Zliczanie — zadania praktyczne

Silnia to iloczyn kolejnych liczb naturalnych:

$$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

Odpowiedź: C. $24$.

To liczba permutacji zbioru $5$-elementowego:

$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$

Odpowiedź: $120$ sposobów.

Permutacja to ustawienie wszystkich elementów w kolejności. Liczba permutacji to $n!$.

Dlaczego: na pierwszą pozycję mamy $n$ możliwości, na drugą $n-1$, i tak dalej — iloczyn daje $n!$.

Odpowiedź: B. $n!$.

Skracamy silnie:

$$\frac{6!}{4!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!}=6\cdot5=30$$

Wskazówka: $6!=6\cdot5\cdot4!$, więc $4!$ się skraca — nie trzeba liczyć pełnych silni.

Odpowiedź: $30$.

Z definicji przyjmujemy $0!=1$.

Dlaczego: jest tylko jeden sposób ustawienia zbioru pustego — nie robić nic.

Odpowiedź: A. $1$.

$$3!=3\cdot2\cdot1=6$$

Wypisane: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Odpowiedź: $6$ sposobów.

Wszystkie trzy litery są różne, więc liczba permutacji:

$$3!=6$$

Wypisane: KOT, KTO, OKT, OTK, TKO, TOK.

Odpowiedź: $6$.

Krok 1 — skracamy $8!$ przez $6!$:

$$\frac{8!}{6!}=8\cdot7=56$$

Krok 2 — dzielimy przez $2!=2$:

$$\frac{56}{2}=28$$

Uwaga: to symbol Newtona $\binom{8}{2}=28$.

Odpowiedź: $28$.

$$\frac{5!}{3!}=5\cdot4=20$$

Odpowiedź: D. $20$.

Krok 1 — sklejamy dwie osoby w jeden „blok". Mamy wtedy $3$ obiekty do ustawienia (blok + dwie osoby):

$$3!=6$$

Krok 2 — wewnątrz bloku dwie osoby można zamienić miejscami:

$$2!=2$$

Krok 3 — mnożymy:

$$6\cdot2=12$$

Metoda „sklejania". Gdy elementy mają być razem, traktujemy je jak jeden obiekt, a potem mnożymy przez permutacje wewnątrz bloku.

Odpowiedź: $12$ sposobów.

Rozpisujemy licznik:

$$\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)\cdot n!}{n!}=n+1$$

Odpowiedź: B. $n+1$.

Krok 1 — sprawdzamy kolejne silnie:

$$1!=1,\quad 2!=2,\quad 3!=6$$

Krok 2 — wniosek:

$$n=3$$

Odpowiedź: $n=3$.

Krok 1 — sklejamy $3$ matematyczne w blok. Mamy $3$ obiekty (blok + $2$ fizyczne):

$$3!=6$$

Krok 2 — wewnątrz bloku $3$ książki:

$$3!=6$$

Krok 3 — mnożymy:

$$6\cdot6=36$$

Odpowiedź: $36$ sposobów.

$$6!=720$$

Odpowiedź: C. $720$.

Krok 1 — pierwsza pozycja jest ustalona. Zostaje ustawienie pozostałych $4$ osób:

$$4!=24$$

Odpowiedź: $24$ sposoby.

$$3!\cdot2!=6\cdot2=12$$

Odpowiedź: A. $12$.

Krok 1 — powtarzające się litery. Wyraz MAMA ma $4$ litery, ale $M$ powtarza się $2$ razy i $A$ powtarza się $2$ razy.

Krok 2 — permutacje z powtórzeniami:

$$\frac{4!}{2!\cdot2!}=\frac{24}{2\cdot2}=6$$

Krok 3 — sprawdzenie przez wypisanie: MAMA, MAAM, MMAA, AMMA, AMAM, AAMM — sześć układów.

Dlaczego dzielimy. Zwykłe $4!$ liczyłoby zamiany jednakowych liter jako różne układy. Dzielenie przez $2!\cdot2!$ usuwa te powtórzenia.

Odpowiedź: $6$.

Krok 1 — problem permutacji cyklicznych. Przy okrągłym stole ustawienia różniące się obrotem są identyczne.

Krok 2 — unieruchamiamy jedną osobę. Sadzamy pierwszą osobę na dowolnym miejscu (to ustala „punkt odniesienia"), a pozostałe $3$ ustawiamy względem niej:

$$3!=6$$

Wzór ogólny. Liczba permutacji cyklicznych $n$ osób to $(n-1)!$ — dzielimy $n!$ przez $n$ możliwych obrotów.

Odpowiedź: $6$ sposobów.

Krok 1 — upraszczamy lewą stronę:

$$\frac{(n+2)!}{n!}=(n+2)(n+1)$$

Krok 2 — równanie:

$$(n+2)(n+1)=30$$

Krok 3 — szukamy dwóch kolejnych liczb o iloczynie $30$. To $5$ i $6$:

$$n+1=5 \quad\Rightarrow\quad n=4$$

Krok 4 — sprawdzenie dziedziny. Silnia wymaga $n\ge0$, więc $n=4$ jest poprawne (drugie rozwiązanie równania kwadratowego byłoby ujemne i odpada).

Sprawdzenie: $\frac{6!}{4!}=6\cdot5=30$ ✔

Odpowiedź: $n=4$.

Krok 1 — budujemy ustawienie pozycja po pozycji. Ustawiamy $n$ różnych elementów w rzędzie.

Krok 2 — zliczamy możliwości na kolejnych miejscach:

• na pierwsze miejsce — $n$ elementów do wyboru,
• na drugie — $n-1$ (jeden już użyty),
• na trzecie — $n-2$,
• …, na ostatnie — $1$.

Krok 3 — reguła mnożenia. Wybory są niezależne, więc mnożymy:

$$n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot2\cdot1=n! \qquad ∎$$

Sprawdzenie dla $n=3$: $3!=6$, a wypisanie ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA daje sześć układów ✔