Liceum Ogólnokształcące — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 53
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 11 · Matura 2026
Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.
Na to przedstawienie sprzedano łącznie \(200\) biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości \(25\%\) wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało \(4665\) \(zł\).
Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.
Krok 1. Obliczenie całkowitych wpływów ze sprzedaży biletów.
Niech \(W\) oznacza całkowite wpływy ze sprzedaży biletów. Skoro po odliczeniu \(25\%\) kosztów zostało \(4665\) \(zł\), to kwota ta stanowi \(75\%\) całkowitych wpływów:
$$0,75W=4665$$
$$W=\frac{4665}{0,75}=6220$$
Całkowite wpływy wyniosły \(6220 zł\).
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Niech \(x\) oznacza liczbę biletów normalnych, a \(y\) liczbę biletów ulgowych. Wiemy, że łącznie sprzedano \(200\) biletów, zatem:
$$x+y=200$$
Równanie opisujące wpływy ze sprzedaży to:
$$35x+25y=6220$$
Te dwa równania tworzą teraz układ równań, który musimy rozwiązać:
\begin{cases} x+y=200 \\ 35x+25y=6220 \end{cases}
Metoda rozwiązywania jest dowolna, ale najłatwiej będzie chyba dostrzec, że z pierwszego równania otrzymamy \(x=200-y\) i tę wartość możemy od razu podstawić do drugiego równania:
$$35\cdot(200-y)+25y=6220$$
$$7000-35y+25y=6220$$
$$-10y=-780$$
$$y=78$$
Zadanie nr 9 · Matura 2025
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę \(1\;200\;000\) złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: \(A\) i \(B\). W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie \(146\;700\) złotych - zespół \(A\) wykorzystał \(13\%\) przyznanych mu środków, a zespół \(B\) wykorzystał \(11\%\) przyznanych mu środków.
Oblicz kwotę przyznaną zespołowi \(A\) na realizację projektu badawczego.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Aby się nie pogubić podczas rozwiązywania, rozpiszmy sobie wszystko bardzo dokładnie:
\(x\) - kwota przyznana zespołowi \(A\)
\(0,13x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(A\)
\(1200000-x\) - kwota przyznana zespołowi \(B\)
\(0,11\cdot(1200000-x)=132000-0,11x\) - tyle pieniędzy wydał zespół \(B\)
Krok 2. Obliczenie kwoty przyznanej zespołowej \(A\).
Z treści zadania wynika, że suma dotychczasowych wydatków zespołu \(A\) i \(B\) wynosi \(146\;700\) złotych. Na podstawie zapisanych wcześniej oznaczeń możemy zapisać, że w takim razie:
$$0,13x+132000-0,11x=146700$$
$$0,02x+132000=146700$$
$$0,02x=14700$$
$$x=735000$$
To oznacza, że zespół \(A\) otrzymał na projekt badawczy kwotę \(735\;000\) złotych.
Zadanie nr 10 · Matura 2024
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie \(1960\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
Pierwsze równanie jest dość oczywiste i powtarza się w każdej proponowanej odpowiedzi, a będzie to \(x+y=1960\). Trudność tego zadania opiera się zatem na poprawnym zapisaniu drugiego równania.
Jeśli uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie, to zostało tam \(0,95x\) drzew. W drugim sadzie uschło \(10\%\), zatem zostało tam \(0,9y\). Z treści zadania wynika także, że liczba drzew z drugiego sadu stanowi \(60\%\) tych z sadu pierwszego, czyli możemy zapisać, że \(0,6\cdot0,95x=0,9y\). To oznacza, że poprawny jest pierwszy układ równań.
Zadanie nr 11 · Matura 2024
Na rysunku w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:
Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, a więc muszą mieć ujemny współczynnik kierunkowy \(a\). Już sama ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że pasuje nam tylko układ równań z pierwszej odpowiedzi. Warto też zauważyć, że te dwie proste są równoległe, czyli ten współczynnik \(a\) muszą mieć taki sam.
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:
A\(\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=-2x+1
\end{cases}\)
B\(\begin{cases}
y=x-2 \\
y=-2x-1
\end{cases}\)
C\(\begin{cases}
y=x-2 \\
y=2x+1
\end{cases}\)
D\(\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=2x-1
\end{cases}\)
Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.
Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.
Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie nr 11 · Matura 2023
Dany jest prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\), gdzie \(a\gt b\). Obwód tego prostokąta jest równy \(30\). Jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami:
$$...... \text{oraz} ......$$
A. \(\begin{cases} 2ab=30 \\ a-b=5 \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} 2a+b=30 \\ a=5b \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} 2(a+b)=30 \\ b=a-5 \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} 2a+2b=30 \\ b=5a \end{cases}\)
E. \(\begin{cases} 2a+2b=30 \\ a-b=5 \end{cases}\)
F. \(\begin{cases} a+b=30 \\ a=b+5 \end{cases}\)
Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
Pierwsze równanie związane jest z obwodem prostokąta. Wiemy, że nasz prostokąt ma obwód równy \(30\). Na ten obwód będą składać się dwa boki o długości \(a\) oraz dwa boki o długości \(b\), zatem pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$2a+2b=30$$
I tu od razu możemy zapisać drugi wariant tego równania (który pojawi się jako alternatywna odpowiedź). Wyciągając dwójkę przed nawias, moglibyśmy zapisać, że:
$$2\cdot(a+b)=30$$
Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Drugie równanie wynika z informacji, że jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego. Moglibyśmy zapisać, że w takim razie:
$$b=a-5$$
Przekształcając to równanie moglibyśmy otrzymać postać:
$$b+5=a$$
$$a-b=5$$
Krok 3. Wybór poprawnych odpowiedzi.
Analizując teraz dostępne odpowiedzi widzimy, że pasuje nam na pewno układ równań z odpowiedzi C oraz z odpowiedzi E.
Zadanie nr 5 · Próbny 2023
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację układu równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\). Punkt przecięcia dwu prostych oraz ich punkty wspólne z osią \(Ox\) układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku powyżej, jest układ:
A. \(\begin{cases} 3(y+4)-6(x-3)=0 \\ -4y-7(x-7)=0 \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} 3(y+4)-6x=0 \\ 4y+2(x-7)=0 \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} 3(y+4)-6x=0 \\ 4y-2(x-7)=0 \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} y=2x-4 \\ y=\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2} \end{cases}\)
E. \(\begin{cases} y=x-4 \\ y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2} \end{cases}\)
F. \(\begin{cases} y=2x-4 \\ y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2} \end{cases}\)
Krok 1. Wybór pierwszej poprawnej odpowiedzi.
Celem zadania jest tak naprawdę ustalenie jakimi równaniami są opisane nasze proste. Najprościej będzie zacząć od ustalenia jaka jest postać kierunkowa tych prostych, czyli najpierw warto zerknąć na proponowane odpowiedzi D, E oraz F (bo właśnie tam wszystkie równania są zapisane w tej postaci, więc jest spore prawdopodobieństwo, że znajdziemy tam pierwszą poprawną odpowiedź). Możemy oczywiście wyznaczać takie równania w standardowy sposób, ale spróbujmy podejść do tego zadania nieco bardziej analitycznie, analizując podane odpowiedzi.
Widzimy, że jedna prosta przecina oś \(Ox\) dla \(y=-4\), a druga dla \(y=3\frac{1}{2}\), więc współczynniki \(b\) tych prostych powinny być równe odpowiednio \(b=-4\) oraz \(b=3\frac{1}{2}\). Tak się składa, że w każdej parze mamy takie współczynniki, więc analizujemy dalej. Widzimy, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca, czyli jedna powinna mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga ujemny. W ten sposób spośród odpowiedzi D, E, F możemy już odrzucić odpowiedź D. Zostały nam już odpowiedzi E oraz F, które różnią się tylko pierwszym równaniem, które opisuje prostą rosnącą. Sprawdźmy zatem jaką wartość przyjmuje każde z równań dla \(x=2\). Prosta \(y=x-4\) przyjmuje wartość \(y=2-4=-2\), natomiast prosta \(y=2x-4\) przyjmie wartość \(y=2\cdot2-4=0\). Na wykresie widać, że ta wartość powinna być równa \(0\), bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2;0)\), stąd też po tej prostej analizie możemy stwierdzić, że pierwszą poprawną odpowiedzią będzie F.
Dla upewnienia się, możemy oczywiście analogicznie sprawdzić to drugie równanie \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\), podstawiając np. \(x=7\). Wyjdzie nam, że \(y=-\frac{1}{2}\cdot7+3\frac{1}{2}=-3\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}=0\) i to się zgadza, bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((7;0)\).
Krok 2. Wybór drugiej poprawnej odpowiedzi.
Druga odpowiedź będzie znajdować się wśród proponowanych A, B oraz C. Mówiąc bardzo obrazowo, musimy sprawdzić które równania da się przekształcić do postaci tych z odpowiedzi F. Tu warto zauważyć, że każdy układ ma różne drugie równania, więc możemy skupić się tylko na nich. Przekształćmy zatem te równania do postaci kierunkowej:
Odp. A. (drugie równanie)
$$-4y-7(x-7)=0$$
$$-4y-7x+49=0$$
$$-4y=7x-49$$
$$y=-\frac{7}{4}x+12\frac{1}{4}$$
To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\).
Odp. B. (drugie równanie)
$$4y+2(x-7)=0$$
$$4y+2x-14=0$$
$$4y=-2x+14=0$$
$$y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}$$
To równanie jest poprawne, bo otrzymaliśmy dokładnie to samo co w odpowiedzi F.
Odp. C. (drugie równanie)
$$4y-2(x-7)=0$$
$$4y-2x+14=0$$
$$4y=2x-14$$
$$y=\frac{1}{2}x-3\frac{1}{2}$$
To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\).
I w ten oto sposób udało nam się ustalić, że poprawną odpowiedzią będzie także odpowiedź B.
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:
A\(\begin{cases}y=-x+2 \\ y=-2x+1\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=x-2 \\ y=-2x-1\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x-2 \\ y=2x+1\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=-x+2 \\ y=2x-1\end{cases}\)
Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.
Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.
Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie nr 11 · Matura 2023
Dany jest prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\), gdzie \(a\gt b\). Obwód tego prostokąta jest równy \(30\). Jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami:
$$...... \text{oraz} ......$$
A. \(\begin{cases} 2ab=30 \\ a-b=5 \end{cases}\)
B. \(\begin{cases} 2a+b=30 \\ a=5b \end{cases}\)
C. \(\begin{cases} 2(a+b)=30 \\ b=a-5 \end{cases}\)
D. \(\begin{cases} 2a+2b=30 \\ b=5a \end{cases}\)
E. \(\begin{cases} 2a+2b=30 \\ a-b=5 \end{cases}\)
F. \(\begin{cases} a+b=30 \\ a=b+5 \end{cases}\)
Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
Pierwsze równanie związane jest z obwodem prostokąta. Wiemy, że nasz prostokąt ma obwód równy \(30\). Na ten obwód będą składać się dwa boki o długości \(a\) oraz dwa boki o długości \(b\), zatem pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$2a+2b=30$$
I tu od razu możemy zapisać drugi wariant tego równania (który pojawi się jako alternatywna odpowiedź). Wyciągając dwójkę przed nawias, moglibyśmy zapisać, że:
$$2\cdot(a+b)=30$$
Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Drugie równanie wynika z informacji, że jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego. Moglibyśmy zapisać, że w takim razie:
$$b=a-5$$
Przekształcając to równanie moglibyśmy otrzymać postać:
$$b+5=a$$
$$a-b=5$$
Krok 3. Wybór poprawnych odpowiedzi.
Analizując teraz dostępne odpowiedzi widzimy, że pasuje nam na pewno układ równań z odpowiedzi C oraz z odpowiedzi E.
Zadanie nr 5 · Matura 2023
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów równań:
Wskaż ten układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku.
A\(\begin{cases}y=-x+2 \\ y=-2x+1\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=x-2 \\ y=-2x-1\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x-2 \\ y=2x+1\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=-x+2 \\ y=2x-1\end{cases}\)
Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.
Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.
Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie nr 6 · Matura 2022
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}11x-11y=1 \\ 22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb \(x=x_{0}\), \(y=y_{0}\). Wtedy:
A\(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\gt0\)
B\(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\)
C\(x_{0}\lt0\) i \(y_{0}\gt0\)
D\(x_{0}\lt0\) i \(y_{0}\lt0\)
Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanego układu równań. Możemy to zrobić na wiele sposobów, ale najprościej będzie chyba wymnożyć pierwsze równanie przez \(2\) i następnie dodać te równania stronami:
\begin{cases} 11x-11y=1 \bigg/\cdot2 \\ 22x+22y=-1 \end{cases}
\begin{cases} 22x-22y=2 \\ 22x+22y=-1 \end{cases}
Dodając teraz równania stronami, otrzymamy:
$$44x=1$$
$$x=\frac{1}{44}$$
Znając wartość \(x=\frac{1}{44}\) możemy teraz obliczyć wartość \(y\). W tym celu wystarczy podstawić \(x=\frac{1}{44}\) do jednego z równań z układu (np. pierwszego), otrzymując:
$$11x-11y=1$$
$$11\cdot\frac{1}{44}-11y=1$$
$$\frac{11}{44}-11y=1$$
$$\frac{1}{4}-11y=1$$
$$-11y=\frac{3}{4}$$
$$y=-\frac{3}{44}$$
To oznacza, że \(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\).
Zadanie nr 5 · Próbny 2021
Para liczb \(x=1\), \(y=-3\) spełnia układ równań \(\begin{cases}x-y=a^2 \\ (1+a)x-3y=-4a\end{cases}\)
Wtedy \(a\) jest równe:
A\(2\)
B\(-2\)
C\(\sqrt{2}\)
D\(-\sqrt{2}\)
Skoro podana para liczb spełnia nasz układ równań, to podstawmy w takim razie \(x=1\) oraz \(y=-3\) do tego układu, otrzymując:
\begin{cases} 1-(-3)=a^2 \\ (1+a)\cdot1-3\cdot(-3)=-4a \end{cases}
\begin{cases} 4=a^2 \\ 1+a-(-9)=-4a \end{cases}
\begin{cases} 4=a^2 \\ 10+a=-4a \end{cases}
\begin{cases} a^2=4 \\ -5a=10 \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Otrzymaliśmy dwa równania z jedną niewiadomą, które teraz musimy rozwiązać:
I równanie:
$$a^2=4$$
$$a=2 \quad\lor\quad a=-2$$
II równanie:
$$-5a=10$$
$$a=-2$$
Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Widzimy wyraźnie, że tylko \(a=-2\) spełnia jedno i drugie równanie, stąd też właśnie to \(a=-2\) jest prawidłową odpowiedzią.
Zadanie nr 9 · Próbny 2021
Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=a-b \\ 2x+3y=a+b \end{cases}\) z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\) ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb \((2,1)\). Wynika z tego, że:
A\(a=3, b=4\)
B\(a=4, b=3\)
C\(a=-4, b=-5\)
D\(a=-4, b=5\)
Aby rozwiązać to zadanie, musimy podstawić do układu równań \(x=2\) oraz \(y=1\), zatem:
\begin{cases} 2\cdot2-3\cdot1=a-b \\ 2\cdot2+3\cdot1=a+b \end{cases}
\begin{cases} 4-3=a-b \\ 4+3=a+b \end{cases}
\begin{cases} a-b=1 \\ a+b=7 \end{cases}
\begin{cases} a=1+b \\ a=7-b \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania możemy teraz zapisać, że:
$$1+b=7-b$$
$$2b=6$$
$$b=3$$
Znamy już wartość \(b=3\), zatem podstawiając ją do jednego z równań np. \(a=1+b\), obliczymy poszukiwaną wartość \(a\):
$$a=1+b$$
$$a=1+3$$
$$a=4$$
Zadanie nr 8 · Matura 2021
Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.
A\(\begin{cases}y=x+1 \\ y=-2x+4\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=x-1 \\ y=2x+4\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x-1 \\ y=-2x+4\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=x+1 \\ y=2x+4\end{cases}\)
Do zadania da się podejść na kilka sposobów. Z geometrycznej interpretacji wiemy, że rozwiązaniem układu równań są współrzędne punktu przecięcia się tych dwóch prostych. Możemy oczywiście rozwiązać każdy układ i sprawdzić kiedy otrzymamy wynik \(x=1\) oraz \(y=2\) (bo z rysunku wynika, że właśnie w tym miejscu te dwie proste się przecinają). Możemy też postąpić nieco sprytniej i wręcz podstawić \(x=1\) oraz \(y=2\) do każdego układu. Obydwie te metody są dobre, choć czasochłonne (a i czasem możemy wpaść w pułapkę związaną z tym, że pasować będą dwa układy równań).
Najlepiej byłoby dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca - czyli jedna prosta musi mieć dodatni współczynnik kierunkowy \(a\), natomiast druga musi mieć ten współczynnik ujemny. Pasują nam już zatem tylko odpowiedzi A oraz C. Teraz spójrzmy na miejsce przecięcia się prostych z osią \(OY\). Prosta rosnąca przecina oś \(OY\) dla \(y=1\), więc współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy \(b=1\). Analogicznie prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=4\), więc \(b=4\). To oznacza, że pasuje nam już tylko odpowiedź A.
Zadanie nr 7 · Próbny 2020
Rozważmy treść następującego zadania:
"Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy \(60\). Jeden z boków tego prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta."
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
Prostokąt ma dwa równe boki, zatem jego obwód możemy w tej sytuacji opisać równaniem:
$$2a+2b=60$$
$$2(a+b)=60$$
Pierwsze równanie więc znamy i od razu możemy ograniczyć się do odpowiedzi A oraz D. Teraz czas na drugie równanie, które odnosi się do sytuacji mówiącej o tym, że jeden z boków prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Co prawda nie wiemy który z boków ma być dłuższy, ale w grę wchodzą tylko dwie możliwości, czyli \(a+10=b\) lub też \(b+10=a\). To właśnie ta pierwsza możliwość pojawiła się w pierwszej odpowiedzi, zatem poszukiwanym układem równań jest ten z odpowiedzi A.
Zadanie nr 7 · Próbny 2020
Układ równań liniowych \(\begin{cases}2x-3y=-1 \\ -6x+ay=3\end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy:
A\(a=9\)
B\(a=-9\)
C\(a=1\)
D\(a\) jest dowolną liczbą rzeczywistą
Aby dowiedzieć się dla jakiego parametru \(a\) układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, musimy doprowadzić do sytuacji w której pierwsze i drugie równanie będą miały identyczną postać. W tym celu musimy np. pierwsze równanie pomnożyć obustronnie przez \(-3\). Całość będzie wyglądać następująco:
\begin{cases} 2x-3y=-1 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ -6x+ay=3 \end{cases}
\begin{cases} -6x+9y=3 \\ -6x+ay=3 \end{cases}
Teraz jak porównamy sobie obydwa te równania (zwłaszcza to, co znalazło się przed igrekiem) to zauważymy, że układ równań będzie tożsamościowy dla \(a=9\).
Zadanie nr 6 · Egz. 8-kl. 2019
Para liczb \((3, –2)\) spełnia układ równań:
A\(\begin{cases}2x-y=8 \\ -3x+2y=-5\end{cases}\)
B\(\begin{cases}2x+y=4 \\ -3x+2y=-13\end{cases}\)
C\(\begin{cases}2x+y=-1 \\ -3x+2y=12\end{cases}\)
D\(\begin{cases}2x-y=1 \\ -3x+2y=0\end{cases}\)
Zapis rozwiązania układu równań w postaci \((3, –2)\) oznacza, że szukamy układu równań, którego rozwiązaniem jest para liczb \(x=3\) oraz \(y=-2\). Teoretycznie moglibyśmy rozwiązać każdy układ równań osobno i w ten sposób wskazalibyśmy poprawny wynik. Jednak to zadanie można zrobić nieco sprytniej. Widzimy, że w każdym z układów drugie równanie ma po lewej stronie wyrażenie \(-3x+2y\). Możemy więc sprawdzić jaką wartość przyjmie to wyrażenie dla \(x=3\) oraz \(y=-2\) i tym samym zobaczymy która z odpowiedzi jest prawidłowa:
$$-3x+2y=-3\cdot3+2\cdot(-2)=-9+(-4)=-9-4=-13$$
Otrzymaliśmy informację, że dla pary liczb \((3,-2)\) wyrażenie \(-3x+2y\) powinno przyjąć wartość równą \(-13\), a taka sytuacja znalazła się jedynie w odpowiedzi B.
Zadanie nr 5 · Matura 2019
Para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} -x+12y=a^2 \\ 2x+ay=9 \end{cases}\) dla:
A\(a=\frac{7}{3}\)
B\(a=-3\)
C\(a=3\)
D\(a=-\frac{7}{3}\)
Podstawiając \(x=3\) i \(y=1\) do naszego układu równań otrzymamy:
\begin{cases} -3+12\cdot1=a^2 \\ 2\cdot3+a\cdot1=9 \end{cases}
\begin{cases} -3+12=a^2 \\ 6+a=9 \end{cases}
\begin{cases} a^2=9 \\ a=3 \end{cases}
W pierwszym równaniu otrzymaliśmy proste równanie kwadratowe \(a^2=9\), którego rozwiązaniem są liczby \(a=3\) oraz \(a=-3\). W drugim równaniu wyszło nam, że \(a=3\). Co oznacza ta rozbieżność? Możemy to zinterpretować w taki sposób, że gdy \(a=-3\) to para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem tylko pierwszego równania, natomiast gdy \(a=3\), to wskazana para liczb jest rozwiązaniem jednego i drugiego równania (czyli całego układu równań). Z tego też względu rozwiązaniem tego zadania jest \(a=3\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2019
Układ równań liniowych \(\begin{cases} 2x-4y=3 \\ -3x+6y=-4 \end{cases}\)
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma nieskończenie wiele rozwiązań
Do rozwiązania tego zadania można dojść na wiele sposobów, nawet najpopularniejszą metodą podstawiania. Jednak najprościej będzie dostrzec rozwiązanie mnożąc pierwsze równanie przez \(-\frac{3}{2}\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
\begin{cases} 2x-4y=3 \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) \\ -3x+6y=-4 \end{cases}
W pierwszym równaniu wyszło nam, że \(-3x+6y\) jest równe \(-\frac{9}{2}\). W drugim równaniu wyszło, że \(-3x+6y\) jest równe \(-4\). Te dwa równania mają po lewej stronie to samo wyrażenie (bez potęg), a po prawej mają różne liczby. Taka sytuacja jest niemożliwa do otrzymania, zatem ten układ równań jest sprzeczny, czyli nie ma on rozwiązań.
Zadanie nr 7 · Matura 2019
Układ równań \(\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla:
A\(m=-1\)
B\(m=1\)
C\(m=\frac{1}{2}\)
D\(m=-\frac{1}{2}\)
Krok 1. Doprowadzenie równań do jednakowej postaci.
Mnożąc drugie równanie przez \(2\) otrzymamy:
\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}
\begin{cases} 2x-y=2 \\ 2x+2my=2 \end{cases}
Krok 2. Ustalenie dla jakiego parametru \(m\) równania mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Aby nasz układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań, to pierwsze i drugie równanie muszą być identyczne. Porównując do siebie te dwa równania widzimy, że aby tak się stało to liczby stojące przy igreku muszą być sobie równe. W pierwszym równaniu przed igrekiem mamy jedynie minus, czyli mamy tak jakby \(-1y\). W drugim równaniu mamy wartość \(2my\). Skoro wartości przed igrekami muszą być równe, to:
$$-1=2m$$
$$m=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 5 · Matura 2019
Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}ax+y=4 \\ -2x+3y=2a\end{cases}\) dla:
A\(a=-1\)
B\(a=1\)
C\(a=-2\)
D\(a=2\)
Podstawiając parę liczb \(x=2\) oraz \(y=2\) do układu równań otrzymamy:
$$\begin{cases} a\cdot2+2=4 \\ -2\cdot2+3\cdot2=2a \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2a+2=4 \\ -4+6=2a \end{cases}$$
Z pierwszego równania mamy że \(2a=2\), czyli że \(a=1\).
Z drugiego wychodzi nam identycznie, że \(2=2a\), czyli także \(a=1\).
To oznacza, że ta para liczb jest rozwiązaniem układu dla \(a=1\).
Zadanie nr 6 · Matura 2018
Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\).
Z rysunku możemy odczytać, że jedna prosta jest rosnąca, a druga jest malejąca. To oznacza, że jedna z prostych musi mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga musi mieć ujemny. Ogranicza nam to wybór odpowiedzi do B oraz D. Pozostałe warianty możemy już odrzucić.
Aby ustalić który układ równań jest tym dobrym wystarczy spojrzeć np. na miejsce przecięcia się prostej malejącej z osią igreków. Prosta ta przecina oś igreków dla \(x=3,5\), czyli \(x=\frac{7}{2}\). To oznacza, że współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy właśnie \(b=\frac{7}{2}\). Taką sytuację mamy w odpowiedzi B.
Zadanie nr 7 · Matura 2017
Rozważmy treść następującego zadania:
"Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy \(60\). Jeden z boków tego prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta."
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
Prostokąt ma dwa równe boki, zatem jego obwód możemy w tej sytuacji opisać równaniem:
$$2a+2b=60$$
$$2(a+b)=60$$
Pierwsze równanie więc znamy i od razu możemy ograniczyć się do odpowiedzi A oraz D. Teraz czas na drugie równanie, które odnosi się do sytuacji mówiącej o tym, że jeden z boków prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Co prawda nie wiemy który z boków ma być dłuższy, ale w grę wchodzą tylko dwie możliwości, czyli \(a+10=b\) lub też \(b+10=a\). To właśnie ta pierwsza możliwość pojawiła się w pierwszej odpowiedzi, zatem poszukiwanym układem równań jest ten z odpowiedzi A.
Zadanie nr 8 · Matura 2017
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+y=1 \\ x-y=b \end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że:
A\(b\lt-1\)
B\(b=-1\)
C\(-1\lt b\lt1\)
D\(b\ge1\)
Spróbujmy wyznaczyć wartości \(x\) oraz \(y\) z tego układu równań. Jeżeli dodamy te równania stronami to otrzymamy:
$$2x+0y=1+b$$
$$2x=1+b$$
$$x=\frac{1+b}{2}$$
Kiedy odejmiemy te równania stronami to otrzymamy:
$$0x+2y=1-b$$
$$2y=1-b$$
$$y=\frac{1-b}{2}$$
Teraz zgodnie z treścią zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie, zatem:
$$\frac{1+b}{2}\gt0 \land \frac{1-b}{2}\gt0$$
$$1+b\gt0 \quad\land\quad 1-b\gt0$$
$$b\gt-1 \quad\land\quad b\lt1$$
To oznacza, że \(-1\lt b\lt1\).
Zadanie nr 12 · Matura 2016
Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases}\)
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W układzie równań uzyskaliśmy dwa identyczne równania. To oznacza, że te dwie proste pokrywają się ze sobą, a więc tworzą układ o nieskończonej liczbie rozwiązań.
Zadanie nr 27 · Matura 2016
Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\), a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy \(6\), to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.
Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Jeżeli szukany ułamek zapiszemy jako \(\frac{x}{y}\) to na podstawie danych z treści zadania stworzymy następujący układ równań:
\begin{cases} \frac{x+32}{y}=2 \\ \frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17} \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej jest ten układ równań rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu musimy z pierwszego równania wyznaczyć np. iksa:
\begin{cases} \frac{x+32}{y}=2 \quad\bigg/\cdot y \\ \frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17} \end{cases}
Teraz wyznaczoną z pierwszego równania wartość \(x=2y-32\) podstawiamy do drugiego równania, otrzymując:
$$\frac{2y-32-6}{y-6}=\frac{8}{17}$$
$$\frac{2y-38}{y-6}=\frac{8}{17}$$
Mnożymy obie strony na krzyż:
$$17\cdot(2y-38)=8\cdot(y-6)$$
$$34y-646=8y-48$$
$$26y=598$$
$$y=23$$
Podstawiając \(y=23\) do jednego z dwóch równań zapisanych w pierwszym kroku obliczymy wartość \(x\):
$$\frac{x+32}{y}=2$$
$$\frac{x+32}{23}=2$$
$$x+32=46$$
$$x=14$$
Poszukiwanym ułamkiem jest więc \(\frac{14}{23}\).
Zadanie nr 31 · Próbny 2016
Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza. Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała \(42\) lata. Ile lat ma obecnie każda z dziewcząt?
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i zapisanie równań z treści zadania.
Zadanie jest trochę zagmatwane i wszystko sprowadza się tak naprawdę do poprawnego ułożenia dwóch równań z których stworzymy układ równań. Przyjmijmy, że:
\(a\) - obecny wiek Anki
\(d\) - obecny wiek Danki
\(a-d\) - różnica wieku między Anką i Danką
Teraz ułóżmy pierwsze równanie. Ze zdania "Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza" wynika, że:
$$a-(a-d)=3(d-(a-d))$$
lub też po prostu:
$$d=3(d-(a-d))$$
Drugie równanie wynika ze zdania "Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała \(42\) lata", czyli:
$$a+(a-d)=42$$
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch równań wyznaczonych w pierwszym kroku powstaje nam układ równań, który musimy po prostu rozwiązać:
$$\begin{cases} d=3(d-(a-d)) \\ a+(a-d)=42 \end{cases}$$
Podstawiając \(d=2a-42\) z drugiego równania do pierwszego otrzymamy:
$$5\cdot(2a-42)-3a=0$$
$$10a-210-3a=0$$
$$7a=210$$
$$a=30$$
Znając wiek Anki możemy obliczyć także wiek Danki, podstawiając \(a=30\) do jednego z równań:
$$d=2a-42$$
$$d=2\cdot30-42$$
$$d=60-42$$
$$d=18$$
To oznacza, że Anka ma \(30\) lat, a Danka ma \(18\) lat.
Zadanie nr 18 · Matura 2016
Układ równań \(\begin{cases} y=-ax+2a \\ y=\frac{b}{3}x-2 \end{cases}\) nie ma rozwiązań dla:
A\(a=-1\) i \(b=-3\)
B\(a=1\) i \(b=3\)
C\(a=1\) i \(b=-3\)
D\(a=-1\) i \(b=3\)
Z pomocą przyjdzie nam interpretacja graficzna układu równań. Układ równań nie ma rozwiązań, kiedy reprezentują go dwie proste równoległe względem siebie (które jednocześnie się nie pokrywają).
Skoro dwie proste mają być równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) znajdujący się przed iksem musi być jednakowy. Zatem:
$$-a=\frac{b}{3}$$
$$-3a=b$$
$$\frac{b}{a}=-3$$
Teraz patrzymy na nasze odpowiedzi. Parą liczb która spełnia warunki tej równości może być albo para z trzeciej odpowiedzi, czyli \(a=1\) i \(b=-3\), albo z czwartej, czyli \(a=-1\) i \(b=3\).
Ustaliliśmy też, że muszą to być proste które się ze sobą nie pokrywają, czyli muszą mieć różne współczynniki \(b\). Zatem:
$$2a\neq-2$$
$$a\neq-1$$
To z kolei wyklucza nam odpowiedzi gdzie \(a=-1\), zatem jedyną pasującą odpowiedzią jest trzecia, która zawiera parę liczb \(a=1\) i \(b=-3\).
Zadanie nr 6 · Matura 2016
Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:
A\(P=(1,2)\)
B\(P=(-1,2)\)
C\(P=(-1,-2)\)
D\(P=(1,-2)\)
Aby poznać miejsce przecięcia się dwóch prostych (czyli współrzędne punktu \(P\)) należy rozwiąząć prosty układ równań:
\begin{cases} 2x-3y=4 \quad\bigg/\cdot(-2) \\ 5x-6y=7 \end{cases}\begin{cases} -4x+6y=-8 \\ 5x-6y=7 \end{cases}
Teraz dodajemy to równanie stronami, wszystkie igreki się nam skrócą i otrzymamy dzięki temu wynik: \(x=-1\).
Znając współrzędną \(x=-1\) możemy ją teraz podstawić do któregoś z równań i w ten oto sposób wyznaczymy współrzędną \(y\):
$$2\cdot(-1)-3y=4$$
$$-2-3y=4$$
$$-3y=6$$
$$y=-2$$
To oznacza, że \(P=(-1;-2)\).
Zadanie nr 7 · Egz. 8-kl. 2015
Zmieszano dwa gatunki herbaty, droższą i tańszą, w stosunku \(2:3\). Cena jednego kilograma tej herbacianej mieszanki wynosi \(110zł\). Gdyby te herbaty zmieszano w stosunku \(1:4\), to cena za \(1kg\) tej mieszanki wynosiłaby \(80zł\). Na podstawie podanych informacji zapisano poniższy układ równań:
Powiedzmy sobie co to tak naprawdę oznacza, że herbaty miesza się np. w stosunku \(2:3\). Zgodnie z treścią zadania oznacza to, że przykładowo na każde \(2\) jednostki droższej herbaty przypadają \(3\) jednostki herbaty tańszej. Gdybyśmy właśnie w takich ilościach zmieszali te herbaty to mielibyśmy w takim przypadku mieszankę \(5\) jednostek herbaty w której udział herbaty droższej byłby równy \(\frac{2}{5}\), a herbaty tańszej \(\frac{3}{5}\).
Analogicznie stosunek \(1:4\) oznacza, że udział herbaty droższej stanowi \(\frac{1}{5}\) mieszanki, a herbaty tańszej aż \(\frac{4}{5}\) mieszanki.
W treści zadania mamy podaną informację, że przykładowo pierwsza mieszanka ma dokładnie \(1kg\) (czyli składa się ona z \(\frac{2}{5}kg\) droższej i \(\frac{3}{5}kg\) tańszej herbaty) i kosztuje \(110zł\). Jeżeli spojrzymy na pierwsze równanie w układzie równań to zauważymy że iksem oznaczona w takim razie cena za \(1kg\) herbaty droższej.
Zadanie nr 7 · Matura 2015
Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \begin{cases} x+3y=-5 \\ 3x-2y=-4 \end{cases}
Wskaż ten rysunek:
A
B
C
D
Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem takiego układu równań jest miejsce się przecięcia dwóch prostych. Zatem wyznaczając wartości \(x\) oraz \(y\) będziemy mogli określić współrzędne punktu przecięcia i tym samym wybrać prawidłową odpowiedź.
\begin{cases} x+3y=-5 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 3x-2y=-4 \end{cases}\begin{cases} -3x-9y=15 \\ 3x-2y=-4 \end{cases}
Dodając to równanie stronami otrzymamy:
$$-9y+(-2y)=15+(-4)$$
$$-11y=11$$
$$y=-1$$
Wartość \(x\) obliczymy podstawiając \(y=-1\) do jednego z równań:
$$x+3\cdot(-1)=-5$$
$$x-3=-5$$
$$x=-2$$
Szukamy więc rysunku, na którym dwie proste przetną się w punkcie o współrzędnych \((-2;-1)\) i taka sytuacja jest przedstawiona na rysunku pierwszym.
Zadanie nr 14 · Próbny 2015
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów równań.
Krok 1. Odczytanie z rysunku kluczowych informacji na temat prostych.
Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, czyli na pewno muszą mieć współczynnik kierunkowy \(a\) mniejszy od \(0\). Oprócz tego jesteśmy też w stanie odczytać konkretne wartości współczynnika \(b\), patrząc się na miejsce przecięcia się prostych z osią igreków. Jedna prosta przecina oś igreków dla \(y=1\), czyli współczynnik \(b=1\), natomiast druga prosta przecina oś igreków dla \(y=-2\), czyli ma współczynnik \(b=-2\).
Krok 2. Wskazanie prawidłowego układu równań.
Proste zapisane w układach równań mają postać \(y=ax+b\). Ustaliliśmy już sobie, że współczynnik \(a\) jednej i drugiej prostej musi być ujemny, co sprawia że możemy odrzucić drugą i czwartą odpowiedź.
Wiemy też, że współczynnik \(b\) jednej prostej ma być równy \(1\), a drugiej ma być równy \(-2\) i taką sytuację mamy w pierwszym układzie równań. Możemy więc bez wykonywania specjalnych obliczeń wskazać, że poszukiwaną prawidłową odpowiedzią jest pierwszy układ równań.
Zadanie nr 5 · Matura 2015
Para liczb \(x=2\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+ay=5 \\ 2x-y=3 \end{cases}\), gdy:
A\(a=-3\)
B\(a=-2\)
C\(a=2\)
D\(a=3\)
W tym zadaniu wystarczy tak naprawdę tylko podstawić do pierwszego równania \(x=2\) oraz \(y=1\) i obliczyć w ten sposób parametr \(a\):
$$x+ay=5$$
$$2+1a=5$$
$$a=3$$
Zadanie nr 5 · Matura 2015
Układ równań \(\begin{cases} x-y=3 \\ 2x+0,5y=4 \end{cases}\) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie:
Azbiór pusty
Bdokładnie jeden punkt
Cdokładnie dwa różne punkty
Dzbiór nieskończony
Krok 1. Doprowadzenie równań do postaci \(y=ax+b\).
Zadanie brzmi dość skomplikowanie, ale tak naprawdę polega na tym by określić ile punktów wspólnych będą mieć te dwie proste. Aby to określić, potrzebujemy je zapisać w postaci \(y=ax+b\).
\begin{cases} x-y=3 \quad\bigg/-x \\ 2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}\begin{cases} -y=3-x \quad\bigg/\cdot(-1) \\ 2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}\begin{cases} y=-3+x \\ 4x+y=8 \quad\bigg/-4x \end{cases}\begin{cases} y=x-3 \\ y=-4x+8 \end{cases}
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Obydwie proste mają różne współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza ma \(a=1\), druga \(a=-4\). To oznacza, że te dwie proste mają tylko jeden wspólny punkt przecięcia.
Zadanie nr 31 · Matura 2015
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.
Krok 1. Stworzenie układu równań.
Oznaczmy sobie nasz poszukiwany ułamek jako \(\frac{x}{y}\). Na podstawie treści zadania możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases} \frac{x+\frac{1}{2}x}{y+\frac{1}{2}x}=\frac{4}{7} \\ \frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2} \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Układ możemy próbować rozwiązać na wiele sposobów, ale chyba najprościej będzie zacząć od mnożenia na krzyż w pierwszym i drugim równaniu.
\begin{cases} 7\cdot(x+\frac{1}{2}x)=4\cdot(y+\frac{1}{2}x) \\ 2\cdot(x+1)=1\cdot(y+1) \end{cases}\begin{cases} 7x+\frac{7}{2}x=4y+2x \quad\bigg/\cdot2 \\ 2x+2=y+1 \end{cases}\begin{cases} 14x+7x=8y+4x \\ 2x+1=y \quad\bigg/\cdot(-8) \end{cases}\begin{cases} 17x=8y \\ -16x-8=-8y \end{cases}
Dzięki sprytnemu pomnożeniu obu stron przez \(-8\) możemy teraz dodać do siebie obie strony równania i pozbyć się w ten sposób niewiadomej \(y\). Oczywiście można też byłoby zastosować tutaj metodę podstawiania i podstawić \(y=2x+1\) z drugiego równania do równania pierwszego. Finalnie uzyskamy ten sam efekt:
$$x-8=0$$
$$x=8$$
Krok 3. Obliczenie wartości mianownika poszukiwanego ułamka.
Znamy już wartość licznika (\(x=8\)), więc podstawmy go pod dowolnie wybrane równanie z układu równań i obliczmy w ten sposób niewiadomą \(y\):
$$17x=8y$$
$$17\cdot8=8y$$
$$y=17$$
To oznacza, że poszukiwanym ułamkiem jest \(\frac{8}{17}\).
Zadanie nr 28 · Próbny 2014
W klasie IA było trzy razy więcej chłopców niż dziewcząt. Pewnego dnia do klasy doszły dwie dziewczyny i wówczas liczba dziewcząt stanowiła \(30\%\) wszystkich osób w klasie. Oblicz, ile było chłopców i dziewcząt na początku.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
\(3x\) - liczba chłopców
\(x\) - liczba dziewcząt
\(x+3x=4x\) - liczba dzieci w klasie
\(x+2\) - liczba dziewcząt po dołączeniu dwóch dziewczyn
\(4x+2\) - liczba dzieci w klasie po dołączeniu dwóch dziewczyn
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że:
$$x+2=0,3\cdot(4x+2)$$
$$x+2=1,2x+0,6$$
$$-0,2x=-1,4$$
$$x=7$$
Krok 3. Zakończenie rozwiązania.
Otrzymany wynik \(x=7\) oznacza, że na początku było \(7\) dziewczyn, a tym samym chłopców było \(3x=3\cdot7=21\).
Zadanie nr 1 · Matura 2014
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
Wskaż ten układ.
A\(\begin{cases}y=x+1 \\ y=-2x+4\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=x-1 \\ y=2x+4\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x-1 \\ y=-2x+4\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=x+1 \\ y=2x+4\end{cases}\)
Wszystkie proste przedstawione są w postaci \(y=ax+b\), a naszym zadaniem jest tak naprawdę odczytanie z rysunku potrzebnych informacji i ustalenie poszczególnych współczynników \(a\) oraz \(b\).
Krok 1. Ustalenie wzoru pierwszej prostej (rosnącej).
Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom to pierwsza prosta jest przedstawiona w dwóch wariantach: \(y=x+1\) lub \(y=x-1\). Musimy więc tak naprawdę ustalić współczynnik \(b\) tej prostej i dowiedzieć się, czy jest on równy \(1\), czy \(-1\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu z osią \(Oy\) przetnie się wykres prostej. W naszym przypadku przeciął się on w punkcie \((0;1)\), a więc \(b=1\). To oznacza, że pierwsza prosta ma na pewno postać \(y=x+1\).
Krok 2. Ustalenie wzoru drugiej prostej (malejącej).
Druga prosta jest opisana w odpowiedziach na dwa sposoby: \(y=2x+4\) lub \(y=-2x+4\). To znaczy, że musimy tym razem zweryfikować wartość współczynnika \(a\) i stwierdzić, czy jest on równy \(2\), czy może \(-2\). Skoro prosta jest malejąca, to bez żadnych zbędnych obliczeń jesteśmy w stanie stwierdzić, że prosta jest malejąca, czyli \(a=-2\).
Przy okazji widzimy też, że współczynnik \(b=4\), bo prosta ta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;4)\), więc z całą pewnością wzorem tej prostej jest \(y=-2x+4\).
To oznacza, że poszukiwanym przez nas układem jest ten z pierwszej odpowiedzi.
Zadanie nr 12 · Egz. 8-kl. 2013
Ania ma w skarbonce \(99zł\) w monetach o nominałach \(2zł\) i \(5zł\). Monet dwuzłotowych jest \(2\) razy więcej niż pięciozłotowych. Jeżeli przez \(x\) oznaczymy liczbę monet pięciozłotowych, a przez \(y\) - liczbę monet dwuzłotowych, to podane zależności opisuje układ równań:
A\(\begin{cases}y=2x \\ 2x+5y=99\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=2x \\ 5x+2y=99\end{cases}\)
C\(\begin{cases}x=2y \\ 5x+2y=99\end{cases}\)
D\(\begin{cases}x=2y \\ 2x+5y=99\end{cases}\)
Krok 1. Wyznaczenie pierwszego równania.
Pierwsze równanie w każdym z przypadków jest związane z liczbą monet. Jeżeli monet dwuzłotowych (\(y\)) jest \(2\) razy więcej niż pięciozłotówek (\(x\)), to aby postawić znak równości między liczbą tych poszczególnych monet musielibyśmy zapisać, że \(y=2x\).
Uwaga: Jeżeli nie rozumiesz dlaczego odbywa się to w ten sposób, to można to pokazać na zwykłych liczbach. Załóżmy, że mamy \(10\) monet pięciozłotowych oraz \(5\) monet dwuzłotowych. Aby postawić znak równości między liczbą tych monet musimy te monety których mamy mniej pomnożyć przez \(2\), czyli zapisać że \(10=2\cdot5\).
Krok 2. Wyznaczenie drugiego równania.
Tym razem interesują nas wartości tych monet. \(X\) monet pięciozłotówek jest wartych \(5x\) złotych. \(Y\) monet dwuzłotowych jest wartych \(2y\) złotych. Razem mają te monety być warte \(99\) złotych, zatem zajdzie równanie:
$$5x+2y=99$$
To oznacza, że prawidłowy układ równań znalazł się w drugiej odpowiedzi.
Zadanie nr 4 · Matura 2013
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 3x-5y=0 \\ 2x-y=14 \end{cases}\) jest para liczb \((x,y)\) takich, że:
A\(x\lt0\) i \(y\lt0\)
B\(x\lt0\) i \(y\gt0\)
C\(x\gt0\) i \(y\lt0\)
D\(x\gt0\) i \(y\gt0\)
Najprostszym sposobem na poznanie odpowiedzi będzie po prostu rozwiązanie tego układu równań. Tu możemy zastosować dowolną metodę, ale najszybciej będzie chyba wymnożyć to drugie równanie przez \(-5\) i zastosować metodę przeciwnych współczynników:
\begin{cases} 3x-5y=0 \\ 2x-y=14 \quad\bigg/\cdot(-5) \end{cases}\begin{cases} 3x-5y=0 \\ -10x+5y=-70 \quad\bigg/\cdot(-5) \end{cases}
Teraz dodając równanie stronami otrzymamy:
$$-7x=-70$$
$$x=10$$
Znając wartość \(x=10\) możemy podstawić ją do jednego z równań, otrzymując w ten sposób wartość \(y\), zatem:
$$3\cdot10-5y=0$$
$$30=5y$$
$$y=6$$
Zarówno \(x\) jak i \(y\) wyszły nam dodatnie, tak więc prawidłowa jest odpowiedź czwarta.
Zadanie nr 6 · Matura 2013
Liczby rzeczywiste \(a, b, c\) spełniają warunki: \(a+b=3\), \(b+c=4\) i \(c+a=5\). Wtedy suma \(a+b+c\) jest równa:
A\(20\)
B\(6\)
C\(4\)
D\(1\)
Z treści zadania wynika, że możemy ułożyć następującą równość:
$$(a+b)+(b+c)+(c+a)=3+4+5$$
$$2a+2b+2c=12$$
$$2\cdot(a+b+c)=12$$
$$a+b+c=6$$
Zadanie nr 4 · Matura 2013
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 5x+3y=3 \\ 8x-6y=48 \end{cases}\) jest para liczb:
A\(x=-3\) i \(y=4\)
B\(x=-3\) i \(y=6\)
C\(x=3\) i \(y=-4\)
D\(x=9\) i \(y=4\)
Układ ten można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej jest chyba skorzystać z metody przeciwnych współczynników:
\begin{cases} 5x+3y=3 \quad\bigg/\cdot2 \\ 8x-6y=48 \end{cases}\begin{cases} 10x+6y=6 \\ 8x-6y=48 \end{cases}
Po dodaniu obu stron równania otrzymamy:
$$18x=54$$
$$x=3$$
W zasadzie w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, to \(x=3\) występuje tylko w jednej odpowiedzi. Nie mniej wyznaczmy jeszcze wartość \(y\).
Wartość \(y\) policzymy z dowolnie wybranego równania, podstawiając tam wyliczone przed chwilą \(x=3\), np.:
$$5x+3y=3$$
$$5\cdot3+3y=3$$
$$15+3y=3$$
$$3y=-12$$
$$y=-4$$
Zadanie nr 3 · Matura 2011
Rozwiązaniem układu równań: \(\begin{cases} x+3y=5 \\ 2x-y=3 \end{cases}\) jest:
A\(\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}\)
B\(\begin{cases}x=2 \\ y=-1\end{cases}\)
C\(\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}\)
D\(\begin{cases}x=1 \\ y=-2\end{cases}\)
To równanie możemy rozwiązać zarówno metodą podstawiania jak i przeciwnych współczynników. Prościej będzie tutaj chyba użyć tego drugiego sposobu, mnożąc najpierw obie strony drugiego równania przez \(3\).
\begin{cases} x+3y=5 \\ 2x-y=3 \quad\bigg/\cdot3 \end{cases}\begin{cases} x+3y=5 \\ 6x-3y=9 \end{cases}
Dodajemy to równanie stronami i otrzymujemy:
$$7x=14$$
$$x=2$$
Podstawiając wartość \(x=2\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(y\):
$$2+3y=5$$
$$3y=3$$
$$y=1$$
Rozwiązaniem jest więc para liczb: \(x=2\) oraz \(y=1\).
Zadanie nr 4 · Matura 2011
Układ równań \(\begin{cases} 4x+2y=10 \\ 6x+ay=15 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli:
A\(a=-1\)
B\(a=0\)
C\(a=2\)
D\(a=3\)
Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań to pierwsze i drugie równanie musimy doprowadzić do identycznej postaci, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy parametr \(a\):
\begin{cases} 4x+2y=10 \quad\bigg/\cdot1,5 \\ 6x+ay=15 \end{cases}\begin{cases} 6x+\color{blue}{3y}=15 \\ 6x+\color{blue}{ay}=15 \end{cases}
Skoro w pierwszym równaniu pojawiła nam się wartość \(3y\), to parametr \(a\) w drugim równaniu także musi być równy \(3\).
Zadanie nr 11 · Egz. 8-kl. 2010
Maksymalnie załadowane ciężarówki: jedna o nośności \(8t\), a druga \(12t\) przewiozły \(520t\) węgla, wykonując w sumie \(60\) kursów. Ułóż układ równań, który pozwoli obliczyć, ile kursów wykonała każda z ciężarówek.
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Aby zbudować układ równań musimy sobie wprowadzić proste oznaczenia:
\(x\) - liczba kursów małych ciężarówek
\(y\) - liczba kursów dużych ciężarówek
\(8\cdot x\) - liczba ton które przewiozą łącznie wszystkie duże ciężarówki
\(12\cdot y\) - liczba ton które przewiozą łącznie wszystkie duże ciężarówki
Krok 2. Zbudowanie układu równań.
Łącznie kursów ma być \(60\), więc pierwsze równanie będzie następujące:
$$x+y=60$$
Drugie równanie zbudujemy wykorzystując informację o ilości przewiezionych ton węgla. Łącznie przewieziono \(520\) ton, zatem zgodnie z naszymi oznaczeniami:
$$8x+12y=520$$
Nasz układ równań ma więc następującą postać:
$$\begin{cases} x+y=60 \\ 8x+12y=520 \end{cases}$$
Zadanie nr 34 · Matura 2010
Droga z miasta \(A\) do miasta \(B\) ma długość \(474km\). Samochód jadący z miasta \(A\) do miasta \(B\) wyrusza godzinę później niż samochód z miasta \(B\) do miasta \(A\). Samochody te spotykają się w odległości \(300km\) od miasta \(B\). Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta \(A\), liczona od chwili wyjazdu z \(A\) do momentu spotkania, była o \(17\frac{km}{h}\) mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z \(B\) do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Pierwszy samochód przejechał: \(474-300=174\) (kilometrów)
Drugi samochód przejechał: \(300\) (kilometrów)
Czas jazdy pierwszego samochodu: \(t_{1}=\frac{174}{v_{1}}\) (godzin)
Czas jazdy drugiego samochodu: \(t_{2}=\frac{300}{v_{2}}\) (godzin)
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Aby rozwiązać to zadanie musimy teraz powiązać ze sobą odpowiednie informacje i zapisać je w formie układu równań.
Do stworzenia pierwszego równania skorzystamy z informacji na temat prędkości obydwu pojazdów, bo choć nie znamy ich dokładnych wartości, to wiemy że:
$$v_{1}=v_{2}-17$$
Drugie równanie ułożymy wiedząc, że pierwszy samochód wyruszył godzinę później, zatem:
$$t_{1}+1=t_{2}$$
$$\frac{174}{v_{1}}+1=\frac{300}{v_{2}} \quad\bigg/\cdot v_{1}v_{2}$$
$$174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}$$
Z tych dwóch informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases} v_{1}=v_{2}-17 \\ 174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1} \end{cases}
Skoro \(v_{1}=v_{2}-17\), to podstawiając to do drugiego równania otrzymamy:
$$174v_{2}+(v_{2}-17)v_{2}=300(v_{2}-17)$$
$$174v_{2}+{v_{2}}^{2}-17v_{2}=300v_{2}-5100$$
$${v_{2}}^{2}-143v_{2}+5100=0$$
Krok 4. Obliczenie wszystkich możliwości uzyskiwanych prędkości.
Jeśli \(v_{2}=68\), to \(v_{1}=68-17=51\)
Jeśli \(v_{2}=75\), to \(v_{1}=75-17=58\)
Żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić, zatem obydwie możliwości są prawidłowe i takie też jest rozwiązanie naszego zadania.
Zadanie nr 2 · Matura 2009
Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona \(m\), a drugi \(n\) detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz \(m\) i \(n\).
Układ równań. Z planu (7 dni wspólnej pracy):
\(7(m+n)=980\), czyli \(m+n=140\).
W rzeczywistości pracowali: 1 dzień razem, a potem drugi rzemieślnik sam przez \(7-1+8=14\) dni:
\((m+n)+14n=980\), czyli \(m+15n=980\).
Rozwiązanie. Odejmując pierwsze równanie od drugiego:
\(14n=840\), skąd \(n=60\), a więc \(m=140-60=80\).
Sprawdzenie: pierwszego dnia wykonano 140 detali, pozostało 840; drugi rzemieślnik robił 60 dziennie, czyli potrzebował 14 dni. Łącznie 15 dni, czyli o 8 dni dłużej niż planowane 7. ✅
Odpowiedź: \(m=80\), \(n=60\).
Zadanie nr 10 · Egz. 8-kl. 2007
Rodzice Jacka kupili \(36\) butelek wody mineralnej o pojemnościach \(0,5\) litra i \(1,5\) litra. W sumie zakupili \(42\) litry wody. Przyjmij, że \(x\) oznacza liczbę butelek o pojemności \(0,5\) litra, \(y\) - liczbę butelek o pojemności \(1,5\) litra. Który układ równań umożliwi obliczenie, ile zakupiono mniejszych butelek wody mineralnej, a ile większych?
Krok 1. Ustalenie pierwszego równania.
Niech naszym pierwszym równaniem będzie to związane z ilością butelek. Z treści zadania wiemy, że butelek małych (\(x\)) oraz dużych (\(y\)) ma być łącznie \(36\), zatem pierwszym równaniem będzie na pewno:
$$x+y=36$$
W tym momencie możemy odrzucić odpowiedź A oraz D. Odpowiedzi B nie odrzucamy, bo tak naprawdę to pierwsze równanie \(x=36-y\) można przekształcić właśnie do postaci \(x+y=36\).
Krok 2. Ustalenie drugiego równania.
Drugie równanie będzie związane z pojemnością butelek. Z małych butelek mamy \(0,5\cdot x\) litrów wody. Z dużych butelek mamy \(1,5\cdot y\) litrów wody. Łącznie tych litrów ma być \(42\), zatem ułożymy równanie:
$$0,5x+1,5y=42$$
Takie równanie znalazło się właśnie w odpowiedzi drugiej i dlatego to drugi układ równań jest tym przez nas poszukiwanym.
Zadanie nr 16 · Matura
Dane jest równanie \(3x+4y-5=0\). Z którym z poniższych równań tworzy ono układ sprzeczny?
A\(6x+8y-10=0\)
B\(4x-3y+5=0\)
C\(9x+12y-10=0\)
D\(5x+4y-3=0\)
Układ jest sprzeczny, kiedy po rozwiązaniu układu otrzymamy nieprawdziwą równość np. \(1=2\). Równanie z treści zadania stworzy sprzeczny układ jedynie z trzecim równaniem:
\begin{cases} 3x+4y-5=0 \quad\bigg/\cdot3 \\ 9x+12y-10=0 \end{cases}\begin{cases} 9x+12y-15=0 \\ 9x+12y-10=0 \end{cases}
Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-15-(-10)=0$$
$$-15+10=0$$
$$-5=0$$
Otrzymany wynik świadczy o sprzeczności układu.
Warto też dodać, że nasze równanie stworzyłoby z równaniem z pierwszej odpowiedzi układ tożsamościowy, czyli taki w którym rozwiązaniem będzie każda liczba rzeczywista.
Zadanie nr 19 · Matura
Niech \(\frac{m}{n}\) będzie ułamkiem nieskracalnym. Jeśli do licznika dodamy \(6\), a do mianownika dodamy \(15\), jego wartość nie zmieni się. Oblicz liczby \(m\) i \(n\).
Skoro wartość licznika ma być powiększona o \(6\), a mianownika o \(15\) i całość daje w dalszym ciągu postać \(\frac{m}{n}\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{m+6}{n+15}=\frac{m}{n}$$
Obliczyliśmy wartość naszego ułamka, ale to jeszcze nie koniec. Z treści zadania wynika, że nasz ułamek jest nieskracalny, więc otrzymaną postać \(\frac{6}{15}\) musimy jeszcze skrócić, czyli:
$$\frac{m}{n}=\frac{2}{5}$$
Szukanymi liczbami będą więc \(m=2\) oraz \(n=5\).
Zadanie nr 20 · Matura
Dana jest liczba dwucyfrowa \(a\), w której suma cyfr jest równa \(14\). Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o \(18\) mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr. Oblicz liczbę \(a\).
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Zaczniemy od wprowadzenia oznaczeń dotyczących cyfr dziesiątek i jedności:
\(x\) - cyfra dziesiątek
\(y\) - cyfra jedności
Z treści wynika, że suma tych dwóch cyfr jest równa \(14\), zatem:
$$x+y=14$$
Spróbujmy teraz zapisać równanie opisujące naszą liczbę, bazując na oznaczeniach \(x\) oraz \(y\). Wbrew pozorom nie możemy zapisać, że \(a=xy\) lub \(a=x+y\). Tego typu liczby zapisujemy jako:
$$a=10\cdot x+y$$
Powyższy zapis jest standardowy w tego typu zadaniach, więc warto o nim pamiętać. Jeśli nie jest on zbyt zrozumiały (zwłaszcza to mnożenie przez \(10\)), to wystarczy sobie wyobrazić, że przykładowo dla \(x=5\) oraz \(y=8\) otrzymamy liczbę \(a=5\cdot10+8=58\).
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że przy zamianie cyfr (czyli gdy będziemy mieli liczbę \(10y+x\)) powstanie liczba o \(18\) mniejsza, zatem:
$$10y+x=10x+y-18$$
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Bazując na równaniach zapisanych w poprzednim kroku, możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases} x+y=14 \\ 10y+x=10x+y-18 \end{cases}
Najprościej będzie skorzystać z metody podstawiania. Wyznaczmy więc wartość \(x\) z pierwszego równania i przy okazji uporządkujmy to drugie równanie:
\begin{cases} x=14-y \\ -9x+9y=-18 \quad\bigg/:(-9) \end{cases}
\begin{cases} x=14-y \\ x-y=2 \end{cases}
Teraz podstawiając pierwsze równanie do drugiego, otrzymamy:
$$14-y-y=2$$
$$-2y=-12$$
$$y=6$$
Znamy już wartość jednej z cyfr, więc musimy jeszcze obliczyć drugą. W tym celu wystarczy podstawić obliczone \(y=6\) do jednego z równań np. \(x=14-y\), otrzymując:
$$x=14-6$$
$$x=8$$
To oznacza, że nasza liczba \(a\) jest równa:
$$a=8\cdot10+6$$
$$a=80+6$$
$$a=86$$
Zadanie nr 21 · Matura
Pies goni lisa. Początkowa odległość między zwierzętami równa była \(30 m\). Długość każdego skoku psa jest równa \(2 m\), długość każdego skoku lisa jest równa \(1 m\). W czasie, w którym lis wykonuje trzy skoki, pies skacze dwa razy. Oblicz dystans, po przebiegnięciu którego pies dogoni lisa.
To zadanie można rozwiązać układając odpowiednie równania, ale można też podejść do tematu nieco sprytniej. Wiemy, że na trzy skoki lisa przypadają dwa skoki psa. Rozpisując to, otrzymamy następującą sytuację:
· Skok lisa ma \(1m\), więc trzy skoki dają dystans \(3\cdot1m=3m\).
· Skok psa ma \(2m\), więc dwa skoki dają dystans \(2\cdot2m=4m\).
Można więc przyjąć, że w trakcie jednego cyklu, pies dogoni lisa na \(1m\). Do dogonienia ma on dystans \(30m\), więc będzie potrzebował \(30\) cykli. Skoro więc każdy cykl psa to trasa o długości \(4m\), to cały dystans będzie równy \(30\cdot4m=120m\).
Zadanie nr 22 · Matura
Suma liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) równa jest \(527\). Wiemy, że \(8\%\) liczby \(a\) jest równe \(7,5\%\) liczby \(b\). Oblicz liczby \(a\) i \(b\).
Krok 1. Zapisanie równań.
Skoro suma liczb \(a\) i \(b\) równa jest \(527\), to możemy ułożyć proste równanie:
$$a+b=527$$
Dodatkowo z treści zadania wynika, że \(8\%\) liczby \(a\), jest równe \(7,5\%\) liczby \(b\), czyli:
$$0,08a=0,075b$$
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z tych dwóch otrzymanych równań musimy teraz ułożyć układ równań:
\begin{cases} a+b=527 \\ 0,08a=0,075b \end{cases}
Układ możemy rozwiązać na różne sposoby, najlepiej będzie chyba zastosować metodę podstawiania. W tym celu musimy przekształcić pierwsze równanie i podstawić je do drugiego, zatem:
\begin{cases} a=527-b \\ 0,08a=0,075b \end{cases}
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego, otrzymamy:
$$0,08\cdot(527-b)=0,075b$$
$$42,16-0,08b=0,075b$$
$$0,155b=42,16$$
$$b=272$$
Znamy już wartość jednej liczby, musimy jeszcze poznać brakującą liczbę \(a\). W tym celu wystarczy podstawić obliczone przed chwilą \(b=272\) np. do równania \(a=527-b\), otrzymując:
$$a=527-272=255$$
Rozwiązaniem zadania jest więc para liczb: \(a=255\) oraz \(b=272\).
Krok 1. Rozwiązanie układu równań.
Tym razem mamy układ równań, w którym jedno z równań jest równaniem kwadratowym. To generalnie nie zmienia istoty sprawy i rozwiązujemy ten układ w standardowy sposób. W tym przypadku, najprościej byłoby skorzystać z metody podstawiania, przekształcając odpowiednio drugie równanie, zatem:
\begin{cases} x^2+y^2-4x+4y-17=0 \\ y=2x-1 \end{cases}
Podstawiając teraz drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$x^2+(2x-1)^2-4x+4\cdot(2x-1)-17=0$$
$$x^2+4x^2-4x+1-4x+8x-4-17=0$$
$$5x^2-20=0 \quad\bigg/:5$$
$$x^2-4=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego i zakończenie rozwiązywania układu równań.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. To równanie jest na tyle proste, że damy radę obliczyć je bez wyznaczania delty, zatem:
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Jak to standardowo bywa w równaniach kwadratowych, otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa te rozwiązania są jak najbardziej poprawne. Teraz musimy wyznaczyć wartość \(y\), korzystając np. z równania \(y=2x-1\). Z racji tego, iż mamy dwie różne wartości \(x\), to musimy sprawdzić jaki wynik osiągniemy gdy podstawimy \(x=2\) i jaki, gdy podstawimy \(x=-2\), zatem:
Gdy \(x=2\), to:
$$y=2\cdot2-1$$
$$y=4-1$$
$$y=3$$
Gdy \(x=-2\), to:
$$y=2\cdot(-2)-1$$
$$y=-4-1$$
$$y=-5$$
To oznacza, że rozwiązaniem tego układu równań są dwie pary liczb: \(\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}\) oraz \(\begin{cases}x=-2 \\ y=-5\end{cases}\)
📘Teoria 1
Układy równań liniowych
Czym jest układ równań
To dwa (lub więcej) równania rozpatrywane jednocześnie. Rozwiązaniem jest para $(x,y)$ spełniająca oba równania naraz.
Metoda podstawiania
Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i wstawiamy do drugiego:
Schemat: oznacz niewiadome, zapisz dwa warunki jako równania, rozwiąż układ, sprawdź wynik w treści zadania. Klasyczny przykład: suma dwóch liczb wynosi $20$, różnica $4$ — dodanie równań daje $2x=24$.
Na co uważać
Przed porównywaniem proporcji uporządkuj oba równania do postaci $ax+by=c$. Porównywanie współczynników z równań zapisanych w różnych postaciach prowadzi do błędnych wniosków o liczbie rozwiązań.
Geometrycznie: obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy, ale różne wyrazy wolne — są równoległe i różne, więc nie mają punktu wspólnego. Taki układ nazywamy sprzecznym.
Układ dwóch równań liniowych jest sprzeczny. Co to oznacza geometrycznie?
Aproste są równoległe i różne
Bproste przecinają się w jednym punkcie
Cproste pokrywają się
Dproste są prostopadłe
Rozwiązaniem układu jest punkt wspólny prostych. Brak rozwiązań oznacza brak punktu wspólnego, a to zdarza się tylko dla prostych równoległych i różnych.
Pełne zestawienie:
jedno rozwiązanie — proste przecinają się (układ oznaczony)
brak rozwiązań — proste równoległe różne (układ sprzeczny)
nieskończenie wiele — proste pokrywają się (układ nieoznaczony)
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 14
Motorówka płynie z prądem rzeki $30$ km w $2$ godziny, a pod prąd tę samą trasę pokonuje w $3$ godziny. Oblicz prędkość własną motorówki i prędkość prądu rzeki.
Krok 1 — oznaczenia. Niech $v$ to prędkość własna motorówki, a $p$ prędkość prądu.
Z prądem prędkości się dodają, pod prąd — odejmują:
Metoda 2 — sprawdzenie odpowiedzi. Dla $x=2$, $y=3$: $2\cdot2-3=1$ ✔ oraz $2+2\cdot3=8$ ✔
Uwaga: para musi spełniać oba równania. Odpowiedź A spełnia pierwsze ($2-1=1$), ale nie drugie ($1+2=3\neq8$).
Odpowiedź: C. $x=2$, $y=3$.
Zadanie nr 17
Bilet normalny kosztuje $x$ zł, a ulgowy $y$ zł. Za $4$ bilety normalne i $3$ ulgowe zapłacono $97$ zł, a za $2$ normalne i $5$ ulgowych — $87$ zł. Ile kosztuje każdy rodzaj biletu?
Sprawdzenie zawartości: $0{,}2\cdot8+0{,}5\cdot4=1{,}6+2=3{,}6$ litra owoców, czyli $\frac{3{,}6}{12}=30\%$ ✔
Kontrola sensu: wynik $30\%$ leży między $20\%$ a $50\%$, bliżej dolnej wartości — i rzeczywiście słabszego soku wzięliśmy więcej.
Odpowiedź: $8$ litrów soku $20\%$ i $4$ litry soku $50\%$.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
