Planimetria

Każdy czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty, więc suma kątów to:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Suma kątów czworokąta to $360^\circ$:

$$360^\circ-(90^\circ+100^\circ+80^\circ)=360^\circ-270^\circ=90^\circ$$

Odpowiedź: $90^\circ$.

W czworokącie wypukłym każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy od $180^\circ$, a obie przekątne leżą wewnątrz figury.

W czworokącie wklęsłym jeden kąt przekracza $180^\circ$.

Odpowiedź: A. wszystkie kąty $\lt 180^\circ$.

Dwa okręgi leżące na zewnątrz siebie (rozłączne) mają cztery wspólne styczne: dwie zewnętrzne i dwie wewnętrzne.

Odpowiedź: $4$.

Okręgi styczne zewnętrznie mają trzy wspólne styczne: dwie zewnętrzne i jedną w punkcie styczności.

Odpowiedź: D. $3$.

W trapezie kąty przy tym samym ramieniu są przy równoległych podstawach — sumują się do $180^\circ$ (kąty jednostronne):

$$x=180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

Odpowiedź: $110^\circ$.

Krok 1 — oznaczenia. Kąty to $x$, $2x$, $3x$, $4x$.

Krok 2 — suma:

$$x+2x+3x+4x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad 10x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$36^\circ,\quad 72^\circ,\quad 108^\circ,\quad 144^\circ$$

Sprawdzenie: $36+72+108+144=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$.

Krok 1 — porównujemy odległość środków z sumą promieni:

$$r_1+r_2=3+5=8,\qquad d=10$$

Krok 2 — wniosek. Skoro $d>r_1+r_2$ ($10>8$), okręgi są rozłączne zewnętrznie.

Krok 3 — liczba stycznych. Okręgi rozłączne zewnętrznie mają $4$ wspólne styczne.

Odpowiedź: $4$ styczne.

Okręgi przecinające się (w dwóch punktach) mają dwie wspólne styczne — obie zewnętrzne. Stycznych wewnętrznych nie ma, bo okręgi „zachodzą" na siebie.

Odpowiedź: B. $2$.

Krok 1 — oznaczenia. Trzy kąty to $x$, czwarty $x+30^\circ$.

Krok 2 — suma:

$$3x+(x+30^\circ)=360^\circ \quad\Rightarrow\quad 4x=330^\circ \quad\Rightarrow\quad x=82{,}5^\circ$$

Krok 3 — czwarty kąt:

$$82{,}5^\circ+30^\circ=112{,}5^\circ$$

Sprawdzenie: $3\cdot82{,}5+112{,}5=247{,}5+112{,}5=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: trzy po $82{,}5^\circ$ i jeden $112{,}5^\circ$.

Gdy jeden okrąg leży w całości wewnątrz drugiego (bez styczności), nie ma żadnej wspólnej stycznej — nie da się poprowadzić prostej dotykającej obu.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — podział. Przekątna czworokąta wypukłego dzieli go na dwa trójkąty.

Krok 2 — suma kątów każdego trójkąta to $180^\circ$.

Krok 3 — złożenie. Kąty obu trójkątów razem tworzą wszystkie kąty czworokąta:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Uogólnienie. Wielokąt o $n$ bokach dzieli się na $n-2$ trójkąty, więc suma jego kątów to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: suma wynosi $360^\circ$.

Krok 1 — styczność wewnętrzna. Odległość środków równa się różnicy promieni:

$$d=|r_1-r_2|=4-2=2$$

Krok 2 — liczba stycznych. Okręgi styczne wewnętrznie mają dokładnie jedną wspólną styczną — w punkcie styczności.

Odpowiedź: $d=2$, jedna wspólna styczna.

W równoległoboku kąty sąsiednie są kątami jednostronnymi przy równoległych bokach, więc się dopełniają:

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

Kąty przeciwległe są natomiast równe.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Pełna klasyfikacja (dla promieni $r_1$, $r_2$ i odległości środków $d$):

• rozłączne zewnętrznie ($d>r_1+r_2$): 4 styczne,
• styczne zewnętrznie ($d=r_1+r_2$): 3,
• przecinające się ($|r_1-r_2|\lt d\lt r_1+r_2$): 2,
• styczne wewnętrznie ($d=|r_1-r_2|$): 1,
• jeden wewnątrz drugiego ($d\lt |r_1-r_2|$): 0.

Prawidłowość. Im „bliżej" okręgi, tym mniej wspólnych stycznych — od $4$ (osobno) do $0$ (jeden w drugim).

Odpowiedź: $4$, $3$, $2$, $1$ lub $0$ — jak wyżej.

Prostokąt ma wszystkie kąty proste ($90^\circ$), ale boki mogą być różne (dwa dłuższe i dwa krótsze).

Romb — odwrotnie: równe boki, ale kąty niekoniecznie.

Odpowiedź: B. prostokąt.

Krok 1 — wartości graniczne:

$$r_1+r_2=8,\qquad |r_1-r_2|=6-2=4$$

Krok 2 — porównanie z $d=4$:

$$d=|r_1-r_2|=4$$

Krok 3 — wniosek. Skoro odległość środków równa się różnicy promieni, okręgi są styczne wewnętrznie — mniejszy leży wewnątrz większego i dotyka go w jednym punkcie.

Krok 4 — liczba stycznych: jedna wspólna styczna.

Odpowiedź: styczne wewnętrznie, $1$ wspólna styczna.

Krok 1 — suma kątów czworokąta:

$$A+B+C+D=360^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy znane i $C=D$:

$$90^\circ+120^\circ+2C=360^\circ$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2C=150^\circ \quad\Rightarrow\quad C=75^\circ$$

Krok 4 — sprawdzenie wypukłości. Wszystkie kąty ($90^\circ$, $120^\circ$, $75^\circ$, $75^\circ$) są mniejsze od $180^\circ$, więc czworokąt jest wypukły ✔

Odpowiedź: $C=D=75^\circ$.

Krok 1 — model. Dla stycznej zewnętrznej odcinek między punktami styczności, linia środków i różnica promieni tworzą trójkąt prostokątny.

Krok 2 — długość stycznej zewnętrznej:

$$t=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}$$

Krok 3 — podstawiamy $d=25$, $r_1-r_2=3$:

$$t=\sqrt{25^2-3^2}=\sqrt{625-9}=\sqrt{616}=2\sqrt{154}\approx24{,}8$$

Uwaga. Dla stycznej zewnętrznej używamy różnicy promieni; dla wewnętrznej — sumy: $\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}$.

Odpowiedź: $t=2\sqrt{154}$.

Krok 1 — kąt zewnętrzny. Przy każdym wierzchołku kąt zewnętrzny dopełnia wewnętrzny do $180^\circ$:

$$\text{zew}_i=180^\circ-\text{wew}_i$$

Krok 2 — sumujemy po czterech wierzchołkach:

$$\sum_{i=1}^{4}\text{zew}_i=4\cdot180^\circ-\sum_{i=1}^{4}\text{wew}_i$$

Krok 3 — podstawiamy sumę kątów wewnętrznych ($360^\circ$):

$$=720^\circ-360^\circ=360^\circ \qquad ∎$$

Uogólnienie. Suma kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$ — niezależnie od liczby boków, bo $n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ=360^\circ$.

Sprawdzenie: dla kątów wewnętrznych $90^\circ$, $120^\circ$, $75^\circ$, $75^\circ$ zewnętrzne to $90^\circ$, $60^\circ$, $105^\circ$, $105^\circ$, a ich suma $360^\circ$ ✔

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\cdot30^\circ=60^\circ$$

Odpowiedź: B. $60^\circ$.

Kąt wpisany oparty na średnicy (czyli na półokręgu) jest prosty:

$$90^\circ$$

To twierdzenie Talesa o okręgu — średnica „widziana" z dowolnego punktu okręgu pod kątem prostym.

Odpowiedź: $90^\circ$.

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe:

$$x=40^\circ$$

Odpowiedź: $x=40^\circ$.

Styczna jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

To kluczowa własność wykorzystywana w większości zadań ze styczną.

Odpowiedź: C. prostopadła.

Kąt wpisany to połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

$$\frac{100^\circ}{2}=50^\circ$$

Odpowiedź: $50^\circ$.

Dwa odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu zewnętrznego mają jednakową długość.

Dlaczego: powstają dwa przystające trójkąty prostokątne (wspólna przeciwprostokątna do środka, równe promienie).

Odpowiedź: A. równe.

Krok 1 — trójkąt prostokątny. Styczna jest prostopadła do promienia, więc promień, odcinek styczny i odległość $PS$ tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $13$.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$t=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

Odpowiedź: $12$.

Zasada: w czworokącie wpisanym przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$.

Kąt $C$ (przeciwległy do $A$):

$$C=180^\circ-85^\circ=95^\circ$$

Kąt $D$ (przeciwległy do $B$):

$$D=180^\circ-95^\circ=85^\circ$$

Sprawdzenie: suma kątów czworokąta $85+95+95+85=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $C=95^\circ$, $D=85^\circ$.

Styczna dotyka okręgu w dokładnie jednym punkcie.

Dla porównania: sieczna przecina okrąg w dwóch punktach, a prosta rozłączna — w żadnym.

Odpowiedź: D. $1$.

Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą: jest on równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie z drugiej strony.

$$\alpha_{\text{wpisany}}=50^\circ$$

Interpretacja: styczna to „graniczne położenie" siecznej, więc kąt między nią a cięciwą zachowuje się jak kąt wpisany.

Odpowiedź: $50^\circ$.

Wzajemne położenie prostej i okręgu zależy od odległości $d$ środka od prostej:

$$d\lt r \Rightarrow \text{sieczna},\quad d=r \Rightarrow \text{styczna},\quad d>r \Rightarrow \text{rozłączna}$$

Odpowiedź: B. równa promieniowi.

Krok 1 — warunek dla kątów przeciwległych:

$$3x+x=180^\circ$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$A=3\cdot45^\circ=135^\circ,\qquad C=45^\circ$$

Sprawdzenie: $135+45=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $135^\circ$ i $45^\circ$.

Krok 1 — kąt $C$ oparty na średnicy. Z twierdzenia Talesa o okręgu:

$$C=90^\circ$$

Krok 2 — kąt $B$ z sumy kątów trójkąta:

$$B=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$$

Odpowiedź: $B=55^\circ$, $C=90^\circ$.

Twierdzenie Ptolemeusza wiąże przekątne i boki czworokąta wpisanego w okrąg:

$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$

iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów przeciwległych boków.

Odpowiedź: A. wpisanego w okrąg.

Krok 1 — kąt środkowy na tym łuku. Łuk to $\frac14$ okręgu, więc kąt środkowy:

$$\frac14\cdot360^\circ=90^\circ$$

Krok 2 — kąt wpisany to połowa środkowego:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

Odpowiedź: $45^\circ$.

Dla kwadratu wszystkie boki równe $a$, obie przekątne równe $d$. Ptolemeusz: $d\cdot d=a\cdot a+a\cdot a$:

$$d^2=2a^2$$

Sprawdzenie: stąd $d=a\sqrt2$ — znany wzór na przekątną kwadratu ✔

Odpowiedź: C. $d^2=2a^2$.

Krok 1 — odcinek stycznej. Trójkąt prostokątny (kąt prosty przy punkcie styczności):

$$t=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$$

Krok 2 — pole trójkąta. Przyprostokątne to promień $6$ i odcinek styczny $8$:

$$P=\frac{6\cdot8}{2}=24$$

Kluczowa własność. Prostopadłość stycznej do promienia czyni z tego trójkąta trójkąt prostokątny — dzięki temu przyprostokątne to promień i styczna.

Odpowiedź: styczna $8$, pole $24$.

Krok 1 — twierdzenie Ptolemeusza:

$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$

Krok 2 — obliczamy prawą stronę:

$$a\cdot c+b\cdot d=3\cdot6+5\cdot4=18+20=38$$

Krok 3 — wyznaczamy $f$:

$$7\cdot f=38 \quad\Rightarrow\quad f=\frac{38}{7}\approx5{,}43$$

Uwaga na kolejność boków. W iloczynach łączymy boki przeciwległe: $a$ z $c$ oraz $b$ z $d$.

Odpowiedź: $f=\frac{38}{7}$.

Krok 1 — drugi kąt środkowy. Łuki dopełniają się do pełnego okręgu:

$$360^\circ-140^\circ=220^\circ$$

Krok 2 — kąty wpisane to połowy kątów środkowych:

$$\frac{140^\circ}{2}=70^\circ,\qquad \frac{220^\circ}{2}=110^\circ$$

Krok 3 — obserwacja. Suma tych kątów wpisanych to $70^\circ+110^\circ=180^\circ$ — bo są to przeciwległe kąty czworokąta wpisanego w okrąg.

Odpowiedź: $70^\circ$ i $110^\circ$.

Oznaczenia. Niech $AB$ będzie średnicą okręgu o środku $O$, a $C$ dowolnym punktem okręgu. Chcemy pokazać, że kąt $ACB=90^\circ$.

Krok 1 — trójkąty równoramienne. Odcinki $OA$, $OB$, $OC$ to promienie, więc są równe. Trójkąty $OAC$ i $OBC$ są równoramienne.

Krok 2 — oznaczamy kąty przy podstawach. Niech $\angle OAC=\alpha$ i $\angle OBC=\beta$. Z równoramienności:

$$\angle OCA=\alpha,\qquad \angle OCB=\beta$$

Krok 3 — suma kątów trójkąta $ABC$:

$$\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ$$

bo kąt przy $C$ to $\angle OCA+\angle OCB=\alpha+\beta$.

Krok 4 — rozwiązujemy:

$$2(\alpha+\beta)=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha+\beta=90^\circ$$

Kąt przy $C$ wynosi $\alpha+\beta=90^\circ$. $\qquad ∎$

Wniosek: każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, niezależnie od położenia punktu $C$ na okręgu.

Każdy punkt symetralnej boku jest jednakowo oddalony od jego końców, więc punkt przecięcia wszystkich trzech symetralnych jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków.

Dla porównania: środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych kątów.

Odpowiedź: C. symetralnych boków.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — promień. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej:

$$R=\frac{10}{2}=5$$

Dlaczego tak: kąt oparty na średnicy jest prosty — to twierdzenie Talesa czytane wstecz.

Odpowiedź: $R=5$.

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku $2:1$ od wierzchołka:

$$R=\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3\approx3{,}46$$

Odpowiedź: $R=2\sqrt3$.

Wysokość trójkąta równobocznego to $\frac{a\sqrt3}{2}$, a środek okręgu wpisanego dzieli ją w stosunku $2:1$ — promień to jedna trzecia wysokości:

$$r=\frac13\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6}$$

Zależność warta zapamiętania: $R=2r$ — promień okręgu opisanego jest dokładnie dwa razy większy.

Odpowiedź: A. $\frac{a\sqrt3}{6}$.

W czworokącie wpisanym w okrąg przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-75^\circ=105^\circ$$

Odpowiedź: $105^\circ$.

Warunek wpisania okręgu:

$$a+c=b+d$$

Warunek opisania okręgu (odpowiedź A) dotyczy kątów, nie boków — to dwa różne twierdzenia i łatwo je pomylić.

Przykład: w romb zawsze można wpisać okrąg, bo wszystkie boki są równe, więc $a+c=b+d$ automatycznie.

Odpowiedź: D. sumy przeciwległych boków są równe.

Krok 1 — wzór na promień okręgu wpisanego:

$$r=\frac{P}{p},\qquad \text{gdzie } p \ \text{to połowa obwodu}$$

Krok 2 — połowa obwodu:

$$p=\frac{6+8+10}{2}=12$$

Krok 3 — promień:

$$r=\frac{24}{12}=2$$

Skąd ten wzór: łącząc środek okręgu z wierzchołkami, dzielimy trójkąt na trzy mniejsze o wysokości $r$. Suma ich pól daje $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.

Odpowiedź: $r=2$.

Krok 1 — warunek:

$$x+3x=180^\circ$$

Krok 2 — rozwiązanie:

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Krok 3 — oba kąty:

$$45^\circ \quad\text{oraz}\quad 135^\circ$$

Sprawdzenie: $45+135=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $45^\circ$ i $135^\circ$.

W prostokącie wszystkie kąty mają $90^\circ$, więc przeciwległe sumują się do $180^\circ$ — warunek jest spełniony.

Środkiem tego okręgu jest punkt przecięcia przekątnych, a promieniem — połowa przekątnej.

Dlaczego nie romb: jego kąty przeciwległe są równe, a nie dopełniające się. Warunek zachodzi tylko wtedy, gdy każdy ma $90^\circ$ — czyli gdy romb jest kwadratem.

Odpowiedź: B. na prostokącie.

Okrąg opisany. Przechodzi przez wierzchołki, więc jego średnica to przekątna kwadratu:

$$2R=8\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad R=4\sqrt2\approx5{,}66$$

Okrąg wpisany. Dotyka boków, więc jego średnica równa się bokowi:

$$2r=8 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Stosunek: $\frac{R}{r}=\sqrt2$ — i tak jest w każdym kwadracie.

Odpowiedź: $R=4\sqrt2$, $r=4$.

Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego, więc promień to jej połowa.

Uzasadnienie: kąt wpisany oparty na średnicy ma $90^\circ$, a w naszym trójkącie taki kąt istnieje.

Odpowiedź: A. $\frac{c}{2}$.

Sprawdzamy warunek $a+c=b+d$:

$$5+9=14,\qquad 7+11=18$$

$$14\neq18$$

Warunek nie jest spełniony.

Uwaga na kolejność boków. Sumujemy boki przeciwległe, a nie sąsiednie. Gdyby boki ustawić jako $5$, $7$, $11$, $9$, to $5+11=16$ i $7+9=16$ — wtedy okrąg dałoby się wpisać.

Odpowiedź: nie, warunku nie spełnia.

Krok 1 — okrąg opisany:

$$R=\frac{12\sqrt3}{3}=4\sqrt3$$

Krok 2 — okrąg wpisany:

$$r=\frac{12\sqrt3}{6}=2\sqrt3$$

Krok 3 — stosunek promieni:

$$\frac{R}{r}=2$$

Krok 4 — stosunek pól. Pola kół mają się jak kwadraty promieni:

$$\left(\frac{R}{r}\right)^2=4$$

Odpowiedź: $R=4\sqrt3$, $r=2\sqrt3$; pole koła opisanego jest czterokrotnie większe.

Sprawdzamy warunek dla sum przeciwległych boków:

$$4+10=14,\qquad 7+7=14$$

Sumy są równe, więc okrąg da się wpisać.

Uwaga: sama równoramienność nie wystarcza — decyduje wyłącznie warunek liczbowy na boki.

Odpowiedź: C. tak, bo $4+10=7+7$.

Korzystamy z zależności $P=r\cdot p$, gdzie $p$ to połowa obwodu:

$$p=\frac{30}{2}=15$$

$$P=4\cdot15=60$$

Odpowiedź: $P=60$.

Średnica wyznacza kąt środkowy $180^\circ$, a kąt wpisany jest jego połową:

$$\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

To twierdzenie Talesa — kluczowe przy rozpoznawaniu trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg.

Odpowiedź: B. $90^\circ$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{25+144}=13$$

Krok 2 — okrąg opisany:

$$R=\frac{13}{2}=6{,}5$$

Krok 3 — pole trójkąta:

$$P=\frac{5\cdot12}{2}=30$$

Krok 4 — okrąg wpisany. Połowa obwodu wynosi $\frac{5+12+13}{2}=15$:

$$r=\frac{30}{15}=2$$

Kontrola wzorem dla trójkąta prostokątnego: $r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{5+12-13}{2}=2$ ✔

Odpowiedź: $r=2$, $R=6{,}5$.

Krok 1 — suma kątów czworokąta:

$$x+2x+3x+4x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad 10x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 2 — kąty:

$$36^\circ,\quad 72^\circ,\quad 108^\circ,\quad 144^\circ$$

Krok 3 — sprawdzenie warunku wpisania w okrąg. Przeciwległe kąty muszą sumować się do $180^\circ$. W czworokącie kąty przeciwległe to pierwszy z trzecim i drugi z czwartym:

$$36^\circ+108^\circ=144^\circ \neq 180^\circ$$

Uwaga metodyczna. Poprawna suma $360^\circ$ to warunek konieczny dla każdego czworokąta, ale nie wystarczający do wpisania w okrąg.

Odpowiedź: kąty to $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$ i $144^\circ$, ale taki czworokąt nie może być wpisany w okrąg.

Krok 1 — wzór wiążący boki, pole i promień:

$$R=\frac{abc}{4P}$$

Krok 2 — iloczyn boków:

$$7\cdot8\cdot9=504$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$R=\frac{504}{4\cdot12\sqrt5}=\frac{504}{48\sqrt5}=\frac{21}{2\sqrt5}$$

Krok 4 — usuwamy niewymierność:

$$R=\frac{21\sqrt5}{10}\approx4{,}70$$

Kontrola sensu: promień okręgu opisanego musi być większy od połowy najdłuższego boku ($4{,}5$) — i jest ✔

Odpowiedź: $R=\frac{21\sqrt5}{10}\approx4{,}7$.

Krok 1 — wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$:

$$h=\frac{a\sqrt3}{2}$$

Krok 2 — kluczowa własność. W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego i opisanego to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka.

Krok 3 — promienie jako części wysokości:

$$R=\frac23 h=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac13 h=\frac{a\sqrt3}{6}$$

Krok 4 — stosunek:

$$\frac{R}{r}=\frac{2/3}{1/3}=2 \qquad ∎$$

Konsekwencja dla pól. Pola kół zależą od kwadratu promienia, więc:

$$\frac{P_R}{P_r}=\left(\frac{R}{r}\right)^2=4$$

Koło opisane ma czterokrotnie większe pole niż wpisane.

Sprawdzenie: dla $a=6$ mamy $R=2\sqrt3$ oraz $r=\sqrt3$, a pola kół to $12\pi$ i $3\pi$ — stosunek wynosi $4$ ✔

Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{wpisany}=\frac{\alpha_{srodkowy}}{2}=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$$

Odpowiedź: B. $40^\circ$.

Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{srodkowy}=2\cdot35^\circ=70^\circ$$

Odpowiedź: $70^\circ$.

Średnica wyznacza łuk będący półokręgiem, któremu odpowiada kąt środkowy $180^\circ$. Kąt wpisany jest o połowę mniejszy:

$$\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

To twierdzenie Talesa: kąt wpisany oparty na średnicy jest zawsze prosty.

Odpowiedź: C. $90^\circ$.

Długość okręgu liczymy ze wzoru:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4\ \text{cm}$$

Uwaga: długość okręgu zależy od promienia liniowo (nie od kwadratu), w odróżnieniu od pola koła.

Odpowiedź: $L=10\pi\approx31{,}4$ cm.

Pole koła obliczamy ze wzoru:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $36\pi\approx113{,}1$ cm$^2$.

Uwaga: promień podnosimy do kwadratu — pominięcie potęgi to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: $P=36\pi\approx113$ cm$^2$.

W czworokącie wpisanym w okrąg sumy kątów przeciwległych wynoszą $180^\circ$:

$$\alpha+\gamma=180^\circ$$

Zatem kąt naprzeciw wynosi:

$$180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

To warunek konieczny i wystarczający, aby na czworokącie można było opisać okrąg.

Odpowiedź: A. $110^\circ$.

Krok 1 — cały okręg ma długość:

$$L=2\pi\cdot6=12\pi$$

Krok 2 — łuk to część okręgu proporcjonalna do kąta. Kąt $60^\circ$ to $\frac{60}{360}=\frac16$ pełnego kąta:

$$\text{łuk}=\frac{60}{360}\cdot12\pi=\frac16\cdot12\pi=2\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: $2\pi\approx6{,}28$ cm.

Odpowiedź: $2\pi\approx6{,}28$ cm.

Krok 1 — pole całego koła:

$$P=\pi\cdot10^2=100\pi$$

Krok 2 — wycinek to część koła. Kąt $90^\circ$ to $\frac{90}{360}=\frac14$ pełnego kąta:

$$P_{wycinka}=\frac14\cdot100\pi=25\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

Odpowiedź: $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej, a jej połowa jest promieniem:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Wynika to z twierdzenia Talesa — kąt prosty jest wpisany i oparty na średnicy, więc przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego.

Odpowiedź: D. $5$.

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary — niezależnie od położenia wierzchołka na okręgu.

$$\alpha_2=\alpha_1=42^\circ$$

Uzasadnienie: każdy z nich jest równy połowie tego samego kąta środkowego opartego na tym łuku, więc muszą być równe sobie.

Odpowiedź: drugi kąt również ma $42^\circ$.

Warunek na okrąg opisany na czworokącie dotyczy kątów:

$$\alpha+\gamma=180^\circ \quad \text{oraz} \quad \beta+\delta=180^\circ$$

Nie mylić z okręgiem wpisanym: ten istnieje, gdy sumy przeciwległych boków są równe ($a+c=b+d$).

Odpowiedź: B.

W czworokącie wpisanym sumy kątów przeciwległych to $180^\circ$. Kąty przeciwległe to pierwszy z trzecim oraz drugi z czwartym.

Para $100^\circ$ i $80^\circ$: $100^\circ+80^\circ=180^\circ$ ✔ (warunek spełniony)

Para $x$ i $2x$:

$$x+2x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=60^\circ$$

Sprawdzenie sumy wszystkich kątów: $60^\circ+100^\circ+120^\circ+80^\circ=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $x=60^\circ$.

Styczna jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności:

$$\angle=90^\circ$$

To podstawowa własność wykorzystywana w konstrukcjach stycznych i zadaniach o okręgach wpisanych.

Odpowiedź: C. $90^\circ$.

Podstawiamy $a=6$ do wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:

$$R=\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$

Przybliżenie: $2\sqrt3\approx3{,}46$.

Warto wiedzieć: promień okręgu wpisanego w ten sam trójkąt jest dwa razy mniejszy: $r=\frac{a\sqrt3}{6}=\sqrt3$.

Odpowiedź: $R=2\sqrt3\approx3{,}46$.

Pole pierścienia to różnica pól większego i mniejszego koła.

Krok 1 — pola obu kół:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi,\qquad P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 2 — różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $16\pi\approx50{,}3$ cm$^2$.

Odpowiedź: $16\pi\approx50{,}3$ cm$^2$.

Twierdzenie o kącie dopisanym: kąt między styczną a cięciwą równa się kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie (z drugiej strony).

Wynika to z faktu, że oba kąty odpowiadają połowie tego samego kąta środkowego.

Odpowiedź: A. kąt wpisany oparty na tej cięciwie.

Krok 1 — konstrukcja pomocnicza. Promień poprowadzony do końca cięciwy, odległość środka od cięciwy i połowa cięciwy tworzą trójkąt prostokątny. Odległość środka pada na środek cięciwy.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa. Przeciwprostokątną jest promień $10$, jedną przyprostokątną odległość $6$, drugą połowa cięciwy $x$:

$$x^2+6^2=10^2 \quad\Rightarrow\quad x^2=100-36=64 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Krok 3 — cała cięciwa to podwojona połowa:

$$2x=2\cdot8=16\ \text{cm}$$

Kluczowe: $x=8$ to tylko połowa cięciwy — łatwo zapomnieć o podwojeniu.

Odpowiedź: cięciwa ma $16$ cm.

Odcinek koła to wycinek minus trójkąt.

Krok 1 — pole wycinka (ćwiartka koła, kąt $90^\circ$):

$$P_{wycinka}=\frac14\pi\cdot4^2=\frac14\cdot16\pi=4\pi$$

Krok 2 — pole trójkąta. Przyprostokątne to dwa promienie po $4$ cm:

$$P_{trojkata}=\frac{4\cdot4}{2}=8$$

Krok 3 — pole odcinka:

$$P=4\pi-8\approx12{,}57-8=4{,}57\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $4\pi-8\approx4{,}57$ cm$^2$.

Krok 1 — zależność. Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego. Oznaczmy kąt wpisany przez $x$, wtedy środkowy to $2x$:

Krok 2 — warunek z treści (środkowy o $50^\circ$ większy):

$$2x=x+50^\circ \quad\Rightarrow\quad x=50^\circ$$

Krok 3 — oba kąty:

$$\text{wpisany}=50^\circ,\qquad \text{środkowy}=2\cdot50^\circ=100^\circ$$

Sprawdzenie: $100^\circ-50^\circ=50^\circ$ ✔ i $100^\circ=2\cdot50^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąt wpisany $50^\circ$, kąt środkowy $100^\circ$.

Krok 1 — przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — promień okręgu opisanego. W trójkącie prostokątnym to połowa przeciwprostokątnej:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 3 — promień okręgu wpisanego ze wzoru dla trójkąta prostokątnego:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Kontrola sensu: okrąg wpisany musi być mniejszy od opisanego — $2\lt 5$ ✔

Odpowiedź: promień okręgu opisanego $R=5$, wpisanego $r=2$.