Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie na mnożenie — to czyni go głównym narzędziem przy równaniach wykładniczych.
$\log x$ to logarytm dziesiętny (podstawa $10$), a $\ln x$ — naturalny (podstawa $e\approx2{,}718$).
Na co uważać
Nie istnieje wzór na $\log_a(x+y)$. W równaniach logarytmicznych zawsze zaczynaj od wyznaczenia dziedziny — argument musi być dodatni, co zwykle eliminuje część formalnie otrzymanych rozwiązań.
Logarytm dziesiętny mówi, ile zer ma potęga dziesiątki.
Odpowiedź: A. $3$.
Zadanie nr 5
W skali logarytmicznej (o podstawie $10$) jaką „odległość" mają liczby $10$ i $1000$?
W skali logarytmicznej odległość odpowiada różnicy logarytmów:
$$\log_{10}1000-\log_{10}10=3-1=2$$
Interpretacja: $1000$ jest o dwie „dekady" dalej niż $10$ — mnożenie przez $10$ przesuwa o jedną jednostkę skali.
Odpowiedź: $2$ jednostki.
Zadanie nr 6
Ile dzielników ma liczba $12$?
A$3$
B$4$
C$5$
D$6$
Dzielniki $12$: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$ — sześć.
Ze wzoru: $12=2^2\cdot3$, liczba dzielników to $(2+1)(1+1)=6$.
Odpowiedź: D. $6$.
Zadanie nr 7
Ile dzielników ma liczba $72$? Skorzystaj z rozkładu na czynniki pierwsze.
Krok 1 — rozkład:
$$72=2^3\cdot3^2$$
Krok 2 — wzór na liczbę dzielników. Do każdego wykładnika dodajemy $1$ i mnożymy:
$$(3+1)(2+1)=4\cdot3=12$$
Dlaczego wzór działa: każdy dzielnik ma postać $2^a\cdot3^b$, gdzie $a\in\{0,1,2,3\}$ i $b\in\{0,1,2\}$ — stąd $4\cdot3$ kombinacji.
Odpowiedź: $12$ dzielników.
Zadanie nr 8
Oblicz $\log_{10}0{,}001$.
Krok 1 — zapisujemy jako potęgę dziesiątki:
$$0{,}001=10^{-3}$$
Krok 2 — logarytm:
$$\log_{10}10^{-3}=-3$$
Uwaga: logarytm liczby mniejszej od $1$ (ale dodatniej) jest ujemny.
Odpowiedź: $-3$.
Zadanie nr 9
Liczba $2^{10}=1024$. Ile wynosi $\log_2 1024$?
A$100$
B$10$
C$2$
D$1024$
$$\log_2 1024=\log_2 2^{10}=10$$
Odpowiedź: B. $10$.
Zadanie nr 10
Skala Richtera jest logarytmiczna. Trzęsienie o magnitudzie $6$ ma amplitudę $10$ razy większą niż o magnitudzie $5$. Ile razy większa jest amplituda przy magnitudzie $8$ niż $5$?
Zasada skali logarytmicznej. Wzrost magnitudy o $1$ oznacza $10$-krotny wzrost amplitudy.
Krok 1 — różnica magnitud:
$$8-5=3$$
Krok 2 — mnożnik amplitudy:
$$10^3=1000$$
Interpretacja. Trzęsienie o magnitudzie $8$ ma amplitudę $1000$ razy większą niż o magnitudzie $5$ — to potęga skali logarytmicznej: małe liczby opisują ogromne różnice.
Odpowiedź: $1000$ razy.
Zadanie nr 11
Która para liczb jest względnie pierwsza (NWD$=1$)?
A$8$ i $9$
B$6$ i $9$
C$4$ i $8$
D$10$ i $15$
Liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych dzielników poza $1$.
$$\text{NWD}(8,9)=1$$
Pozostałe pary mają wspólny dzielnik: $6,9\to3$; $4,8\to4$; $10,15\to5$.
Odpowiedź: A. $8$ i $9$.
Zadanie nr 12
Oblicz $\log_{10}100+\log_{10}10$.
Sposób 1 — osobno:
$$2+1=3$$
Sposób 2 — logarytm iloczynu:
$$\log_{10}(100\cdot10)=\log_{10}1000=3$$
Odpowiedź: $3$.
Zadanie nr 13
Znajdź najmniejszą liczbę naturalną większą od $1$, która dzieli się przez $2$, $3$ i $5$.
Krok 1 — szukamy NWW. Liczby $2$, $3$, $5$ są parami względnie pierwsze:
$$\text{NWW}=2\cdot3\cdot5=30$$
Krok 2 — sprawdzenie. $30$ dzieli się przez $2$ ($30:2=15$), przez $3$ ($30:3=10$) i przez $5$ ($30:5=6$) ✔
Odpowiedź: $30$.
Zadanie nr 14
Ile wynosi $\log_{10}1$?
A$10$
B$1$
C$0$
Dnieokreślone
Logarytm z jedynki zawsze wynosi zero, bo $10^0=1$:
$$\log_{10}1=0$$
Odpowiedź: C. $0$.
Zadanie nr 15
Ile jest liczb pierwszych mniejszych od $20$? Wypisz je.
Wypisujemy liczby pierwsze po kolei:
$$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19$$
Jest ich osiem.
Uwaga: $2$ to jedyna parzysta liczba pierwsza; $1$ nie jest pierwsza.
Odpowiedź: $8$ liczb.
Zadanie nr 16
W skali logarytmicznej równe odstępy odpowiadają:
Arównym różnicom
Brównym ilorazom (mnożeniu przez tę samą liczbę)
Cliczbom pierwszym
Dliczbom parzystym
Na skali logarytmicznej odległość odpowiada logarytmowi, a logarytm zamienia mnożenie na dodawanie. Dlatego równe odstępy oznaczają mnożenie przez stały czynnik (równe ilorazy).
Przykład: $1,\ 10,\ 100,\ 1000$ są równoodległe — każda kolejna to poprzednia razy $10$.
Odpowiedź: B. równym ilorazom.
Zadanie nr 17
Liczba ma rozkład $N=2^4\cdot3^2\cdot5$. Ile ma dzielników i ile z nich jest parzystych?
Krok 1 — liczba wszystkich dzielników:
$$(4+1)(2+1)(1+1)=5\cdot3\cdot2=30$$
Krok 2 — dzielniki nieparzyste. To te bez czynnika $2$, czyli postaci $3^b\cdot5^c$:
$$(2+1)(1+1)=3\cdot2=6$$
Krok 3 — dzielniki parzyste to reszta:
$$30-6=24$$
Metoda. Dzielnik jest parzysty, gdy zawiera co najmniej jedną dwójkę — łatwiej policzyć nieparzyste (bez dwójek) i odjąć.
Odpowiedź: $30$ dzielników, w tym $24$ parzyste.
Zadanie nr 18
pH roztworu to $-\log_{10}[\text{H}^+]$, gdzie $[\text{H}^+]$ to stężenie jonów wodoru. Oblicz pH roztworu o stężeniu $[\text{H}^+]=10^{-4}$.
Krok 1 — podstawiamy do wzoru:
$$\text{pH}=-\log_{10}10^{-4}$$
Krok 2 — obliczamy logarytm:
$$\log_{10}10^{-4}=-4$$
Krok 3 — z minusem z przodu:
$$\text{pH}=-(-4)=4$$
Interpretacja. pH to praktyczne zastosowanie skali logarytmicznej w chemii — stężenie zmieniające się o rzędy wielkości opisujemy liczbami z zakresu $0$–$14$.
Odpowiedź: pH $=4$ (roztwór kwaśny).
Zadanie nr 19
Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze parzysty.
Krok 1 — obserwacja. Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych $n$ i $n+1$ jedna jest parzysta, a druga nieparzysta.
Krok 2 — rozumowanie. Iloczyn zawierający czynnik parzysty jest parzysty, bo dzieli się przez $2$.
Krok 3 — formalnie. Jeśli $n$ jest parzyste, to $n=2k$ i $n(n+1)=2k(n+1)$ — podzielne przez $2$. Jeśli $n$ nieparzyste, to $n+1$ parzyste, $n+1=2m$ i $n(n+1)=2mn$ — też podzielne przez $2$. $\qquad ∎$
Wykaż, że jeśli liczba naturalna dzieli się przez $9$, to suma jej cyfr również dzieli się przez $9$ (na przykładzie liczby trzycyfrowej).
Krok 1 — zapis liczby trzycyfrowej. Liczba o cyfrach $a$, $b$, $c$ to:
$$N=100a+10b+c$$
Krok 2 — rozbijamy na część podzielną przez $9$ i sumę cyfr:
$$N=(99a+9b)+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)$$
Krok 3 — wnioskowanie. Składnik $9(11a+b)$ zawsze dzieli się przez $9$. Zatem $N$ dzieli się przez $9$ dokładnie wtedy, gdy dzieli się przez $9$ pozostała część, czyli suma cyfr $a+b+c$. $\qquad ∎$
Uogólnienie. To samo rozumowanie działa dla dowolnej liczby cyfr — bo $10^k$ zawsze daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $9$. Stąd znana cecha podzielności przez $9$.
Sprawdzenie: $531$ dzieli się przez $9$, a $5+3+1=9$ też ✔
Zadanie nr 1
Która z liczb jest niewymierna?
A$\frac{2}{3}$
B$\sqrt{16}$
C$\sqrt{2}$
D$0{,}25$
Liczba wymierna to taka, którą da się zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych.
$$\sqrt{16}=4,\qquad 0{,}25=\frac14$$
Obie są wymierne. Natomiast $\sqrt2$ nie da się zapisać jako ułamek — jego rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
Odpowiedź: C. $\sqrt2$.
Zadanie nr 2
Zamień $\frac{3}{8}$ na ułamek dziesiętny i określ rodzaj rozwinięcia.
Dzielimy:
$$\frac{3}{8}=0{,}375$$
Rozwinięcie jest skończone.
Dlaczego: mianownik $8=2^3$ zawiera tylko dwójki, a takie ułamki zawsze mają rozwinięcie skończone.
Odpowiedź: $0{,}375$ — rozwinięcie skończone.
Zadanie nr 3
Zamień $\frac{1}{3}$ oraz $\frac{5}{11}$ na ułamki dziesiętne.
$$\frac13=0{,}(3)=0{,}333\ldots$$
$$\frac{5}{11}=0{,}(45)=0{,}454545\ldots$$
Oba rozwinięcia są nieskończone okresowe — nawias oznacza powtarzający się okres.
Odpowiedź: $0{,}(3)$ oraz $0{,}(45)$.
Zadanie nr 4
Ułamek $\frac{7}{40}$ ma rozwinięcie dziesiętne:
Askończone
Bnieskończone okresowe
Cnieskończone nieokresowe
Dnie da się zamienić
Krok 1 — rozkładamy mianownik:
$$40=2^3\cdot5$$
Krok 2 — stosujemy kryterium. Ułamek nieskracalny ma rozwinięcie skończone dokładnie wtedy, gdy w rozkładzie mianownika występują wyłącznie dwójki i piątki.
Sprawdzenie: $\frac{7}{40}=0{,}175$ ✔
Odpowiedź: A. skończone.
Zadanie nr 5
Podaj przykład liczby niewymiernej większej od $3$ i mniejszej od $4$.
Najprościej sięgnąć po pierwiastek:
$$\sqrt{10}\approx3{,}16$$
Ponieważ $9\lt 10\lt 16$, mamy $3\lt \sqrt{10}\lt 4$ ✔
Inne przykłady: $\sqrt{11}$, $\sqrt{15}$, a także $\pi$, bo $\pi\approx3{,}14$.
Odpowiedź: np. $\sqrt{10}$.
Zadanie nr 6
Ile wynosi $\sqrt2\cdot\sqrt8$?
A$\sqrt{10}$
B$4$
C$16$
D$2\sqrt2$
Korzystamy z własności pierwiastków:
$$\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{16}=4$$
Ciekawy wniosek: iloczyn dwóch liczb niewymiernych może być liczbą wymierną — a nawet naturalną.
Uwaga: $\sqrt2\cdot\sqrt8\neq\sqrt{10}$ — pierwiastki mnożymy, a nie dodajemy pod pierwiastkiem.
Odpowiedź: B. $4$.
Zadanie nr 7
Zamień ułamek okresowy $0{,}(6)$ na ułamek zwykły.
Krok 1 — oznaczamy:
$$x=0{,}666\ldots$$
Krok 2 — mnożymy przez $10$ (okres ma jedną cyfrę):
$$10x=6{,}666\ldots$$
Krok 3 — odejmujemy stronami. Nieskończone ogony się skracają:
$$10x-x=6 \quad\Rightarrow\quad 9x=6$$
Krok 4 — wynik:
$$x=\frac69=\frac23$$
Sprawdzenie: $2:3=0{,}666\ldots$ ✔
Odpowiedź: $\frac23$.
Zadanie nr 8
Usuń niewymierność z mianownika: $\dfrac{6}{\sqrt3}$.
Krok 1 — mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt3$:
Uwaga na częste nieporozumienie. Ułamek $\frac{22}{7}$ bywa używany jako przybliżenie liczby $\pi$, ale to dwie różne liczby: jedna wymierna, druga nie.
Odpowiedź: wymierne są $\sqrt{49}$ oraz $\frac{22}{7}$.
Zadanie nr 16
Pierwiastek $\sqrt{n}$ jest liczbą wymierną wtedy, gdy:
A$n$ jest liczbą parzystą
B$n$ jest kwadratem liczby całkowitej
C$n$ jest liczbą pierwszą
Dzawsze
Pierwiastek z liczby naturalnej jest wymierny tylko wtedy, gdy wychodzi liczba całkowita:
Kontrola liczbowa: $\sqrt7\approx2{,}646$ i $\sqrt3\approx1{,}732$, więc wynik to około $4{,}378$. Wyrażenie wyjściowe: $\frac{4}{0{,}914}\approx4{,}38$ ✔
Odpowiedź: $\sqrt7+\sqrt3$.
Zadanie nr 18
Zamień $2{,}1(3)$ na ułamek zwykły.
Krok 1 — oznaczamy:
$$x=2{,}1333\ldots$$
Krok 2 — przesuwamy przecinek przed okres. Przed okresem stoi jedna cyfra, więc mnożymy przez $10$:
$$10x=21{,}333\ldots$$
Krok 3 — przesuwamy o cały okres. Okres ma jedną cyfrę, więc mnożymy przez $100$:
$$100x=213{,}333\ldots$$
Krok 4 — odejmujemy stronami:
$$100x-10x=213-21 \quad\Rightarrow\quad 90x=192$$
Krok 5 — skracamy przez $6$:
$$x=\frac{192}{90}=\frac{32}{15}$$
Sprawdzenie: $32:15=2{,}1333\ldots$ ✔
Odpowiedź: $\frac{32}{15}$.
Zadanie nr 19
Podaj przykład dwóch liczb niewymiernych, których suma jest wymierna, oraz dwóch, których suma jest niewymierna.
Suma wymierna. Bierzemy liczby przeciwne:
$$\sqrt2+\left(-\sqrt2\right)=0$$
Inny przykład: $\left(3+\sqrt5\right)+\left(3-\sqrt5\right)=6$ — obie składowe są niewymierne, a suma naturalna.
Suma niewymierna:
$$\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2\approx2{,}83$$
Wniosek metodyczny. Zbiór liczb niewymiernych nie jest zamknięty na dodawanie — w odróżnieniu od zbioru liczb wymiernych, gdzie suma dwóch elementów zawsze pozostaje w zbiorze.
Odpowiedź: np. $\sqrt2$ i $-\sqrt2$ (suma $0$) oraz $\sqrt2$ i $\sqrt2$ (suma $2\sqrt2$).
Zadanie nr 20
Wykaż, że liczba $\sqrt2$ jest niewymierna.
Krok 1 — założenie nie wprost. Przypuśćmy, że $\sqrt2$ jest wymierna. Wtedy można ją zapisać jako ułamek nieskracalny:
Krok 5 — wniosek o $q$. Tym samym rozumowaniem $q$ też jest parzyste.
Krok 6 — sprzeczność. Skoro $p$ i $q$ są parzyste, ułamek $\frac{p}{q}$ da się skrócić przez $2$ — a założyliśmy, że jest nieskracalny. Otrzymana sprzeczność obala założenie. $\qquad ∎$
Uwaga historyczna. To jeden z najstarszych znanych dowodów nie wprost. Odkrycie liczb niewymiernych podważyło przekonanie pitagorejczyków, że każdą wielkość da się wyrazić stosunkiem liczb całkowitych — a $\sqrt2$ to przecież przekątna kwadratu o boku $1$.
Zadanie nr 1
Liczba dzieli się przez $3$, gdy:
Aostatnia cyfra jest parzysta
Bsuma cyfr dzieli się przez $3$
Ckończy się na $0$
Djest nieparzysta
Cecha podzielności przez $3$: suma cyfr liczby musi być podzielna przez $3$.
Przykład: $531$ — suma cyfr $5+3+1=9$, dzieli się przez $3$ ✔
Odpowiedź: B. suma cyfr dzieli się przez $3$.
Zadanie nr 2
Sprawdź, czy liczba $4128$ dzieli się przez $4$.
Cecha podzielności przez $4$: dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$:
$$28:4=7$$
Skoro $28$ dzieli się przez $4$, to cała liczba $4128$ też.
Odpowiedź: tak, dzieli się przez $4$.
Zadanie nr 3
Liczba $\pi$ jest liczbą:
Aniewymierną
Bwymierną
Ccałkowitą
Dnaturalną
$\pi$ ma nieskończone, nieokresowe rozwinięcie dziesiętne, więc jest niewymierna:
$$\pi=3{,}14159\ldots$$
Odpowiedź: A. niewymierną.
Zadanie nr 4
Oblicz długość okręgu o promieniu $7$. Przyjmij $\pi\approx\frac{22}{7}$.
$$L=2\pi r=2\cdot\frac{22}{7}\cdot7=44$$
Dlaczego $\frac{22}{7}$: promień $7$ skraca się z mianownikiem, dając okrągły wynik.
Odpowiedź: $L=44$.
Zadanie nr 5
Które rozwinięcie dziesiętne ma liczba wymierna?
Azawsze skończone
Bzawsze nieskończone
Cskończone albo nieskończone okresowe
Dnieskończone nieokresowe
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone (np. $0{,}25$) albo nieskończone okresowe (np. $0{,}(3)$).
Rozwinięcie nieokresowe mają tylko liczby niewymierne.
Odpowiedź: C. skończone albo nieskończone okresowe.
Zadanie nr 6
Czy liczba $2520$ dzieli się przez $9$?
Suma cyfr:
$$2+5+2+0=9$$
Skoro $9$ dzieli się przez $9$, to liczba $2520$ też.
Odpowiedź: tak, dzieli się przez $9$.
Zadanie nr 7
Zamień ułamek okresowy $0{,}(7)$ na ułamek zwykły.
Wniosek. Zatem $0{,}(9)=1$ — to nie przybliżenie, lecz dokładna równość. $\qquad ∎$
Interpretacja. Ta sama liczba może mieć dwa zapisy dziesiętne: $1{,}000\ldots$ oraz $0{,}999\ldots$ To słynny, zaskakujący wynik, ale w pełni poprawny.
Zadanie nr 19
Dla jakiej cyfry $c$ liczba $\overline{4c2}$ (trzycyfrowa) dzieli się przez $3$? Podaj wszystkie możliwości.
Krok 1 — cecha podzielności przez $3$. Suma cyfr:
$$4+c+2=6+c$$
Krok 2 — warunek. $6+c$ musi dzielić się przez $3$. Ponieważ $6$ już się dzieli, $c$ też musi być podzielne przez $3$:
$$c\in\{0,\ 3,\ 6,\ 9\}$$
Krok 3 — sprawdzenie. Np. $c=3$: liczba $432$, suma cyfr $9$ ✔; $c=6$: $462$, suma $12$ ✔
Odpowiedź: $c\in\{0,\ 3,\ 6,\ 9\}$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $3$, korzystając z cechy podzielności lub algebry.
Sposób algebraiczny. Trzy kolejne liczby to $n$, $n+1$, $n+2$. Ich suma:
$$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$$
Suma jest iloczynem $3$ i liczby naturalnej, więc dzieli się przez $3$. $\qquad ∎$
Wniosek dodatkowy. Iloraz to $n+1$ — środkowa z trzech liczb. Suma trzech kolejnych liczb to zawsze potrojona liczba środkowa.
Sprawdzenie: $10+11+12=33=3\cdot11$, a $11$ to liczba środkowa ✔
Zadanie nr 1
Oblicz $\log_2 32$.
A4
B5
C6
D16
Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść $2$, aby otrzymać $32$:
$$2^5=32 \quad\Rightarrow\quad \log_2 32=5$$
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 2
Oblicz $\log_3 9+\log_3 27$, korzystając z własności logarytmów.
Oblicz wartość wyrażenia $\log_2 8+\log_3 \frac{1}{9}-\log_5 1$.
Liczymy każdy składnik osobno:
$$\log_2 8=3 \qquad (2^3=8)$$
$$\log_3 \tfrac19=-2 \qquad (3^{-2}=\tfrac19)$$
$$\log_5 1=0$$
Suma:
$$3+(-2)-0=1$$
Odpowiedź: $1$.
Zadanie nr 14
Zapisz w postaci jednej potęgi: $\frac{2^7\cdot 2^{-3}}{2^2}$.
Licznik — przy mnożeniu wykładniki dodajemy:
$$2^7\cdot2^{-3}=2^{7-3}=2^4$$
Dzielenie — wykładniki odejmujemy:
$$\frac{2^4}{2^2}=2^{2}=4$$
Odpowiedź: $2^2=4$.
Zadanie nr 15
Wykaż, że liczba $\sqrt{12}+\sqrt{27}$ jest równa $5\sqrt{3}$.
Krok 1 — uprość każdy pierwiastek:
$$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3$$
$$\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3$$
Krok 2 — dodaj wyrazy podobne:
$$2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3$$
Wniosek: $\sqrt{12}+\sqrt{27}=5\sqrt3$. ∎
Uwaga: nie wolno napisać $\sqrt{12}+\sqrt{27}=\sqrt{39}$ — pierwiastek sumy nie równa się sumie pierwiastków.
Zadanie nr 16
Rozwinięcie dziesiętne liczby $\frac{1}{3}$ to:
A0,33 (skończone)
B0,(3) — nieskończone okresowe
Cnieskończone nieokresowe
D0,3
$$\frac13=0{,}333\ldots=0{,}(3)$$
Odpowiedź: B. Każda liczba wymierna ma rozwinięcie skończone albo nieskończone okresowe. Rozwinięcie nieskończone nieokresowe mają wyłącznie liczby niewymierne, np. $\pi$ czy $\sqrt2$.
Zadanie nr 17
Kapitał $5000$ zł ulokowano na $3\%$ w skali roku. Po ilu latach przekroczy $5500$ zł? Skorzystaj z tego, że $1{,}03^3\approx1{,}0927$ oraz $1{,}03^4\approx1{,}1255$.
Sprawdzenie liczbowe: z $\log_2 a=3$ wynika $a=8$, więc $4a=32$, a $\log_2 32=5$. ✔
📄Zadania z arkuszy 256
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu — pokazujemy 100 najnowszych z 256.
Zadanie nr 1 · Matura 2026
Liczba \(\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}\) jest równa:
A\(1\)
B\(2\)
C\(3\)
D\(4\)
Korzystając z własności pierwiastków (iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu) oraz z definicji potęgi o wykładniku ujemnym, otrzymamy:
$$\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot2}+\frac{1}{2}=$$
$$=\sqrt{\frac{25}{4}}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3$$
Zadanie nr 3 · Matura 2026
Liczba \(\sqrt{5\sqrt{5}}\) jest równa:
A\(5^{\frac{1}{4}}\)
B\(5^{\frac{1}{2}}\)
C\(5^{\frac{3}{4}}\)
D\(5\)
Krok 1. Zapisanie pierwiastków w postaci potęg.
$$\sqrt{5\sqrt{5}}=(5\cdot5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$$
Krok 2. Wykonanie działań na potęgach.
$$(5^1\cdot5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=(5^{1+\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=(5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}$$
Zadanie nr 4 · Matura 2026
Liczba \(\log_{8}4-\log_{8}32\) jest równa:
A\((-2)\)
B\((-1)\)
C\(1\)
D\(2\)
Krok 1. Zastosowanie wzoru na różnicę logarytmów.
Korzystając z własności działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$\log_{8}4-\log_{8}32=\log_{8}\left(\frac{4}{32}\right)=\log_{8}\left(\frac{1}{8}\right)$$
Krok 2. Obliczenie wartości logarytmu.
Musimy jeszcze obliczyć wartość otrzymanego logarytmu. Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy potęgi, do której należy podnieść \(8\), aby otrzymać \(\frac{1}{8}\), a skoro \(8^{-1}=\frac{1}{8}\), to w takim razie \(\log_{8}(\frac{1}{8})=-1\)
Zadanie nr 5 · Matura 2026
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Liczba naturalna \(4^{12}\cdot5^{24}\) jest podzielna przez \(20\).
P
F
Liczba naturalna \(4^{12}\cdot5^{24}\) jest w zapisie dziesiętnym liczbą \(25\)-cyfrową.
P
F
Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.
Korzystając z działań na potęgach, możemy rozpisać naszą liczbę w następujący sposób:
$$4^{12}\cdot5^{24}=(2^2)^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}$$
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego stwierdzenia.
Liczba \(10^{24}\) to jedynka i \(24\) zera. Możemy ją zapisać jako:
$$10^{24}=100\cdot10^{22}=20\cdot5\cdot10^{22}$$
Liczba ta jest wielokrotnością \(20\), więc jest przez nią podzielna. Zdanie jest więc prawdą.
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego stwierdzenia.
Liczba \(10^{24}\) składa się z cyfry jedynki oraz \(24\) zer, co łącznie daje \(25\) cyfr. Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie nr 7 · Matura 2026
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^2+21n\) jest podzielna przez \(14\).
Krok 2. Analiza podzielności.
Aby liczba była podzielna przez \(14\), musi być podzielna przez \(7\) oraz przez \(2\). Z postaci \(7n(n+3)\) od razu widać, że liczba ta jest wielokrotnością \(7\), więc dzieli się przez \(7\). Musimy jeszcze wykazać, że wyrażenie \(n(n+3)\) jest parzyste (podzielne przez \(2\)).
Rozpatrzmy dwa przypadki dla liczby całkowitej \(n\):
· jeśli \(n\) jest liczbą parzystą, to iloczyn \(n(n+3)\) jest parzysty, ponieważ mnożenie liczby parzystej przez dowolną liczbę całkowitą daje wynik parzysty.
· jeśli \(n\) jest liczbą nieparzystą, to liczba \((n+3)\) jest parzysta (suma dwóch liczb nieparzystych daje liczbę parzystą). Wtedy iloczyn \(n(n+3)\) również jest parzysty.
W obu przypadkach iloczyn \(n(n+3)\) jest liczbą parzystą, co oznacza, że można go zapisać jako \(2k\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą całkowitą. W takim razie całe wyrażenie przyjmuje postać:
$$7\cdot2k=14k$$
To kończy dowód, ponieważ liczba zapisana w postaci \(14k\) jest podzielna przez \(14\).
Zadanie nr 5 · Matura 2025
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $n^3+n^2+n$ jest podzielna przez $3$.
Dowód:
Niech $n$ będzie dowolną nieparzystą liczbą naturalną. Wyłączamy $n$ przed nawias:
$$n^3+n^2+n = n(n^2+n+1)$$
Rozpatrzemy trzy przypadki ze względu na resztę z dzielenia $n$ przez $3$:
Przypadek 1: $n \equiv 0 \pmod{3}$ — wtedy $n$ jest podzielne przez $3$, więc $n(n^2+n+1)$ jest podzielne przez $3$. ✓
Przypadek 2: $n \equiv 1 \pmod{3}$ — wtedy $n^2+n+1 \equiv 1+1+1 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$, więc czynnik $n^2+n+1$ jest podzielny przez $3$. ✓
Przypadek 3: $n \equiv 2 \pmod{3}$ — wtedy $n^2 \equiv 4 \equiv 1$, więc $n^2+n+1 \equiv 1+2+1 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$. Ale $n \equiv 2 \pmod 3$ jest nieparzyste — jednak ten przypadek wymaga osobnej uwagi... (W rzeczywistości dla n nieparzystych wśród reszty mod 3 mamy resztę 1 lub 2, a dla reszty 2: $n(n^2+n+1) = 2 \cdot 4 = 8 \equiv 2 \pmod 3$)
Uwaga: Dokładny dowód zależy od treści oryginalnego zadania — weryfikuj ze schematem oceniania CKE.
Zadanie nr 9 · Matura 2025
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 zł łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów A i B. W pierwszym półroczu oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 zł — zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.
Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.
Niech kwota przyznana zespołowi A wynosi $x$ zł, wtedy zespołowi B przyznano $(1\,200\,000 - x)$ zł.
Równanie z warunków zadania:
$$0{,}13x + 0{,}11(1\,200\,000 - x) = 146\,700$$
$$0{,}13x + 132\,000 - 0{,}11x = 146\,700$$
$$0{,}02x = 14\,700$$
$$x = 735\,000 \text{ zł}$$
Zespołowi A przyznano 735 000 zł.
Zadanie nr 1 · Matura 2025
Liczba \((\sqrt{32}-\sqrt{2})^2\) jest równa:
A\(16\)
B\(18\)
C\(30\)
D\(34\)
Do zadania można podejść na różne sposoby, nawet moglibyśmy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Jednak najprościej byłoby zauważyć, że \(\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}\). Tym samym nasze obliczenia wyglądałyby następująco:
$$(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2=(4\sqrt{2}-\sqrt{2})^2=$$
$$=(3\sqrt{2})^2=9\cdot2=18$$
Zadanie nr 2 · Matura 2025
Liczba \(\dfrac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa:
A\(30\)
B\(31\)
C\(5^{12}\)
D\(5^{27}\)
Z własności działań na potęgach wynika, że \(5^{13}\) oraz \(5^{14}\) możemy rozpisać w następujący sposób:
\(5^{13}=5^{12}\cdot5\)
\(5^{14}=5^{12}\cdot5^2=5^{12}\cdot25\)
W takim razie naszą liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=\frac{5^{12}+5^{12}\cdot5+5^{12}\cdot25}{5^{12}}=$$
$$=\frac{5^{12}}{5^{12}}+\frac{5^{12}\cdot5}{5^{12}}+\frac{5^{12}\cdot25}{5^{12}}=$$
$$=1+5+25=31$$
Zadanie nr 5 · Matura 2025
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej \(n\) liczba \(3n^2+2n+7\) jest podzielna przez \(4\).
Krok 1. Rozpisanie podanej liczby.
W algebrze liczby parzyste możemy zapisać jako \(2k\), a liczby nieparzyste jako \(2k+1\) (gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą). Podstawiając zatem wyrażenie \(2k+1\) do naszej liczby, otrzymamy:
$$3\cdot(2k+1)^2+2\cdot(2k+1)+7=$$
$$=3\cdot(4k^2+4k+1)+4k+2+7=$$
$$=12k^2+12k+3+4k+2+7=$$
$$=12k^2+16k+12=$$
$$=4\cdot(3k^2+4k+3)$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Wartość wyrażenia \(3k^2+4k+3\) jest dodatnia, a tym samym wyłączona czwórka przed nawias oznacza, że liczba jest jak najbardziej podzielna przez \(4\), co należało udowodnić.
Zadanie nr 2 · Matura 2024
Liczba \(\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}\) jest równa:
A\(2^{24}\)
B\(2^{16}\)
C\(2^{12}\)
D\(2^{8}\)
Aby uprościć ten zapis, musimy sprowadzić potęgi do jednakowej podstawy lub jednakowego wykładnika. W tym konkretnym przypadku mamy wybór, bo i jedna i druga opcja jest możliwa, ale spróbujmy może sprowadzić te liczby do jednakowej podstawy. W tym celu trzeba zauważyć, że \(\frac{1}{16}=2^{-4}\) natomiast \(8=2^3\). W takim razie, korzystając z działań na potęgach, otrzymamy:
$$\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}=\left(2^{-4}\right)^8\cdot\left(2^3\right)^{16}=$$
$$=2^{-32}\cdot2^{48}=2^{-32+48}=2^{16}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2024
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \(n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\) przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), możemy rozpisać naszą liczbę w następujący sposób:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=$$
$$=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=$$
$$=3n^2+6n+5$$
Teraz kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że liczbę \(5\) można rozbić na sumę \(3+2\), otrzymując:
$$3n^2+6n+3+2=$$
$$=3\cdot(n^2+2n+1)+2=$$
$$=3\cdot(n+1)^2+2$$
\((n+1)^2\) jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą. Otrzymany wynik oznacza więc, że liczba jest podzielna przez \(3\), a stojące na końcu \(+2\) pokazuje nam, że reszta z tego dzielenia będzie równa właśnie \(2\), co należało udowodnić.
Zadanie nr 4 · Matura 2024
Liczba \(log_{\sqrt{3}}9\) jest równa:
A\(2\)
B\(3\)
C\(4\)
D\(9\)
Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
Wiedząc, że \(\sqrt{3}=3^\frac{1}{2}\) oraz \(9=3^2\), otrzymamy:
$$\left(3^\frac{1}{2}\right)^x=3^2$$
$$3^{\frac{1}{2}x}=3^2$$
$$\frac{1}{2}x=2$$
$$x=4$$
Zadanie nr 2 · Matura 2023
Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2\) jest równa:
A\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(\frac{2}{3}\)
D\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)
Podane w treści zadania pierwiastki są jednakowego stopnia. To pozwala nam na skorzystanie z działań na pierwiastkach i rozpisanie całości w następujący sposób:
$$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2=\sqrt[3]{\left(-\frac{27}{16}\right)\cdot2}=$$
$$=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, liczbę z treści zadania możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=$$
$$=4n^2+4n=4n(n+1)$$
Nasz zapis moglibyśmy dla lepszego zobrazowania przedstawić nawet jako \(4\cdot n\cdot(n+1)\). W tym zapisie \(n\) oraz \(n+1\) to kolejne liczby naturalne, a wiemy, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez \(2\). Dodatkowo wyciągając czwórkę przed nawias udowodniliśmy, że liczba jest podzielna przez \(4\). Skoro zatem liczba da się rozłożyć na czynniki równe \(2\) oraz \(4\), to będzie też podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.
Zadanie nr 4 · Matura 2023
Liczba \(log_{9}27+log_{9}3\) jest równa:
A\(81\)
B\(9\)
C\(4\)
D\(2\)
Podane w zadaniu logarytmy mają jednakową podstawę, zatem korzystając z działań na logarytmach, możemy całość zapisać jako:
$$log_{9}27+log_{9}3=log_{9}(27\cdot3)=log_{9}81=2$$
Jeśli nie umiemy podać z pamięci wartości \(log_{9}81\), to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{9}81=x \quad\Longleftrightarrow\quad 9^x=81$$
Teraz sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymamy:
$$9^x=81$$
$$9^x=9^2$$
$$x=2$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2023
Wartość wyrażenia \(log_{4}2+log_{4}8+log_{4}16\) jest równa:
A\(2\frac{1}{2}\)
B\(3\)
C\(3\frac{1}{2}\)
D\(4\)
Wszystkie występujące w wyrażeniu logarytmy mają jednakową podstawę. Możemy więc skorzystać z własności działań na logarytmach i zapisać, że całość będzie równa:
$$log_{4}2+log_{4}8+log_{4}16=log_{4}(2\cdot8\cdot16)=log_{4}256$$
Jeśli jesteśmy w stanie obliczyć ten logarytm w pamięci, to od ręki możemy zapisać, że \(log_{4}256=4\). Jeśli jednak chcielibyśmy to rozpisać do postaci potęgi, to całość wyglądałaby następująco:
$$log_{4}256=x \quad\Longleftrightarrow\quad 4^x=256$$
Musimy teraz rozwiązać równanie \(4^x=256\). Wiedząc, że \(256=4^4\), możemy rozpisać, że:
$$4^x=256$$
$$4^x=4^4$$
$$x=4$$
Wartość tego wyrażenia jest więc równa \(4\).
Zadanie nr 2 · Próbny 2023
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\sqrt[2]{2\cdot\sqrt[3]{2}}\) jest równa:
A\(2^{\frac{1}{12}}\)
B\(2^{\frac{1}{6}}\)
C\(2^{\frac{2}{3}}\)
D\(2^{\frac{5}{6}}\)
Najlepszym sposobem na rozwiązanie tego zadania będzie przejście z postaci pierwiastków na potęgi, korzystając z zależności \(\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}\). Z tej zależności wynika, że przykładowo \(\sqrt[3]{2}=2^\frac{1}{3}\), więc całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$\sqrt[2]{2\cdot\sqrt[3]{2}}=\sqrt[2]{2\cdot2^\frac{1}{3}}=\sqrt[2]{2^1\cdot2^\frac{1}{3}}=$$
$$=\sqrt[2]{2^\frac{4}{3}}=\left(2^\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}}=2^{\frac{2}{3}}$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2023
Dla \(x=\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}\) wartość wyrażenia \(\dfrac{-2}{x-1}\) jest równa:
A\(\sqrt{5}-1\)
B\(\sqrt{5}\)
C\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
D\(\frac{\sqrt{5}-1}{5}\)
Krok 1. Rozpisanie liczby \(x\).
Całe zadanie będzie nieco prostsze w momencie, gdy trochę przekształcimy podaną liczbę \(x\). Usuwając niewymierność z mianownika, otrzymamy taką oto sytuację:
$$x=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5}-2)\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=$$
$$=\frac{5-2\sqrt{5}}{5}=1-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Podstawiając teraz wyznaczoną przed chwilą wartość \(x\) do naszego wyrażenia, otrzymamy takie oto działanie:
$$\frac{-2}{x-1}=\frac{-2}{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}-1}=\frac{-2}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=$$
$$=\frac{2}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=2:\frac{2\sqrt{5}}{5}=2\cdot\frac{5}{2\sqrt{5}}=$$
$$=\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=$$
$$=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2023
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge2\) liczba \(8^n-2^n\) jest podzielna przez \(12\).
Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, możemy naszą liczbę rozpisać w następujący sposób:
$$8^n-2^n=2^{n}\cdot(4^{n}-1)$$
Teraz powinniśmy dostrzec, że wyrażenie w nawiasie da się rozpisać wykorzystując wzór skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Dzięki temu otrzymamy taką oto sytuację:
$$2^{n}\cdot(2^{n}-1)\cdot(2^{n}+1)$$
Jeśli się dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że liczby \(2^{n}-1\), \(2^{n}\) oraz \(2^{n}+1\) to po prostu trzy kolejne liczby naturalne. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że jedna z tych liczb jest podzielna przez \(3\).
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(n\ge2\), a to by oznaczało, że liczba \(2^n\) jest na pewno liczbą parzystą i to taką, która jest podzielna przez \(4\).
To oznacza, że nasza liczba jest podzielna przez \(3\) i przez \(4\) jednocześnie, więc jest tym samym podzielna przez \(12\), co należało udowodnić.
Zadanie nr 14 · Próbny 2023
Na początku listopada w bufecie pracowniczym podniesiono cenę za obiad z \(20 zł\) do \(24 zł\). Z końcem miesiąca okazało się, że sprzedano mniej obiadów niż w październiku, ale wpływy z ich sprzedaży w listopadzie były o \(8\%\) wyższe niż w miesiącu przed podwyżką.
Liczba sprzedanych obiadów w listopadzie spadła o:
A\(9\%\)
B\(10\%\)
C\(12\%\)
D\(16\%\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba sprzedanych obiadów w październiku (po cenie \(20zł\))
\(y\) - liczba sprzedanych obiadów w listopadzie (po cenie \(24zł\))
To z kolei oznacza, że na obiadach w październiku zarobiono \(20x\), a w listopadzie \(24y\).
Krok 2. Ustalenie spadku liczby sprzedanych obiadów.
Z treści zadania wynika, że jak wpływy z października powiększymy o \(8\%\), to otrzymamy wpływy z listopada, czyli możemy ułożyć następujące równanie:
$$20x\cdot1,08=24y$$
$$21,6x=24y \quad\bigg/\:24$$
$$y=0,9x$$
Otrzymany zapis oznacza, że liczba sprzedanych obiadów w listopadzie stanowi \(90\%\) tych, które były sprzedane w październiku, czyli tym samym sprzedaż spadła o \(10\%\).
Zadanie nr 2 · Matura 2023
Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2\) jest równa:
A\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(\frac{2}{3}\)
D\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)
Podane w treści zadania pierwiastki są jednakowego stopnia. To pozwala nam na skorzystanie z działań na pierwiastkach i rozpisanie całości w następujący sposób:
$$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2=\sqrt[3]{\left(-\frac{27}{16}\right)\cdot2}=$$
$$=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2023
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \((2n+1)^2-1\) jest podzielna przez \(8\).
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, liczbę z treści zadania możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=$$
$$=4n^2+4n=4n(n+1)$$
Nasz zapis moglibyśmy dla lepszego zobrazowania przedstawić nawet jako \(4\cdot n\cdot(n+1)\). W tym zapisie \(n\) oraz \(n+1\) to kolejne liczby naturalne, a wiemy, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez \(2\). Dodatkowo wyciągając czwórkę przed nawias udowodniliśmy, że liczba jest podzielna przez \(4\). Skoro liczba jest jednocześnie podzielna przez \(2\) oraz \(4\), to będzie też podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.
Zadanie nr 4 · Matura 2023
Liczba \(log_{9}27+log_{9}3\) jest równa:
A\(81\)
B\(9\)
C\(4\)
D\(2\)
Podane w zadaniu logarytmy mają jednakową podstawę, zatem korzystając z działań na logarytmach, możemy całość zapisać jako:
$$log_{9}27+log_{9}3=log_{9}(27\cdot3)=log_{9}81=2$$
Jeśli nie umiemy podać z pamięci wartości \(log_{9}81\), to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{9}81=x \Longleftrightarrow 9^x=81$$
Teraz musimy sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymamy:
$$9^x=81$$
$$9^x=9^2$$
$$x=2$$
Zadanie nr 1 · Matura 2023
Liczba \(log_{9}27+log_{9}3\) jest równa:
A\(81\)
B\(9\)
C\(4\)
D\(2\)
Podane w zadaniu logarytmy mają jednakową podstawę, zatem korzystając z działań na logarytmach, możemy całość zapisać jako:
$$log_{9}27+log_{9}3=log_{9}(27\cdot3)=log_{9}81=2$$
Jeśli nie umiemy podać z pamięci wartości \(log_{9}81\), to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{9}81=x \Longleftrightarrow 9^x=81$$
Teraz musimy sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymamy:
$$9^x=81$$
$$9^x=9^2$$
$$x=2$$
Zadanie nr 2 · Matura 2023
Liczba \(\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2\) jest równa:
A\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(\frac{2}{3}\)
D\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)
Podane w treści zadania pierwiastki są jednakowego stopnia. To pozwala nam na skorzystanie z działań na pierwiastkach i rozpisanie całości w następujący sposób:
$$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]2=\sqrt[3]{\left(-\frac{27}{16}\right)\cdot2}=$$
$$=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2023
Cenę aparatu fotograficznego obniżono o \(15\%\), a następnie - o \(20\%\) w odniesieniu do oceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje \(340zł\). Przed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa:
A\(500zł\)
B\(425zł\)
C\(400zł\)
D\(375zł\)
Bazując na treści zadania, możemy wprowadzić następujące oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena aparatu
\(0,85x\) - cena aparatu po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,85x=0,68x\) - cena aparatu po drugiej obniżce
Z treści zadania wynika, że po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje \(340zł\), zatem:
$$0,68x=340$$
$$x=500$$
Zadanie nr 1 · Matura 2022
Liczba \(\dfrac{8^{-40}}{2^{10}}\) jest równa:
A\(4^{-4}\)
B\(4^{-50}\)
C\(2^{-47}\)
D\(2^{-130}\)
Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{8^{-40}}{2^{10}}=\frac{(2^3)^{-40}}{2^{10}}=\frac{2^{-120}}{2^{10}}=2^{-120-10}=2^{-130}$$
Zadanie nr 4 · Matura 2022
Cenę \(x\) (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o \(30\%\), a następnie obniżono o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa:
A\(0,36\cdot x\) złotych
B\(0,44\cdot x\) złotych
C\(0,50\cdot x\) złotych
D\(0,56\cdot x\) złotych
Aby rozpisać tę sytuację, musimy pamiętać, że obniżka ceny o np. \(30\%\) sprawia, iż nowa cena towaru stanowi \(70\%\) poprzedniej ceny, czyli \(0,7\) tej wartości. W związku z tym:
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,7\cdot x=0,7x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,8\cdot0,7x=0,56x\) - cena towaru po drugiej obniżce
Zadanie nr 15 · Matura 2022
W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem \(1200\) guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.
A\(800\)
B\(900\)
C\(1000\)
D\(1500\)
Spójrzmy na pierwszą część zadania. Wynika z niej, że trzy maszyny wyprodukują \(1200\) guzików w dwie godziny, czyli wyprodukują one \(1200:2=600\) guzików na godzinę. To oznacza, że "wydajność" każdej z maszyn to \(200\) guzików na godzinę.
To z kolei oznacza, że pięć takich maszyn będzie w stanie wyprodukować \(5\cdot200=1000\) guzików w ciągu jednej godziny.
Zadanie nr 1 · Próbny 2022
Jeśli \(a=\frac{2}{3}\) i \(b=\frac{3}{2}\), to wartość wyrażenia \(\dfrac{a+2b}{a-2b}\) jest równa:
A\(-1\)
B\(-\frac{11}{7}\)
C\(-3\)
D\(-\frac{77}{9}\)
Podstawiając liczby \(a=\frac{2}{3}\) i \(b=\frac{3}{2}\) do wyrażenia z treści zadania, otrzymamy:
$$\frac{\frac{2}{3}+2\cdot\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}-2\cdot\frac{3}{2}}=$$
$$=\frac{\frac{2}{3}+3}{\frac{2}{3}-3}=$$
$$=\frac{3\frac{2}{3}}{-2\frac{1}{3}}=3\frac{2}{3}:\left(-2\frac{1}{3}\right)=$$
$$=\frac{11}{3}:\left(-\frac{7}{3}\right)=$$
$$=\frac{11}{3}\cdot\left(-\frac{3}{7}\right)=-\frac{11}{7}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2022
Liczba \(\dfrac{6^{2022}\cdot2^{2022}}{12^{2021}}\) jest równa:
A\(1\)
B\(2\)
C\(12\)
D\(12^{2023}\)
W liczniku mamy jednakowe wykładniki potęg, zatem możemy wymnożyć przez siebie podstawy, dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{6^{2022}\cdot2^{2022}}{12^{2021}}=\frac{12^{2022}}{12^{2021}}=12^{2022-2021}=12^1=12$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2022
W firmie XYZ \(48\%\) pracowników zna język angielski, a spośród nich \(8\%\) zdało egzamin państwowy z tego języka i posiada międzynarodowy certyfikat językowy. Wynika stąd, że najmniejsza możliwa liczba pracowników firmy to:
A\(100\)
B\(250\)
C\(625\)
D\(1255\)
Wprowadźmy do treści zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba pracowników
\(0,48x\) - liczba pracowników znających angielski
\(0,08\cdot0,48x=0,0384x\) - liczba pracowników, którzy mają certyfikat
Mogłoby się wydawać, że skoro ma to być jak najmniejsza liczbę pracowników, to liczba mających certyfikat powinna być równa \(1\). Nie do końca jest to dobre założenie, bo w takim przypadku np. liczba osób znających angielski wyszłaby nam niecałkowita. Jak zatem podejść do zadania? Najprościej będzie sprawdzić, co się stanie, gdy w miejsce \(x\) podstawimy po kolei odpowiedzi z naszego zadania:
\(0,0384\cdot100=3,84\)
\(0,0384\cdot250=9,6\)
\(0,0384\cdot625=24\)
\(0,0384\cdot1225=47,04\)
Wynik będący liczbą naturalną otrzymaliśmy jedynie w trzecim przypadku, tak więc to będzie prawidłowa odpowiedź.
Zadanie nr 14 · Próbny 2022
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(3\) i mniejszych od \(77\) jest:
A\(20\)
B\(21\)
C\(22\)
D\(23\)
Do zadania możemy podejść na różne sposoby (teoretycznie możemy nawet wypisać wszystkie interesujące nas liczby). Najlepszą metodą będzie potraktowania tego zadania tak, jakby był to ciąg arytmetyczny. Pomoże nam w tym wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Najmniejszą liczba dwucyfrową podzielną przez \(3\) jest \(12\), więc moglibyśmy zapisać, że \(a_{1}=12\). Różnica ciągu jest równa \(r=3\) (bo co trzeci wyraz będzie podzielny przez \(3\)). Chcemy, by wartość \(a_{n}\) była mniejsza od \(77\), zatem:
$$a_{1}+(n-1)r\lt77$$
$$12+(n-1)\cdot3\lt77$$
$$12+3n-3\lt77$$
$$9+3n\lt77$$
$$3n\lt68$$
$$n\lt22\frac{2}{3}$$
Co ten wynik oznacza? W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, a skoro z nierówności wyszło nam, że \(n\lt22\frac{2}{3}\), to interesującymi nas rozwiązaniami będą \(n\in\{1,2,3,...,21,22\}\). To oznacza, że będziemy mieć dokładnie \(22\) liczby, które spełniają warunki zadania.
Zadanie nr 29 · Próbny 2022
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \(64^n-4^n\) jest podzielna przez \(12\).
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie zauważyć, że:
$$64^n-4^n=4^{n}\cdot(16^{n}-1)$$
Wartość \(16^{n}-1\) znajdującą się w nawiasie możemy jeszcze rozpisać zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) jako \((4^{n}-1)(4^{n}+1)\). Otrzymamy wtedy:
$$4^{n}\cdot(16^{n}-1)=4^{n}\cdot(4^{n}-1)(4^{n}+1)$$
Powinniśmy teraz dostrzec, że otrzymaliśmy mnożenie trzech kolejnych liczb naturalnych. Będzie to dobrze widać, gdy zamienimy wyrazy miejscami:
$$(4^{n}-1)\cdot4^{n}\cdot(4^{n}+1)$$
Skoro są to trzy kolejne liczby naturalne, to któraś z nich jest na pewno podzielna przez \(3\). Dodatkowo widzimy, że \(4^{n}\) jest podzielne przez \(4\). Skoro więc ten nasz iloczyn dzieli się przez \(3\) i \(4\), to będzie także podzielny przez iloczyn tych wartości, czyli przez \(12\), co należało właśnie udowodnić.
Zadanie nr 2 · Matura 2022
Liczba \(\dfrac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}\) jest równa:
A\(1\)
B\(3\)
C\(24\)
D\(48\)
Warto pamiętać, że każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi zerowej, daje wynik równy \(1\). Do samego rozwiązania można podejść na różne sposoby. Mając w liczniku i mianowniku tylko mnożenie, możemy wręcz poskracać ze sobą pewne liczby. W tym celu trzeba byłoby rozpisać, że \(2^{-3}=2^{-1}\cdot2^{-2}\) oraz że \(3^{-4}=3^{-3}\cdot3^{-1}\). Całość wyglądałaby następująco:
$$\require{cancel}\frac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}=$$
$$=\frac{\cancel{2^{-1}}\cdot2^{-2}\cdot\cancel{3^{-3}}\cdot1}{\cancel{2^{-1}}\cancel{\cdot3^{-3}}\cdot3^{-1}\cdot4^{-1}}=$$
$$=\frac{2^{-2}}{3^{-1}\cdot4^{-1}}=\frac{2^{-2}}{12^{-1}}=$$
$$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{12}}=\frac{1}{4}:\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\cdot12=3$$
Przy tak małych liczbach, nic też nie stoi na przeszkodzie by wręcz obliczyć wartości poszczególnych potęg:
$$\frac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}=$$
$$=\frac{\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{27}\cdot1}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{4}}=$$
$$=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{1}{648}}=\frac{1}{216}:\frac{1}{648}=\frac{1}{216}\cdot648=3$$
Zadanie nr 4 · Matura 2022
\(30\%\) liczby \(x\) jest o \(2730\) mniejsze od liczby \(x\). Liczba \(x\) jest równa:
A\(3900\)
B\(1911\)
C\(9100\)
D\(2100\)
\(30\%\) liczby \(x\) to \(0,3x\). Z treści zadania wynika więc, że \(0,3x\) jest o \(2730\) mniejsze od \(x\), czyli:
$$0,3x=x-2730$$
$$-0,7x=-2730$$
$$x=3900$$
Zadanie nr 4 · Matura 2022
Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o \(10\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa \(78 732 zł\). Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do \(1 zł\), równa:
A\(98 732 zł\)
B\(97 200 zł\)
C\(95 266 zł\)
D\(94 478 zł\)
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena działki
\(0,9x\) - cena działki po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,9x=0,81x\) - cena działki po drugiej obniżce
Skoro więc po drugiej obniżce wynosi \(78 732 zł\), to:
$$0,81x=78732$$
$$x=97200$$
Zadanie nr 5 · Matura 2022
Liczba \(3^{2+\frac{1}{4}}\) jest równa:
A\(3^2\cdot\sqrt[4]{3}\)
B\(\sqrt[4]{3^2}\)
C\(3^2+\sqrt[4]{3}\)
D\(3^2+\sqrt{3^4}\)
Korzystając z działań na potęgach i pierwiastkach, możemy zapisać, że:
$$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot3^{\frac{1}{4}}=3^2\cdot\sqrt[4]{3}$$
Zadanie nr 27 · Matura 2022
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez \(5\) jest:
A\(9\cdot8\cdot7\cdot2\)
B\(9\cdot10\cdot10\cdot1\)
C\(9\cdot10\cdot10\cdot2\)
D\(9\cdot9\cdot8\cdot1\)
Sprawdźmy, na ile możliwości możemy uzupełnić każdą z cyfr liczby czterocyfrowej, tak aby spełniała ona warunki zadania
· cyfrą tysięcy może być każda z cyfr od \(1\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(9\) różnych możliwości
· cyfrą setek może być każda z cyfr od \(0\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(10\) różnych możliwości
· cyfrą dziesiątek może być każda z cyfr od \(0\) do \(9\), zatem mamy tutaj \(10\) różnych możliwości
· cyfrą jedności może być tylko cyfra \(5\), bo tylko wtedy liczba będzie podzielna przez \(5\) i jednocześnie będzie nieparzysta, zatem mamy tutaj \(1\) możliwość
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, pasujących liczb będziemy mieć:
$$9\cdot10\cdot10\cdot1$$
Liczba \(x\) stanowi \(80\%\) liczby dodatniej \(y\). Wynika stąd, że liczba \(y\) to:
A\(125\%\) liczby \(x\)
B\(120\%\) liczby \(x\)
C\(25\%\) liczby \(x\)
D\(20\%\) liczby \(x\)
Skoro \(x\) stanowi \(80\%\) liczby \(y\), to:
$$x=0,8y$$
Teraz dzieląc obydwie strony przez \(0,8\) (lub mnożąc przez odwrotność, czyli \(\frac{10}{8}\), otrzymamy że:
$$y=1,25x$$
To oznacza, że liczba \(y\) stanowi \(125\%\) liczby \(x\).
Zadanie nr 1 · Próbny 2021
Liczba \((\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{3}\) jest równa:
A\(8-6\sqrt{3}\)
B\(8-2\sqrt{3}\)
C\(4-2\sqrt{3}\)
D\(8-4\sqrt{3}\)
W zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym:
$$(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{3}=6-2\sqrt{12}+2-2\sqrt{3}=$$
$$=8-2\sqrt{4\cdot3}-2\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8-6\sqrt{3}$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2021
Medyczna maseczka ochronna wielokrotnego użytku z wymiennymi filtrami wskutek podwyżki zdrożała o \(40\%\) i kosztuje obecnie \(106,40zł\). Cena maseczki przed podwyżką była równa:
A\(63,84 zł\)
B\(65,40 zł\)
C\(76,00 zł\)
D\(66,40 zł\)
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena maseczki przed podwyżką
\(1,4x\) - cena maseczki po podwyżce
Z treści zadania wynika, że cena maseczki po podwyżce jest równa \(106,40zł\), zatem:
$$1,4x=106,40zł$$
$$x=76zł$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2021
Dla każdej dodatniej liczby \(b\) wyrażenie \(\left(\sqrt[2]{b}\cdot\sqrt[4]{b}\right)^{\frac{1}{3}}\) jest równe:
A\(b^2\)
B\(b^{0,25}\)
C\(b^{\frac{8}{3}}\)
D\(b^{\frac{4}{3}}\)
Najpierw musimy sprowadzić nasze pierwiastki do postaci potęgi, a potem skorzystać z działań na potęgach. Otrzymamy wtedy, że:
$$\left(\sqrt[2]{b}\cdot\sqrt[4]{b}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(b^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=b^{\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}}=b^{\frac{1}{4}}=b^{0,25}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2021
\(|\sqrt{1681}-45|+\sqrt{1681}\) jest równa:
A\(2\sqrt{1681}-45\)
B\(2\sqrt{1681}+45\)
C\(-45\)
D\(45\)
Powinniśmy zauważyć, że \(\sqrt{1681}=41\). Podstawiając tę informację do naszego równania otrzymamy:
$$|\sqrt{1681}-45|+\sqrt{1681}=|41-45|+41=|-4|+41=4+41=45$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2021
Cena komputera BIT była równa \(1968zł\). W ramach promocji sklep obniżył ją o \(25\%\). Po obniżce cena tego komputera jest równa:
A\(1476zł\)
B\(1574,40zł\)
C\(1933zł\)
D\(1967,75zł\)
Z działu procentów wiemy, że obniżenie ceny o \(25\%\) sprawia, iż produkt kosztuje teraz \(0,75\) wartości początkowej. Możemy zatem zapisać, że po obniżce cena tego komputera wynosi:
$$0,75\cdot1968zł=1476zł$$
Oczywiście nic też nie stoi na przeszkodzie, by najpierw obliczyć wysokość obniżki, a potem odliczyć ją od kwoty komputera. Moglibyśmy więc rozpisać to w taki sposób:
Wysokość obniżki wynosi: \(0,25\cdot1968zł=492zł\)
Nowa cena komputera wynosi: \(1968zł-492zł=1476zł\)
Zadanie nr 4 · Próbny 2021
Wartość wyrażenia \(x-1+\frac{1}{x-1}\) dla \(x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) jest równa:
A\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
B\(3\)
C\(\frac{1}{3}\)
D\(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
Krok 1. Uproszczenie zapisu liczby \(x\).
Zacznijmy od uproszczenia zapisu liczby \(x\), a dokładniej rzecz ujmując od usunięcia niewymierności z mianownika. W tym celu musimy licznik oraz mianownik ułamka pomnożyć przez wartość znajdującą się w mianowniku, czyli przez \(\sqrt{3}\). Obliczenia będą wyglądać następująco:
$$x=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$
Krok 2. Podstawienie danych do wyrażenia.
Podstawiając wartość \(x\) do naszego wyrażenia bardzo wiele rzeczy zacznie się teraz skracać, a całość będzie wyglądać następująco:
$$x-1+\frac{1}{x-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}+1-1}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+1\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{3}}{3}=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=$$
$$=\frac{1}{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2021
Wyrażenie \(\dfrac{10^{13}\cdot7^{13}}{14^{13}\cdot5^{10}}\) jest równe:
A\(7^2\)
B\(2^{10}\)
C\(5^3\)
D\(10^5\)
Aby móc skorzystać ze standardowych działań na potęgach, musielibyśmy mieć jednakowe podstawy potęg lub wykładniki (a póki co tego nie mamy). Z tego też względu w tym zadaniu należy postąpić nieco sprytniej i rozbić niektóre czynniki w taki sposób, aby móc skrócić licznik z mianownikiem. Całość wyglądałaby następująco:
$$\frac{10^{13}\cdot7^{13}}{14^{13}\cdot5^{10}}=\frac{2^{13}\cdot5^{13}\cdot7^{13}}{2^{13}\cdot7^{13}\cdot5^{10}}=\frac{5^{13}}{5^{10}}=5^{3}$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2021
Laptop kosztował \(1500 zł\). Jego cenę obniżono o \(20\%\), a następnie podwyższono o \(20\%\). Po tych operacjach laptop kosztuje:
A\(1500 zł\)
B\(1440 zł\)
C\(1550 zł\)
D\(1600 zł\)
Po obniżce o \(20\%\) laptop kosztował:
$$0,8\cdot1500zł=1200zł$$
Potem nastąpiła podwyżka o \(20\%\), więc teraz laptop kosztuje:
$$1,2\cdot1200zł=1440zł$$
Zadanie nr 30 · Próbny 2021
Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej \(n\) liczba \(4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}\) jest podzielna przez \(5\).
Aby udowodnić, że ta liczba jest podzielna przez \(5\), musimy cały zapis do postaci w której będziemy mieć \(5\) pomnożone przez jakąś liczbę całkowitą. W tym celu trzeba przekształcić zapis wyłączając wspólne czynniki przed nawias np. w taki oto sposób:
$$4^{n+1}-3^{n+2}+4^{n}-3^{n}=$$
$$=4^{n}\cdot(4^1+1)-3^{n}\cdot(3^2+1)=$$
$$=4^{n}\cdot5-3^{n}\cdot10=$$
$$=5\cdot(4^{n}-3^{n}\cdot2)$$
Wiedząc, że \(n\) jest liczbą naturalną możemy być pewni, że zapis \(4^{n}-3^{n}\cdot2\) jest liczbą całkowitą. To oznacza, że podana liczba dzieli się przez \(5\), a wynikiem tego dzielenia będzie to, co znalazło się w nawiasie, czyli \(4^{n}-3^{n}\cdot2\).
Zadanie nr 1 · Matura 2021
Wartość wyrażenia \(\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})\) jest równa:
A\(5-2\sqrt{6}\)
B\(5\)
C\(5+2\sqrt{6}\)
D\(-1\)
Na początek ważne przypomnienie - aby dobrze rozwiązać to zadanie, musimy pamiętać o kolejności wykonywania działań. Wymnażając poszczególne pierwiastki przez liczby w nawiasach, otrzymamy:
$$\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})=2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1$$
Zadanie nr 2 · Matura 2021
Liczba \(\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}\) jest równa:
A\(7^{\frac{5}{3}}\)
B\(7^{1}\)
C\(7^{\frac{3}{2}}\)
D\(7^{\frac{10}{3}}\)
Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}=\left(7^{\frac{6}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}=7^{\frac{6}{4}\cdot\frac{2}{3}}=7^{\frac{12}{12}}=7^1$$
Zadanie nr 4 · Matura 2021
Cenę drukarki obniżono o \(20\%\), a następnie nową cenę obniżono o \(10\%\). W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o:
A\(18\%\)
B\(28\%\)
C\(30\%\)
D\(72\%\)
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena drukarki
\(0,8x\) - cena drukarki po pierwszej
\(0,9\cdot0,8x=0,72x\) - cena drukarki po drugiej obniżce
Skoro na początku drukarka kosztowała \(x\), a teraz kosztuje \(0,72x\) , to znaczy, że cena drukarki spadła o:
$$x-0,72x=0,28x$$
To oznacza, że spadek wyniósł \(28\%\).
Zadanie nr 1 · Matura 2021
Liczba \(100^5\cdot(0,1)^{-6}\) jest równa:
A\(10^{13}\)
B\(10^{16}\)
C\(10^{-1}\)
D\(10^{-30}\)
Pamiętając o tym, że \(0,1=\frac{1}{10}\) i korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$100^5\cdot(0,1)^{-6}=100^5\cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{-6}={(10^2)}^5\cdot10^{6}=$$
$$=10^{10}\cdot10^{6}=10^{10+6}=10^{16}$$
Zadanie nr 2 · Matura 2021
Liczba \(78\) stanowi \(150\%\) liczby \(c\). Wtedy liczba \(c\) jest równa:
A\(60\)
B\(52\)
C\(48\)
D\(39\)
\(150\%\) liczby \(c\) to tak naprawdę \(1,5c\). Możemy więc zapisać, że:
$$1,5c=78$$
$$c=52$$
Zadanie nr 5 · Matura 2021
Liczba \(0,(3)-\frac{23}{33}\) jest równa:
A\(-0,(39)\)
B\(-\frac{39}{100}\)
C\(-0,36\)
D\(-\frac{4}{11}\)
Wiedząc, że \(0,(3)=\frac{1}{3}\) możemy całość zapisać w taki oto sposób:
$$0,(3)-\frac{23}{33}=\frac{1}{3}-\frac{23}{33}=\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=\frac{-12}{33}=-\frac{4}{11}$$
Zadanie nr 1 · Matura 2020
Liczba \((\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2\) jest równa:
A\(11\)
B\(17\)
C\(17+4\sqrt{15}\)
D\(17+2\sqrt{15}\)
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2+2\cdot\sqrt{5}\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=$$
$$=5+4\sqrt{15}+4\cdot3=5+4\sqrt{15}+12=17+4\sqrt{15}$$
Zadanie nr 2 · Matura 2020
Liczbę \(\sqrt[4]{9\cdot\sqrt{3}}\) można zapisać w postaci:
A\(3^{\frac{5}{8}}\)
B\(3^{\frac{11}{4}}\)
C\(3^{\frac{1}{4}}\)
D\(3^{\frac{9}{8}}\)
W tym zadaniu musimy poprawnie skorzystać z działań na potęgach i pierwiastkach. Wiedząc, że \(9=3^2\) i że \(\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt[4]{9\cdot\sqrt{3}}=\sqrt[4]{3^2\cdot3^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[4]{3^{2+\frac{1}{2}}}=\sqrt[4]{3^{\frac{5}{2}}}=\left(3^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{4}}=3^{\frac{5}{8}}$$
Zadanie nr 6 · Matura 2020
Na początku miesiąca komputer kosztował 3500zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o 10%, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o 15%. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa:
A3272,50zł
B2625zł
C2677,50zł
D2800zł
Rozpiszmy to sobie wszystko bardzo dokładnie:
Początkowa cena: \(3500\)
Cena po pierwszej obniżce: \(0,9\cdot3500=3150\)
Cena po drugiej obniżce: \(0,85\cdot3150=2677,50\)
To oznacza, że cena komputera po dwóch obniżkach wynosi \(2677,50zł\).
Zadanie nr 23 · Matura 2020
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2020 i podzielnych przez 4?
A506
B505
C256
D255
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale trzeba tutaj być wyjątkowo precyzyjnym, bo widzimy że poszczególne pary odpowiedzi różnią się zaledwie o jedną liczbę. Spróbujmy zatem wyznaczyć ilość tych liczb w taki sposób, by nie mieć wątpliwości czy wszystkie liczby zostały uwzględnione.
W tym celu wystarczy potraktować to zadanie jak ciąg arytmetyczny w którym \(r=4\) (bo co czwarta liczba jest podzielna przez \(4\)), \(a_{1}=1000\) (bo jest to najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez \(4\)) oraz \(a_{n}=2016\) (bo jest to największa liczba czterocyfrowa, która jest mniejsza od \(2020\) i która jest podzielna przez \(4\).
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$2016=1000+(n-1)\cdot4$$
$$2016=1000+4n-4$$
$$2016=996+4n$$
$$4n=1020$$
$$n=255$$
To oznacza, że mamy \(255\) poszukiwanych wyrazów.
Zadanie nr 1 · Próbny 2020
Niech \(a=-2\), \(b=3\). Wartość wyrażenia \(a^b-b^a\) jest równa:
A\(\frac{73}{9}\)
B\(\frac{71}{9}\)
C\(-\frac{73}{9}\)
D\(-\frac{71}{9}\)
Podstawiając do wyrażenia liczby z treści zadania otrzymamy:
$$a^b-b^a=(-2)^3-3^{-2}=-8-\left(\frac{1}{3}\right)^2=-8-\frac{1}{9}=-\frac{72}{9}-\frac{1}{9}=-\frac{73}{9}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2020
Liczba \(9^9\cdot81^2\) jest równa:
A\(81^4\)
B\(81\)
C\(9^{13}\)
D\(9^{36}\)
Wykonując działania na potęgach otrzymamy:
$$9^9\cdot81^2=9^9\cdot(9^2)^2=9^9\cdot(9)^{2\cdot2}=9^9\cdot9^4=9^{9+4}=9^{13}$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2020
Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o \(30\%\). Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła:
Ao mniej niż \(50\%\), ale więcej niż \(40\%\)
Bo mniej niż \(60\%\), ale więcej niż \(50\%\)
Cdokładnie o \(60\%\)
Do więcej niż \(60\%\)
Z treści zadania wynika, że \(r_{1}=1,3r_{2}\). W związku z tym:
$$P_{1}=π{r_{1}}^2=π(1,3r_{2})^2=1,69π{r_{2}}^2$$
$$P_{2}=π{r_{2}}^2$$
Widzimy wyraźnie, że pole pierwszego koła jest większe od drugiego o \(69\%\), zatem poprawna jest ostatnia odpowiedź.
Zadanie nr 9 · Próbny 2020
Linę o długości \(100\) metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku \(3:4:5\). Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość:
A\(41\frac{2}{3}\) metra
B\(33\frac{1}{3}\) metra
C\(60\) metrów
D\(25\) metrów
Skoro stosunek długości lin wynosi \(3:4:5\) to możemy zapisać, że kawałki te mają długości \(3x,4x,5x\). W związku z tym:
$$3x+4x+5x=100$$
$$12x=100$$
$$x=\frac{100}{12}$$
$$x=\frac{25}{3}[m]$$
Nas interesuje długość najdłuższego boku, czyli tego co ma długość \(5x\), zatem:
$$5x=5\cdot\frac{25}{3}=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}[m]$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2020
Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż \(2017\)?
A\(2016\)
B\(2017\)
C\(1016\)
D\(1017\)
Liczby czterocyfrowe mniejsze od \(2017\) to:
$$1000,1001,1002,...,2015,2016$$
Ile jest tych liczb? Jak wykonamy odejmowanie \(2016-1000\) to otrzymamy zły wynik. Wydaje się to nielogiczne, ale zastanówmy się co by było, gdyby zadanie brzmiało: "ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych od \(1002\)?". My wiemy że są tylko dwie takie liczby: \(1000\) oraz \(1001\). Gdybyśmy wtedy wykonali działanie \(1001-1000\) to także wyszłaby nam nieprawda.
Jak więc do tego zadania podejść poprawnie? Wszystkich liczb naturalnych mniejszych od \(2017\) jest \(2016\), bo są to liczby od \(1\) do \(2016\). Od tej puli \(2016\) liczb naturalnych musimy odrzucić \(999\) liczb, które nie są czterocyfrowe (od \(1\) do \(999\)) i wtedy dowiemy się ile jest liczb czterocyfrowych mniejszych od \(2017\). Zatem:
$$2016-999=1017$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2020
Dany jest ułamek dziesiętny nieskończony okresowy \(0,1(2345)\). Na setnym miejscu po przecinku znajduje się w nim cyfra:
A\(2\)
B\(3\)
C\(4\)
D\(5\)
W okresie ułamka znajduje się wartość \(2345\), czyli nasz ułamek będzie wyglądał w ten oto sposób:
$$0,1234523452345...$$
Teraz do zadania można podejść na wiele sposobów (tak jak jest nam wygodniej). Przykładowo możemy dostrzec, że jak wypiszemy sobie \(24\) razy okres naszego ułamka (a okres składa się z czterech cyfr), to będziemy mieć \(1+4\cdot24=97\) cyfr po przecinku. To by oznaczało, że dziewięćdziesiątą siódmą cyfrą po przecinku jest piątka, czyli dziewięćdziesiątą ósmą cyfrą będzie dwójka, dziewięćdziesiątą dziewiątą cyfrą będzie trójka, a setną cyfrą będzie czwórka.
Możemy też do zadania podejść w nieco inny sposób. Spójrzmy na to którymi cyframi po przecinku jest np. dwójka. Widzimy, że to będzie druga, szósta, dziesiąta, czternasta itd. cyfra po przecinku. Można więc powiedzieć, że począwszy od drugiej cyfry, to co czwarta cyfra po przecinku jest dwójką. Skoro co czwarta cyfra (począwszy od drugiej) jest dwójką, to i co czterdziesta będzie dwójką. To by oznaczało, że czterdziesta druga cyfra jest dwójką, tak jak i osiemdziesiąta druga także jest dwójką. Czyli osiemdziesiąta szósta, dziewięćdziesiąta, dziewięćdziesiąta czwarta i dziewięćdziesiąta ósma także są dwójkami. To prowadzi nas do wniosku, że dziewięćdziesiąta dziewiąta będzie trójka, a setna będzie czwórka.
Zadanie nr 2 · Próbny 2020
Liczba przeciwna do liczby \(\begin{split}\frac{(-2)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}}{(\sqrt{8})^6}\end{split}\) jest równa:
A\(\frac{1}{2}\)
B\(-\frac{1}{2}\)
C\(2\)
D\(-2\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby.
Obliczmy wartość naszej liczby, wykonując działania na potęgach. Tutaj dobrze jest od razu zamienić sobie podstawy poszczególnych potęg na takie, by były one równe 2. Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(-2)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}}{(\sqrt{8})^6}=\frac{(-2)^3\cdot2^5}{(\sqrt{2^3})^6}=$$
$$=\frac{-1\cdot2^3\cdot2^5}{(2^{\frac{3}{2}})^6}=\frac{-1\cdot2^8}{2^{\frac{18}{2}}}=\frac{-1\cdot2^8}{2^9}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$$
Krok 2. Wyznaczenie liczby przeciwnej.
Musimy jeszcze ustalić jaka jest liczba przeciwna do \(-\frac{1}{2}\). Liczba przeciwna ma jak sama nazwa wskazuje - przeciwny znak, zatem liczbą przeciwną do ułamka \(-\frac{1}{2}\) będzie \(\frac{1}{2}\) i to jest nasza odpowiedź.
Zadanie nr 3 · Próbny 2020
Cenę pewnego towaru podwyższono o \(20\%\), następnie otrzymaną w ten sposób nową cenę obniżono o \(20\%\). Cena końcowa jest:
Ao \(4\%\) wyższa od ceny początkowej
Bo \(2\%\) niższa od ceny początkowej
Co \(4\%\) niższa od ceny początkowej
Drówna cenie początkowej
Rozpiszmy to sobie po kolei:
Cena początkowa: \(x\)
Teraz cena jest podwyższona o \(20\%\), czyli nowa cena będzie stanowiła \(120\%\) ceny początkowej. Możemy zapisać, że:
Cena po podwyżce: \(1,2\cdot x=1,2x\)
Teraz cena jest obniżona o \(20\%\), czyli nowa cena będzie stanowiła \(80\%\) ceny po pierwszej podwyżce (która była równa \(1,2x\)). Możemy zapisać, że:
Cena po obniżce: \(0,8\cdot1,2x=0,96x\)
Skoro cena początkowa była równa \(x\), a po podwyżce i obniżce jest równa ostatecznie \(0,96x\), to widzimy wyraźnie, że cena spadła o \(0,04x\), czyli o \(4\%\).
Zadanie nr 9 · Próbny 2020
Liczba \(a=2,2\) jest przybliżeniem z nadmiarem liczby \(x\). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy \(0,004\), gdy:
A\(x=2,204\)
B\(x=2,24\)
C\(x=2,16\)
D\(x=2,196\)
Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd bezwzględny obliczamy korzystając ze wzoru \(Δx=|x-p|\), gdzie:
\(Δx\) - błąd bezwzględny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - przybliżona wartość
W naszym przypadku:
\(Δx=0,004\)
\(p=2,2\)
Krok 2. Obliczenie błędu bezwzględnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd bezwzględny obliczymy w następujący sposób:
$$Δx=|x-p|$$
$$0,004=|2,2-x|$$
Teraz najtrudniejsza część zadania, czyli rozwiązanie równania z wartością bezwzględną. Wartość bezwzględna z \(2,2-x\) będzie równa \(0,004\) wtedy, gdy \(2,2-x\) będzie równe \(0,004\) lub też gdy będzie równe \(-0,004\) (bo przecież \(|-0,004|\) także jest równe \(0,004\)). Możemy wiec zapisać, że:
$$2,2-x=0,004 \quad\lor\quad 2,2-x=-0,004$$
$$-x=-2,204 \quad\lor\quad -x=-2,196$$
$$x=2,204 \quad\lor\quad x=2,196$$
Wyszło nam, że błąd bezwzględny będzie równy \(0,004\) wtedy, gdy \(x=2,204\) lub też gdy \(x=2,196\). To jednak nie kończy naszego zadania, bowiem w treści zadania mamy jednak podaną jeszcze jedną kluczową informację z której musimy skorzystać. Wiemy, że przybliżenie \(2,2\) jest przybliżeniem z nadmiarem (czyli wartość przybliżenia musi być większa niż wartość liczby \(x\)). To oznacza, że poszukiwaną przez nas liczbą będzie \(x=2,196\).
Zadanie nr 1 · Próbny 2020
Liczbą odwrotną do liczby \(\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-5}{2^{-2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}\) jest:
A\(\frac{2}{3}\)
B\(-\frac{2}{3}\)
C\(1\frac{1}{2}\)
D\(-1\frac{1}{2}\)
Na początku musimy obliczyć wartość naszej liczby. Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-5}{2^{-2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}=\frac{2-5}{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{-3}{\frac{1}{4}-\frac{9}{4}}=\frac{-3}{-\frac{8}{4}}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$$
Musimy jeszcze podać liczbę odwrotną do liczby \(\frac{3}{2}\), a więc poszukiwaną liczbą będzie \(\frac{2}{3}\).
Zadanie nr 3 · Próbny 2020
Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Licznik tego ułamka zwiększono
o \(20\%\), a jego mianownik zmniejszono o \(20\%\). Otrzymano w ten sposób liczbę \(b\), taką, że:
A\(b=a\)
B\(b=\frac{2}{3}a\)
C\(b=0,4a\)
D\(b=1,5a\)
Liczbę \(a\) możemy zapisać jako \(a=\frac{x}{y}\). Skoro licznik mamy zwiększyć o \(20\%\), a mianownik zmniejszyć o \(20\%\), to w liczniku będziemy mieć \(1,2x\), a w mianowniku \(0,8y\). To oznacza, że:
$$b=\frac{1,2x}{0,8y}=\frac{1,2}{0,8}\cdot\frac{x}{y}=1,5\cdot\frac{x}{y}=1,5a$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2020
W rozwinięciu dziesiętnym ułamka \(\frac{5}{7}\) na setnym miejscu po przecinku stoi cyfra:
A\(7\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(5\)
Aby poznać rozwinięcie dziesiętne ułamka \(\frac{5}{7}\), wystarczy na kalkulatorze podzielić \(5\) przez \(7\), dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{5}{7}=0,714285714285...=0,(714285)$$
Kluczem do sukcesu jest tutaj dostrzeżenie, że pojawia nam się tak zwany okres ułamka, czyli \(714285\). Każde kolejne sześć cyfr po przecinku będzie wyglądać tak samo. Jak więc będzie wyglądać ta setna cyfra? Możemy to przeanalizować krok po kroku np. w taki oto sposób:
Szósta cyfra to \(5\)
Dwunasta cyfra to \(5\)
...
Sześćdziesiąta cyfra to \(5\)
...
Dziewięćdziesiąta szósta cyfra to \(5\)
Dziewięćdziesiąta siódma cyfra to \(7\)
Dziewięćdziesiąta ósma cyfra to \(1\)
Dziewięćdziesiąta dziewiąta cyfra to \(4\)
Setna cyfra to \(2\)
Zadanie nr 29 · Próbny 2020
Liczba naturalna \(a\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\). Wykaż, że reszta z dzielenia liczby \(2a^2\) przez \(7\) jest równa \(1\).
Wiemy, że liczba \(a\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), zatem możemy ją zapisać w postaci \(a=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(2a^2\) otrzymamy:
$$2a^2=2\cdot(7n+2)^2=2\cdot(49n^2+28n+4)=98n^2+56n+8$$
Jak teraz udowodnić, że ta otrzymana przed chwilą liczba dzieli się przez przez \(7\), dając resztę \(1\)? Moglibyśmy wyłączyć siódemkę przed nawias (\(98:7\) to \(14\), a \(56:7=8\)), ale przeszkadza nam w tym \(8\), która nie dzieli się przez \(7\). Rozbijmy sobie zatem \(8\) na sumę \(7+1\) i zapiszmy, że:
$$98n^2+56n+7+1=7\cdot(14n^2+8n+1)+1$$
Otrzymany wynik mówi nam, że dzieląc całe wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę naturalną (opisaną jako \(14n^2+8n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(1\) reszty, co należało właśnie udowodnić.
Zadanie nr 2 · Matura 2020
Liczba \(\begin{split}\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{36^{10}}\end{split}\) jest równa:
A\(6^{70}\)
B\(6^{45}\)
C\(2^{30}\cdot3^{20}\)
D\(2^{10}\cdot3^{20}\)
Znajdujące się w mianowniku \(36^{10}\) możemy rozpisać jako \((6^{2})^{10}=6^{20}\). Naszą liczbę będziemy więc mogli zapisać jako \(\begin{split}\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{6^{20}}\end{split}\).
Chcąc skorzystać z działań na potęgach musimy mieć jednakowe podstawy potęg lub jednakowe wykładniki, a niestety nie mamy ani jednego, ani drugiego. Możemy jednak sprytnie rozbić iloczyn znajdujący się w liczniku w następujący sposób:
$$\frac{2^{50}\cdot3^{40}}{6^{20}}=\frac{2^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}\cdot3^{20}}{6^{20}}=$$
$$=\frac{2^{20}\cdot3^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}}{6^{20}}=\frac{6^{20}\cdot2^{30}\cdot3^{20}}{6^{20}}=2^{30}\cdot3^{20}$$
Zadanie nr 4 · Matura 2020
Cenę \(x\) pewnego towaru obniżono o \(20\%\) i otrzymano cenę \(y\). Aby przywrócić cenę \(x\), nową cenę \(y\) należy podnieść o:
A\(25\%\)
B\(20\%\)
C\(15\%\)
D\(12\%\)
Jeżeli cenę \(x\) obniżono o \(20\%\), to nowa cena jest równa \(0,8x\).
Teraz chcemy podwyższyć cenę w taki sposób, by ponownie towar kosztował \(x\), zatem podwyżka musi wynieść \(x-0,8x=0,2x\). To oznacza, że ta podwyżka będzie o \(\frac{0,2x}{0,8x}=0,25=25\%\).
Zadanie nr 2 · Matura 2020
Liczba \(1-(2^7-1)^2\) jest równa:
A\(-2^{14}\)
B\(2^8-2^{14}\)
C\(2-2^{14}\)
D\(-2^{14}-2\cdot2^{7}+2\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz z działań na potęgach. Możemy więc zapisać, że:
$$1-(2^7-1)^2=1-(2^{14}-2\cdot2^7+1)=$$
$$=1-(2^{14}-2^8+1)=1-2^{14}+2^8-1=-2^{14}+2^8=2^8-2^{14}$$
Zadanie nr 4 · Matura 2020
Masę Słońca równą \(1,989\cdot10^{30}kg\) przybliżono do \(2\cdot10^{30}kg\). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy:
A\(0,0011\cdot10^{30}kg\)
B\(1,1\cdot10^{30}kg\)
C\(0,11\cdot10^{30}kg\)
D\(0,011\cdot10^{30}kg\)
Błąd bezwzględny obliczymy ze wzoru: \(Δx=|x-p|\), gdzie \(x\) to wartość dokładna, a \(p\) to wartość przybliżona. Z treści zadania wynika, że \(x=1,989\cdot10^{30}kg\), natomiast przybliżenie wynosi \(p=2\cdot10^{30}kg\). To oznacza, że:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(8-3\sqrt{7})^2=64-48\sqrt{7}+63=127-48\sqrt{7}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2019
Jeżeli \(75\%\) liczby \(a\) jest równe \(177\) i \(59\%\) liczby \(b\) jest równe \(177\), to:
A\(b-a=26\)
B\(b-a=64\)
C\(a-b=26\)
D\(a-b=64\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Z treści zadania wynika, że:
$$0,75a=177$$
$$a=236$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(b\).
W bardzo podobny sposób możemy wyznaczyć wartość liczby \(b\):
$$0,59b=177$$
$$b=300$$
Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Tak naprawdę w odpowiedziach mamy działania \(b-a\) oraz \(a-b\) wraz z proponowanymi wynikami. Obliczmy zatem wartość każdego z tych wyrażeń:
$$b-a=300-236=64$$
$$a-b=236-300=-64$$
To oznacza, że poszukiwaną przez nas odpowiedzią jest \(b-a=64\).
Zadanie nr 9 · Matura 2019
Liczbą większą od \(5\) jest:
A\((\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}}\)
B\((\frac{1}{25})^{-\frac{1}{5}}\)
C\(125^{\frac{2}{3}}\)
D\(125^{\frac{1}{3}}\)
W tym zadaniu będziemy korzystać z działań na potęgach. Warto więc pamiętać, że podniesienie liczby do potęgi ujemnej związane jest z potęgowaniem odwrotności danej liczby, a podniesienie liczby do ułamka związane jest z pierwiastkami. Sprawdźmy zatem wartość każdej z liczb, korzystając z działań na potęgach:
\((\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}}=25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5\)
\((\frac{1}{25})^{-\frac{1}{5}}=25^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{25}\)
\(125^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{125^2}=\sqrt[3]{15625}=25\)
\(125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=5\)
Liczbę większą od \(5\) otrzymaliśmy więc jedynie w trzecim przypadku.
Zadanie nr 1 · Próbny 2019
Liczba przeciwna do liczby \((1-\sqrt{3})^2\) jest równa:
A\(4-2\sqrt{3}\)
B\(4+2\sqrt{3}\)
C\(-4-2\sqrt{3}\)
D\(-4+2\sqrt{3}\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby.
Zanim wyznaczymy liczbę przeciwną to wykonajmy potęgowanie, które znalazło się w naszej liczbie. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(1-\sqrt{3})^2=1^2-2\sqrt{3}+\sqrt{3}^2=1-2\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}$$
Krok 2. Wyznaczenie liczby przeciwnej.
Liczbę przeciwną tworzymy zmieniając znak naszej liczby, czyli tak naprawdę stawiając minusa z przodu. Ważne jest to, żeby postawić minusa nie tylko przed pierwszą liczbą (czyli przed czwórką), tylko przed całym wyrażeniem. Skoro tak, to liczbą przeciwną będzie:
$$-(4-2\sqrt{3})=-4+2\sqrt{3}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2019
Liczba odwrotna do liczby \(\frac{(5^{1,2})^3\cdot\sqrt{5}^{0,8}}{5^3}\) jest równa:
A\(-5\)
B\(5\)
C\(\frac{1}{5}\)
D\(-\frac{1}{5}\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby.
Na początek musimy wykonać potęgowanie, tak aby uprościć cały zapis. Stosując działania na potęgach otrzymamy:
$$\frac{(5^{1,2})^3\cdot\sqrt{5}^{0,8}}{5^3}=\frac{5^{1,2\cdot3}\cdot\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{0,8}}{5^3}=\frac{5^{3,6}\cdot5^{0,4}}{5^3}=\frac{5^{3,6+0,4}}{5^3}=\frac{5^4}{5^3}=5$$
Krok 2. Wyznaczenie liczby odwrotnej.
Liczbę \(5\) możemy zapisać jako \(\frac{5}{1}\). Liczba odwrotna powstaje po zamianie miejscami licznika z mianownikiem, zatem liczbą odwrotną do \(5\) będzie \(\frac{1}{5}\) i to jest poszukiwana przez nas odpowiedź.
Zadanie nr 1 · Próbny 2019
Wartość wyrażenia \((\sqrt{3}-\sqrt{6})^2\) jest równa:
A\(-3\)
B\(9-6\sqrt{2}\)
C\(-3-3\sqrt{2}\)
D\(3\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(\sqrt{3}-\sqrt{6})^2=\sqrt{3}^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}+\sqrt{6}^2=3-2\sqrt{18}+6=9-2\sqrt{18}$$
Takiej odpowiedzi niestety nie mamy, bowiem musimy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, rozpisując \(\sqrt{18}\) jako \(\sqrt{9\cdot2}\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$9-2\sqrt{18}=9-2\sqrt{9\cdot2}=9-2\cdot3\sqrt{2}=9-6\sqrt{2}$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2019
Cenę pewnego towaru obniżono dwukrotnie: najpierw o \(20\%\), a następnie o \(10\%\). Końcowa cena tego towaru jest niższa od ceny początkowej o:
A\(30\%\)
B\(72\%\)
C\(28\%\)
D\(15\%\)
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,8x\) - cena towaru po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,8x=0,72x\) - cena towaru po drugiej obniżce
Skoro na początku cena towaru wynosiła \(x\), a po dwóch obniżkach wynosi \(0,72x\), to końcowa cena tego towaru jest niższa o \(x-0,72x=0,28x\). Musimy tę wartość wyrazić w procentach, zatem skoro obniżka wyniosła \(0,28x\) z \(x\) to procentowo będzie ona równa:
$$\frac{0,28x}{x}\cdot100\%=28\%$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2019
Suma liczb \(0,3(7)\) i \(0,(7)\) zapisana w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego to:
A\(\frac{52}{45}\)
B\(\frac{115555}{100000}\)
C\(\frac{29}{25}\)
D\(\frac{23}{20}\)
Krok 1. Zapisanie liczby \(0,3(7)\) w postaci ułamka zwykłego.
Procedura zamiany ułamków okresowych na zwykłe wygląda następująco:
\(x=0,3(7)=0,37777...\)
\(10x=3,7777...\)
\(100x=37,7777...\)
\(90x=37,7777-3,7777=34\)
Skoro \(90x=34\), to: \(x=\frac{34}{90}\). Jako \(x\) oznaczyliśmy sobie ułamek okresowy \(0,3(7)\), zatem wiemy już, że \(0,3(7)=\frac{34}{90}\)
Krok 2. Zapisanie liczby \(0,(7)\) w postaci ułamka zwykłego.
Analogicznie jak w poprzedniej sytuacji:
\(x=0,(7)=0,7777...\)
\(10x=7,7777...\)
\(9x=7,7777-0,7777=7\)
Skoro \(9x=7\), to \(x=\frac{7}{9}\). Jako Jako \(x\) oznaczyliśmy sobie ułamek okresowy \(0,(7)\), zatem wiemy już, że \(0,(7)=\frac{7}{9}\).
Krok 3. Obliczenie sumy liczb.
Na sam koniec musimy dodać do siebie te dwie otrzymane wartości:
$$\frac{34}{90}+\frac{7}{9}=\frac{34}{90}+\frac{70}{90}=\frac{104}{90}=\frac{52}{45}$$
Zadanie nr 30 · Próbny 2019
Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa \(1\). Oblicz długość przekątnej tego kwadratu. Wynik zapisz w postaci \(a+b\sqrt{c}\).
Krok 1. Ułożenie równania.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro suma długości boku i przekątnej jest równa \(1\), to możemy ułożyć następujące równanie:
$$a+a\sqrt{2}=1$$
Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Rozwiązywanie naszego równania zaczynamy od wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias:
$$a+a\sqrt{2}=1$$
$$a\cdot(1+\sqrt{2})=1$$
$$a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$
Teraz musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. Aby pozbyć się tej niewymierności to musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(1-\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})}$$
$$a=\frac{1-\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2}$$
$$a=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}$$
$$a=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}$$
$$a=-1+\sqrt{2}$$
$$a=\sqrt{2}-1$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Wiemy już, że nasz kwadrat ma bok o długości \(a=\sqrt{2}-1\), zatem przekątna tego kwadratu będzie miała długość:
$$d=a\sqrt{2}$$
$$d=(\sqrt{2}-1)\cdot\sqrt{2}$$
$$d=2-\sqrt{2}$$
Zadanie nr 4 · Matura 2019
Liczba dodatnia \(a\) jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o \(50\%\), a jego mianownik zwiększymy o \(50\%\), to otrzymamy liczbę \(b\) taką, że:
A\(b=\frac{1}{4}a\)
B\(b=\frac{1}{3}a\)
C\(b=\frac{1}{2}a\)
D\(b=\frac{2}{3}a\)
Krok 1. Zapisanie wyrażeń na podstawie treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy sobie, że \(x\) to jest liczba znajdująca się w liczniku, a \(y\) to będzie liczba znajdująca się w mianowniku to z treści zadania wynika, że:
$$a=\frac{x}{y}$$
$$b=\frac{0,5\cdot x}{1,5\cdot y}$$
Krok 2. Podstawienie liczby \(a\) do liczby \(b\).
Rozpisując liczbę \(b\) i podstawiając w miejsce \(\frac{x}{y}\) wartość równą \(a\) otrzymamy:
\(b=\frac{0,5}{1,5}\cdot\frac{x}{y}=\frac{0,5}{1,5}\cdot a=\frac{1}{3}a\)
Zadanie nr 21 · Matura 2019
Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) jest:
A\(60\)
B\(45\)
C\(30\)
D\(15\)
Tak prawdę mówiąc, to można tutaj wskazać prawidłową odpowiedź bez żadnych większych obliczeń. Patrząc się na to zadanie tak analitycznie, to podzielna przez \(6\) jest co szósta liczba. Liczb dwucyfrowych jest \(90\). W takim razie nie ma szans by liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) było aż \(30\), \(45\), czy \(60\). Spodziewamy się, że tych liczb jest około \(15\), bo \(90:6=15\). Co prawda takie liczenie może być czasem złudne i trzeba byłoby się zastanowić czy tych liczb jest dokładnie \(15\) (bo mogą się one różnie ułożyć), ale na tym wstępnym etapie rozwiązywania jesteśmy w stanie powiedzieć, że tych liczb jest \(15\), może \(14\), może \(16\).
Ta prosta analiza umożliwiała zaznaczenie poprawnej odpowiedzi dosłownie w kilka sekund. Gdyby jednak pojawiły się tutaj inne liczby lub nieco inne odpowiedzi, to trzeba byłoby podejść do tego w sposób bardziej matematyczny, korzystając z wiadomości na temat ciągów arytmetycznych.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Liczby podzielne przez \(6\) tworzą ciąg arytmetyczny w którym \(r=6\). Musimy się jeszcze tylko zastanowić jaki jest pierwszy wyraz naszego ciągu. Skoro mają to być liczby dwucyfrowe, to najmniejszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(6\) jest \(12\). Zatem możemy przyjąć, że \(a_{1}=12\).
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Za pomocą tego wzoru spróbujemy określić ile wyrazów naszego ciągu jest mniejszych od \(100\). Musimy zatem rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{1}+(n-1)r\lt100$$
Podstawiając \(a_{1}=12\) oraz \(r=6\) otrzymamy:
$$12+(n-1)\cdot6\lt100$$
$$12+6n-6\lt100$$
$$6n+6\lt100$$
$$6n\lt94$$
$$n\lt15\frac{2}{3}$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ciągach nasze \(n\) jest zawsze liczbą naturalną, zatem moglibyśmy zapisać, że nasza nierówność spełniania jest przez \(n\in\{1,2,3,...,13,14,15\}\). To oznacza, że mamy \(15\) liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\).
Zadanie nr 2 · Matura 2019
Liczba naturalna \(n=2^{14}\cdot5^{15}\) w zapisie dziesiętnym ma:
A\(14\) cyfr
B\(15\) cyfr
C\(16\) cyfr
D\(30\) cyfr
Krok 1. Rozpisanie podanego działania.
Nie sprowadzimy tych liczb do jednakowej podstawy potęgi, ale za to możemy sprowadzić te liczby do jednakowego wykładnika potęgi. Możemy to rozpisać w następujący sposób:
$$2^{14}\cdot5^{14}\cdot5=5\cdot10^{14}$$
Krok 2. Analiza otrzymanego wyniku.
Zapis \(5\cdot10^{14}\) to nic innego jak zapis w postaci notacji wykładniczej. Ta liczba będzie więc miała piątkę na początku oraz \(14\) zer. W związku z tym będzie miała ona dokładnie \(15\) cyfr.
Zadanie nr 14 · Próbny 2019
Pierwiastek kwadratowy z liczby \(a\) jest równy \(36\). Która z podanych równości jest nieprawdziwa?
A\(\sqrt{a^2}=6^2\)
B\(a=36^2\)
C\(\frac{\sqrt{a}}{6}=6\)
D\(\sqrt[3]{a^3}=6^4\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Nie jest to krok konieczny, ale na pewno pomaga w zrozumieniu istoty zapisów, które pojawiają się w odpowiedziach i pozwala też szybko zweryfikować poprawność naszego wyboru. Skoro pierwiastek kwadratowy z \(a\) jest równy \(36\), to \(a\) jest równe \(36^2\), czyli \(1296\).
Krok 2. Sprawdzenie poprawności odpowiedzi.
Sprawdźmy teraz poprawność każdej z odpowiedzi.
Odp. A. To jest nieprawda, bo zgodnie z definicją pierwiastków, \(\sqrt{a^2}\) będzie równe \(|a|\), czyli w naszym przypadku byłoby to \(1296\). Tymczasem po prawej stronie równania mamy \(6^2\) które jest równe \(36\).
Odp. B. To prawda, co zresztą wykorzystaliśmy do poznania wartości tej liczby w pierwszym kroku.
Odp. C. To prawda, bowiem skoro pierwiastek z \(a\) to \(36\), to mamy ułamek \(\frac{36}{6}\), co faktycznie jest równe \(6\).
Odp. D. To prawda. Po lewej stronie równania pierwiastek z potęgą się skrócą, czyli zostanie nam \(a\) (o którym wiemy już, że to jest \(1296\)). Po prawej stronie mamy \(6^4\), co jest równe właśnie \(1296\).
Nieprawdziwa była więc pierwsza równość.
Zadanie nr 1 · Matura 2018
Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o \(10\%\) zmniejszyła się o \(2018\) zł. Ten towar po tej obniżce kosztował:
A\(20180\) zł
B\(18162\) zł
C\(2108\) zł
D\(2028\) zł
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,1x\) - wysokość zniżki
\(0,9x\) - cena towaru po obniżce
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że obniżka wyniosła \(2018zł\), czyli:
$$0,1x=2018zł \quad\bigg/\cdot10$$
$$x=20180zł$$
Krok 3. Obliczenie ceny towaru po zniżce.
Zgodnie z oznaczeniami wiemy, że towar kosztował na początku \(20180zł\). Obniżka wyniosła \(2018zł\), zatem po obniżce towar kosztował:
$$20180zł-2018zł=18162zł$$
Mogliśmy też wykorzystać informację, że cena towaru po obniżce stanowi \(0,9x\), czyli:
$$0,9\cdot20180zł=18162zł$$
Zadanie nr 2 · Matura 2018
Liczba \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) jest równa:
A\(2^{\frac{1}{6}}\)
B\(2^{\frac{1}{5}}\)
C\(2^{\frac{1}{3}}\)
D\(2^{\frac{2}{3}}\)
Korzystając z działań na pierwiastkach możemy zapisać, że:
$$\sqrt{\sqrt[3]{2}}=\sqrt{2^\frac{1}{3}}=(2^\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}2^{\frac{1}{6}}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2018
Dane są liczby \(x=4,5\cdot10^{-8}\) oraz \(y=1,5\cdot10^{2}\). Wtedy iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy:
A\(3\cdot10^{-10}\)
B\(3\cdot10^{-6}\)
C\(6,75\cdot10^{-10}\)
D\(6,75\cdot10^{-4}\)
Najprościej to zadanie rozwiążemy rozpisując całą sytację w następujący sposób:
$$\frac{4,5\cdot10^{-8}}{1,5\cdot10^{2}}=\frac{4,5}{1,5}\cdot\frac{10^{-8}}{10^{2}}=3\cdot10^{-8-2}=3\cdot10^{-10}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2018
Liczba \(b\) jest przybliżeniem liczby \(a=\frac{25}{4}\). Błąd względny tego przybliżenia jest równy \(4\%\). Wskaż błąd bezwzględny tego przybliżenia.
A\(0,04\)
B\(0,25\)
C\(0,64\)
D\(2,5\)
Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd bezwzględny obliczymy korzystając ze wzoru na błąd względny \(δ=\frac{Δx}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(Δx\) - błąd bezwzględny
\(x\) - dokładna wartość
W naszym przypadku:
\(x=a=\frac{25}{4}=6,25\)
\(δ=4\%=0,04\)
Krok 2. Obliczenie błędu bezwzględnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd bezwzględny obliczymy w następujący sposób:
$$δ=\frac{Δx}{x}$$
$$0,04=\frac{Δx}{6,25}$$
$$Δx=0,25$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2018
Dla każdej dodatniej liczby \(x\) wyrażenie \(\frac{x\cdot x^{1,5}}{x^{-2}}\) jest równe:
A\(x^{-0,75}\)
B\(x^{-0,5}\)
C\(x^{0,5}\)
D\(x^{4,5}\)
Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{x\cdot x^{1,5}}{x^{-2}}=\frac{x^1\cdot x^{1,5}}{x^{-2}}=\frac{x^{2,5}}{x^{-2}}=x^{2,5}:x^{-2}=x^{2,5-(-2)}=x^{4,5}$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2018
Wynikiem działania \(49^{-6}:7^{-15}\) jest:
A\(7^{-21}\)
B\(7^3\)
C\(7^8\)
D\(7^{-27}\)
Zamieniając liczbę \(49\) na \(7^2\) oraz korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$49^{-6}:7^{-15}=(7^2)^{-6}:7^{-15}=7^{-12}:7^{-15}=$$
$$=7^{-12-(-15)}=7^{-12+15}=7^3$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2018
Liczbą odwrotną do liczby \(\frac{\sqrt{6}-3}{3}\) jest:
A\(\frac{3-\sqrt{6}}{3}\)
B\(-\sqrt{6}-3\)
C\(3+\sqrt{6}\)
D\(\frac{\sqrt{6}+3}{5}\)
Aby otrzymać liczbę odwrotną wystarczy zamienić miejscami licznik z mianownikiem. W ten sposób otrzymamy liczbę \(\frac{3}{\sqrt{6}-3}\). To jednak nie koniec zadania, bo dodatkowo będziemy musieli wykonać jeszcze usunięcie niewymierności z mianownika. Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$\frac{3}{\sqrt{6}-3}=\frac{3\cdot(\sqrt{6}+3)}{(\sqrt{6}-3)\cdot(\sqrt{6}+3)}=$$
$$=\frac{3\sqrt{6}+9)}{(6-9)}=\frac{3\sqrt{6}+9)}{-3}=-\sqrt{6}-3$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2018
Liczba \(2-2(\sqrt{3}-1)^2\):
Anależy do przedziału \(\langle 1;\infty )\)
Bjest ujemna
Cjest równa \(0\)
Dnależy do przedziału \((0;1)\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$2-2(\sqrt{3}-1)^2=2-2\cdot(3-2\sqrt{3}+1)=2-2\cdot(4-2\sqrt{3})=$$
$$=2-8+4\sqrt{3}=-6+4\sqrt{3}\approx-6+6,92\approx0,92$$
To oznacza, że ta liczba należy do przedziału \((0;1)\).
Zadanie nr 4 · Matura 2018
Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o \(10\%\) w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje \(1944\) złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował:
A\(2200\) złotych
B\(2300\) złotych
C\(2400\) złotych
D\(3000\) złotych
\(x\) - cena komputera przed obniżkami
\(x-0,1x=0,9x\) - cena komputera po pierwszej obniżce
\(0,9\cdot0,9x=0,81x\) - cena komputera po drugiej obniżce
Z treści zadania wynika, że po dwóch obniżkach komputer kosztował \(1944\) złotych, czyli:
$$0,81x=1944zł$$
$$x=2400zł$$
To oznacza, że przed obniżkami komputer kosztował \(2400zł\).
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.