Prosta pionowa $x=c$ nie jest funkcją i nie ma współczynnika kierunkowego — nie da się jej zapisać w postaci $y=ax+b$. Warunek prostopadłości zawodzi też dla pary prosta pozioma–pionowa; ten przypadek rozpatruj osobno.
Równanie prostej i współczynnik kierunkowy
Postać kierunkowa
$$y=ax+b$$
Litera $a$ to współczynnik kierunkowy — mówi, o ile wzrasta $y$, gdy $x$ rośnie o jeden. Litera $b$ to wyraz wolny — wartość $y$ w punkcie przecięcia z osią $OY$.
Warunek prostopadłości wygodnie stosuje się tak: odwracamy ułamek i zmieniamy znak. Do prostej o $a=2$ prostopadła ma $a=-\frac12$; do prostej o $a=\frac13$ — $a=-3$.
Proste o równych $a$ i równych $b$ pokrywają się; równe $a$ i różne $b$ oznacza proste rozłączne.
Postać ogólna
$$Ax+By+C=0$$
Zamiana na postać kierunkową polega na wyznaczeniu $y$:
$$2x+3y-6=0 \ \Rightarrow\ y=-\tfrac23x+2$$
Postać ogólna obejmuje również proste pionowe ($B=0$), których nie da się zapisać jako $y=ax+b$.
Punkty przecięcia z osiami
Z osią $OY$: podstawiamy $x=0$ i otrzymujemy punkt $(0,\ b)$.
Z osią $OX$: rozwiązujemy $ax+b=0$, czyli szukamy miejsca zerowego $x=-\frac{b}{a}$.
Punkt przecięcia dwóch prostych
Porównujemy prawe strony równań. Dla $y=2x-1$ i $y=-x+5$ dostajemy $3x=6$, czyli $x=2$ i $y=3$. Zawsze warto sprawdzić wynik w drugim równaniu.
Współliniowość trzech punktów
Punkty leżą na jednej prostej dokładnie wtedy, gdy współczynnik kierunkowy liczony dla różnych par jest taki sam. Dla $(1,2)$, $(3,6)$ i $(5,10)$ oba wynoszą $2$, więc punkty są współliniowe, a prosta to $y=2x$.
Zastosowania
Taksówka z opłatą $8$ zł i stawką $3$ zł za kilometr to $f(x)=3x+8$. Współczynnik kierunkowy jest tempem wzrostu kosztu, a wyraz wolny — kosztem stałym. Ten sam schemat opisuje abonamenty, rachunki za prąd czy koszt produkcji.
Na co uważać
Nie myl $a$ z $b$ przy odczycie ze wzoru. Przy prostopadłości pamiętaj o zmianie znaku, nie tylko o odwróceniu ułamka. I sprawdzaj wynik, podstawiając punkt do równania.
Funkcja liniowa jest stała, gdy jej współczynnik kierunkowy:
Ajest dodatni
Bjest ujemny
Cwynosi zero
Dwynosi $1$
Dla $a=0$ wzór upraszcza się do $f(x)=b$ — wartość jest taka sama dla każdego $x$, więc funkcja jest stała. Wykresem jest prosta pozioma.
Odpowiedź: C. wynosi zero.
Zadanie nr 5
Firma płaci $50$ zł za dzień plus $20$ zł za każdą przepracowaną godzinę. Zapisz wynagrodzenie jako funkcję liczby godzin $x$.
Opłata stała to wyraz wolny, stawka godzinowa to współczynnik kierunkowy:
$$W(x)=20x+50$$
Odpowiedź: $W(x)=20x+50$.
Zadanie nr 6
Dla wynagrodzenia $W(x)=20x+50$ oblicz, ile godzin trzeba przepracować, aby zarobić $210$ zł.
Rozwiązujemy równanie $W(x)=210$:
$$20x+50=210$$
$$20x=160 \quad\Rightarrow\quad x=8$$
Sprawdzenie: $20\cdot8+50=210$ ✔
Odpowiedź: trzeba przepracować $8$ godzin.
Zadanie nr 7
Wykres funkcji liniowej $f(x)=2x-6$ przecina oś OX w punkcie:
A$(3,\,0)$
B$(0,\,-6)$
C$(-3,\,0)$
D$(6,\,0)$
Na osi OX zeruje się $y$, więc rozwiązujemy $2x-6=0$:
$$x=3$$
Punkt to $(3,\,0)$ — to zarazem miejsce zerowe funkcji.
Odpowiedź: A. $(3,\,0)$.
Zadanie nr 8
Zbiornik zawierał $100$ litrów wody i jest opróżniany w tempie $5$ litrów na minutę. Zapisz funkcję objętości wody po $t$ minutach i oblicz, po ilu minutach zbiornik będzie pusty.
Krok 1 — funkcja. Woda ubywa, więc współczynnik jest ujemny:
$$V(t)=100-5t$$
Krok 2 — zbiornik pusty przy $V(t)=0$:
$$100-5t=0 \quad\Rightarrow\quad t=20$$
Odpowiedź: $V(t)=100-5t$; zbiornik będzie pusty po $20$ minutach.
Zadanie nr 9
Które dwie proste są równoległe?
A$y=2x+1$ i $y=3x+1$
B$y=x$ i $y=-x$
C$y=2x$ i $y=\tfrac12 x$
D$y=2x+1$ i $y=2x-4$
Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. W parze D oba wynoszą $2$.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 10
Dwie firmy kurierskie: pierwsza pobiera $15$ zł plus $2$ zł za kilometr, druga $5$ zł plus $4$ zł za kilometr. Przy jakiej liczbie kilometrów koszt będzie taki sam?
Krok 1 — modele:
$$K_1(x)=2x+15,\qquad K_2(x)=4x+5$$
Krok 2 — przyrównujemy:
$$2x+15=4x+5$$
$$10=2x \quad\Rightarrow\quad x=5$$
Sprawdzenie: $K_1(5)=25$, $K_2(5)=25$ ✔
Interpretacja: do $5$ km tańsza jest druga firma, powyżej — pierwsza.
Odpowiedź: przy $5$ km koszt jest równy ($25$ zł).
Zadanie nr 11
Funkcja liniowa przechodzi przez punkty $(0,\,2)$ i $(1,\,5)$. Jej współczynnik kierunkowy wynosi:
A$2$
B$3$
C$5$
D$\tfrac13$
$$a=\frac{5-2}{1-0}=\frac{3}{1}=3$$
Współczynnik kierunkowy to przyrost wartości przy wzroście argumentu o $1$.
Odpowiedź: B. $3$.
Zadanie nr 12
Temperatura wody spada liniowo. Po $2$ minutach wynosiła $80^\circ$C, po $5$ minutach $50^\circ$C. Wyznacz wzór funkcji temperatury.
Krok 1 — współczynnik kierunkowy (tempo zmian):
$$a=\frac{50-80}{5-2}=\frac{-30}{3}=-10$$
Temperatura spada o $10^\circ$ na minutę.
Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $(2,\,80)$:
$$80=-10\cdot2+b \quad\Rightarrow\quad b=100$$
$$T(t)=-10t+100$$
Interpretacja: $b=100$ to temperatura początkowa (dla $t=0$).
Odpowiedź: $T(t)=-10t+100$.
Zadanie nr 13
Funkcja $f(x)=ax+b$ jest rosnąca i ma dodatni wyraz wolny. Który wykres to opisuje?
Aprosta opadająca, przecina OY poniżej zera
Bprosta pozioma
Cprosta wznosząca, przecina OY powyżej zera
Dprosta wznosząca, przecina OY poniżej zera
Funkcja rosnąca oznacza $a>0$ — prosta wznosi się. Dodatni wyraz wolny $b>0$ oznacza, że przecina oś OY powyżej zera (w punkcie $(0,\,b)$).
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 14
Rower kosztuje $1200$ zł. Ala oszczędza $80$ zł tygodniowo i ma już $400$ zł. Po ilu tygodniach uzbiera na rower?
Dwa pociągi jadą po tym samym torze. Odległość pierwszego od stacji: $d_1(t)=60t$, drugiego: $d_2(t)=40t+30$ (w km, $t$ w godzinach). Po jakim czasie pierwszy dogoni drugiego?
Pierwszy dogania drugiego, gdy ich odległości od stacji są równe:
Plan telefoniczny A: $30$ zł miesięcznie bez limitu. Plan B: $10$ zł plus $0{,}20$ zł za minutę. Przy ilu minutach plany kosztują tyle samo i który jest tańszy przy $150$ minutach?
Plan B kosztuje $40$ zł, więc plan A ($30$ zł) jest tańszy.
Wniosek: powyżej $100$ minut opłaca się plan A bez limitu.
Odpowiedź: równowaga przy $100$ minutach; przy $150$ minutach tańszy jest plan A.
Zadanie nr 20
Świeca ma początkowo $24$ cm i skraca się o $3$ cm na godzinę. Zapisz funkcję długości, oblicz długość po $5$ godzinach i wyznacz dziedzinę wynikającą z treści zadania.
Krok 1 — funkcja długości:
$$L(t)=24-3t$$
Krok 2 — długość po $5$ godzinach:
$$L(5)=24-15=9\ \text{cm}$$
Krok 3 — dziedzina. Czas nie może być ujemny, a świeca istnieje, dopóki $L(t)\ge0$:
$$24-3t\ge0 \quad\Rightarrow\quad t\le8$$
Zatem sensowna dziedzina to $t\in\langle 0,\,8\rangle$ — po $8$ godzinach świeca całkowicie się wypali.
Odpowiedź: $L(t)=24-3t$; po $5$ h długość $9$ cm; dziedzina $\langle 0,\,8\rangle$.
Zadanie nr 1
Wyznacz miejsce zerowe funkcji $f(x)=2x-8$.
Ax = −4
Bx = 8
Cx = 4
Dx = −8
Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$:
Prosta $y=-2x+6$ wraz z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt. Oblicz jego pole.
Krok 1 — punkty przecięcia z osiami.
Z osią $OY$ ($x=0$): $y=6$, czyli punkt $(0,6)$.
Z osią $OX$ ($y=0$): $-2x+6=0$, więc $x=3$, czyli punkt $(3,0)$.
Krok 2 — pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych leżących na osiach:
$$P=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=9$$
Odpowiedź: pole wynosi $9$.
Zadanie nr 13
Opłata za przejazd taksówką składa się z opłaty początkowej $8$ zł oraz $3$ zł za każdy kilometr. Zapisz wzór funkcji opisującej koszt przejazdu i oblicz, ile kilometrów przejechano, jeśli zapłacono $38$ zł.
Krok 1 — wzór funkcji. Koszt zależy liniowo od liczby kilometrów $x$:
$$k(x)=3x+8$$
Opłata początkowa to wyraz wolny, cena za kilometr — współczynnik kierunkowy.
Sprawdzenie równoległości: dla $m=3$ mamy $y=2x+3$ — ten sam współczynnik co $y=2x-5$, ale inny wyraz wolny, więc proste są rozłączne ✔
Odpowiedź: równoległe dla $m=3$, prostopadłe dla $m=\frac12$.
Zadanie nr 19
Taksówka pobiera $8$ zł opłaty początkowej i $3$ zł za każdy kilometr. Zapisz koszt przejazdu jako funkcję liniową, podaj interpretację obu współczynników i oblicz, ile kilometrów przejedziemy za $50$ zł.
Krok 1 — wzór funkcji:
$$f(x)=3x+8$$
Krok 2 — interpretacja. Współczynnik kierunkowy $a=3$ to cena jednego kilometra, czyli tempo wzrostu kosztu. Wyraz wolny $b=8$ to koszt początkowy — płacimy go nawet przy zerowym przejeździe.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu — pokazujemy 100 najnowszych z 122.
Zadanie nr 13 · Matura 2026
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\). Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji \(f\) jest nachylony do osi \(Ox\) układu współrzędnych pod kątem o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek).
Zadanie 13.1. (1pkt) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.
P
F
Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest liczbą dodatnią.
P
F
Zadanie 13.2. (1pkt) Tangens kąta o mierze \(\alpha\) jest równy:
Zadanie 13.1.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z wykresu widać, że funkcja jest malejąca (wykres opada od lewej do prawej). Oznacza to, że współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny (\(a\lt0\)). Zdanie jest więc fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Współczynnik \(b\) to punkt przecięcia wykresu z osią \(OY\). Z wykresu odczytujemy, że prosta przecina oś \(OY\) w punkcie \((0,-3)\), zatem \(b=-3\), co jest liczbą ujemną. Zdanie jest więc fałszem.
Zadanie 13.2.
Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej.
Z wykresu możemy odczytać dwa punkty o współrzędnych całkowitych, przez które przechodzi prosta: \((-2,0)\) oraz \((0,-3)\). To pozwoli nam wyznaczyć wartość współczynnika kierunkowego \(a\):
$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
$$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}$$
$$a=-\frac{3}{2}$$
Krok 2. Związek tangensa z współczynnikiem kierunkowym.
Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi \(OX\), zatem \(tg\alpha=a=-\frac{3}{2}\).
Zadanie nr 26 · Matura 2026
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \((2,-2)\).
Prosta \(l\) przecina oś \(Oy\) w punkcie:
A\((0,-3)\)
B\((0,-\frac{1}{2})\)
C\((0,-1)\)
D\((0,-\frac{4}{3})\)
Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(l\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy. To prowadzi nas do wniosku, że prosta \(l\) ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta \(k\), zatem prosta \(l\) ma równanie postaci:
$$y=-\frac{1}{3}x+b$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), podstawiamy współrzędne punktu \((2,-2)\) do wzoru, przez który przechodzi prosta \(l\):
$$-2=-\frac{1}{3}\cdot2+b$$
$$-2=-\frac{2}{3}+b$$
$$b=-2+\frac{2}{3}$$
$$b=-\frac{6}{3}+\frac{2}{3}$$
$$b=-\frac{4}{3}$$
Równanie prostej \(l\) to w takim razie \(y=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}\).
Krok 3. Znalezienie punktu przecięcia z osią \(Oy\).
Punkt przecięcia z osią \(Oy\) ma współrzędną \(x=0\), a jego współrzędna \(y\) jest równa wyrazowi wolnemu \(b\). Zatem jest to punkt \((0,-\frac{4}{3})\).
Zadanie nr 13 · Matura 2025
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(3-m)x-4\). Funkcja \(f\) nie ma miejsca zerowego dla \(m\) równego:
A\((-3)\)
B\(0\)
C\(3\)
D\(4\)
Funkcja nie będzie mieć miejsc zerowych wtedy, gdy współczynnik \(a\) będzie równy 0. To oznacza, że stanie się tak dla \(m\) równego:
$$3-m=0$$
$$m=3$$
Zadanie nr 23 · Matura 2025
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami:
$$k:\quad y=(m-2)x+5$$
$$l:\quad y=-4x+(m+3)$$
Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa:
A\((-4)\)
B\((-2)\)
C\(2\)
D\(5\)
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(m-2\), a druga ma równy \(-4\). Skoro te współczynniki muszą być równe to:
$$m-2=-4$$
$$m=-2$$
Zadanie nr 12 · Matura 2024
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(-2k+3)x+k-1\), gdzie \(k\in\mathbb{R}\). Funkcja \(f\) jest malejąca dla każdej liczby \(k\) należącej do przedziału:
A\((-\infty,1)\)
B\((-\infty,-\frac{3}{2})\)
C\((1,+\infty)\)
D\((\frac{3}{2},+\infty)\)
Funkcja jest malejąca, gdy jej współczynnik \(a\) jest ujemny. W związku z tym musimy sprawdzić, kiedy \(-2k+3\) jest mniejsze od zera, zatem:
$$-2k+3\lt0$$
$$-2k\lt-3 \quad\bigg/:(-2)$$
$$k\gt\frac{3}{2}$$
Zwróć uwagę, że podczas dzielenia obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny. To oznacza, że funkcja jest malejąca dla \(k\) z przedziału \((\frac{3}{2},+\infty)\).
Zadanie nr 13 · Matura 2024
Funkcje liniowe \(f\) oraz \(g\), określone wzorami \(f(x)=3x+6\) oraz \(g(x)=ax+7\) mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(g\) jest równy:
A\(\left(-\frac{7}{2}\right)\)
B\(\left(-\frac{2}{7}\right)\)
C\(\frac{2}{7}\)
D\(\frac{7}{2}\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(f\).
Miejsce zerowe to argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Musimy więc sprawdzić, kiedy \(3x+6\) jest równe \(0\), zatem:
$$3x+6=0$$
$$3x=-6$$
$$x=-2$$
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\) funkcji \(g\).
Skoro funkcja \(g\) ma to samo miejsce zerowe co funkcja \(f\), to możemy stwierdzić, że dla argumentu \(x=-2\) funkcja \(g\) przyjmie wartość równą \(0\), zatem:
$$a\cdot(-2)+7=0$$
$$-2a=-7$$
$$a=\frac{7}{2}$$
Zadanie nr 23 · Matura 2024
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami:
$$k:\; y=(m+1)x+7$$
$$l:\; y=-2x+7$$
Proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe, gdy liczba \(m\) jest równa:
A\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
B\(\frac{1}{2}\)
C\((-3)\)
D\(1\)
Proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(m+1\), natomiast drugiej jest równy \(-2\), zatem:
$$(m+1)\cdot(-2)=-1$$
$$-2m-2=-1$$
$$-2m=1$$
$$m=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 13 · Matura 2023
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na
Liczba \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:
A\(a\gt0\) i \(b\gt0\)
B\(a\gt0\) i \(b\lt0\)
C\(a\lt0\) i \(b\gt0\)
D\(a\lt0\) i \(b\lt0\)
Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. To oznacza, że \(a\lt0\).
Dodatkowo widzimy, że wykres funkcji przecina oś \(OY\) w dodatnim miejscu, a to prowadzi nas do wniosku, że współczynnik \(b\) jest dodatni, czyli \(b\gt0\).
To oznacza, że liczby \(a\) oraz \(b\) spełniają warunki \(a\lt0\) i \(b\gt0\).
Zadanie nr 23 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach
$$k:\quad y=\frac{2}{3}x$$
$$l:\quad y=-\frac{3}{2}x+13$$
Proste \(k\) oraz \(l\):
A.
B.
są prostopadłe
są równoległe
i przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych
1
2
3
\((-6,-4)\)
\((6,4)\)
\((-6,4)\)
Krok 1. Ustalenie, czy proste są prostopadłe.
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). W naszym przypadku współczynniki \(a\) mają wartość \(\frac{2}{3}\) oraz \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn tych dwóch liczb jest równy:
$$\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$
To oznacza, że proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe.
Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać miejsce przecięcia się prostych wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases} y=\frac{2}{3}x \\ y=-\frac{3}{2}x+13 \end{cases}$$
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13$$
$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13$$
$$\frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13$$
$$\frac{13}{6}x=13 \quad\bigg/\cdot\frac{6}{13}$$
$$x=6$$
Wiemy już, że \(x=6\) (co swoją drogą wystarczy już do wybrania prawidłowej odpowiedzi). Chcąc poznać jeszcze współrzędną \(y\) punktu przecięcia wystarczy podstawić wyznaczone \(x=6\) do jednego z równań (np. \(y=\frac{2}{3}x\)), zatem:
$$y=\frac{2}{3}\cdot6$$
$$y=4$$
To oznacza, że miejscem przecięcia się tych prostych jest punkt o współrzędnych \((6;4)\).
Zadanie nr 24 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3;5)\), gdy:
A\(a=3\) i \(b=4\)
B\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=4\)
C\(a=3\) i \(b=-4\)
D\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=6\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b$$
$$5=-1+b$$
$$b=6$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2023
Dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+4\). Prosta \(l\) o równaniu \(y=(2m+1)x-2\), gdzie \(m\) to pewna liczba rzeczywista, jest prostopadła do prostej \(k\).
Liczba \(m\) jest równa:
A\(-3\)
B\(-2\)
C\(1\)
D\(3\)
Dwie proste są względem siebie prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Prosta \(k\) ma ten współczynnik równy \(\frac{1}{3}\), natomiast prosta \(l\) ma ten współczynnik równy \(2m-1\). Skoro ich iloczyn ma być równy \(-1\), to:
$$\frac{1}{3}\cdot(2m+1)=-1$$
$$\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}=-1$$
$$\frac{2}{3}m=-\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$
$$m=-\frac{4}{2}$$
$$m=-2$$
Zadanie nr 13 · Matura 2023
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na
Liczba \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:
A\(a\gt0\) i \(b\gt0\)
B\(a\gt0\) i \(b\lt0\)
C\(a\lt0\) i \(b\gt0\)
D\(a\lt0\) i \(b\lt0\)
Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. To oznacza, że \(a\lt0\).
Dodatkowo widzimy, że wykres funkcji przecina oś \(OY\) w dodatnim miejscu, a to prowadzi nas do wniosku, że współczynnik \(b\) jest dodatni, czyli \(b\gt0\).
To oznacza, że liczby \(a\) oraz \(b\) spełniają warunki \(a\lt0\) i \(b\gt0\).
Zadanie nr 23 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach
Krok 1. Ustalenie, czy proste są prostopadłe.
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). W naszym przypadku współczynniki \(a\) mają wartość \(\frac{2}{3}\) oraz \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn tych dwóch liczb jest równy:
$$\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$
To oznacza, że proste \(k\) oraz \(l\) są prostopadłe.
Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się prostych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać miejsce przecięcia się prostych wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases} y=\frac{2}{3}x \\ y=-\frac{3}{2}x+13 \end{cases}$$
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13$$
$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13$$
$$\frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13$$
$$\frac{13}{6}x=13 \quad\bigg/\cdot\frac{6}{13}$$
$$x=6$$
Wiemy już, że \(x=6\) (co swoją drogą wystarczy już do wybrania prawidłowej odpowiedzi). Chcąc poznać jeszcze współrzędną \(y\) punktu przecięcia wystarczy podstawić wyznaczone \(x=6\) do jednego z równań (np. \(y=\frac{2}{3}x\)), zatem:
$$y=\frac{2}{3}\cdot6$$
$$y=4$$
To oznacza, że miejscem przecięcia się tych prostych jest punkt o współrzędnych \((6;4)\).
Zadanie nr 24 · Matura 2023
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3;5)\), gdy:
A\(a=3\) i \(b=4\)
B\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=4\)
C\(a=3\) i \(b=-4\)
D\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=6\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b$$
$$5=-1+b$$
$$b=6$$
Zadanie nr 9 · Matura 2023
Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=(2p-1)x+p\) jest liczba \((-4)\). Wtedy:
A\(p=\frac{4}{9}\)
B\(p=\frac{4}{7}\)
C\(p=-4\)
D\(p=-\frac{4}{7}\)
Miejsce zerowe to taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Skoro więc miejscem zerowym jest \(x=-4\), to moglibyśmy zapisać, że:
$$0=(2p-1)\cdot(-4)+p$$
$$0=-8p+4+p$$
$$0=-7p+4$$
$$7p=4$$
$$p=\frac{4}{7}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y).
Liczba \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają warunki:
A\(a\gt0\) i \(b\gt0\)
B\(a\gt0\) i \(b\lt0\)
C\(a\lt0\) i \(b\gt0\)
D\(a\lt0\) i \(b\lt0\)
Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. To oznacza, że \(a\lt0\).
Dodatkowo widzimy, że wykres funkcji przecina oś \(OY\) w dodatnim miejscu, a to prowadzi nas do wniosku, że współczynnik \(b\) jest dodatni, czyli \(b\gt0\).
To oznacza, że liczby \(a\) oraz \(b\) spełniają warunki \(a\lt0\) i \(b\gt0\).
Zadanie nr 23 · Matura 2023
Dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\). Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest równoległa do prostej \(k\) i przechodzi przez punkt \(P=(3;5)\), gdy:
A\(a=3\) i \(b=4\)
B\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=4\)
C\(a=3\) i \(b=-4\)
D\(a=-\frac{1}{3}\) i \(b=6\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki kierunkowe \(a\). To prowadzi nas do wniosku, że nasza poszukiwana prosta musi mieć współczynnik \(a=-\frac{1}{3}\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Wiemy już, że nasza prosta równoległa musi wyrażać się równaniem typu \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Chcąc poznać brakujący współczynnik \(b\) musimy podstawić współrzędne punktu, przez który ta prosta przechodzi, czyli w tym przypadku współrzędne punktu \(P=(3;5)\). Otrzymamy zatem:
$$5=-\frac{1}{3}\cdot3+b$$
$$5=-1+b$$
$$b=6$$
Zadanie nr 34 · Matura 2023
W kwadracie \(ABCD\) punkty \(A=(-8;-2)\) oraz \(C=(0;4)\) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Co prawda nie jest to konieczne, ale dobrze jest sobie zobrazować całą sytuację za pomocą prostego rysunku. Pamiętając o tym, że przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, otrzymamy mniej więcej taką oto sytuację:
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\), więc bez problemu możemy wyznaczyć równanie prostej \(AC\). W tym celu możemy skorzystać z rozbudowanego wzoru z tablic lub po prostu z metody układu równań (w tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne najpierw punktu \(A\), potem \(C\)). Można też postąpić jeszcze nieco sprytniej. Skoro prosta przechodzi przez punkt \(C=(0;4)\) to znaczy, że przecina ona oś \(OY\) dla \(y=4\), co z kolei oznacza, że współczynnik \(b=4\). Wiemy już zatem, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=ax+4\).
Chcąc poznać brakując współczynnik \(a\) wystarczy teraz podstawić do wyznaczonej postaci \(y=ax+4\) współrzędne punktu \(A\), zatem:
$$-2=-8\cdot a+4$$
$$-6=-8a$$
$$a=\frac{3}{4}$$
Krok 3. Wyznaczenie środka odcinka \(AC\).
Musimy wyznaczyć środek odcinka \(AC\), ponieważ jest to punkt, przez który będzie przechodzić także poszukiwana prosta \(BD\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$
$$S=\left(\frac{-8+0}{2};\frac{-2+4}{2}\right)$$
$$S=\left(\frac{-8}{2};\frac{2}{2}\right)$$
$$S=(-4;1)$$
Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Prosta \(BD\) będzie prostą prostopadłą do prostej \(AC\), ponieważ przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym. Z własności prostych prostopadłych wiemy, że iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc prosta \(AC\) miała współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), to nasza prosta \(BD\) będzie miała ten współczynnik \(a=-\frac{4}{3}\), bo \(\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\frac{3}{4}=-1\). Skoro tak, to wiemy już, że ta prosta będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{4}{3}x+b\).
Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), musimy podstawić do wyznaczonego równania \(y=-\frac{4}{3}x+b\) współrzędne jakiegoś punktu, przez który ta prosta przechodzi - w tym przypadku możemy podstawić wyznaczone wcześniej współrzędne punktu \(S=(-4;1)\). Skoro tak, to:
$$1=-\frac{4}{3}\cdot(-4)+b$$
$$1=\frac{16}{3}+b$$
$$b=-\frac{13}{3}$$
To oznacza, że poszukiwanym równaniem jest \(y=-\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2022
Proste o równaniach \(y=x+4\) i \(y=-2x+m+1\) przecinają się w punkcie, którego obie współrzędne są dodatnie. Wynika stąd, że \(m\) należy do przedziału:
A\((-\infty,-3)\)
B\(\langle-3,0)\)
C\((0,3\rangle\)
D\((3,+\infty)\)
Ustalmy najpierw kiedy te dwie proste się ze sobą przetną. W tym celu musimy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases} y=x+4 \\ y=-2x+m+1 \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$x+4=-2x+m+1$$
$$3x=-3+m$$
$$x=-1+\frac{1}{3}m$$
Chcemy, by \(x\) był większy od zera, zatem:
$$-1+\frac{1}{3}m\gt0$$
$$\frac{1}{3}m\gt1$$
$$m\gt3$$
Wynika stąd, że \(m\) należy do przedziału \((3,+\infty)\).
Zadanie nr 21 · Próbny 2022
Przez punkty \(A=(-2,5)\) i \(B=(4,9)\) poprowadzono prostą. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:
A\(a=\frac{2}{3}\)
B\(a=-\frac{2}{3}\)
C\(a=\frac{3}{2}\)
D\(a=-\frac{3}{2}\)
Nie musimy wyznaczać równania całej prostej. Aby poznać wartość współczynnika \(a\) możemy skorzystać ze wzoru:
$$a=\frac{9-5}{4-(-2)}$$
$$a=\frac{4}{6}$$
$$a=\frac{2}{3}$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2022
Odcinek o końcach \(A=(1,3)\) i \(B=(5,11)\) jest zawarty w prostej o równaniu \(y=2x+1\). Symetralna odcinka \(AB\) ma równanie:
A\(y=-2x-13\)
B\(y=-2x+5\)
C\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}\)
D\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\)
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka.
Symetralna odcinka to prosta prostopadła, która przechodzi przez środek tego odcinka. Wyznaczmy zatem najpierw współrzędne środka odcinka \(AB\). Korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$
$$S=\left(\frac{1+5}{2};\frac{3+11}{2}\right)$$
$$S=\left(\frac{6}{2};\frac{14}{2}\right)$$
$$S=(3;7)$$
Krok 2. Wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\).
Symetralna musi być prostą prostopadłą do prostej o równaniu \(y=2x+1\). Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro tak, to nasza symetralna musi mieć \(a=-\frac{1}{2}\), bo \(\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot2=-1\). To oznacza, że symetralna wyrażać się będzie równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+b\).
To oznacza, że symetralna odcinka \(AB\) ma równanie \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}\).
Zadanie nr 23 · Próbny 2022
Wykresy funkcji liniowych \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=ax+b\) i \(g(x)=bx-a\), przecinają się w punkcie \(M=(3,5)\). Zatem:
A\(a=\frac{6}{13}, b=\frac{9}{13}\)
B\(a=5, b=10\)
C\(a=\frac{5}{3}, b=\frac{10}{3}\)
D\(a=1, b=2\)
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać współrzędne miejsc przecięcia się funkcji, musimy rozwiązać układ równań składający się ze wzorów tych funkcji. My już wiemy, że współrzędne tego punktu to \(M=(3,5)\), zatem podstawmy \(x=3\) oraz \(y=5\) do wzorów obydwu funkcji:
\begin{cases} 5=a\cdot3+b \\ 5=b\cdot3-a \end{cases}
\begin{cases} 5=3a+b \\ 5=3b-a \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania możemy teraz zapisać, że:
$$3a+b=3b-a$$
$$4a=2b$$
$$a=\frac{1}{2}b$$
Jeżeli teraz podstawimy wyznaczone \(a=\frac{1}{2}b\) do np. równania \(5=3a+b\), to otrzymamy:
$$5=3\cdot\frac{1}{2}b+b$$
$$5=1,5b+b$$
$$5=2,5b$$
$$b=2$$
Wiedząc, że \(b=2\) i że \(a=\frac{1}{2}b\), wyjdzie nam, że:
$$a=\frac{1}{2}\cdot2$$
$$a=1$$
To oznacza, że warunki zadania są spełnione dla \(a=1, b=2\).
Zadanie nr 11 · Matura 2022
Punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=5x+b-4\). Wynika stąd, że \(b\) jest równe:
A\((-17)\)
B\((-13)\)
C\(13\)
D\(17\)
Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), wystarczy skorzystać z informacji o tym, że punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu funkcji. Podstawiając współrzędne tego punktu do podanego wzoru, otrzymamy:
$$-2=5\cdot3+b-4$$
$$-2=15+b-4$$
$$-2=11+b$$
$$b=-13$$
Zadanie nr 23 · Matura 2022
Proste o równaniach \(y=-3x+\frac{1}{3}\) oraz \(y=\frac{1}{3}x-3\) przecinają się w punkcie \(P=(x_{0}, y_{0})\). Wynika stąd, że:
A\(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\gt0\)
B\(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\)
C\(x_{0}\lt0\) i \(y_{0}\gt0\)
D\(x_{0}\lt0\) i \(y_{0}\lt0\)
Aby wyznaczyć współrzędne miejsca przecięcia się dwóch prostych, wystarczy rozwiązać układ równań składający się z równań tych prostych. W związku z tym:
\begin{cases} y=-3x+\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3}x-3 \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania możemy zapisać, że:
$$-3x+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x-3$$
$$-3\frac{1}{3}x=-3\frac{1}{3}$$
$$x=1$$
Znamy już pierwszą współrzędną, czyli \(x=1\). Aby wyznaczyć drugą, wystarczy do dowolnego z równań (np. pierwszego) podstawić wyznaczona przed chwilą wartość \(x=1\), zatem:
$$y=-3\cdot1+\frac{1}{3}$$
$$y=-3+\frac{1}{3}$$
$$y=-2\frac{2}{3}$$
To oznacza, że \(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\).
Zadanie nr 11 · Matura 2022
Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-\frac{1}{3}(x+3)+5\) jest liczba:
A\((-3)\)
B\(\frac{9}{2}\)
C\(5\)
D\(12\)
Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero. Musimy więc sprawdzić kiedy \(-\frac{1}{3}(x+3)+5\) będzie równe \(0\), czyli musimy rozwiązać następujące równanie:
$$-\frac{1}{3}(x+3)+5=0$$
$$-\frac{1}{3}x-1+5=0$$
$$-\frac{1}{3}x+4=0$$
$$-\frac{1}{3}x=-4 \quad\bigg/\cdot(-3)$$
$$x=12$$
Zadanie nr 21 · Matura 2022
Punkty \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(3,b)\) leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy \(b\) jest równe:
A\(9\)
B\((-9)\)
C\((-4)\)
D\(4\)
Krok 1. Obliczenie współczynnika \(a\) prostej.
Jeżeli prosta określona równaniem \(y=ax+b\) przechodzi przez początek układu współrzędnych, to jej współczynnik \(b=0\) (nie mylmy tego ze współrzędną \(b\) zapisaną w treści zadania). Skoro tak, to \(y=ax+0\), czyli po prostu \(y=ax\).
Podstawiając do tej postaci współrzędne punktu \(A=(-2,6)\), otrzymamy:
$$6=a\cdot(-2)$$
$$6=-2a$$
$$a=-3$$
To oznacza, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=-3x\).
Krok 2. Obliczenie wartości współrzędnej \(b\).
Aby poznać wartość brakującej współrzędnej \(b\) punktu \(B\), wystarczy podstawić współrzędne punktu \(B\) (czyli \(x=3\) oraz \(y=b\)) do wyznaczonego przed chwilą równania \(y=-3x\), zatem:
$$b=-3\cdot3$$
$$b=-9$$
Zadanie nr 8 · Matura 2021
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba \((-1)\). Wtedy:
A\(a=-4\)
B\(a=1\)
C\(a=4\)
D\(a=5\)
Jeżeli miejscem zerowym naszej funkcji jest liczba \(-1\), to oznacza, że dla \(x=-1\) ta funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Skoro tak, to:
$$a\cdot(-1)+4=0$$
$$-a+4=0$$
$$a=4$$
Zadanie nr 21 · Matura 2021
W układzie współrzędnych dane są dwa punkty \(A=(1,-2)\) oraz \(B=(3,1)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy:
A\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)
B\(\left(-\frac{2}{3}\right)\)
C\(\frac{2}{3}\)
D\(\frac{3}{2}\)
Znając wartości współrzędnych dwóch punktów możemy wręcz wyznaczyć wzór prostej \(AB\) (korzystając z długiego wzoru z tablic albo z metody układu równań) i wtedy też poznamy wartość współczynnika \(a\). Nie mniej jednak, najprostszą metodą będzie po prostu posłużenie się wzorem na współczynnik \(a\), który wygląda następująco:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$
Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktów \(A=(1,-2)\) oraz \(B=(3,1)\), otrzymamy:
$$a=\frac{1-(-2)}{3-1}$$
$$a=\frac{1+2}{2}$$
$$a=\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2021
Funkcja liniowa \(f(x)=(a-1)x+3\) osiąga wartość najmniejszą równą \(3\). Wtedy:
A\(a=-1\)
B\(a=0\)
C\(a=1\)
D\(a=3\)
Z treści zadania możemy wywnioskować, że nasza funkcja liniowa jest dość nietypowa, bo wyjątkowo osiąga ona swoją najmniejszą wartość i jest ona równa \(3\) (zazwyczaj funkcje liniowe nie mają najmniejszej i największej wartości). To prowadzi nas do wniosku, że tą funkcją liniową musi być \(y=3\), zatem współczynnik kierunkowy tej funkcji musi być równy \(0\). Nasz współczynnik kierunkowy (czyli liczba stojąca przed \(x\)) to \(a-1\), zatem:
$$a-1=0$$
$$a=1$$
To oznacza, że warunki zadania są spełnione jedynie dla \(a=1\).
Zadanie nr 6 · Próbny 2021
Liczba \(\frac{3}{4}\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\left(\frac{5}{3}m-4\right)x+3m+6\). Wynika z tego, że liczba \(m\) jest równa:
A\(-\frac{15}{84}\)
B\(-\frac{12}{17}\)
C\(-\frac{7}{8}\)
D\(\frac{9}{4}\)
Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Obrazowo rzecz ujmując, musimy do wzoru funkcji podstawić \(x=\frac{3}{4}\) i sprawdzić, kiedy wartość tej funkcji będzie równa \(0\), zatem:
$$\left(\frac{5}{3}m-4\right)\cdot\frac{3}{4}+3m+6=0$$
$$\frac{15}{12}m-3+3m+6=0$$
$$1\frac{3}{12}m+3m+3=0$$
$$4\frac{1}{4}m+3=0$$
$$4\frac{1}{4}m=-3$$
$$\frac{17}{4}m=-3 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{17}$$
$$m=-\frac{12}{17}$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2021
Przekątna \(AC\) rombu \(ABCD\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=-\frac{3}{2}x+1\). Punkt \(S=(2;-2)\) jest środkiem symetrii tego rombu. Wynika z tego, że przekątna \(BD\) tego rombu jest zawarta w prostej o równaniu:
A\(y=-\frac{3}{2}x-1\)
B\(y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}\)
C\(y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\)
D\(y=\frac{3}{2}x-5\)
Wbrew pozorom nie musimy wyznaczać równania tej prostej. Wystarczy pamiętać, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, a skoro tak, to będziemy mogli skorzystać z własności prostych prostopadłych. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{3}{2}\), zatem druga (ta przez nas poszukiwana) musi mieć \(a=\frac{2}{3}\), bo \(-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=-1\).
Z proponowanych odpowiedzi tylko druga ma interesujący nas współczynnik kierunkowy, zatem bez dalszych obliczeń możemy stwierdzić, że druga przekątna tego rombu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2021
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(P=(-3;3)\) i \(Q=(4;-2)\). Współczynnik \(b\) w równaniu tej prostej jest równy:
A\(-\frac{5}{7}\)
B\(\frac{5}{6}\)
C\(\frac{6}{5}\)
D\(\frac{6}{7}\)
Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty najprościej będzie skorzystać z metody układu równań. W tym celu do równania \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne punktu \(P\), a później punktu \(Q\), otrzymując:
\begin{cases} 3=-3a+b \\ -2=4a+b \end{cases}
Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$5=-7a$$
$$a=-\frac{5}{7}$$
Znamy już wartość współczynnika \(a\), jednak to nie koniec, bo nas interesuje poznanie współczynnika \(b\). Podstawmy zatem obliczone \(a=-\frac{5}{7}\) do jednego z równań w układzie (np. do pierwszego), dzięki czemu otrzymamy:
$$3=-3a+b$$
$$3=-3\cdot\left(-\frac{5}{7}\right)+b$$
$$3=\frac{15}{7}+b$$
$$3=2\frac{1}{7}+b$$
$$b=\frac{6}{7}$$
Zadanie nr 21 · Matura 2021
Prosta przechodząca przez punkty \((-4,-1)\) oraz \((5,5)\) ma równanie:
A\(y=x+3\)
B\(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\)
C\(y=x-3\)
D\(y=\frac{2}{3}x+\frac{11}{3}\)
Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, musimy albo skorzystać z długiego wzoru z tablic, albo po prostu z układu równań. Skorzystajmy z tej drugiej metody, bo wbrew pozorom jest ona znacznie prostsza. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy najpierw podstawić współrzędne pierwszego punktu, a potem drugiego. Dzięki temu otrzymamy:
\begin{cases} -1=-4a+b \\ 5=5a+b \end{cases}
Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-6=-9a$$
$$a=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$
Skoro współczynnik \(a=\frac{2}{3}\), to możemy stwierdzić, że nasza prosta przyjmuje postać \(y=\frac{2}{3}x+b\). Musimy jeszcze poznać brakujący współczynnik \(b\). W tym celu wystarczy do wybranego równania z układu (np. drugiego) podstawić obliczone przed chwilą \(a=\frac{2}{3}\), zatem:
$$5=5\cdot\frac{2}{3}+b$$
$$5=\frac{10}{3}+b$$
$$\frac{15}{3}=\frac{10}{3}+b$$
$$b=\frac{5}{3}$$
To oznacza, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\).
Zadanie nr 31 · Matura 2021
Funkcja liniowa \(f\) przyjmuje wartość \(2\) dla argumentu \(0\), a ponadto \(f(4)-f(2)=6\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).
Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Z treści zadania dość niepozornie wynika informacja, że współczynnik \(b=2\). Skąd to wiemy? Jedną z własności funkcji liniowych jest to, że współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się wykresu z osią \(OY\). W zadania wiemy, że funkcja przyjmuje wartość \(y=2\) dla argumentu \(x=0\), a przecież jest to właśnie punkt przecięcia się z osią \(OY\). Stąd też płynie wniosek, że \(b=2\).
Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to do tego samego wniosku dojdziemy podstawiając \(x=0\) oraz \(y=2\) do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), zatem:
$$2=a\cdot0+b$$
$$2=0+b$$
$$b=2$$
To oznacza, że nasza funkcja liniowa wyraża się wzorem \(f(x)=ax+2\). Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Z treści zadania wynika, że \(f(4)-f(2)=6\). Wiemy już, że naszą funkcję da się zapisać jako \(f(x)=ax+2\), więc:
$$f(4)=a\cdot4+2=4a+2$$
$$f(2)=a\cdot2+2=2a+2$$
Podstawiając teraz tę informację do różnicy \(f(4)-f(2)=6\), otrzymamy:
$$4a+2-(2a+2)=6$$
$$4a+2-2a-2=6$$
$$2a=6$$
$$a=3$$
To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(f(x)=3x+2\).
Zadanie nr 21 · Matura 2020
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania:
A\(y=2x\) i \(y=-\frac{1}{2}\)
B\(y=-2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\)
C\(y=2x\) i \(y=\frac{1}{2}x\)
D\(y=2\) i \(y=-2x\)
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) (czyli liczb znajdujących się przed \(x\)) musi być równy \(-1\). Taka sytuacja ma miejsce jedynie w drugiej odpowiedzi, albowiem \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2020
Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) osiąga wartości dodatnie tylko wtedy, gdy \(x\gt-2\). Punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(OY\) to:
A\((0,4)\)
B\((0,-4)\)
C\((4,0)\)
D\((-2,0)\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z informacji o tym, że funkcja osiąga wartości dodatnie tylko wtedy, gdy \(x\) jest większy od \(-2\) wynika, że nasza funkcja musi wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:
To oznacza, że miejscem zerowym (czyli miejscem przecięcia się funkcji z osią iksów) jest punkt o współrzędnych \(A=(-2;0)\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
We wzorze naszej funkcji \(f(x)=2x+b\) brakuje nam współczynnika \(b\). Chcemy poznać wartość tego współczynnika, bowiem jedną z jego własności jest właśnie informowanie nas o miejscu przecięcia się funkcji z osią \(OY\). Aby poznać wartość tego współczynnika, musimy do wzoru funkcji podstawić współrzędne znanego nam punktu - w naszym przypadku będą to współrzędne miejsca zerowego. Podstawiając więc współrzędne \(A=(-2;0)\) otrzymamy:
$$0=2\cdot(-2)+b$$
$$0=-4+b$$
$$b=4$$
To oznacza, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie \(f(x)=2x+4\).
Krok 3. Wyznaczenie punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(OY\).
Z własności współczynnika \(b\) wynika, że skoro \(b=4\), to funkcja przetnie oś \(OY\) dla igreka równego \(4\), czyli w punkcie o współrzędnych \((0;4)\).
Do tej samej informacji dojdziemy, gdy do wzoru podstawimy wartość \(x=0\):
$$f(0)=2\cdot0+4$$
$$f(0)=0+4$$
$$f(0)=4$$
Skoro dla \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość równą \(y=4\), to znaczy, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0;4)\) i to jest właśnie miejsce przecięcia się z osią \(OY\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2020
W symetrii osiowej względem osi \(OY\) obrazem wykresu funkcji liniowej \(f(x)=-\frac{1}{3}(x+1)+\frac{4}{3}\) jest prosta opisana równaniem:
A\(y=\frac{1}{3}x+1\)
B\(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)
C\(y=-\frac{1}{3}x+1\)
D\(y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\)
Aby poznać wzór funkcji przekształconej względem osi \(OY\) wystarczy we wzorze zmienić znak stojący przed iksem. W tym przypadku dodatkowo będziemy musieli jeszcze uprościć cały zapis, a całość będzie wyglądać następująco:
$$y=-\frac{1}{3}(-x+1)+\frac{4}{3}$$
$$y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}$$
$$y=\frac{1}{3}x+1$$
Zadanie nr 12 · Próbny 2020
Prosta będąca wykresem funkcji \(f(x)=ax+b\) przechodzi tylko przez \(I\), \(II\) i \(IV\) ćwiartkę układu współrzędnych. Wynika stąd, że:
A\(a\gt0\) i \(b\gt0\)
B\(a\lt0\) i \(b\gt0\)
C\(a\gt0\) i \(b\lt0\)
D\(a\lt0\) i \(b\lt0\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy dowolną funkcję liniową, która przechodziłaby przez wskazane ćwiartki:
Krok 2. Ustalenie wartości współczynników \(a\) oraz \(b\).
Z rysunku wynika, że nasza prosta musi być malejąca, czyli jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. Dodatkowo widzimy, że prosta przecina oś \(OY\) dla dodatnich wartości, więc tym samym współczynnik \(b\) będzie dodatni.
To oznacza, że \(a\lt0\) i \(b\gt0\).
Zadanie nr 26 · Próbny 2020
Oblicz wartość parametru \(m\), dla którego miejscem zerowym funkcji \(f(x)=\frac{5-2m}{2}x+2\) jest liczba \(4\).
Miejsce zerowe funkcji to argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Krótko mówiąc, wystarczy do wzoru funkcji podstawić \(x=4\) i sprawdzić kiedy ta funkcja przyjmie wartość równą \(0\). Otrzymamy zatem równanie:
$$0=\frac{5-2m}{2}\cdot4+2$$
$$0=(5-2m)\cdot2+2$$
$$0=10-4m+2$$
$$4m=12$$
$$m=3$$
Zadanie nr 11 · Matura 2020
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem \(f(x)=ax+b\).
Współczynniki \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają zależność:
A\(a+b\gt0\)
B\(a+b=0\)
C\(a\cdot b\gt0\)
D\(a\cdot b\lt0\)
Krok 1. Analiza wartości współczynnika \(a\).
Widzimy, że nasza funkcja jest malejąca. To oznacza, że współczynnik \(a\) będzie na pewno liczbą ujemną, czyli możemy zapisać, że \(a\lt0\).
Krok 2. Analiza wartości współczynnika \(b\).
Własności współczynnika \(b\) związane są z miejscem przecięcia się funkcji z osią \(OY\). Widzimy, że funkcja przecina oś dla \(y=1\). Stąd też możemy być pewni, że \(b=1\).
Krok 3. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Z proponowanych odpowiedzi tylko ostatni wariant jest prawidłowy, bowiem mnożąc ujemną wartość \(a\) przez \(1\) otrzymamy liczbę mniejszą od zera.
Zadanie nr 16 · Matura 2020
Punkt \(A=\left(\frac{1}{3},-1\right)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3x+b\). Wynika stąd, że:
A\(b=2\)
B\(b=1\)
C\(b=-1\)
D\(b=-2\)
Aby poznać wartość współczynnika \(b\) wystarczy podstawić współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji, zatem:
$$-1=3\cdot\frac{1}{3}+b$$
$$-1=1+b$$
$$b=-2$$
Zadanie nr 18 · Matura 2020
Prosta przechodząca przez punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(-1,6)\) jest określona równaniem:
A\(y=-2x+4\)
B\(y=-2x+8\)
C\(y=2x+8\)
D\(y=2x-4\)
Aby wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty możemy skorzystać albo z bardzo długiego wzoru dostępnego w tablicach, albo z prostej metody układu równań. Spróbujmy zastosować właśnie tą drugą metodę. Do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) oraz punktu \(B\), dzięki czemu otrzymamy dwa równania tworzące układ równań:
\begin{cases} -2=3a+b \\ 6=-1a+b \end{cases}
Ten układ równań najprościej będzie rozwiązać odejmując równania stronami, zatem:
$$-8=4a$$
$$a=-2$$
Znając wartość \(a\) możemy bez problemu wyznaczyć wartość współczynnika \(b\). W tym celu do wybranego równania z układu (np. pierwszego) wystarczy podstawić wyznaczone przed chwilą \(a=-2\). Otrzymamy wtedy:
$$-2=3\cdot(-2)+b$$
$$-2=-6+b$$
$$b=4$$
To oznacza, że nasza prosta jest określona równaniem \(y=-2x+4\).
Zadanie nr 8 · Matura 2020
Punkt \(P=(-3,7)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=(2m-1)x+5\). Zatem:
A\(m=\frac{1}{6}\)
B\(m=-\frac{1}{6}\)
C\(m=\frac{5}{6}\)
D\(m=-\frac{5}{6}\)
Aby obliczyć wartość parametru \(m\) wystarczy do wzoru funkcji podstawić współrzędne punktu \(P\), zatem:
$$7=(2m-1)\cdot(-3)+5$$
$$7=-6m+3+5$$
$$7=-6m+8$$
$$-1=-6m$$
$$m=\frac{1}{6}$$
Zadanie nr 32 · Matura 2020
Punkty \(A=(1,-1)\), \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) i \(D=(2,4)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych poszczególne punkty z treści zadania:
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Znając współrzędne dwóch punktów możemy bez problemu wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. W tym celu możemy skorzystać z długiego i skomplikowanego wzoru z tablic lub też z metody układu równań - i to właśnie z tego drugiego sposobu skorzystamy.
W tym celu musimy podstawić do równania prostej \(y=ax+b\) najpierw współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(C\), zatem:
\begin{cases} -1=a\cdot1+b \\ 5=a\cdot7+b \end{cases}
\begin{cases} -1=a+b \\ 5=7a+b \end{cases}
Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-6=-6a$$
$$a=1$$
Wartość brakującego współczynnika \(b\) wyznaczymy podstawiając \(a=1\) do wybranego równania z układu równań (np. z pierwszego), zatem:
$$-1=a+b$$
$$-1=1+b$$
$$b=-2$$
To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=1x-2\), czyli po prostu \(y=x-2\).
Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-3=4a$$
$$a=-\frac{3}{4}$$
Brakujący współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając teraz \(a=-\frac{3}{4}\) do wybranego równania z układu równań (np. do pierwszego), zatem:
$$1=6a+b$$
$$1=6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b$$
$$1=-\frac{18}{4}+b$$
$$1=-4\frac{1}{2}+b$$
$$b=5\frac{1}{2}$$
To oznacza, że prosta \(BD\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych przecięcia się przekątnych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z dwóch prostych jest miejsce ich przecięcia się, czyli dokładnie to, co nas interesuje. W związku z tym:
\begin{cases} y=x-2 \\ y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2} \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy
$$x-2=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}$$
$$\frac{7}{4}x=7\frac{1}{2}$$
$$\frac{7}{4}x=\frac{15}{2} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{7}$$
$$x=\frac{60}{14}=4\frac{4}{14}=4\frac{2}{7}$$
Znając współrzędną \(x=4\frac{2}{7}\) możemy bez problemu wyznaczyć wartość współrzędnej \(y\). Podstawiając obliczony \(x\) np. do pierwszego równania, otrzymamy:
$$y=x-2$$
$$y=4\frac{2}{7}-2$$
$$y=2\frac{2}{7}$$
To oznacza, że przekątne przecinają się w punkcie \(S=\left(4\frac{2}{7};2\frac{2}{7}\right)\).
Zadanie nr 10 · Matura 2019
Punkt \(A=(a,3)\) leży na prostej określonej równaniem \(y=\frac{3}{4}x+6\). Stąd wynika, że:
A\(a=-4\)
B\(a=4\)
C\(a=\frac{33}{4}\)
D\(a=\frac{39}{4}\)
Aby poznać wartość naszej niewiadomej \(a\) musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) do wskazanego równania. Podstawiając zatem \(x=a\) oraz \(y=3\) otrzymamy:
$$y=\frac{3}{4}x+6$$
$$3=\frac{3}{4}a+6$$
$$\frac{3}{4}a=-3 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3}$$
$$a=-4$$
Zadanie nr 31 · Matura 2019
Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=(-\frac{21}{2},-1)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).
Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej \(BD\).
Wiemy, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\), czyli współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej wynosi \(\frac{1}{3}\). Prosta \(BD\) musi być prostopadła do naszej prostej \(AC\), a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W związku z tym prosta \(BD\) będzie miała współczynnik \(a\) równy:
$$\frac{1}{3}\cdot a=-1$$
$$a=-3$$
Możemy teraz podstawić wyznaczony współczynnik do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), a to oznacza, że wzór prostej \(BD\) możemy zapisać już jako \(y=-3x+b\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\) prostej \(BD\).
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając do otrzymanej przed chwilą postaci \(y=-3x+b\) współrzędne punktu \(S\), przez który ta prosta przechodzi. Podstawiając zatem \(x=-\frac{21}{2}\) oraz \(y=-1\) otrzymamy:
$$y=-3x+b$$
$$-1=-3\cdot(-\frac{21}{2})+b$$
$$-1=\frac{63}{2}+b$$
$$-1=31\frac{1}{2}+b$$
$$b=-32\frac{1}{2}$$
To oznacza, że nasza prosta \(BD\) wyraża się równaniem: \(y=-3x-32\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 28 · Próbny 2019
Sprawdź, czy punkty \(A=(-2,3)\), \(B=(2,5)\), \(C=(2\sqrt{2},4+\sqrt{2})\) są współliniowe.
Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy bez problemów wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. Możemy w tym celu skorzystać z długiego wzoru dostępnego w tablicach maturalnych lub też możemy zbudować odpowiedni układ równań. Podstawiając do postaci \(y=ax+b\) współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) otrzymamy:
\begin{cases} 3=-2a+b \\ 5=2a+b \end{cases}
Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-2=-4a$$
$$a=\frac{1}{2}$$
Znamy już wartość współczynnika \(a\). Wartość współczynnika \(b\) obliczymy podstawiając do dowolnego równania (np. drugiego) wyznaczoną przed chwilą wartość \(a=\frac{1}{2}\). Otrzymamy zatem:
$$5=2a+b$$
$$5=2\cdot\frac{1}{2}+b$$
$$5=1+b$$
$$b=4$$
Mamy już obliczone wartości obydwu współczynników, zatem możemy zapisać, że równaniem prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\) będzie \(y=\frac{1}{2}x+4\).
Krok 2. Sprawdzenie, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\).
Musimy teraz sprawdzić, czy punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Jeżeli tak, to rzeczywiście wszystkie wskazane punkty są współliniowe. Podstawmy zatem do równania prostej \(AB\) współrzędne punktu \(C\), czyli \(x=2\sqrt{2}\) oraz \(y=4+\sqrt{2}\):
$$y=\frac{1}{2}x+4$$
$$4+\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}+4$$
$$4+\sqrt{2}=\sqrt{2}+4$$
$$L=P$$
Lewa strona jest równa stronie prawej, a to oznacza, że punkt \(C\) leży na prostej \(AB\). Wniosek z tego płynie taki, że wszystkie trzy punkty są współliniowe i leżą na prostej \(y=\frac{1}{2}x+4\).
Zadanie nr 7 · Matura 2019
Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem \(f(x)=3(x+1)-6\sqrt{3}\) jest liczba:
A\(3-6\sqrt{3}\)
B\(1-6\sqrt{3}\)
C\(2\sqrt{3}-1\)
D\(2\sqrt{3}-\frac{1}{3}\)
Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy sprawdzić kiedy wartość tej funkcji jest równa \(0\), czyli cały wzór musimy przyrównać do \(0\), otrzymując w ten sposób równanie:
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\). Na wykresie tej funkcji leżą punkty \(A=(0, 4)\) i \(B=(2, 2)\).
Obrazem prostej \(AB\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji \(g\) określonej wzorem:
A\(g(x)=x+4\)
B\(g(x)=x-4\)
C\(g(x)=-x-4\)
D\(g(x)=-x+4\)
Możemy oczywiście wyznaczyć sobie wzór funkcji przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\), a następnie możemy przekształcić wzór tej funkcji, ale przekształcenia wzorów funkcji względem początku układu współrzędnych mogą być problematyczne, dlatego warto postąpić nieco sprytniej, a mianowicie najpierw przekształćmy punkty \(A\) oraz \(B\), a następnie wyznaczmy wzór funkcji, która przechodzi przez punkty \(A'B'\).
Krok 1. Przekształcenie punktów \(A\) oraz \(B\).
Przekształcając punkty względem początku układu współrzędnych musimy zmienić wartości współrzędnej iksowej oraz igrekowej na przeciwną, zatem:
$$A'=(0;-4)$$
$$B'=(-2;-2)$$
To oznacza, że funkcja \(g(x)\) będzie prostą, która przechodzi przez punkty \(A'\) oraz \(B'\) i my teraz musimy wyznaczyć wzór tej prostej.
Krok 2. Wyznaczenie wzoru funkcji \(g(x)\).
Znając współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi prosta możemy bez problemu wyznaczyć wzór tej funkcji. Skorzystamy z metody układu równań, który zbudujemy podstawiając do postaci kierunkowej \(y=ax+b\) współrzędne punktu \(A'\) oraz \(B'\):
$$\begin{cases} -4=0a+b \\ -2=-2a+b \end{cases}$$
Z pierwszego równania wychodzi nam wprost, że \(b=-4\). Możemy tę wartość podstawić teraz do drugiego równania, obliczając w ten sposób współczynnik \(a\):
$$-2=-2a+(-4)$$
$$-2a=2$$
$$a=-1$$
To oznacza, że nasza funkcja \(g(x)\) wyraża się wzorem \(-1x-4\), czyli po prostu \(g(x)=-x-4\).
Zadanie nr 9 · Matura 2018
Punkt \((1,\sqrt{3})\) należy do wykresu funkcji \(y=2\sqrt{3}x+b\). Współczynnik \(b\) jest równy:
A\(7\)
B\(3\sqrt{3}\)
C\(-5\)
D\(-\sqrt{3}\)
Aby poznać współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne znanego nam punktu do wzoru funkcji. Podstawiając \(x=1\) oraz \(y=\sqrt{3}\) otrzymamy:
$$y=2\sqrt{3}x+b$$
$$\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot1+b$$
$$\sqrt{3}=2\sqrt{3}+b \quad\bigg/-2\sqrt{3}$$
$$b=-\sqrt{3}$$
Zadanie nr 31 · Matura 2018
Punkty \(A=(2,4)\), \(B=(0,0)\), \(C=(4,-2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\) tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej \(BD\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować układ współrzędnych na którym zaznaczymy znane nam punkty i na którym poprowadzimy prostą \(BD\), której równania szukamy:
Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AC\). Znając współrzędne punktu \(A\) oraz \(C\) możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu \(D\), korzystając ze wzoru:
$$D=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$
Dla przejrzystości obliczeń wyznaczny każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$
$$x_{D}=\frac{2+4}{2}$$
$$x_{D}=\frac{6}{2}$$
$$x_{D}=3$$
$$\quad$$
$$y_{D}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$
$$y_{D}=\frac{4+(-2)}{2}$$
$$y_{D}=\frac{4-2}{2}$$
$$y_{D}=\frac{2}{2}$$
$$y_{D}=1$$
To oznacza, że \(D=(3;1)\).
Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Skoro znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(D\) to możemy teraz wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić budując układ równań (podstawiając współrzędne punktu \(B\) oraz \(D\) do postaci \(y=ax+b\) uzyskamy dwa równania tworzące układ równań), albo też możemy skorzystać ze wzoru dostępnego w tablicach, czyli:
$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0$$
Metoda z układem równań wydaje się być w tym przypadku znacznie szybsza, zatem:
$$\begin{cases} 0=0+b \\ 1=3a+b \quad , \end{cases}$$
$$\begin{cases} b=0 \\ 1=3a+b \end{cases}$$
Już z pierwszego równania wyszło nam samoistnie, że \(b=0\), co jest dobrą informacją, bo przecież współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się prostej z osią igreków, a u nas prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Znamy więc już wartość współczynnika \(b\), teraz musimy wyznaczyć współczynnik \(a\). Zrobimy to podstawiając po prostu \(b=0\) do drugiego równania:
$$1=3a+b$$
$$1=3a+0$$
$$a=\frac{1}{3}$$
W związku z tym prosta \(BD\) wyraża się wzorem \(y=\frac{1}{3}x+0\), czyli po prostu \(y=\frac{1}{3}x\).
Zadanie nr 5 · Próbny 2018
Tabela przedstawia skalę podatkową obowiązującą w 2015 r.
Podstawa obliczenia podatku jest równa \(k\), gdzie \(k\lt85 528 zł\). Wskaż wysokość należnego podatku.
A\((0,18k-556,02)zł\)
B\((k-0,18\cdot556,02)zł\)
C\((0,82k-556,02)zł\)
D\([14839,02+0,32\cdot(k-85528)]zł\)
Podatek \(18\%\) z kwoty \(k\) (gdzie \(k\lt85 528 zł\)) to będzie \(0,18k\). Od tego musimy jeszcze odjąć kwotę zmniejszającą \(556,02zł\) dzięki czemu otrzymamy zapis \(0,18k-556,02 [zł]\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2018
Do wykresu funkcji liniowej \(f\) należą punkty \((4,0)\) i \((0,2)\) oraz punkt:
A\((12,-2)\)
B\((12,-4)\)
C\((-12,28)\)
D\((-12,-10)\)
Krok 1. Wyznaczenie wzoru funkcji.
Często w takich zadaniach wystarczy dobry rysunek szkicowy. W tym konkretnym przypadku niektóre współrzędne są może zbyt blisko siebie (zwłaszcza z pierwszej i drugiej odpowiedzi), ale na pewno dzięki rysunkowi dałoby się na starcie odrzucić część odpowiedzi. Jednak żeby nie kombinować z rysunkiem, to podejdźmy do tego zadania nieco bardziej matematycznie.
Aby rozwiązać to zadanie musimy najpierw wyznaczyć wzór funkcji. Jak już poznamy wzór funkcji to podstawimy do niego \(x=12\) oraz \(x=-12\) i sprawdzimy kiedy otrzymamy poprawną wartość współrzędnej igrekowej. Sam wzór możemy oczywiście wyznaczyć w tradycyjny sposób (np. budując układ równań), ale tutaj da się poznać ten wzór w nieco sprytniejszy sposób. Widzimy, że funkcja przecina oś igreków dla \(y=2\), bo przechodzi przez punkt \((0;2)\). W związku z tym wiemy już, że funkcja liniowa \(y=ax+b\) ma współczynnik \(b=2\). To oznacza, ze funkcja przybiera postać \(y=ax+2\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\), który poznamy podstawiając do wyznaczonego przed chwilą równania współrzędne punktu \((4;0)\):
$$0=4a+2$$
$$4a=-2$$
$$a=-\frac{1}{2}$$
To oznacza, że wzorem funkcji jest \(y=-\frac{1}{2}x+2\).
Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=12\) oraz \(x=-12\).
Teraz zgodnie z odpowiedziami musimy sprawdzić wartości tej funkcji dla \(x=12\) oraz \(x=-12\):
Gdy \(x=12\) to:
$$y=-\frac{1}{2}\cdot12+2$$
$$y=-6+2$$
$$y=-4$$
Gdy \(x=-12\) to:
$$y=-\frac{1}{2}\cdot(-12)+2$$
$$y=6+2$$
$$y=8$$
W związku z tym wyszło nam, że ta funkcja przechodzi przez punktu o współrzędnych \((12;-4)\) oraz \((-12;8)\), zatem prawidłowa jest odpowiedź druga.
Zadanie nr 19 · Próbny 2018
Jeśli prosta o równaniu \(x+\frac{1}{2}y+a=0\) przechodzi przez punkt \(P=(-1,-2)\), to \(a\) jest równe:
A\(-2\)
B\(0\)
C\(2\)
D\(4\)
Wartość \(a\) wyznaczymy podstawiając współrzędne punktu \(P\) do równania prostej. Podstawiając zatem \(x=-1\) oraz \(y=-2\) otrzymamy:
$$-1+\frac{1}{2}\cdot(-2)+a=0$$
$$-1+(-1)+a=0$$
$$-1-1+a=0$$
$$-2+a=0$$
$$a=2$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2018
Wykres funkcji liniowej \(f(x)=\frac{8-3x}{2}\) przecina osie układu współrzędnych w punktach \(A\) i \(B\). Pole trójkąta \(ABO\), w którym punkt \(O\) jest początkiem układu współrzędnych, wynosi:
A\(10\frac{2}{3}\)
B\(5\frac{1}{3}\)
C\(21\frac{1}{3}\)
D\(7\frac{1}{2}\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby wiedzieć co będziemy liczyć, to zróbmy sobie prosty rysunek pomocniczy:
Z rysunku wynika, że jak poznamy współrzędne punktóW \(A\) oraz \(B\) to tak naprawdę poznamy długości boków naszego trójkąta, a stąd będzie już prosta droga do obliczenia pola figury.
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Punkt \(A\) będzie miejscem przecięcia się funkcji z osią igreków. Funkcja przecina się z osią igreków dla argumentu \(x=0\), zatem już wiemy, że \(A=(0;y)\). Podstawiając \(x=0\) otrzymamy współrzędną igrekową punktu \(A\), czyli:
$$f(0)=\frac{8-3\cdot0}{2}$$
$$f(0)=\frac{8-0}{2}$$
$$f(0)=\frac{8}{2}$$
$$f(0)=4$$
To oznacza, że funkcja przecina oś igreków w punkcie \(A=(0;4)\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt \(B\) będzie miejscem przecięcia się funkcji z osią iksów. Funkcja przecina się z osią iksów dla wartości \(y=0\), zatem już wiemy, że \(B=(x;0)\). Podstawiając \(y=0\) otrzymamy współrzędną iksową punktu \(B\), czyli:
$$0=\frac{8-3x}{2}$$
$$0=8-3x$$
$$3x=8$$
$$x=\frac{8}{3}$$
To oznacza, że funkcja przecina oś iksów w punkcie \(B=\left(\frac{8}{3};0\right)\).
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Po wyznaczeniu współrzędnych punktów \(A\) oraz \(B\) i po spojrzeniu na nasz szkicowych rysunek jasno wynika, że podstawa trójkąta ma długość \(a=\frac{8}{3}\), natomiast wysokość trójkąta to \(h=4\). Pole tego trójkąta będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}ah$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot4$$
$$P=\frac{32}{6}$$
$$P=5\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 33 · Próbny 2018
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(A=(-9,8)\). Bok \(BC\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=-2x+38\). Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(B\) ma równanie \(3x+2y-61=0\). Wyznacz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) oraz napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka \(C\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie szkic całej sytuacji, tak aby mieć lepszy podgląd na to co trzeba zrobić:
Liniami przerywanymi zostały narysowane wysokości opuszczone z wierzchołka \(B\) oraz \(C\).
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Z treści zadania (i tym samym z rysunku) wynika, że proste o równaniu \(y=-2x+38\) oraz \(3x+2y-61=0\) przecinają się w punkcie \(B\). Zgodnie z tak zwaną geometryczną interpretacją układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z dwóch prostych będzie miejsce ich przecięcia. W ten sposób będziemy mogli wyznaczyć współrzędne punktu \(B\), zatem:
$$\begin{cases} y=-2x+38 \\ 3x+2y-61=0 \end{cases}$$
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$3x+2\cdot(-2x+38)-61=0$$
$$3x-4x+76-61=0$$
$$-x+15=0$$
$$x=15$$
Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć wartość igreka, podstawiając do dowolnego z równań (np. pierwszego) wartość \(x=15\):
$$y=-2x+38$$
$$y=-2\cdot15+38$$
$$y=-30+38$$
$$y=8$$
To oznacza, że \(B=(15,8)\).
Krok 3. Zapisanie równania prostej \(BD\) w postaci kierunkowej.
Prosta \(BD\) będąca wysokością poprowadzoną z wierzchołka \(B\) jest zapisana w postaci ogólnej, a my za chwilę będziemy potrzebować postaci kierunkowej (do wyznaczenia prostej prostopadłej). W związku z tym już teraz przekształćmy ten zapis do wspomnianej postaci kierunkowej:
$$3x+2y-61=0$$
$$2y=-3x+61$$
$$y=-\frac{3}{2}x+30\frac{1}{2}$$
Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Wiemy, że prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BD\). Z własności prostych prostopadłych wynika, że aby dwie proste były względem prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Prosta \(BD\) ma współczynnik kierunkowy równy \(a=-\frac{3}{2}\), zatem prosta \(AC\), czyli prosta prostopadła, będzie mieć ten współczynnik równy \(a=\frac{2}{3}\), bo \(-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=-1\). To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+b\). Brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=-9\) oraz \(y=8\):
$$y=\frac{2}{3}x+b$$
$$8=\frac{2}{3}\cdot(-9)+b$$
$$8=-6+b$$
$$b=14$$
Skoro współczynnik \(b=14\) to prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+14\).
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej punktu \(C\).
Zastosujemy identyczny zabieg co przy wyznaczaniu współrzędnych punktu \(B\). Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostych \(y=-2x+38\) oraz \(y=\frac{2}{3}x+14\), zatem jego współrzędne obliczymy rozwiązując następujący układ równań:
\begin{cases} y=-2x+38 \\ y=\frac{2}{3}x+14 \end{cases}
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-2x+38=\frac{2}{3}x+14 \quad\bigg/\cdot3$$
$$-6x+114=2x+42$$
$$-8x=-72$$
$$x=9$$
Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć wartość igreka, podstawiając do dowolnego z równań (np. pierwszego) wartość \(x=9\):
$$y=-2x+38$$
$$y=-2\cdot9+38$$
$$y=-18+38$$
$$y=20$$
To oznacza, że \(C=(9,20)\).
Krok 6. Wyznaczenie równania prostej \(CE\).
Poszukiwana przez nas prosta \(CE\) (czyli wysokość opuszczona z wierzchołka \(C\)) jest prostopadła do prostej \(AB\). Teoretycznie powinniśmy najpierw obliczyć jakie jest równanie prostej \(AB\), a potem obliczyć równanie prostej \(CE\), ale da się poznać wzór tej prostej znacznie szybciej.
Powinniśmy zauważyć, że punkty \(A\) i \(B\) mają jednakową współrzędną igrekową, czyli leżą "na tej samej linii". Bez żadnych więc obliczeń możemy zapisać, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=8\). Prostymi prostopadłymi do tej prostej byłyby więc np. \(x=1\), \(x=3\) czy też \(x=7\). Nas interesuje taka prosta prostopadła, która przejdzie przez punkt \(C=(9,20)\), czyli przejdzie przez współrzędną iksową równą \(9\). Z tego też względu interesująca nas prosta \(CE\) wyrazi się wzorem \(x=9\).
Zadanie nr 11 · Matura 2018
Funkcja liniowa \(f(x)=(1-m^2)x+m-1\) nie ma miejsc zerowych dla:
A\(m=1\)
B\(m=0\)
C\(m=-1\)
D\(m=-2\)
Aby funkcja nie miała miejsc zerowych to musi to być prosta równoległa do osi iksów, która będzie się znajdować nad lub pod tą osią. Będziemy więc chcieli otrzymać wzór funkcji typu np. \(y=3\) albo \(y=-4\), czyli będziemy chcieli otrzymać tak zwaną funkcję stałą. To z kolei oznacza, że współczynnik kierunkowy \(a\) musi być w tym przypadku równy \(0\). W funkcji liniowej z treści zadania \(a=1-m^2\), zatem:
$$1-m^2=0$$
$$m^2=1$$
$$m=1 \quad\lor\quad m=-1$$
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa znajdują się w naszych odpowiedziach. To oznacza, że prawdopodobnie jedno z tych rozwiązań daje nam prostą idealnie pokrywającą się z osią iksów i to rozwiązanie będziemy musieli odrzucić. Podstawmy zatem \(m=1\) oraz \(m=-1\) i sprawdźmy, którą z tych odpowiedzi trzeba odrzucić.
Dla \(m=1\):
$$y=(1-1^2)x+1-1$$
$$y=(1-1)x+0$$
$$y=0x+0$$
$$y=0$$
Otrzymaliśmy prostą \(y=0\), która pokrywa się z osią iksów. To rozwiązanie musimy więc odrzucić, bo ta prosta ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Dla \(m=-1\):
$$y=(1-(-1)^2)x+(-1)-1$$
$$y=(1-1)x-1-1$$
$$y=0x-2$$
$$y=-2$$
Tym razem otrzymaliśmy prostą równoległą do osi iksów, która znajduje się pod tą osią. To jest rozwiązanie przez nas poszukiwane, zatem możemy powiedzieć że funkcja \(f(x)\) nie ma miejsc zerowych dla \(m=-1\).
Zadanie nr 8 · Matura 2018
Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x-1\), dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż zdanie prawdziwe.
AFunkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0, \frac{1}{3}\right)\).
BFunkcja \(f\) jest malejąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).
CFunkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=\left(0, \frac{1}{3}\right)\).
DFunkcja \(f\) jest rosnąca i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P=(0,-1)\).
Krok 1. Ustalenie czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.
O tym czy funkcja jest rosnąca, czy też malejąca, decyduje współczynnik kierunkowy \(a\), czyli liczba stojąca przed iksem. W naszym przypadku ten współczynnik jest dodatni, bo \(a=\frac{1}{3}\), co oznacza że funkcja jest rosnąca.
Krok 2. Ustalenie miejsca przecięcia się funkcji z osią \(Oy\).
O tym w którym miejscu funkcja przecina oś igreków decyduje współczynnik \(b\). W tym przypadku \(b=-1\), a to oznacza, że prosta przetnie oś igreków dla \(y=-1\). W związku z tym poszukiwanym przez nas punktem przecięcia z osią igreków będzie \(P=(0,-1)\).
Łącząc informacje z obydwu kroków wynika, że prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D.
Zadanie nr 10 · Matura 2018
Liczba \(1\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), a punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik \(a\) we wzorze tej funkcji jest równy:
A\(1\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(-\frac{3}{2}\)
D\(-1\)
Krok 1. Ustalenie współrzędnych punktów przez które przechodzi funkcja.
Z zadania wynika, że funkcja przyjmuje miejsce zerowe dla \(x=1\), zatem pierwszym punktem przez który przechodzi wykres tej funkcji będzie punkt \(A=(1,0)\). Drugi punkt jest podany wprost i jest to \(M=(3,-2)\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Kiedy znamy współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi dana prosta, to współczynnik kierunkowy możemy obliczyć w następujący sposób:
$$a=\frac{y_{M}-y_{A}}{x_{M}-x_{A}}$$
$$a=\frac{-2-0}{3-1}$$
$$a=\frac{-2}{2}$$
$$a=-1$$
Jeżeli nie pamiętamy o tym, że taki wzór istnieje, to możemy zbudować odpowiedni układ równań z którego wyznaczymy poszukiwany współczynnik \(a\). Do wzoru funkcji \(f(x)=ax+b\) musimy podstawić raz współrzędne punktu \(A\) i drugi raz współrzędne punktu \(M\), otrzymując taką oto sytuację:
$$\begin{cases} 0=1a+b \\ -2=3a+b \end{cases}$$
Najprościej rozwiążemy ten układ odejmując te równania stronami:
$$2=-2a$$
$$a=-1$$
Zadanie nr 32 · Matura 2018
W układzie współrzędnych punkty \(A=(4,3)\) i \(B=(10,5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=2x+3\). Oblicz współrzędne punktu \(C\), dla którego kąt \(ABC\) jest prosty.
Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy, że punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\). Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument \(x\) funkcja przyjmuje wartość \(2x+3\). Z tego też względu współrzędne punktu \(C\) możemy zapisać jako \(C=(x;2x+3)\).
Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
$$|AB|=\sqrt{(10-4)^2+(5-3)^2}$$
$$|AB|=\sqrt{6^2+2^2}$$
$$|AB|=\sqrt{36+4}$$
$$|AB|=\sqrt{40}$$
Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\).
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$
$$|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x+3-5)^2}$$
$$|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}$$
Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać.
Krok 4. Obliczenie długości boku \(AC\).
I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku \(AC\).
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$
$$|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x+3-3)^2}$$
$$|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}$$
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu \(C\).
Skoro trójkąt \(ABC\) ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt \(ABC\). Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku \(B\). To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta \(AC\). W związku z tym:
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2$$
$$(\sqrt{40})^2+\left(\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}\right)^2$$
$$40+(x-10)^2+(2x-2)^2=(x-4)^2+(2x)^2$$
$$40+x^2-20x+100+4x^2-8x+4=x^2-8x+16+4x^2$$
$$5x^2-28x+144=5x^2-8x+16$$
$$-28x+144=-8x+16$$
$$-20x=-128$$
$$x=6,4$$
Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu \(C\).
Wiemy już, że \(x=6,4\). Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia \(2x+3\) i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu \(C\):
$$y=2x+3$$
$$y=2\cdot6,4+3$$
$$y=12,8+3$$
$$y=15,8$$
To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) wynoszą: \(C=(6,4;15,8)\).
Zadanie nr 4 · Próbny 2017
Prosta \(l\) przechodzi przez punkty \(A=(6,-7), B=(-10,3)\). Prosta \(k\) jest symetralną odcinka \(AB\). Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) jest równy:
A\(-\frac{8}{5}\)
B\(\frac{8}{5}\)
C\(\frac{5}{8}\)
D\(-\frac{5}{8}\)
Krok 1. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(l\).
Jesteśmy w stanie wyznaczyć pełny wzór prostej \(l\) (bo znamy współrzędne dwóch punktów przez które ona przechodzi, więc możemy skorzystać np. z metody układu równań), ale nam do tego zadania wystarczy poznanie współczynnika kierunkowego tej prostej, a wyznaczyć go możemy z następującego wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$
$$a=\frac{3-(-7)}{-10-6}$$
$$a=\frac{3+7}{-16}$$
$$a=\frac{10}{-16}$$
$$a=-\frac{5}{8}$$
Krok 2. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\).
Prosta \(k\) jest symetralną do odcinka \(AB\). My wiemy, że symetralna do odcinka jest zawsze prostą prostopadłą. Wniosek dla nas z tego płynie taki, że prosta \(k\) jest prostopadła do prostej \(l\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro wiec prosta \(l\) ma współczynnik \(a=-\frac{5}{8}\), to prosta \(k\) będzie miała ten współczynnik równy \(a=\frac{8}{5}\), bo \(-\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{5}=-1\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2017
Wykres funkcji \(f(x)=(4m-2)x+k-3\) przechodzi tylko przez \(II\) i \(IV\) ćwiartkę układu współrzędnych. Oznacza to, że:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli wykres naszej funkcji przechodzi przez \(II\) i \(IV\) ćwiartkę, to musi wyglądać on w ten sposób:
Krok 2. Ustalenie wartości parametru \(m\).
Z rysunku wynika, że nasza prosta jest malejąca, a skoro tak, to współczynnik kierunkowy \(a\) musi być ujemny. W naszym przypadku współczynnik kierunkowy jest równy \(4m-2\), czyli powstanie nam następująca nierówność:
$$a\lt0$$
$$4m-2\lt0$$
$$4m\lt2$$
$$m\lt\frac{1}{2}$$
To oznacza, że odpowiedzi A i D możemy od razu odrzucić.
Krok 3. Ustalenie wartości parametru \(k\).
Z rysunku możemy jeszcze wywnioskować, że prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych (nie ma innej możliwości, skoro przechodzi tylko przez te dwie ćwiartki). Mając równanie prostej w postaci \(y=ax+b\) współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina oś igreków. W naszym przypadku prosta przecina oś igreków dla \(y=0\), zatem współczynnik \(b=0\). Współczynnikiem \(b\) w naszej funkcji jest wyrażenie \(k-3\), zatem:
$$b=0$$
$$k-3=0$$
$$k=3$$
To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź C.
Zadanie nr 7 · Matura 2017
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=21-\frac{7}{3}x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest:
A\(-9\)
B\(-\frac{7}{3}\)
C\(9\)
D\(21\)
Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji musimy przyrównać jej wzór do zera:
$$21-\frac{7}{3}x=0$$
$$21=\frac{7}{3}x \quad\bigg/\cdot\frac{3}{7}$$
$$x=\frac{63}{7}$$
$$x=9$$
Zadanie nr 18 · Matura 2017
Prosta przechodząca przez punkt \(A=(-10,5)\) i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu:
A\(y=-2x+4\)
B\(y=\frac{1}{2}x\)
C\(y=-\frac{1}{2}x+1\)
D\(y=2x-4\)
Krok 1. Zapisanie równania prostej.
Równanie prostej możemy opisać wzorem \(y=ax+b\). Współczynnik \(b\) odpowiada za miejsce przecięcia się prostej z osią igreków. Skoro nasza prosta ma przechodzić przez początek układu współrzędnych, to znaczy że przecina oś igreków dla \(y=0\). Stąd też płynie wniosek, że współczynnik \(b=0\), zatem równanie naszej prostej możemy zapisać jako \(y=ax\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
Podstawiając do równania \(y=ax\) współrzędne punktu \(A\) obliczymy wartość współczynnika kierunkowego \(a\):
$$y=ax$$
$$5=a\cdot(-10)$$
$$a=-\frac{5}{10}$$
$$a=-\frac{1}{2}$$
Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej prostopadłej.
Wiemy już, że nasza pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{2}\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\), zatem druga prosta będzie mieć ten współczynnik równy:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$
$$a=2$$
Teraz jak spojrzymy na odpowiedzi to widzimy, że tylko jedna prosta ma w swoim równaniu współczynnik \(a=2\) i jest to prosta z czwartej odpowiedzi.
Zadanie nr 9 · Matura 2017
Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=\sqrt{3}(x+1)-12\) jest liczba:
A\(\sqrt{3}-4\)
B\(-2\sqrt{3}+1\)
C\(4\sqrt{3}-1\)
D\(-\sqrt{3}+12\)
Aby obliczyć miejsce zerowe musimy przyrównać wzór funkcji do zera, czyli sprawdzić dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartość równą zero.
$$\sqrt{3}(x+1)-12=0$$
$$\sqrt{3}(x+1)=12 \quad\bigg/:\sqrt{3}$$
$$x+1=\frac{12}{\sqrt{3}}$$
$$x+1=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$
$$x+1=\frac{12\sqrt{3}}{3}$$
$$x+1=4\sqrt{3}$$
$$x=4\sqrt{3}-1$$
Zadanie nr 19 · Matura 2017
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste \(k\) i \(l\) przecinają się pod kątem prostym w punkcie \(A=(-2,4)\). Prosta \(k\) jest określona równaniem \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\). Zatem prostą \(l\) opisuje równanie:
A\(y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\)
B\(y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}\)
C\(y=4x-12\)
D\(y=4x+12\)
Krok 1. Określenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej.
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro w pierwszej prostej \(a=-\frac{1}{4}\), to prostopadła do niej będzie mieć:
$$a\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-1 \quad\bigg/\cdot(-4)$$
$$a=4$$
To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja ma postać \(y=4x+b\).
Krok 2. Określenie współczynnika \(b\) prostej prostopadłej.
Musimy ustalić jeszcze współczynnik \(b\) naszej prostej prostopadłej, a zrobimy to podstawiając współrzędne punktu przecięcia \(A=(-2,4)\) do wzoru który wyznaczyliśmy sobie przed chwilą.
$$y=4x+b$$
$$4=4\cdot(-2)+b$$
$$4=-8+b$$
$$b=12$$
Prostą \(l\) opisuje więc równanie \(y=4x+12\).
Zadanie nr 7 · Matura 2016
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\), przy czym \(f(0)=-2\) i \(f(1)=0\).
Wykres funkcji \(g\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem początku układu współrzędnych. Funkcja \(g\) jest określona wzorem:
A\(g(x)=2x+2\)
B\(g(x)=2x-2\)
C\(g(x)=-2x+2\)
D\(g(x)=-2x-2\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Nie jest to krok obowiązkowy, ale z pewnością ułatwi nam wybór prawidłowej odpowiedzi. To co najważniejsze w tym rysunku to fakt, że dzięki niemu widzimy wyraźnie, że funkcja \(g(x)\) przecina oś \(Oy\) w miejscu \(A=(0;2)\). Przyda nam się to do wyznaczenia współczynnika \(b\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją liniową, tak więc możemy zapisać ją w postaci \(g(x)=ax+b\). Aby poznać pełny wzór funkcji musimy obliczyć (albo odczytać z wykresu) wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od współczynnika \(b\), który bardzo szybko odczytamy z miejsca przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) na wysokości dwóch jednostek, to \(b=2\).
W ten oto sposób wiemy już, że prawidłowa jest albo pierwsza, albo trzecia odpowiedź.
Krok 3. Ustalenie wartości współczynnika \(a\) funkcji \(g(x)\).
Funkcja \(g(x)\) jest funkcją rosnącą. To oznacza, że współczynnik \(a\) musi być dodatni, więc pasowałyby nam tylko dwie pierwsze odpowiedzi. Drugą odpowiedź odrzuciliśmy jednak już wcześniej ze względu na współczynnik \(b=2\). W ten oto sposób wiemy już, że nasza funkcja ma następujący wzór: \(g(x)=2x+2\).
Zadanie nr 14 · Matura 2016
Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych \((m-1;\;2m+5)\), gdzie \(m\) jest dowolną liczbą rzeczywistą?
A\(y=2x+5\)
B\(y=2x+6\)
C\(y=2x+7\)
D\(y=2x+8\)
Dosyć istotną informację przydatną do rozwiązania tego zadania musimy odczytać bezpośrednio z czterech proponowanych odpowiedzi. Widzimy, że każda prosta jest opisana wzorem \(y=2x+b\) i to właśnie ten współczynnik \(b\) jest zmienny dla każdej z odpowiedzi. Naszym zadaniem jest więc obliczyć wartość tego współczynnika. Aby tego dokonać do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy sobie współrzędne \(x=m-1\) oraz \(y=2m+5\).
$$y=2x+b$$
$$2m+5=2(m-1)+b$$
$$2m+5=2m-2+b$$
$$b=7$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2016
Funkcja liniowa \(f(x)=-2x+b\) przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich \(x\lt2\) i tylko dla takich. Wynika stąd, że współczynnik \(b\) jest równy:
A\(4\)
B\(2\)
C\(0\)
D\(-4\)
Do zadania można podejść na wiele sposobów, możemy nawet podstawiać poszczególne wartości współczynnika \(b\) i sprawdzać kiedy nierówność \(-2x+b\gt0\) da rozwiązanie \(x\lt2\) (w nierówności mamy dajemy \(\gt0\), bo mają to być wartości dodatnie). Przykładowo dla \(b=4\) z pierwszej odpowiedzi otrzymalibyśmy:
$$-2x+4\gt0$$
$$-2x\gt-4$$
$$x\lt2$$
Otrzymaliśmy rozwiązanie \(x\lt2\), zatem już wiemy że poszukiwaną wartością było \(b=4\).
Można też do tego zadania podejść bardziej analitycznie. Skoro funkcja liniowa przyjmuje wartości dodatnie dla \(x\lt2\), to dla \(x=2\) musi przyjmować wartość równą \(0\), zatem:
$$-2\cdot2+b=0$$
$$-4+b=0$$
$$b=4$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2016
Punkty \(A=(-2\sqrt{3},0)\), \(B=(0,0)\), \(C=(\sqrt{3},3)\) są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego \(ABCDEF\). Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(AD\) tego sześciokąta.
Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(BC\).
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że proste \(BC\) oraz \(AD\) są względem siebie równoległe. Jeżeli więc wyznaczymy współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BC\) (a nie jest to trudne, bo znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\)), to będziemy bardzo blisko odnalezienia równania prostej przechodzącej przez przekątną \(AD\).
Oczywiście możemy wyznaczyć całe równanie prostej \(BC\) (np. z metody układu równań), ale nam wystarczy poznanie współczynnika \(a\) tej prostej, a dokonamy tego za pomocą prostego wzoru:
$$a=\frac{y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}$$
$$a=\frac{3-0}{\sqrt{3}-0}$$
$$a=\frac{3}{\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$
$$a=\frac{3\sqrt{3}}{3}$$
$$a=\sqrt{3}$$
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AD\).
Wiemy, że prosta \(AD\) jest równoległa do prostej \(BC\), zatem współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej będzie równy \(\sqrt{3}\). Możemy więc powiedzieć, że nasza prosta będzie się wyrażać równaniem \(y=\sqrt{3}x+b\). Musimy jeszcze poznać wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając współrzędne punktu przez które ta prosta przechodzi, czyli punktu \(A=(-2\sqrt{3},0)\):
$$y=\sqrt{3}x+b$$
$$0=\sqrt{3}\cdot(-2\sqrt{3})+b$$
$$0=-2\cdot3+b$$
$$b=6$$
Skoro współczynnik \(b=6\), to nasza prosta \(AD\) wyraża się równaniem \(y=\sqrt{3}x+6\).
Zadanie nr 10 · Próbny 2016
Dwusieczna kąta, pod którym przecinają się proste \(y=x-1\) i \(y=-x+1\), przechodzi przez punkt:
A\(P=(0,1)\)
B\(P=(-1,-1)\)
C\(P=(-1,1)\)
D\(P=(1,0)\)
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań składającego się z dwóch prostych jest ich punkt przecięcia się (czyli dokładnie to czego szukamy, bo przecież dwusieczna kąta musi przechodzić przez punkt przecięcia się prostych). W związku z tym:
$$\begin{cases} y=x-1 \\ y=-x+1 \end{cases}$$
$$x-1=-x+1$$
$$2x=2$$
$$x=1$$
Znając wartość współrzędnej iksowej możemy obliczyć wartość współrzędnej igrekowej, podstawiając \(x=1\) do jednego z równań:
$$y=1-1$$
$$y=0$$
To oznacza, że poszukiwanym punktem jest \(P=(1;0)\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2016
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+b\) dla \(b=-3\) oraz \(ab\lt0\). Wynika z tego, że funkcja \(f\):
Ajest rosnąca
Bjest malejąca
Cjest stała
Dnie jest ani rosnąca, ani malejąca
Jeżeli współczynnik \(b\) jest równy \(-3\), a iloczyn \(ab\lt0\), to:
$$ab\lt0$$
$$-3a\lt0 \quad\bigg/:(-3)$$
$$a\gt0$$
Dodatni współczynnik kierunkowy \(a\) oznacza, że prosta jest rosnąca.
Zadanie nr 8 · Matura 2016
Dana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:
A\(8\)
B\(6\)
C\(-6\)
D\(-8\)
Miejsce zerowe funkcji to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). To oznacza, że miejsce zerowe możemy obliczyć przyrównując \(\frac{3}{4}x+6\) do zera.
$$\frac{3}{4}x+6=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3}$$
$$x+8=0$$
$$x=-8$$
Zadanie nr 12 · Matura 2015
Wykres funkcji liniowej \(y=2x-3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych:
A\((0,-3)\)
B\((-3,0)\)
C\((0,2)\)
D\((0,3)\)
O miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Oy\) decyduje współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-3\). To oznacza, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-3)\).
Zadanie nr 20 · Matura 2015
Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A=(-4,3)\) oraz \(B=(8,7)\), jest równy:
A\(a=3\)
B\(a=-1\)
C\(a=\frac{5}{6}\)
D\(a=\frac{1}{3}\)
Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$
Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$(y-3)(8-(-4))-(7-3)(x-(-4))=0$$
$$(y-3)(8+4)-(7-3)(x+4)=0$$
$$(y-3)\cdot12-4\cdot(x+4)=0$$
$$12y-36-4x-16=0$$
$$12y-4x-52=0$$
$$12y=4x+52$$
$$y=\frac{4}{12}x+\frac{52}{12}$$
$$y=\frac{1}{3}x+4\frac{1}{3}$$
To oznacza, że współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej jest równy \(a=\frac{1}{3}\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2015
Wykres funkcji liniowej \(f(x)=3x-2\) odbito symetrycznie względem osi \(Oy\). Otrzymano wykres funkcji:
A\(g(x)=-3x+2\)
B\(g(x)=3x+2\)
C\(g(x)=-3x-2\)
D\(g(x)=3x-2\)
Wykonując symetrię funkcji względem osi igreków zmienia nam się na przeciwny znak współczynnika kierunkowego \(a\). Skoro początkowa funkcja ma \(a=3\), to jej odbicie symetryczne względem osi igreków będzie mieć \(a=-3\). To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja przyjmuje wzór \(g(x)=-3x-2\).
Zadanie nr 15 · Próbny 2015
Zależność temperatury w skali Fahrenheita \((°F)\) od temperatury w skali Celsjusza \((°C)\) wyraża się wzorem: \(f=\frac{9}{5}c+32\) , gdzie \(f\) oznacza temperaturę w skali Fahrenheita, a \(c\) - w skali Celsjusza. 25 maja 2014 r. o godzinie 12 czasu lokalnego temperatura w Warszawie wynosiła \(20°C\), a w Nowym Jorku \(77°F\). O ile stopni temperatura w Nowym Jorku była wyższa od temperatury w Warszawie?
Ao \(57°F\)
Bo \(25°F\)
Co \(11°F\)
Do \(9°F\)
Krok 1. Zapisanie temperatury w Warszawie w skali Fahrenheita.
Skoro temperatura w Warszawie wyniosła \(20°C\), to zgodnie ze wzorem podanym w treści zadania możemy zapisać, że:
$$f=\frac{9}{5}\cdot20+32$$
$$f=36+32$$
$$f=68$$
To oznacza, że w Warszawie mieliśmy temperaturę \(68°F\).
Krok 2. Wyznaczenie różnicy temperatur między dwoma miastami.
Skoro w Nowym Jorku mamy \(77°F\), a w Warszawie \(68°F\), to różnica temperatur wyniesie:
$$77°F-68°F=9°F$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2015
Prosta o równaniu \(y=4x+1\) przecina osie układu współrzędnych w punktach:
A\((1,0)\) i \((0,\frac{1}{4})\)
B\((1,0)\) i \((0,-\frac{1}{4})\)
C\((0,1)\) i \((-\frac{1}{4},0)\)
D\((0,1)\) i \((\frac{1}{4},0)\)
Krok 1. Wyznaczenie miejsca przecięcia się z osią iksów.
Z osią iksów prosta przetnie się wtedy, kiedy jej wartość będzie równa \(y=0\), zatem:
$$4x+1=0$$
$$4x=-1$$
$$x=-\frac{1}{4}$$
To oznacza, że prosta przetnie się z osią iksów w punkcie \(\left(-\frac{1}{4},0\right)\).
Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się z osią igreków.
Z osią igreków prosta przetnie się wtedy, kiedy jej argument będzie równy \(x=0\), zatem:
$$y=4\cdot0+1$$
$$y=1$$
To oznacza, że prosta przetnie się z osią igreków w punkcie \((0,1)\).
Zadanie nr 9 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu y=ax+b przechodzącej przez punkty \((0,-2)\) i \((6,2)\).
Wtedy:
A\(a=\frac{2}{3}, b=-2\)
B\(a=3, b=-2\)
C\(a=\frac{3}{2}, b=2\)
D\(a=-3, b=2\)
Krok 1. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym gdzie dana prosta przecina się z osią \(Oy\). Skoro nasza prosta przechodzi przez punkt \((0;-2)\) to już wiemy, że \(b=-2\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Po uzyskaniu informacji, że \(b=-2\) wiemy, że wzór naszej funkcji przyjmuje postać \(y=ax-2\). Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu \((6;2)\) wyznaczymy wartość współczynnika \(a\), zatem:
$$y=ax-2$$
$$2=6a-2$$
$$6a=4$$
$$a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$
Zadanie nr 11 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji liniowej \(f\).
Funkcja liniowa \(g\), której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem poziomej osi układu współrzędnych, jest określona wzorem:
A\(g(x)=-2x-2\)
B\(g(x)=2x-2\)
C\(g(x)=-2x+2\)
D\(g(x)=2x+2\)
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Poziomą osią układu współrzędnych jest oś iksów. To oznacza, że funkcja \(g\) będzie wyglądać w ten oto sposób:
Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji \(g(x)\).
Nasza funkcja będzie na pewno wyrażona wzorem w postaci \(g(x)=ax+b\). Musimy tylko ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Zacznijmy od ustalenia współczynnika kierunkowego \(a\). Wykres funkcji \(g(x)\) jest prostą rosnącą, zatem współczynnik kierunkowy \(a\) musi być większy od zera. Z tego wynika, że interesują nas już tylko dwie odpowiedzi: B oraz D. Musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika \(b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu funkcja przecina oś igreków. W naszym przypadku funkcja \(g(x)\) przecina oś igreków dla \(y=-2\), zatem \(b=-2\).
To oznacza, że funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=2x-2\).
Zadanie nr 9 · Matura 2015
Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(m-1)x+3\) leży punkt \(S=(5,-2)\). Zatem:
A\(m=-1\)
B\(m=0\)
C\(m=1\)
D\(m=2\)
Skoro punkt \(S=(5,-2)\) należy do funkcji, to możemy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i w ten sposób wyliczyć parametr \(m\).
$$-2=(m-1)\cdot5+3$$
$$-2=5m-5+3$$
$$-2=5m-2$$
$$5m=0$$
$$m=0$$
Zadanie nr 30 · Matura 2015
W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).
Krok 1. Ustalenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Aby poznać wzór tej prostej musimy stworzyć prosty układ równań. Do wzoru ogólnego w postaci \(y=ax+b\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases} -12=-43a+b \\ 19=50a+b \end{cases}
Możemy ten układ rozwiązać w dowolny sposób, ale najprościej jest odjąć go od siebie stronami, dzięki czemu pozbędziemy się \(b\), zatem:
$$-31=-93a$$
$$a=\frac{1}{3}$$
Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić go do któregoś z równań i wyznaczyć w ten sposób współczynnik \(b\).
$$19=50\cdot\frac{1}{3}+b$$
$$\frac{57}{3}=\frac{50}{3}+b$$
$$b=\frac{7}{3}$$
Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) to: \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).
Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu \(P\).
Skoro nasza prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\), to znaczy że \(P=(x;0)\). Musimy wyznaczyć współrzędną \(x\) punktu \(P\), więc wystarczy przyrównać wzór naszej prostej do zera:
$$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=0 \quad\bigg/\cdot3$$
$$x+7=0$$
$$x=-7$$
To oznacza, że pierwszą współrzędną jest \(x=-7\), a pełne współrzędne tego punktu to \(P=(-7;0)\).
Zadanie nr 8 · Matura 2015
Miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=-\frac{2}{3}x+4\) jest:
A\(0\)
B\(6\)
C\(4\)
D\(-6\)
Miejscem zerowym funkcji jest taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\), zatem:
$$0=-\frac{2}{3}x+4$$
$$\frac{2}{3}x=4 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$
$$x=6$$
Zadanie nr 9 · Matura 2015
Punkt \(M=(\frac{1}{2},3)\) należy do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem \(f(x)=(3-2a)x+2\). Wtedy:
A\(a=-\frac{1}{2}\)
B\(a=2\)
C\(a=\frac{1}{2}\)
D\(a=-2\)
Skoro punkt \(M\) należy do wykresu funkcji \(f(x)\), to możemy do jej wzoru podstawić współrzędne tego punktu, wyznaczając w ten sposób wartość niewiadomej \(a\). Otrzymamy wtedy:
$$3=(3-2a)\cdot\frac{1}{2}+2$$
$$3=1\frac{1}{2}-a+2$$
$$3=3\frac{1}{2}-a$$
$$-\frac{1}{2}=-a$$
$$a=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 10 · Matura 2015
Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu \(y=ax+b\).
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:
A\(a=-\frac{3}{2}\)
B\(a=-\frac{2}{3}\)
C\(a=-\frac{2}{5}\)
D\(a=-\frac{3}{5}\)
Do zapisania równania prostej (a tym samym do wyznaczenia współczynnika kierunkowego) posłużymy się współrzędnymi punktów \(P\) oraz \(Q\), które możemy odczytać z rysunku. Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(P=(x_{P};y_{P})\) oraz \(Q=(x_{Q};y_{Q})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{P})(x_{Q}-x_{P})-(y_{Q}-y_{P})(x-x_{P})=0$$
$$(y-5)(5-2)-(3-5)(x-2)=0$$
$$(y-5)\cdot3-(-2)\cdot(x-2)=0$$
$$3y-15-(-2x+4)=0$$
$$3y-15+2x-4=0$$
$$3y+2x-19=0$$
$$3y=-2x+19 \quad\bigg/:3$$
$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{19}{3}$$
Współczynnik kierunkowy tej prostej jest w takim razie równy \(a=-\frac{2}{3}\).
Zadanie nr 18 · Matura 2015
Dane są punkty \(M=(3,-5)\) oraz \(N=(-1,7)\). Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie:
A\(y=-3x+4\)
B\(y=3x-4\)
C\(y=-\frac{1}{3}x+4\)
D\(y=3x+4\)
Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(M=(x_{M};y_{M})\) oraz \(N=(x_{N};y_{N})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{M})(x_{N}-x_{M})-(y_{N}-y_{M})(x-x_{M})=0$$
$$(y-(-5))(-1-3)-(7-(-5))(x-3)=0$$
$$(y+5)\cdot(-4)-12\cdot(x-3)=0$$
$$-4y-20-12x+36=0$$
$$-4y-12x+16=0$$
$$-4y=12x-16 \quad\bigg/:(-4)$$
$$y=-3x+4$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2014
Równania \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\) oraz \(y=-\frac{4}{3}\) opisują dwie proste:
Aprzecinające się pod kątem o mierze \(90°\)
Bpokrywające się
Cprzecinające się pod kątem różnym od \(90°\)
Drównoległe i różne
Krok 1. Określenie wartości współczynników kierunkowych obu prostych.
Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(a=-\frac{3}{4}\), natomiast drugiej prostej jest równy \(a=0\) (jest to funkcja stała).
Krok 2. Weryfikacja poszczególnych odpowiedzi.
\(Odp. A.\): Aby dwie przecinały się pod kątem \(90°\) (czyli aby proste były względem siebie prostopadłe) to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, więc odrzucamy tą odpowiedź.
\(Odp. B.\) oraz \(Odp. D.\): Aby dwie proste były równoległe względem siebie (niezależnie od tego czy się pokrywają czy nie) to muszą mieć identyczny współczynnik kierunkowy. Tą odpowiedź także musimy odrzucić, bo u nas współczynniki są różne.
Jedyną odpowiedzią, która nam zostaje jest \(Odp. C\). i faktycznie te dwie proste przetną się pod kątem innym niż \(90°\), co możemy jeszcze zweryfikować na rysunku:
Zadanie nr 3 · Próbny 2014
Miejscem zerowym funkcji \(y=\sqrt{2}x-2\) jest liczba:
A\(-\sqrt{2}\)
B\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
D\(\sqrt{2}\)
Musimy znaleźć miejsce zerowe, czyli musimy sprawdzić kiedy \(\sqrt{2}x-2\) będzie równe \(0\), zatem:
$$\sqrt{2}x-2=0$$
$$\sqrt{2}x=2 \quad\bigg/:\sqrt{2}$$
$$x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$
Zadanie nr 4 · Matura 2014
Na prostej o równaniu \(y=ax+b\) leżą punkty \(K=(1,0)\) i \(L=(0,1)\). Wynika stąd, że:
A\(a=-1\) i \(b=1\)
B\(a=1\) i \(b=-1\)
C\(a=-1\) i \(b=-1\)
D\(a=1\) i \(b=1\)
Krok 1. Określenie współczynnika \(a\).
Z rysunku wynika, że nasza funkcja jest malejąca, tak więc współczynnik \(a\) jest na pewno mniejszy od zera. To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(A\) lub \(C\).
Krok 2. Określenie współczynnika \(b\).
Tu z pomocą przyjdą nam współrzędne punktu \(L\). Miejsce przecięcia się prostej z osią \(Oy\) mówi nam o tym jaka jest wartość współczynnika \(b\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \(L=(0,1)\), to \(b=1\).
Prawidłowa jest więc odpowiedź \(A\).
Zadanie nr 6 · Matura 2014
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x-4\) dla każdej liczby z przedziału \(\langle-2,2\rangle\). Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział:
A\(\langle-10;2\rangle\)
B\((-10;2\rangle\)
C\(\langle2;10\rangle\)
D\((2;10\rangle\)
Nasza funkcja jest funkcją liniową i to w dodatku rosnącą, bo ma dodatni współczynnik \(a=3\). To oznacza, że dla \(f(-2)\) funkcja przyjmie wartość najmniejszą, a dla \(f(2)\) największą, zatem:
$$f(-2)=3\cdot(-2)-4=-6-4=-10$$
$$f(2)=3\cdot2-4=6-4=2$$
Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \(\langle-10;2\rangle\).
Zadanie nr 8 · Matura 2014
Punkt \(C=(0,2)\) jest wierzchołkiem trapezu \(ABCD\), którego podstawa \(AB\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=2x-4\). Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę \(CD\).
A\(y=\frac{1}{2}x+2\)
B\(y=-2x+2\)
C\(y=-\frac{1}{2}x+2\)
D\(y=2x+2\)
Z własności figur geometrycznych wiemy, że trapez ma podstawy równoległe względem siebie. Wiemy też, że aby dwie proste opisane wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). W naszym przypadku \(a=2\), więc pasującą odpowiedzią jest tylko i wyłącznie ostatnia prosta.
Zadanie nr 18 · Matura 2014
O funkcji liniowej \(f\) wiadomo, że \(f(1)=2\). Do wykresu tej funkcji należy punkt \(P=(-2,3)\). Wzór funkcji \(f\) to:
A\(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\)
B\(f(x)=-\frac{1}{2}x+2\)
C\(f(x)=-3x+7\)
D\(f(x)=-2x+4\)
Krok 1. Obliczenie współczynnika \(a\) funkcji \(f\).
Poszukiwana funkcja ma postać \(y=ax+b\). Na podstawie danych z zadania możemy stworzyć prosty układ równań. W pierwszym równaniu wykorzystamy informację, że \(f(1)=2\), czyli podstawimy \(x=1\) oraz \(y=2\). W drugim równaniu podstawimy współrzędne punktu, czyli \(x=-2\) oraz \(y=3\). Tak oto powstaje nam układ równań:
\begin{cases} 2=1a+b \\ 3=-2a+b \end{cases}
Powstały układ równań możemy obliczyć dowolną metodą (np. wyznaczając z pierwszego równania \(b=2-a\) i podstawiając tę wartość do drugiego równania). Najprościej jest jednak odjąć obie strony równania, otrzymując:
$$-1=3a$$
$$a=-\frac{1}{3}$$
W ten oto sposób wiemy już, że poszukiwana funkcja ma postać \(y=-\frac{1}{3}+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), choć już w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, bo już na podstawie tylko i wyłącznie współczynnika \(a\) możemy odrzucić odpowiedzi \(B\), \(C\) oraz \(D\). Obliczmy jednak dla wprawy także i współczynnik \(b\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(b\).
Korzystając z dowolnego z równań z układu współrzędnych i podstawiając za \(a=-\frac{1}{3}\) otrzymamy:
$$2=1a+b$$
$$2=-\frac{1}{3}+b$$
$$b=\frac{7}{3}$$
Poszukiwana funkcja jest opisana wzorem: \(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2013
Dana jest funkcja \(h(x)=\left(-\frac{1}{3}m+2\right)x+\frac{3}{2}m-1\). Funkcja ta dla argumentu \(0\) przyjmuje wartość \(5\). Wówczas:
A\(m=9\)
B\(m=6\)
C\(m=4\)
D\(m=2\)
Wiemy, że dla argumentu \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość \(y=5\). Podstawiając te informacje do naszego równania otrzymamy:
$$\left(-\frac{1}{3}m+2\right)\cdot0+\frac{3}{2}m-1=5$$
$$0+\frac{3}{2}m-1=5$$
$$\frac{3}{2}m=6 \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3}$$
$$m=4$$
Zadanie nr 30 · Próbny 2013
Dany jest trójkąt \(ABC\), gdzie \(A=(-3,-2)\), \(B=(1,-1)\), \(C=(-1,4)\). Wyznacz równanie symetralnej boku \(AC\) tego trójkąta.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AC\).
Symetralna dzieli nam odcinek na dwie równe części. Spróbujmy wyznaczyć współrzędne punktu \(S\), który jest miejscem przecięcia się symetralnej z odcinkiem \(AC\). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$
Dla przejrzystości obliczeń możemy policzyć każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$
$$x_{S}=\frac{-3+(-1)}{2}$$
$$x_{S}=\frac{-4}{2}$$
$$x_{S}=-2$$
$$\quad$$
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$
$$y_{S}=\frac{-2+4}{2}$$
$$y_{S}=\frac{2}{2}$$
$$y_{S}=1$$
Udało nam się w ten sposób wyznaczyć współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(S=(-2;1)\).
Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AC\).
Aby poznać wzór prostej prostopadłej do prostej \(AC\) musimy najpierw poznać równanie prostej \(AC\) lub przynajmniej jej współczynnik \(a\), bo to właśnie ten współczynnik będzie nam potrzebny do dalszych obliczeń.
Możemy to zrobić tak naprawdę na dwa sposoby - albo układając odpowiedni układ równań, albo korzystając ze wzoru \(a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\).
Spróbujmy może obliczyć ten współczynnik bardziej popularną metodą układu równań. Aby tego dokonać to do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) i ułożyć z nich następujący układ:
$$\begin{cases} -2=-3a+b \\ 4=-1a+b \end{cases}$$
Współczynnik \(b\) jest nam w tym przypadku niepotrzebny, więc nie musimy go obliczać.
Krok 3. Ustalenie współczynnika kierunkowego prostej symetralnej.
Prosta symetralna jest tak naprawdę prostą prostopadłą do odcinka \(AC\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Wiemy, że nasza prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(a=3\), zatem prosta symetralna ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot3=-1$$
$$a=-\frac{1}{3}$$
Krok 4. Ustalenie równania prostej symetralnej.
Musimy jeszcze ustalić równanie prostej symetralnej. Wiemy już, że na pewno \(a=-\frac{1}{3}\), czyli że nasza symetralna przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Do wyznaczenia pozostaje nam zatem współczynnik \(b\). Aby go wyznaczyć, to pod iksa i igreka podstawimy współrzędne punktu, który należy do tej prostej, czyli współrzędne punktu \(S=(-2;1)\). Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{3}x+b$$
$$1=-\frac{1}{3}\cdot(-2)+b$$
$$1=\frac{2}{3}+b$$
$$b=\frac{1}{3}$$
To oznacza, że nasza symetralna przyjmuje postać:
$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 5 · Matura 2013
Liczba \(-3\) jest miejscem zerowym funkcji \(f(x)=(2m-1)x+9\). Wtedy:
A\(m=-2\)
B\(m=0\)
C\(m=2\)
D\(m=3\)
Analizując informację o miejscu zerowym możemy wywnioskować, że funkcja przyjmuje wartość równą \(0\) dla \(x=-3\). To oznacza, że gdybyśmy do wzoru tej funkcji podstawili trójkę, to powinniśmy otrzymać zero i właśnie na podstawie tego równania wyznaczymy wartość parametru \(m\):
$$f(-3)=0$$
$$(2m-1)\cdot(-3)+9=0$$
$$-6m+3+9=0$$
$$-6m=-12$$
$$m=2$$
Zadanie nr 18 · Matura 2013
Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie:
A\(x-2y-4=0\)
B\(x+2y+4=0\)
C\(x-2y+4=0\)
D\(x+2y-4=0\)
Na podstawie rysunku spróbujmy określić wzór funkcji w postaci ogólnej \(y=ax+b\), którą następnie odpowiednio przekształcimy, tak aby dopasować się do naszych odpowiedzi.
Krok 1. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Zaczniemy od współczynnika \(b\), który możemy od razu odczytać z wykresu. Współczynnik \(b\) mówi nam w którym miejscu funkcja liniowa przetnie oś \(Oy\). W naszym przypadku funkcja przecina oś \(Oy\) dla \(y=2\), zatem \(b=2\).
Wiemy już, że nasza funkcja ma postać \(y=ax+2\).
Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Wykres przecina oś \(Ox\) w punkcie \((4;0)\), czyli dla \(x=4\) funkcja przyjmuje wartość \(y=0\). Podstawmy te współrzędne do wzoru zapisanego w pierwszym kroku i tym samym wyznaczmy wartość współczynnika \(a\):
$$y=ax+2$$
$$0=a\cdot4+2$$
$$4a=-2$$
$$a=-\frac{1}{2}$$
Krok 3. Wskazanie równania prostej.
Nasza prosta przyjmuje wzór \(y=-\frac{1}{2}x+2\), jednak nie mamy takiej odpowiedzi w proponowanych. Musimy więc odpowiednio przekształcić to równanie (przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę), tak aby dopasować się do odpowiedzi:
$$y=-\frac{1}{2}x+2$$
$$\frac{1}{2}x+y-2=0 \quad\bigg/\cdot2$$
$$x+2y-4=0$$
Zadanie nr 5 · Matura 2013
Punkt \(A=(0,1)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f(x)=(m-2)x+m-3\). Stąd wynika, że:
A\(m=1\)
B\(m=2\)
C\(m=3\)
D\(m=4\)
Skoro wykres funkcji przechodzi przez punkt \(A=(0;1)\) to po podstawieniu \(x=0\) wartość tej funkcji musi być równa \(1\). Stąd też:
$$(m-2)\cdot0+m-3=1$$
$$0+m-3=1$$
$$m=4$$
Zadanie nr 9 · Matura 2013
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej \(y=ax+b\).
Jakie znaki mają współczynniki \(a\) i \(b\)?
A\(a\lt0\) i \(b\lt0\)
B\(a\lt0\) i \(b\gt0\)
C\(a\gt0\) i \(b\lt0\)
D\(a\gt0\) i \(b\gt0\)
Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja jest malejąca, a to oznacza, że \(a\lt0\).
Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji \(y=ax+b\) przecina się z osią \(Oy\). Przykładowo gdy \(b=-2\), to wykres przecina oś w miejscu \(A=(0,-2)\). Widzimy wyraźnie, że nasza funkcja przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\), a więc, a więc \(b\lt0\).
Zadanie nr 5 · Matura 2012
Liczba \(-2\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=mx+2\). Wtedy:
A\(m=3\)
B\(m=1\)
C\(m=-2\)
D\(m=-4\)
Miejscem zerowym funkcji jest taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z treści zadania wiemy, że miejscem zerowym jest \(x=-2\), zatem prawdziwa będzie równość:
$$0=m\cdot(-2)+2$$
$$0=-2m+2$$
$$2m=2$$
$$m=1$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2012
Funkcja liniowa \(f(x)=\frac{1}{2}x-6\):
AJest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,6)\)
BJest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,6)\)
CJest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\)
DJest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0,-6)\)
Krok 1. Ustalenie, czy funkcja \(f(x)\) jest rosnąca czy malejąca.
O tym, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca decyduje współczynnik \(a\) stojący przed \(x\). W naszym przypadku współczynnik ten jest dodatni i wynosi \(\frac{1}{2}\), a więc już wiemy, że funkcja jest rosnąca.
Krok 2. Ustalenie przez jaki punkt przechodzi wykres funkcji.
W tym przypadku pomocny będzie współczynnik \(b\), który w naszym przypadku jest równy \(b=-6\). Mówi on o tym, że wykres funkcji przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;-6)\).
To oznacza, że prawidłowa jest ostatnia odpowiedź.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
