Klasa 5 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 68
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 31 · Matura 2026
Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy \(IV A\) oraz klasy \(IV B\). Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy \(IV A\) jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy \(IV B\).
P
F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy \(IV A\) jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy \(IV B\).
P
F
Krok 1. Obliczenie średniej i mediany ocen klasy \(IV A\).
Liczba uczniów w klasie \(IV A\):
$$1+6+3+3+6+1=20$$
W takim razie średnia arytmetyczna wynosi:
$$śr=\frac{70}{20}=3,5$$
Teraz obliczmy medianę. Ponieważ jest \(20\) uczniów, mediana to średnia z \(10.\) i \(11.\) oceny w uporządkowanym rosnąco ciągu. Widzimy, że liczba uczniów, którzy otrzymali ocenę trójkę lub niższą wynosi dokładnie \(1+6+3=10\). Zatem \(10.\) ocena to \(3\), a \(11.\) ocena to \(4\). Mediana jest zatem równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$
Krok 2. Obliczenie średniej i mediany ocen klasy \(IV B\).
Liczba uczniów w klasie\(IV B\):
$$1+3+6+6+3+1=20$$
Teraz obliczmy medianę. Ponieważ jest \(20\) uczniów, mediana to średnia z \(10.\) i \(11.\) oceny w uporządkowanym rosnąco ciągu. Widzimy, że liczba uczniów, którzy otrzymali ocenę trójkę lub niższą wynosi dokładnie \(1+3+6=10\). Zatem \(10.\) ocena to \(3\), a \(11.\) ocena to \(4\). Mediana jest zatem równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$
Krok 3. Ocena prawdziwości zdań.
Średnie obu klas są równe (\(3,5 = 3,5\)), więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Mediany obu klas są równe (\(3,5 = 3,5\)), więc drugie zdanie jest prawdziwe.
Zadanie nr 32 · Matura 2026
Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a\), \(b\), \(c\), jest równa \(2\).
Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(d\), \(e\), \(f\), \(g\), jest równa \(5,5\).
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\), \(g\), jest równa:
Średnia arytmetyczna liczb \(d, e, f, g\) jest równa \(5,5\), zatem:
$$\frac{d+e+f+g}{4}=5,5$$
$$d+e+f+g=22$$
Tym samym średnia arytmetyczna wszystkich siedmiu liczb będzie równa:
$$śr=\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7}$$
$$śr=\frac{6+22}{7}$$
$$śr=\frac{28}{7}$$
$$śr=4$$
Zadanie nr 29 · Matura 2025
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: \(1, 2, 3, 4, 5, x, y\), jest równa \(3\). Suma \(x+y\) jest równa:
Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a\), \(b\) oraz \(c\) jest równa \(9\). Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(a, a, b, b, c, c\) jest równa:
A\(9\)
B\(6\)
C\(4,5\)
D\(18\)
To zadanie powinniśmy rozwiązać niemalże w pamięci - od razu widać, że średnia arytmetyczna się nie zmieni. Spróbujmy to sobie jednak pokazać w nieco bardziej matematyczny sposób.
Wiemy, że średnia liczb \(a\), \(b\) oraz \(c\) jest równa \(9\), czyli:
$$\frac{a+b+c}{3}=9 \quad\bigg/\cdot3$$
$$a+b+c=27$$
Chcemy policzyć średnią sześciu liczb: \(a, a, b, b, c, c\), zatem:
$$śr=\frac{a+a+b+b+c+c}{6}$$
$$śr=\frac{a+b+c+a+b+c}{6}$$
Wiemy, że \(a+b+c=27\), więc:
$$śr=\frac{27+27}{6}$$
$$sr=\frac{54}{6}$$
$$śr=9$$
Zadanie nr 50 · Matura 2023
Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie \(F\). Na osi poziomej podano - wyrażone w tysiącach złotych - miesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy \(F\), a na osi pionowej przedstawiono liczbę osób, która osiąga podane zarobki.
Zadanie 1.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Dominantą miesięcznych zarobków w firmie \(F\) jest:
A. \(10\) tys. zł
B. \(4,5\) tys. zł
C. \(4\) tys. zł
ponieważ
1. tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób w firmie \(F\).
2. ta wartość zarobków jest największa w firmie \(F\).
3. iloczyn tej wartości zarobków i liczby osób z takimi zarobkami jest największy w firmie \(F\).
Zadanie 2.
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Medianą miesięcznych zarobków w firmie \(F\) jest \(.................\) tys. zł.
Zadanie 3.
Oblicz, jaki \(\%\) liczby wszystkich pracowników firmy \(F\) stanowią osoby zarabiające \(5,5\) tys. zł lub mniej.
Zadanie 4.
Oblicz średnią miesięcznego wynagrodzenia netto wszystkich pracowników firmy \(F\). Wynik podaj bez zaokrąglania.
Zadanie 1.
Dominanta to wartość, która występuje najczęściej. Z wykresu możemy odczytać, że najwięcej osób zarabia \(4\) tysiące złotych. To oznacza, że dominanta miesięcznych zarobków wynosi \(4\) tys. zł ponieważ tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób w firmie \(F\).
Zadanie 2.
Krok 1. Obliczenie liczby pracowników.
Aby poznać liczbę pracowników tej firmy, musimy zsumować liczbę osób pobierających dane wynagrodzenie (np. \(1\) osoba zarabia \(1,5\) tysiąca, \(1\) osoba zarabia \(2\) tysiące, \(4\) osoby zarabiają \(2,5\) tysiąca itd.). To oznacza, że tych pracowników będziemy mieć:
$$1+1+4+7+10+14+13+9+6+3+2+1+1+1+2=75$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Mamy nieparzystą liczbę pracowników, a to oznacza, że mediana będzie równa tak zwanej środkowej wartości. W przypadku ciągu \(75\)-elementowego, środkową wartością będzie pensja numer \(38\).
Teoretycznie powinniśmy teraz wypisać wszystkie zarobki w ciągu niemalejącym (od najmniejszej do największej wypłaty) i wybrać tę, która będzie trzydziesta ósma w kolejności. Oczywiście nie będziemy zapisywać po kolei tych wszystkich pensji - wystarczy zauważyć, że \(1+1+4+7+10+14=37\) osób zarabia \(4\) tysiące lub mniej. Nas interesują zarobki \(38.\) osoby, a te wynoszą w takim razie \(4,5\) tysiąca złotych. Stąd też mediana zarobków wynosi właśnie \(4,5\) tysiąca złotych.
Zadanie 3.
Osób zarabiających \(5,5\) tysiąca złotych lub mniej mamy:
$$1+1+4+7+10+14+13+9+6=65$$
Wszystkich pracowników mamy \(75\), więc ci zarabiający \(5,5\) tys. zł lub mniej stanowią:
$$\frac{65}{75}\cdot100\%=86\frac{2}{3}\%$$
Zadanie 4.
Aby obliczyć średnią, musimy zsumować wszystkie wynagrodzenia i podzielić to przez liczbę wszystkich pracowników. Suma wszystkich wynagrodzeń będzie równa:
$$1\cdot1,5+1\cdot2+4\cdot2,5+7\cdot3+10\cdot3,5+14\cdot4+13\cdot4,5+$$
$$+9\cdot5+6\cdot5,5+3\cdot6+2\cdot6,5+1\cdot7+1\cdot7,5+1\cdot8,5+2\cdot10=$$
$$=1,5+2+10+21+35+56+58,5+45+33+18+13+7+7,5+8,5+20=336$$
Wiemy już, że mamy \(75\) pracowników, zatem średnia będzie równa:
$$śr=\frac{336}{75}$$
$$śr=4,48$$
Średnia pensja wynosi więc \(4480zł\).
Zadanie nr 27 · Matura 2023
Średnia arytmetyczna liczb \(x,y,z\) jest równa \(4\). Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(1+x\), \(2+y\), \(3+z\), \(14\) jest równa:
A\(6\)
B\(9\)
C\(8\)
D\(13\)
Krok 1. Obliczenie sumy liczb \(x,y,z\).
Skoro średnia arytmetyczna trzech liczb \(x,y,z\) jest równa \(4\), to ich suma będzie równa:
$$\frac{x+y+z}{3}=4$$
$$x+y+z=12$$
Krok 2. Obliczenie sumy arytmetycznej nowego zestawu liczb.
Średnia arytmetyczna czterech podanych liczb będzie równa:
$$śr=\frac{1+x+2+y+3+z+14}{4}$$
$$śr=\frac{x+y+z+20}{4}$$
$$śr=\frac{12+20}{4}$$
$$śr=\frac{32}{4}$$
$$śr=8$$
Zadanie nr 26 · Matura 2022
Średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a,b,c,d\) jest równa \(20\). Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a-10, b+30, c, d\) jest równa:
A\(10\)
B\(20\)
C\(25\)
D\(30\)
Krok 1. Obliczenie sumy liczb \(a, b, c, d\).
Jeżeli średnia czterech liczb jest równa \(20\), to suma tych liczb będzie równa \(4\cdot20=80\). Możemy to też zapisać, korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną:
$$śr=\frac{a+b+c+d}{4}$$
$$20=\frac{a+b+c+d}{4}$$
$$a+b+c+d=80$$
Krok 2. Obliczenie średniej arytmetycznej nowego zestawu.
Nowa średnia arytmetyczna będzie wynosić:
$$śr=\frac{a-10+b+30+c+d}{4}$$
$$śr=\frac{(a+b+c+d)+20}{4}$$
$$śr=\frac{80+20}{4}$$
$$śr=\frac{100}{4}$$
$$śr=25$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2022
Firma \(F\) zatrudnia \(160\) osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy \(F\), którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.
Zadanie 1. Średnia miesięczna płaca brutto w firmie \(F\) jest równa:
A. \(4 593,75 zł\)
B. \(4 800,00 zł\)
C. \(5 360,00 zł\)
D. \(2 399,33 zł\)
Zadanie 2. Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy \(F\) jest równa:
A. \(4 000 zł\)
B. \(4 800 zł\)
C. \(5 000 zł\)
D. \(5 500 zł\)
Zadanie 3. Liczba pracowników firmy \(F\), których miesięczna płaca brutto nie przewyższa \(5 000 zł\), stanowi (w zaokrągleniu do \(1\%\)):
A. \(91\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
B. \(78\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
C. \(53\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
D. \(22\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
Odpowiedź 1.
Chcąc obliczyć średnią arytmetyczną, musimy dodać do siebie iloczyny liczby pracowników i ich pensji, a następnie całość podzielić przez liczbę wszystkich zatrudnionych (czyli przez \(160\)). Średnia miesięczna płaca brutto jest więc równa:
$$śr=\frac{75\cdot4000+50\cdot4800+20\cdot5000+10\cdot6000+5\cdot7000}{160}$$
$$śr=\frac{300000+240000+100000+60000+35000}{160}$$
$$śr=\frac{735000}{160}$$
$$śr=4 593,75[zł]$$
Odpowiedź 2.
Mamy parzystą liczbę pracowników, zatem jeśli uporządkowujemy pensje każdej osoby w ciągu niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej) to mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wartości. W tym przypadku mediana będzie średnią zarobków osoby \(80.\) oraz \(81.\) (ponieważ mamy \(160\) pracowników). Z wykresu wynika, że \(75\) osób ma pensję \(4000zł\), a potem \(50\) osób ma pensję \(4800zł\), więc zarobki osoby \(80.\) i \(81.\) wynoszą \(4800zł\). To oznacza, że mediana będzie równa \(4800zł\), co możemy jeszcze rozpisać matematycznie jako:
$$m=\frac{4800+4800}{2}$$
$$m=\frac{9600}{2}$$
$$m=4800[zł]$$
Odpowiedź 3.
Pracowników zarabiających nie więcej niż \(5000zł\) jest łącznie:
$$75+50+20=145$$
Skoro wszystkich pracowników jest \(160\), to zarabiający nie więcej niż \(5000zł\) stanowią:
$$\frac{145}{160}=0,90625\approx91\%$$
Zadanie nr 28 · Matura 2022
W pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków w lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.
Mediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa:
A\(3\)
B\(2\)
C\(1\)
D\(\frac{3}{2}\)
Krok 1. Obliczenie liczby uczniów.
Z tabeli wynika, że wszystkich uczniów biorących udział w ankiecie, było:
$$9+5+3+4+1+3=25$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Liczba uczniów jest równa \(25\), czyli jest ona nieparzysta. To oznacza, że gdy uporządkujemy wyniki ankiety w porządku niemalejącym (od najmniejszej do największej) to medianą będzie środkowy wyraz, czyli w tym przypadku trzynasty.
Analizując tabelkę widzimy, że gdybyśmy po kolei wypisali wyniki ankiety, to trzynastym wynikiem byłoby \(1\), zatem mediana będzie równa \(1\).
Zadanie nr 28 · Matura 2022
Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: \(2x, 4, 6, 8, 11, 13\), jest równa \(5\). Wynika stąd, że:
A\(x=-1\)
B\(x=7\)
C\(x=-6\)
D\(x=6\)
W zadaniu musimy skorzystać ze wzoru na średnią arytmetyczną. W liczniku sumujemy więc wszystkie podane liczby, w mianowniku zapisujemy szóstkę (bo jest \(6\) liczb), dzięki czemu otrzymujemy:
$$\frac{2x+4+6+8+11+13}{6}=5$$
$$\frac{2x+42}{6}=5$$
$$2x+42=30$$
$$2x=-12$$
$$x=-6$$
Zadanie nr 28 · Matura 2021
Średnia arytmetyczna pięciu liczb: \(5x+6, 6x+7, 7x+8, 8x+9, 9x+10\), jest równa \(8\). Wtedy \(x\) jest równe:
A\((-35)\)
B\(0\)
C\(0,35\)
D\(35\)
Skoro średnia arytmetyczna tych pięciu liczb jest równa \(8\), to możemy zapisać, że:
$$\frac{5x+6+6x+7+7x+8+8x+9+9x+10}{5}=8$$
$$\frac{35x+40}{5}=8 \quad\bigg/\cdot5$$
$$35x+40=40$$
$$35x=0$$
$$x=0$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2021
Liczba \(x\) jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb: \(1+x\), \(1+2x\), \(4+3x\), \(1\), jest równa \(10\). Wtedy:
A\(x=6\)
B\(x=5,5\)
C\(x=2,5\)
D\(x=1\)
Krok 1. Uporządkowanie liczb w porządku niemalejącym.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w porządku rosnącym (a precyzyjniej w porządku niemalejącym). Teoretycznie wydaje się to trudne, bo w trzech liczbach mamy niewiadomą \(x\), ale skoro liczba \(x\) jest dodatnia, to na pewno \(1\) jest tą liczbą najmniejszą, a \(4+3x\) jest największą. Nasz uporządkowany zestaw będzie wyglądał następująco:
$$1; \quad 1+x; \quad 1+2x; \quad 4+3x$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Mamy parzystą ilość wyrazów, zatem mediana jest średnią arytmetyczną dwóch wyrazów środkowych, czyli \(1+x\) oraz \(1+2x\). Mediana jest równa \(10\), zatem możemy zapisać, że:
$$\frac{1+x+1+2x}{2}=10$$
$$\frac{3x+2}{2}=10$$
$$3x+2=20$$
$$3x=18$$
$$x=6$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2021
W grupie \(64\) dorosłych osób przeprowadzono ankietę dotyczącą nauki języków obcych. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.
Mediana wyrażonego w latach czasu nauki języków obcych jest równa:
A\(1\)
B\(3\)
C\(3,5\)
D\(4\)
Z treści zadania wynika, że mamy \(64\) osoby, czyli jest to parzysta liczba. To oznacza, że jak uporządkujemy wyniki zapisane w tabeli, to medianą będzie średnia arytmetyczna między wynikiem osoby numer \(32\) oraz \(33\).
Aby dobrze sobie uzmysłowić tę sytuację to możemy powiedzieć, że zestaw liczb z którego chcemy policzyć medianę wygląda mniej więcej w ten sposób:
$$0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,...,5,5,5$$
Nas interesuje wartość wyrazu numer \(32\) oraz \(33\). Oczywiście nie będziemy wypisywać ponad trzydziestu liczb. Wystarczy zauważyć, że osób które mają \(0\), \(1\), \(2\) lub \(3\) lata nauki mamy \(11+6+5+10=32\). To prowadzi nas do wniosku, że trzydziesta druga osoba ma \(3\) lata nauki, a trzydziesta trzecia ma \(4\) lata. Skoro tak, to mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}$$
$$m=\frac{7}{2}$$
$$m=3,5$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2021
Na diagramie słupkowym przedstawiono oceny końcowe ucznia.
Mediana ocen ucznia jest równa:
A\(3\)
B\(3,5\)
C\(4\)
D\(4,5\)
Aby wyznaczyć medianę, musimy najpierw dowiedzieć się ile ocen zdobył nasz uczeń. Sumując wyniki z diagramu otrzymamy informację, że tych ocen jest:
$$2+6+5+2+1=16$$
Jest to parzysty wynik, zatem mediana będzie równa średniej arytmetycznej wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku będzie to średnia arytmetyczna ósmej i dziewiątej oceny.
Podczas wyznaczania mediany musimy uporządkować wszystkie liczby w ciągu niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Nie musimy jednak wypisywać wszystkich ocen po kolei. Widzimy, że skoro uczeń ma dwie dwójki i sześć trójek, ósmą oceną w tym ciągu jest właśnie trójka, a dziewiątą będzie już czwórka. W związku z tym mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}$$
$$m=\frac{7}{2}$$
$$m=3,5$$
Zadanie nr 26 · Próbny 2021
Mediana zestawu danych: \(1, 1, 2, 2, x, 4, 6, 7, 9, 11\) wynosi \(3,5\). Zatem średnia arytmetyczna tego zestawu jest równa:
A\(4,6\)
B\(6,5\)
C\(7,25\)
D\(8,75\)
Nasz zestaw składa się z \(10\) liczb. Mediana jest w takim razie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów, czyli piątego i szóstego. Na pierwszy rzut oka widać, że zestaw liczb jest uporządkowany od najmniejszego do największego, aczkolwiek musimy być ostrożni, bo nie wiemy przecież jaka jest wartość \(x\) (równie dobrze \(x\) może być najmniejszą lub największą liczbą w tym zestawie). Nie mniej jednak widzimy, że gdyby \(x\) przybierał wartość np. równą \(12\), to mediana
Mamy uporządkowany (od najmniejszej do największej) zestaw \(10\) liczb. Piątym wyrazem jest \(x\), szóstym jest \(4\), a mediana ma być równa \(3,5\), zatem:
$$\frac{x+4}{2}=3,5$$
$$x+4=7$$
$$x=3$$
To oznacza, że średnia arytmetyczna tego zestawu jest równa:
$$śr=\frac{1+1+2+2+3+4+6+7+9+11}{10}$$
$$śr=\frac{46}{10}$$
$$śr=4,6$$
Zadanie nr 28 · Matura 2021
Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: \(2\), \(3x\), \(3x+2\), \(3x+4\) jest równa \(\frac{13}{2}\). Wynika stąd, że:
A\(x=9\)
B\(x=\frac{13}{2}\)
C\(x=\frac{5}{9}\)
D\(x=2\)
Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną, możemy zapisać, że:
$$\frac{2+3x+3x+2+3x+4}{4}=\frac{13}{2}$$
$$\frac{9x+8}{4}=\frac{13}{2}$$
$$9x+8=26$$
$$9x=18$$
$$x=2$$
Zadanie nr 28 · Matura 2021
Sześciowyrazowy ciąg liczbowy \((1;2;2x;x+2;5;6)\) jest niemalejący. Mediana tego ciągu jest równa \(4\). Wynika stąd, że:
A\(x=1\)
B\(x=\frac{3}{2}\)
C\(x=2\)
D\(x=\frac{8}{3}\)
Przystępując do liczenia mediany musimy zawsze uporządkować ciąg w porządku niemalejącym. Ten ciąg jest właśnie niemalejący, więc niczego tutaj już nie musimy przestawiać.
Nasz ciąg jest sześciowyrazowy, czyli ma parzystą liczbę wyrazów. To oznacza, że medianę wyliczymy ze średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów. Środkowymi wyrazami są \(2x\) oraz \(x+2\), a sama mediana jest równa \(4\), zatem:
$$\frac{2x+x+2}{2}=4$$
$$3x+2=8$$
$$3x=6$$
$$x=2$$
Zadanie nr 5 · Matura 2020
W zestawie 250 liczb występują jedynie liczby 4 i 2. Liczba 4 występuje 128 razy, a liczba 2 występuje 122 razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby 3. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy:
A0,024
B0,24
C0,0024
D0,00024
Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej zestawu liczb.
Na początek musimy poznać dokładną wartość średniej arytmetycznej zestawu naszych liczb. Skoro mamy \(128\) razy liczbę \(4\) i \(122\) razy liczbę \(2\), to średnia będzie równa:
$$\bar{a}=\frac{128\cdot4+122\cdot2}{250}$$
$$\bar{a}=\frac{512+244}{250}$$
$$\bar{a}=\frac{756}{250}$$
$$\bar{a}=3,024$$
W powyższym wzorze \(Δx\) to błąd bezwzględny, \(x\) to wartość dokładna, natomiast \(p\) to wartość przybliżona. Wiemy już, że dokładna średnia jest równa \(x=3,024\), natomiast wartość przybliżona to \(p=3\), zatem:
$$Δx=|3,024-3|$$
$$Δx=|0,024|$$
$$Δx=0,024$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2020
Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) jest równa \(9\). Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa:
A\(8\)
B\(9\)
C\(10\)
D\(16\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z informacji, że średnia tych ośmiu liczb jest równa \(9\) możemy zapisać, że:
$$\frac{x+2+4+6+8+10+12+14}{8}=9$$
$$\frac{x+56}{8}=9$$
$$x+56=72$$
$$x=16$$
Krok 2. Uporządkowanie wszystkich wyrazów.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej liczby do największej):
$$2,4,6,8,10,12,14,16$$
Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie osiem), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (czyli wyrazu czwartego i piątego), zatem:
$$m=\frac{8+10}{2}$$
$$m=\frac{18}{2}$$
$$m=9$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2020
Średnia arytmetyczna zestawu sześciu danych: \(2, 3, 4, 5, 6, x\) jest równa \(4\). Mediana tego zestawu wynosi:
A\(3,5\)
B\(4\)
C\(4,5\)
D\(5\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z informacji o tym, że średnia arytmetyczna naszych sześciu liczb jest równa \(4\) możemy zapisać, że:
$$\frac{2+3+4+5+6+x}{6}=4$$
$$\frac{20+x}{6}=4$$
$$20+x=24$$
$$x=4$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby przystąpić do liczenia mediany musimy uporządkować nasze liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej):
$$2,3,4,4,5,6$$
Mamy parzystą ilość liczb, zatem mediana będzie równa średniej arytmetycznej środkowych wyrazów. U nas środkowymi wyrazami są \(4\) oraz \(4\), zatem:
$$m=\frac{4+4}{2}$$
$$m=\frac{8}{2}$$
$$m=4$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2020
Ze zbioru liczb \(1, 8, 2, 8, 4, 8, 6\) usunięto jedną liczbę w ten sposób, że mediana otrzymanego zbioru liczb zmniejszyła się o \(1\). Wynika stąd, że usunięto liczbę:
A\(1\)
B\(8\)
C\(2\)
D\(6\)
Krok 1. Uporządkowanie zestawu liczb.
Aby rozpocząć jakiekolwiek obliczenia związane z medianą, musimy uporządkować ten zbiór i ustawić liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). W związku z tym nasz zbiór będzie wyglądał następująco:
$$1, 2, 4, 6, 8, 8, 8$$
Krok 2. Obliczenie bieżącej mediany.
Nasz zestaw liczby \(7\) liczb, więc medianą będzie po prostu środkowy wyraz. W tym przypadku środkowym wyrazem jest \(6\), zatem mediana jest równa \(6\).
Krok 3. Ustalenie, którą liczbę usunięto.
Wiemy, że z naszego zestawu usunięto jedną liczbę, zatem nowy zestaw ma już tylko \(6\) liczb. To oznacza, że nową medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów. Z treści zadania wynika, że po usunięciu tej liczby mediana zmniejszyła się o \(1\), czyli wynosi \(5\).
To prowadzi nas do wniosku, że środkowymi wyrazami muszą być \(4\) oraz \(6\), bo wtedy \(m=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5\). Aby \(4\) oraz \(6\) były środkowymi liczbami, to z zestawu musimy usunąć jedną z ósemek i taka też będzie nasza odpowiedź.
Zadanie nr 23 · Matura 2020
Cztery liczby: \(2, 3, a, 8\), tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: \(5, 3, 6, 8, 2\). Zatem:
A\(a=7\)
B\(a=6\)
C\(a=5\)
D\(a=4\)
Krok 1. Obliczenie mediany zestawy pięciu liczb.
Aby obliczyć medianę zestawu \(5, 3, 6, 8, 2\) musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym (od najmniejszej do największej):
$$2, 3, 5, 6, 8$$
Mamy nieparzystą ilość liczb, zatem mediana będzie równa środkowej wartości. W tym przypadku środkową liczbą jest \(5\), zatem \(m=5\).
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Wracamy do naszego pierwszego zestawu czterech liczb \(2, 3, a, 8\). Wiemy już, że ten zestaw jest uporządkowany rosnąco, co jest niezwykle ważne przy wyznaczeniu mediany. Chcemy, by mediana tego zestawu była równa \(5\). Ten zestaw ma parzystą ilość wyrazów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb. Skoro tak, to otrzymamy równanie:
$$5=\frac{3+a}{2}$$
$$10=3+a$$
$$a=7$$
Zadanie nr 23 · Matura 2019
Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych \(3,10,5,x,x,x,x,12,19,7\) jest równa \(12\). Mediana tych liczb jest równa:
A\(14\)
B\(12\)
C\(16\)
D\(x\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Mamy dziesięć liczb, z czego cztery kryją się pod niewiadomą \(x\). Gdyby te niewiadome liczby były zapisane np. jako \(a,b,c,d\) to moglibyśmy przypuszczać, że każda z tych liczb jest różna. Skoro jednak wszystkie niewiadome uzyskały ten sam symbol \(x\) to jest to dla nas znak, że pod każdą z tych liczb kryje się ta sama wartość i my ją sobie teraz wyznaczymy.
Korzystając zatem ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{3+10+5+x+x+x+x+12+19+7}{10}=12$$
$$\frac{56+4x}{10}=12$$
$$56+4x=120$$
$$4x=64$$
$$x=16$$
Krok 2. Zapisanie liczb w porządku niemalejącym.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany musimy uporządkować te liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Otrzymamy zatem następującą sytuację:
$$3,5,7,10,12,16,16,16,16,19$$
Krok 3. Obliczenie mediany.
Mamy parzystą ilość liczb, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną wartości środkowych wyrazów. W tym przypadku skoro mamy \(10\) liczb, to mediana będzie średnią arytmetyczną wartości piątej i szóstej liczby, czyli:
$$m=\frac{12+16}{2}$$
$$m=\frac{28}{2}$$
$$m=14$$
Zadanie nr 21 · Próbny 2019
Mediana uporządkowanego zestawu danych: \(4, 6, a, b, 8, 9\) wynosi \(7,5\). Brakującymi wartościami \(a\) i \(b\) mogą być:
A\(a=6, b=6\)
B\(a=6, b=7\)
C\(a=6, b=8\)
D\(a=7, b=8\)
Wiemy, że nasz zestaw danych jest uporządkowany. Zestaw ma parzystą ilość wyrazów, zatem medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów. W tym przypadku środkowymi wyrazami są właśnie \(a\) oraz \(b\). Wiemy, że mediana musi być równa \(7,5\), zatem:
$$\frac{a+b}{2}=7,5$$
$$a+b=15$$
To oznacza, że szukamy takich liczb \(a\) oraz \(b\), których suma daje wynik równy \(15\) (biorąc oczywiście pod uwagę fakt, że jedna i druga liczba musi być większa lub równa \(6\) i mniejsza lub równa \(8\)). Pasującą parą liczb będzie w takim razie ta z ostatniej odpowiedzi, czyli \(a=7, b=8\) bo tylko tutaj suma liczb jest równa \(15\).
Zadanie nr 25 · Próbny 2019
Rzucono \(10\) razy standardową sześcienną kostką do gry. Średnia arytmetyczna liczb oczek uzyskanych w pierwszych \(6\) rzutach była równa \(3,5\), a średnia arytmetyczna liczb oczek uzyskanych w kolejnych \(4\) rzutach to \(4,5\). Średnia arytmetyczna liczb oczek w \(10\) rzutach wynosi:
A\(4,1\)
B\(4,0\)
C\(3,9\)
D\(3,8\)
Krok 1. Obliczenie sumy oczek w pierwszych sześciu rzutach.
Skoro średnia arytmetyczna pierwszych sześciu rzutów jest równa \(3,5\), to suma wszystkich oczek jakie wypadły w tych rzutach będzie równa:
$$6\cdot3,5=21$$
Krok 2. Obliczenie sumy oczek w ostatnich czterech rzutach.
Skoro średnia arytmetyczna ostatnich czterech rzutów jest równa \(4,5\), to suma wszystkich oczek jakie wypadły w tych rzutach będzie równa:
$$4\cdot4,5=18$$
Krok 3. Obliczenie średniej arytmetycznej wszystkich rzutów.
Z informacji obliczonych w pierwszym i drugim kroku wynika, że w dziesięciu rzutach wyrzuciliśmy \(21+18=39\) oczek. To oznacza, że średnia arytmetyczna liczby oczek jest równa:
$$śr=\frac{39}{10}$$
$$śr=3,9$$
Zadanie nr 23 · Matura 2019
Mediana zestawu sześciu danych liczb: \(4, 8, 21, a, 16, 25\), jest równa \(14\). Zatem:
A\(a=7\)
B\(a=12\)
C\(a=14\)
D\(a=20\)
To zadanie możemy oczywiście rozwiązać w ten sposób, że podstawimy sobie podane w odpowiedziach wartości \(a\) i sprawdzimy kiedy otrzymamy pożądaną medianę. Możemy do tego też poedjść nieco bardziej matematycznie (a w zasadzie analitycznie):
Krok 1. Uszeregowanie liczb.
Aby obliczać medianę musimy uszeregować liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Liczby \(a\) nie znamy, więc na razie ją pomijamy:
$$4,8,16,21,25$$
Krok 2. Analiza wartości niewiadomej \(a\).
Wiemy, że nasz zestaw ma \(6\) liczb, czyli mediana będzie równa średniej arytmetycznej trzeciego i czwartego wyrazu. Jak \(a\) byłoby liczbą mniejszą lub równą \(8\), to trzecim wyrazem byłaby liczba \(8\), a czwartym \(16\), czyli mielibyśmy medianę równą:
$$\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12$$
Taki wariant więc odrzucamy.
Tak samo odrzucamy wariant kiedy \(a\) jest większe od \(21\), bo wtedy trzeci wyraz byłby równy \(16\), a czwarty \(21\), zatem mediana byłaby równa:
$$\frac{16+21}{2}=\frac{37}{2}=18,5$$
Ten wariant także odrzucamy.
To oznacza, że nasze \(a\) musi brać udział w liczeniu mediany, czyli musi być tym trzecim lub czwartym wyrazem, zatem możemy ułożyć równanie:
$$\frac{a+16}{2}=14$$
$$a+16=28$$
$$a=12$$
Mediana będzie więc równa \(14\) tylko wtedy, gdy \(a=12\).
Zadanie nr 32 · Matura 2019
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=-4\) , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\) jest równa \(16\).
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=-78\).
Krok 1. Obliczenie sumy sześciu wyrazów tego ciągu.
Skoro średnia arytmetyczna sześciu wyrazów tego ciągu jest równa \(16\), to znaczy że:
$$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{6}=16$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=96$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy rozpisać każdy z kolejnych wyrazów w następujący sposób:
\(a_{1}\)
\(a_{2}=a_{1}+r\)
\(a_{3}=a_{1}+2r\)
\(a_{4}=a_{1}+3r\)
\(a_{5}=a_{1}+4r\)
\(a_{6}=a_{1}+5r\)
Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r+a_{1}+5r=96$$
$$6a_{1}+15r=96$$
Z treści zadania wynika, że \(r=-4\), zatem mamy:
$$6a_{1}+15\cdot(-4)=96$$
$$6a_{1}-60=96$$
$$6a_{1}=156$$
$$a_{1}=26$$
Krok 3. Obliczenie wartości \(k\) dla której \(a_{k}=-78\).
Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie który wyraz tego ciągu jest równy \(-78\), wiedząc że \(a_{1}=26\) oraz \(r=-4\). Możemy to zrobić korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W zasadzie w tym wzorze zamiast symbolu \(n\) możemy użyć symbolu \(k\), tak aby dopasować się do treści zapisu z zadania, zatem:
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r$$
$$-78=26+(k-1)\cdot(-4)$$
$$-78=26-4k+4$$
$$-78=30-4k$$
$$-4k=-108$$
$$k=27$$
Zadanie nr 24 · Matura 2018
Abiturient jednego z liceów zestawił w tabeli oceny ze swojego świadectwa ukończenia szkoły.
Mediana przedstawionego zestawu danych jest równa:
A\(3\)
B\(3,5\)
C\(4\)
D\(4,5\)
Krok 1. Zapisanie ocen w porządku niemalejącym.
Aby przystąpić do obliczenia mediany musimy ułożyć oceny od najmniejszej do największej, zatem:
$$2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,6,6$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Wszystkich ocen mamy łącznie \(2+3+5+5+1=16\). To oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną ósmej i dziewiątej oceny zapisanej w ciągu z kroku pierwszego. Ósmą i dziewiątą oceną jest czwórka, zatem:
$$m=\frac{4+4}{2}$$
$$m=\frac{8}{2}$$
$$m=4$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2018
Na dwa tygodnie przed egzaminem maturalnym uczniom klas trzecich pewnego liceum zadano pytanie: „Ile godzin dziennie poświęcasz nauce?”. Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie kołowym.
Wskaż średnią liczbę godzin przeznaczonych przez uczniów tej szkoły na naukę.
A\(4,5\)
B\(4,9\)
C\(5\)
D\(5,2\)
Korzystając z informacji zawartych na diagramie możemy zapisać, że średnia liczba godzin będzie równa:
$$0,1\cdot3h+0,3\cdot4h+0,3\cdot5h+0,25\cdot6h+0,05\cdot8h=$$
$$=0,3h+1,2h+1,5h+1,5h+0,4h=4,9h$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2018
Średnia arytmetyczna zestawu liczb \(5, 8, 1, 3, x, 8\) wynosi \(6\). Mediana tego zestawu jest równa:
A\(2\)
B\(6\frac{1}{2}\)
C\(4\)
D\(8\)
Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Mamy sześć cyfr i ich średnia arytmetyczna jest równa \(6\). Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{5+8+1+3+x+8}{6}=6$$
$$\frac{25+x}{6}=6$$
$$25+x=36$$
$$x=11$$
Krok 2. Uporządkowanie wszystkich liczb.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w porządku niemalejącym, czyli w kolejności od najmniejszej do największej, zatem:
$$1,3,5,8,8,11$$
Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Mamy sześć liczb, czyli jest to parzysta ilość wyrazów. To oznacza, że medianą jest średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów, zatem:
$$m=\frac{5+8}{2}$$
$$m=\frac{13}{2}$$
$$m=6,5$$
Zadanie nr 22 · Matura 2018
Wśród \(100\) osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.
Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa:
A\(0,5\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(2,5\)
Krok 1. Obliczenie liczby książek przeczytanych przez ankietowanych.
Zgodnie z informacjami w tabelce liczba książek przeczytanych przez ankietowanych jest równa:
$$23\cdot0+14\cdot1+28\cdot2+17\cdot3+11\cdot4+7\cdot5=$$
$$=0+14+56+51+44+35=200$$
Krok 2. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Skoro \(100\) osób przeczytało \(200\) książek, to średnia liczba książek przeczytanych przez ankietowanych jest równa:
$$\frac{200}{100}=2$$
Zadanie nr 23 · Matura 2017
Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14\) jest równa \(9\). Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa:
A\(8\)
B\(9\)
C\(10\)
D\(16\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Korzystając z informacji, że średnia tych ośmiu liczb jest równa \(9\) możemy zapisać, że:
$$\frac{x+2+4+6+8+10+12+14}{8}=9$$
$$\frac{x+56}{8}=9$$
$$x+56=72$$
$$x=16$$
Krok 2. Uporządkowanie wszystkich wyrazów.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej liczby do największej):
$$2,4,6,8,10,12,14,16$$
Krok 3. Wyznaczenie mediany.
Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie osiem), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (czyli wyrazu czwartego i piątego), zatem:
$$m=\frac{8+10}{2}$$
$$m=\frac{18}{2}$$
$$m=9$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2017
W tabeli podano oceny z matematyki pewnego ucznia.
Średnia ważona tego zestawu danych w zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku jest równa:
A\(2,67\)
B\(3,38\)
C\(3,43\)
D\(4,89\)
Aby obliczyć średnią ważoną musimy w liczniku dodawać do siebie iloczyny wag i ocen, a w mianowniku musimy dać sumę wszystkich wag. Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$śr=\frac{1\cdot5+1\cdot1+2\cdot4+2\cdot2+3\cdot4+3\cdot3+1\cdot5}{1+1+2+2+3+3+1}$$
$$śr=\frac{5+1+8+4+12+9+5}{13}$$
$$śr=\frac{44}{13}$$
$$śr\approx3,38$$
Zadanie nr 24 · Matura 2017
Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: \(3,5,7,9,x,15,17,19\) jest równa \(11\). Wtedy:
A\(x=1\)
B\(x=2\)
C\(x=11\)
D\(x=13\)
Ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{3+5+7+9+x+15+17+19}{8}=11$$
$$\frac{75+x}{8}=11 \quad\bigg/\cdot8$$
$$75+x=88$$
$$x=13$$
Zadanie nr 23 · Matura 2016
Jeżeli do zestawu czterech danych: \(4, 7, 8, x\) dołączymy liczbę \(2\), to średnia arytmetyczna wzrośnie o \(2\). Zatem:
A\(x=-51\)
B\(x=-6\)
C\(x=10\)
D\(x=29\)
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest stworzenie poprawnego równania. Bardzo wiele osób tutaj popełnia spory błąd, dlatego omówmy to sobie dość dokładnie. Skoro wartość drugiej średniej będzie większa o \(2\), to aby postawić znak równości między tymi średnimi to musimy dodać dwójkę do pierwszej z nich. Przykładowo gdyby chcieć to pokazać na liczbach, to jeżeli \(\overline{x_{1}}=10\) oraz \(\overline{x_{2}}=12\), to prawidłowe będzie równanie \(\overline{x_{1}}+2=\overline{x_{2}}\).
Mając na uwadze powyższą sugestię możemy to zapisać w taki sposób:
$$\overline{x_{1}}+2=\overline{x_{2}}$$
$$\frac{4+7+8+x}{4}+2=\frac{4+7+8+x+2}{5}$$
$$\frac{19+x}{4}+2=\frac{21+x}{5} \quad\bigg/\cdot20$$
$$5\cdot(19+x)+40=4\cdot(21+x)$$
$$95+5x+40=84+4x$$
$$x=84-95-40$$
$$x=-51$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2016
W listopadzie pensja pana Jana była o \(10\%\) większa niż w październiku. W grudniu pensja pana Jana zmalała i wynosiła o \(40\%\) mniej niż w październiku. Średnia arytmetyczna pensji pana Jana w październiku, listopadzie i grudniu była:
Ao \(10\%\) mniejsza niż w październiku
Bo \(15\%\) mniejsza niż w październiku
Co \(20\%\) mniejsza niż w październiku
Do \(5\%\) większa niż w październiku
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
\(x\) - pensja w październiku
\(1,1x\) - pensja w listopadzie
\(0,6x\) - pensja w grudniu
Krok 2. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Średnia arytmetyczna pensji wynosi:
$$\frac{x+1,1x+0,6x}{3}=\frac{2,7x}{3}=0,9x$$
Skoro w październiku pan Jan zarabiał \(x\), a średnia zarobków z trzech miesięcy jest równa \(0,9x\), to znaczy że średnia pensja jest o \(10\%\) mniejsza niż pensja październikowa.
Zadanie nr 22 · Matura 2016
Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(x-1\), \(\;3x\), \(\;5x+1\) i \(7x\) jest równa \(72\). Wynika stąd, że:
A\(x=9\)
B\(x=10\)
C\(x=17\)
D\(x=18\)
Z treści zadania układamy następujące równanie:
$$\frac{(x-1)+(3x)+(5x+1)+(7x)}{4}=72$$
$$16x=288$$
$$x=18$$
Zadanie nr 25 · Matura 2016
Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\) jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa:
A\(26\)
B\(27\)
C\(28\)
D\(29\)
Krok 1. Ułożenie poprawnego równania i wyznaczenie wartości \(x\).
Zgodnie z treścią zadania prawdziwa jest następująca równość:
$$\frac{31+16+25+29+27+x}{6}=\frac{x}{2}$$
$$\frac{128+x}{6}=\frac{x}{2} \quad\bigg/\cdot6$$
$$128+x=3x$$
$$2x=128$$
$$x=64$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby obliczyć naszą medianę musimy przede wszystkim ustawić nasze liczby w ciągu niemalejącym, bo tylko w ten sposób jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie:
$$16,25,27,29,31,64$$
Z racji tego, że mamy parzystą liczbę wyrazów, to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów:
$$m=\frac{27+29}{2}=\frac{56}{2}=28$$
Zadanie nr 24 · Matura 2015
Medianą zestawu danych \(9, 1, 4, x, 7, 9\) jest liczba \(8\). Wtedy \(x\) może być równe:
A\(8\)
B\(4\)
C\(7\)
D\(9\)
Aby obliczyć medianę musimy uporządkować liczby w kolejności rosnącej. Uporządkujmy zatem te wartości, które znamy:
$$1,4,7,9,9$$
Jeżeli do tego zestawu dodamy liczbę \(x\) to nasz zestaw będzie mieć \(6\) liczb. W związku z tym mediana będzie średnią arytmetyczną między trzecim i czwartym wyrazem. Już po wstępnej analizie powinniśmy dostrzec, że ta mediana będzie równa \(8\) w sytuacji w której \(x\) jest liczbą większą lub równą \(9\), ale jeżeli tego nie widzimy to możemy rozpatrzeć każdy przypadek po kolei:
Dla \(x=8\) mediana będzie równa \(\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}=7,5\)
Dla \(x=4\) mediana będzie równa \(\frac{4+7}{2}=\frac{11}{2}=5,5\)
Dla \(x=7\) mediana będzie równa \(\frac{7+7}{2}=\frac{14}{2}=7\)
Dla \(x=9\) mediana będzie równa \(\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}=8\)
W związku z tym poszukiwaną przez nas liczbą jest \(9\).
Zadanie nr 21 · Próbny 2015
Wszystkie oceny Ani z matematyki to \(5, 4, 6, 5, 5\) i nieznana ocena \(x\). Średnia arytmetyczna wszystkich ocen Ani jest większa niż ich mediana. Tą oceną może być:
A\(3\)
B\(4\)
C\(5\)
D\(6\)
Krok 1. Obliczenie średniej ocen Ani.
Na razie policzmy średnią ocen bez niewiadomej oceny \(x\). Mamy pięć znanych ocen, zatem:
$$śr=\frac{5+4+6+5+5}{5}$$
$$śr=\frac{25}{5}$$
$$śr=5$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany ocen.
Aby wyznaczyć medianę z pięciu znanych ocen musimy najpierw uszeregować wyniki w porządku niemalejącymi (czyli od najmniejszego do największego). Otrzymamy w ten sposób:
$$4,5,5,5,6$$
Liczba ocen jest nieparzysta, zatem mediana będzie równa wartości środkowego wyrazu, czyli \(m=5\).
Krok 3. Interpretacja wartości niewiadomej \(x\).
Spójrzmy na naszą medianę. Gdybyśmy dopisali jeszcze jedną liczbę, to otrzymamy parzystą ilość liczb, czyli medianę będziemy wyliczać ze średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów. Niezależnie od tego jaką ocenę byśmy Ani dopisali, to środkowymi wyrazami będą \(5\) oraz \(5\), zatem mediana po dodaniu niewiadomej \(x\) będzie i tak równa \(5\).
W związku z tym, skoro średnia arytmetyczna znanych ocen jest równa \(5\), a wiemy że średnia ma być większa od mediany, to niewiadoma \(x\) musi być większa od piątki, czyli to musi być po prostu szóstka. Otrzymamy wtedy:
$$śr=\frac{5+4+6+5+5+6}{6}$$
$$śr=\frac{31}{6}$$
$$śr\approx5,17$$
Zadanie nr 23 · Matura 2015
Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,4,7,8,x\) jest równa \(n\), natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2,4,7,8,x,2x\) jest równa \(2n\). Wynika stąd, że:
A\(x=49\)
B\(x=21\)
C\(x=14\)
D\(x=7\)
Krok 1. Utworzenie poprawnego układu równań.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać dwa równania, które razem stworzą układ równań:
\begin{cases} \frac{2+4+7+8+x}{5}=n \\ \frac{2+4+7+8+x+2x}{6}=2n \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Najprościej będzie chyba zastosować metodę podstawiania (podstawimy pierwsze równanie do drugiego), zatem otrzymamy:
$$\frac{2+4+7+8+x+2x}{6}=2\cdot\frac{2+4+7+8+x}{5}$$
$$\frac{21+3x}{6}=2\cdot\frac{21+x}{5} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}$$
$$\frac{21+3x}{12}=\frac{21+x}{5}$$
Mnożąc teraz na krzyż otrzymamy:
$$5\cdot(21+3x)=12\cdot(21+x)$$
$$105+15x=252+12x$$
$$3x=147$$
$$x=49$$
Zadanie nr 23 · Matura 2015
Medianą zestawu danych \(2, 3, 5, x, 1, 9\) jest liczba \(4\). Wtedy \(x\) może być równe:
A\(2\)
B\(3\)
C\(4\)
D\(5\)
Aby obliczyć medianę musimy uporządkować liczby w kolejności rosnącej. Uporządkujmy zatem te wartości, które znamy:
$$1,2,3,5,9$$
Jeżeli do tego zestawu dodamy jeszcze liczbę \(x\) to nasz zestaw będzie mieć \(6\) liczb. W związku z tym mediana będzie średnią arytmetyczną między trzecim i czwartym wyrazem. Już po wstępnej analizie powinniśmy dostrzec, że ta mediana będzie równa \(4\) w sytuacji w której \(x\) jest liczbą większą lub równą \(5\), ale jeżeli tego nie widzimy to możemy rozpatrzeć każdy przypadek po kolei:
Dla \(x=2\) mediana będzie równa \(\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}=2,5\)
Dla \(x=3\) mediana będzie równa \(\frac{3+3}{2}=\frac{6}{2}=3\)
Dla \(x=4\) mediana będzie równa \(\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3,5\)
Dla \(x=5\) mediana będzie równa \(\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4\)
W związku z tym poszukiwaną przez nas liczbą jest \(5\).
Zadanie nr 24 · Matura 2015
Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2, 4, 7, 8, 9\) jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2, 4, 7, 8, 9, x\). Wynika stąd, że:
A\(x=0\)
B\(x=3\)
C\(x=5\)
D\(x=6\)
Skoro średnie arytmetyczne są sobie równe, to możemy ułożyć proste równanie:
$$\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{2+4+7+8+9+x}{6}$$
$$\frac{30}{5}=\frac{30+x}{6}$$
$$6=\frac{30+x}{6}$$
$$36=30+x$$
$$x=6$$
Zadanie nr 24 · Matura 2015
Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2, 4, 7, 8, 9\) jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2, 4, 7, 8, 9, x\). Wynika stąd, że:
A\(x=0\)
B\(x=3\)
C\(x=5\)
D\(x=6\)
Skoro średnie arytmetyczne są sobie równe, to możemy ułożyć proste równanie:
$$\frac{2+4+7+8+9}{5}=\frac{2+4+7+8+9+x}{6}$$
$$\frac{30}{5}=\frac{30+x}{6}$$
$$6=\frac{30+x}{6}$$
$$36=30+x$$
$$x=6$$
Zadanie nr 25 · Matura 2014
Średnia arytmetyczna liczb: \(x,13,7,5,5,3,2,11\) jest równa \(7\). Mediana tego zestawu liczb jest równa:
A\(6\)
B\(7\)
C\(10\)
D\(5\)
Krok 1. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Zanim obliczymy medianę musimy poznać wartość niewiadomej \(x\). Zrobimy to układając proste równanie związane ze średnią arytmetyczną:
$$\frac{x+13+7+5+5+3+2+11}{8}=7$$
$$\frac{x+46}{8}=7 \quad\bigg/\cdot8$$
$$x+46=56$$
$$x=10$$
Krok 2. Uporządkowanie liczb i wyznaczenie mediany.
Zanim zaczniemy obliczać medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym:
$$2,3,5,5,7,10,11,13$$
Mamy parzystą liczbę wyrazów, więc medianę wyznaczymy w następujący sposób:
$$m=\frac{5+7}{2}$$
$$m=\frac{12}{2}$$
$$m=6$$
Zadanie nr 20 · Próbny 2014
Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(3, 8, 3, 11, 3, 10, 3, x\) jest równa \(6\). Mediana tego zestawu jest równa:
A\(5\)
B\(6\)
C\(7\)
D\(8\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Do obliczenia niewiadomej \(x\) skorzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną. Wszystkich liczb (łącznie z niewiadomą \(x\)) mamy osiem, zatem:
$$\frac{3+8+3+11+3+10+3+x}{8}=6$$
$$\frac{41+x}{8}=6$$
$$41+x=48$$
$$x=7$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby móc obliczyć medianę musimy najpierw uporządkować wyrazy w kolejności niemalejącej:
$$3, 3, 3, 3, 7, 8, 10, 11$$
Mamy parzystą liczbę wyrazów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb:
$$m=\frac{3+7}{2}$$
$$m=\frac{10}{2}$$
$$m=5$$
Zadanie nr 15 · Matura 2014
Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej \(40\) studentów, jest równa \(30\). Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie \(1800\) punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy:
A\(20\) pkt
B\(30\) pkt
C\(50\) pkt
D\(60\) pkt
Krok 1. Obliczenie sumy punktów uzyskanych przez I grupę.
Skoro było \(40\) studentów, a każdy uzyskał średnio \(30\) punktów, to łącznie uzyskali:
$$S_{1}=40\cdot30=1200$$
Krok 2. Obliczenie średniego wyniku z egzaminu.
Musimy dodać do siebie sumę punktów pierwszej i drugiej grupy i podzielić ją przez łączną liczbę studentów, zatem:
$$\overline{x}=\frac{1200+1800}{40+20}$$
$$\overline{x}=\frac{3000}{60}$$
$$\overline{x}=50$$
Zadanie nr 25 · Matura 2014
Mediana zestawu danych \(2, 12, a, 10, 5, 3\) jest równa \(7\). Wówczas:
A\(a=4\)
B\(a=6\)
C\(a=7\)
D\(a=9\)
Krok 1. Uporządkowanie zestawu danych.
Aby móc przystąpić do obliczeń z medianą musimy na wstępie uporządkować wszystkie wyrazy ciągu w porządku niemalejącym. Uporządkujmy sobie na wstępie wszystkie wartości które znamy (czyli bez \(a\)):
$$2,3,5,10,12$$
W tej sytuacji mediana jest równa \(5\). My wiemy, że po dodaniu do tego zestawu liczby \(a\) mediana musi być równa \(7\). Musimy więc przeanalizować gdzie to nasze \(a\) może się znaleźć. Gdyby \(a\) było mniejsze od \(5\), to mediana byłaby mniejsza od \(5\). Gdyby \(a\) było większe od \(10\), to mediana byłaby równa \(\frac{5+10}{2}=7\frac{1}{2}\). Jedyną więc możliwością jest sytuacja, w której \(a\) znajdzie się między piątką i dziesiątką. Stąd też:
$$2,3,5,a,10,12$$
Krok 2. Obliczenie parametru \(a\) na podstawie mediany.
Mamy parzystą liczbę wyrazów naszego zestawu, więc medianę obliczymy jako średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W ten oto sposób uda nam się wyznaczyć wartość \(a\):
$$mediana=\frac{5+a}{2}$$
$$7=\frac{5+a}{2}$$
$$14=5+a$$
$$a=9$$
Podpowiedź: Oczywiście nic nie stoi też na przeszkodzie, by podstawić pod \(a\) każdą z czterech odpowiedzi i tym samym sprawdzić kiedy mediana będzie równa \(7\).
Zadanie nr 29 · Matura 2013
W tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru.
Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa \(3,6\). Oblicz liczbę \(x\) ocen bardzo dobrych \((5)\) z matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.
Musimy ułożyć odpowiednie równanie, dokładnie tak jak chcielibyśmy obliczyć średnią arytmetyczną. Otrzymamy wtedy:
$$\frac{0\cdot1+4\cdot2+9\cdot3+13\cdot4+x\cdot5+1\cdot6}{0+4+9+13+x+1}=3,6$$
$$\frac{93+5x}{27+x}=3,6 \quad\bigg/\cdot(27+x)$$
$$93+5x=3,6\cdot(27+x)$$
$$93+5x=97,2+3,6x$$
$$1,4x=4,2$$
$$x=3$$
To oznacza, że trzy osoby otrzymały ocenę bardzo dobrą.
Zadanie nr 22 · Matura 2013
Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na poniższym diagramie.
Średnia ocen uzyskanych przez uczniów z tego sprawdzianu jest równa:
A\(2\)
B\(3\)
C\(3,5\)
D\(4\)
Łącznie wszystkich uczniów jest:
$$1+5+7+8+3+2=26$$
W związku z tym ich średnia ocen będzie równa:
$$\overline{x}=\frac{1\cdot1+5\cdot2+7\cdot3+8\cdot4+3\cdot5+2\cdot6}{26}$$
$$\overline{x}=\frac{1+10+21+32+15+12}{26}$$
$$\overline{x}=\frac{91}{26}$$
$$\overline{x}=3,5$$
Zadanie nr 24 · Matura 2013
Mediana uporządkowanego, niemalejącego zestawu liczb: \(1,2,3,x,5,8\) jest równa \(4\). Wtedy:
A\(x=2\)
B\(x=3\)
C\(x=4\)
D\(x=5\)
Nasz ciąg składa się z sześciu liczb (czyli mamy parzystą liczbę wyrazów), stąd też mediana będzie średnią arytmetyczną trzeciej i czwartej liczby. To pozwala nam utworzyć równanie:
$$\frac{3+x}{2}=4$$
$$3+x=8$$
$$x=5$$
Zadanie nr 24 · Matura 2012
Pewna firma zatrudnia \(6\) osób. Dyrektor zarabia \(8000zł\), a pensje pozostałych pracowników są równe: \(2000zł, 2800zł, 3400zł, 3600zł, 4200zł\). Mediana zarobków tych \(6\) osób jest równa:
A\(3400zł\)
B\(3500zł\)
C\(6000zł\)
D\(7000zł\)
Krok 1. Uporządkowanie w kolejności niemalejącej zarobków pracowników.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany zawsze musimy najpierw uporządkować liczby w porządku niemalejącym, zatem:
$$2000, 2800, 3400, 3600, 4200, 8000$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
Nasz ciąg liczb składa się z sześciu wyrazów (czyli jest to parzysta ilość), zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów:
$$m=\frac{3400+3600}{2}$$
$$m=\frac{7000}{2}$$
$$m=3500$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2012
Średni wzrost sportowców w drużynie siatkarskiej, liczącej \(6\) chłopców, wynosił \(174\) cm. Po przyjęciu do zespołu dwóch braci o tej samej wysokości średnia wzrostu zwiększyła się o \(0,5\) cm. Oblicz, jak wysocy są bracia.
Krok 1. Obliczenie sumy wzrostu drużyny przed przyjęciem braci.
Skoro było \(6\) chłopców, a każdy z nich miał średnio \(174cm\), to łącznie wszyscy mieli:
$$6\cdot174cm=1044cm$$
Krok 2. Obliczenie sumy wzrostu drużyny po przyjęciu braci.
Po przyjęciu braci drużyna liczby \(8\) osób i jej średnia wzrostu wynosi \(174,5cm\). W związku z tym wszyscy łącznie mają:
$$8\cdot174,5cm=1396cm$$
Krok 3. Obliczenie wzrostu braci.
Razem bracia mają:
$$1396cm-1044cm=352cm$$
Skoro bracia są tego samego wzrostu, to każdy z nich ma:
$$352cm:2=176cm$$
Zadanie nr 20 · Matura 2012
W kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: \(6,3,1,2,5,5\). Mediana tych wyników jest równa:
A\(3\)
B\(3,5\)
C\(4\)
D\(5\)
Krok 1. Uporządkowanie wszystkich wyrazów.
Aby móc przystąpić do obliczenia mediany koniecznie musimy ustawić wszystkie wyniki w porządku niemalejącym:
$$1,2,3,5,5,6$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Z racji tego, iż jest parzysta liczba wszystkich wyrazów (jest ich dokładnie sześć), to medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów, zatem:
$$m=\frac{3+5}{2}$$
$$m=\frac{8}{2}$$
$$m=4$$
Zadanie nr 26 · Matura 2012
Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa \(23\) lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa \(24\) lata. Opiekun ma \(39\) lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
\(s\) - suma lat wszystkich studentów
\(n\) - liczba studentów
\(s+39\) - suma lat wszystkich studentów i opiekuna
\(n+1\) - liczba studentów wraz z opiekunem
Krok 2. Zbudowanie układu równań i rozwiązanie go.
Na podstawie danych z zadania możemy zapisać następujący układ równań:
\begin{cases} \frac{s}{n}=23 \quad\bigg/\cdot n \\ \frac{s+39}{n+1}=24 \quad\bigg/\cdot(n+1) \end{cases}\begin{cases} s=23n \\ s+39=24\cdot(n+1) \end{cases}\begin{cases} s=23n \\ s+39=24n+24 \end{cases}
Wartość z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego, otrzymując w ten sposób:
$$23n+39=24n+24$$
$$-n=-15$$
$$n=15$$
Zgodnie z naszym zapisem w pierwszym kroku \(n\) to łączna liczba studentów, zatem w grupie było \(15\) studentów.
Zadanie nr 25 · Matura 2012
Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa \(500zł\). Za pięć z tych akcji zapłacono \(2300zł\). Cena szóstej jest równa:
A\(400zł\)
B\(500zł\)
C\(600zł\)
D\(700zł\)
\(\overline{x}\) - średnia cena akcji
\(x_{1}, x_{2}...\) - ceny poszczególnych akcji
$$\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}$$
Z treści zadania wynika, że za pięć akcji zapłacono \(2300\), czyli:
$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=2300$$
Wiemy też, że średnia cena akcji jest równa \(500\). Podstawiając te informacje do wzoru na średnią otrzymamy:
$$500=\frac{2300+x_{6}}{6}$$
$$3000=2300+x_{6}$$
$$x_{6}=700$$
Zadanie nr 18 · Matura 2011
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(3, 1, 1, 0, x, 2\) jest równa \(2\). Wtedy liczba \(x\) jest równa:
A\(3\)
B\(4\)
C\(5\)
D\(6\)
Układając równanie na podstawie średniej arytmetycznej sześciu liczb otrzymamy:
$$\frac{3+1+1+0+x+2}{6}=2$$
$$\frac{7+x}{6}=2$$
$$7+x=12$$
$$x=5$$
Zadanie nr 18 · Próbny 2011
Mediana danych: \(-4, 2, 6, 0, 1\) jest równa:
A\(6\)
B\(0\)
C\(2,5\)
D\(1\)
Krok 1. Uporządkowanie wszystkich liczb.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować liczby w kolejności od najmniejszej do największej, zatem:
$$-4,0,1,2,6$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Mamy pięć liczb, czyli jest to nieparzysta ilość wyrazów. To oznacza, że medianą jest po prostu środkowy wyraz (czyli w tym przypadku trzeci), zatem \(m=1\).
Zadanie nr 28 · Matura 2011
Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
Oblicz medianę i średnią arytmetyczną uzyskanych ocen.
Krok 1. Uporządkowanie ocen w porządku niemalejącym.
Aby obliczyć medianę musimy na początku uporządkować uzyskane oceny w porządku rosnącym (a precyzyjniej w porządku niemalejącym). Korzystając z tabeli możemy odczytać, że jedynkę otrzymało dwóch uczniów, dwójkę czterech uczniów itd., zatem:
$$1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,6$$
Krok 2. Wyznaczenie mediany.
Wszystkich uczniów jest \(1+2+6+5+4+2=20\). Jest to parzysta ilość, zatem medianą będzie średnia arytmetyczna \(10\)-tego oraz \(11\)-tego wyrazu w ciągu który sobie wypisaliśmy w pierwszym kroku. Dziesiątym wyrazem jest liczba \(3\), jedenastym wyrazem jest także liczba \(3\), zatem mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+3}{2}=3$$
Krok 3. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć wartość średniej arytmetycznej musimy dodać do siebie wartości wszystkich zdobytych ocen i podzielić je przez liczbę wszystkich uczniów:
$$\bar{a}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot6+3\cdot5+2\cdot4+1\cdot2}{1+2+6+5+4+2}$$
$$\bar{a}=\frac{65}{20}$$
$$\bar{a}=3,25$$
Zadanie nr 23 · Matura 2011
Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: "Ile osób liczy twoja rodzina?" Wyniki przedstawiono w tabeli:
$$
\begin{array}{c|c} \text{Liczba osób w rodzinie} & \text{Liczba uczniów} \\ \hline 3 & 6 \\ 4 & 12 \\ x & 2 \end{array}
$$
Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa \(4\). Wtedy liczba \(x\) jest równa:
A\(3\)
B\(4\)
C\(5\)
D\(7\)
Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie wszystkich danych do standardowego wzoru na średnią arytmetyczną, pamiętając o tym, że trzeba odpowiednio wymnożyć liczbę dzieci przez liczbę posiadanego rodzeństwa. W ten sposób powstanie nam równanie, które po prostu musimy rozwiązać, tak więc:
$$\frac{3\cdot6+4\cdot12+x\cdot2}{6+12+2}=4$$
$$\frac{18+48+2x}{20}=4 \quad\bigg/\cdot20$$
$$66+2x=80$$
$$2x=14$$
$$x=7$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2010
W czterech rzutach sześcienną kostką do gry otrzymano następujące liczby oczek: \(6, 3, 1, 4\). Mediana tych danych jest równa:
A\(2\)
B\(2,5\)
C\(5\)
D\(3,5\)
Krok 1. Uporządkowanie wyników rzutu kostką.
Aby obliczyć medianę musimy najpierw ustawić wyniki z rzutów w porządku niemalejącym, zatem:
$$1,3,4,6$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
W przypadku ciągu, który ma nieparzystą liczbę elementów, medianą jest środkowy wyraz. Nasz ciąg ma jednak parzystą liczbę elementów (dokładnie cztery), a więc aby uzyskać medianę musimy obliczyć średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W naszym przypadku środkowymi wyrazami są \(3\) oraz \(4\), tak więc mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2010
Średnia arytmetyczna wzrostu czterech chłopców jest równa \(170cm\). Chłopcy mają: \(150cm\), \(170cm\), \(185cm\), \(x\;cm\). Najwyższy chłopiec mierzy:
A\(180cm\)
B\(190cm\)
C\(195cm\)
D\(185cm\)
Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Układając równanie ze średnią arytmetyczną otrzymamy:
$$\frac{150+170+185+x}{4}=170$$
$$505+x=680$$
$$x=175$$
Krok 2. Wybór właściwej odpowiedzi.
Udało nam się obliczyć, że czwarty chłopiec ma \(175cm\), a tym samym możemy stwierdzić, że najwyższy chłopiec mierzy \(185cm\).
Zadanie nr 25 · Matura 2010
W czterech rzutach sześcienną kostką do gry otrzymano następujące liczby oczek: \(6, 3, 1, 4\). Mediana tych danych jest równa:
A\(2\)
B\(2,5\)
C\(5\)
D\(3,5\)
Krok 1. Uporządkowanie wyników rzutu kostką.
Aby obliczyć medianę musimy najpierw ustawić wyniki z rzutów w porządku niemalejącym, zatem:
$$1,3,4,6$$
Krok 2. Obliczenie mediany.
W przypadku ciągu, który ma nieparzystą liczbę elementów, medianą jest środkowy wyraz. Nasz ciąg ma jednak parzystą liczbę elementów (dokładnie cztery), a więc aby uzyskać medianę musimy obliczyć średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów. W naszym przypadku środkowymi wyrazami są \(3\) oraz \(4\), tak więc mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2}=3,5$$
Zadanie nr 25 · Matura 2010
Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb \(x,3,1,4,1,5,1,4,1,5\) jest równa \(3\). Wtedy:
A\(x=2\)
B\(x=3\)
C\(x=4\)
D\(x=5\)
Krok 1. Zapisanie odpowiedniego wzoru na średnią arytmetyczną.
Mamy \(10\) liczb, więc ich średnią arytmetyczną możemy zapisać wzorem:
$$\frac{x+3+1+4+1+5+1+4+1+5}{10}=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
$$\frac{x+3+1+4+1+5+1+4+1+5}{10}=3 \quad\bigg/\cdot10$$
$$x+25=30$$
$$x=5$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2009
Średnia arytmetyczna pięciu liczb: \(5, x, 1, 3, 1\) jest równa \(3\). Wtedy:
A\(x=2\)
B\(x=3\)
C\(x=4\)
D\(x=5\)
Układamy równanie ze średnią arytmetyczną pięciu liczb, którego rozwiązaniem będzie właśnie niewiadoma \(x\), zatem:
$$\frac{5+x+1+3+1}{5}=3 \quad\bigg/\cdot5$$
$$10+x=15$$
$$x=5$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2009
Na diagramie są przedstawione wyniki pomiaru wzrostu uczniów klasy 3d.
Ile osób w tej klasie ma wzrost powyżej średniego?
A\(6\)
B\(14\)
C\(21\)
D\(16\)
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich uczniów w klasie.
W klasie jest:
$$5+9+10+4+2=30\text{ uczniów}$$
Krok 2. Obliczenie średniego wzrostu.
Skorzystamy tutaj ze średniej arytmetycznej. W liczniku dodajemy do siebie wszystkie wyniki pomiaru wzrostu, a w mianowniku zapisujemy łączną liczbę uczniów:
$$śr=\frac{160\cdot5+165\cdot9+170\cdot10+175\cdot4+180\cdot2}{30}$$
$$śr=\frac{800+1485+1700+700+360}{30}$$
$$śr=\frac{5045}{30}$$
$$śr\approx168,2[cm]$$
Krok 3. Ustalenie ilu uczniów ma wzrost powyżej średniego.
Powyżej średniego wzrostu (czyli wzrost \(170cm\), \(175cm\) lub \(180cm\)) ma łącznie:
$$10+4+2=16\text{ uczniów}$$
Zadanie nr 30 · Matura
W pewnej grupie \(100\) uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.
Zadanie 1.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Mediana dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa \(2,25\) godziny. P/F
Połowa z tej grupy uczniów korzysta dziennie z komputera przez mniej niż \(2,5\) godziny. P/F
Zadanie 2.
Dominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa:
A. \(2,25\) godziny
B. \(2,50\) godziny
C. \(2,75\) godziny
D. \(1,50\) godziny
Zadanie 1.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z wykresu wynika, że liczba uczniów wynosi:
$$5+21+24+26+14+6+3+1=100$$
Liczba uczniów jest parzysta, zatem medianą będzie średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów. W tym przypadku środkowymi wyrazami będzie wyraz numer \(50\) i \(51\).
Obliczając medianę zawsze musimy mieć uporządkowany ciąg liczb w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej). Oczywiście nie będziemy tutaj wypisywać sobie tego ciągu liczb, tylko analizując wykres, spróbujemy określić który to wyraz jest tym o numerze \(50\) i \(51\). Widzimy, że uczniów korzystających z komputera przez \(1\) lub \(1,5\) lub \(2\) godziny jest łącznie \(5+21+24=50\) osób. To oznacza, że wyraz numer \(50\) jest równy \(2\), a wyraz numer \(51\) jest równy \(2,5\). To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{2+2,5}{2}$$
$$m=\frac{4,5}{2}$$
$$m=2,25$$
Pierwsze zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Ustaliliśmy już, że w sondażu wzięło udział \(100\) uczniów, z czego \(50\) z nich spędza przed komputerem \(1\) lub \(1,5\) lub \(2\) godziny. To oznacza, że faktycznie połowa uczniów korzysta z komputera mniej niż \(2,5\) godziny, zatem zdanie jest prawdą.
Zadanie 2.
Dominanta to wynik, który pojawia się najczęściej. Z wykresu wynika jasno, że najczęstszym wskazaniem były \(2,5\) godziny.
Zadanie nr 61 · Matura
Średnia arytmetyczna wieku czterech kobiet jest równa \(24\) lata. Średnia arytmetyczna wieku sześciu mężczyzn jest równa \(26\) lat. Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób jest równa:
A\(25\)
B\(25,2\)
C\(24,9\)
D\(25,5\)
Skoro średnia wieku czterech kobiet wynosi \(24\), to łącznie te kobiety mają \(4\cdot24=96\) lat. Analogicznie, skoro średnia wieku sześciu mężczyzn jest równa \(26\), to panowie mają łącznie \(6\cdot26=156\) lat. Łączny wiek wszystkich osób jest zatem równy:
$$96+156=252$$
Średnia arytmetyczna wieku tych dziesięciu osób będzie zatem równa:
$$śr=\frac{252}{10}$$
$$śr=25,2$$
📘Teoria 3
Średnia arytmetyczna (klasa 7 SP)
Definicja
Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez ich liczbę: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$.
Przykład
Średnia liczb $2,4,6$ to $\frac{2+4+6}{3}=4$.
Suma ze średniej
Jeśli średnia $n$ liczb wynosi $\bar{x}$, to ich suma równa się $n\cdot\bar{x}$.
Zastosowanie
Średnią liczymy np. dla ocen, temperatur czy wyników pomiarów.
Uczeń dostał oceny: $3$, $5$, $4$, $4$, $2$, $6$. Oblicz jego średnią.
Krok 1 — suma ocen:
$$3+5+4+4+2+6=24$$
Krok 2 — dzielimy przez liczbę ocen:
$$24:6=4$$
Odpowiedź: średnia wynosi $4$.
Zadanie nr 3
Średnia pięciu liczb wynosi $14$. Ile wynosi ich suma?
Przekształcamy wzór na średnią:
$$\text{suma}=\text{średnia}\cdot n=14\cdot5=70$$
Odpowiedź: $70$.
Zadanie nr 5
Średnia czterech liczb wynosi $15$. Trzy z nich to $12$, $18$ i $14$. Wyznacz czwartą liczbę.
Krok 1 — suma wszystkich czterech:
$$15\cdot4=60$$
Krok 2 — suma trzech znanych:
$$12+18+14=44$$
Krok 3 — czwarta liczba:
$$60-44=16$$
Sprawdzenie: $\frac{44+16}{4}=15$ ✔
Odpowiedź: $16$.
Zadanie nr 7
W tabeli podano liczbę godzin nauki w tygodniu: pon $2$, wt $3$, śr $1$, czw $4$, pt $0$. Oblicz średnią dzienną i podaj, w ilu dniach uczeń uczył się powyżej średniej.
Krok 1 — średnia:
$$\frac{2+3+1+4+0}{5}=\frac{10}{5}=2$$
Krok 2 — dni powyżej średniej. Sprawdzamy, które wartości są większe od $2$: wtorek ($3$) i czwartek ($4$).
Uwaga: poniedziałek ($2$) nie liczy się — jest równy średniej, a nie większy.
Odpowiedź: średnia $2$ godziny; w $2$ dniach powyżej średniej.
Zadanie nr 10
Średnia wzrostu $6$ chłopców wynosi $165$ cm. Do grupy dołączył chłopiec o wzroście $172$ cm. Jaka jest nowa średnia?
Krok 1 — suma przed zmianą:
$$165\cdot6=990\ \text{cm}$$
Krok 2 — nowa suma:
$$990+172=1162\ \text{cm}$$
Krok 3 — nowa średnia dla $7$ osób:
$$\frac{1162}{7}=166\ \text{cm}$$
Kontrola sensu: nowy chłopiec jest wyższy od średniej, więc średnia wzrosła ✔
Odpowiedź: $166$ cm.
Zadanie nr 12
W tabeli podano oceny klasy: ocena $2$ — $2$ osoby, $3$ — $7$ osób, $4$ — $9$ osób, $5$ — $2$ osoby. Ilu uczniów pisało sprawdzian i jaka jest średnia ocen?
Krok 1 — liczba uczniów:
$$2+7+9+2=20$$
Krok 2 — suma ocen (każdą ocenę mnożymy przez liczebność):
$$2\cdot2+3\cdot7+4\cdot9+5\cdot2=4+21+36+10=71$$
Krok 3 — średnia:
$$\frac{71}{20}=3{,}55$$
Odpowiedź: $20$ uczniów, średnia $3{,}55$.
Zadanie nr 13
Temperatury w kolejnych dniach: $18^\circ$, $21^\circ$, $19^\circ$, $22^\circ$, $20^\circ$. Oblicz średnią i rozstęp temperatur.
Krok 3 — mediana. Cztery elementy, więc średnia dwóch środkowych:
$$\frac{4+6}{2}=5$$
Warto zauważyć: mediana ($5$) jest tu mniejsza od średniej ($6$) — to typowe, gdy w danych jest wartość wyraźnie wyższa od reszty.
Odpowiedź: $x=4$, mediana $5$.
Zadanie nr 19
Firma zatrudnia $9$ pracowników zarabiających po $4000$ zł i prezesa z pensją $46\,000$ zł. Oblicz średnią i medianę zarobków. Która miara lepiej opisuje typową pensję?
Krok 2 — mediana. Uporządkowany zestaw to dziewięć razy $4000$ i raz $46\,000$. Przy dziesięciu elementach mediana to średnia piątej i szóstej wartości — obie wynoszą $4000$:
$$\text{mediana}=4000\ \text{zł}$$
Krok 3 — ocena. Średnia $8200$ zł nie opisuje nikogo: dziewięciu pracowników zarabia o połowę mniej, a prezes wielokrotnie więcej. Mediana $4000$ zł oddaje sytuację typowego pracownika.
Dlatego w raportach o zarobkach podaje się medianę — średnia bywa zniekształcona przez nieliczne bardzo wysokie pensje.
Odpowiedź: średnia $8200$ zł, mediana $4000$ zł; lepiej opisuje mediana.
Zadanie nr 20
Dwa zestawy mają tę samą średnią $10$. Pierwszy: $8$, $10$, $12$. Drugi: $2$, $10$, $18$. Oblicz odchylenia standardowe i wyjaśnij, co z nich wynika.
Wniosek. Ta sama średnia nie oznacza podobnych danych. Drugi zestaw jest czterokrotnie bardziej rozproszony — dokładnie tyle, ile wynosi stosunek odchyleń, bo wszystkie odległości od średniej są w nim cztery razy większe.
Praktyczny sens. Dlatego sama średnia to za mało do opisu danych. Dwie klasy mogą mieć identyczną średnią ocen, ale w jednej wyniki będą wyrównane, a w drugiej skrajne — i to odchylenie standardowe tę różnicę pokazuje.
Krok 4 — odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji:
$$\sigma=\sqrt{2}\approx1{,}41$$
Odpowiedź: $\sigma=\sqrt2\approx1{,}41$.
Zadanie nr 10
Do zestawu, w którym średnia wynosi $20$, dodano liczbę $20$. Jak zmieni się średnia?
Awzrośnie
Bzmaleje
Cwzrośnie dwukrotnie
Dnie zmieni się
Dodanie liczby równej dotychczasowej średniej nie zmienia średniej.
Uzasadnienie: jeśli suma $n$ liczb to $20n$, to po dodaniu $20$ mamy sumę $20n+20=20(n+1)$ i $n+1$ liczb, więc nowa średnia to $\frac{20(n+1)}{n+1}=20$.
Reguła: liczba większa od średniej ją podnosi, mniejsza obniża, równa — pozostawia bez zmian.
Odpowiedź: D. nie zmieni się.
Zadanie nr 11
W tabeli podano liczbę rodzeństwa uczniów: $0$ dzieci — $5$ uczniów, $1$ dziecko — $8$ uczniów, $2$ dzieci — $4$ uczniów, $3$ dzieci — $3$ uczniów. Oblicz średnią liczbę rodzeństwa.
Liczymy średnią ważoną — każdą wartość mnożymy przez jej liczebność.
Krok 1 — suma (liczba rodzeństwa razem):
$$0\cdot5+1\cdot8+2\cdot4+3\cdot3=0+8+8+9=25$$
Krok 2 — liczba uczniów:
$$5+8+4+3=20$$
Krok 3 — średnia:
$$\bar{x}=\frac{25}{20}=1{,}25$$
Odpowiedź: średnio $1{,}25$ rodzeństwa na ucznia.
Zadanie nr 12
Korzystając z danych z poprzedniego zadania, wyznacz dominantę i medianę liczby rodzeństwa.
Dominanta. Najwięcej uczniów ($8$) ma $1$ rodzeństwo, więc:
$$\text{dominanta}=1$$
Mediana. Uczniów jest $20$, więc mediana to średnia $10$. i $11$. wartości w uporządkowanym ciągu. Wypisujemy narastająco liczebności:
pozycje $1$–$5$: wartość $0$
pozycje $6$–$13$: wartość $1$
Zarówno $10$., jak i $11$. pozycja to $1$, więc:
$$\text{mediana}=\frac{1+1}{2}=1$$
Odpowiedź: dominanta $1$, mediana $1$.
Zadanie nr 13
Odchylenie standardowe zestawu wynosi $0$. Co to oznacza?
Awszystkie liczby są różne
Bwszystkie liczby są jednakowe
Cśrednia wynosi zero
Dmediana wynosi zero
Odchylenie standardowe mierzy rozproszenie danych wokół średniej. Zero oznacza brak rozproszenia — każda liczba jest równa średniej, czyli wszystkie są takie same.
Uzasadnienie: $\sigma=0$ wymaga, by każdy kwadrat odchylenia $(x_i-\bar{x})^2$ był zerem, a to znaczy $x_i=\bar{x}$ dla wszystkich elementów.
Odpowiedź: B. wszystkie liczby są jednakowe.
Zadanie nr 14
W grupie $8$ osób średni wiek to $30$ lat. Do grupy dołączyła osoba w wieku $57$ lat. Jaki jest teraz średni wiek?
Krok 1 — suma wieku przed zmianą:
$$30\cdot8=240$$
Krok 2 — nowa suma:
$$240+57=297$$
Krok 3 — nowa średnia dla $9$ osób:
$$\frac{297}{9}=33$$
Kontrola sensu: dołączyła osoba starsza od średniej, więc średnia wzrosła ✔
Odpowiedź: nowy średni wiek to $33$ lata.
Zadanie nr 15
Dwie grupy liczą odpowiednio $12$ i $8$ osób. Średnia wzrostu w pierwszej to $170$ cm, w drugiej $175$ cm. Oblicz średni wzrost wszystkich $20$ osób.
Uwaga: grupy mają różną liczebność, więc nie uśredniamy wprost $170$ i $175$.
Krok 1 — suma wzrostu w każdej grupie:
$$170\cdot12=2040,\qquad 175\cdot8=1400$$
Krok 2 — suma łączna i liczba osób:
$$2040+1400=3440,\qquad 12+8=20$$
Krok 3 — średnia:
$$\bar{x}=\frac{3440}{20}=172\ \text{cm}$$
Kontrola: wynik $172$ jest bliżej $170$ niż $175$, bo pierwsza grupa jest liczniejsza ✔ (zwykła średnia dałaby błędne $172{,}5$).
Odpowiedź: średni wzrost to $172$ cm.
Zadanie nr 17
W klasie $25$ uczniów napisało test. Średnia wyników to $62$ punkty. Nauczyciel dodał każdemu po $3$ punkty. Jaka jest nowa średnia?
Reguła: gdy do każdej wartości dodamy tę samą liczbę, średnia rośnie o tę samą liczbę.
$$\bar{x}_{nowa}=62+3=65$$
Uzasadnienie: suma rośnie o $25\cdot3=75$, więc nowa średnia to $\frac{62\cdot25+75}{25}=62+3=65$.
Warto wiedzieć: takie przesunięcie nie zmienia odchylenia standardowego — rozproszenie danych pozostaje takie samo.
Odpowiedź: nowa średnia to $65$ punktów.
Zadanie nr 18
Zestaw sześciu liczb ma medianę $7$. Pięć z nich to $2$, $5$, $9$, $11$, $12$ (uporządkowane). Wyznacz szóstą liczbę, jeśli wiadomo, że jest największa w zestawie.
Krok 1. Po dołożeniu szóstej liczby (największej) zestaw uporządkowany to:
$$2,\ 5,\ 9,\ 11,\ 12,\ x \qquad (x\ge 12)$$
Krok 2 — mediana sześciu liczb to średnia trzeciej i czwartej:
$$\text{mediana}=\frac{9+11}{2}=10$$
Ale warunek mówi, że mediana ma być $7$ — sprzeczność. Sprawdźmy więc, czy dane są spójne.
Wniosek: przy pięciu ustalonych wartościach $2$, $5$, $9$, $11$, $12$ i szóstej największej mediana zawsze wynosi $10$, a nie $7$. Zadanie z takim warunkiem nie ma rozwiązania — to przykład danych sprzecznych, które trzeba umieć rozpoznać.
Odpowiedź: nie istnieje taka liczba; podane warunki są sprzeczne (mediana tego zestawu to $10$).
Interpretacja: każda wartość jest oddalona od średniej o dokładnie $3$, więc odchylenie standardowe też wynosi $3$.
Odpowiedź: $\sigma=3$.
Zadanie nr 20
Średnia ocen ucznia z $9$ prac wynosi $4$. Ile co najmniej piątek musi jeszcze zdobyć (przy kolejnych pracach), aby średnia ze wszystkich prac wyniosła $4{,}5$?
Krok 1 — suma dotychczasowych ocen:
$$4\cdot9=36$$
Krok 2 — oznaczenia. Niech $k$ to liczba dodatkowych piątek. Po nich będzie $9+k$ prac, a suma ocen $36+5k$. Żądamy średniej $4{,}5$:
Odpowiedź: uczeń musi zdobyć co najmniej $9$ piątek.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
