ W\to+\infty$$

Odpowiedź: A. lewe w dół, prawe w górę.

Krok 1 — wyłączamy $x$:

$$x(x^2-2x-3)=0$$

Krok 2 — rozkładamy trójmian:

$$x(x-3)(x+1)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=0,\quad x=3,\quad x=-1$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 0,\ 3\}$.

Krok 1 — grupujemy:

$$(x^3+x^2)-(4x+4)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2(x+1)-4(x+1)=0$$

Krok 2 — wspólny nawias:

$$(x+1)(x^2-4)=0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)(x-2)(x+2)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=-1,\quad x=2,\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ -1,\ 2\}$.

Trzy różne pierwiastki ($1$, $2$, $3$) — wykres przecina oś $OX$ w trzech punktach.

Odpowiedź: D. $3$.

W $x=-2$ (krotność nieparzysta): wykres przecina oś $OX$, zmieniając znak.

W $x=3$ (krotność parzysta): wykres dotyka osi i odbija się, nie zmieniając znaku.

Reguła: krotność nieparzysta → przecięcie; parzysta → odbicie.

Odpowiedź: przecięcie w $-2$, odbicie w $3$.

Czynnik $x^2$ daje pierwiastek $x=0$ o krotności $2$, a $(x-1)$ daje $x=1$:

$$x=0 \ \text{(podwójny)},\qquad x=1$$

Odpowiedź: B. $0$ (podwójny) i $1$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2\ge0$:

$$t^2-5t+4=0 \quad\Rightarrow\quad (t-1)(t-4)=0$$

Krok 2 — wracamy do $x$:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,\qquad x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ -1,\ 1,\ 2\}$.

Krok 1 — wymiary podstawy. Po wycięciu i zagięciu bok podstawy to $10-2x$, a wysokość $x$.

Krok 2 — objętość:

$$V(x)=x(10-2x)^2$$

Krok 3 — rozwijamy:

$$V(x)=x(100-40x+4x^2)=4x^3-40x^2+100x$$

Dziedzina: $0\lt x\lt 5$ (bok podstawy musi być dodatni).

Odpowiedź: $V(x)=4x^3-40x^2+100x$.

Stopień parzysty → oba ramiona w tę samą stronę (jak parabola).

Kierunek: współczynnik dodatni → oba w górę, ujemny → oba w dół.

Odpowiedź: A. w tę samą stronę.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=1$ i $x=-2$.

Krok 2 — parabola o ramionach w górę jest dodatnia poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$.

Szukamy liczby, której sześcian to $-8$:

$$(-2)^3=-8 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Uwaga: sześcian (potęga nieparzysta) zachowuje znak, więc jest tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Odpowiedź: C. $-2$.

Krok 1 — grupujemy:

$$(x^3-3x^2)-(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2(x-3)-1(x-3)=0$$

Krok 2 — wspólny nawias:

$$(x-3)(x^2-1)=0$$

Krok 3 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$(x-3)(x-1)(x+1)=0$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=3,\quad x=1,\quad x=-1$$

Sprawdzenie dla $x=3$: $27-27-3+3=0$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 1,\ 3\}$.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=-2$, $x=0$, $x=2$ (wszystkie pojedyncze).

Krok 2 — ramiona. Stopień $3$, współczynnik wiodący dodatni: lewe w dół, prawe w górę.

Krok 3 — znak w przedziałach (metoda wstęgowa, zmiana znaku przy każdym pierwiastku):

• $x\lt -2$: ujemny,
• $-2\lt x\lt 0$: dodatni,
• $0\lt x\lt 2$: ujemny,
• $x>2$: dodatni.

Kontrola dla $x=1$: $1\cdot(-1)\cdot3=-3\lt 0$ ✔ (przedział $0\lt x\lt 2$ ujemny).

Odpowiedź: pierwiastki $-2,0,2$; znak $-,+,-,+$; lewe ramię w dół, prawe w górę.

Krok 1 — miejsca zerowe: $0$, $1$, $2$.

Krok 2 — znak w przedziałach. Współczynnik dodatni, stopień nieparzysty:

• $x\lt 0$: ujemny,
• $0\lt x\lt 1$: dodatni,
• $1\lt x\lt 2$: ujemny,
• $x>2$: dodatni.

Krok 3 — nierówność $\le0$ obejmuje przedziały ujemne oraz miejsca zerowe (bo nieostra):

$$x\in(-\infty,\ 0\rangle\cup\langle1,\ 2\rangle$$

Uwaga. Przy nierówności nieostrej pierwiastki dołączamy (w nich wielomian równa się zeru).

Odpowiedź: $x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle1,2\rangle$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik:

$$x^3+x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^2+1)=0$$

Krok 2 — analiza czynników. Iloczyn jest zerem, gdy:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x^2+1=0$$

Krok 3 — drugi czynnik. Równanie $x^2+1=0$ daje $x^2=-1$, co nie ma rozwiązań rzeczywistych (kwadrat jest nieujemny).

Krok 4 — wniosek. Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest $x=0$. $\qquad ∎$

Interpretacja graficzna. Wykres $x^3+x$ jest rosnący (suma dwóch funkcji rosnących), więc przecina oś $OX$ tylko raz.

Wyłączamy najwyższą wspólną potęgę $x$, czyli $x^2$:

$$x^3+2x^2=x^2(x+2)$$

Sprawdzenie: $x^2\cdot x+x^2\cdot2=x^3+2x^2$ ✔

Odpowiedź: B. $x^2(x+2)$.

Krok 1 — wspólny czynnik liczbowy. NWD$(6,9)=3$.

Krok 2 — wspólny czynnik literowy. Najniższa potęga to $x^2$.

Krok 3 — wyłączamy $3x^2$:

$$6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)$$

Odpowiedź: $3x^2(2x-3)$.

Rozpoznajemy różnicę kwadratów, bo $16=4^2$:

$$x^2-16=(x-4)(x+4)$$

Odpowiedź: $(x-4)(x+4)$.

Rozpoznajemy kwadrat różnicy: $9=3^2$, a środkowy wyraz to $-2\cdot x\cdot3$:

$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$

Odpowiedź: C. $(x-3)^2$.

Krok 1 — grupujemy po dwa wyrazy:

$$\left(x^3+x^2\right)+(x+1)$$

Krok 2 — wyłączamy z każdej grupy:

$$x^2(x+1)+1\cdot(x+1)$$

Krok 3 — wyłączamy wspólny nawias:

$$(x+1)\left(x^2+1\right)$$

Odpowiedź: $(x+1)(x^2+1)$.

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x-2=0 \quad\text{lub}\quad x+5=0$$

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-5$$

Uwaga na znaki: z czynnika $(x+5)$ pierwiastkiem jest $-5$, a nie $5$.

Odpowiedź: A. $0$, $2$, $-5$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $2x$:

$$2x^3-8x=2x\left(x^2-4\right)$$

Krok 2 — różnica kwadratów w nawiasie:

$$2x(x-2)(x+2)$$

Kolejność ma znaczenie: najpierw wspólny czynnik, potem wzory. Pominięcie pierwszego kroku dałoby rozkład niepełny.

Odpowiedź: $2x(x-2)(x+2)$.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^3-3x^2\right)+(2x-6)$$

Krok 2 — wyłączamy z grup:

$$x^2(x-3)+2(x-3)$$

Krok 3 — wspólny nawias:

$$(x-3)\left(x^2+2\right)$$

Sprawdzenie dla $x=3$: pierwotny wielomian daje $27-27+6-6=0$, a w rozkładzie czynnik $(x-3)$ się zeruje ✔

Odpowiedź: $(x-3)(x^2+2)$.

Pierwiastki to $x=1$ (podwójny) oraz $x=-3$ (pojedynczy). Różnych wartości pierwiastków są dwie.

Uwaga na sformułowanie. Pierwiastek $x=1$ liczymy jako jedną wartość, choć jego krotność wynosi $2$. Pytanie o liczbę pierwiastków zwykle dotyczy różnych wartości.

Odpowiedź: D. $2$.

Krok 1 — rozkładamy lewą stronę:

$$x\left(x^2-4\right)=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)(x+2)=0$$

Krok 2 — przyrównujemy każdy czynnik do zera:

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-2$$

Zasada. Rozkład na czynniki zamienia równanie wielomianowe na kilka prostych — iloczyn jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się choć jeden czynnik.

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 0,\ 2\}$.

Stosujemy wzór na różnicę sześcianów, bo $27=3^3$:

$$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$$

$$x^3-27=(x-3)\left(x^2+3x+9\right)$$

Uwaga na znak środkowego wyrazu: w drugim nawiasie jest $+3x$, a nie $-3x$. W różnicy sześcianów wszystkie znaki w drugim czynniku są dodatnie.

Odpowiedź: B. $(x-3)(x^2+3x+9)$.

Krok 1 — pierwsza różnica kwadratów ($x^4=(x^2)^2$):

$$x^4-1=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)$$

Krok 2 — drugi rozkład. Czynnik $x^2-1$ to znowu różnica kwadratów:

$$(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)$$

Uwaga: czynnika $x^2+1$ nie da się rozłożyć w liczbach rzeczywistych — suma kwadratów nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: $(x-1)(x+1)(x^2+1)$.

Krok 1 — szukamy dwóch liczb o iloczynie $6$ i sumie $5$ (z odpowiednim znakiem). Trójmian ma postać $(x-p)(x-q)$, gdzie $p+q=5$ i $pq=6$.

Krok 2 — dobieramy:

$$2+3=5,\qquad 2\cdot3=6$$

Krok 3 — rozkład:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Sprawdzenie: $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$ ✔

Odpowiedź: $(x-2)(x-3)$.

Współczynniki: NWD$(4,6,2)=2$.

Litery: najniższa potęga $x$ w wyrazach to $x^1$.

Wspólnym czynnikiem jest więc $2x$:

$$4x^3-6x^2+2x=2x\left(2x^2-3x+1\right)$$

Odpowiedź: A. $2x$.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^3+x^2\right)-(4x+4)=0$$

Krok 2 — wyłączamy z grup:

$$x^2(x+1)-4(x+1)=0$$

Krok 3 — wspólny nawias:

$$(x+1)\left(x^2-4\right)=0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)(x-2)(x+2)=0$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=-1,\quad x=2,\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ -1,\ 2\}$.

To suma kwadratów, a nie różnica — nie ma wzoru skróconego mnożenia, który by ją rozkładał w liczbach rzeczywistych.

Dlaczego: $x^2+4=0$ dawałoby $x^2=-4$, co nie ma rozwiązań rzeczywistych. Brak pierwiastków oznacza brak czynników liniowych.

Uwaga: tylko różnica kwadratów $x^2-4$ się rozkłada. Suma — nie.

Odpowiedź: C. nie rozkłada się.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $3$:

$$3\left(x^4-x^2-12\right)$$

Krok 2 — podstawienie. Niech $t=x^2$:

$$3\left(t^2-t-12\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o iloczynie $-12$ i sumie $-1$: to $-4$ i $3$:

$$3(t-4)(t+3)$$

Krok 4 — wracamy do $x$:

$$3\left(x^2-4\right)\left(x^2+3\right)$$

Krok 5 — dokończamy rozkład. Czynnik $x^2-4$ to różnica kwadratów, a $x^2+3$ jest nierozkładalny:

$$3(x-2)(x+2)\left(x^2+3\right)$$

Odpowiedź: $3(x-2)(x+2)(x^2+3)$.

Krok 1 — sprawdzamy pierwiastek:

$$W(2)=8-12+4=0 \ ✔$$

Skoro $W(2)=0$, to z twierdzenia Bézouta $(x-2)$ jest dzielnikiem wielomianu.

Krok 2 — dzielimy $W(x)$ przez $(x-2)$. Wynik dzielenia:

$$x^3-3x^2+4=(x-2)\left(x^2-x-2\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Liczby o iloczynie $-2$ i sumie $-1$ to $-2$ i $1$:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$

Krok 4 — pełny rozkład:

$$W(x)=(x-2)^2(x+1)$$

Wniosek. Pierwiastek $x=2$ jest podwójny, a $x=-1$ pojedynczy.

Sprawdzenie dla $x=-1$: $-1-3+4=0$ ✔

Krok 1 — miejsca zerowe. Wielomian zeruje się w punktach:

$$x=-2,\quad x=1,\quad x=4$$

Krok 2 — oś i znaki. Miejsca zerowe dzielą oś na cztery przedziały. Sprawdzamy znak w każdym, biorąc liczbę próbną:

• $x=-3$: $(-)(-)(-)=-$ — ujemny
• $x=0$: $(-)(+)(-)=+$ — dodatni
• $x=2$: $(+)(+)(-)=-$ — ujemny
• $x=5$: $(+)(+)(+)=+$ — dodatni

Krok 3 — wybieramy przedziały dodatnie. Szukamy, gdzie wielomian jest większy od zera:

$$x\in(-2,\ 1)\cup(4,\ +\infty)$$

Reguła wstęgowa. Dla wielomianu z pojedynczymi pierwiastkami znak zmienia się przy każdym z nich — wystarczy ustalić znak w skrajnym przedziale i naprzemiennie.

Odpowiedź: $x\in(-2,\ 1)\cup(4,\ +\infty)$.

Krok 1 — rozkładamy wielomian:

$$x^3-x=x\left(x^2-1\right)=x(x-1)(x+1)=(x-1)\,x\,(x+1)$$

Krok 2 — interpretacja. To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: $x-1$, $x$, $x+1$.

Krok 3 — podzielność przez $2$. Wśród dowolnych dwóch kolejnych liczb jedna jest parzysta, więc iloczyn dzieli się przez $2$.

Krok 4 — podzielność przez $3$. Wśród dowolnych trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez $3$, więc iloczyn dzieli się przez $3$.

Krok 5 — wniosek. Iloczyn dzieli się przez $2$ i przez $3$, a skoro liczby te są względnie pierwsze, dzieli się przez $2\cdot3=6$. $\qquad ∎$

Sprawdzenie dla $x=4$: $64-4=60=6\cdot10$ ✔

Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej występująca z niezerowym współczynnikiem:

$$\text{stopień}=4$$

Uwaga: liczba $5$ to wyraz wolny (stopień $0$), a nie stopień wielomianu.

Odpowiedź: B. $4$.

Dodajemy wyrazy o tych samych potęgach:

$$(2x^2+x^2)+(3x-5x)+(-1+4)$$

$$=3x^2-2x+3$$

Odpowiedź: $3x^2-2x+3$.

Podstawiamy $x=2$:

$$W(2)=2^3-2\cdot2^2+2-3=8-8+2-3=-1$$

Odpowiedź: $W(2)=-1$.

To wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

$$(x+3)(x-3)=x^2-9$$

Uwaga: nie ma tu wyrazu z $x$ — składniki $+3x$ i $-3x$ się znoszą.

Odpowiedź: C. $x^2-9$.

Wzór na kwadrat sumy:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2=x^2+4x+4$$

Częsty błąd: pominięcie środkowego wyrazu $4x$ — $(x+2)^2$ to nie $x^2+4$.

Odpowiedź: $x^2+4x+4$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $x$:

$$x^3-4x=x(x^2-4)$$

Krok 2 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Wynik końcowy:

$$x^3-4x=x(x-2)(x+2)$$

Odpowiedź: $x(x-2)(x+2)$.

Pierwiastek wielomianu to liczba, dla której wielomian przyjmuje wartość zero:

$$W(2)=0$$

Z twierdzenia Bezouta wynika wtedy, że $W(x)$ dzieli się przez $(x-2)$.

Odpowiedź: A. $W(2)=0$.

Podstawiamy $x=1$:

$$W(1)=1-2-1+2=0$$

Wartość wynosi zero, więc $1$ jest pierwiastkiem.

Wniosek z twierdzenia Bezouta: wielomian dzieli się bez reszty przez $(x-1)$.

Odpowiedź: tak, $1$ jest pierwiastkiem.

Wzór na kwadrat różnicy:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+25=x^2-10x+25$$

Odpowiedź: D. $x^2-10x+25$.

Krok 1 — rozkładamy na czynniki:

$$x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$$

Krok 2 — iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x=0 \quad \text{lub} \quad x=3 \quad \text{lub} \quad x=-3$$

Uwaga: równanie stopnia trzeciego ma tu trzy pierwiastki — nie wolno „zgubić” rozwiązania $x=0$ przez podzielenie równania przez $x$.

Odpowiedź: $x=-3,\ 0,\ 3$.

Przy mnożeniu wielomianów stopnie się dodają:

$$3+2=5$$

Intuicja: najwyższa potęga iloczynu to iloczyn najwyższych potęg, czyli $x^3\cdot x^2=x^5$.

Odpowiedź: B. $5$.

Mnożymy każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego:

$$x\cdot(x^2-x+1)=x^3-x^2+x$$

$$1\cdot(x^2-x+1)=x^2-x+1$$

Dodajemy i redukujemy:

$$x^3-x^2+x+x^2-x+1=x^3+1$$

Rozpoznanie: to wzór na sumę sześcianów $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Odpowiedź: $x^3+1$.

Szukamy dwóch liczb, których suma to $7$, a iloczyn $12$ (wzory Viete dla trójmianu).

Są to $3$ i $4$: $3+4=7$, $3\cdot4=12$.

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$

Sprawdzenie: $(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$ ✔

Odpowiedź: $(x-3)(x-4)$.

To treść twierdzenia Bezouta: reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$ równa się $W(a)$.

$$\text{reszta}=W(3)$$

Wniosek: gdy $W(3)=0$, dzielenie jest bez reszty, czyli $3$ jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: C. $W(3)$.

Z twierdzenia Bezouta reszta to $W(1)$:

$$W(1)=1^3+2\cdot1^2-5=1+2-5=-2$$

Zaleta metody: reszty nie trzeba liczyć dzieleniem wielomianów — wystarczy jedno podstawienie.

Odpowiedź: reszta wynosi $-2$.

Wzór na różnicę sześcianów:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Tutaj $a=x$, $b=2$ (bo $8=2^3$):

$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$$

Uwaga na znaki: w drugim nawiasie środkowy wyraz jest dodatni ($+2x$) — to odróżnia od różnicy w odpowiedzi C.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(x^2-2x-3)=0$$

Krok 2 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o sumie $2$ i iloczynie $-3$: to $3$ i $-1$:

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$$

Krok 3 — całość:

$$x(x-3)(x+1)=0$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=0 \quad \text{lub} \quad x=3 \quad \text{lub} \quad x=-1$$

Odpowiedź: $x=-1,\ 0,\ 3$.

Krok 1 — skoro $2$ jest pierwiastkiem, to $W(2)=0$:

$$2^3+a\cdot2-6=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$8+2a-6=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+2=0 \quad\Rightarrow\quad a=-1$$

Sprawdzenie: $W(x)=x^3-x-6$, a $W(2)=8-2-6=0$ ✔

Odpowiedź: $a=-1$.

Krok 1 — grupujemy wyrazy po dwa:

$$(x^3+2x^2)+(-x-2)$$

Krok 2 — wyłączamy wspólny czynnik z każdej grupy:

$$x^2(x+2)-1(x+2)$$

Krok 3 — wyłączamy wspólny nawias $(x+2)$:

$$(x+2)(x^2-1)$$

Krok 4 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$(x+2)(x-1)(x+1)$$

Odpowiedź: $(x+2)(x-1)(x+1)$.

Krok 1 — grupujemy:

$$(x^3-x^2)+(-4x+4)$$

Krok 2 — wyłączamy wspólne czynniki:

$$x^2(x-1)-4(x-1)$$

Krok 3 — wyłączamy nawias $(x-1)$:

$$(x-1)(x^2-4)=(x-1)(x-2)(x+2)$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=1 \quad \text{lub} \quad x=2 \quad \text{lub} \quad x=-2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $8-4-8+4=0$ ✔

Odpowiedź: $x=-2,\ 1,\ 2$.

Stopień to najwyższa potęga zmiennej:

$$\deg W=4$$

Odpowiedź: C. $4$.

Współczynnik przy $x^2$: $-4$.

Wyraz wolny (bez $x$): $-8$.

Odpowiedź: $-4$ oraz $-8$.

Mnożymy każdy wyraz przez każdy:

$$x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10$$

Odpowiedź: $x^2+7x+10$.

Przy mnożeniu stopnie się dodają:

$$3+2=5$$

Odpowiedź: B. $5$.

Wiersze trójkąta Pascala (numerując od $n=0$):

$$n=0:\ 1$$

$$n=1:\ 1\ 1$$

$$n=2:\ 1\ 2\ 1$$

$$n=3:\ 1\ 3\ 3\ 1$$

Odpowiedź: $1,\ 3,\ 3,\ 1$.

Współczynniki bierzemy z trójkąta Pascala ($1,3,3,1$):

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Odpowiedź: A.

Krok 1 — mnożymy każdy wyraz:

$$x^3+x^2+x-x^2-x-1$$

Krok 2 — redukujemy:

$$x^3-1$$

Rozpoznanie: to wzór na różnicę sześcianów $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Odpowiedź: $x^3-1$.

Krok 1 — wzór na sześcian sumy (współczynniki $1,3,3,1$):

$$(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot4+8$$

Krok 2 — obliczamy:

$$=x^3+6x^2+12x+8$$

Odpowiedź: $x^3+6x^2+12x+8$.

$$1+4+6+4+1=16=2^4$$

Reguła: suma wiersza $n$ trójkąta Pascala wynosi $2^n$.

Odpowiedź: D. $16$.

Zasada równości wielomianów. Równe współczynniki przy tych samych potęgach:

$$\text{przy } x^2:\ b=2$$

$$\text{przy } x^1:\ a=-5$$

$$\text{wyraz wolny:}\ 3=3 \ ✔$$

Odpowiedź: $a=-5$, $b=2$.

Wielomian stopnia $2$ nie ma wyrazu z $x^3$, więc współczynnik przy $x^3$ wynosi zero.

Odpowiedź: B. $0$.

Krok 1 — mnożymy $2x$ przez każdy wyraz:

$$2x^3-2x^2+8x$$

Krok 2 — mnożymy $-3$ przez każdy wyraz:

$$-3x^2+3x-12$$

Krok 3 — dodajemy i redukujemy:

$$2x^3-5x^2+11x-12$$

Kontrola dla $x=1$: lewa $(-1)(4)=-4$, prawa $2-5+11-12=-4$ ✔

Odpowiedź: $2x^3-5x^2+11x-12$.

Każdy wyraz to suma dwóch nad nim. Z wiersza $n=4$ ($1,4,6,4,1$):

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Sprawdzenie sumą: $1+5+10+10+5+1=32=2^5$ ✔

Odpowiedź: $1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$.

Współczynniki $1,3,3,1$, znaki na przemian (bo różnica):

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

Odpowiedź: A.

Krok 1 — stopień iloczynu. Stopnie się dodają:

$$2+3=5$$

Krok 2 — współczynnik wiodący to iloczyn współczynników wiodących czynników:

$$2\cdot3=6$$

Sprawdzenie: najwyższy wyraz to $2x^2\cdot3x^3=6x^5$ ✔

Odpowiedź: stopień $5$, współczynnik wiodący $6$.

Wielomianowi zerowemu nie przypisuje się stopnia (albo umownie $-\infty$).

Uwaga: wielomian stały niezerowy (np. $W(x)=5$) ma stopień $0$, ale wielomian zerowy to przypadek szczególny.

Odpowiedź: C. nieokreślony.

Krok 1 — współczynniki z wiersza $n=4$: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$.

Krok 2 — składamy rozwinięcie (potęgi $x$ maleją od $4$):

$$(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$$

Sprawdzenie dla $x=1$: lewa $2^4=16$, prawa $1+4+6+4+1=16$ ✔

Zaleta trójkąta Pascala: nie trzeba mnożyć czterech nawiasów — współczynniki odczytujemy wprost.

Odpowiedź: $x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.

Krok 1 — z $W(0)=2$:

$$c=2$$

Krok 2 — z $W(1)=6$:

$$1+a+b+c=6 \quad\Rightarrow\quad a+b=3$$

Krok 3 — z $W(-1)=0$:

$$-1+a-b+c=0 \quad\Rightarrow\quad a-b=-1$$

Krok 4 — układ równań. Dodajemy:

$$2a=2 \quad\Rightarrow\quad a=1,\qquad b=2$$

Sprawdzenie: $W(x)=x^3+x^2+2x+2$, $W(1)=1+1+2+2=6$ ✔

Odpowiedź: $a=1$, $b=2$, $c=2$.

Krok 1 — współczynniki z wiersza $n=5$: $1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$.

Krok 2 — potęgi $x$ maleją od $5$, potęgi $y$ rosną od $0$:

$$(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$$

Kontrola. W każdym wyrazie suma wykładników $x$ i $y$ wynosi $5$ — to cecha rozwinięcia dwumianu ✔

Sprawdzenie dla $x=y=1$: lewa $2^5=32$, prawa $1+5+10+10+5+1=32$ ✔

Odpowiedź: $x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$.

Krok 1 — ogólna postać wielomianu:

$$W(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$$

Suma współczynników to $a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0$.

Krok 2 — podstawiamy $x=1$. Każda potęga jedynki to $1$:

$$W(1)=a_n\cdot1+a_{n-1}\cdot1+\ldots+a_1\cdot1+a_0$$

Krok 3 — wniosek:

$$W(1)=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0 \qquad ∎$$

To dokładnie suma współczynników.

Zastosowanie. W rozwinięciu $(x+1)^4$ suma współczynników to $2^4=16$ — bo podstawiając $x=1$ dostajemy $(1+1)^4$. Sprawdzenie: $1+4+6+4+1=16$ ✔

Stopień to najwyższy wykładnik przy zmiennej.

$$\deg W=4$$

Odpowiedź: C. Liczba $3$ to współczynnik wiodący, a $-7$ to wyraz wolny.

Redukujemy wyrazy podobne:

$$(1+2)x^2+(3-1)x+(-1+4)$$

$$=3x^2+2x+3$$

Odpowiedź: $3x^2+2x+3$.

Mnożymy każdy składnik przez każdy:

$$x\cdot(x^2+3x-1)=x^3+3x^2-x$$

$$-2\cdot(x^2+3x-1)=-2x^2-6x+2$$

Sumujemy:

$$x^3+(3-2)x^2+(-1-6)x+2=x^3+x^2-7x+2$$

Odpowiedź: $x^3+x^2-7x+2$.

To treść twierdzenia Bézouta:

$$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$$

Odpowiedź: A. Dzięki temu podzielność sprawdzamy jednym podstawieniem.

Dzielnik $(x+1)$ zapisujemy jako $(x-(-1))$, więc podstawiamy $a=-1$:

$$W(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)-3=-1-2-3=-6$$

Odpowiedź: reszta wynosi $-6$.

Uwaga na znak: dla dzielnika $(x+1)$ podstawiamy $-1$, a nie $1$ — to najczęstszy błąd w tym typie zadań.

Liczba $a$ jest pierwiastkiem, gdy $W(a)=0$.

$$W(2)=8-6+2=4$$

Ponieważ $4\ne0$, liczba $2$ nie jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: nie jest.

Dla porównania: $W(1)=1-3+2=0$, więc pierwiastkiem jest $1$.

Krok 1 — dzielenie przez $(x-1)$. Otrzymujemy:

$$W(x)=(x-1)(x^2-5x+6)$$

Krok 2 — rozkład trójmianu:

$$\Delta=25-24=1,\qquad x_{1,2}=\frac{5\pm1}{2}=2\ \text{lub}\ 3$$

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Odpowiedź: $W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$.

Sprawdzenie: suma pierwiastków $1+2+3=6$ zgadza się ze wzorem $-\frac{b}{a}=6$. ✔

Ze wzoru na różnicę sześcianów $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ dla $a=x$, $b=1$:

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

Odpowiedź: B. W drugim nawiasie znak przy $ab$ jest przeciwny do znaku w pierwszym — stąd $+x$, a nie $-x$.

Dwukrotnie stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

$$x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4)$$

$$=(x-2)(x+2)(x^2+4)$$

Odpowiedź: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$.

Uwaga: czynnika $x^2+4$ nie da się rozłożyć nad liczbami rzeczywistymi — suma kwadratów nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik:

$$x(x^2-4)=0$$

Krok 2 — rozkładamy dalej:

$$x(x-2)(x+2)=0$$

Krok 3 — iloczyn równy zero:

$$x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,0,2\}$.

Ostrzeżenie: nie wolno dzielić przez $x$ — stracilibyśmy rozwiązanie $x=0$.

Krok 1 — kandydaci. Pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ spełnia: $p\mid 2$ (wyraz wolny), $q\mid 2$ (współczynnik wiodący).

$$\text{kandydaci: } \pm1,\ \pm2,\ \pm\tfrac12$$

Krok 2 — sprawdzenie:

$$W(2)=16-12-6+2=0 \checkmark$$

$$W(-1)=-2-3+3+2=0 \checkmark$$

$$W(\tfrac12)=\tfrac14-\tfrac34-\tfrac32+2=0 \checkmark$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ \tfrac12,\ 2\}$.

Sprawdzenie: iloczyn pierwiastków $=-1\cdot\tfrac12\cdot2=-1$, a ze wzorów Viète’a dla stopnia 3 wynosi $-\frac{d}{a}=-\frac{2}{2}=-1$. ✔

Liczba pierwiastków (z uwzględnieniem krotności) nie przekracza stopnia wielomianu.

Odpowiedź: C. Wielomian stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Z twierdzenia Bézouta podzielność zachodzi dokładnie wtedy, gdy $W(2)=0$:

$$W(2)=8+4m-4=4m+4$$

$$4m+4=0 \quad\Rightarrow\quad m=-1$$

Odpowiedź: $m=-1$.

Sprawdzenie: $W(x)=x^3-x^2-4$, a $W(2)=8-4-4=0$. ✔

Krok 1 — miejsca zerowe: $-2$, $1$, $4$ (wszystkie krotności nieparzystej).

Krok 2 — siatka znaków. Współczynnik wiodący jest dodatni, więc krzywą prowadzimy od prawej góry, przechodząc przez każdy pierwiastek:

$$(-\infty,-2):\ -,\qquad (-2,1):\ +,\qquad (1,4):\ -,\qquad (4,+\infty):\ +$$

Krok 3 — odczyt:

$$x\in(-2,1)\cup(4,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-2,1)\cup(4,+\infty)$.

Krok 1 — pierwiastki i krotności: $x=3$ (krotność $1$), $x=-1$ (krotność $2$).

Krok 2 — zachowanie krzywej. Przy krotności parzystej krzywa odbija się od osi i znak się nie zmienia; przy nieparzystej przechodzi na drugą stronę.

Wyrażenie jest ujemne na $(-\infty,-1)$ i $(-1,3)$, dodatnie na $(3,+\infty)$.

Krok 3 — nierówność nieostra, więc dołączamy miejsca zerowe:

$$x\in(-\infty,3\rangle$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,3\rangle$ (punkt $-1$ też należy — tam wyrażenie równa się zero).

Współczynnik wiodący stoi przy najwyższej potędze zmiennej.

$$a_3=-5$$

Odpowiedź: D. Liczba $8$ to wyraz wolny. Ujemny współczynnik wiodący oznacza, że dla $x\to+\infty$ wartości wielomianu dążą do $-\infty$.

Wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy odpowiadających potęgach:

$$a=2,\qquad b=-5,\qquad c=3$$

Odpowiedź: $a=2$, $b=-5$, $c=3$.

Zasada: porównywanie współczynników to standardowa metoda w zadaniach o równości wielomianów i rozkładzie na ułamki proste.

Krok 1 — grupujemy po dwa składniki:

$$(x^3+2x^2)+(-3x-6)$$

Krok 2 — wyłączamy czynniki z każdej grupy:

$$x^2(x+2)-3(x+2)$$

Krok 3 — wyłączamy wspólny nawias:

$$(x+2)(x^2-3)$$

Krok 4 — dalszy rozkład (różnica kwadratów z niewymiernymi pierwiastkami):

$$(x+2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$$

Odpowiedź: $(x+2)(x^2-3)$, a w pełnym rozkładzie $(x+2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$.

Krok 1 — warunki na pierwiastki:

$$W(1)=1+a+b-6=0 \quad\Rightarrow\quad a+b=5$$

$$W(2)=8+4a+2b-6=0 \quad\Rightarrow\quad 4a+2b=-2 \quad\Rightarrow\quad 2a+b=-1$$

Krok 2 — układ równań. Odejmujemy stronami:

$$a=-6,\qquad b=11$$

Krok 3 — trzeci pierwiastek ze wzoru Viète’a na iloczyn ($x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}=6$):

$$1\cdot2\cdot x_3=6 \quad\Rightarrow\quad x_3=3$$

Odpowiedź: $a=-6$, $b=11$, trzeci pierwiastek to $3$.

Metoda — szacowanie od dołu. Dla każdego rzeczywistego $x$ zachodzi:

$$x^4\ge 0 \qquad\text{oraz}\qquad x^2\ge 0$$

Zatem:

$$W(x)=x^4+x^2+1\ge 0+0+1=1>0$$

Wielomian przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, więc nigdy nie osiąga zera. Nie ma zatem pierwiastków rzeczywistych. ∎

Uwaga: w zadaniach „wykaż, że” sprawdzenie kilku liczb nie jest dowodem — potrzebne jest oszacowanie prawdziwe dla każdego $x$.