Liceum Ogólnokształcące — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 77
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 9 · Matura 2026
Rozwiązaniem równania \(\dfrac{x+2}{3x-1}=\dfrac{2}{5}\) jest liczba:
A\(\frac{1}{3}\)
B\(\frac{8}{11}\)
C\(3\)
D\(12\)
Krok 1. Wyznaczenie dziedziny równania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik nie może być równy zero:
$$3x-1\neq0$$
$$3x\neq1$$
$$x\neq\frac{1}{3}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Do równania można podejść na różne sposoby, ale w tego typu przypadkach najlepiej sprawdzi się mnożenie na krzyż:
$$5(x+2)=2(3x-1)$$
$$5x+10=6x-2$$
$$-x=-12$$
$$x=12$$
Otrzymany wynik nie wyklucza się z założeniami, więc poszukiwanym rozwiązaniem jest \(x=12\).
Zadanie nr 8 · Matura 2025
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-2)\) oraz rożnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\dfrac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\dfrac{x+2}{x}\) jest równa wartości wyrażenia:
A\(\frac{x+2}{4x+4}\)
B\(\frac{x+1}{4x+5}\)
C\(\frac{x+1}{x+2}\)
D\(\frac{2x}{x+2}\)
Chcąc uprościć nasze wyrażenie dobrze byłoby zauważyć, że zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia, da się "zwinąć" wyrażenie \(x^2+4x+4\) do postaci \((x+2)^2\), a wartość \(x^2+x\) da się rozpisać jako \(x(x+1)\). Całość obliczeń wyglądałaby więc następująco:
$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}=$$
$$=\frac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}$$
Zadanie nr 7 · Matura 2024
Równanie \(\dfrac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \((-1)\)
Cma dokładnie dwa rozwiązania: \((-2)\) oraz \(3\)
Dma dokładnie trzy rozwiązania: \((-1)\), \((-2)\) oraz \(3\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), dlatego też wartość mianownika musi być różna od zera. To oznacza, że:
$$(x+2)(x-3)\neq0$$
$$x+2\neq0 \quad\land\quad x-3\neq0$$
$$x\neq-2 \quad\land\quad x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz przystępujemy do rozwiązania naszego równania, a zaczynamy od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). W związku z tym:
$$\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0 \quad\bigg/\cdot(x+2)(x-3)$$
$$x+1=0$$
$$x=-1$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W tym przypadku rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, czyli to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim liczba \(-1\).
Zadanie nr 8 · Matura 2023
Równanie \(\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(1\)
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\)
Dma dokładnie dwa rozwiązania: \(-1\) oraz \(1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$(x-1)(x+1)^2\neq0$$
Teraz zachowujemy się dokładnie tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli moglibyśmy zapisać, że \(x-1\neq0\) oraz że \(x+1\neq0\), co prowadzi nas do wniosku, że \(x\neq1\) oraz \(x\neq-1\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0 \quad\bigg/\cdot (x-1)(x+1)^2$$
$$(x+1)(x-1)^2=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. I tu się okazuje, że obydwa rozwiązania musimy odrzucić, ponieważ dla obydwu rozwiązań otrzymalibyśmy w mianowniku liczbę równą \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie nr 7 · Próbny 2023
Równanie \(\dfrac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych:
Adokładnie jedno rozwiązanie: \(x=3\).
Bdokładnie dwa rozwiązania: \(x=2, x=3\).
Cdokładnie trzy rozwiązania: \(x=1, x=2, x=3\).
Ddokładnie cztery rozwiązania: \(x=-3, x=1, x=2, x=3\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zera, to mianownik naszego ułamka musi być różny od zera. W związku z tym, moglibyśmy zapisać, że:
$$(1-x)(2-x)\neq0$$
Mamy postać iloczynową, zatem:
$$1-x\neq0 \quad\lor\quad 2-x\neq0$$
$$x\neq1 \quad\lor\quad x\neq2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przejść do rozwiązywania równania. Najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia całości przez to, co jest w mianowniku ułamka, dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0 \quad\bigg/\cdot(1-x)(2-x)$$
$$(2x-4)(2x-6)^2=0$$
Otrzymaliśmy równanie w postaci iloczynowej, zatem chcąc je rozwiązać, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$2x-4=0 \quad\lor\quad 2x-6=0$$
$$2x=4 \quad\lor\quad 2x=6$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=3$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować ze względu na zapisane wcześniej założenia. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=2\) musimy odrzucić, ponieważ dla tej liczby wartość mianownika wychodziła równa \(0\). Stąd też to równanie będzie mieć jedynie jedno rozwiązanie i będzie nim \(x=3\).
Zadanie nr 8 · Matura 2023
Równanie \(\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(1\)
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\)
Dma dokładnie dwa rozwiązania: \(-1\) oraz \(1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$(x-1)(x+1)^2\neq0$$
Teraz zachowujemy się dokładnie tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli moglibyśmy zapisać, że \(x-1\neq0\) oraz że \(x+1\neq0\), co prowadzi nas do wniosku, że \(x\neq1\) oraz \(x\neq-1\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0 \quad\bigg/\cdot (x-1)(x+1)^2$$
$$(x+1)(x-1)^2=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. I tu się okazuje, że obydwa rozwiązania musimy odrzucić, ponieważ dla obydwu rozwiązań otrzymalibyśmy w mianowniku liczbę równą \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie nr 8 · Matura 2023
Równanie \(\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(1\)
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\)
Dma dokładnie dwa rozwiązania: \(-1\) oraz \(1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$(x-1)(x+1)^2\neq0$$
Teraz zachowujemy się dokładnie tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli moglibyśmy zapisać, że \(x-1\neq0\) oraz że \(x+1\neq0\), co prowadzi nas do wniosku, że \(x\neq1\) oraz \(x\neq-1\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0 \quad\bigg/\cdot (x-1)(x+1)^2$$
$$(x+1)(x-1)^2=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. I tu się okazuje, że obydwa rozwiązania musimy odrzucić, ponieważ dla obydwu rozwiązań otrzymalibyśmy w mianowniku liczbę równą \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie nr 8 · Matura 2021
Równanie \(\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:
Ajedno rozwiązanie
Bdwa rozwiązania
Ctrzy rozwiązania
Dcztery rozwiązania
Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka znalazła się niewiadoma \(x\), dlatego koniecznie musimy zapisać stosowne założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem:
$$x^2-49\neq0$$
$$x^2\neq49$$
$$x\neq7 \quad\lor\quad x\neq=-7$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Dopiero po zapisaniu założeń, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony równania przez wartość z mianownika, zatem:
$$\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-49)$$
$$x^2-7x=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam proste równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście zastosować tutaj deltę (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale to zadanie da się rozwiązać jeszcze prościej. Wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias, dzięki czemu otrzymamy:
$$x^2-7x=0$$
$$x(x-7)=0$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które przypomina klasyczną postać iloczynową. Postępowanie jest tutaj standardowe, czyli musimy odpowiednie wartości przyrównać do zera, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad x-7=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=7$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na sam koniec musimy jeszcze zweryfikować otrzymane odpowiedzi. Z rozwiązania równania kwadratowego wyszło nam, że pasują nam dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=7\). Niestety to drugie rozwiązanie musimy odrzucić ze względu na założenia zapisane w pierwszym kroku. Z tego też względu całe równanie ma tylko jedno rozwiązanie należące do zbioru liczb rzeczywistych i będzie nim \(x=0\).
Zadanie nr 11 · Matura 2020
Rozwiązaniem równania \(\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0\) jest liczba:
A-3
B0
C3
D9
Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
W mianowniku nie możemy mieć wartości równej zero, dlatego że w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. W związku z tym musimy zapisać założenie, że:
$$x^2+x\neq0$$
$$x(x+1)\neq0$$
$$x\neq0 \quad\lor\quad x+1\neq0$$
$$x\neq0 \quad\lor\quad x\neq-1$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając założenia możemy przejść do obliczeń. Mnożąc obydwie strony równania przez \(x^2+x\) otrzymamy:
$$\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2+x)$$
$$x^2-3x=0$$
Ponownie mamy na swojej drodze równanie kwadratowe. Możemy oczywiście obliczyć deltę (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), natomiast dużo prościej będzie po prostu wyłączyć \(x\) przed nawias:
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x-3=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=3$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Musimy jeszcze sprawdzić nasze rozwiązania z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=0\) musimy odrzucić, zatem zostaje nam jedynie \(x=3\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2020
Rozwiązaniem równania \(\frac{x+1}{x+2}=3\), gdzie \(x\neq-2\), jest liczba należąca do przedziału:
To oznacza, że rozwiązanie równania należy do przedziału \(x\in\langle-5,-2)\).
Zadanie nr 32 · Próbny 2020
Grupa studentów zaplanowała wyjazd na narty. Postanowiono podzielić się po równo kosztem pobytu, który dla całej grupy wynosił \(3840zł\). Okazało się jednak, że z wyjazdu zrezygnowały \(4\) osoby, więc każdy z uczestników musiał zapłacić o \(160zł\) więcej. Oblicz, ile osób wzięło udział w tym wyjeździe na narty i jaką kwotę każda z nich zapłaciła.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do danych treści zadania.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba studentów, która pojechała na narty
\(x+4\) - liczba studentów przed rezygnacją \(4\) osób
\(\frac{3840}{x}\) - ostateczna cena wyjazdu pojedynczego studenta
\(\frac{3840}{x+4}\) - cena wyjazdu pojedynczego studenta, przed rezygnacją \(4\) osób
Z treści zadania wynika, że ostateczna cena na jedną osobę była o \(160zł\) wyższa, zatem powstaje nam następujące równanie:
$$\frac{3840}{x}-160=\frac{3840}{x+4}$$
Aby działać na nieco mniejszych liczbach, możemy (choć nie musimy) podzielić obie strony tego równania przez \(-160\), dzięki czemu otrzymamy:
$$x^2+4x-96=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=400$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo liczba studentów nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(x=8\).
Krok 4. Obliczenie kwoty, jaką zapłacił każdy ze studentów.
Wyszło nam, że \(x=8\), czyli że było \(8\) studentów. Skoro zapłacili oni za wycieczkę \(3840zł\), to każdy z nich zapłacił:
$$3840zł:8=480zł$$
Zadanie nr 1 · Matura 2020
Równość \(2+a=\frac{9a}{2a+1}\) jest prawdziwa, gdy:
A\(a=-2\)
B\(a=-1\)
C\(a=1\)
D\(a=2\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka pojawia nam się niewiadoma \(a\), więc musimy zapisać założenia. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość mianownika musi być różna od zera, zatem:
$$2a+1\neq0$$
$$2a\neq-1$$
$$a\neq-\frac{1}{2}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Zaczynając od wymnożenia obu stron nierówności przez \(2a+1\), możemy zapisać, że:
$$2+a=\frac{9a}{2a+1} \quad\bigg/\cdot(2a+1)$$
$$(2+a)\cdot(2a+1)=9a$$
$$4a+2+2a^2+a=9a$$
$$2a^2+5a+2=9a$$
$$2a^2-4a+2=0$$
$$a^2-2a+1=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem w ruch musi pójść obliczenie delty.
Delta wyszła równa \(0\), zatem to równanie będzie mieć tylko jedno rozwiązanie:
$$a=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymany wynik nie wyklucza się z założeniami. W tym przypadku tak nie jest, bo wynik wyszedł inny niż \(-\frac{1}{2}\), zatem rozwiązaniem tego równania jest \(a=1\).
Zadanie nr 6 · Matura 2020
Równanie \(\frac{1-x}{x}=2x\) w zbiorze liczb całkowitych:
Anie ma żadnego rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma więcej niż dwa rozwiązania
Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka mamy niewiadomą \(x\) dlatego musimy zapisać odpowiednie założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem:
$$x\neq0$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązanie równania możemy zacząć od wymnożenia całości przez \(x\):
$$\frac{1-x}{x}=2x \quad\bigg/\cdot x$$
$$1-x=2x^2$$
$$-2x^2-x+1=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wyliczenie delty:
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na początek musimy sprawdzić, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniem, że \(x\neq0\). W tym przypadku tak nie jest, zatem żadnego rozwiązania nie wykluczamy.
Nasze zadanie polega na ustaleniu, ile rozwiązań całkowitych ma nasze równanie. Takie rozwiązanie jest tylko jedno, czyli \(x=-1\).
Zadanie nr 6 · Matura 2019
Równanie \(\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0\) ma dokładnie:
Ajedno rozwiązanie: \(x=2\)
Bjedno rozwiązanie: \(x=-2\)
Cdwa rozwiązania: \(x=2\), \(x=-4\)
Ddwa rozwiązania: \(x=-2\), \(x=4\)
Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$(x-4)^2\neq0$$
$$x\neq4$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przystąpić do rozwiązywania, zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku:
$$\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-4)^2$$
$$(x-2)(x+4)=0$$
Aby to równanie było równe \(0\), to albo pierwszy nawias, albo drugi, muszą dać wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-4$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To bardzo ważny krok, bowiem musimy jeszcze zweryfikować, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami. W naszym przypadku żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem możemy stwierdzić, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=2\) oraz \(x=-4\).
Zadanie nr 19 · Próbny 2019
Równanie \(\frac{x^2-9}{x-3}=0\):
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma dokładnie trzy rozwiązania
Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od \(0\). To oznacza, że:
$$x-3\neq0$$
$$x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz bez przeszkód możemy przejść do obliczeń, a całość najprościej będzie po prostu wymnożyć przez \(x-3\), otrzymując:
$$\frac{x^2-9}{x-3}=0 \quad\bigg/\cdot(x-3)$$
$$x^2-9=0$$
$$x^2=9$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy nasze rozwiązanie jest zgodne z założeniami. Okazuje się, że jedno z rozwiązań, a konkretnie \(x=3\), musimy odrzucić właśnie ze względu na założenia. To oznacza, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=-3\).
Zadanie nr 34 · Próbny 2019
W gospodarstwie ogrodniczym zapakowano \(480\) róż do pewnej liczby kartonów. Gdyby jednak do każdego kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to do zapakowania tej samej ilości róż należałoby użyć o \(8\) kartonów więcej. Do ilu kartonów zapakowano pierwotnie róże i ile róż było w każdym kartonie?
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba róż w pojedynczym kartonie
\(y\) - liczba kartonów
Wiemy, że zapakowano \(480\) róż, zatem możemy zapisać, że:
$$x\cdot y=480$$
Dodatkowo wiemy, że gdyby do kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to trzeba byłoby użyć \(8\) kartonów więcej, czyli:
$$(x-3)(y+8)=480$$
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie układu równań
Z dwóch zapisanych równań w poprzednim kroku możemy zbudować następujący układ równań.
\begin{cases} x\cdot y=480 \\ (x-3)(y+8)=480 \end{cases}
Ten układ równań najszybciej rozwiążemy metodą podstawiania, wyznaczając np. wartość \(x\) z pierwszego równania:
\begin{cases} x=\frac{480}{y} \\ (x-3)(y+8)=480 \end{cases}
Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
\left(\frac{480}{y}-3\right)(y+8)=480$$
$$\cancel{480}+\frac{3840}{y}-3y-24=\cancel{480}$$
$$-3y-24+\frac{3840}{y}=0 \quad\bigg/\cdot y$$
$$-3y^2-24y+3840=0 \quad\bigg/:(-3)$$
$$y^2+8y-1280=0$$
Ostatnie dzielenie przez \(-3\) nie było konieczne, ale dzięki temu za chwilę będziemy działać na nieco mniejszych liczbach.
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które klasycznie obliczymy za pomocą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=8,\;c=-1280\)
$$Δ=b^2-4ac=8^2-4\cdot1\cdot(-1280)=64-(-5120)=5184$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{5184}=72$$
Krok 4. Określenie liczby kartonów oraz róż w pojedynczym kartonie.
Zacznijmy od liczby kartonów. Z równania kwadratowego wyszło nam, że \(y=-40\) oraz \(y=32\). Oczywiście ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo liczba kartonów nie może być ujemna. W związku z tym już wiemy, że \(y=32\), czyli że pierwotnie były \(32\) kartony. Musimy jeszcze obliczyć ilość róż, zatem korzystając z dowolnego równania z układu równań (np. z pierwszego) wyjdzie nam, że:
$$x\cdot y=480$$
$$x\cdot32=480$$
$$x=15$$
To oznacza, że w pojedynczym kartonie znalazło się \(15\) róż, a samych kartonów było pierwotnie \(32\).
Zadanie nr 1 · Matura 2019
Rozwiązaniem równania \(\frac{(x^2-2x-3)\cdot(x^2-9)}{x-1}=0\) nie jest liczba:
A\(-3\)
B\(-1\)
C\(1\)
D\(3\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od \(0\). To oznacza, że:
$$x-1\neq0$$
$$x\neq1$$
I tak prawdę mówiąc to już po wykonaniu tego kroku jesteśmy w stanie stwierdzić, że rozwiązaniem naszego równania na pewno nie jest liczba \(1\), bo nawet jak gdzieś wyszedłby nam \(x=1\), to tę jedynkę musielibyśmy odrzucić ze względu na założenia.
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Gdybyśmy nie dostrzegli tego, że już jesteśmy w stanie wskazać prawidłową odpowiedź, to powinniśmy standardowo przystąpić do rozwiązania tego równania, mnożąc obie strony przez \(x-1\). Otrzymamy wtedy:
Aby wartość tego równania była równa \(0\), to pierwszy lub drugi nawias musi być równy zero. To oznacza, że otrzymamy dwa równania:
$$x^2-2x-3=0\quad\lor\quad x^2-9=0$$
Równanie \(x^2-2x-3=0\) jest zapisane w postaci ogólnej, więc możemy je rozwiązać korzystając z delty:
Drugie równanie, czyli \(x^2-9=0\), jest jeszcze prostsze do policzenia, bo jesteśmy w stanie zrobić to w pamięci:
$$x^2-9=0$$
$$x^2=9$$
$$x=3\quad\lor\quad x=-3$$
Rozwiązaniami tego równania są więc liczby: \(-1\), \(3\) oraz \(-3\). Żadne z tych rozwiązań nie wyklucza się z założeniami. To oznacza, że jedyną liczbą spośród proponowanych, która nie jest rozwiązaniem tego równania, jest liczba \(1\).
Zadanie nr 27 · Matura 2019
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek: \(\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x-3\neq0$$
$$x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tego równania wymiernego, zatem wymnażając obydwie strony przez \(x-3\) otrzymamy:
$$\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3 \quad\bigg/\cdot(x-3)$$
$$3x^2-8x-3=(x-3)\cdot(x-3)$$
$$3x^2-8x-3=x^2-6x+9$$
$$2x^2-2x-12=0 \quad\bigg/:2$$
$$x^2-x-6=0$$
(Podzielenie obu stron przez 2 nie jest koniecznością, ale dzięki temu działać będziemy na mniejszych liczbach).
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy je rozwiązać korzystając tradycyjnie z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=1+24=25$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(x=-2\) oraz \(x=3\). Niestety wynik \(x=3\) musimy odrzucić ze względu na założenia, które zapisaliśmy na początku tego zadania. W związku z tym jedynym poprawnym rozwiązaniem tego równania będzie \(x=-2\).
Zadanie nr 4 · Matura 2019
Równość \(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1\) jest prawdziwa dla:
A\(a=\frac{11}{20}\)
B\(a=\frac{8}{9}\)
C\(a=\frac{9}{8}\)
D\(a=\frac{20}{11}\)
Krok 1. Uproszczenie całego zapisu.
Aby dodawać do siebie ułamki zwykłe to musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Rozpiszmy więc najpierw to co jesteśmy w stanie obliczyć i uprośćmy tym samym całe działanie:
$$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1$$
$$\frac{5}{20}+\frac{4}{20}+\frac{1}{a}=\frac{20}{20}$$
$$\frac{9}{20}+\frac{1}{a}=\frac{20}{20}$$
$$\frac{1}{a}=\frac{11}{20}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania wymiernego.
Powstało nam typowe równanie wymierne (czyli równanie z niewiadomą w mianowniku), więc możemy je rozwiązać np. wykonując mnożenie na krzyż. Otrzymamy wtedy:
$$1\cdot20=11a$$
$$11a=20$$
$$a=\frac{20}{11}$$
Zadanie nr 6 · Matura 2019
Równanie \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}=0\)
Ama trzy różne rozwiązania: \(x=1, x=3, x=-2\)
Bma trzy różne rozwiązania: \(x=-1, x=−3, x=2\)
Cma dwa różne rozwiązania: \(x=1, x=-2\)
Dma dwa różne rozwiązania: \(x=-1, x=2\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego iż na matematyce nie mamy dzielenia przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od zera. To oznacza, że:
$$x-3\neq0$$
$$x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mnożąc obydwie strony równania przez \(x-3\) otrzymamy:
$$(x-1)(x+2)=0$$
Otrzymaliśmy klasyczne równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. Aby rozwiązać to równanie musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x-1=0 \lor x+2=0$$
$$x=1 \lor x=-2$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, żadne z nich nie wyklucza się z założeniami, zatem to równanie ma dwa różne rozwiązania: \(x=1\) oraz \(x=-2\).
Zadanie nr 7 · Matura 2018
Rozwiązaniem równania \(\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}\) jest liczba:
A\(-2\)
B\(2\)
C\(4\)
D\(-4\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to musimy zapisać założenia do naszego równania, tak aby mianownik tego ułamka nie był równy zero. W związku z tym:
$$3(x+2)\neq0$$
$$x+2\neq0$$
$$x\neq-2$$
W tym konkretnym zadaniu zapisanie założeń nie przyda nam się do dalszej części zadania, ale bardzo często w takich zadaniach jakieś rozwiązanie będzie się wykluczać z założeniami i pewne wyniki będziemy musieli wykluczać. Stąd też dobrze jest nabrać wprawy i zapisywać takie założenia zawsze w tego typu zadaniach.
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Tego typu równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc na krzyż:
$$\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}$$
$$9\cdot(x-2)=3(x+2)$$
$$9x-18=3x+6$$
$$6x=24$$
$$x=4$$
Rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, zatem \(x=4\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2018
Liczba różnych rozwiązań równania \(\frac{3x(x^2-9)}{x-3}=0\) wynosi:
A\(4\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(1\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż nie istnieje w matematyce dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od \(0\). W związku z tym:
$$x-3\neq0$$
$$x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przejść do rozwiązywania równania, zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość, która znajduje się w mianowniku, czyli przez \(x-3\):
$$\frac{3x(x^2-9)}{x-3}=0 \quad\bigg/\cdot(x-3)$$
$$3x(x^2-9)=0$$
Aby to równanie było równe \(0\), to albo \(3x\) albo \(x^2-9\) musi być równe \(0\), zatem:
$$3x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=9$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Krok 3. Zapisanie rozwiązań równania.
Musimy teraz zweryfikować nasze rozwiązania i sprawdzić czy jakieś rozwiązanie nie wyklucza się z naszymi założeniami z kroku pierwszego. Okazuje się, że jedno rozwiązanie (\(x=3\)) musimy wykluczyć ze względu właśnie na założenia, dlatego równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=-3\).
Zadanie nr 6 · Matura 2018
Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)
Ama dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste
Bma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste
Cma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste
Dnie ma rozwiązań
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. W związku z tym:
$$2x+1\neq0$$
$$2x\neq-1$$
$$x\neq-\frac{1}{2}$$
To oznacza, że dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(-\frac{1}{2}\), co matematycznie możemy zapisać jako \(x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$x-\frac{1}{2x+1}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+1)$$
$$x\cdot(2x+1)-1=0$$
$$2x^2+x-1=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy skorzystać z metody delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=1,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1-(-8)=1+8=9$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Żadne z otrzymanych rozwiązań nie wyklucza się z dziedziną, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 7 · Matura 2018
Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\)
Ama trzy rozwiązania: \(x=-2, x=0, x=2\)
Bma dwa rozwiązania: \(x=0, x=-2\)
Cma dwa rozwiązania: \(x=-2, x=2\)
Dma jedno rozwiązanie: \(x=0\)
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Sprawdźmy zatem kiedy mianownik będzie równy zero, rozwiązując następujące równanie:
$$x^2-4=0$$
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
To oznacza, że do naszego równania musimy wprowadzić założenie, że \(x\neq2\) oraz \(x\neq-2\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-4)$$
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania naszego równania, ale jedno z tych rozwiązań (a konkretnie \(x=-2\)) wyklucza się z naszymi założeniami z pierwszego kroku. To oznacza, że całe równanie ma tylko jedno dobre rozwiązanie i jest to \(x=0\).
Zadanie nr 8 · Matura 2017
Rozwiązaniem równania \(\frac{x+1}{x+2}=3\), gdzie \(x\neq-2\), jest liczba należąca do przedziału:
To oznacza, że rozwiązanie równania należy do przedziału \(x\in\langle-5,-2)\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2017
Wyrażenie wymierne \(W=\frac{x-3}{x^2-4x+4}\) jest określone dla:
A\(x\in \mathbb{R}\)
B\(x\in \mathbb{R}\backslash \{3\}\)
C\(x\in \mathbb{R}\backslash \{2\}\)
D\(x\in \mathbb{R}\backslash \{-2,2\}\)
W związku z tym, że w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik naszego ułamka musi być różny od zera. To oznacza, że musimy sprawdzić kiedy \(x^2-4x+4=0\). Z racji tego iż jest to równanie kwadratowe, to najprościej będzie je policzyć tradycyjną metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0$$
Delta równa zero oznacza, że równanie ma jedno rozwiązanie:
$$x_{1}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$
Otrzymaliśmy informację, że mianownik jest równy \(0\) dla \(x=2\), dlatego musimy odrzucić dwójkę z dziedziny funkcji. To oznacza, że dziedziną funkcji jest: \(x\in\mathbb{R}\backslash\{2\}\).
Zadanie nr 26 · Próbny 2017
Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista \(a\) spełnia warunek \(a\lt1\), to \(\frac{1}{1-a}\ge4a\).
Krok 1. Ustalenie znaku wyrażenia \(1-a\).
Na początku musimy ustalić, czy \(1-a\) jest liczbą dodatnią, czy ujemną. To jest wbrew pozorom klucz do poprawnego rozwiązania tego zadania. Dlaczego? To co chcielibyśmy zrobić na samym początku przy rozwiązywaniu tej nierówności to wymnożyć jedną i drugą stronę przez wartość \(1-a\). I to jest dobry pomysł, pod warunkiem że jesteśmy pewni czy nasza wartość \(1-a\) jest dodatnia, czy też ujemna. Jeżeli \(1-a\) byłoby ujemne, to musielibyśmy zmienić znak nierówności na przeciwny, stąd też tak ważne jest to aby ustalić znak tego wyrażenia.
Z założeń wynika, że \(a\lt1\). W związku z tym:
$$a\lt1$$
$$0\lt1-a$$
$$1-a\gt0$$
Wartość \(1-a\) jest zawsze większa od zera, zatem wykonując mnożenie przez obie strony nierówności nie musimy zmieniać znaku.
Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero, to dowód możemy uznać za zakończony.
Zadanie nr 28 · Matura 2016
Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a, b, c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\).
Krok 1. Obliczenie wartości potęgowanych wyrazów.
Podniesienie liczby do potęgi \(-1\) daje wynik, który jest odwrotnością potęgowanej liczby. To oznacza, że:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Aby móc dodać do siebie te wszystkie ułamki musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(abc\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{1\cdot \cancel{a}bc}{\cancel{a}\cdot abc}+\frac{1\cdot a\cancel{b}c}{\cancel{b}\cdot abc}+\frac{1\cdot ab\cancel{c}}{\cancel{c}\cdot abc}=$$
$$=\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wynika, że \(abc=1\), zatem:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}=$$
$$=bc+ac+ab=ab+ac+bc$$
W ten oto sposób dowód możemy uznać za zakończony.
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+2\neq0$$
$$x\neq-2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mnożąc obydwie strony tego równania przez \(x+2\) otrzymamy:
$$\frac{8-2x^2}{x+2}=x+2 \quad\bigg/\cdot(x+2)$$
$$8-2x^2=(x+2)\cdot(x+2)$$
$$8-2x^2=x^2+4x+4$$
$$-3x^2-4x+4=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy obliczyć deltę:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-3)\cdot4=16-(-48)=16+48=64$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To jeszcze nie jest koniec zadania. Musimy zweryfikować nasze wyniki. W założeniach zapisaliśmy sobie, że \(x\) nie może być równy \(-2\), a to oznacza, że rozwiązanie \(x=-2\) musimy wykluczyć. To oznacza, że nasze równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(\frac{2}{3}\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Stąd też:
$$x(x+3)\neq0$$
$$x\neq0 \quad\lor\quad x\neq-3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Na początek musimy wymnożyć obie strony równania przez \(x(x+3)\), pozbywając się w ten sposób mianownika:
$$\frac{-3(9-x^2)(x+3)}{x(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot x(x+3)$$
$$-3(9-x^2)(x+3)=0 \quad\bigg/:-3$$
$$(9-x^2)(x+3)=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem aby wartość równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam tę równość wyzerować. W związku z tym:
$$9-x^2=0 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x^2=9 \quad\lor\quad x=-3$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-3$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymaliśmy dwa możliwe rozwiązania: \(x=3\) oraz \(x=-3\). Jednak z założeń wynika, że \(x\neq-3\) i dlatego też to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić. To oznacza, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=3\).
Zadanie nr 8 · Matura 2016
Rozwiązaniem równania \(\frac{x-7}{x}=5\), gdzie \(x\neq0\), jest liczba należąca do przedziału:
Otrzymany wynik mieści się jedynie w przedziale z drugiej odpowiedzi.
Zadanie nr 9 · Matura 2016
Równanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\), gdzie \(x\neq-5\):
Anie ma rozwiązań rzeczywistych
Bma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste
Cma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste
Dma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste
Aby sprawdzić ile rozwiązań ma dane równanie spróbujmy je rozwiązać tradycyjnymi metodami:
$$\frac{3x-1}{x+5}=3 \quad\bigg/\cdot(x+5)$$
$$3x-1=3\cdot(x+5)$$
$$3x-1=3x+15$$
$$-1=15$$
Otrzymaliśmy sprzeczność, a to oznacza, że to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Zadanie nr 8 · Matura 2016
Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy \(960\) złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy uczestników wyjazdu. Do grupy wyjeżdżających dołączyło w ostatniej chwili dwóch znajomych. Wtedy koszt wyjazdu przypadający na jednego uczestnika zmniejszył się o \(16\) złotych. Oblicz, ile osób wyjechało na biwak.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(x\) - początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak
\(y\) - początkowy koszt wynajęcia busa na jedną osobę
\(960\) - całkowity koszt wynajęcia busa
\(x+2\) - liczba wyjeżdżających po dołączeniu dwóch osób
\(y-16\) - koszt wynajęcia busa na jedną osobę po dołączeniu dwóch osób
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie powyższych informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases} xy=960 \\ (x+2)(y-16)=960 \end{cases}\begin{cases} xy=960 \\ xy-16x+2y-32=960 \end{cases}
Podstawiając \(xy=960\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$960-16x+2y-32=960$$
$$-16x+2y-32=0$$
$$2y=16x+32$$
$$y=8x+16$$
Podstawiając teraz \(y=8x+16\) do równania \(xy=960\) otrzymamy:
$$x\cdot(8x+16)=960$$
$$8x^2+16x=960 \quad\bigg/:8$$
$$x^2+2x=120$$
$$x^2+2x-120=0$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, zatem otrzymaliśmy że \(x=10\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak, ale wiemy, że dołączyły do nich jeszcze dwie osoby. Zatem ostatecznie na biwak pojechało \(12\) osób.
Zadanie nr 31 · Próbny 2015
Janek, który chodzi ze średnią prędkością \(4\frac{km}{h}\) a biega ze średnią prędkością \(6\frac{km}{h}\) zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykówki, przybywa na miejsce o \(4\) minuty wcześniej niż idąc normalnym krokiem. Jak daleko od domu Janka znajduje się hala treningowa?
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(s\) - odległość z hali do domu (w kilometrach)
\(t\) - czas pokonania trasy pieszo (w godzinach)
\(t-\frac{1}{15}\) - czas pokonania trasy biegiem (w godzinach)
W przypadku czasu pokonania trasy biegiem odejmujemy wartość \(\frac{1}{15}\), bo \(4\) minuty to \(\frac{1}{15}\) godziny. Nie moglibyśmy zapisać, że czas ten wynosi \(t-4\), bo mielibyśmy niezgodność jednostek - czas mielibyśmy w minutach, a prędkość w \(\frac{km}{h}\).
Krok 2. Obliczenie czasu pokonania trasy pieszo.
To co jest niezmienne w przypadku pokonywania trasy pieszo i biegiem to droga jaką należy pokonać. Ze wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\) wynika, że \(s=v\cdot t\). Możemy więc ułożyć dwa następujące równania:
Pieszo: \(s=4\cdot t\)
Bieg: \(s=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right)\)
Te dwa równania możemy zapisać w postaci układu równań, dzięki któremu obliczymy czas pokonania trasy pieszo:
\begin{cases} s=4\cdot t \\ s=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right) \end{cases}
Układ ten najprościej będzie rozwiązać metodą podstawiania, zatem:
$$4\cdot t=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right)$$
$$4t=6t-\frac{6}{15}$$
$$-2t=-\frac{6}{15} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$t=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}[h]$$
Krok 3. Obliczenie odległości z hali do domu.
Skoro wyszło nam, że \(t=\frac{1}{5}\), to korzystając z równania \(s=4\cdot t\) możemy bez problemu obliczyć odległość z hali do domu:
$$s=4\cdot t$$
$$s=4\cdot\frac{1}{5}$$
$$s=\frac{4}{5}[km]$$
Zadanie nr 5 · Matura 2015
Dla \(x\neq0\) równanie \(\frac{-2(x-3)}{x}=x-2\)
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dwa różne rozwiązania
Dma trzy różne rozwiązania
Najprościej jest to równanie rozwiązać zaczynając od pomnożenia obu stron przez \(x\):
$$\frac{-2(x-3)}{x}=x-2 \quad\bigg/\cdot x$$
$$-2(x-3)=(x-2)\cdot x$$
$$-2x+6=x^2-2x$$
$$x^2=6$$
$$x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6}$$
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, obydwa nie wykluczają się z założeniem \(x\neq0\), stąd też równanie ma dwa różne rozwiązania.
Zadanie nr 8 · Matura 2015
Wyrażenie \(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x}\), określone dla \(x\neq0\) i \(x\neq1\), jest równe:
A\(\frac{x^2-x+1}{x^2-x}\)
B\(\frac{x^2-x-1}{x^2-x}\)
C\(\frac{x-1}{x^2-x}\)
D\(\frac{x^2-x-1}{x-1}\)
Aby odjąć od siebie te dwa ułamki musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. To znaczy, że licznik i mianownik pierwszego ułamka musimy pomnożyć przez \(x\), natomiast licznik i mianownik drugiego ułamka musimy pomnożyć przez \((x-1)\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{x\cdot x}{(x-1)\cdot x}-\frac{1\cdot(x-1)}{x\cdot(x-1)}=$$
$$=\frac{x^2}{x^2-x}-\frac{x-1}{x^2-x}=\frac{x^2-(x-1)}{x^2-x}=\frac{x^2-x+1}{x^2-x}$$
Zadanie nr 7 · Matura 2015
Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\):
Ama dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=1\)
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\)
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-1\)
Dma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0, x=1\)
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Musimy zapisać założenia wynikające z tego, że mianownik nie może być równy \(0\) (bo nie można dzielić przez \(0\)). Zatem \(x\neq-1\). To wbrew pozorom ważny krok, bo choć akurat w przypadku tego zadania nie wpłynie on na wynik, to czasem może on wpłynąć na ostateczny wynik.
To oznacza, że równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).
Zadanie nr 7 · Matura 2015
Rozwiązaniem równania \(\frac{2x-4}{3-x}=\frac{4}{3}\) jest liczba:
A\(x=0\)
B\(x=\frac{12}{5}\)
C\(x=2\)
D\(x=\frac{25}{11}\)
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego iż w mianowniku nie może znaleźć się liczba zero, to musimy napisać założenia do naszego równania:
$$3-x\neq0$$
$$x\neq3$$
Gdyby wśród obliczonych rozwiązań tego równania pojawiła się liczba \(3\), to zgodnie z założeniami musielibyśmy ją odrzucić.
Krok 2. Rozwiązanie równania.
To równanie najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż, dzięki czemu otrzymamy:
$$(2x-4)\cdot3=(3-x)\cdot4$$
$$6x-12=12-4x$$
$$10x-12=12$$
$$10x=24$$
$$x=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$$
Zadanie nr 34 · Matura 2015
Biegacz narciarski Borys wyruszył na trasę biegu o \(10\) minut później niż inny zawodnik, Adam. Metę zawodów, po przebyciu \(15\)-kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali równocześnie. Okazało się, że wartość średniej prędkości na całej trasie w przypadku Borysa była o \(4,5km/h\) większa niż w przypadku Adama. Oblicz, w jakim czasie Adam pokonał całą trasę biegu.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(v\) - średnia prędkość Adama [\(\frac{km}{h}\)]
\(t\) - czas Adama [\(h\)]
\(v+4,5\) - średnia prędkość Borysa [\(\frac{km}{h}\)]
\(t-\frac{1}{6}\) - czas Borysa [\(h\)]
Odejmujemy \(\frac{1}{6}\), bo Borys biegł \(10\) minut krócej, a skoro posługujemy się godzinami to \(10min=\frac{1}{6}h\).
\(s=15\) - długość trasy
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie układu równań na podstawie danych z treści zadania.
Skorzystamy tutaj ze wzoru \(s=vt\).
\begin{cases} 15=vt \\ 15=(v+4,5)\left(t-\frac{1}{6}\right) \end{cases}
Podstawiając z pierwszego równania \(v=\frac{15}{t}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
15=\left(\frac{15}{t}+4,5\right)\left(t-\frac{1}{6}\right)$$
$$\cancel{15}=\cancel{15}-\frac{15}{6t}+4,5t-\frac{3}{4}$$
$$-\frac{15}{6t}+4,5t-\frac{3}{4}=0$$
$$-\frac{5}{2t}+4,5t-\frac{3}{4}=0 \quad\bigg/\cdot4t$$
$$-10+18t^2-3t=0$$
$$18t^2-3t-10=0$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie ujemne musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zostaje nam \(t=\frac{5}{6}[h]\), a zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to czas biegu Adama, czyli dokładnie to czego szukaliśmy. Możemy jeszcze zapisać, że \(t=\frac{5}{6}h=50 min.\) i w takim też czasie Adam pokonał całą trasę biegu.
Zadanie nr 6 · Matura 2014
Rozwiązaniem równania \(\frac{x-5}{7-x}=\frac{1}{3}\) jest liczba:
A\(-11\)
B\(\frac{11}{2}\)
C\(\frac{2}{11}\)
D\(11\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku nie może być równa zero. Stąd też:
$$7-x\neq0$$
$$x\neq7$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Najprościej będzie chyba tutaj zastosować tzw. "mnożenie na krzyż":
$$(x-5)\cdot3=1\cdot(7-x)$$
$$3x-15=7-x$$
$$4x=22$$
$$x=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}$$
Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, więc \(x=\frac{11}{2}\).
Zadanie nr 7 · Matura 2014
Jeśli \(a=\frac{b}{c-b}\), to:
A\(b=\frac{a+1}{a\cdot c}\)
B\(b=\frac{a\cdot c}{a+1}\)
C\(b=\frac{a\cdot c}{a-1}\)
D\(b=\frac{a-1}{a\cdot c}\)
Naszym zadaniem jest przekształcenie tego równania, tak by wyznaczyć z niego wartość \(b\).
$$a=\frac{b}{c-b} \quad\bigg/(c-b)$$
$$a\cdot(c-b)=b$$
$$ac-ab=b$$
$$ac=ab+b$$
$$ac=b\cdot(a+1) \quad\bigg/:(a+1)$$
$$b=\frac{ac}{a+1}$$
Zadanie nr 32 · Matura 2014
Miasta \(A\) i \(B\) są oddalone o \(450km\). Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o \(75\) minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o \(18km/h\) mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości:
- prędkości, z jaką pani Danuta jechała z \(A\) do \(B\)
- prędkości, z jaką pani Lidia jechała z \(A\) do \(B\)
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(v\) - prędkość Pani Lidii
\(t\) - czas Pani Lidii
\(s=450\) - odległość między miastami
\(v-18\) - prędkość Pani Danuty
\(t+\frac{5}{4}\) - czas Pani Danuty
Dlaczego czas Pani Danuty to \(t+\frac{5}{4}\)? Pani Danuta jechała dłużej o \(75\) minut. Nam jednostka jaką są minuty nie pasuje, bo prędkość obliczamy w \(\frac{km}{h}\). Musimy więc te minuty zamienić na godziny:
$$75\text{ min. }=\frac{75}{60}\text{ godz. }=\frac{5}{4}\text{ godz. }$$
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$
Na podstawie tego wzoru układamy dwa równania - pierwsze dla Pani Lidii, drugie dla Pani Danuty.
\begin{cases} 450=vt \\ 450=(v-18)(t+\frac{5}{4}) \end{cases}
Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{450}{v}\) otrzymamy:
$$\require{cancel}
450=(v-18)\left(\frac{450}{v}+\frac{5}{4}\right)$$
$$\cancel{450}=\cancel{450}+\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5$$
$$\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5=0 \quad\bigg/\cdot v$$
$$\frac{5}{4}v^2-22,5v-8100=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5}$$
$$v^2-18v-6480=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-18,\;c=-6480\)
$$Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4\cdot1\cdot(-6480)=324-(-25920)=324+25920=26244$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{26244}=162$$
Krok 4. Obliczenie średnich wartości prędkości Pani Lidii i Danuty.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc wyszło nam, że prędkość jazdy Pani Lidii to \(90\frac{km}{h}\).
W związku z tym prękość jazdy Pani Danuty wynosi:
$$90\frac{km}{h}-18\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}$$
Zadanie nr 26 · Próbny 2014
Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania \(\frac{2x+4}{x-2}=2x+1\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim przystąpimy do obliczeń musimy sobie zapisać założenia do tego równania, które wynikają z tego, że mianownik ułamka nie może być równy zero. Zatem:
$$x-2\neq0$$
$$x\neq2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Możemy już przystąpić do obliczeń. Najprościej będzie zacząć obliczenia od wymnożenia obu stron przez wartość \((x-2)\), pozbywając się w ten sposób ułamka:
$$\frac{2x+4}{x-2}=2x+1 \quad\bigg/\cdot (x-2)$$
$$2x+4=(2x+1)\cdot(x-2)$$
$$2x+4=2x^2-4x+x-2$$
$$2x+4=2x^2-3x-2$$
$$-2x^2+5x+6=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie możemy rozwiązać za pomocą metody delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot6=25-(-48)=25+48=73$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{73}$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Obydwa rozwiązania tego równania są jak najbardziej poprawne (nie wykluczają się z naszymi założeniami z pierwszego kroku). Naszym zadaniem jest jednak udowodnić, że to równanie nie ma żadnych CAŁKOWITYCH rozwiązań i rzeczywiście tak jest, bo obydwie otrzymane liczby nie są całkowite. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 6 · Próbny 2014
Jeśli do wykresu funkcji \(f(x)=\frac{a}{x}\) należy punkt \(A=\left(-\frac{1}{4},8\right)\), to:
A\(a=-32\)
B\(a=-2\)
C\(a=2\)
D\(a=32\)
Do wzoru tej funkcji musimy po prostu podstawić współrzędne naszego punktu \(A\), otrzymując w ten sposób równanie:
$$8=\frac{a}{-\frac{1}{4}} \quad\bigg/\cdot(-\frac{1}{4})$$
$$a=-2$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2014
Wyrażenie wymierne \(W=\frac{16x^2-25}{16x^2+40x+25}\) po skróceniu przyjmuje postać:
A\(W=\frac{4x-5}{4x+5}\)
B\(W=\frac{4x+5}{4x-5}\)
C\(W=\frac{-25x}{40x+25}\)
D\(W=\frac{-1}{40x}\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy rozpisać to wyrażenie w następujący sposób:
$$\require{cancel}W=\frac{16x^2-25}{16x^2+40x+25}$$
$$W=\frac{(4x-5)(4x+5)}{(4x+5)^2}$$
$$W=\frac{(4x-5)\cancel{(4x+5)}}{(4x+5)\cancel{(4x+5)}}$$
$$W=\frac{4x-5}{4x+5}$$
Zadanie nr 33 · Matura 2014
Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości \(150km\) pan Nowak pokonał w czasie o \(1\) godzinę i \(50\) minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o \(11km/h\) większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i ułożenie z nich układu równań.
\(v\) - średnia prędkość Nowaka (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas jazdy Nowaka (w godzinach)
\(v-11\) - średnia prędkość Kowalskiego (bo jest o \(11\frac{km}{h}\) mniejsza od Nowaka}
\(t+\frac{11}{6}\) - czas jazdy Kowalskiego (bo jest o \(110\) minut dłuższy od czasu Nowaka, a \(110\) minut to \(\frac{11}{6}\) godziny)
\(s=150\) - długosć trasy (w kilometrach)
Do ułożenia układu równań skorzystamy ze wzoru:
$$v=\frac{s}{t} \quad\Rightarrow\quad s=vt$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Z pierwszego równania wychodzi nam, że \(t=\frac{150}{v}\). Podstawiając tę wartość do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
150=(v-11)\cdot\left(\frac{150}{v}+\frac{11}{6}\right) \quad\bigg/\cdot 6v$$
$$900v=(v-11)\cdot(900+11v)$$
$$\cancel{900v}=\cancel{900v}+11v^2-9900-121v$$
$$11v^2-121v-9900=0 \quad\bigg/:11$$
$$v^2-11v-900=0$$
Krok 4. Interpretacja wyników i obliczenie prędkości jazdy pana Nowaka i Kowalskiego.
Ujemną prędkość musimy odrzucić, stąd też zostaje nam jedynie \(v=36\frac{km}{h}\) i jest to zgodnie z naszymi oznaczeniami prędkość pana Nowaka. Pozostaje nam jeszcze do obliczenia prękość pana Kowalskiego, która wyniesie:
$$36\frac{km}{h}-11\frac{km}{h}=25\frac{km}{h}$$
Zadanie nr 33 · Matura 2014
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość \(2,1km\). Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy \(1\) godzinę i \(4\) minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o \(1km/h\) mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Krok 1. Wypisanie danych i relacji z treści zadania.
\(t\) - czas wchodzenia na wzgórze
\(1\) godzina i \(4\) minuty, czyli \(1\frac{4}{60}=\frac{16}{15}\) godziny - czas wchodzenia i schodzenia ze wzgórza
\(\frac{16}{15}-t\) - czas schodzenia ze wzgórza
\(v\) - prędkość wchodzenia na wzgórze
\(v+1\) - prędkość schodzenia ze wzgórza
\(s=2,1\) - długość drogi w kilometrach (w jednym kierunku)
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości wchodzenia i schodzenia w formie układu równań:
\begin{cases} vt=2,1 \\ (v+1)(\frac{16}{15}-t)=2,1 \end{cases}\begin{cases} t=\frac{2,1}{v} \\ \frac{16}{15}v-vt+\frac{16}{15}-t=2,1 \end{cases}
Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(t=\frac{2,1}{v}\) do drugiego równania. Warto też będzie wymnożyć sobie wszystkie strony powstałego równania np. przez \(30\), tak aby pozbyć się wszystkich ułamków, zatem:
$$\frac{16}{15}v-v\cdot\frac{2,1}{v}+\frac{16}{15}-\frac{2,1}{v}=2,1 \quad\bigg/\cdot 30$$
$$32v-63+32-\frac{63}{v}=63 \quad\bigg/\cdot v$$
$$32v^2-63v+32v-63=63v$$
$$32v^2-94v-63=0$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo prędkość nie może być ujemna. Zatem \(v=3,5\frac{km}{h}\) i to jest nasza końcowa odpowiedź.
Zadanie nr 11 · Próbny 2013
Liczba różnych rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+2x}=0\) wynosi:
A\(5\)
B\(4\)
C\(3\)
D\(2\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość \(x^2+2x\) musi być różna od zera. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+2x=0\) i wykluczyć te argumenty z naszego rozwiązania równania.
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-2$$
Mamy wygodną postać iloczynową, zatem możemy przyrównać wartość każdego nawiasu do zera:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x^2-4=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x^2=4$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 3. Zapisanie rozwiązań równania.
Musimy teraz zweryfikować nasze rozwiązania i sprawdzić czy jakieś rozwiązanie nie wyklucza się z naszymi założeniami z kroku pierwszego. Okazuje się, że jedno rozwiązanie (\(x=-2\)) musimy wykluczyć ze względu właśnie na założenia, dlatego równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=2\).
Zadanie nr 33 · Próbny 2013
Ojciec i syn zbierają jabłka. Razem zebranie wszystkich jabłek zajęło im \(6\) godzin. Gdyby ojciec zbierał jabłka sam, to zajęłoby mu to o \(5\) godzin mniej, niż gdyby zbierał je sam jego syn. W jakim czasie ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka?
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(p\) - praca do wykonania
\(x\) - czas pracy ojca (w godzinach)
\(x+5\) - czas pracy syna (w godzinach)
Krok 2. Ułożenie równania.
Do zadania podejdziemy dokładanie tak jak podchodzimy do zadań z prędkością, gdzie korzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\). Tutaj też mamy tak jakby prędkość zbierania, zamiast drogi mamy wielkość pracy do wykonania, a zamiast czasu jazdy mamy czas zbierania. Jeżeli tak przystąpimy do tego zadania, to możemy zapisać, że prędkość zbierania jabłek przez ojca jest równa \(\frac{p}{x}\), prędkość zbierania jabłek przez syna to \(\frac{p}{x+5}\), a prędkość zbierania jabłek przez ojca i syna jednocześnie to \(\frac{p}{6}\). W związku z tym możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6}$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie najprościej jest zacząć od wymnożenia wszystkiego przez wartości znajdujące się w mianownikach. Najlepiej jest to zrobić powoli i po kolei:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6} \quad\bigg/\cdot6$$
$$\frac{6p}{x}+\frac{6p}{x+5}=p \quad\bigg/\cdot x$$
$$6p+\frac{6px}{x+5}=px \quad\bigg/\cdot(x+5)$$
$$6p\cdot(x+5)+6px=px\cdot(x+5) \quad\bigg/:p$$
$$6\cdot(x+5)+6x=x\cdot(x+5)$$
$$6x+30+6x=x^2+5x$$
$$12x+30=x^2+5x$$
$$x^2-7x-30=0$$
Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które policzymy oczywiście korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-7,\;c=-30\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-30)=49-(-120)=49+120=169$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{169}=13$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo czas pracy ojca oznaczony jako \(x\) nie może być ujemny, zatem zostaje nam \(x=10\). To oznacza, że ojciec samodzielnie zebrałby jabłka w ciągu \(10\) godzin.
Zadanie nr 33 · Matura 2013
Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła \(120\) złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o \(5\) złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.
Przyjmijmy, że:
\(x\) - liczba znajomych
\(y\) - opłata miesięczna na osobę
\(120\) - łączna opłata za Internet
Po miesiącu:
\(x+2\) - liczba znajomych po upływie miesiąca
\(x-5\) - nowa opłata miesięczna na osobę
\(120\) - łączna opłata za Internet (nie uległa zmianie)
Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Zgodnie z treścią zadania i wypisanymi przed chwilą oznaczeniami możemy zapisać, że:
\begin{cases} x\cdot y=120 \\ (x+2)\cdot(y-5)=120 \end{cases}
Podstawiając wartość \(y=\frac{120}{x}\) z pierwszego równania do równania drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
x\cdot\frac{120}{x}-5x+2\cdot\frac{120}{x}-10=120$$
$$\cancel{120}-5x+\frac{240}{x}-10=\cancel{120}$$
$$-5x+\frac{240}{x}-10=0 \quad\bigg/\cdot x$$
$$-5x^2-10x+240=0 \quad\bigg/:(-5)$$
$$x^2+2x-48$$
Ostatniego dzielenia przez \(-5\) nie musimy wykonywać, aczkolwiek uprości nam to trochę późniejsze obliczenia.
Z racji tego, że liczba osób nie może być ujemna, to jedynym rozwiązaniem jakie nam zostaje jest \(x=6\). To oznacza, że w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu grupa liczyła \(6\) osób.
Zadanie nr 34 · Matura 2013
Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości \(336\) kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę drogę w czasie o \(40\) minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o \(9km/h\) większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
\(t\) - czas jazdy pierwszego pociągu
\(v\) - prędkość jazdy pierwszego pociągu
\(t+\frac{2}{3}h\) - czas jazdy drugiego pociągu (dodajemy \(\frac{2}{3}\), bo \(40\) minut to \(\frac{2}{3}\) godziny. Gdybyśmy zapisali to jako \(t+40min\) to potem nie moglibyśmy się posługiwać jednostkami \(\frac{km}{h}\))
\(v-9\frac{km}{h}\) - prędkość jazdy drugiego pociągu
\(s=336km\) - długość całej trasy
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na drogę \(s=v\cdot t\). Podstawiając do niego nasze dane wypisane w pierwszym otrzymamy następujący układ równań:
\begin{cases} vt=336 \\ (v-9)(t+\frac{2}{3})=336 \end{cases}\begin{cases} t=\frac{336}{v} \\ vt+\frac{2}{3}v-9t-6=336 \end{cases}
Po podstawieniu wartości \(t\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
v\cdot\frac{336}{v}+\frac{2}{3}v-9\cdot\frac{336}{v}-6=336$$
$$\cancel{336}+\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=\cancel{336}$$
$$\frac{2}{3}v-\frac{3024}{v}-6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$
$$v-\frac{4536}{v}-9=0 \quad\bigg/\cdot v$$
$$v^2-9v-4536=0$$
Rozwiązanie ujemne wykluczamy, bo prędkość musi być dodatnia. To oznacza, że ostatecznym rozwiązaniem jest \(v=72\frac{km}{h}\).
Krok 4. Obliczenie prędkości drugiego pociągu.
Prędkość jazdy drugiego pociągu to:
$$v-9\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}-9\frac{km}{h}=63\frac{km}{h}$$
Zadanie nr 11 · Matura 2012
Równanie \(\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0\) ma:
Adokładnie jedno rozwiązanie
Bdokładnie dwa rozwiązania
Cdokładnie trzy rozwiązania
Ddokładnie cztery rozwiązania
Tego typu równanie wymierne może być równe \(0\) tylko i wyłącznie wtedy, kiedy licznik jest równy \(0\). Jednak równie ważną informacją jest to, że sam mianownik nie może być równy zero, bo w matematyce dzielenie przez \(0\) nie istnieje.
Krok 1. Wypisanie założeń.
W związku z tym, że mianownik musi być równy od zera, to:
$$x-3\neq0 \quad\land\quad x+2\neq0$$
$$x\neq3 \quad\land\quad x\neq-2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku, licznik musi być różny od zera, czyli:
$$(x+3)(x-2)=0$$
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-2=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=2$$
Otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami zapisanymi w pierwszym kroku, tak więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.
Zadanie nr 34 · Matura 2012
Kolarz pokonał trasę \(114km\). Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o \(9,5\frac{km}{h}\), to pokonałby tę trasę w czasie o \(2\) godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie układu równań.
W całym zadaniu przyda nam się znajomość wzoru \(v=\frac{s}{t}\) i umiejętność jego zamiany na pożądaną formę.
\(v\) - średnia prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas jazdy kolarza (w godzinach)
\(s=114\) - pokonana trasa (w kilometrach)
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać dwa równania, które stworzą układ równań:
\begin{cases} 114=vt \\ (v-9,5)(t+2)=114 \end{cases}
Najprościej będzie podstawić wartość \(t=\frac{114}{v}\) z pierwszego równania do drugiego, dzięki czemu otrzymamy:
$$\require{cancel}
(v-9,5)\left(\frac{114}{v}+2\right)=114 \quad\bigg/\cdot v$$
$$(v-9,5)(114+2v)=114v$$
$$\cancel{114v}+2v^2-1083-19v=\cancel{114v}$$
$$2v^2-19v-1083=0$$
Ujemną prędkość oczywiście odrzucamy, więc jedyną prawidłową odpowiedzią jest \(v=28,5\frac{km}{h}\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2012
Równanie \(\frac{x^2+36}{x-6}=0\):
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma dokładnie trzy rozwiązania
Krok 1. Zapisanie odpowiednich założeń do zadania.
Wartość w mianowniku nie może być równa zero, bo dzielenie przez zero w matematyce nie występuje. Stąd też pierwszym krokiem jaki należy uczynić jest zapisanie założenia, że \(x-6\neq0\), czyli \(x\neq6\).
Zapisanie założeń jest ważne, bo czasem zachodzi konieczność odrzucenia jakiegoś rozwiązania ze względu na to założenie.
Krok 2. Sprawdzenie dla jakich liczb wartość licznika jest równa \(0\).
Aby wynik działania był równy \(0\) to wartość licznika musi być równa \(0\) (i jest to jedyna możliwość, bo wartość mianownika na pewno musi być różna od zera). Stąd też:
$$x^2+36=0$$
$$x^2=-36$$
Niestety nie istnieje jakakolwiek liczba, która byłaby rozwiązaniem tego równania, bo nie ma takiej liczby rzeczywistej, która podniesiona do kwadratu da nam ujemny wynik. To oznacza, że równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie nr 32 · Próbny 2012
Z dwóch miast \(A\) i \(B\), odległych od siebie o \(18\) kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta \(A\) o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta \(B\). Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta \(B\) jeszcze \(1,5\) godziny, drugi zaś szedł jeszcze \(4\) godziny do miasta \(A\).
Krok 1. Wypisanie danych z zadania.
Musimy sobie dokładnie zapisać i uporządkować wszystkie dane, które przydadzą nam się do rozwiązania tego zadania.
\(v_{1}\) - prędkość pierwszego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}\) - prędkość drugiego turysty (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas po jakim pierwszy turysta spotkał drugiego (w godzinach)
Takie uwzględnienie danych pozwoli nam na zapisanie kolejnych relacji:
\(v_{1}\cdot t\) - trasa jaką pokonał pierwszy turysta do momentu spotkania
\(v_{2}\cdot (t-1)\) - trasa jaką pokonał drugi turysta do momentu spotkania (dajemy \(-1\), bo drugi turysta szedł o godzinę krócej)
\(v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18\) - wiemy, że suma pokonanych tras pierwszego i drugiego turysty jest na pewno równa \(18\)
Wszystkie powyższe relacje były związane z momentem spotkania się dwóch turystów, ale z zadania możemy jeszcze wydobyć informacje o zależnościach pomiędzy dalszymi odcinkami trasy (po spotkaniu).
Pierwszy turysta poruszał się z prędkością \(v_{1}\) jeszcze przez \(1,5\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{1}\cdot t\). To znaczy, że:
$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t$$
Drugi turysta poruszał się z prędkością \(v_{2}\) jeszcze przez \(4\) godziny i w tym czasie pokonał on dystans \(18-v_{2}\cdot (t-1)\). To znaczy, że:
$$4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1)$$
Krok 2. Ułożenie odpowiedniego układu równań.
Z powyższych danych jesteśmy w stanie utworzyć układ zawierający aż trzy równania:
\begin{cases} v_{1}\cdot t+v_{2}\cdot (t-1)=18 \\ 1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \\ 4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1) \end{cases}
To dla nas bardzo komfortowa sytuacja i możemy teraz wyliczyć poszczególne niewiadome na bardzo wiele sposobów. Wydaje się, że najpierw najprościej będzie wyznaczyć wartości \(v_{1}\) oraz \(v_{2}\) z dwóch ostatnich równań i podstawić je do pierwszego równania, stąd też:
$$1,5\cdot v_{1}=18-v_{1}\cdot t \Rightarrow v_{1}=\frac{18}{t+1,5}$$
$$4\cdot v_{2}=18-v_{2}\cdot (t-1) \Rightarrow v_{2}=\frac{18}{t+3}$$
Podstawiając te dane do pierwszego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
\frac{18}{t+1,5}\cdot t+\frac{18}{t+3}\cdot (t-1)=18 \quad\bigg/\cdot (t+1,5)(t+3)$$
$$18\cdot(t+3)\cdot t+18\cdot(t+1,5)\cdot(t+1,5)\cdot(t-1)=18\cdot(t+1,5)(t+3)$$
$$(18t+54)t+(18t+27)(t-1)=(18t+27)(t+3)$$
$$18t^2+\cancel{54t}+\cancel{18t^2}-18t+\cancel{27t}-27=\cancel{18t^2}+\cancel{54t}+\cancel{27}+81$$
$$18t^2-18t-108=0 \quad\bigg/:18$$
$$t^2-t-6=0$$
Ujemny wynik możemy odrzucić, bo czas wędrówki musi być dodatni. Zostaje nam więc \(t=3\).
Krok 4. Obliczenie prędkości dwóch turystów.
W drugim kroku wyznaczyliśmy sobie dwa wzory na prędkość obydwu wędrowców: \(v_{1}=\frac{18}{t+1,5}\) oraz \(v_{2}=\frac{18}{t+3}\). Skorzystamy z nich teraz, podstawiając wyliczony przed chwilą czas \(t=3\).
$$v_{1}=\frac{18}{t+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=\frac{18}{3+1,5}=4\left[\frac{km}{h}\right]$$
$$v_{2}=\frac{18}{t+3}=\frac{18}{3+3}=\frac{18}{6}=3\left[\frac{km}{h}\right]$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2012
Turysta pokonał pieszo trasę długości \(30km\) z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) ze stałą prędkością. Rowerem poruszałby się z prędkością o \(9\frac{km}{h}\) większą i przybyłby do celu o \(3\) godziny wcześniej. Wyznacz prędkość marszu turysty i czas przejścia tej drogi.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s=30\) - pokonana trasa (w \(km\))
\(v_{1}\) - prędkość marszu (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}=v_{1}+9\) - prędkość jazdy rowerem (w \(\frac{km}{h}\))
\(t_{1}\) - czas marszu (w godzinach)
\(t_{2}=t_{1}-3\) - czas jazdy rowerem (w godzinach)
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy w formie układu równań, relację dotyczącą prędkości marszu oraz jazdy rowerem:
$$\begin{cases} s=v_{1}\cdot t_{1} \\ s=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$
Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(v_{1}\) z pierwszego równania do drugiego:
$$30=\left(\frac{t_{1}}{30}+9\right)\cdot(t_{1}-3)$$
Wymnażając poszczególne nawiasy i upraszczając zapis do postaci ogólnej otrzymamy:
$$30=30-\frac{90}{t_{1}}+9t_{1}-27 \quad\bigg/-30$$
$$-\frac{90}{t_{1}}+9t_{1}-27=0 \quad\bigg/\cdot t_{1}$$
$$-90+9t_{1}^2-27t_{1}=0 \quad\bigg/:9$$
$$-10+t_{1}^2-3t_{1}=0$$
$$t_{1}^2-3t_{1}-10=0$$
Ujemny wynik musimy odrzucić, bowiem czas nie może być ujemny. To oznacza, że \(t_{1}=5\).
Krok 4. Obliczenie prędkości marszu.
Znamy długość drogi \(s=30km\), wiemy też że czas jazdy wynosi \(t=5h\), zatem bez problemu obliczymy prędkość marszu:
$$v=\frac{s}{t}$$
$$v=\frac{30km}{5h}$$
$$v=6\frac{km}{h}$$
Zadanie nr 13 · Matura 2012
Wyrażenie \(\frac{3x+1}{x-2}-\frac{2x-1}{x+3}\) jest równe:
A\(\frac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}\)
B\(\frac{x+2}{(x-2)(x+3)}\)
C\(\frac{x}{(x-2)(x+3)}\)
D\(\frac{x+2}{-5}\)
Aby dodać do siebie dwa ułamki musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik i mianownik pierwszego ułamka wymnożymy przez \((x+3)\), a licznik i mianownik drugiego ułamka przez \((x-2)\). Warto sobie to wszystko pogrupować w nawiasy, by uniknać błędów rachunkowych:
$$\frac{3x+1}{x-2}-\frac{2x-1}{x+3}=$$
$$=\frac{(3x+1)\cdot(x+3)}{(x-2)\cdot(x+3)}-\frac{(2x-1)\cdot(x-2)}{(x+3)\cdot(x-2)}=$$
$$=\frac{(3x+1)\cdot(x+3)-(2x-1)\cdot(x-2)}{(x-2)\cdot(x+3)}=$$
$$=\frac{3x^2+9x+x+3-(2x^2-x-4x+2)}{(x-2)\cdot(x+3)}=$$
$$=\frac{3x^2+10x+3-(2x^2-5x+2)}{(x-2)\cdot(x+3)}=$$
$$=\frac{3x^2+10x+3-2x^2+5x-2}{(x-2)\cdot(x+3)}=$$
$$=\frac{3x^2-2x^2+10x+5x+3-2}{(x-2)\cdot(x+3)}=$$
$$=\frac{x^2+15x+1}{(x-2)\cdot(x+3)}$$
Zadanie nr 34 · Matura 2012
Miasto \(A\) i miasto \(B\) łączy linia kolejowa długości \(210km\). Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \(24km/h\) większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \(1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.
Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
\(s=210km\) - trasa z miasta \(A\) do \(B\) (w kilometrach)
\(v\) - prędkość pociągu pospiesznego (w \(\frac{km}{h}\))
\(v-24\) - prędkość pociągu osobowego (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas pokonania trasy przez pociąg pospieszny (w godzinach)
\(t+1\) - czas pokonania trasy przez pociąg osobowy (w godzinach)
Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z powyższych danych możemy stworzyć dość prosty układ równań. Wykorzystamy przy tym wzór na drogę \(s=vt\) i podstawimy do niego raz dane dotyczące pociągu pospiesznego, a raz pociągu osobowego, zatem:
\begin{cases} vt=210 \\ (v-24)(t+1)=210 \end{cases}
Z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego wartość \(v=\frac{210}{t}\) i otrzymamy:
$$\left(\frac{210}{t}-24\right)\left(t+1\right)=210$$
$$210+\frac{210}{t}-24t-24=210$$
$$\frac{210}{t}-24t-24=0 \quad\bigg/\cdot t$$
$$210-24t^2-24t=0$$
$$-24t^2-24t+210=0$$
Powstałą równość możemy jeszcze uprościć dzieląc obie strony przez \(6\), dzięki czemu otrzymamy:
$$-4t^2-4t+35=0$$
Jeśli nie dostrzeżesz tego dzielenia, to nic się nie stanie, po prostu w kolejnym kroku będziesz wykonywać działania na większych liczbach, ale wynik wyjdzie ten sam.
Krok 3. Rozwiązanie powstałej równości.
Równość kwadratową możemy obliczyć za pomocą tzw. metody delty.
Współczynniki: \(a=-4,\;b=-4,\;c=35\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-4)\cdot35=16+560=576$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$
Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zatem trzymaliśmy wartość \(t=2,5\), a to oznacza, że czas pokonania drogi przez pociąg pospieszny to \(2,5\) godziny.
Zadanie nr 5 · Próbny 2011
Rozwiązaniem równania \(-2=\frac{x-1}{x+2}\) jest liczba:
A\(-1\)
B\(1\)
C\(0\)
D\(\frac{5}{3}\)
Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
W mianowniku nie możemy mieć wartości równej zero, dlatego że w matematyce nie istnieje mnożenie przez zero. W związku z tym musimy zapisać założenie, że:
$$x+2\neq0$$
$$x\neq-2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz bez przeszkód możemy przejść do obliczeń, a całość najprościej będzie po prostu wymnożyć przez \(x+2\).
$$-2=\frac{x-1}{x+2} \quad\bigg/\cdot(x+2)$$
$$-2\cdot(x+2)=x-1$$
$$-2x-4=x-1$$
$$-3x=3$$
$$x=-1$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2011
Punkt \(P=(a+1;2)\) należy do wykresu funkcji \(f(x)=\frac{4}{x}\). Liczba \(a\) jest równa:
A\(0\)
B\(-1\)
C\(2\)
D\(1\)
Aby sprawdzić ile jest równe \(a\) musimy podstawić do wzoru funkcji współrzędne punktu \(P\), czyli \(x=a+1\) oraz \(y=2\). Otrzymamy wtedy:
$$2=\frac{4}{a+1} \quad\bigg/\cdot(a+1)$$
$$2a+2=4$$
$$2a=2$$
$$a=1$$
Zadanie nr 7 · Matura 2011
Równanie \(\frac{x^2+25}{x-5}=0\)
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma dokładnie trzy rozwiązania
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Musimy uwzględnić fakt, że mianownik naszego równania jest różny od zera, bo w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. W związku z tym:
$$x-5\neq0$$
$$x\neq5$$
W tym zadaniu jak się za chwilę okaże ten krok nie jest niezbędny, ale dobrze jest zawsze pamiętać o założeniach do równań wymiernych (czyli takich z iksem w mianowniku), bo czasem założenia mogą nam wykluczyć niektóre rozwiązania.
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie musimy wymnożyć obie strony przez wartość znajdującą się w mianowniku. Tutaj sytuacja jest o tyle prosta, że po prawej stronie mamy zero, co pozwoli nam bardzo szybko uprościć cały zapis:
$$\frac{x^2+25}{x-5}=0 \quad\bigg/\cdot(x-5)$$
$$x^2+25=0$$
$$x^2=-25$$
Otrzymaliśmy równanie, które nie ma rozwiązań, bowiem nie istnieje żadna liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny. W związku z tym nie istnieje jakakolwiek liczba, która po podstawieniu do tego równania dałaby wynik równy \(0\).
Zadanie nr 24 · Matura 2011
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-b}{x-9}\) dla \(x\neq9\), a \(f(14)=5\). Oblicz współczynnik \(b\).
Do obliczenia współczynnika \(b\) skorzystamy z informacji, że \(f(14)=5\). Ta informacja mówi nam, że dla argumentu \(x=14\) funkcja przyjmuje wartość równą \(5\). Podstawiając więc te dane do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(x)=\frac{2x-b}{x-9}$$
$$5=\frac{2\cdot14-b}{14-9}$$
$$5=\frac{28-b}{5} \quad\bigg/\cdot5$$
$$25=28-b$$
$$b=3$$
Zadanie nr 32 · Matura 2011
Pewien turysta pokonał trasę \(112\) km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \(3\) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \(12\) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(x\) - liczba pokonywanych kilometrów w ciągu dnia
\(y\) - liczba dni wędrówki
\(x\cdot y=112\)
Mamy także informację, że jeśli turysta będzie podróżować o \(3\) dni dłużej, czyli \(y+3\), to mógłby pokonywać dziennie \(12\) km mniej, czyli \(x-12\). Trasa cały czas byłaby taka sama, więc:
$$(x-12)(y+3)=112$$
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z naszych rozważań możemy utworzyć następujący układ równań:
\begin{cases} x\cdot y=112 \\ (x-12)(y+3)=112 \end{cases}\begin{cases} y=\frac{112}{x} \\ (x-12)(y+3)=112 \end{cases}
Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$(x-12)\left(\frac{112}{x}+3\right)=112$$
$$112+3x-\frac{1344}{x}-36=112$$
$$3x-\frac{1344}{x}-36=0 \quad\bigg/\cdot x$$
$$3x^2-36x-1344=0 \quad\bigg/:3$$
$$x^2-12x-448=0$$
Ostatnie dzielenie przez trzy nie było konieczne, ale dzięki niemu będziemy teraz działać na nieco mniejszych liczbach.
Wartość \(x_{1}=-16\) musimy odrzucić, bo liczba pokonanych kilometrów nie może być ujemna. Stąd też końcową odpowiedzią jest \(x=28\), czyli turysta pokonywał \(28\) kilometrów dziennie.
Zadanie nr 8 · Matura 2010
Równanie \(\frac{x^2-4}{(x-4)(x+4)}=0\)
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma dokładnie cztery rozwiązania
Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
To dość ważny krok, bo może się zdarzyć sytuacja, w której niektóre rozwiązania będziemy musieli odrzucić ze względu na założenia. W tym przypadku konieczność wprowadzenia założeń wynika z tego, że wartość w mianowniku nie może być równa zero, bo w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. Zatem:
$$(x-4)(x+4)\neq0$$
$$x-4\neq0 \quad\land\quad x+4\neq0$$
$$x\neq4 \quad\land\quad x\neq-4$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
W tego typu równaniach wymiernych aby wartość ich była równa zero to licznik musi być równy zero, zatem:
$$x^2-4=0$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami, tak więc to równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.
Zadanie nr 13 · Matura 2010
Do wykresu funkcji \(f(x)=\frac{a}{x}\), dla \(x\neq0\) należy punkt \(A=(2,6)\). Wtedy:
A\(a=2\)
B\(a=6\)
C\(a=8\)
D\(a=12\)
Skoro funkcja przechodzi przez punkt \(A=(2,6)\), to znaczy że \(f(2)=6\). Musimy więc podstawić \(x=2\) oraz \(f(x)=6\) i w ten sposób wyznaczymy wartość poszukiwanej niewiadomej:
$$6=\frac{a}{2}$$
$$a=12$$
Zadanie nr 34 · Matura 2010
Kolarz przejechał trasę długości \(60\) km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o \(1\) km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o \(6\) minut krótszym. Oblicz, z jaką prędkością jechał ten kolarz.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(v\) - prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas pokonywania trasy (w godzinach)
\(s=60\) - długość pokonanej trasy (w kilometrach)
\(v+1\) - zakładana teoretyczna prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t-\frac{1}{10}\) - zakładany teoretyczny czas jazdy (w godzinach)
Dlaczego teoretyczny czas jazdy wyniósł \(t-\frac{1}{10}\)? Mamy informację, że kolarz przejechałby trasę krócej o \(6\) minut. Niestety minutami nie możemy za bardzo operować, bo później posługujemy się jednostką prędkości \(\frac{km}{h}\), dlatego też musimy zamienić minuty na godziny:
$$6\text{ min. }=\frac{6}{60}\text{ godz. }=\frac{1}{10}\text{ godz. }$$
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Do ułożenia układu równań użyjemy wzoru na prędkość:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$
Pierwsze równanie będzie dotyczyło pierwszego przejazdu, drugie będzie związane z tym "teoretycznym" przejazdem:
\begin{cases} 60=vt \\ 60=(v+1)\cdot(t-\frac{1}{10}) \end{cases}
Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{60}{v}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$\require{cancel}
60=(v+1)\cdot\left(\frac{60}{v}-\frac{1}{10}\right)$$
$$\cancel{60}=\cancel{60}-\frac{1}{10}v+\frac{60}{v}-\frac{1}{10}$$
$$-\frac{1}{10}v+\frac{60}{v}-\frac{1}{10}=0 \quad\bigg/\cdot v$$
$$-\frac{1}{10}v^2-\frac{1}{10}v+60=0 \quad\bigg/\cdot10$$
$$-v^2-v+600=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-1,\;c=600\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot600=1-(-2400)=1+2400=2401$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{2401}=49$$
Z racji tego iż prędkość ujemną należy oczywiście odrzucić, to prawidłowym rozwiązaniem jest \(v=24\frac{km}{h}\).
Zadanie nr 34 · Próbny 2010
Droga z miasta \(A\) do miasta \(B\) ma długość \(474km\). Samochód jadący z miasta \(A\) do miasta \(B\) wyrusza godzinę później niż samochód z miasta \(B\) do miasta \(A\). Samochody te spotykają się w odległości \(300km\) od miasta \(B\). Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta \(A\), liczona od chwili wyjazdu z \(A\) do momentu spotkania, była o \(17\frac{km}{h}\) mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z \(B\) do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Pierwszy samochód przejechał: \(474-300=174\) (kilometrów)
Drugi samochód przejechał: \(300\) (kilometrów)
Czas jazdy pierwszego samochodu: \(t_{1}=\frac{174}{v_{1}}\) (godzin)
Czas jazdy drugiego samochodu: \(t_{2}=\frac{300}{v_{2}}\) (godzin)
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Aby rozwiązać to zadanie musimy teraz powiązać ze sobą odpowiednie informacje i zapisać je w formie układu równań.
Do stworzenia pierwszego równania skorzystamy z informacji na temat prędkości obydwu pojazdów, bo choć nie znamy ich dokładnych wartości, to wiemy że:
$$v_{1}=v_{2}-17$$
Drugie równanie ułożymy wiedząc, że pierwszy samochód wyruszył godzinę później, zatem:
$$t_{1}+1=t_{2}$$
$$\frac{174}{v_{1}}+1=\frac{300}{v_{2}} \quad\bigg/\cdot v_{1}v_{2}$$
$$174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}$$
Z tych dwóch informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases} v_{1}=v_{2}-17 \\ 174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1} \end{cases}
Skoro \(v_{1}=v_{2}-17\), to podstawiając to do drugiego równania otrzymamy:
$$174v_{2}+(v_{2}-17)v_{2}=300(v_{2}-17)$$
$$174v_{2}+{v_{2}}^{2}-17v_{2}=300v_{2}-5100$$
$${v_{2}}^{2}-143v_{2}+5100=0$$
Krok 4. Obliczenie wszystkich możliwości uzyskiwanych prędkości.
Jeśli \(v_{2}=68\), to \(v_{1}=68-17=51\)
Jeśli \(v_{2}=75\), to \(v_{1}=75-17=58\)
Żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić, zatem obydwie możliwości są prawidłowe i takie też jest rozwiązanie naszego zadania.
Zadanie nr 8 · Próbny 2010
Rozwiązaniem równania \(\frac{x-6}{2x-4}=\frac{2}{3}\) jest liczba:
A\(8\)
B\(10\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(-10\)
To równanie najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż:
$$\frac{x-6}{2x-4}=\frac{2}{3}$$
$$3\cdot(x-6)=2\cdot(2x-4)$$
$$3x-18=4x-8$$
$$-x=10$$
$$x=-10$$
Krok 1. Zapisanie założeń do naszego równania.
Mianownik musi być różny od zera, więc:
$$7x+1\neq0$$
$$7x\neq-1$$
$$x\neq-\frac{1}{7}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Najprościej będzie tu zastosować tzw. "mnożenie na krzyż".
$$(3x-1)\cdot5=2\cdot(7x+1)$$
$$15x-5=14x+2$$
$$x=7$$
Krok 3. Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązanie jest zgodne z naszymi założeniami.
\(x=7\) jest zgodne z naszym założeniem, więc jest to poprawne rozwiązanie.
Zadanie nr 10 · Próbny 2009
Rozwiązaniem równania \(\frac{x-5}{x+3}=\frac{2}{3}\) jest liczba:
A\(21\)
B\(7\)
C\(\frac{17}{3}\)
D\(0\)
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Wbrew pozorom jest to dość ważny punkt, bo może się okazać, że otrzymany wynik będziemy musieli odrzucić ze względu na założenia. W matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, dlatego wartość w mianowniku musi być różna od zera. Stąd też:
$$x+3\neq0$$
$$x\neq-3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Samo równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc poszczególne wyrazy na krzyż:
$$(x-5)\cdot3=(x+3)\cdot2$$
$$3x-15=2x+6$$
$$3x-2x=6+15$$
$$x=21$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2009
Uczeń przeczytał książkę liczącą \(480\) stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \(8\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \(3\) dni wcześniej. Ile dni czytał tę książkę?
Krok 1. Zapisanie równania na podstawie danych z zadania.
Oznaczmy sobie jako \(x\) liczbę dni jakie zajęło uczniowi czytanie książki. Skoro każdego dnia czytał tyle samo stron, to dziennie czytał ich \(\frac{480}{x}\). Wiemy też, że gdyby czytał o \(8\) stron więcej (czyli gdyby czytał \(\frac{480}{x}+8\)), to czytałby o \(3\) dni krócej (czyli czas czytania wyniósłby \(x-3\)). W takim razie możemy ułożyć następujące równanie:
$$\left(\frac{480}{x}+8\right)\cdot(x-3)=480$$
Krok 2. Rozwiązanie utworzonego równania.
Możemy albo najpierw wymnożyć oba nawiasy przez siebie, a następnie pomnożyć obie strony równania przez \(x\), albo można też od razu pomnożyć obie strony przez \(x\) i dopiero potem wymnożyć przez siebie wyrazy w nawiasach. Obydwie metody są skuteczne, tak więc może zróbmy to po kolei i wymnóżmy poszczególne wyrazy. Otrzymamy wtedy:
$$\require{cancel}
480-\frac{1440}{x}+8x-24=480 \quad\bigg/\cdot x$$
$$\cancel{480x}-1440+8x^2-24x=\cancel{480x}$$
$$8x^2-24x-1440=0$$
Możemy jeszcze uprościć to równanie dzieląc wszystko przez \(8\) (nie jest to konieczne, ale dzięki temu będziemy mieć mniejsze liczby w obliczeniach), zatem otrzymamy:
$$x^2-3x-180=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty, tak więc:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-180\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-180)=9-(-720)=9+720=729$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{729}=27$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc otrzymaliśmy wynik \(x=15\), a to oznacza że uczeń czytał książkę przez \(15\) dni.
Zadanie nr 30 · Próbny 2009
Samochód przejechał \(180km\), jadąc ze stała prędkością. Gdyby jechał z prędkością o \(30\frac{km}{h}\) większą, to czas przejazdu skróciłby się o godzinę. Z jaka prędkością jechał samochód?
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s=180\) - pokonana trasa (w \(km\))
\(v_{1}\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\))
\(v_{2}=v_{1}+30\) - prędkość jazdy samochodu (w \(\frac{km}{h}\)), gdy samochód zwiększa prędkość o \(30\frac{km}{h}\)
\(t_{1}\) - czas jazdy (w godzinach)
\(t_{2}=t_{1}-1\) - czas jazdy (w godzinach), gdy samochód jedzie szybciej
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości jazdy w obydwu przypadkach w formie układu równań:
$$\begin{cases} s=v_{1}\cdot t_{1} \\ s=v_{2}\cdot t_{2} \end{cases}$$
Podstawiając pod drugie równanie dane z kroku pierwszego otrzymamy:
$$\begin{cases} 180=v_{1}\cdot t_{1} \\ 180=(v_{1}+30)\cdot (t_{1}-1) \end{cases}$$
Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(v_{1}\) z pierwszego równania do drugiego:
$$180=\left(\frac{180}{t_{1}}+30\right)\cdot (t_{1}-1)$$
Wymnażając poszczególne nawiasy i upraszczając zapis do postaci ogólnej otrzymamy:
$$180=180-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30 \quad\bigg/-180$$
$$-\frac{180}{t_{1}}+30t_{1}-30=0 \quad\bigg/\cdot t_{1}$$
$$-180+30t_{1}^2-30t_{1}=0 \quad\bigg/:30$$
$$-6+t_{1}^2-t_{1}=0$$
$$t_{1}^2-t_{1}-6=0$$
Ujemny wynik musimy odrzucić, bowiem czas nie może być ujemny. To oznacza, że \(t_{1}=3\).
Krok 4. Obliczenie prędkości jazdy samochodu.
Znamy długość drogi \(s=180km\), wiemy też że czas jazdy wynosi \(t_{1}=3h\), zatem bez problemu obliczymy prędkość auta:
$$v=\frac{s}{t}$$
$$v=\frac{180km}{3h}$$
$$v=60\frac{km}{h}$$
Zadanie nr 31 · Matura
Ala jeździ do szkoły rowerem, a Ola skuterem. Obie pokonują tę samą drogę. Ala wyjechała do szkoły o godzinie \(7{:}00\) i pokonała całą drogę w ciągu \(40\) minut. Ola wyjechała \(10\) minut później niż Ala, a pokonanie całej drogi zajęło jej tylko \(20\) minut. Oblicz, o której godzinie Ola wyprzedziła Alę.
Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
Oznaczmy sobie następujące oznaczenia:
\(t\) - czas w minutach liczony od godziny \(7{:}00\)
\(s\) - odległość do pokonania
\(v_{O}\) - prędkość Oli
\(v_{A}\) - prędkość Ali
Z treści zadania wynika też, że Ola jest dwa razy szybsza od Ali (bo Ola jechała \(20\) minut, a Ala \(40\) minut). Zatem prawidłowa będzie też równość:
$$v_{O}=2v_{A}$$
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie równania.
Obie dziewczyny pokonały ten sam dystans. Skoro tak, to posłużmy się wzorem \(s=vt\) i zapiszmy w formie równania trasę każdej z dziewczyn:
$$v_{A}\cdot t=v_{O}\cdot(t-10)$$
(Odejmujemy u Oli \(10\) minut, bo wyruszyła \(10\) minut później, a zgodnie z naszymi oznaczeniami \(t\) symbolizuje czas liczony od \(7{:}00\))
Podstawiając do tego równania zależność \(v_{O}=2v_{A}\) otrzymamy:
$$v_{A}\cdot t=2v_{A}\cdot(t-10) \quad\bigg/:v_{A}$$
$$t=2\cdot(t-10)$$
$$t=2t-20$$
$$-t=20$$
$$t=20$$
Skoro \(t\) jest czasem liczonym w minutach od godziny \(7{:}00\), to znaczy że Ola wyprzedziła Alę o godzinie \(7{:}20\).
Przekształć dane wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla \(a=\frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(b=-\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Krok 1. Uproszczenie wyrażenia.
Chcąc dodać lub odjąć ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Tutaj powinniśmy zauważyć, że w zadaniu wykorzystamy wzór skróconego mnożenia, czyli \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\). Gdybyśmy więc licznik oraz mianownik pierwszego ułamka pomnożyli przez \((a-b)\), to otrzymamy taką oto sytuację:
$$\left(\frac{a\cdot(a-b)}{(a+b)\cdot(a-b)}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)=$$
$$=\left(\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)=$$
$$=\left(\frac{a^2-ab-a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)=$$
$$=\left(\frac{-ab}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)=$$
$$=\left(\frac{-ab}{a^2-b^2}\right)\cdot\left(\frac{a^2-b^2}{a-b}\right)=\frac{-ab}{a-b}$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczbowej.
Mając uproszczoną postać, możemy przystąpić do podstawienia podanych liczb, czyli \(a=\frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(b=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\frac{2}{\sqrt{3}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}=$$
$$=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{\sqrt{3}}}=\frac{2}{3}:\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$$
Zadanie nr 12 · Matura
Wyrażenie wymierne \(\frac{2}{x-3}+5\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\), gdzie \(a,b,c,d\) są pewnymi współczynnikami rzeczywistymi. Wyznacz wartości liczbowe współczynników \(a,b,c,d\).
Krok 1. Przekształcenie podanego wyrażenia.
Celem zadania jest poprawne przekształcenie podanego wyrażenia, a całość tak naprawdę sprowadza się do wykonania poprawnego dodawania. Musimy podaną sumę sprowadzić do jednego ułamka, a więc musimy dodać do siebie te dwie wartości. Aby tego dokonać, trzeba sprowadzić te liczby do wspólnych mianowników - w tym celu musimy całość rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{2}{x-3}+5=\frac{2}{x-3}+\frac{5\cdot(x-3)}{x-3}=$$
$$=\frac{2}{x-3}+\frac{5x-15}{x-3}=\frac{2+5x-15}{x-3}=\frac{5x-13}{x-3}$$
Krok 2. Odczytanie współczynników.
Udało nam się sprowadzić wyrażenie do postaci z treści zadania, czyli \(\frac{ax+b}{cx+d}\), więc pozostało nam już tylko przyrównanie współczynników, zatem: \(a=5, b=-13, c=1\) oraz \(d=-3\).
Zadanie nr 17 · Matura
Szymon przygotowuje się do egzaminu na prawo jazdy. Opanował już \(97\) spośród \(3697\) zadań. Postanowił, że każdego kolejnego dnia będzie rozwiązywał \(n\) zadań. Zauważył, że gdyby dzienną liczbę rozwiązanych zadań zwiększył o \(5\), czas potrzebny na rozwiązanie wszystkich zadań skróciłby się o \(10\) dni. Oblicz, ile dni zajmie Szymonowi przygotowanie do egzaminu, jeśli nie będzie zwiększał dziennej liczby rozwiązanych zadań.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(m\) - liczba dni potrzebnych na rozwiązanie
\(n\) - liczba rozwiązywanych zadań dziennie
\(m-10\) - skrócona liczba dni nauki
\(n+5\) - zwiększona liczba rozwiązywanych zadań
Dodatkowo z treści zadania wynika, że zadań, których Szymon jeszcze nie opanował mamy:
$$3697-97=3600$$
Krok 2. Ułożenie równań.
Na podstawie treści zadania możemy wywnioskować, że liczba dni pomnożona przez liczbę zadań rozwiązywanych dziennie powinna dać wynik równy \(3600\), zatem:
$$m\cdot n=3600$$
Chcemy, by liczba dni była skrócona o \(10\), a liczba zadań żeby była zwiększona o \(5\), zatem powstanie nam następujące równanie:
$$(m-10)\cdot(n+5)=3600$$
$$mn+5m-10n-50=3600$$
Zapisaliśmy sobie przed chwilą, że \(mn=3600\), więc podstawiając tę wartość do naszego równania, otrzymamy:
$$3600+5m-10n-50=3600$$
$$5m=10n+50$$
$$m=2n+10$$
Teraz wracamy do równania \((m-10)\cdot(n+5)=3600\) i podstawiamy tam wyznaczone przed chwilą \(m=2n+10\), zatem:
$$(2n+10-10)\cdot(n+5)=3600$$
$$2n\cdot(n+5)=3600$$
$$2n^2+10n=3600$$
$$2n^2+10n-3600=0$$
$$n^2+5n-1800=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=5,\;c=-1800\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-1800)=25-(-7200)=7225$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{7225}=85$$
Krok 4. Obliczenie liczby dni potrzebnych na rozwiązywanie zadań.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale to ujemne musimy oczywiście odrzucić, ponieważ liczba rozwiązywanych zadań nie może być ujemna. Zostaje nam więc jedynie \(n=40\). Celem zadania jest wyznaczenie \(m\), czyli liczby dni, zatem korzystając z jednego z równań zapisanych wcześniej, możemy zapisać, że:
$$m=2n+10$$
$$m=2\cdot40+10$$
$$m=80+10$$
$$m=90$$
Zadanie nr 18 · Matura
Równanie \(\dfrac{(3x^2-6x)(x^2-9)}{(x-2)(x-3)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\)
Cma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\), \(x=-3\)
Dma dokładnie cztery rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\), \(x=3\), \(x=-3\)
Krok 1. Zapisanie założeń do treści zadania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość z mianownika musi być różna od zera. To sprawia, że musimy do treści zadania wprowadzić pewne założenia:
$$x-2\neq0 \quad\lor\quad (x-3)^2\neq0$$
$$x\neq2 \quad\lor\quad x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony przez wartość z mianownika, zatem:
$$\dfrac{(3x^2-6x)(x^2-9)}{(x-2)(x-3)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-2)(x-3)^2$$
$$(3x^2-6x)(x^2-9)=0$$
$$3x^2-6x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0$$
$$x(3x-6)=0 \quad\lor\quad x^2=9$$
$$x=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
$$x=0 \quad\lor\quad 3x=6 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z zapisanymi założeniami. Zgodnie z nimi musimy odrzucić rozwiązania \(x=2\) oraz \(x=3\), stąd też zostają nam jedynie dwa rozwiązania, czyli \(x=0\) oraz \(x=-3\).
📘Teoria 6
Funkcje wymierne
Hiperbola
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\ne0,\ x\ne0$$
Dla $a>0$ gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla $a\lt 0$ — w II i IV. Osie układu są asymptotami.
Ułamek jest zerem, gdy licznik się zeruje, a mianownik nie.
Nierówności wymierne
$$\frac{P(x)}{Q(x)}>0 \iff P(x)\cdot Q(x)>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc nierówność wymierną sprowadzamy do iloczynowej i rozwiązujemy metodą siatki znaków.
Na co uważać
Nigdy nie mnóż nierówności przez mianownik — nie znasz jego znaku, więc nie wiesz, czy odwrócić kierunek. Zamiast tego przenieś wszystko na jedną stronę i sprowadź do wspólnego mianownika. Na końcu odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.
Równania wymierne
Czym jest równanie wymierne
To równanie, w którym niewiadoma występuje w mianowniku. Przez to pojawia się ograniczenie dziedziny, którego nie wolno pominąć.
Schemat rozwiązywania
Wyznacz dziedzinę — przyrównaj każdy mianownik do zera i wyklucz te wartości
sprowadź obie strony do wspólnego mianownika albo pomnóż równanie przez mianowniki
rozwiąż powstałe równanie wielomianowe
Skonfrontuj wyniki z dziedziną i odrzuć te, które do niej nie należą
Krok pierwszy i czwarty są równie ważne jak sam rachunek.
Kiedy ułamek jest zerem
$$\frac{W(x)}{M(x)}=0 \iff W(x)=0 \ \text{ oraz } \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje wyłącznie licznik — mianownik odpowiada tylko za dziedzinę.
Wynik $4$ należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem.
Przykład z odrzuceniem
Równanie $\frac{x+3}{x-2}=1$ prowadzi do $x+3=x-2$, czyli $3=-2$ — sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań.
Działania na wyrażeniach wymiernych
skracanie — tylko przez wspólny czynnik licznika i mianownika, nigdy przez składnik
dodawanie i odejmowanie — sprowadzamy do wspólnego mianownika
mnożenie — licznik przez licznik, mianownik przez mianownik
dzielenie — mnożymy przez odwrotność
Funkcja homograficzna
Wykresem $f(x)=\frac{a}{x}$ jest hiperbola z asymptotami $x=0$ i $y=0$. Postać $f(x)=\frac{a}{x-p}+q$ przesuwa ją o wektor $[p,\,q]$, a asymptoty stają się $x=p$ i $y=q$.
Na co uważać
Mnożenie równania przez wyrażenie z niewiadomą może wprowadzić rozwiązania obce — dlatego końcowe sprawdzenie dziedziny jest obowiązkowe. Po skróceniu wyrażenia założenia nadal obowiązują: $\frac{x^2-4}{x+2}=x-2$, ale wyłącznie dla $x\neq-2$.
Wyrażenia wymierne — działania i dziedzina
Dziedzina przede wszystkim
Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów. Zanim cokolwiek policzymy, wykluczamy miejsca zerowe mianownika.
Dla $\frac{x}{x^2-16}$ mamy $x\neq4$ i $x\neq-4$. Pominięcie wartości ujemnej to najczęstszy błąd.
Skracanie — tylko czynniki
Skracać wolno wyłącznie wspólny czynnik licznika i mianownika, nigdy składnik sumy.
Przy odejmowaniu uwaga na minus przed nawiasem: $\frac{3x-(x-2)}{\dots}=\frac{2x+2}{\dots}$, a nie $3x-x-2$.
Kolejność pracy
rozłóż licznik i mianownik na czynniki
ustal dziedzinę — z mianownika przed skróceniem
skróć, co się da
wykonaj działanie
przypomnij założenia w odpowiedzi
Równania wymierne
Po wyznaczeniu dziedziny mnożymy przez mianownik (wolno, bo w dziedzinie jest niezerowy) i rozwiązujemy. Na końcu obowiązkowo sprawdzamy, czy wynik należy do dziedziny — inaczej ryzykujemy rozwiązanie obce.
Zastosowania — zadania o pracy
Gdy jeden malarz kończy w $4$ h, a drugi w $6$ h, ich wydajności to $\frac14$ i $\frac16$ pokoju na godzinę. Razem: $\frac14+\frac16=\frac{5}{12}$, więc czas to odwrotność, czyli $\frac{12}{5}=2{,}4$ h.
Nigdy nie uśredniaj czasów — średnia z $4$ i $6$ dałaby $5$ h, czyli dłużej niż praca szybszego malarza samego. To oczywisty nonsens.
Na co uważać
Trzy pułapki: skracanie składników zamiast czynników, pominięcie ujemnego pierwiastka w dziedzinie oraz zapomnienie o sprawdzeniu wyniku równania.
Funkcja homograficzna i hiperbola
Proporcjonalność odwrotna
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\neq0$$
Wykresem jest hiperbola — dwie gałęzie. Dla $a>0$ leżą w I i III ćwiartce, dla $a\lt 0$ w II i IV.
Asymptoty
Podstawowa hiperbola $\frac ax$ ma asymptotę pionową $x=0$ i poziomą $y=0$. To proste, do których wykres się zbliża, ale ich nie dotyka.
Własności
Dziedzina i zbiór wartości to $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Funkcja jest nieparzysta (wykres symetryczny względem początku układu) i malejąca w każdym przedziale osobno (dla $a>0$).
Funkcja homograficzna
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\neq0$$
Dziedzinę wyznacza warunek $cx+d\neq0$. To przesunięta i przeskalowana hiperbola.
Przesunięcia
$$f(x)=\frac{1}{x-p}+q$$
To hiperbola $\frac1x$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$. Asymptoty przesuwają się razem: pionowa $x=p$, pozioma $y=q$.
Sprowadzanie do postaci przesuniętej
W liczniku „odtwarzamy” mianownik i dzielimy: $\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$. Stąd od razu widać asymptoty.
Zastosowanie
Gdy iloczyn dwóch wielkości jest stały ($xy=\text{const}$), zależność jednej od drugiej to proporcjonalność odwrotna — np. bok prostokąta o ustalonym polu.
Na co uważać
Zawsze wyklucz z dziedziny miejsce zerowania mianownika. Monotoniczność rozpatruj w każdym przedziale osobno — między gałęziami jest asymptota.
Równania i nierówności wymierne
Pierwszy krok: dziedzina
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze przed rozwiązaniem i na końcu sprawdzamy, czy wynik do niej należy.
O zerowaniu decyduje licznik; mianownik musi być tylko różny od zera.
Rozwiązywanie równań
Mnożymy obie strony przez mianownik (lub przez wspólny mianownik), rozwiązujemy i odrzucamy pierwiastki spoza dziedziny. Alternatywnie mnożymy „na krzyż”.
Nierówności — uwaga na znak
Nie wolno mnożyć nierówności przez mianownik o zmiennym znaku — nie wiadomo, czy odwrócić znak. Zamiast tego:
$$\frac{L}{M}>0 \iff L\cdot M>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc badamy znak iloczynu w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika.
Krańce przedziałów
Przy nierówności nieostrej pierwiastek licznika domykamy (ułamek równy zeru jest dozwolony), ale pierwiastek mianownika zawsze wykluczamy — to punkt spoza dziedziny.
Zadania o wspólnej pracy
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $x=4$ dni wspólnej pracy.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to pominięcie dziedziny i przyjęcie pierwiastka „obcego”, który zeruje mianownik.
Działania na wyrażeniach wymiernych — skracanie i wspólny mianownik
Dziedzina przede wszystkim
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze na początku i pilnujemy jej przez całe zadanie.
Skracanie
Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki, a potem skracamy wspólne. Przykład: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ (dla $x\neq2$).
Dziedzina zostaje z pierwotnego wyrażenia — punkt wykluczony nie znika po skróceniu.
Mnożenie i dzielenie
Mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik (najlepiej skracając przed mnożeniem). Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
Sprowadzamy do wspólnego mianownika, potem dodajemy lub odejmujemy liczniki. Przy odejmowaniu pamiętaj o nawiasie: $\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$, a nie $\frac{a-b}{m}$ z pominiętym znakiem przy $b$.
Zadania o wspólnej pracy
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $4$ dni.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to pominięcie nawiasu przy odejmowaniu licznika oraz zapomnienie o dziedzinie po skróceniu.
Interpretacja: gdy $x$ dąży do zera, wartości „uciekają” do nieskończoności (asymptota pionowa); gdy $x$ rośnie nieograniczenie, wartości zbliżają się do zera (asymptota pozioma).
Odpowiedź: $x=0$ oraz $y=0$.
Zadanie nr 5
Funkcja $f(x)=\dfrac{5}{x}$ jest w każdym z przedziałów swojej dziedziny:
Arosnąca
Bstała
Cmalejąca
Dniemonotoniczna
Dla $a>0$ funkcja $f(x)=\frac{a}{x}$ jest malejąca — osobno na przedziale $(-\infty,0)$ i osobno na $(0,+\infty)$.
Ważne zastrzeżenie: nie jest malejąca „w całości” — między gałęziami następuje skok przez asymptotę. Mówimy o monotoniczności w każdym przedziale osobno.
Odpowiedź: C. malejąca.
Zadanie nr 6
Wyznacz dziedzinę funkcji homograficznej $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$.
Krok 1 — mianownik różny od zera:
$$x-3\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq3$$
Krok 2 — dziedzina:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$
Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$.
Zadanie nr 7
Podaj asymptotę pionową funkcji $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ oraz jej dziedzinę.
Krok 1 — dziedzina. Mianownik zeruje się dla $x=2$:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$$
Krok 2 — asymptota pionowa przechodzi przez punkt wykluczony z dziedziny:
$$x=2$$
Interpretacja: wykres funkcji $\frac1x$ przesunięto o $2$ jednostki w prawo, więc asymptota pionowa też przesunęła się z $x=0$ na $x=2$.
Odpowiedź: $x=2$, $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
Zadanie nr 8
Funkcja $f(x)=\dfrac{1}{x}+3$ powstaje z $\dfrac{1}{x}$ przez przesunięcie:
Ao $3$ w prawo
Bo $3$ w lewo
Co $3$ w dół
Do $3$ w górę
Dodanie liczby do całej funkcji przesuwa wykres w pionie:
$$f(x)=\frac{1}{x}+3 \ \Rightarrow\ \text{przesunięcie o } 3 \text{ w górę}$$
Skutek: asymptota pozioma przesuwa się z $y=0$ na $y=3$.
Dla porównania: $\frac{1}{x-3}$ przesuwałoby wykres poziomo (w prawo).
Odpowiedź: D. o $3$ w górę.
Zadanie nr 9
Sprawdź, czy punkt $P=(2,\ 3)$ należy do wykresu funkcji $f(x)=\dfrac{6}{x}$.
Obliczamy wartość funkcji w $x=2$:
$$f(2)=\frac{6}{2}=3$$
Wartość zgadza się z drugą współrzędną punktu, więc $P$ leży na wykresie.
Dla jakiego $a$ wykres funkcji $f(x)=\dfrac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $(4,\ 5)$?
Krok 1 — podstawiamy współrzędne punktu:
$$5=\frac{a}{4}$$
Krok 2 — rozwiązujemy:
$$a=20$$
Sprawdzenie: $f(x)=\frac{20}{x}$, a $f(4)=5$ ✔
Odpowiedź: $a=20$.
Zadanie nr 11
W której ćwiartce NIE leży żadna gałąź hiperboli $f(x)=\dfrac{-4}{x}$?
AII
BI
CIV
Dwszystkie są zajęte
Dla $a\lt 0$ (tu $a=-4$) gałęzie leżą w II i IV ćwiartce.
W I ćwiartce (gdzie $x>0$ i $y>0$) gałęzi nie ma, bo dla $x>0$ wartość $\frac{-4}{x}$ jest ujemna.
Odpowiedź: B. I ćwiartka.
Zadanie nr 12
Podaj obie asymptoty funkcji $f(x)=\dfrac{1}{x-2}+3$.
Krok 1 — asymptota pionowa. Mianownik zeruje się dla $x=2$:
$$x=2$$
Krok 2 — asymptota pozioma. Do funkcji dodano $3$, więc pozioma asymptota podniosła się:
$$y=3$$
Reguła. Funkcja $\frac{1}{x-p}+q$ to hiperbola $\frac1x$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$ — asymptoty przesuwają się razem z nią.
Odpowiedź: $x=2$ oraz $y=3$.
Zadanie nr 13
Rozwiąż równanie $\dfrac{6}{x}=2$.
Krok 1 — zastrzeżenie dziedziny: $x\neq0$.
Krok 2 — mnożymy obie strony przez $x$:
$$6=2x$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$x=3$$
Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę. $3\neq0$, więc rozwiązanie jest poprawne.
Sprawdzenie: $\frac63=2$ ✔
Odpowiedź: $x=3$.
Zadanie nr 14
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=\dfrac{2}{x}$ jest:
A$\mathbb{R}\setminus\{0\}$
B$\mathbb{R}$
C$(0,+\infty)$
D$\{2\}$
Funkcja $\frac{2}{x}$ przyjmuje każdą wartość rzeczywistą oprócz zera — żaden argument nie daje wyniku $0$, bo licznik jest stały i różny od zera.
$$ZW=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$
Związek z asymptotą: wartość $y=0$ jest „nieosiągalna” — to właśnie asymptota pozioma.
Odpowiedź: A. $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
Zadanie nr 15
Prostokąt ma pole $24$ cm². Zapisz zależność długości boku $y$ od boku $x$ i podaj, jakim typem funkcji jest ta zależność.
Krok 1 — pole prostokąta:
$$x\cdot y=24$$
Krok 2 — wyznaczamy $y$:
$$y=\frac{24}{x}$$
Krok 3 — rozpoznanie. To proporcjonalność odwrotna — funkcja postaci $\frac{a}{x}$, której wykresem jest hiperbola.
Interpretacja. Im dłuższy jeden bok, tym krótszy drugi, a ich iloczyn pozostaje stały. Dziedziną są tu tylko liczby dodatnie (bok nie może być ujemny).
Metoda uniwersalna. Aby rozłożyć funkcję homograficzną, w liczniku „odtwarzamy” mianownik i dzielimy — to standardowy chwyt, który ujawnia postać przesuniętej hiperboli.
Uwaga metodyczna. W równaniach wymiernych zawsze najpierw wypisujemy dziedzinę, a na końcu sprawdzamy, czy rozwiązanie do niej należy — inaczej można przyjąć pierwiastek „obcy”.
Odpowiedź: $x=\frac52$.
Zadanie nr 19
Wykres funkcji $f(x)=\dfrac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $(2,\ 6)$. Oblicz $a$, a następnie sprawdź, czy punkt $(-3,\ -4)$ też leży na wykresie.
Krok 1 — wyznaczamy $a$:
$$6=\frac{a}{2} \quad\Rightarrow\quad a=12$$
Krok 2 — funkcja:
$$f(x)=\frac{12}{x}$$
Krok 3 — sprawdzamy punkt $(-3,\ -4)$:
$$f(-3)=\frac{12}{-3}=-4$$
Wartość zgadza się z drugą współrzędną, więc punkt leży na wykresie.
Szybsza kontrola. Na hiperboli $\frac{12}{x}$ iloczyn współrzędnych każdego punktu wynosi $12$: dla $(2,6)$ mamy $12$ ✔, dla $(-3,-4)$ też $12$ ✔
Odpowiedź: $a=12$; tak, punkt $(-3,-4)$ leży na wykresie.
Zadanie nr 20
Wykaż, że funkcja $f(x)=\dfrac{a}{x}$ (dla $a>0$) jest malejąca w przedziale $(0,+\infty)$.
Krok 1 — definicja. Funkcja jest malejąca, gdy dla dowolnych $x_1\lt x_2$ z rozważanego przedziału zachodzi $f(x_1)>f(x_2)$.
Dla $x_1\lt x_2$ wartości maleją, więc funkcja jest malejąca w $(0,+\infty)$.
Uwaga. Dowód działa tylko w jednym przedziale. Na $(-\infty,0)$ funkcja też jest malejąca, ale nie można łączyć obu przedziałów — między nimi jest asymptota.
Zadanie nr 1
Jaka jest dziedzina funkcji $f(x)=\frac{3}{x}$?
Awszystkie liczby rzeczywiste
B$\mathbb{R}\setminus\{0\}$
C$x>0$
D$\mathbb{R}\setminus\{3\}$
Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy $x=0$:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$
Funkcja $f(x)=\frac{a}{x}$ opisuje proporcjonalność odwrotną, a jej wykresem jest hiperbola.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 2
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{2x+1}{x-4}$.
Wykluczamy argument zerujący mianownik:
$$x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Zatem:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$
Uwaga: licznik nie wpływa na dziedzinę — liczy się tylko mianownik.
Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$.
Zadanie nr 3
Dla funkcji $f(x)=\frac{6}{x}$ oblicz $f(2)$, $f(3)$ i $f(-6)$.
Podstawiamy kolejne argumenty:
$$f(2)=\frac{6}{2}=3$$
$$f(3)=\frac{6}{3}=2$$
$$f(-6)=\frac{6}{-6}=-1$$
Obserwacja: iloczyn argumentu i wartości jest stały: $2\cdot3=6$, $3\cdot2=6$, $(-6)\cdot(-1)=6$ — to cecha proporcjonalności odwrotnej.
Odpowiedź: $f(2)=3$, $f(3)=2$, $f(-6)=-1$.
Zadanie nr 4
Wykresem funkcji $f(x)=\frac{a}{x}$ dla $a>0$ jest hiperbola leżąca w ćwiartkach:
Adrugiej i czwartej
Bpierwszej i drugiej
Cpierwszej i trzeciej
Dtrzeciej i czwartej
Gdy $a>0$, dla $x>0$ wartość $\frac{a}{x}$ jest dodatnia (ćwiartka pierwsza), a dla $x\lt 0$ ujemna (ćwiartka trzecia).
Krok 2 — dodajemy ułamki po lewej (mają ten sam mianownik):
$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}$$
Krok 3 — równanie przybiera postać:
$$\frac{5}{x}=\frac{5}{4}$$
Krok 4 — porównujemy. Skoro liczniki są równe, równe muszą być mianowniki:
$$x=4$$
Krok 5 — sprawdzamy założenie: $4\neq0$ ✔
Sprawdzenie: $\frac24+\frac34=\frac54$ ✔
Odpowiedź: $x=4$.
Zadanie nr 18
Rozwiąż równanie $\frac{x}{x-2}=\frac{4}{x-2}$.
Krok 1 — założenie: $x-2\neq0$, czyli $x\neq2$.
Krok 2 — mianowniki są równe, więc równe muszą być liczniki:
$$x=4$$
Krok 3 — konfrontujemy z założeniem: $4\neq2$ ✔, więc rozwiązanie jest dopuszczalne.
Sprawdzenie: $\frac{4}{4-2}=\frac{4}{2}=2$ po obu stronach ✔
Dlaczego sprawdzenie założenia jest kluczowe: gdyby wyszło $x=2$, musielibyśmy je odrzucić — mimo poprawnego rachunku równanie nie miałoby rozwiązania.
Odpowiedź: $x=4$.
Zadanie nr 19
Dwaj malarze mają pomalować ścianę. Pierwszy zrobiłby to sam w $6$ godzin, drugi w $12$ godzin. W ile godzin pomalują ścianę razem?
Krok 1 — wydajności godzinowe. W ciągu godziny pierwszy maluje $\frac16$ ściany, a drugi $\frac{1}{12}$.
Krok 6 — sprawdzamy założenia. Oba pierwiastki ($2+\sqrt5\approx4{,}24$ oraz $2-\sqrt5\approx-0{,}24$) są różne od $1$ i $-1$, więc oba są dopuszczalne.
Odpowiedź: $x=2+\sqrt5$ lub $x=2-\sqrt5$.
Zadanie nr 1
Funkcja $f(x)=\dfrac{1}{x}+2$ powstaje z $\dfrac{1}{x}$ przez przesunięcie:
Ao $2$ w prawo
Bo $2$ w górę
Co $2$ w dół
Do $2$ w lewo
Dodanie stałej do całej funkcji przesuwa wykres w pionie o tę stałą:
Krok 3 — analiza znaków w przedziałach. Ułamek ma znak iloczynu $(x-3)(x+1)$, bo dzielenie i mnożenie dają ten sam wzór znaków:
$x\lt -1$: $(-)(-)=+$ ✔
$-1\lt x\lt 3$: $(-)(+)=-$
$x>3$: $(+)(+)=+$ ✔
Krok 4 — zbiór rozwiązań:
$$x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$$
Kluczowa sztuczka. Nierówność $\frac{L}{M}>0$ ma to samo rozwiązanie co $L\cdot M>0$ — zamieniamy dzielenie na mnożenie, bo obie operacje dają ten sam znak.
Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$.
Zadanie nr 11
Rozwiązując nierówność wymierną, mnożymy obustronnie przez mianownik:
Azawsze zachowując znak
Btylko przez wyrażenie o znanym znaku
Czawsze odwracając znak
Dto niedozwolone
Mnożenie nierówności przez wyrażenie zmiennego znaku jest niebezpieczne — nie wiadomo, czy odwrócić znak nierówności.
Dlatego nierówności wymierne rozwiązujemy inaczej: przenosimy wszystko na jedną stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika i badamy znak ilorazu (równoważnie iloczynu licznika i mianownika).
Wyjątek: gdy mianownik ma stały znak (np. $x^2+1>0$ zawsze), można mnożyć bezpiecznie.
Odpowiedź: B. tylko przez wyrażenie o znanym znaku.
Zadanie nr 12
Rozwiąż równanie $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x+1}$.
Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.
Krok 2 — mnożymy na krzyż:
$$1\cdot(x+1)=2\cdot(x-1)$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$x+1=2x-2 \quad\Rightarrow\quad 3=x$$
Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $3\neq\pm1$ ✔
Sprawdzenie: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ ✔
Odpowiedź: $x=3$.
Zadanie nr 13
Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-3}$.
Krok 4 — uwzględniamy równość. Nierówność jest nieostra ($\le$), więc dołączamy miejsce zerowe licznika $x=-2$. Ale $x=1$ wykluczamy — tam mianownik się zeruje.
$$x\in\langle-2,\ 1)$$
Kluczowa różnica. Pierwiastek licznika może być domknięty (ułamek równy zeru jest dozwolony przy $\le$), ale pierwiastek mianownika nigdy — to punkt spoza dziedziny.
Odpowiedź: $x\in\langle-2,\ 1)$.
Zadanie nr 19
Dwie ekipy malują halę. Pierwsza sama zrobiłaby to w $6$ dni, druga w $12$ dni. W ile dni pomalują halę razem?
Krok 1 — wydajności. W ciągu jednego dnia pierwsza ekipa wykonuje $\frac16$ pracy, druga $\frac{1}{12}$.
Krok 2 — równanie. Niech $x$ to liczba dni wspólnej pracy. Razem wykonają całość, czyli $1$:
Kontrola sensu. Wspólny czas ($4$ dni) musi być krótszy od czasu szybszej ekipy ($6$ dni) — i jest ✔
Typ zadania. To klasyczne „zadanie o wspólnej pracy” — dodajemy wydajności (odwrotności czasów), a nie same czasy.
Odpowiedź: $4$ dni.
Zadanie nr 20
Wykaż, że równanie $\dfrac{x^2+1}{x}=1$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.
Krok 2 — mnożymy przez $x$:
$$x^2+1=x$$
Krok 3 — przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$x^2-x+1=0$$
Krok 4 — badamy wyróżnik:
$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3\lt 0$$
Krok 5 — wniosek. Ujemny wyróżnik oznacza brak pierwiastków rzeczywistych, więc równanie nie ma rozwiązań. $\qquad ∎$
Sposób alternatywny. Uzupełniając do kwadratu: $x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0$ — wyrażenie nigdy się nie zeruje. Ten sposób pokazuje dodatkowo, że lewa strona jest zawsze dodatnia.
Zadanie nr 1
Równanie $|x|=7$ ma rozwiązania:
Atylko $7$
Btylko $-7$
C$7$ i $-7$
Dbrak
Wartość bezwzględna to odległość od zera, a w odległości $7$ leżą dwa punkty:
$$x=7 \quad\text{lub}\quad x=-7$$
Odpowiedź: C. $7$ i $-7$.
Zadanie nr 2
Rozwiąż równanie $|x-3|=5$.
Krok 1 — rozbijamy na dwa przypadki:
$$x-3=5 \quad\text{lub}\quad x-3=-5$$
Krok 2 — rozwiązujemy każdy:
$$x=8 \quad\text{lub}\quad x=-2$$
Interpretacja: szukamy liczb odległych o $5$ od punktu $3$ na osi — to $8$ (w prawo) i $-2$ (w lewo).
Odpowiedź: $x=8$ lub $x=-2$.
Zadanie nr 3
Rozwiąż nierówność $|x|\lt 4$.
Warunek $|x|\lt 4$ oznacza liczby odległe od zera o mniej niż $4$:
Interpretacja. Szukamy punktów, których łączna odległość od $1$ i od $-2$ wynosi $5$. Ponieważ same punkty $1$ i $-2$ są oddalone o $3$, rozwiązania leżą po $1$ jednostce na zewnątrz z każdej strony.
Wniosek. Oba sposoby dają $x=1$. Podnoszenie do kwadratu usuwa moduły, bo obie strony są nieujemne — to legalne przekształcenie równoważne.
Zadanie nr 20
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ zachodzi nierówność $|a+b|\le|a|+|b|$ (nierówność trójkąta).
Krok 1 — podstawowe oszacowania. Dla każdej liczby zachodzi:
$$-|a|\le a\le|a|,\qquad -|b|\le b\le|b|$$
Krok 2 — dodajemy nierówności stronami:
$$-\bigl(|a|+|b|\bigr)\le a+b\le|a|+|b|$$
Krok 3 — interpretacja. Liczba $a+b$ mieści się między $-\bigl(|a|+|b|\bigr)$ a $|a|+|b|$, co jest dokładnie warunkiem:
$$|a+b|\le|a|+|b| \qquad ∎$$
Kiedy równość. Zachodzi ona dokładnie wtedy, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (lub któraś jest zerem). Gdy znaki są przeciwne, lewa strona jest wyraźnie mniejsza.
Sprawdzenie: dla $a=3$, $b=-5$: $|{-2}|=2$, a $3+5=8$, więc $2\le8$ ✔ (znaki przeciwne — nierówność ostra).
Zadanie nr 1
Wyrażenie $\frac{6x}{9x}$ dla $x\neq0$ upraszcza się do:
A$\frac{6}{9x}$
B$\frac{2}{3}$
C$\frac{2x}{3}$
D$\frac{3}{2}$
Skracamy wspólne czynniki licznika i mianownika:
$$\frac{6x}{9x}=\frac{6}{9}=\frac23$$
Odpowiedź: B. $\frac23$.
Zadanie nr 2
Skróć wyrażenie $\frac{x^2-4}{x+2}$ i podaj założenia.
Krok 1 — dziedzina: $x\neq-2$.
Krok 2 — rozkładamy licznik (różnica kwadratów):
$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$$
Uwaga: po skróceniu założenie nadal obowiązuje. Wyrażenie równa się $x-2$ wyłącznie dla $x\neq-2$.
Odpowiedź: $x-2$ dla $x\neq-2$.
Zadanie nr 3
Oblicz $\frac{2}{x}+\frac{3}{x}$ dla $x\neq0$.
Mianowniki są jednakowe, więc dodajemy tylko liczniki:
$$\frac{2+3}{x}=\frac{5}{x}$$
Odpowiedź: $\frac{5}{x}$.
Zadanie nr 4
Wyrażenie $\frac{x+3}{x+5}$ nie upraszcza się przez skreślenie $x$, ponieważ:
Alicznik jest mniejszy od mianownika
B$x$ może być zerem
C$x$ jest składnikiem sumy, a nie czynnikiem iloczynu
Dwyrażenie nie ma dziedziny
Reguła: skracać wolno wyłącznie czynniki — elementy połączone mnożeniem.
W $\frac{x+3}{x+5}$ litera $x$ jest składnikiem dodawania, więc skreślenie jej byłoby błędem.
Test liczbowy dla $x=1$: $\frac{4}{6}=\frac23$, a „po skróceniu” wyszłoby $\frac35$ — inna wartość.
Odpowiedź: C. $x$ jest składnikiem sumy, a nie czynnikiem iloczynu.
Zadanie nr 5
Oblicz $\frac{3}{x}\cdot\frac{x}{6}$ dla $x\neq0$.
Mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik, a potem skracamy:
Krok 3 — porównanie. Liczniki są równe, więc mianowniki też:
$$x=4$$
Krok 4 — sprawdzenie dziedziny: $4\neq0$ ✔
Kontrola: $\frac24+\frac34=\frac54$ ✔
Odpowiedź: $x=4$.
Zadanie nr 20
Dwaj malarze pomalują pokój odpowiednio w $4$ i $6$ godzin. Zapisz za pomocą wyrażenia wymiernego, jaką część pokoju pomalują razem w ciągu godziny, i oblicz, ile czasu zajmie im wspólna praca.
Krok 1 — wydajności. W ciągu godziny pierwszy maluje $\frac14$ pokoju, drugi $\frac16$.
Kontrola sensu: wynik musi być krótszy niż praca szybszego malarza ($4$ h) — i jest ✔ Uśrednianie czasów ($5$ h) dałoby wynik bez sensu.
Odpowiedź: razem malują $\frac{5}{12}$ pokoju na godzinę; praca zajmie $2$ godziny $24$ minuty.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.