Trygonometria

$$\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Dla porównania: $\cos\alpha$ to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, a $\tg\alpha$ — stosunek obu przyprostokątnych.

Odpowiedź: B. przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — funkcje kąta $\alpha$ naprzeciw boku $3$:

$$\sin\alpha=\frac35=0{,}6,\qquad \cos\alpha=\frac45=0{,}8$$

Kontrola jedynką trygonometryczną: $0{,}36+0{,}64=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=0{,}6$, $\cos\alpha=0{,}8$.

Podstawiamy wartości kątów szczególnych:

$$\sin 30^\circ=\tfrac12,\qquad \cos 60^\circ=\tfrac12,\qquad \tg 45^\circ=1$$

$$\tfrac12+\tfrac12+1=2$$

Odpowiedź: $2$.

Korzystamy z definicji sinusa:

$$a=c\sin30^\circ=10\cdot\tfrac12=5$$

Warto zapamiętać: w trójkącie o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ bok naprzeciw kąta $30^\circ$ jest zawsze połową przeciwprostokątnej.

Odpowiedź: C. $5$.

$$\tg 60^\circ=\sqrt3,\qquad \tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$$

$$\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{3}{3}=1$$

Ogólna reguła: $\tg\alpha\cdot\tg(90^\circ-\alpha)=1$ — tangensy kątów dopełniających się do prostego są odwrotnościami.

Odpowiedź: $1$.

Tangens równa się jeden, gdy obie przyprostokątne są równe — a to zachodzi w trójkącie równoramiennym prostokątnym.

$$\tg 45^\circ=\frac{a}{a}=1$$

Odpowiedź: A. $45^\circ$.

Krok 1 — model. Wysokość leży naprzeciw kąta $60^\circ$, a drabina jest przeciwprostokątną.

Krok 2 — sinus:

$$h=6\sin60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3$$

Krok 3 — przybliżenie:

$$3\sqrt3\approx5{,}2\ \text{m}$$

Kontrola sensu: wysokość musi być mniejsza od długości drabiny — i jest ✔

Odpowiedź: około $5{,}2$ m.

Krok 1 — druga przyprostokątna. Przy kącie $45^\circ$ tangens wynosi $1$, więc obie przyprostokątne są równe:

$$b=8$$

Krok 2 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{64+64}=8\sqrt2\approx11{,}31$$

Reguła: w trójkącie o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ przeciwprostokątna to bok razy $\sqrt2$.

Odpowiedź: $b=8$, $c=8\sqrt2$.

$$P=\frac12 ab\sin\gamma=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\frac12=15$$

Uwaga: kąt musi leżeć między podanymi bokami — to warunek stosowania tego wzoru.

Odpowiedź: D. $15$.

Krok 1 — z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

Kąt jest ostry, więc sinus jest dodatni:

$$\sin\alpha=\frac{12}{13}$$

Krok 2 — tangens:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12/13}{5/13}=\frac{12}{5}=2{,}4$$

Rozpoznanie: trójka $5$–$12$–$13$.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{12}{13}$, $\tg\alpha=\frac{12}{5}$.

To jedynka trygonometryczna, prawdziwa dla dowolnego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Skąd wynika: z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta o przeciwprostokątnej $1$.

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — którą funkcję wybrać. Znamy przyprostokątną przyległą ($50$ m), a szukamy przeciwległej — to tangens.

Krok 2 — rachunek:

$$h=50\cdot\tg30^\circ=50\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{50\sqrt3}{3}$$

Krok 3 — przybliżenie:

$$h\approx28{,}9\ \text{m}$$

Odpowiedź: około $28{,}9$ m.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{25+144}=13$$

Krok 2 — obwód:

$$O=5+12+13=30$$

Krok 3 — pole (przyprostokątne są podstawą i wysokością):

$$P=\frac{5\cdot12}{2}=30$$

Ciekawostka: obwód i pole wychodzą liczbowo takie same, choć mają różne jednostki.

Odpowiedź: obwód $30$, pole $30$.

Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej $\frac{a}{2}$ i przeciwprostokątnej $a$:

$$h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}$$

Przez trygonometrię: $h=a\sin60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: C. $\frac{a\sqrt3}{2}$.

Krok 1 — model. Przebyta droga to przeciwprostokątna, a wzniesienie to bok naprzeciw kąta nachylenia.

Krok 2 — rachunek:

$$h=2000\cdot0{,}087=174\ \text{m}$$

Odpowiedź: około $174$ m.

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Kąt prosty kwadratu zostaje przepołowiony:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

Kontrola: $\tg45^\circ=\frac{a}{a}=1$ ✔

Odpowiedź: A. $45^\circ$.

Krok 1 — bok naprzeciw kąta $60^\circ$:

$$a=20\sin60^\circ=20\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3$$

Krok 2 — bok naprzeciw kąta $30^\circ$:

$$b=20\cos60^\circ=20\cdot\frac12=10$$

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{10\sqrt3\cdot10}{2}=50\sqrt3\approx86{,}6$$

Kontrola Pitagorasem: $300+100=400=20^2$ ✔

Odpowiedź: $10\sqrt3$ i $10$, pole $50\sqrt3$.

Krok 1 — wysokość (bok naprzeciw kąta):

$$h=80\cdot0{,}766\approx61{,}3\ \text{m}$$

Krok 2 — odległość pozioma (bok przyległy):

$$d=80\cdot0{,}643\approx51{,}4\ \text{m}$$

Kontrola Pitagorasem: $61{,}3^2+51{,}4^2\approx3758+2642=6400=80^2$ ✔

Odpowiedź: wysokość około $61{,}3$ m, odległość pozioma około $51{,}4$ m.

Krok 1 — odcinek odcięty przy dłuższej podstawie:

$$14-8=6$$

Krok 2 — wysokość. Przy kącie $45^\circ$ trójkąt jest równoramienny, więc wysokość równa się temu odcinkowi:

$$h=6$$

Krok 3 — ramię ukośne (przeciwprostokątna):

$$l=6\sqrt2\approx8{,}49$$

Krok 4 — pole:

$$P=\frac{(14+8)\cdot6}{2}=66$$

Odpowiedź: $h=6$, ramię $6\sqrt2$, pole $66$.

Krok 1 — czym jest kąt depresji. To kąt między poziomem a linią obserwacji w dół. Jest on równy kątowi nachylenia mierzonemu od strony łodzi (kąty naprzemianległe).

Krok 2 — odległość przy $30^\circ$. Wysokość leży naprzeciw kąta, a odległość jest bokiem przyległym:

$$\tg30^\circ=\frac{45}{d} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{45}{\tg30^\circ}=\frac{45}{\frac{\sqrt3}{3}}=45\sqrt3\approx77{,}9\ \text{m}$$

Krok 3 — odległość przy $45^\circ$:

$$d=\frac{45}{\tg45^\circ}=\frac{45}{1}=45\ \text{m}$$

Krok 4 — interpretacja. Odległość zmalała o około $32{,}9$ m. To zgodne z intuicją: im bliżej łódź, tym bardziej stromo trzeba patrzeć w dół.

Warto zauważyć: przy kącie $45^\circ$ odległość równa się wysokości — bo $\tg45^\circ=1$.

Odpowiedź: około $77{,}9$ m, a po zmianie kąta $45$ m.

Sinus to stosunek boku naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź A to cosinus tego kąta, a C to tangens.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Krok 2 — tangens:

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac45$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac34$.

Jedynka trygonometryczna zachodzi dla każdego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Odpowiedź: C. Nie trzeba znać wartości $\sin 37^\circ$ — to zadanie sprawdza znajomość tożsamości.

Przyprostokątna naprzeciw kąta $30^\circ$:

$$a=10\cdot\sin30^\circ=10\cdot\frac12=5$$

Druga przyprostokątna:

$$b=10\cdot\cos30^\circ=10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$$

Odpowiedź: $5$ oraz $5\sqrt3\approx8{,}66$.

Sprawdzenie Pitagorasem: $25+75=100=10^2$. ✔

$$\cos60^\circ=\frac12,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$

Odpowiedź: A. Częsty błąd to zamiana wartości sinusa i cosinusa dla $30^\circ$ i $60^\circ$. Zapamiętaj: $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\frac12$.

$$P=\frac12ab\sin\gamma$$

$$P=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\frac12=15$$

Odpowiedź: $P=15$.

Uwaga: kąt musi leżeć między podanymi bokami — użycie innego kąta daje błędny wynik.

Stosujemy twierdzenie cosinusów:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

$$c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49$$

$$c=7$$

Odpowiedź: $c=7$.

Przekształcamy twierdzenie cosinusów względem kąta:

$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

$$\cos\alpha=\frac{25+9-49}{2\cdot5\cdot3}=\frac{-15}{30}=-\frac12$$

Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty. Konkretnie $\alpha=120^\circ$.

Odpowiedź: $\cos\alpha=-\frac12$, trójkąt jest rozwartokątny.

Twierdzenie sinusów:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$

$$\frac{10}{\frac12}=\frac{b}{\frac{\sqrt2}{2}} \quad\Rightarrow\quad 20=\frac{2b}{\sqrt2}$$

$$b=10\sqrt2\approx14{,}14$$

Odpowiedź: $b=10\sqrt2$.

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Odpowiedź: D.

$$2R=\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{12}{\frac12}=24$$

$$R=12$$

Odpowiedź: $R=12$.

Częsty błąd: zapomnienie o podzieleniu przez $2$ i podanie $R=24$.

Krok 1 — połowa obwodu:

$$s=\frac{3+4+5}{2}=6$$

Krok 2 — wzór Herona:

$$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=\sqrt{36}=6$$

Odpowiedź: $P=6$.

Sprawdzenie: to trójkąt prostokątny, więc $P=\frac12\cdot3\cdot4=6$. ✔

Kąt rozwarty leży w II ćwiartce ($90^\circ\lt \alpha\lt 180^\circ$). Tam sinus pozostaje dodatni, a cosinus staje się ujemny.

Odpowiedź: B. Przykład: $\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}>0$, $\cos120^\circ=-\frac12\lt 0$.

Drzewo, ziemia i linia wzroku tworzą trójkąt prostokątny. Szukana wysokość leży naprzeciw kąta $35^\circ$, a znana odległość — przy nim, więc używamy tangensa:

$$\operatorname{tg}35^\circ=\frac{h}{20}$$

$$h=20\cdot0{,}70=14\ \text{m}$$

Odpowiedź: drzewo ma około $14$ m wysokości.

Metoda trygonometryczna. Kąt trójkąta równobocznego to $60^\circ$:

$$P=\frac12\cdot8\cdot8\cdot\sin60^\circ=32\cdot\frac{\sqrt3}{2}=16\sqrt3$$

Odpowiedź: $P=16\sqrt3\approx27{,}71$.

Sprawdzenie wzorem: $P=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{64\sqrt3}{4}=16\sqrt3$. ✔

$$\operatorname{tg}45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1$$

Odpowiedź: A. Dla $90^\circ$ tangens w ogóle nie istnieje (cosinus wynosi zero).

Pole równoległoboku obliczamy analogicznie do pola trójkąta, ale bez czynnika $\frac12$ (równoległobok to dwa przystające trójkąty):

$$P=ab\sin\alpha$$

Wartość sinusa ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\frac12$$

$$P=6\cdot9\cdot\frac12=27$$

Odpowiedź: $P=27$.

Romb to równoległobok o równych bokach, więc:

$$P=a^2\sin\alpha$$

$$P=10^2\cdot\sin60^\circ=100\cdot\frac{\sqrt3}{2}=50\sqrt3$$

Odpowiedź: $P=50\sqrt3\approx86{,}6$.

Uwaga: gdyby wziąć kąt rozwarty $120^\circ$, wynik byłby ten sam, bo $\sin120^\circ=\sin60^\circ$ — pole nie zależy od tego, który kąt wybierzemy.

Metoda 1 — przez wysokość. Wysokość dzieli podstawę na połowy po $5$:

$$\cos\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}}=\frac{5}{13}$$

Metoda 2 — twierdzenie cosinusów dla boku $13$ naprzeciw kąta przy wierzchołku... wygodniej jednak liczyć wprost z trójkąta prostokątnego jak wyżej.

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac{5}{13}$.

Krok 1 — bok $a$ z twierdzenia cosinusów:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha=64+36-2\cdot8\cdot6\cdot\frac12$$

$$a^2=100-48=52 \quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac12bc\sin\alpha=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3$$

Odpowiedź: $a=2\sqrt{13}\approx7{,}21$, $P=12\sqrt3\approx20{,}78$.

Definicja sinusa kąta ostrego:

$$\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Skrót pamięciowy: „sinus = naprzeciw przez przeciwprostokątną”.

Odpowiedź: B.

Sinus — naprzeciw ($3$) przez przeciwprostokątną ($5$):

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Cosinus — przy kącie ($4$) przez przeciwprostokątną ($5$):

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie jedynką: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34$$

Interpretacja: tangens to również stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przy kącie: $\frac34$.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac34$.

To wartość z tablicy kątów szczególnych:

$$\cos 60^\circ=\frac12$$

Zależność: $\cos 60^\circ=\sin 30^\circ$, bo kąty $60^\circ$ i $30^\circ$ są dopełniające.

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Korzystamy z definicji sinusa:

$$\sin 30^\circ=\frac{a}{c} \quad\Rightarrow\quad a=c\cdot\sin 30^\circ$$

Podstawiamy:

$$a=10\cdot\frac12=5$$

Odpowiedź: przyprostokątna ma długość $5$.

Przyprostokątna przy kącie łączy się z przeciwprostokątną przez cosinus:

$$\cos 60^\circ=\frac{b}{c} \quad\Rightarrow\quad c=\frac{b}{\cos 60^\circ}$$

Podstawiamy $b=4$, $\cos 60^\circ=\frac12$:

$$c=\frac{4}{\frac12}=8$$

Odpowiedź: przeciwprostokątna ma długość $8$.

Jedynka trygonometryczna zachodzi dla dowolnego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Nie trzeba znać wartości $\sin 40^\circ$ — wynik to $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

Wyciągamy pierwiastek. Kąt jest ostry, więc sinus dodatni:

$$\sin\alpha=\frac{12}{13}$$

Rozpoznanie: to trójkąt $5$–$12$–$13$.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{12}{13}$.

Dla $45^\circ$ obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek to $1$:

$$\tg 45^\circ=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Model: drabina to przeciwprostokątna, wysokość na ścianie to przyprostokątna naprzeciw kąta $60^\circ$.

$$\sin 60^\circ=\frac{h}{6} \quad\Rightarrow\quad h=6\cdot\sin 60^\circ$$

Podstawiamy:

$$h=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx5{,}2\ \text{m}$$

Kontrola sensu: wysokość jest mniejsza od długości drabiny ($5{,}2\lt 6$) ✔

Odpowiedź: drabina sięga na $3\sqrt3\approx5{,}2$ m.

Z tablicy kątów szczególnych:

$$\tg 30^\circ=\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$$

Uwaga: $\tg 30^\circ$ i $\tg 60^\circ=\sqrt3$ to liczby wzajemnie odwrotne.

Odpowiedź: B. $\frac{\sqrt3}{3}$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — sinus kąta naprzeciw krótszej przyprostokątnej ($6$):

$$\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac35$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35=0{,}6$.

Korzystamy ze wzoru na pole z sinusem kąta:

$$P=\frac12 ab\sin\gamma$$

Podstawiamy $a=8$, $b=6$, $\gamma=30^\circ$:

$$P=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\sin 30^\circ=\frac12\cdot48\cdot\frac12=12$$

Odpowiedź: $P=12$.

Sinus i cosinus są równe tylko dla kąta, przy którym obie przyprostokątne są równe — to $45^\circ$.

$$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$

Odpowiedź: C. $45^\circ$.

Model: wysokość wieży to przyprostokątna naprzeciw kąta, odległość to przyprostokątna przy kącie. Wiąże je tangens:

$$\tg 45^\circ=\frac{h}{20} \quad\Rightarrow\quad h=20\cdot\tg 45^\circ$$

Podstawiamy $\tg 45^\circ=1$:

$$h=20\cdot1=20\ \text{m}$$

Wniosek: przy kącie $45^\circ$ wysokość równa się odległości — to szczególny, łatwy do zapamiętania przypadek.

Odpowiedź: wieża ma $20$ m wysokości.

Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej do przeciwprostokątnej. Przyprostokątna jest zawsze krótsza od przeciwprostokątnej, więc iloraz mieści się między $0$ a $1$.

$$0\lt \sin\alpha\lt 1$$

To samo dotyczy cosinusa kąta ostrego.

Odpowiedź: A.

Przyprostokątna naprzeciw kąta $30^\circ$ (przez sinus):

$$a=12\cdot\sin 30^\circ=12\cdot\frac12=6$$

Przyprostokątna przy kącie $30^\circ$ (przez cosinus):

$$b=12\cdot\cos 30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\approx10{,}39$$

Sprawdzenie Pitagorasem: $6^2+(6\sqrt3)^2=36+108=144=12^2$ ✔

Odpowiedź: przyprostokątne mają $6$ i $6\sqrt3\approx10{,}39$.

Model trójkąta. Tangens $\frac34$ oznacza przyprostokątną naprzeciw $=3$, przy kącie $=4$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 2 — odczytujemy funkcje:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie: $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34=\tg\alpha$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Model: przekątna kwadratu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, a bok — przyprostokątna przy kącie $45^\circ$.

$$\cos 45^\circ=\frac{\text{bok}}{\text{przekątna}} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{5}{\cos 45^\circ}=\frac{5}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2$$

Sprawdzenie: to zgadza się ze wzorem na przekątną kwadratu $d=a\sqrt2=5\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $d=5\sqrt2\approx7{,}07$ cm.

Model. Powstaje trójkąt prostokątny: odcinek na północ ($300$ m) to przyprostokątna przy kącie $30^\circ$, a droga statku na wschód to przyprostokątna naprzeciw tego kąta.

Wiąże je tangens:

$$\tg 30^\circ=\frac{\text{droga}}{300} \quad\Rightarrow\quad \text{droga}=300\cdot\tg 30^\circ$$

Podstawiamy $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$:

$$\text{droga}=300\cdot\frac{\sqrt3}{3}=100\sqrt3\approx173{,}2\ \text{m}$$

Odpowiedź: statek przebył $100\sqrt3\approx173$ m.