Liceum Ogólnokształcące — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
✍Zadania dodatkowe 60
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zadanie nr 1
Dana jest funkcja $f(x)=3x-5$. Oblicz $f(4)$.
A$-5$
B$5$
C$7$
D$12$
Obliczenie wartości funkcji polega na wstawieniu liczby w miejsce $x$:
$$f(4)=3\cdot4-5=12-5=7$$
Pułapka: odpowiedź D to wynik po samym pomnożeniu, bez odjęcia $5$.
Odpowiedź: C. $f(4)=7$.
Zadanie nr 2
Dla funkcji $f(x)=x^2-4$ oblicz $f(0)$, $f(3)$ oraz $f(-3)$.
Podstawiamy kolejne argumenty:
$$f(0)=0^2-4=-4$$
$$f(3)=3^2-4=9-4=5$$
$$f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5$$
Uwaga na nawias: $(-3)^2=9$, a nie $-9$ — podnosimy do kwadratu całą liczbę ujemną.
Obserwacja: $f(3)=f(-3)$, bo funkcja zależy tylko od $x^2$. Jej wykres jest symetryczny względem osi OY.
Odpowiedź: $f(0)=-4$, $f(3)=5$, $f(-3)=5$.
Zadanie nr 3
Dla funkcji $f(x)=2x+1$ wyznacz argument, dla którego wartość funkcji wynosi $9$.
Tym razem znamy wartość, a szukamy argumentu — układamy równanie $f(x)=9$:
$$2x+1=9$$
Rozwiązujemy:
$$2x=8 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Sprawdzenie: $f(4)=2\cdot4+1=9$ ✔
Odpowiedź: $x=4$.
Zadanie nr 4
Jaka jest dziedzina funkcji $f(x)=\frac{5}{x-3}$?
Awszystkie liczby rzeczywiste
Bwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $3$
Cwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $0$
Dwszystkie liczby rzeczywiste oprócz $-3$
Mianownik ułamka nie może być zerem, więc wykluczamy argumenty spełniające:
$$x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$
Zatem dziedziną jest zbiór:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$
Pułapka ze znakiem: w mianowniku stoi $x-3$, więc wykluczamy $3$, a nie $-3$.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 5
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\sqrt{x-2}$.
Pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, więc żądamy:
$$x-2\ge 0$$
Rozwiązujemy nierówność:
$$x\ge 2$$
Dziedzina to przedział:
$$D=\langle 2,\,+\infty)$$
Uwaga: nierówność jest nieostra, bo $\sqrt{0}=0$ jest poprawną wartością — liczba $2$ należy do dziedziny.
Odpowiedź: $D=\langle 2,\,+\infty)$.
Zadanie nr 6
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=4x-12$.
Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero:
$$f(x)=0 \quad\Rightarrow\quad 4x-12=0$$
Rozwiązujemy:
$$4x=12 \quad\Rightarrow\quad x=3$$
Interpretacja geometryczna: wykres przecina oś OX w punkcie $(3,\,0)$.
Odpowiedź: miejsce zerowe to $x=3$.
Zadanie nr 7
Który z podanych przyporządkowań nie jest funkcją?
Akażdemu uczniowi przypisano jego datę urodzenia
Bkażdej liczbie przypisano jej kwadrat
Ckażdemu miastu przypisano liczbę mieszkańców
Dkażdej liczbie przypisano liczby od niej większe
Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.
W przypadku D jednej liczbie odpowiada nieskończenie wiele liczb większych — na przykład liczbie $2$ odpowiadają $3$, $4$, $5$ i tak dalej. To narusza definicję funkcji.
Pozostałe przypadki są funkcjami: uczeń ma jedną datę urodzenia, liczba jeden kwadrat, a miasto jedną liczbę mieszkańców.
Uwaga: funkcja może przypisać tę samą wartość różnym argumentom — to dozwolone. Zabronione jest tylko dwie wartości dla jednego argumentu.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 8
Funkcja $f$ ma dziedzinę $\langle -3,\,5\rangle$. Na wykresie funkcja rośnie na przedziale $\langle -3,\,1\rangle$, a maleje na $\langle 1,\,5\rangle$. Podaj argument, dla którego funkcja osiąga wartość największą, i uzasadnij.
Analiza przebiegu. Idąc od lewej krawędzi dziedziny, wartości rosną aż do $x=1$, a potem zaczynają maleć.
Punkt $x=1$ jest więc szczytem wykresu — na lewo od niego wartości są mniejsze (bo funkcja dopiero rosła), a na prawo również mniejsze (bo zaczęła maleć).
Wniosek: wartość największa jest osiągana dla $x=1$ i wynosi $f(1)$.
Gdzie jest wartość najmniejsza: na jednym z końców dziedziny — trzeba porównać $f(-3)$ z $f(5)$, bo z samej monotoniczności tego nie rozstrzygniemy.
Odpowiedź: wartość największa dla $x=1$.
Zadanie nr 9
Funkcja $f(x)=-2x+6$ jest:
Amalejąca w całej dziedzinie
Brosnąca w całej dziedzinie
Cstała
Drosnąca, a potem malejąca
O monotoniczności funkcji liniowej decyduje współczynnik kierunkowy $a$:
Krok 2 — gdzie wartości są ujemne. Parabola ma ramiona skierowane w górę ($a=1>0$), więc leży pod osią OX pomiędzy miejscami zerowymi:
$$f(x)\lt 0 \iff x\in(-3,\,3)$$
Sprawdzenie: $f(0)=-9\lt 0$ — punkt $0$ leży w tym przedziale ✔, a $f(4)=16-9=7>0$ — punkt $4$ leży poza nim ✔
Odpowiedź: miejsca zerowe $x=-3$ i $x=3$; wartości ujemne dla $x\in(-3,\,3)$.
Zadanie nr 13
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$.
Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:
$$x^2-4=0$$
Rozkładamy na czynniki:
$$(x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-2$$
Zatem dziedziną jest:
$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$$
Uwaga: licznik nie ma tu żadnego znaczenia — dziedzinę ogranicza wyłącznie mianownik. Trzeba też wykluczyć obie liczby, nie tylko jedną.
Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\}$.
Zadanie nr 14
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+2$ jest:
A$\mathbb{R}$
B$\langle 0,\,+\infty)$
C$\langle 2,\,+\infty)$
D$(2,\,+\infty)$
Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny:
$$x^2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2\ge 2$$
Najmniejsza wartość $2$ jest osiągana dla $x=0$, więc należy do zbioru wartości — dlatego przedział jest domknięty od lewej.
Różnica między C a D: odpowiedź D wyklucza liczbę $2$, a przecież $f(0)=2$.
Odpowiedź: C. $ZW=\langle 2,\,+\infty)$.
Zadanie nr 15
Sprawdź, czy punkty $A=(1,\,4)$ i $B=(-2,\,-5)$ należą do wykresu funkcji $f(x)=3x+1$.
Punkt $A=(1,\,4)$. Obliczamy wartość funkcji dla $x=1$:
$$f(1)=3\cdot1+1=4$$
Wynik zgadza się z drugą współrzędną punktu, więc $A$ należy do wykresu.
Punkt $B=(-2,\,-5)$. Obliczamy wartość dla $x=-2$:
$$f(-2)=3\cdot(-2)+1=-6+1=-5$$
Również się zgadza, więc $B$ także należy do wykresu.
Wniosek dodatkowy: oba punkty leżą na tej samej prostej — można to wykorzystać do jej narysowania, bo dwa punkty wyznaczają prostą.
Odpowiedź: oba punkty należą do wykresu.
Zadanie nr 16
Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie o współrzędnych:
A$(0,\,f(0))$
B$(f(0),\,0)$
C$(0,\,0)$ zawsze
Dw miejscu zerowym funkcji
Na osi OY pierwsza współrzędna jest zawsze równa zeru, więc punkt przecięcia ma postać $(0,\,y)$, gdzie $y$ to wartość funkcji dla argumentu $0$:
$$y=f(0)$$
Nie mylić z miejscem zerowym — to punkt przecięcia z osią OX, gdzie $f(x)=0$. Są to dwie różne rzeczy.
Przykład: dla $f(x)=2x+6$ wykres przecina OY w $(0,\,6)$, a OX w $(-3,\,0)$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 17
Funkcja $f$ przyporządkowuje liczbie naturalnej resztę z dzielenia tej liczby przez $3$. Oblicz $f(7)$, $f(9)$ i $f(11)$ oraz podaj zbiór wartości tej funkcji.
Obliczamy reszty:
$$7=3\cdot2+1 \quad\Rightarrow\quad f(7)=1$$
$$9=3\cdot3+0 \quad\Rightarrow\quad f(9)=0$$
$$11=3\cdot3+2 \quad\Rightarrow\quad f(11)=2$$
Zbiór wartości. Reszta z dzielenia przez $3$ jest zawsze mniejsza od $3$ i nieujemna, więc możliwe wyniki to:
$$ZW=\{0,\,1,\,2\}$$
Ciekawostka: ta funkcja przypisuje tę samą wartość nieskończenie wielu argumentom (np. $f(3)=f(6)=f(9)=0$) — to całkowicie zgodne z definicją funkcji.
Koszt wynajmu roweru to $15$ zł opłaty stałej plus $4$ zł za każdą godzinę. Zapisz koszt jako funkcję liczby godzin, oblicz koszt wynajmu na $5$ godzin i sprawdź, na ile godzin wystarczy $51$ zł.
Krok 1 — wzór funkcji. Niech $x$ oznacza liczbę godzin:
$$K(x)=15+4x$$
Krok 2 — koszt za $5$ godzin:
$$K(5)=15+4\cdot5=15+20=35\ \text{zł}$$
Krok 3 — na ile godzin wystarczy $51$ zł. Rozwiązujemy równanie $K(x)=51$:
Uwaga na dziedzinę: liczba godzin nie może być ujemna, więc sensowna dziedzina to $x\ge 0$.
Odpowiedź: $K(x)=15+4x$; za $5$ godzin zapłacimy $35$ zł; $51$ zł wystarczy na $9$ godzin.
Zadanie nr 19
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=(x-2)(x+5)$ i podaj współrzędne punktu przecięcia jej wykresu z osią OY.
Krok 1 — miejsca zerowe. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik:
$$x-2=0 \ \text{ lub } \ x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=-5$$
Postać iloczynowa jest tu bardzo wygodna — miejsca zerowe odczytujemy niemal wprost, pamiętając o zmianie znaku.
Krok 2 — przecięcie z osią OY. Podstawiamy $x=0$:
$$f(0)=(0-2)(0+5)=(-2)\cdot5=-10$$
Punkt przecięcia to $(0,\,-10)$.
Odpowiedź: miejsca zerowe $x=2$ i $x=-5$; wykres przecina oś OY w punkcie $(0,\,-10)$.
Zadanie nr 20
Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{x+3}{x-1}$. Wyznacz jej dziedzinę, oblicz $f(4)$ i sprawdź, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość $0$.
Krok 4 — zbiór wartości. Ramiona w górę, wierzchołek najniżej:
$$ZW=\langle-4,\ +\infty)$$
Kontrola. Wierzchołek leży w środku między miejscami zerowymi: $\frac{-1+3}{2}=1$ ✔
Odpowiedź: miejsca zerowe $-1$ i $3$, wierzchołek $(1,\ -4)$, $ZW=\langle-4,+\infty)$.
Zadanie nr 19
Na podstawie wzoru $f(x)=\dfrac{12}{x}$ opisz zachowanie funkcji, gdy $x$ rośnie do nieskończoności oraz gdy $x$ zbliża się do zera od strony dodatniej.
Krok 1 — $x\to+\infty$. Dzieląc $12$ przez coraz większe liczby, otrzymujemy wartości coraz bliższe zeru:
$$f(x)\to0^+$$
Wykres zbliża się do asymptoty poziomej $y=0$.
Krok 2 — $x\to0^+$. Dzieląc $12$ przez coraz mniejsze dodatnie liczby, wartości rosną nieograniczenie:
$$f(x)\to+\infty$$
Wykres „ucieka" wzdłuż asymptoty pionowej $x=0$.
Interpretacja. Te dwie asymptoty ($x=0$ i $y=0$) charakteryzują każdą hiperbolę $\frac{a}{x}$ — proporcjonalność odwrotna oznacza, że iloczyn $x\cdot f(x)=12$ jest stały.
Odpowiedź: dla $x\to+\infty$ wartości dążą do $0$; dla $x\to0^+$ rosną do $+\infty$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że funkcja $f(x)=x^2$ nie jest różnowartościowa, podając kontrprzykład, i wyjaśnij to na wykresie.
Krok 1 — definicja. Funkcja jest różnowartościowa, gdy różnym argumentom odpowiadają różne wartości. Aby obalić, wystarczy jeden kontrprzykład.
Krok 2 — kontrprzykład:
$$f(2)=4,\qquad f(-2)=4$$
Dwa różne argumenty ($2$ i $-2$) dają tę samą wartość ($4$), więc funkcja nie jest różnowartościowa. $\qquad ∎$
Krok 3 — interpretacja graficzna. Parabola jest symetryczna względem osi $OY$, więc pozioma prosta $y=4$ przecina wykres w dwóch punktach: $(-2,\ 4)$ i $(2,\ 4)$. To „test poziomej prostej" — jeśli jakaś pozioma prosta przecina wykres więcej niż raz, funkcja nie jest różnowartościowa.
Uwaga. Gdyby ograniczyć dziedzinę do $\langle0,+\infty)$, funkcja stałaby się różnowartościowa — różnowartościowość zależy od dziedziny.
Wniosek: $f(2)=f(-2)=4$ przy $2\neq-2$ dowodzi, że $f(x)=x^2$ nie jest różnowartościowa.
Zadanie nr 1
Wykres funkcji $g(x)=f(x)+3$ powstaje z wykresu $f$ przez przesunięcie:
Ao $3$ w prawo
Bo $3$ w górę
Co $3$ w lewo
Do $3$ w dół
Dodanie liczby na zewnątrz funkcji zmienia wartości, czyli przesuwa wykres pionowo.
$$f(x)+q \ \to\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż osi } OY$$
Odpowiedź: B. o $3$ w górę.
Zadanie nr 2
Jak powstaje wykres funkcji $g(x)=f(x-4)$ z wykresu funkcji $f$?
Liczba wewnątrz nawiasu przesuwa wykres poziomo.
$$f(x-p) \ \to\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż osi } OX$$
Tutaj $p=4$, więc wykres przesuwa się o $4$ jednostki w prawo.
Uwaga na znak: minus w nawiasie oznacza przesunięcie w prawo — to często myli. Sprawdzian: dla $f(x)=x^2$ wierzchołek $f(x-4)=(x-4)^2$ leży w $x=4$.
Odpowiedź: przez przesunięcie o $4$ w prawo.
Zadanie nr 3
Punkt $(2,\,5)$ należy do wykresu funkcji $f$. Do wykresu jakiej funkcji należy punkt $(2,\,8)$?
Argument się nie zmienił, a wartość wzrosła o $3$:
$$g(x)=f(x)+3$$
Sprawdzenie: $g(2)=f(2)+3=5+3=8$ ✔
Odpowiedź: $g(x)=f(x)+3$.
Zadanie nr 4
Wykres funkcji $g(x)=-f(x)$ powstaje przez symetrię względem:
Aosi $OX$
Bosi $OY$
Cpoczątku układu
Dprostej $y=x$
Zmiana znaku wartości odbija wykres w poziomej osi:
$$(x,\,y)\ \to\ (x,\,-y)$$
Dla porównania: $g(x)=f(-x)$ zmienia znak argumentu i daje symetrię względem osi $OY$.
Odpowiedź: A. osi $OX$.
Zadanie nr 5
Wykres funkcji $f(x)=x^2$ przesunięto o $2$ w górę. Podaj wzór nowej funkcji i współrzędne jej wierzchołka.
Wzór:
$$g(x)=x^2+2$$
Wierzchołek. Był w $(0,\,0)$, więc po przesunięciu o $2$ w górę jest w:
$$(0,\,2)$$
Odpowiedź: $g(x)=x^2+2$, wierzchołek $(0,\,2)$.
Zadanie nr 6
Wykres funkcji $g(x)=f(x+5)$ jest przesunięty względem wykresu $f$:
Ao $5$ w górę
Bo $5$ w dół
Co $5$ w prawo
Do $5$ w lewo
Zapis $f(x+5)$ to $f(x-(-5))$, więc $p=-5$ — przesunięcie w lewo.
Sprawdzian intuicyjny: funkcja osiąga tę samą wartość o $5$ jednostek wcześniej, bo do argumentu dodano $5$.
Odpowiedź: D. o $5$ w lewo.
Zadanie nr 7
Wykres funkcji $f(x)=x^2$ przesunięto o $3$ w prawo i o $1$ w dół. Podaj wzór nowej funkcji i jej wierzchołek.
Krok 1 — przesunięcie poziome (do nawiasu wstawiamy $x-3$):
$$(x-3)^2$$
Krok 2 — przesunięcie pionowe (odejmujemy $1$ na zewnątrz):
$$g(x)=(x-3)^2-1$$
Krok 3 — wierzchołek:
$$W=(3,\,-1)$$
Reguła ogólna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ ma wierzchołek $(p,\,q)$.
Wykres funkcji $f$ przesunięto o wektor $[-3,\,2]$. Punkt $(5,\,1)$ przeszedł na jaki punkt?
Do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora:
$$(5-3,\ 1+2)=(2,\,3)$$
Uwaga: we wzorze funkcji przesunięcie o wektor $[p,\,q]$ zapisujemy jako $g(x)=f(x-p)+q$, czyli tutaj $g(x)=f(x+3)+2$.
Odpowiedź: $(2,\,3)$.
Zadanie nr 14
Funkcja $g(x)=-x^2$ w porównaniu z $f(x)=x^2$ ma ramiona:
Askierowane w dół
Bskierowane w górę
Cprzesunięte w prawo
Dtakie same
Minus przed całą funkcją odbija wykres względem osi $OX$ — parabola „przewraca się".
Konsekwencja: wierzchołek $(0,\,0)$ pozostaje w tym samym miejscu, ale z minimum staje się maksimum.
Odpowiedź: A. skierowane w dół.
Zadanie nr 15
Podaj wzór funkcji, której wykres powstaje z $f(x)=|x|$ przez przesunięcie o $2$ w lewo i o $3$ w dół. Gdzie leży wierzchołek?
Krok 1 — przesunięcie w lewo (do środka dodajemy $2$):
$$|x+2|$$
Krok 2 — przesunięcie w dół:
$$g(x)=|x+2|-3$$
Krok 3 — wierzchołek. Wykres $|x|$ miał wierzchołek w $(0,\,0)$:
$$W=(-2,-3)$$
Sprawdzenie: $g(-2)=0-3=-3$ ✔
Odpowiedź: $g(x)=|x+2|-3$, wierzchołek $(-2,-3)$.
Zadanie nr 16
Które przekształcenie nie zmienia zbioru wartości funkcji?
Aprzesunięcie o $3$ w górę
Bsymetria względem osi $OX$
Cprzesunięcie o $2$ w dół
Dprzesunięcie o $4$ w prawo
Przesunięcie poziome zmienia tylko argumenty — wartości pozostają te same, więc zbiór wartości się nie zmienia.
Pozostałe: przesunięcia pionowe przesuwają cały zbiór wartości, a symetria względem $OX$ go odbija (np. $\langle0,\infty)$ przechodzi na $(-\infty,\,0\rangle$).
Odpowiedź: D. przesunięcie o $4$ w prawo.
Zadanie nr 17
Funkcja $f(x)=x^2$ została przekształcona kolejno: symetria względem osi $OX$, potem przesunięcie o $5$ w górę. Podaj wzór wyniku, wierzchołek i zbiór wartości.
Krok 1 — symetria względem $OX$:
$$-x^2$$
Krok 2 — przesunięcie o $5$ w górę:
$$g(x)=-x^2+5$$
Krok 3 — wierzchołek:
$$W=(0,\,5)$$
Krok 4 — zbiór wartości. Ramiona w dół, więc $5$ jest wartością największą:
$$ZW=(-\infty,\,5\rangle$$
Uwaga na kolejność. Gdybyśmy najpierw przesunęli o $5$ w górę, a potem odbili, dostalibyśmy $-\left(x^2+5\right)=-x^2-5$ — zupełnie inny wynik. Kolejność przekształceń ma znaczenie.
Wykres funkcji $f$ ma miejsce zerowe w punkcie $x=3$. Podaj miejsca zerowe funkcji $g(x)=f(x-2)$ oraz $h(x)=f(x)+1$, o ile istnieją.
Funkcja $g$. Przesunięcie o $2$ w prawo przesuwa też miejsce zerowe:
$$x=3+2=5$$
Sprawdzenie: $g(5)=f(5-2)=f(3)=0$ ✔
Funkcja $h$. Przesunięcie pionowe podnosi cały wykres o $1$. W punkcie $x=3$ wartość wynosi teraz $0+1=1$, a nie zero.
Wniosek: nie da się określić miejsc zerowych $h$ bez znajomości całego wykresu $f$ — mogą istnieć gdzie indziej albo wcale, jeśli cały wykres $f$ leży nad prostą $y=-1$.
Odpowiedź: $g$ ma miejsce zerowe w $x=5$; dla $h$ nie można tego ustalić z podanych danych.
Zadanie nr 19
Zapisz funkcję $f(x)=x^2-6x+11$ w postaci kanonicznej i opisz, jak jej wykres powstaje z wykresu $y=x^2$.
Krok 1 — uzupełniamy do kwadratu. Połowa współczynnika przy $x$ to $-3$, a $(-3)^2=9$, więc rozbijamy $11=9+2$:
$$x^2-6x+11=\left(x^2-6x+9\right)+2=(x-3)^2+2$$
Krok 2 — odczyt przekształceń. Z postaci $(x-3)^2+2$ wynika:
przesunięcie o $3$ w prawo
przesunięcie o $2$ w górę
Krok 3 — wierzchołek: $W=(3,\,2)$.
Sprawdzenie: $f(3)=9-18+11=2$ ✔
Odpowiedź: $f(x)=(x-3)^2+2$; przesunięcie o wektor $[3,\,2]$.
Zadanie nr 20
Funkcja $f$ jest określona dla $x\in\langle-2,\,6\rangle$. Podaj dziedzinę funkcji $g(x)=f(x-3)$ oraz $h(x)=f(-x)$.
Funkcja $g$. Wyrażenie $x-3$ musi należeć do dziedziny $f$:
Przykład: $f(x) = -2x + 6$. Znajdź: miejsce zerowe, wartość $f(4)$, narysuj.
MZ: $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$, punkt $(3,0)$
Przecięcie z $OY$: $(0,6)$
$f(4) = -2\cdot4+6 = -2$, punkt $(4,-2)$
Funkcja malejąca ($a=-2 \lt 0$)
⚡ Zapamiętaj: Interpretacja "a": wzrost $x$ o 1 jednostkę powoduje wzrost $f(x)$ o $a$ jednostek. Np. przy $a=-2$: każda dodatkowa jednostka $x$ zmniejsza $f$ o 2.
Pochodna — pojęcie i interpretacja
Definicja: Pochodna funkcji $f$ w punkcie $x_0$ to granica ilorazu różnicowego:
$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$
Jeśli ta granica istnieje, mówimy że $f$ jest różniczkowalna w $x_0$.
Prosto mówiąc: Pochodna to chwilowe tempo zmiany — jak prędkościomierz w samochodzie. Prędkość = pochodna drogi po czasie $v(t) = s'(t)$.
Prosto mówiąc: Parabola otwarta w górę ($a>0$) ma minimum w wierzchołku. Otwarta w dół ($a\lt 0$) — maksimum. Wierzchołek to "środek symetrii" paraboli.
Miejsca zerowe: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta > 0$: dwa miejsca zerowe
$\Delta = 0$: jedno MZ (wierzchołek na osi OX)
$\Delta \lt 0$: brak MZ (parabola nie przecina OX)
⚡ Zapamiętaj: Postać iloczynowa od razu daje MZ. Postać kanoniczna od razu daje wierzchołek. Postać ogólna jest najlepsza do wyznaczania $\Delta$. Ucz się przechodzić między nimi!
Funkcja wykładnicza — definicja i własności
Definicja: $f(x) = a^x$, gdzie $a > 0$, $a \neq 1$, $x \in \mathbb{R}$.
Własności: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0, +\infty)$, $f(0)=1$, $f(1)=a$.
Równanie $a^x = b$ ma rozwiązanie: $x = \log_a b$ (dla $b > 0$).
Prosto mówiąc: Wykładnicza opisuje wzrost/spadek geometryczny — zdwajanie co pewien czas (np. bakterie) lub rozpad (np. radioaktywny). "Wykładnik to nieznana" — różnica od potęgi $x^2$, gdzie wykładnik jest stały.
$0 < a \lt 1$: malejąca; $\lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty$, $\lim_{x\to+\infty}a^x=0$
Naturalna baza: $e \approx 2{,}718$; $f(x)=e^x$ — podstawa analizy matematycznej.
Prawa działań: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$; $(a^m)^n=a^{mn}$.
Przykład: Rozwiąż $2^{2x-1} = 8$.
$8 = 2^3$, więc $2^{2x-1} = 2^3$
$2x-1=3 \Rightarrow x=2$
⚡ Zapamiętaj: $a^x > 0$ zawsze (wykładnicza nigdy nie jest zerem!). Czas podwojenia przy wzroście geometrycznym: $T = \dfrac{\ln 2}{\ln a}$ (np. dla $a=2$: $T=1$, dla $a=1{,}07$: $T\approx10{,}2$ lat).
Tw. Weierstrassa: funkcja ciągła na $[a,b]$ osiąga max i min. Tw. Darboux (wartości pośredniej): $f(a)\lt 0\lt f(b)$ → $\exists c\in(a,b): f(c)=0$.
Wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze — ciągłe wszędzie. $\frac{1}{x}$ — nieciągła w $x=0$.
Funkcja logarytmiczna — definicja i własności
Definicja: $f(x) = \log_a x$, gdzie $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$.
Funkcja odwrotna do $a^x$: $\log_a(a^x) = x$ i $a^{\log_a x} = x$.
Dziedzina: $(0,+\infty)$; zbiór wartości: $\mathbb{R}$; $f(1)=0$, $f(a)=1$.
Prosto mówiąc: $\log_a b$ odpowiada na pytanie: "Do jakiej potęgi podnieść $a$, żeby dostać $b$?". $\log_2 8 = 3$, bo $2^3=8$.
Wzory logarytmiczne:
$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
$\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
$\log_a x^n = n\log_a x$
Zmiana podstawy: $\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a} = \dfrac{\ln x}{\ln a}$
Szczególne: $\lg x = \log_{10} x$; $\ln x = \log_e x$ (logarytm naturalny).
Przykład: Rozwiąż $\log_3(2x+1) = 2$.
Warunek dziedziny: $2x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$
$2x+1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 4$
$x=4 > -\frac{1}{2}$ ✓
⚡ Zapamiętaj: Zawsze sprawdzaj dziedzinę! Wyrażenie pod logarytmem musi być $> 0$. Równanie $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ oznacza $f(x)=g(x)$ PLUS warunek $f(x)>0$ i $g(x)>0$.
Funkcja złożona — definicja i obliczenia
Definicja: Złożenie funkcji $g\circ f$: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. Dziedzina złożenia: $\{x\in D_f : f(x)\in D_g\}$. Złożenie nie jest na ogół przemienne: $g\circ f \neq f\circ g$.
Prosto mówiąc: Wynik jednej funkcji staje się argumentem drugiej. Jak "rura": wchodzi $x$, przechodzi przez $f$, wynik idzie do $g$, wychodzi $g(f(x))$.
⚡ Zapamiętaj: $(g\circ f)(x)$ czytamy "g po f" — najpierw $f$, potem $g$. Kolejność ważna! Sprawdź dziedzinę złożenia.
Funkcja odwrotna — kiedy istnieje i jak ją wyznaczać
Definicja: Funkcja $f^{-1}$ odwrotna do $f$ istnieje, gdy $f$ jest różnowartościowa (bijekcja). Wyznaczanie: zamień $x$ i $y$, a następnie wyrażenie wyraź $y$. $D_{f^{-1}}=Z_f$, $Z_{f^{-1}}=D_f$.
Prosto mówiąc: $f^{-1}$ "cofa" działanie $f$. Jeśli $f(3)=7$, to $f^{-1}(7)=3$. Wykresy $f$ i $f^{-1}$ są symetryczne względem $y=x$.
Zastosowanie:
$\ln$ jako odwrotność $e^x$
$\arcsin$ jako odwrotność $\sin$ (na odpowiednim przedziale)
⚡ Zapamiętaj: Warunek istnienia: funkcja musi być różnowartościowa (każda wartość tylko raz). Funkcja kwadratowa na całej dziedzinie NIE ma odwrotności (bez ograniczenia dziedziny).
Przekształcenia wykresów funkcji
Definicja: Podstawowe przekształcenia wykresu $y=f(x)$:
• $y=f(x)+c$: przesunięcie o $c$ w górę
• $y=f(x-d)$: przesunięcie o $d$ w prawo
• $y=-f(x)$: odbicie względem osi $x$
• $y=f(-x)$: odbicie względem osi $y$
• $y=af(x)$: rozciągnięcie pionowe ($a>1$) lub ściskanie ($0\lt a\lt 1$)
Prosto mówiąc: Modyfikujesz wzór funkcji → przemieszczasz lub odkształcasz jej wykres. Reguła: modyfikacja argumentu ($x$) → zmiana pozioma; modyfikacja wartości ($y$) → zmiana pionowa.
Zastosowanie:
Rysowanie wykresów skomplikowanych funkcji
Przesunięcia i skalowania w grafice
Dopasowywanie modeli do danych
Przykład: $y=(x-2)^2+3$: parabola $y=x^2$ przesunięta 2 w prawo i 3 w górę. Wierzchołek: $(2,3)$. $y=|x+1|-2$: $y=|x|$ przesunięte 1 w lewo i 2 w dół.
⚡ Zapamiętaj: $f(x-d)$ (minus wewnątrz) → przesunięcie w PRAWO o $d$. To sprzeczne z intuicją, bo "minus" kojarzy się z lewą stroną!
Funkcja wymierna — wykres i asymptoty
Definicja: Funkcja $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ (iloraz wielomianów). Asymptoty:
• Pionowa: $x=a$ gdy $Q(a)=0$ i $P(a)\neq0$
• Pozioma: $y=L$ gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$
• Ukośna: $y=ax+b$ gdy $\deg P = \deg Q+1$
Prosto mówiąc: Asymptota to "niewidzialna linia", do której wykres się zbliża, ale jej nie przecina (lub przecina skończenie wiele razy). Pionowa: mianownik = 0. Pozioma: co dzieje się dla bardzo dużych $x$.
Zastosowanie:
Analiza zachowania funkcji na krańcach dziedziny
Modelowanie odpowiedzi nasyceniowych
Fizyka (opór, ciśnienie)
Przykład: $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$. Asymptota pionowa: $x=3$. Pozioma: $\lim_{x\to\infty}\tfrac{2x+1}{x-3}=2$, więc $y=2$.
⚡ Zapamiętaj: Asymptota pozioma: porównaj stopnie licznika i mianownika. Stopień LM: brak poziomej (może być ukośna).
Ekstremum lokalne funkcji — warunki
Definicja: Funkcja $f$ ma minimum lokalne w $x_0$, jeśli $f(x_0)\leq f(x)$ dla $x$ z otoczenia $x_0$. Warunek konieczny: $f\'(x_0)=0$ (punkt krytyczny). Warunek dostateczny: zmiana znaku $f\'$ z $-$ na $+$ (minimum) lub z $+$ na $-$ (maksimum).
Prosto mówiąc: Ekstrema to "górki" i "doliny" wykresu. W ekstremum pochodna = 0 (lub nie istnieje). Sprawdzaj zmianę znaku pochodnej.
Zastosowanie:
Optymalizacja — szukanie optymalnych wartości
Analiza rentowności, minimalnych kosztów
Fizyka — stany równowagi
Przykład: $f(x)=x^3-3x$. $f\'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. $f\'=0$: $x=1$ i $x=-1$. Znak: $f\'\lt 0$ na $(-1,1)$, $f\'>0$ poza. $x=-1$ maks. lokalne, $x=1$ min. lokalne.
⚡ Zapamiętaj: Punkt krytyczny (f\'=0) to tylko "kandydat" na ekstremum. Sprawdź zmianę znaku lub $f\'\'(x_0)$: $>0$ → minimum, $\lt 0$ → maksimum.
Monotoniczność funkcji — warunki z pochodną
Definicja:
• $f\'(x)>0$ na przedziale $(a,b)$ → $f$ rosnąca na $(a,b)$
• $f\'(x)\lt 0$ na $(a,b)$ → $f$ malejąca na $(a,b)$
• $f\'(x)=0$ na $(a,b)$ → $f$ stała na $(a,b)$
Prosto mówiąc: Pochodna mówi o "nachyleniu" wykresu. Pochodna dodatnia = wykres idzie w górę. Ujemna = w dół. Zero = poziomo.
⚡ Zapamiętaj: Wyznacz $f\'$, rozwiąż $f\'>0$ i $f\'\lt 0$. To daje przedziały monotoniczności. Na granicy tych przedziałów (gdzie $f\'=0$) — kandydaci na ekstremum.
Asymptoty — znajdowanie dla złożonych funkcji
Definicja: Asymptota ukośna $y=ax+b$: $a=\lim_{x\to\infty}\tfrac{f(x)}{x}$, $b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)$. Funkcja może przecinać swoją asymptotę poziomą lub ukośną — ale asymptoty pionowej nie.
Prosto mówiąc: Asymptota to "kierunek w nieskończoność". Wykres zbliża się do tej linii jak $x\to\pm\infty$ lub jak $x\to a$.
⚡ Zapamiętaj: Schemat szukania asymptoty ukośnej: podziel wielomian (dzielenie wielomianów), iloraz daje $ax+b$, reszta dąży do 0.
Miejsca zerowe a wykres funkcji
Definicja: Miejsce zerowe funkcji $f$ to takie $x_0$, że $f(x_0)=0$. Na wykresie: punkt przecięcia z osią OX. Liczba miejsc zerowych informuje o liczbie pierwiastków rzeczywistych równania $f(x)=0$.
Prosto mówiąc: Gdzie wykres "krzyżuje" oś poziomą — tam jest miejsce zerowe. Funkcja kwadratowa może mieć 0, 1 lub 2 miejsca zerowe w zależności od wyróżnika.
Zastosowanie:
Rozwiązywanie równań graficznie
Faktoryzacja wielomianów
Analiza modeli fizycznych (równowaga)
Przykład: $f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$. Miejsca zerowe: $x=0, 1, -1$. Wykres przecina OX w trzech punktach. Twierdzenie Rolle'a: między zerami jest ekstremum.
⚡ Zapamiętaj: Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ miejsc zerowych w $\mathbb{R}$. Nieparzyste stopnie mają zawsze co najmniej jedno.
Definicja: $f(x)=ax^2+bx+c$ — postać ogólna. Postać kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^2+q$, wierzchołek $W=(p,q)$, gdzie $p=-\tfrac{b}{2a}$, $q=f(p)$. Postać iloczynowa (gdy istnieje): $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Prosto mówiąc: Parabola: oś symetrii w $x=p$, najniższy (min) lub najwyższy (maks) punkt to wierzchołek. Trzy różne "twarze" tego samego wzoru.
Zastosowanie:
Wyznaczanie maksimum/minimum
Rzut ukośny (tor jako parabola)
Optymalizacja (zysk, powierzchnia)
Przykład: $f(x)=2x^2-8x+6$. $p=\tfrac{8}{4}=2$, $q=2\cdot4-16+6=-2$. Wierzchołek $(2,-2)$. Postać kanoniczna: $2(x-2)^2-2$. Postać iloczynowa: $2(x-1)(x-3)$ ($x_{1,2}=1,3$).
⚡ Zapamiętaj: Trzy postaci służą różnym celom. Kanoniczna → wierzchołek. Iloczynowa → miejsca zerowe. Ogólna → współczynniki. Umiej je wszystkie zamieniać.
Funkcje trygonometryczne — definicje jednostkowe
Definicja: Na okręgu jednostkowym punkt $P$ o kącie $\alpha$: $P=(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Stąd: $\tan\alpha=\tfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\cot\alpha=\tfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Dla kąta w trójkącie prostokątnym: sin = naprzeciwko/przeciwprostokątna, cos = przyległy/przeciwprostokątna.
Prosto mówiąc: Wyobraź sobie punkt chodzący po okręgu o promieniu 1. Jego współrzędna pozioma to $\cos\alpha$, pionowa to $\sin\alpha$.
Zastosowanie:
Fale i drgania
Wektory sił w fizyce
Grafika komputerowa (rotacje)
Przykład: $\sin30°=\tfrac{1}{2}$, $\cos60°=\tfrac{1}{2}$, $\tan45°=1$. Dla $135°$: $\sin135°=\sin45°=\tfrac{\sqrt2}{2}$ (sinus w II ćwiartce dodatni), $\cos135°=-\tfrac{\sqrt2}{2}$.
⚡ Zapamiętaj: Mnemotechnika ASTC (All, Sin, Tan, Cos): w I ćwiartce wszystkie dodatnie, w II tylko sin, w III tylko tan, w IV tylko cos.
Dziedzina i zbiór wartości funkcji
Definicja:Dziedzina $D_f$ to zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów. Zbiór wartości (przeciwdziedzina) $Z_f$ to zbiór wszystkich wartości, które funkcja przyjmuje. Związek: $Z_f \subseteq$ koddziedzina.
Prosto mówiąc: Dziedzina = "co możemy włożyć". Zbiór wartości = "co wychodzi". Np. $f(x)=x^2$: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $[0,+\infty)$ — kwadrat nigdy nie daje ujemnej wartości.
Zastosowanie:
Wyznaczanie ograniczeń w zadaniach
Określanie sensu modeli matematycznych
Sprawdzanie poprawności obliczeń
Przykład: $f(x)=\sqrt{4-x^2}$. Dziedzina: $4-x^2\geq0$, $|x|\leq2$, $D_f=[-2,2]$. Zbiór wartości: $\sqrt{4-x^2}\in[0,2]$, $Z_f=[0,2]$. (Górna półkula okręgu o $r=2$.)
⚡ Zapamiętaj: Główne ograniczenia dziedziny: pod pierwiastkiem ≥0, w mianowniku ≠0, pod logarytmem >0. Stosuj wszystkie naraz.
Funkcja parzysta i nieparzysta — symetrie wykresu
Definicja:
• Funkcja parzysta: $f(-x)=f(x)$ dla wszystkich $x\in D_f$. Wykres symetryczny względem osi $y$.
• Funkcja nieparzysta: $f(-x)=-f(x)$. Wykres symetryczny względem początku układu.
Prosto mówiąc: Parzysta: "lustro" pionowe. Nieparzysta: "lustro" w punkcie (0,0). Większość funkcji nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Zastosowanie:
Upraszczanie obliczeń całek (na symetrycznych przedziałach)
Analiza Fouriera (szeregi)
Fizyka — parzystość funkcji falowych
Przykład: $f(x)=x^2$: $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$ → parzysta. $g(x)=x^3$: $g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)$ → nieparzysta. $h(x)=x^2+x$: ani parzysta, ani nieparzysta.
⚡ Zapamiętaj: Żeby sprawdzić: wstaw $-x$ zamiast $x$. Jeśli wynik = $f(x)$: parzysta. Jeśli $-f(x)$: nieparzysta. Inaczej: żadna.
Granica funkcji — definicja i obliczenia
Definicja: $\lim_{x\to a}f(x)=L$: wartości $f(x)$ zbliżają się do $L$ gdy $x$ zbliża się do $a$ (ale $x\neq a$). Granice jednostronne: $\lim_{x\to a^+}$ (z prawej) i $\lim_{x\to a^-}$ (z lewej). Granica istnieje ⟺ obie jednostronne są równe.
Prosto mówiąc: Granica to "co chce osiągnąć funkcja" dążąc do punktu — niekoniecznie to samo co wartość w tym punkcie.
Zastosowanie:
Definicja pochodnej
Ciągłość funkcji
Reguła de l'Hôpitala (granice nieoznaczone)
Przykład: $\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$. Forma $\tfrac{0}{0}$ — skróć wspólny czynnik!
⚡ Zapamiętaj: Formy nieoznaczone $\tfrac{0}{0}$, $\tfrac{\infty}{\infty}$: upraszczaj algebraicznie lub stosuj regułę de l'Hôpitala. Nigdy nie "podstawiaj" bezpośrednio gdy dostaniesz $\tfrac{0}{0}$.
Przestrzenie liniowe — definicja i przykłady
Przestrzeń liniowa (wektorowa) nad ciałem $\mathbb{F}$: zbiór $V$ z działaniami $+$ i $\cdot$ spełniającymi 8 aksjomatów (łączność, przemienność, element zerowy, element przeciwny, rozdzielność skalara).
Przykłady: $\mathbb{R}^n$, zbiór wielomianów stopnia $\le n$, macierze $m\times n$, funkcje ciągłe $C[a,b]$.
Podprzestrzeń: podzbiór zamknięty na $+$ i $\cdot$ i zawierający $\mathbf{0}$.
Baza: liniowo niezależny układ generatorów. $\dim V$ = liczba elementów bazy.
Prosto mówiąc: Funkcja ciągła: możesz narysować jej wykres "bez odrywania ołówka od kartki". Każda "dziura", "skok" lub "asymptota pionowa" to punkt nieciągłości.
Zastosowanie:
Twierdzenie Weierstrassa (ekstrema na domkniętym)
Twierdzenie o wartości pośredniej (istnienie pierwiastków)
Fizyka — ciągłe procesy fizyczne
Przykład: $f(x)=\begin{cases}\tfrac{x^2-1}{x-1}&x\neq1\\2&x=1\end{cases}$. $\lim_{x\to1}\tfrac{x^2-1}{x-1}=\lim(x+1)=2=f(1)$ → ciągła w $x=1$ (usunięta nieciągłość usuwalna).
⚡ Zapamiętaj: Wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne są ciągłe na całej swej dziedzinie. Nieciągłości pojawiają się przy złączeniach i zerach mianowników.
Twierdzenie o wartości pośredniej — zastosowania
Definicja: Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$ i $f(a)\neq f(b)$, to dla każdej wartości $c$ między $f(a)$ a $f(b)$ istnieje $x_0\in(a,b)$ taki, że $f(x_0)=c$.
Prosto mówiąc: Ciągła funkcja nie "przeskakuje". Jeśli w $a$ jest $-3$, a w $b$ jest $+5$ — gdzieś pomiędzy musi przejść przez $0$. (Twierdzenie Bolzano — istnienie pierwiastka.)
Zastosowanie:
Dowód istnienia pierwiastka równania
Metoda bisekcji (numeryczne wyznaczanie pierwiastka)
Ekonomia — istnienie punktu równowagi
Przykład: Czy $x^3-x-1=0$ ma pierwiastek na $(1,2)$? $f(1)=1-1-1=-1\lt 0$, $f(2)=8-2-1=5>0$. Zmiana znaku → istnieje pierwiastek na $(1,2)$ ✓
⚡ Zapamiętaj: Zmiana znaku funkcji ciągłej na $(a,b)$ → gwarantowany pierwiastek wewnątrz. Sprawdź $f(a)\cdot f(b)\lt 0$.
Asymptota ukośna — wyznaczanie i interpretacja
Asymptota ukośna $y = mx + b$ istnieje, gdy:
$$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \in \mathbb{R}, \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx] \in \mathbb{R}$$
Wtedy $f(x) - (mx+b) \to 0$ gdy $x \to \pm\infty$. Odrębne asymptoty możliwe dla $+\infty$ i $-\infty$.
Prosto mówiąc: Asymptota ukośna to prosta, do której wykres „ucieka" dla dużych $|x|$ — nie poziomo (jak asymptota pozioma), ale pod skosem. Pojawia się np. w funkcjach wymiernych gdy stopień licznika = stopień mianownika + 1.
Kiedy szukać asymptoty ukośnej:
Funkcje wymierne: stopień licznika o 1 większy niż mianownika
$f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$: podziel wielomiany — iloraz (liniowy) to asymptota
Inne funkcje: $\sqrt{x^2+x} \sim x + \tfrac{1}{2}$ dla $x\to+\infty$
Asymptota: $y = x+1$ (co widać też po dzieleniu wielomianów: $\frac{x^2+2x+3}{x+1} = x+1 + \frac{2}{x+1}$)
⚡ Zapamiętaj: $m = \lim f(x)/x$, potem $b = \lim[f(x)-mx]$. Dla funkcji wymiernych — po prostu podziel wielomiany: liniowy iloraz daje asymptotę, reszta → 0. Sprawdź osobno dla $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$!
Funkcja — definicja formalna
Definicja: Funkcja $f: X \to Y$ to przyporządkowanie, które każdemu elementowi $x$ ze zbioru $X$ (dziedzina) przypisuje dokładnie jeden element $y$ ze zbioru $Y$ (przeciwdziedzina).
Zapisujemy: $y = f(x)$.
Dziedzina $D_f = X$ — zbiór dopuszczalnych argumentów
Zbiór wartości $W_f \subseteq Y$ — zbiór wartości faktycznie przyjmowanych przez $f$
Wykres $= \{(x, f(x)) : x \in D_f\}$ — zbiór punktów na płaszczyźnie
Prosto mówiąc: Funkcja to maszyna — wrzucasz $x$, wychodzi dokładnie jeden $y$. Jeden $x$ → jeden $y$ (ale różne $x$ mogą dawać ten sam $y$).
Malejąca na $(-\infty, 0)$, rosnąca na $(0, +\infty)$
⚡ Zapamiętaj: Miejsce zerowe ≠ wartość minimalna. Parabola może mieć minimum (dla $a>0$) i 0, 1 lub 2 miejsca zerowe — to zależy od delty!
Pojęcie i własności funkcji
Definicja
Funkcja to przyporządkowanie, które każdemu elementowi dziedziny przypisuje dokładnie jedną wartość. Zapisujemy $f:X\to Y$, $y=f(x)$.
Podstawowe pojęcia
Dziedzina — zbiór dopuszczalnych argumentów (np. mianownik $\ne0$, wyrażenie pod pierwiastkiem $\ge0$)
Zbiór wartości — wszystkie przyjmowane wartości
Miejsce zerowe — argument, dla którego $f(x)=0$ (przecięcie z osią $OX$)
Monotoniczność
Funkcja jest rosnąca, gdy dla $x_1\lt x_2$ zachodzi $f(x_1)\lt f(x_2)$, a malejąca, gdy $f(x_1)>f(x_2)$.
Przekształcenia wykresu
$$y=f(x)+q\ :\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż } OY$$
$$y=f(x-p)\ :\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż } OX$$
$$y=-f(x)\ :\ \text{symetria względem } OX$$
$$y=f(-x)\ :\ \text{symetria względem } OY$$
Przesunięcie o wektor $[p,q]$ daje łącznie $y=f(x-p)+q$.
Proporcjonalność odwrotna
$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a$$
Wykresem jest hiperbola; osie układu są jej asymptotami.
Na co uważać
W zapisie $f(x-p)$ znak jest mylący: $f(x-3)$ przesuwa wykres w prawo o $3$. Przy osi $OY$ jest intuicyjnie: $f(x)+2$ to przesunięcie w górę.
Odczytywanie własności funkcji z wykresu
Co da się odczytać
Wykres jest pełnym opisem funkcji — wystarczy wiedzieć, gdzie patrzeć.
Dziedzina i zbiór wartości
Dziedzina — rzut wykresu na oś $OX$: dla jakich argumentów wykres istnieje
Zbiór wartości — rzut na oś $OY$: jakie wartości funkcja przyjmuje
Kółko puste oznacza, że punkt nie należy do wykresu, pełne — że należy.
Miejsca zerowe
To argumenty, dla których $f(x)=0$ — punkty przecięcia wykresu z osią $OX$. Odczytujemy ich pierwsze współrzędne.
Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0,\,f(0))$ — to nie jest miejsce zerowe.
Znak funkcji
Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią $OX$, a ujemna tam, gdzie leży pod nią. Odpowiedź podajemy jako przedziały argumentów.
Monotoniczność
rosnąca — im dalej w prawo, tym wyżej: większy argument daje większą wartość
malejąca — im dalej w prawo, tym niżej
stała — wykres poziomy
Monotoniczność zawsze podajemy w przedziałach, nigdy jako sumę przedziałów.
Wartość największa i najmniejsza
Odczytujemy je z osi $OY$ — jako wartości, nie argumenty. Dla $f(x)=-x^2+4$ największa wartość to $4$, osiągana dla $x=0$.
Argumenty spełniające warunek
„Dla jakich $x$ zachodzi $f(x)=2$?” — prowadzimy poziomą prostą $y=2$ i odczytujemy pierwsze współrzędne punktów przecięcia. Rozwiązań może być kilka.
Czy to w ogóle funkcja
Test pionowej prostej: jeśli jakakolwiek prosta pionowa przecina wykres więcej niż raz, to nie jest wykres funkcji — jednemu argumentowi odpowiadałyby dwie wartości.
Parzystość
Wykres symetryczny względem osi $OY$ — funkcja parzysta ($f(-x)=f(x)$). Symetryczny względem początku układu — nieparzysta ($f(-x)=-f(x)$).
Na co uważać
Najczęstsze pomyłki to mylenie argumentu z wartością (miejsce zerowe to $x$, a wartość największa to $y$) oraz podawanie monotoniczności jako sumy przedziałów — funkcja $f(x)=\frac1x$ maleje w $(-\infty,0)$ i osobno w $(0,+\infty)$, ale nie na sumie tych zbiorów.
∑Wzory 7
Funkcja logarytmiczna
$$f(x)=\log_a x,\quad x>0,\ a>0,\ a\neq1$$
Funkcja odwrotna do wykładniczej; wykres przechodzi przez $(1,0)$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 12 · Matura 2026
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\(f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla } x\in[-4,2] \\ -x+5 & \text{dla } x\in(2,5)\end{cases}\)
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Zadanie 12.1. (2pkt) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Rozwiązaniem równania \(f(x)=3\) jest liczba \(.......\)
2. Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([2, 3]\) jest równa \(.......\)
Zadanie 12.2. (2pkt) Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(.......\)
2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe od 1, jest przedział \(.......\)
Zadanie 12.1.
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Musimy sprawdzić, kiedy funkcja przyjmuje wartość równą \(3\). Najprościej będzie ocenić to bezpośrednio z wykresu - widzimy, że wartość równa \(3\) jest osiągana jedynie dla argumentu \(x=1\) i taka też będzie odpowiedź do tego zadania.
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Bezpośrednio z wykresu odczytujemy, że najwyższa wartość (we wskazanym przedziale) jest przyjmowana dla arumentu \(x=2\) i wynosi ona dokładnie \(4\).
Zadanie 12.2.
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Widzimy, że najmniejszą wartość jaką przyjmuje nasza funkcja jest \(-2\), z kolei najwyższą jest \(4\), zatem zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-2,4]\).
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Argumenty odczytujemy z osi iksów. Chcemy się dowiedzieć kiedy wartości przyjmowane przez funkcję są większe od \(1\) i widzimy, że tak się dzieje w przedziale \((-1,4)\).
Zadanie nr 14 · Matura 2026
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W = (3, -2)\). Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x) = f(x + 1)\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\).
Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka \(W=(3, -2)\), możemy zapisać wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
$$f(x)=a(x-3)^2-2$$
Krok 2. Wykorzystanie własności funkcji \(g\) do wyznaczenia współczynnika \(a\).
Wiemy, że \(g(x)=f(x+1)\). Mówiąc bardzo obrazowo, jeżeli do wzoru funkcji \(f(x)\) podstawimy w miejsce \(x\) wyrażenie \(x+1\), to otrzymamy wzór funkcji \(g\):
$$g(x)=a(x+1-3)^2-2
g(x)=a(x-2)^2-2$$
Z treści zadania wynika, że miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Skoro tak, to oznacza, że podstawiając \(x=0\) powinniśmy otrzymać wynik równy \(0\), zatem:
$$a\cdot(0-2)^2-2=0$$
$$a\cdot(-2)^2-2=0$$
$$4a-2=0$$
$$4a=2$$
$$a=\frac{1}{2}$$
Współczynnik \(a\) funkcji \(f(x)\) będzie taki sam jak funkcji \(g(x)\), a to prowadzi nas do wniosku, że:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$$
Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci ogólnej.
Na koniec musimy jeszcze zapisać wzór naszej funkcji w postaci ogólnej, zatem:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$$
$$f(x)=\frac{1}{2}(x^2-6x+9)-2$$
$$f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+4\frac{1}{2}-2$$
$$f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+2\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 11 · Matura 2025
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\(f(x)=\begin{cases} x+5 \text{ dla } x\in\langle-4,-2\rangle \\ 3 \text{ dla } x\in(-2,2\rangle \\ -3x+9 \text{ dla } x\in(2,4) \end{cases}\)
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku poniżej:
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(..........\)
2. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(..........\)
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodanie jest przedział \(..........\)
4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=3\) jest przedział \(..........\)
Krok 1. Wyznaczenie dziedziny funkcji \(f\).
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od argumentu \(x=-4\) aż do argumentu \(x=4\) (ale bez czwórki, bo kropka jest niezamalowana). Stąd też zapisalibyśmy, że dziedziną funkcji jest przedział \(\langle-4,4)\)
Krok 2. Wyznaczenie zbioru wartości funkcji \(f\).
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Z wykresu wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od \(y=-3\) (ale bez minus trójki, bo kropka jest niezamalowana), aż do \(y=3\). W takim razie zbiorem wartości będzie przedział \((-3,3\rangle\)
Krok 3. Wyznaczenie zbioru argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie.
Wartości dodatnie są przyjmowane dla argumentów od \(-4\) aż do \(x=3\) (ale bez trójki, bo dla \(x=3\) mamy wartość równą \(0\)). Stąd też poszukiwanym przedziałem będzie \(\langle-4,3)\).
Krok 4. Wyznaczenie rozwiązań równania \(f(x)=3\).
Musimy ustalić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(3\). Tu bardzo dużą pułapką jest fakt, że teoretycznie ze wzoru wynika, że ta wartość jest przyjmowana dla \(x\in(-2,2\rangle\) i to jest prawda, ale ta wartość jest także przyjmowana dla \(x=-2\), co też należałoby uwzględnić. Stąd też moglibyśmy zapisać, że zbiorem rozwiązań naszego równania będzie przedział \(\langle-2,2\rangle\).
Zadanie nr 12 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek)
Zadanie 12.1. (1pkt) Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór:
Zadanie 12.2. (1pkt) Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) jest równa:
Zadanie 12.3. (1pkt) Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze:
Zadanie 12.1.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(OX\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(x=-6\) (włącznie z tym argumentem, bo kropka jest zamalowana), aż do \(x=5\) (także z tym argumentem, bo kropka zamalowana). To prowadzi nas do wniosku, że dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(\langle-6;5\rangle\).
Zadanie 12.2.
Spoglądając na wykres możemy stwierdzić, że w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) największą przyjmowaną wartością jest \(y=2\).
Zadanie 12.3.
Widzimy, że funkcja maleje od argumentu \(x=2\) aż do argumentu \(x=5\), więc moglibyśmy zapisać, że funkcja maleje dla argumentów \(x\) należących do zbioru \(\langle2;5\rangle\).
Zadanie nr 12 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek)
Zadanie 1.
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór:
A. \(\langle-6;5\rangle\)
B. \((-6;5)\)
C. \((-3;5\rangle\)
D. \(\langle-3;5\rangle\)
Zadanie 2.
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) jest równa:
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(5\)
Zadanie 3.
Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze:
A. \(\langle-6;-3)\)
B. \(\langle-3;1\rangle\)
C. \((1;2\rangle\)
D. \(\langle2;5\rangle\)
Rozwiązanie 1.
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(OX\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(x=6\) (włącznie z tym argumentem, bo kropka jest zamalowana), aż do \(x=5\) (także z tym argumentem, bo kropka zamalowana). To prowadzi nas do wniosku, że dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(\langle-6;5\rangle\).
Rozwiązanie 2.
Spoglądając na wykres możemy stwierdzić, że w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) największą przyjmowaną wartością jest \(y=2\).
Rozwiązanie 3.
Widzimy, że funkcja maleje od argumentu \(x=2\) aż do argumentu \(x=5\), więc moglibyśmy zapisać, że funkcja maleje dla argumentów \(x\) należących do zbioru \(\langle2;5\rangle\).
Zadanie nr 11 · Matura 2023
W układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór:
A\(\langle-6;5\rangle\)
B\((-6;5)\)
C\((-3;5\rangle\)
D\(\langle-3;5\rangle\)
Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(OX\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości dla argumentów od \(x=6\) (włącznie z tym argumentem, bo kropka jest zamalowana), aż do \(x=5\) (także z tym argumentem, bo kropka zamalowana). To prowadzi nas do wniosku, że dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(\langle-6;5\rangle\).
Zadanie nr 12 · Matura 2023
W układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze:
A\(\langle-6;-3)\)
B\(\langle-3;1\rangle\)
C\((1;2\rangle\)
D\(\langle2;5\rangle\)
Widzimy, że funkcja maleje od argumentu \(x=2\) aż do argumentu \(x=5\), więc moglibyśmy zapisać, że funkcja maleje dla argumentów \(x\) należących do zbioru \(\langle2;5\rangle\).
Zadanie nr 13 · Matura 2023
W układzie współrzędnych \((x,y)\) narysowano wykres funkcji \(y=f(x)\) (zobacz rysunek).
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) jest równa:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(5\)
Spoglądając na wykres możemy stwierdzić, że w przedziale \(\langle-4;1\rangle\) największą przyjmowaną wartością jest \(y=2\).
Zadanie nr 8 · Matura 2022
Punkt \(A=(1;2)\) należy do wykresu funkcji \(f\), określonej wzorem \(f(x)=(m^2-3)x^3-m^2+m+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy:
A\(m=-4\)
B\(m=-2\)
C\(m=0\)
D\(m=4\)
Podstawiając współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$2=(m^2-3)\cdot1^3-m^2+m+1$$
$$2=(m^2-3)\cdot1-m^2+m+1$$
$$2=m^2-3-m^2+m+1$$
$$2=-2+m$$
$$m=4$$
Zadanie nr 24 · Matura 2022
Obrazem prostej o równaniu \(y=2x+5\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) jest prosta o równaniu:
A\(y=2x-5\)
B\(y=-2x-5\)
C\(y=-2x+5\)
D\(y=2x+5\)
Aby poznać równanie poszukiwanej prostej, musimy przed tym równaniem postawić znak minus (ale tu uwaga - musimy ten minus podstawić przed całym wyrażeniem, więc \(2x+5\) trzeba będzie wziąć w nawias). To oznacza, że obrazem w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) będzie prosta o równaniu \(y=-(2x+5)\), czyli \(y=-2x-5\).
Zadanie nr 10 · Próbny 2022
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\dfrac{x^2-x-3}{x^2-9}\) dla wszystkich liczb rzeczywistych różnych od \(3\) i \(-3\). Wartość funkcji \(f(-\sqrt{3})\) jest równa:
A\(-\frac{\sqrt{3}}{6}\)
B\(\frac{\sqrt{3}+2}{8}\)
C\(\frac{6-\sqrt{3}}{12}\)
D\(\frac{6+\sqrt{3}}{12}\)
Musimy obliczyć wartość \(f(-\sqrt{3})\), czyli do wzoru funkcji musimy po prostu podstawić \(-\sqrt{3}\):
$$f(-\sqrt{3})=\frac{(-\sqrt{3})^2-(-\sqrt{3})-3}{(-\sqrt{3})^2-9}$$
$$f(-\sqrt{3})=\frac{3+\sqrt{3}-3}{3-9}$$
$$f(-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{-6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2022
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{4}{x}-4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\). Liczba \(f(2)-f(-2)\) jest równa:
A\((-8)\)
B\((-4)\)
C\(4\)
D\(0\)
Celem zadania jest obliczenie wartości \(f(2)\) oraz \(f(-2)\), a następnie obliczenie różnicy między otrzymanymi wartościami. W związku z tym:
$$f(2)=\frac{4}{2}-4$$
$$f(2)=2-4$$
$$f(2)=-2$$
To oznacza, że różnica \(f(2)-f(-2)\) będzie równa:
$$f(2)-f(-2)=-2-(-6)=-2+6=4$$
Zadanie nr 13 · Matura 2022
Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji \(y=f(x)\).
W przedziale \((-4,6)\) równanie \(f(x)=-1\):
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma dokładnie trzy rozwiązania
Zapis \(f(x)=-1\) oznacza, że szukamy argumentów \(x\) dla których funkcja przyjmuje wartość \(-1\). Zerkamy więc na wykres funkcji (biorąc pod uwagę wskazany przedział) i szukamy miejsc, w których funkcja przyjmuje wartość \(-1\). Widzimy, że takie miejsca są dwa: pierwsze jest dla \(x\approx-3,5\), a drugie dla \(x=4,5\). Równanie \(f(x)=-1\) ma więc dwa rozwiązania.
Zadanie nr 9 · Matura 2022
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Iloczyn \(f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)\) jest równy:
A\((-12)\)
B\((-8)\)
C\(0\)
D\(16\)
Z wykresu musimy odczytać wartości, jakie przyjmuje funkcja dla \(x=-3\), \(x=0\) oraz \(x=4\). Widzimy, że:
$$f(-3)=-2$$
$$f(0)=1$$
$$f(4)=4$$
Iloczyn ten będzie więc równy:
$$(-2)\cdot1\cdot4=-8$$
Zadanie nr 10 · Matura 2022
Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle-4,5\rangle\).
Funkcję \(g\) określono za pomocą funkcji \(f\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku 2.
Wynika stąd, że:
A\(g(x)=f(x)-2\)
B\(g(x)=f(x-2)\)
C\(g(x)=f(x)+2\)
D\(g(x)=f(x+2)\)
W tym zadaniu trzeba wykazać się wiedzą na temat przekształceń funkcji. Widzimy, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(2\) jednostki w lewo. Musimy pamiętać, że przesunięcia w lewo/prawo są tymi mniej intuicyjnymi i chcąc zapisać wzór funkcji przesuniętej w lewo, będziemy musieli dać w nawiasie znak dodawania. Skoro tak, to wzorem tej funkcji będzie \(g(x)=f(x+2)\).
Zadanie nr 9 · Próbny 2021
Na wykresie przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Wskaż zdanie prawdziwe.
ADziedziną funkcji \(f\) jest przedział \((-4,5)\).
BFunkcja \(f\) ma dwa miejsca zerowe.
CFunkcja \(f\) dla argumentu \(1\) przyjmuje wartość \((-1)\).
DZbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((-4, 5\rangle\).
Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. - to nieprawda, gdyż dziedziną tej funkcji jest przedział \((-3,5\rangle\). Pamiętaj, że dziedzinę odczytujemy z osi \(OX\).
Odp. B. - to nieprawda, gdyż ta funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe i jest nim \(x=4\).
Odp. C. - to nieprawda, gdyż dla argumentu \(x=1\) funkcja przyjmuje wartość \(y=3\).
Odp. D. - to prawda, faktycznie zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-4, 5\rangle\).
Prawidłowa jest więc jedynie ostatnia odpowiedź.
Zadanie nr 10 · Próbny 2021
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{8x-7}{2x^2+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(1\) jest równa:
A\(\frac{1}{5}\)
B\(\frac{1}{3}\)
C\(1\)
D\(2\)
Chcemy sprawdzić jaka jest wartość tej funkcji dla argumentu \(x=1\), zatem musimy podstawić właśnie \(x=1\) do wzoru tej funkcji:
$$f(1)=\frac{8\cdot1-7}{2\cdot1^2+1}$$
$$f(1)=\frac{8-7}{2+1}$$
$$f(1)=\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2021
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\((-4,-2)\cup(-2,3\rangle\)
B\((-4,3\rangle\)
C\((-3,1)\cup(1,9\rangle\)
D\(\langle-4,3\rangle\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(OY\). Widzimy, że mimo "przerw" funkcja przyjmuje wartości z przedziału \(\langle-4,3\rangle\).
Zadanie nr 14 · Próbny 2021
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Miejscem zerowym funkcji \(h\), określonej wzorem \(h(x)=f(x)+2\) jest liczba:
A\(-3\)
B\(2\)
C\(7\)
D\(7\frac{2}{3}\)
Ze wzoru \(h(x)=f(x)+2\) wynika, że funkcja \(h(x)\) jest tak naprawdę przesunięciem funkcji \(f(x)\) o dwie jednostki w górę. Możemy to sobie nawet zobrazować na rysunku:
Miejsce zerowe to argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), czyli tak naprawdę interesuje nas miejsce przecięcia się wykresu z osią \(OX\). Z rysunku szkicowego wynika wprost, że tym argumentem będzie \(x=7\).
Przy okazji zwróć uwagę, że \(x=-3\) nie jest miejscem zerowym, bo mamy tutaj niezamalowaną kropkę, więc ten punkt nie należy do wykresu funkcji.
Zadanie nr 15 · Próbny 2021
Zbiorem wartości funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku, jest zbiór:
A\((-6,3)\)
B\((-6,6\rangle\)
C\(\langle-6,3)\)
D\(\langle-6,3\rangle\)
Zbiór wartości odczytujemy z osi \(OY\). Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje wartości od \(-6\), aż do \(3\). Ustalmy jeszcze tylko nawiasy. Tutaj największą pułapką jest niezamalowana kropka przy wartości \(-6\). Owszem, dla argumentu \(x=-2\) mamy niezamalowaną kropkę, ale ta funkcja jak najbardziej przyjmuje wartość chociażby dla \(x=-1\) czy też \(x=0\). Przy wartości równej \(3\) tego problemu już nie ma, tutaj nawias będzie otwarty. Z tego względu zbiorem wartości będzie przedział \(\langle-6, 3)\).
Zadanie nr 9 · Matura 2021
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej w zbiorze \((-1,7)\).
Wskaż zdanie prawdziwe.
AFunkcja \(f\) ma trzy miejsca zerowe
BZbiorem wartości funkcji \(f\) jest \(\langle-1,1)\)
CFunkcja \(f\) osiąga wartość największą równą \(1\)
DFunkcja \(f\) osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru \((-1,0)\)
Przeanalizujmy po kolei każdą z proponowanych odpowiedzi.
Odp A. - to zdanie jest nieprawdą, gdyż nasza funkcja ma tylko dwa miejsca zerowe: \(x=1\) oraz \(x=4,5\). Gdyby ostatnia kropka była zamalowana, to wtedy miejscem zerowym byłoby jeszcze \(x=7\).
Odp. B - to zdanie jest nieprawdą, gdyż nie zgadza się tutaj nawias przy liczbie \(1\). Owszem, po lewej stronie wykresu kropka jest niezamalowana, co mogłoby sugerować że wartość równa \(1\) nie jest przyjmowana, ale przecież wartość równa \(1\) jest przyjmowana chociażby dla argumentów \(x=5\) czy \(x=6\). Zbiorem wartości będzie więc tutaj \(\langle-1, 1\rangle\)
Odp. C. - to zdanie jest prawdą, bowiem faktycznie największą wartością przyjmowaną przez tę funkcję jest \(1\) (ta wartość jest przyjmowana dla wszystkich argumentów od \(x=5\) aż do \(x=6\) włącznie).
Odp. D. - to zdanie jest nieprawdą, gdyż ujemne wartości są przyjmowane dla argumentów ze zbioru \((1;4,5)\)
Zadanie nr 7 · Matura 2021
Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej w zbiorze \(\langle-6;5\rangle\)
Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=f(x)-2\) dla \(x\in\langle-6;5\rangle\). Wskaż zdanie prawdziwe.
ALiczba \(f(2)+g(2)\) jest równa \(-2\)
BZbiory wartości funkcji \(f\) i \(g\) są równe
CFunkcje \(f\) i \(g\) mają takie samo miejsce zerowe
DPunkt \(P=(0,-2)\) należy do wykresu funkcji \(f\) i \(g\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek funkcję \(g(x)\). W tym celu wystarczy przesunąć wykres funkcji \(f(x)\) o dwie jednostki w dół:
Krok 2. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Sprawdźmy teraz poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. - wartość \(f(2)=0\) oraz \(g(2)=-2\), zatem faktycznie \(f(2)+g(2)=0-2=-2\). Zdanie jest więc prawdą.
Odp. B. - zbiory wartości nie są równe, widzimy że przykładowo maksymalną wartością funkcji \(f(x)\) jest \(3\), a funkcji \(g(x)\) jest \(1\).
Odp. C. - te funkcje nie mają tych samych miejsc zerowych (widać to po przecięciach się funkcji z osią \(OX\)).
Odp. D. - punkt \(P\) należy do funkcji \(f(x)\), ale nie należy do funkcji \(g(x)\).
Prawdziwe jest więc jedynie pierwsze zdanie.
Zadanie nr 10 · Matura 2021
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^2}{2x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\). Wtedy dla argumentu \(x=\sqrt{3}-1\) wartość funkcji \(f\) jest równa:
A\(\frac{1}{\sqrt{3}-1}\)
B\(-1\)
C\(1\)
D\(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\)
Podstawiając \(x=\sqrt{3}-1\) do podanego wzoru funkcji, otrzymamy:
$$f(\sqrt{3}-1)=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2\cdot(\sqrt{3}-1)-2}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}-2-2}=$$
$$=\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-4}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-4+2\sqrt{3}}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-(4-2\sqrt{3})}=-1$$
Zadanie nr 20 · Matura 2020
Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej)
Stąd wynika, że:
A\(a=6, b=22,5\)
B\(a=\frac{4}{3}, b=6\)
C\(a=3, b=96\)
D\(a=2, b=9\)
Krok 1. Stała proporcjonalności.
Wielkości odwrotnie proporcjonalne mają stały iloczyn \(x\cdot y\). Z kolumny, w której znamy obie wartości:
$$x\cdot y=3\cdot24=72$$
Wartości ujemnych nie przyjmuje funkcja \(f\) określona wzorem:
A\(f(x)=-x^2+1\)
B\(f(x)=x^2-1\)
C\(f(x)=-x^2-1\)
D\(f(x)=x^2+1\)
Powinniśmy kojarzyć, że funkcja \(f(x)=x^2\) przyjmuje tylko wartości dodatnie lub równe zero. Wynika to oczywiście z tego, że każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu przyjmuje wartość dodatnią lub równą zero.
Jeżeli przyjrzymy się podanym funkcjom, to zauważymy, że każda z nich jest pewnym przekształceniem funkcji \(f(x)=x^2\). Funkcją, która nie przyjmie wartości ujemnych będzie więc na pewno \(f(x)=x^2+1\), bowiem jest to nasza standardowa funkcja \(f(x)=x^2\), która jest jeszcze podniesiona o jedną jednostkę do góry. Ta funkcja będzie więc na pewno przyjmować jedynie wartości dodatnie.
Zadanie nr 10 · Matura 2020
Funkcja \(f\) każdej liczbie naturalnej \(n\ge1\) przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez \(4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\(\{0,1,2,3\}\)
B\(\{1,2,3,4\}\)
C\(\{0,1,2,3,4\}\)
D\(\{0,2\}\)
Dzieląc liczbę naturalną przez \(4\) możemy otrzymać resztę równą \(0\), \(1\), \(2\) lub \(3\). Przykładowo:
$$20:4=5\;r.0$$
$$21:4=5\;r.1$$
$$22:4=5\;r.2$$
$$23:4=5\;r.3$$
To oznacza, że zbiorem wartości funkcji \(f\) jest \(\{0,1,2,3\}\).
Zadanie nr 20 · Matura 2019
W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest \(5\) punktów: \(A=(1,4)\), \(B=(-5,-1)\), \(C=(-5,3)\), \(D=(6,-4)\), \(P=(-30,-76)\). Punkt \(P\) należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt:
A\(A\)
B\(B\)
C\(C\)
D\(D\)
Aby dwa punkty leżały w tej samej ćwiartce to muszą mieć jednakowe znaki przy współrzędnej iksowej oraz igrekowej. Nasz punkt \(P\) ma obydwie współrzędne ujemne, zatem spośród podanych punktów interesuje nas tylko ten, który także ma obydwie współrzędne ujemne. Takim punktem jest \(B\) i to jest poszukiwana przez nas odpowiedź.
Przy okazji możemy sobie dodać, że zarówno punkt \(P\) jak i \(B\) znajdą się w III ćwiartce układu współrzędnych.
Zadanie nr 15 · Próbny 2019
Dany jest wykres funkcji \(y=f(x)\).
Zbiorem wartości funkcji \(f(x)\) jest przedział:
A\((-2,2\rangle\)
B\((-2,2)\)
C\(\langle-2,2\rangle\)
D\(\langle-2,2)\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Tutaj mamy klasyczną pułapkę związaną z odczytywaniem tych wartości, bowiem patrząc się na kropki mogłoby się wydawać, że zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-2;2)\). Jednak jak się przypatrzymy tej funkcji nieco bliżej, to zauważymy, że dla argumentów większych od zera aż do jedynki wartość funkcji jest równa \(2\). To oznacza, że zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-2,2\rangle\).
Zadanie nr 16 · Próbny 2019
Sześciu robotników wykonało pewną pracę w ciągu 6 godzin i 20 minut. Ośmiu robotników pracujących z taką samą wydajnością wykona tę samą pracę w ciągu:
A8 godzin i 26 minut
B4 godzin i 45 minut
C4 godzin i 20 minut
D4 godzin i 40 minut
Wbrew pozorom nie można tego zadania rozwiązać tak jak rozwiązujemy standardowe proporcje. W tym zadaniu mamy do czynienia z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Jak więc to powinniśmy rozwiązać? Wiemy, że \(6\) robotników wykonuje pracę w ciągu \(6\) godzin i \(20\) minut, czyli w ciągu \(380\) minut. To oznacza, że łączny czas pracy wszystkich pracowników jest równy:
$$6\cdot380\text{ minut}=2280\text{ minut}$$
Otrzymaliśmy informację, że gdybyśmy mieli zatrudnionego tylko jednego robotnika, to wykonałby on pracę w \(2280\) minut. Skoro mamy mieć ośmiu robotników (a czas pracy rozłoży się równo na każdą z tych osób), to praca zostanie wykonana osiem razy szybciej czyli w:
$$2280\text{ minut}:8=285\text{ minut}$$
Musimy jeszcze zamienić minuty na godziny. \(285\) minut to \(4\) godziny i \(45\) minut i taka też jest poszukiwana przez nas odpowiedź.
Zadanie nr 18 · Próbny 2019
Funkcję \(f(x)\) przesunięto wzdłuż osi układu współrzędnych, otrzymując funkcję o wzorze \(g(x)=f(x+4)\). Wobec tego funkcję \(f(x)\) przesunięto o:
A\(4\) jednostki w prawo
B\(4\) jednostki w górę
C\(4\) jednostki w lewo
D\(4\) jednostki w dół
Z działu dotyczącego przekształceń wykresów funkcji wiemy, że zwiększając wartość argumentu \(x\) o jakąś wartość, otrzymamy przesunięcie funkcji w lewo (to jest ten mniej intuicyjny przypadek przesunięć w lewo/prawo). Zapis typu \(f(x+4)\) oznacza więc przesunięcie funkcji \(f(x)\) o \(4\) jednostki w lewo.
Zadanie nr 8 · Matura 2019
Rysunek przedstawia wykres funkcji \(f\) zbudowany z \(6\) odcinków, przy czym punkty \(B=(2,-1)\) i \(C=(4,-1)\) należą do wykresu funkcji.
Równanie \(f(x)=-1\) ma:
Adokładnie jedno rozwiązanie
Bdokładnie dwa rozwiązania
Cdokładnie trzy rozwiązania
Dnieskończenie wiele rozwiązań
Naszym zadaniem jest tak naprawdę sprawdzenie dla jakich wartości \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą \(-1\). Z rysunku wynika, że ta wartość jest otrzymywana dla \(x=-2\), \(x=-\frac{1}{2}\) oraz dla \(x\in\langle2;4\rangle\). I to właśnie przez ten ostatni przedział mamy nieskończenie wiele rozwiązań równania \(f(x)=-1\), bo dla nieskończonej liczby argumentów nasza funkcja przyjmuje wartość równą \(1\).
Zadanie nr 9 · Próbny 2018
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość dla \(x\) równego:
A\(-3\)
B\(0\)
C\(3\)
D\(4\)
Z rysunku możemy odczytać, że największą wartość funkcja przyjmuje dla \(x=3\) i ta wartość jest równa \(y=4\). Przy okazji warto pamiętać, że niezamalowana kropka oznacza, że dany punkt nie należy do wykresu funkcji, a zamalowana oznacza, że punkt do tej funkcji należy.
Zadanie nr 9 · Matura 2018
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq-2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa:
A\(-8\)
B\(-\frac{1}{2}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(8\)
Aby dowiedzieć się jaką wartość funkcja przyjmuje dla argumentu \(2\), wystarczy podstawić do wzoru funkcji \(x=2\). Otrzymamy wtedy:
$$f(x)=-2(x+2)^{-1}\cdot(x-3)^2$$
$$f(2)=-2(2+2)^{-1}\cdot(2-3)^2$$
$$f(2)=-2\cdot4^{-1}\cdot(-1)^2$$
$$f(2)=-2\cdot\frac{1}{4}\cdot1$$
$$f(2)=-\frac{2}{4}$$
$$f(2)=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2017
Wskaż liczby, które należy wpisać do tabeli, aby wielkości \(x\) i \(y\) były odwrotnie proporcjonalne.
A\(x=6,\;y=22,5\)
B\(x=\frac{4}{3},\;y=6\)
C\(x=3,\;y=96\)
D\(x=4,\;y=1\)
Krok 1. Wyznaczenie brakującej wartości \(x\).
Wartości odwrotnie proporcjonalne charakteryzują się tym, że wraz z np. dwukrotnym wzrostem jednej liczby, spada dwukrotnie wartość drugiej liczby.
Spójrzmy teraz na naszą tabelkę. Widzimy, że \(y_{1}=16\) oraz \(y_{2}=24\). Możemy więc dostrzec, że wartość igreka wzrosła półtorakrotnie, bo \(\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{24}{16}=1,5\). To oznacza, że \(x_{2}\) powinno być \(1,5\) razy mniejsze od \(x_{1}\) lub też jak kto woli, \(x_{1}\) powinno być \(1,5\) razy większe od \(x_{2}\). Skoro \(x_{2}=2\), to \(x_{1}=1,5\cdot2=3\).
Krok 2. Wyznaczenie brakującej wartości \(y\).
Spójrzmy teraz na wartości \(x_{2}\) oraz \(x_{3}\). Widzimy, że \(x_{3}\) jest czterokrotnie mniejsze od \(x_{2}\), zatem \(y_{3}\) musi być czterokrotnie większe od \(y_{2}\). W związku z tym \(y_{3}=4\cdot24=96\).
Tak na marginesie, to warto zauważyć, że iloczyn liczb w każdej kolumnie daje tą samą wartość:
$$3\cdot16=48$$
$$2\cdot24=48$$
$$0,5\cdot96=48$$
To też może być dla nas wskazówka do rozwiązywania takich zadań lub chociażby weryfikowania poprawności obliczeń.
Zadanie nr 12 · Próbny 2017
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową względem osi \(OX\) wykresu funkcji \(f(x)=x^2-4\), to:
A\(f(x)=(x+4)^2\)
B\(f(x)=-x^2-4\)
C\(f(x)=-x^2+4\)
D\(f(x)=(x-4)^2\)
Jeżeli funkcję \(f(x)\) przekształcimy symetralnie względem osi iksów, to powstanie nam funkcja \(-f(x)\). Nasza funkcja wyraża się wzorem \(x^2-4\), zatem funkcja powstała w wyniku symetrii względem osi igreków będzie mieć wzór \(-(x^2-4)\), czyli \(-x^2+4\).
Zadanie nr 12 · Matura 2017
Punkt \(A=(2017,0)\) należy do wykresu funkcji \(f\) określonej wzorem:
A\(f(x)=(x+2017)^2\)
B\(f(x)=x^2-2017\)
C\(f(x)=(x+2017)(x-2017)\)
D\(f(x)=x^2+2017\)
Skoro punkt \(A=(2017;0)\) należy do naszej funkcji, to podstawiając do wzoru funkcji \(x=2017\) powinniśmy otrzymać wynik \(y=0\). Wyraźnie widać, że w funkcji z pierwszej odpowiedzi tak się nie stanie, bo podstawiając \(x=2017\) otrzymamy olbrzymi wynik wynik typu \(4034^2\). Podobnie stanie się w funkcji z odpowiedzi B, tutaj otrzymamy wartość \(2017^2-2017\) i analogicznie będzie w funkcji z odpowiedzi D gdzie będziemy mieć \(2017^2+2017\). Jedynie w funkcji z odpowiedzi C otrzymamy wartość równą \(0\), a to dlatego że w drugim nawiasie będziemy mieć \(0\), a więc tam otrzymamy \(4034\cdot0=0\).
Zadanie nr 10 · Próbny 2016
Prostą o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+1\) przesunięto wzdłuż osi \(Ox\) o cztery jednostki w prawo. Otrzymano prostą o równaniu:
A\(y=\frac{1}{2}x-3\)
B\(y=\frac{1}{2}x-1\)
C\(y=\frac{1}{2}x+3\)
D\(y=\frac{1}{2}x+5\)
Wzór funkcji przesuniętej o cztery jednostki w prawo stworzymy pomniejszając wartość iksa o \(4\). Nasza prosta będzie więc opisana równaniem:
$$y=\frac{1}{2}\cdot(x-4)+1$$
$$y=\frac{1}{2}x-2+1$$
$$y=\frac{1}{2}x-1$$
Zadanie nr 12 · Próbny 2016
Pan Krzysztof pokonuje trasę Warszawa-Kraków w czasie \(t\) ze średnią prędkością \(v\). Aby skrócić czas podróży o \(20\%\), pan Krzysztof musi średnią prędkość:
Azwiększyć o \(25\%\)
Bzwiększyć o \(20\%\)
Czmniejszyć o \(20\%\)
Dzmniejszyć o \(25\%\)
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie równań.
Na wstępie możemy od razu odrzucić dwie ostatnie odpowiedzi, bo nawet na logikę nie jest możliwe to, by jadąc z mniejszą prędkością, pokonać szybciej tą samą trasę.
Ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\) wynika, że \(s=v\cdot t\). W obydwu przypadkach pokonana trasa jest niezmienna, zmienne za to będą prędkość \(v\) oraz czas \(t\). Jeżeli skrócimy czas podróży o \(20\%\), to czas jazdy wyniesie \(0,8t\). W związku z tym możemy nawet sobie rozpisać, że:
Standardowa podróż: \(s=v\cdot t\)
Podróż o \(20\%\) krótsza: \(s=v_{nowa}\cdot0,8t\)
Skoro w jednym i drugim przypadku pokonana trasa jest jednakowa, to możemy zapisać, że:
$$v\cdot t=v_{nowa}\cdot0,8t \quad\bigg/:t$$
$$v=0,8v_{nowa} \quad\bigg/:0,8$$
$$v_{nowa}=\frac{v}{0,8}$$
I tu chyba najtrudniejsza część zadania, bowiem jak teraz dowiedzieć się z tego zapisu o ile procent trzeba zwiększyć poszukiwaną prędkość? Kreska ułamkowa jest formą dzielenia, zatem możemy zastąpić \(\frac{v}{0,8}\) dzieleniem \(v:\frac{4}{5}\). Teraz pamiętając o tym, że dzielenie to jest mnożenie przez odwrotność, możemy zapisać że:
$$v_{nowa}=v:\frac{4}{5}$$
$$v_{nowa}=v\cdot\frac{5}{4}$$
$$v_{nowa}=1,25v$$
$$v_{nowa}=125\%v$$
Skoro nowa prędkość stanowi \(125\%\) prędkości starej, to znaczy, że musimy zwiększyć prędkość o \(25\%\).
Zadanie nr 9 · Próbny 2016
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Najmniejszą wartością funkcji \(g(x)=f(-x)\) w przedziale \(\langle-4,-1\rangle\) jest liczba:
A\(-2\)
B\(-1\)
C\(0\)
D\(2\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Funkcja \(f(-x)\) jest tak naprawdę odbiciem lustrzanym (względem osi igreków) funkcji \(f(x)\). Możemy więc sobie narysować taką funkcję i odczytywać z niej to co jest nam potrzebne:
Krok 2. Odczytanie najmniejszej wartości.
Wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Interesują nas jedynie wartości przyjmowane dla argumentów z przedziału \(\langle-4,-1\rangle\), a w nim funkcja przyjmuje najmniejszą wartość równą \(0\) (dla \(x=-4\)).
Zadanie nr 9 · Matura 2016
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy liczba \(f(-\sqrt{2})\) jest równa:
A\(-\frac{8}{5}\)
B\(-\frac{4\sqrt{2}}{3}\)
C\(-\frac{4\sqrt{2}}{5}\)
D\(-\frac{4}{3}\)
Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości \(x=-\sqrt{2}\) i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem:
$$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}$$
$$f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1}$$
$$f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1}$$
$$f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$
Zadanie nr 12 · Matura 2016
Funkcja \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy \(f(-\sqrt[3]{3})\) jest równa:
A\(-\frac{\sqrt[3]{9}}{2}\)
B\(-\frac{3}{5}\)
C\(\frac{3}{5}\)
D\(\frac{\sqrt[3]{3}}{2}\)
Aby rozwiązać to zadanie musimy do wzoru podstawić \(x=-\sqrt[3]{3}\), zatem:
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-\sqrt[3]{3})^3}{(-\sqrt[3]{3})^6+1}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{2\cdot(-3)}{(-3)^2+1}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{9+1}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=\frac{-6}{10}$$
$$f(-\sqrt[3]{3})=-\frac{3}{5}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2015
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa:
A\(2-4\sqrt{2}\)
B\(1-2\sqrt{2}\)
C\(1+2\sqrt{2}\)
D\(2+4\sqrt{2}\)
Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$
Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}}$$
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2}$$
$$f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji \(f\).
Wskaż wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem osi \(Oy\) układu współrzędnych.
A\(y=f(x-4)\)
B\(y=f(x)-4\)
C\(y=f(x+4)\)
D\(y=f(x)+4\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie na początku jak będzie wyglądała ta druga funkcja, która powstanie po przekształceniu względem osi igreków:
Krok 2. Zapisanie wzoru nowej funkcji.
Nowa funkcja jest po prostu przesunięciem starej funkcji o \(4\) jednostki w lewą stronę. To oznacza, że wzorem nowej funkcji będzie \(y=f(x+4)\).
Zwróć uwagę na znak w nawiasie, bo nie jest on intuicyjny. Gdyby funkcja była przesunięta w prawą stronę o \(4\) jednostki, to mielibyśmy wzór \(y=f(x-4)\).
Zadanie nr 8 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\((-2;2)\)
B\(\langle-2;2)\)
C\(\langle-2;2\rangle\)
D\((-2;2\rangle\)
To zadanie jest wbrew pozorom bardzo podchwytliwe. Patrząc na wykres odruchowo chcielibyśmy zaznaczyć przedział \((-2;2)\), bo mamy niezamalowane kropki, które sugerowałyby nawiasy otwarte. Niestety jest to błędna odpowiedź, a prawidłowym przedziałem jest \((-2;2\rangle\). Dlaczego, skoro kropka przy wartości \(y=2\) jest niezamalowana? A to dlatego, że funkcja owszem nie przyjmuje wartości \(y=2\) dla \(x=0\), ale przyjmuje wartość \(y=2\) dla np. \(x=1\) lub \(x=\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 9 · Matura 2014
Największą wartością funkcji \(f\) jest:
A\(3\)
B\(0\)
C\(-3\)
D\(8\)
Zbiór wartości funkcji (a tym samym największą wartość funkcji) odczytujemy z osi \(y\). Krótko mówiąc - szukamy współrzędnej igrekowej punktu, który jest położony najwyżej na wykresie. Tą wartością będzie: \(y_{max}=3\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2014
Ekipa złożona z \(25\) pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu \(156\) dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu \(100\) dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o:
A\(14\) osób więcej
B\(17\) osób więcej
C\(25\) osób więcej
D\(39\) osób więcej
Wbrew pozorom nie można tego zadania rozwiązać tak jak rozwiązujemy standardowe proporcje. W zadaniu mamy przykład wielkości ODWROTNIE proporcjonalnej, więc metody typu "mnożenie na krzyż" nie zaprowadzą nas do skutecznego rozwiązania. Jak więc to powinniśmy rozwiązać?
I sposób:
Skoro \(25\) pracowników wykonuje tą pracę przez \(156\) dni, to jeden pracownik potrzebowałby na to:
$$25\cdot156dni=3900dni$$
Jeśli chcemy wykonać tę pracę w \(100\) dni to potrzebujemy:
$$3900:100=39\text{ [pracowników]}$$
Skoro mamy \(25\) pracowników, a potrzebujemy \(39\), to musimy zatrudnić dodatkowe \(14\) osób.
II sposób:
Wprowadźmy sobie niewiadomą \("praca"\), która będzie nam symbolizować jak dużo pracy trzeba wykonać. Im więcej osób pracuje, tym czas tej pracy jest mniejszy, zatem:
$$\frac{praca}{25}=156$$
$$praca=156\cdot25$$
$$praca=3900$$
Teraz tą samą pracę chcemy wykonać mając \(25+p\) pracowników (\(p\) to liczba dodatkowych pracowników). Czas tej pracy wyniesie \(100\) dni, zatem:
$$\frac{praca}{25+p}=100$$
$$\frac{3900}{25+p}=100$$
$$3900=100\cdot(25+p)$$
$$3900=2500+100p$$
$$1400=100p$$
$$p=14$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2014
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=\begin{cases} x^2-1\quad\text{ dla } x\in (-\infty,-2\rangle\\ -\frac{1}{3}x+1\quad\text{ dla } x\in(-2,3)\\ 2x-8\quad\text{ dla } x\in\langle3,+\infty) \end{cases}\).
Miejscem zerowym tej funkcji jest:
A\(-1\)
B\(1\)
C\(3\)
D\(4\)
Powyższa funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów/części, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Naszym zadaniem jest więc przyrównanie do zera każdej z części i sprawdzenie, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.
Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$x^2-1=0$$
$$x^2=1$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Wartości \(x=-1\) oraz \(x=1\) nie mieszczą się w przedziale \((-\infty,-2\rangle\), zatem nie są to miejsca zerowe naszej funkcji.
Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$-\frac{1}{3}x+1=0$$
$$-\frac{1}{3}x=-1$$
$$x=3$$
Wartość \(x=3\) nie mieści się w przedziale \((-2,3)\), zatem nie jest to miejsce zerowe naszej funkcji.
Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$2x-8=0$$
$$2x=8$$
$$x=4$$
Wartość \(x=4\) mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem jest to nasze miejsce zerowe.
Zadanie nr 2 · Próbny 2014
Ilość miejsc zerowych funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\begin{cases} 2x+4\quad \text{ dla } x\in (-\infty,-1 \rangle\\ x^2-1\quad \text{ dla } x\in (-1 ,3)\\ x+5\quad \text{ dla } x\in \langle 3,+\infty) \end{cases}\) wynosi:
A\(4\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(1\)
Nasza funkcja składa się tak jakby z trzech wzorów, które obowiązują dla trzech różnych przedziałów. Musimy więc każdy z tych wzorów przyrównać do zera i sprawdzić, czy otrzymany wynik mieści się w przedziale - jeśli tak, to będzie to miejsce zerowe funkcji.
Krok 1. Sprawdzenie pierwszej części wzoru.
$$2x+4=0$$
$$2x=-4$$
$$x=-2$$
Ta wartosć mieści się w przedziale \((-\infty,-1\rangle\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym.
Krok 2. Sprawdzenie drugiej części wzoru.
$$x^2-1=0$$
$$x^2=1$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Wartość \(x=-1\) nie mieści się w przedziale \((-1,3)\), za to drugie rozwiązanie \(x=1\) się w tym przedziale mieści, czyli tylko \(x=1\) jest miejscem zerowym.
Krok 3. Sprawdzenie trzeciej części wzoru.
$$x+5=0$$
$$x=-5$$
Wartość \(x=-5\) nie mieści się w przedziale \(\langle3,+\infty)\), zatem nie jest ona miejscem zerowym.
Krok 4. Obliczenie liczby miejsc zerowych.
Z naszym obliczeń wynika zatem, że tylko \(x=-2\) oraz \(x=1\) są miejscami zerowymi, zatem ta funkcja ma dwa miejsca zerowe.
Zadanie nr 5 · Matura 2013
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x}{x-1}\) dla \(x\neq1\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x=2\) jest równa:
A\(2\)
B\(-4\)
C\(4\)
D\(-2\)
Zgodnie z treścią zadania musimy podstawić do wzoru wartość \(x=2\). W ten sposób wyznaczymy poszukiwaną wartość funkcji.
$$f(2)=\frac{2\cdot2}{2-1}$$
$$f(2)=\frac{4}{1}$$
$$f(2)=4$$
Zadanie nr 25 · Matura 2013
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(y=f(x)\).
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-1,1\rangle\) jest równa:
A\(4\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(1\)
W tym zadaniu jest mała pułapka, bo musimy zwracać uwagę tylko i wyłącznie na przedział \(\langle-1,1\rangle\), a nie na cały wykres funkcji! Zbiór wartości i tym samym największą wartość funkcji odczytujemy z osi \(y\) (krótko mówiąc: będzie to najwyżej położony punkt). W naszym przypadku w przedziale \(\langle-1,1\rangle\) funkcja przyjmuje najwyższą wartość równą \(3\).
Zadanie nr 8 · Matura 2013
Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A\(\langle-3;5\rangle\)
B\(\langle-6;7\rangle\)
C\(\langle0;6\rangle\)
D\(\langle-5;8\rangle\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(y\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(-3\) do \(5\), zatem poszukiwanym przedziałem jest \(\langle-3;5\rangle\).
Zadanie nr 9 · Matura 2013
Przedziałem, w którym funkcja \(f\) przyjmuje tylko wartości ujemne, jest:
A\(\langle5;0\rangle\)
B\((5;7\rangle\)
C\(\langle0;7\rangle\)
D\(\langle-6;5\rangle\)
Szukamy takich argumentów, dla których wykres funkcji znalazł się pod osią \(Ox\). Wyraźnie widzimy, że funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne w przedziale \((5;7\rangle\).
A dlaczego przed wartością \(5\) znalazł się nawias otwarty, a nie domknięty? Jest tak dlatego, że dla \(x=5\) funkcja przyjmuje wartość równą zero, a nas interesują wartości ujemne. Stąd też za pomocą odpowiednich nawiasów musimy wykluczyć \(x=5\) z naszego przedziału.
Zadanie nr 10 · Matura 2013
Funkcja \(g\) jest określona wzorem:
A\(g(x)=f(x-1)\)
B\(g(x)=f(x)-1\)
C\(g(x)=f(x+1)\)
D\(g(x)=f(x)+1\)
Wykres funkcji \(g\) jest przesunięciem funkcji \(f\) o jedno miejsce w dół, zatem:
$$g(x)=f(x)-1$$
Zadanie nr 11 · Matura 2013
Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji \(y=f(x)\) określonej dla \(x\in\langle-7;4\rangle\).
Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji:
A\(y=f(x+2)\)
B\(y=f(x)-2\)
C\(y=f(x-2)\)
D\(y=f(x)+2\)
Wykres funkcji z drugiego rysunku jest przesunięty o dwie jednostki w prawo względem wykresu funkcji z rysunku pierwszego.
To oznacza, że prawidłowym wzorem wykresu drugiej funkcji będzie ten w którym wartość argumentu \(x\) jest pomniejszona o \(2\), czyli \(y=f(x-2)\).
Zadanie nr 29 · Matura 2013
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji \(f(x)\) określonej dla \(x\in\langle-7;8\rangle\).
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) największą wartość funkcji \(f\)
b) zbiór rozwiązań nierówności \(f(x)\lt0\)
Krok 1. Odczytanie największej wartości funkcji \(f\).
Najwyżej położonym punktem na wykresie jest ten o współrzędnych \((6;7)\) w związku z tym największą wartością funkcji jest \(7\).
Krok 2. Odczytanie zbioru rozwiązań nierówności \(f(x)\lt0\).
Interesuje nas teraz informacja dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli tak naprawdę kiedy funkcja znalazła się pod osią \(Ox\). Szukanym zbiorem rozwiązań jest więc \(x\in(-3;5)\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2012
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\).
Zbiorem wartości tej funkcji jest:
A\(\langle-4;3\rangle\)
B\(\langle-4;-1\rangle\bigcup\langle1;3\rangle\)
C\(\langle-4;-1\rangle\bigcup(1;3\rangle\)
D\(\langle-5;6\rangle\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(Y\). Widzimy wyraźnie, że nasz wykres składa się tak jakby z dwóch części, które są ciągłe:
- w pierwszej części ("górnej") funkcja przyjmuje wartości \((1;3\rangle\)
- w drugiej ("dolnej") przyjmuje wartości \(\langle-4;-1\rangle\).
Zbiór wartości tej funkcji jest więc sumą przedziałów: \(\langle-4;-1\rangle\bigcup(1;3\rangle\)
PS. Zwróć uwagę na nawiasy - punkt \((0,1)\) jest na rysunku przedstawiony w formie niezamalowanej kropki, dlatego nawias przy "jedynce" mamy otwarty.
Zadanie nr 23 · Próbny 2012
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-b}{x-9}\) dla \(x\neq9\). Ponadto wiemy, że \(f(4)=-1\). Oblicz współczynnik \(b\).
Aby obliczyć współczynnik \(b\) wystarczy poprawnie skorzystać z informacji \(f(4)=-1\). Wiemy, że funkcja dla argumentu \(x=4\) przyjmuje wartość \(-1\), więc podstawiając te dane do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(x)=\frac{2x-b}{x-9}$$
$$-1=\frac{2\cdot4-b}{4-9}$$
$$-1=\frac{8-b}{-5} \quad\bigg/\cdot(-5)$$
$$5=8-b$$
$$b=3$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2012
Miejscem zerowym funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\begin{cases} x^2-1\quad \text{ dla } x\in (-\infty,-4 \rangle\\ 5x+10\quad \text{ dla } x\in (-4 ,2)\\ x+4\quad \text{ dla } x\in \langle 2,+\infty) \end{cases}\) jest:
A\(-4\)
B\(-2\)
C\(-1\)
D\(1\)
Miejsce zerowe to taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Możemy sprawdzić każdą z odpowiedzi po kolei, podstawiając poszczególne liczby do wzorów funkcji (pamiętając jedynie o tym, by do dobrego wzoru podstawić poszczególne argumenty - tu musimy zobaczyć do jakiego przedziału należy nasz podstawiany \(x\)). Jeżeli tak będziemy chcieli podejść do tego zadania, to:
Dla \(x=-4\) mamy pierwszy wzór, czyli \((-4)^2-1=15\)
Dla \(x=-2\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-2)+10=0\)
Dla \(x=-1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot(-1)+10=5\)
Dla \(x=1\) mamy drugi wzór, czyli \(5\cdot1+10=15\)
W ten oto sposób obliczyliśmy, że wartość funkcji jest równa \(0\) dla argumentu \(x=-2\).
Jeżeli chcemy to miejsce zerowe wyliczyć samodzielnie, to musimy sprawdzić po kolei każdy z trzech wzorów, przyrównując każde z wyrażeń do zera.
Pierwsze wyrażenie:
\(x^2-1=0\)
\(x^2=1\)
\(x=1 \quad\lor\quad x=-1\)
Obydwa rozwiązania nie mieszczą się w przedziale \(x\in (-\infty,-4 \rangle\), zatem obydwa przypadki odrzucamy.
Drugie wyrażenie:
\(5x+10=0\)
\(5x=-10\)
\(x=-2\)
Rozwiązanie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem \(x=-2\) jest miejscem zerowym funkcji.
Trzecie wyrażenie:
\(x+4=0\)
\(x=-4\)
Rozwiązanie nie mieści się w przedziale \(x\in(-4,2)\), zatem ten przypadek odrzucamy.
Zadanie nr 12 · Próbny 2012
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(10\) jednostek w dół, to:
A\(y=f(x+10)\)
B\(y=f(x)+10\)
C\(y=f(x-10)\)
D\(y=f(x)-10\)
Jeżeli wykres funkcji \(f(x)\) przesuwamy o \(10\) jednostek w dół, to wzór nowej funkcji możemy zapisać jako \(y=f(x)-10\).
Zadanie nr 11 · Matura 2011
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\).
Zbiorem wartości tej funkcji jest:
A\(\langle-4,3\rangle\)
B\(\langle-4,-1\rangle\cup\langle1,3\rangle\)
C\(\langle-4,-1\rangle\cup(1,3\rangle\)
D\(\langle-5,6\rangle\)
Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Funkcja ta przyjmuje wartości od \(-4\) do \(-1\) (dolny fragment wykresu) oraz wartości od \(1\) do \(3\) (góry fragment wykresu).
Musimy jeszcze tylko ustalić jakie nawiasy będziemy przy każdej z tych wartości granicznych. W przypadku dolnej części wykresu obydwa nawiasy muszą być domknięte, bo mamy zamalowane kropki. W przypadku górnej części wykresu okazuje się, że wartość równa \(1\) jest tak naprawdę przez naszą funkcję nieprzyjmowana, bo dla argumentu \(x=-2\) mamy kropkę niezamalowaną, dlatego tu pojawi się nawias otwarty. Wartość równa \(3\) jest przyjmowana przez funkcję, więc tutaj nawias też będzie domknięty. To oznacza, że zbiorem wartości tej funkcji jest:
$$y\in\langle-4,-1\rangle\cup(1,3\rangle$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2010
Poniżej przedstawiono wykres funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\(\langle-2;5\rangle\)
B\(\langle-4;8\rangle\)
C\(\langle-1;4\rangle\)
D\(\langle5;8\rangle\)
Musimy sprawdzić współrzędną \(y\) dla dwóch punktów: najniżej i najwyżej położonego. Współrzędna \(y\) najniżej położonego punktu jest równa \(-2\), a najwyżej położonego punktu jest równa \(5\). W związku z tym zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2;5\rangle\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2010
Poniżej przedstawiono wykres funkcji \(f\). Korzystając z tego wykresu, wskaż nierówność prawdziwą.
A\(f(-1)\lt f(1)\)
B\(f(1)\lt f(3)\)
C\(f(-1)\lt f(3)\)
D\(f(3)\lt f(0)\)
Przykładowo zapis \(f(-1)\) oznacza, że musimy odczytać wartość funkcji dla argumentu \(x=-1\). W naszym przypadku \(f(-1)\) jest równe niespełna \(3\). Musimy sprawdzić tak po kolei każdą z par i zweryfikować która nierówność jest prawdziwa:
Odp. A. \(f(-1)\lt f(1)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(1)=-2\).
Odp. B. \(f(1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest prawdziwa, bo \(f(1)=-2\), natomiast \(f(3)=1\), a więc to \(f(1)\) jest mniejsze od \(f(3)\).
Odp. C. \(f(-1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(3)=1\).
Odp. D. \(f(3)\lt f(0)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(3)=1\), natomiast \(f(1)=-2\).
Zadanie nr 9 · Próbny 2010
Poniżej przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Wykres funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=f(x)+2\) jest przedstawiony na rysunku:
A
B
C
D
Aby otrzymać wykres funkcji \(g(x)\) musimy zgodnie z zapisem równości \(g(x)=f(x)+2\) przesunąć wykres \(f(x)\) o dwie jednostki do góry. To oznacza, że prawidłowego przesunięcia dokonano w odpowiedzi \(B\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2010
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\).
Zbiór wartości tej funkcji to:
A\((-1,3)\)
B\(\langle-3,3)\)
C\(\langle-4,2\rangle\)
D\((-\infty,3)\)
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Tutaj pewną pułapką w zadaniu jest fakt, że nie podpisano nam na osi igreków wartości \(-4\), natomiast po kratkach możemy odczytać, że ta funkcja przyjmuje właśnie wartości od \(-4\) do \(2\). Ustalmy jeszcze jakie nawiasy powinny znaleźć się w zapisie. Dla wartości \(-4\) kropka jest zamalowana, więc nawias będzie domknięty. Dla wartości \(2\) nawias będzie także domknięty, bo funkcja jak najbardziej przyjmuje tę wartość (dla argumentu \(x=0)\). Stąd też możemy zapisać, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \(\langle-4,2\rangle\).
Zadanie nr 7 · Matura 2010
Poniżej przedstawiono wykres funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest:
A\(\langle-2;5\rangle\)
B\(\langle-4;8\rangle\)
C\(\langle-1;4\rangle\)
D\(\langle5;8\rangle\)
Musimy sprawdzić współrzędną \(y\) dla dwóch punktów: najniżej i najwyżej położonego. Współrzędna \(y\) najniżej położonego punktu jest równa \(-2\), a najwyżej położonego punktu jest równa \(5\). W związku z tym zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2;5\rangle\).
Zadanie nr 8 · Matura 2010
Poniżej przedstawiono wykres funkcji \(f\). Korzystając z tego wykresu, wskaż nierówność prawdziwą.
A\(f(-1)\lt f(1)\)
B\(f(1)\lt f(3)\)
C\(f(-1)\lt f(3)\)
D\(f(3)\lt f(0)\)
Przykładowo zapis \(f(-1)\) oznacza, że musimy odczytać wartość funkcji dla argumentu \(x=-1\). W naszym przypadku \(f(-1)\) jest równe niespełna \(3\). Musimy sprawdzić tak po kolei każdą z par i zweryfikować która nierówność jest prawdziwa:
Odp. A. \(f(-1)\lt f(1)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(1)=-2\).
Odp. B. \(f(1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest prawdziwa, bo \(f(1)=-2\), natomiast \(f(3)=1\), a więc to \(f(1)\) jest mniejsze od \(f(3)\).
Odp. C. \(f(-1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(3)=1\).
Odp. D. \(f(3)\lt f(0)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(3)=1\), natomiast \(f(1)=-2\).
Zadanie nr 9 · Matura 2010
Poniżej przedstawiono wykres funkcji \(f\).
Wykres funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=f(x)+2\) jest przedstawiony na rysunku:
A
B
C
D
Aby otrzymać wykres funkcji \(g(x)\) musimy zgodnie z zapisem równości \(g(x)=f(x)+2\) przesunąć wykres \(f(x)\) o dwie jednostki do góry. To oznacza, że prawidłowego przesunięcia dokonano w odpowiedzi \(B\).
Zadanie nr 10 · Matura 2010
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\).
Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
A\(f(x)=0\)
B\(f(x)=1\)
C\(f(x)=2\)
D\(f(x)=3\)
Tak naprawdę naszym zadaniem jest sprawdzenie, która prosta (\(y=0\), \(y=1\), \(y=2\), czy \(y=3\)) przetnie wykres narysowanej funkcji w trzech miejscach. Taką prostą będzie oczywiście \(y=2\), stąd też prawidłowa jest odpowiedź trzecia.
a) Uzupełnij tabelę: dla \(x=-3\), \(x=3\) oraz dla argumentu, dla którego \(f(x)=0\).
b) Narysuj wykres funkcji \(f\).
c) Podaj wszystkie liczby całkowite \(x\), spełniające nierówność \(f(x)\ge-6\).
a) Wartości funkcji.
\(f(-3)\): ponieważ \(-3\lt 2\), mamy \(f(-3)=2\cdot(-3)-3=-9\).
\(f(3)\): ponieważ \(2\le3\le4\), mamy \(f(3)=1\).
Miejsce zerowe: dla \(x\lt 2\) mamy \(2x-3=0\), czyli \(x=1{,}5\) (i rzeczywiście \(1{,}5\lt 2\)); dla \(2\le x\le4\) funkcja jest stała i równa 1, więc nie ma tam miejsc zerowych.
b) Wykres. Dla \(x\lt 2\) — półprosta o równaniu \(y=2x-3\) (bez punktu \((2,1)\), który jednak należy do drugiej części wykresu); dla \(2\le x\le4\) — poziomy odcinek \(y=1\) od \((2,1)\) do \((4,1)\). Dziedziną funkcji jest \((-\infty,4\rangle\).
c) Nierówność \(f(x)\ge-6\).
Dla \(x\lt 2\): \(2x-3\ge-6\), czyli \(2x\ge-3\), skąd \(x\ge-\dfrac32\). Otrzymujemy \(-\dfrac32\le x\lt 2\).
Dla \(2\le x\le4\): \(f(x)=1\ge-6\) — warunek spełniony dla całego przedziału.
Łącznie \(x\in\left\langle-\tfrac32,\ 4\right\rangle\), a liczby całkowite w tym przedziale to
\(-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\).
Zadanie nr 9 · Próbny 2009
Do wykresu funkcji \(f(x)=x^2+x-2\) należy punkt:
A\((-1,-4)\)
B\((-1,1)\)
C\((-1,-1)\)
D\((-1,-2)\)
Zadanie możemy rozwiązać podstawiając współrzędne każdego z punktów do wzoru funkcji. Pierwszą współrzędną podstawiamy w miejsce \(x\), a drugą w miejsce \(f(x)\). Punktem należącym do wykresu będzie ten, który spełni powstałą równość (czyli tak naprawdę wtedy kiedy nie wyjdzie nam równanie sprzeczne).
Można jednak to zadanie zrobić nieco sprytniej, dostrzegając że we wszystkich odpowiedziach pierwszą współrzędną punktu jest \(x=-1\). To oznacza, że nie musimy podstawiać każdego z punktów pod wzór funkcji. Wystarczy tak naprawdę obliczyć wartość \(f(-1)\), zatem:
$$f(-1)=(-1)^2+(-1)-2$$
$$f(-1)=1-1-2$$
$$f(-1)=-2$$
To oznacza, że druga współrzędna to \(y=-2\), czyli prawidłowa jest ostatnia odpowiedź \((-1;-2)\).
Zadanie nr 25 · Matura
W kartezjańskim układzie w współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragmenty wykresów czterech funkcji: \(f, g, h, s\).
Zadanie 1.
Największą wartość dla argumentu \(x=2\) przyjmuje funkcja:
A. \(f\)
B. \(g\)
C. \(h\)
D. \(s\)
Zadanie 2. Dla argumentu \(x=3\) tę samą wartość przyjmują funkcje:
A. \(f\) i \(s\)
B. \(s\) i \(h\)
C. \(f\) i \(g\)
D. \(g\) i \(s\)
Zadanie 3. Zapisz maksymalny przedział, w którym prawdziwa jest nierówność \(g(x)\gt h(x)\).
Rozwiązanie 1.
Przyglądając się wykresom funkcji, widzimy, że dla argumentu \(x=2\) najwyższą wartość osiągnie funkcja \(f\) (możemy nawet dodać, że ta wartość to \(y=5\)).
Rozwiązanie 2.
Jeśli dwie funkcje przyjmują tą samą wartość dla danego argumentu, to z praktycznego punktu widzenia, wykresy tych funkcji po prostu się przetną. Widzimy więc, że tą samą wartość dla argumentu \(x=3\) przyjmie funkcja \(f\) i \(g\).
Rozwiązanie 3.
Zgodnie z zapisem \(g(x)\gt h(x)\), interesuje nas sytuacja, w której dla danego argumentu, funkcja \(g(x)\) przyjmuje większe wartości niż \(h(x)\). Mówiąc bardziej obrazowo, musimy przeanalizować kiedy wykres funkcji \(g(x)\) znajduje się nad wykresem funkcji \(h(x)\). Widzimy, że taka sytuacja ma miejsce od argumentu \(x=1\) aż do \(x=6\), czyli interesującym nas przedziałem byłby \(x\in(1,6)\). Tak na marginesie - nawiasy dajemy otwarte, bo dla tych skrajnych argumentów obydwie funkcje przyjmują jednakową wartość, a nas interesuje sytuacja, w której wartości funkcji \(g\) są większe od funkcji \(h\).
Zadanie nr 29 · Matura
Aby zaorać pole o powierzchni \(P\) w ciągu \(8\) godzin, potrzeba trzech ciągników. Przyjmijmy, że każdy ciągnik w ustalonej jednostce czasu może zaorać tę samą powierzchnię pola.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Zaoranie pola o powierzchni \(P\) przy pomocy dwóch ciągników zajęłoby \(12\) godzin. Cztery ciągniki, które pracują o połowę szybciej, zaorałyby to pole w ciągu \(4\) godzin.
Zaoranie pola o powierzchni \(P\) przy pomocy dwóch ciągników zajęłoby \(12\) godzin.
Cztery ciągniki, które pracują o połowę szybciej, zaorałyby to pole w ciągu \(4\) godzin.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy zauważyć, że w tym zadaniu pojawiają nam się wielkości odwrotnie proporcjonalne (czyli im więcej ciągników, tym czas pracy będzie krótszy). Bazując na treści zadania, możemy ułożyć następującą proporcję:
$$3 \text{ ciągniki} \Rightarrow 8 \text{ godzin}$$
$$2 \text{ ciągniki} \Rightarrow x \text{ godzin}$$
Skoro są to wartości odwrotnie proporcjonalne, to będziemy wykonywali tak zwane mnożenie w linii (a nie na krzyż), czyli:
$$3\cdot8=2\cdot x$$
$$24=2x$$
$$x=12$$
Zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Możemy przyjąć, że \(4\) ciągniki pracujące o połowę szybciej wykonają taką samą pracę jak \(6\) standardowych ciągników, ponieważ \(4\cdot1,5=6\). Ponownie więc układamy proporcję:
$$3 \text{ ciągniki} \Rightarrow 8 \text{ godzin}$$
$$4\cdot1,5=6 \text{ ciągników} \Rightarrow x \text{ godzin}$$
Mnożąc w linii otrzymamy:
$$3\cdot8=6\cdot x$$
$$24=6x$$
$$x=4$$
Zdanie jest więc prawdą.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
