Klasa 5 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 39
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 29 · Matura 2026
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) (np.: \(321\), \(555\)), jest:
A\(6\cdot7\cdot3\)
B\(6\cdot7\cdot7\)
C\(7\cdot7\cdot3\)
D\(7\cdot7\cdot7\)
Tworzymy liczbę trzycyfrową z dostępnego zbioru \(7\) cyfr: \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
· Cyfra setek: nie może być zerem, więc mamy do wyboru \(6\) cyfr.
· Cyfra dziesiątek: może być dowolną cyfrą ze zbioru, więc mamy \(7\) możliwości.
· Cyfra jedności: aby liczba była nieparzysta, na końcu musi stać cyfra nieparzysta. W naszym zbiorze są to cyfry \(\{1, 3, 5\}\), czyli mamy \(3\) możliwości.
Zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich takich liczb jest zatem \(6\cdot7\cdot3\).
Zadanie nr 28 · Próbny 2026
Rysunek drwala składa się z sześciu obszarów ponumerowanych liczbami od $1$ do $6$. Każdy obszar należy pokolorować jednym z siedmiu kolorów tak, aby każde dwa obszary graniczące ze sobą miały różny kolor.
Wszystkich takich sposobów pokolorowania drwala jest
A$7\cdot 6^{5}$
B$7^{3}\cdot 6^{3}$
C$7\cdot 6$
D$7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2$
Kolejne obszary sąsiadują ze sobą łańcuchowo (każdy graniczy z dokładnie jednym już pokolorowanym): pierwszy obszar można pomalować na $7$ sposobów, a każdy następny — tak, aby różnił się od sąsiada — na $6$ sposobów.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra $0$, jest
A$45$
B$50$
C$54$
D$81$
Liczba trzycyfrowa $\overline{abc}$: cyfra setek $a\ne 0$, a cyfra jedności $c$ jest nieparzysta ($c\in\{1,3,5,7,9\}$), więc $c\ne 0$.
Skoro $a\ne 0$ i $c\ne 0$, jedyna cyfra $0$ może wystąpić na miejscu dziesiątek, czyli $b=0$ (i to daje dokładnie jedno zero).
Liczba możliwości: $a$ — $9$ sposobów, $c$ — $5$ sposobów. Razem $9\cdot 5=45$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 27 · Matura 2025
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest:
A\(45\)
B\(50\)
C\(54\)
D\(81\)
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie to sobie zobrazować w ten oto sposób:
· W rzędzie setek może znaleźć się dowolna z cyfr od \(1\) do \(9\), zatem mamy \(9\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· W rzędzie dziesiątek musi pojawić się \(0\) (bo nie pojawi się ani w rzędzie setek, bo nie ma takiej liczby jak np. \(013\), ani w rzędzie jedności, bo liczba ma być nieparzysta). Mamy zatem tutaj \(1\) możliwość uzupełnienia tej cyfry.
· W rzędzie jedności musimy mieć cyfrę nieparzystą, czyli \(1, 3, 5, 7\) albo \(9\). Mamy zatem \(5\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
Zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$9\cdot1\cdot5=45$$
Zadanie nr 28 · Matura 2025
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(500\), w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest
A\(13\)
B\(50\)
C\(75\)
D\(107\)
Cyfry nieparzyste to \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\).
Liczba ma postać \(\overline{abc}\), gdzie wszystkie cyfry są nieparzyste i liczba jest większa od \(500\). Warunek \(\overline{abc}\gt 500\) oznacza, że cyfra setek musi być nie mniejsza niż \(5\), czyli:
\(a\in\{5,7,9\}\) — \(3\) możliwości
(każda taka liczba, np. najmniejsza \(511\), jest większa od \(500\)).
Cyfry \(b\) oraz \(c\) mogą być dowolnymi cyframi nieparzystymi:
\(b\) — \(5\) możliwości, \(c\) — \(5\) możliwości
Z reguły mnożenia:
\(3\cdot 5\cdot 5=75\)
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 29 · Matura 2025
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez \(3\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.
Każdy rzut daje \(6\) wyników, więc z reguły mnożenia:
\(|\Omega|=6\cdot 6=36\)
Krok 2. Zdarzenia sprzyjające.
Liczba ma być nieparzysta, więc cyfra jedności należy do zbioru \(\{1,3,5\}\), oraz podzielna przez \(3\), czyli suma cyfr ma być podzielna przez \(3\). Wypisujemy pasujące liczby:
Dane są dwa zbiory: \(X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) oraz \(Y=\{-2,-1,0,1\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x,y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\) oraz \(y\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb \((x,y)\), która będzie spełniać warunek \(x\cdot y\ge 0\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zbiór \(X\) ma \(6\) elementów, zbiór \(Y\) — \(4\) elementy, więc z reguły mnożenia:
\(|\Omega|=6\cdot 4=24\)
Krok 2. Zdarzenia sprzyjające \(x\cdot y\ge 0\).
Rozpatrujemy przypadki:
• iloczyn równy \(0\): wystarczy \(x=0\) lub \(y=0\). Dla \(x=0\) mamy \(4\) pary, dla \(y=0\) mamy \(6\) par, a para \((0,0)\) została policzona dwukrotnie, więc razem \(4+6-1=9\) par.
• iloczyn dodatni przy \(x\lt 0\) i \(y\lt 0\): \(x\in\{-3,-2,-1\}\) (3 możliwości), \(y\in\{-2,-1\}\) (2 możliwości) — \(3\cdot 2=6\) par.
• iloczyn dodatni przy \(x\gt 0\) i \(y\gt 0\): \(x\in\{1,2\}\) (2 możliwości), \(y\in\{1\}\) (1 możliwość) — \(2\cdot 1=2\) pary.
\(|A|=9+6+2=17\)
Krok 3. Prawdopodobieństwo.
\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{17}{24}\)
Odpowiedź: \(P(A)=\frac{17}{24}\)
Zadanie nr 28 · Matura 2025
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest
A\(108\)
B\(117\)
C\(126\)
D\(162\)
Liczba trzycyfrowa ma postać \(\overline{abc}\), gdzie \(a\neq 0\), a liczba jest parzysta, czyli \(c\in\{0,2,4,6,8\}\). Cyfra \(0\) ma wystąpić dokładnie raz, a nie może stać na pierwszym miejscu, więc rozpatrujemy dwa przypadki.
Dla \(j=7\) cyfra dziesiątek musiałaby wynosić \(10\), co jest niemożliwe.
Takich liczb jest \(7\).
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 29 · Matura 2024
Dane są dwa zbiory: \(C=\{0,\;4,\;5,\;7,\;9\}\) oraz \(D=\{1,\;2,\;3\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od \(9\). Zapisz obliczenia.
Zdarzeniami elementarnymi są pary \((c,d)\), gdzie \(c\in C\) i \(d\in D\):
\(|\Omega|=5\cdot 3=15\)
Sprawdzamy, dla których par suma przekracza \(9\):
\(c=0\): sumy \(1,2,3\) — żadna
\(c=4\): sumy \(5,6,7\) — żadna
\(c=5\): sumy \(6,7,8\) — żadna
\(c=7\): sumy \(8,9,10\) — jedna para \((7,3)\)
\(c=9\): sumy \(10,11,12\) — trzy pary \((9,1)\), \((9,2)\), \((9,3)\)
\(|A|=1+3=4\)
\(P(A)=\frac{4}{15}\)
Odpowiedź: \(P(A)=\frac{4}{15}\)
Zadanie nr 27 · Próbny 2024
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry $0,1,2,3$ (np. $12303$, $11111$), jest
A$32$
B$384$
C$512$
D$576$
Cyfra pierwsza (dziesiątki tysięcy) $\ne 0$, więc ma $3$ możliwości ($1,2,3$). Trzy środkowe cyfry mają po $4$ możliwości ($0,1,2,3$). Cyfra jedności musi być nieparzysta: $1$ lub $3$ — $2$ możliwości.
Łącznie: $3\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 2=384$.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 29 · Matura 2024
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(2\), \(4\), \(7\) (np.: \(7272\), \(2222\), \(7244\)), jest
A\(16\)
B\(27\)
C\(54\)
D\(81\)
Korzystamy z reguły mnożenia.
Cyfra jedności. Liczba ma być parzysta, więc ostatnią cyfrą może być \(2\) albo \(4\) — \(2\) możliwości.
Pozostałe trzy cyfry. Każda z nich może być równa \(2\), \(4\) lub \(7\) — po \(3\) możliwości:
\(3\cdot 3\cdot 3=27\)
Łącznie:
\(27\cdot 2=54\)
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 47 · Matura 2023
Andrzej ma w szafie \(4\) koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; \(3\) pary spodni: niebieskie, czarne i szare; oraz \(5\) par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie. Andrzej wybiera z szafy zestaw ubrania: jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę butów. Zestawy ubrania wybierane przez Andrzeja określimy jako różne, gdy będą różniły się kolorem chociaż jednego rodzaju elementu ubioru w zestawie.
Zadanie 1.
Liczba wszystkich możliwych, różnych zestawów ubrania, jakie może wybrać Andrzej, jest równa:
A. \(12\)
B. \(72\)
C. \(60\)
D. \(720\)
Zadanie 2.
Oblicz, na ile sposobów można wybrać taki zestaw, w którym dokładnie jeden element ubioru będzie niebieski.
Zadanie 1.
Zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich możliwych zestawów będziemy mogli ułożyć:
$$4\cdot3\cdot5=60$$
Zadanie 2.
Krok 1. Rozpisanie zestawów, które spełniają warunki zadania.
Aby rozwiązać to zadanie, musimy podzielić całość na trzy różne warianty:
I wariant - niebieska będzie koszula:
Koszula będzie niebieska, więc tutaj mamy \(1\) możliwość ubioru.
Spodnie mogą być czarne albo szare, więc tutaj mamy \(2\) możliwości ubioru.
Buty mogą być czarne, szare, zielone lub czerwone, więc tutaj mamy \(4\) możliwości ubioru.
To oznacza, że w tym wariancie wszystkich interesujących nas możliwości będziemy mieć:
$$1\cdot2\cdot4=8$$
II wariant - niebieskie będą spodnie:
Koszula może być czerwona, żółta lub zielona, więc tutaj mamy \(3\) możliwości ubioru.
Spodnie będą niebieskie, więc tutaj mamy \(1\) możliwość ubioru.
Buty mogą być czarne, szare, zielone lub czerwone, więc tutaj mamy \(4\) możliwości ubioru.
To oznacza, że w tym wariancie wszystkich interesujących nas możliwości będziemy mieć:
$$3\cdot1\cdot4=12$$
III wariant - niebieskie będą buty:
Koszula może być czerwona, żółta lub zielona, więc tutaj mamy \(3\) możliwości ubioru.
Spodnie mogą być czarne albo szare, więc tutaj mamy \(2\) możliwości ubioru.
Buty będą niebieskie, więc tutaj mamy \(1\) możliwość ubioru.
To oznacza, że w tym wariancie wszystkich interesujących nas możliwości będziemy mieć:
$$3\cdot2\cdot1=6$$
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich sposobów wyboru pasującego zestawu.
Korzystając z reguły dodawania musimy zsumować wszystkie interesujące nas warianty. To oznacza, że pasujących zestawów będziemy mieć:
$$8+12+6=26$$
Zadanie nr 28 · Matura 2023
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0,5,7\) (np. \(57075\), \(55555\)) jest:
A\(5^3\)
B\(2\cdot4^3\)
C\(2\cdot3^4\)
D\(3^5\)
Rozpiszmy dokładnie jakie cyfry mogą znaleźć się na poszczególnych miejscach liczby pięciocyfrowej.
· w rzędzie dziesiątek tysięcy możemy mieć jedynie cyfry \(5\) oraz \(7\) (czyli bez \(0\), bo zero nie może stać na początku liczby). To oznacza, że mamy tutaj \(2\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie tysięcy możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie setek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie jedności możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=2\cdot3^4$$
Zadanie nr 30 · Matura 2023
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest
A\(9\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\)
B\(9\cdot 9\cdot 9\cdot 9\)
C\(10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)
D\(9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)
Korzystamy z reguły mnożenia i wybieramy cyfry kolejno.
Cyfra tysięcy: nie może być zerem, więc mamy \(9\) możliwości (od \(1\) do \(9\)).
Cyfra setek: może być zerem, ale nie może powtórzyć poprzedniej — zostaje \(9\) możliwości.
Cyfra dziesiątek: \(8\) możliwości.
Cyfra jedności: \(7\) możliwości.
Łącznie: \(9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 27 · Próbny 2023
E-dowód ma zapisany sześciocyfrowy numer CAN. Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $(-3)$. Zapisz obliczenia.
Trzy pierwsze cyfry mają postać $d,\ d-3,\ d-6$. Wszystkie muszą należeć do zbioru $\{0,\dots,9\}$, więc $d-6\ge 0$, czyli $d\in\{6,7,8,9\}$ — to $4$ możliwości: $(6,3,0),(7,4,1),(8,5,2),(9,6,3)$.
Pozostałe trzy cyfry (na pozycjach 4–6) muszą być różne i różne od trzech już użytych — wybieramy je spośród $7$ pozostałych cyfr: $7\cdot 6\cdot 5=210$ sposobów.
Łącznie: $4\cdot 210=840$.
Zadanie nr 4 · Próbny 2023
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych większych od \(20\), w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry parzyste?
A\(16\)
B\(19\)
C\(20\)
D\(25\)
Ustalmy jakie cyfry mogą się pojawić w naszej poszukiwanej liczbie dwucyfrowej. Chcemy, by ta liczba była większa od \(20\) i by wszystkie cyfry były parzyste, zatem:
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć cyfry \(2, 4, 6, 8\), czyli mamy \(4\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· w rzędzie jedności możemy mieć cyfry \(0, 2, 4, 6, 8\), czyli mamy \(5\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
Jest jednak mały problem, ponieważ w ten sposób uwzględnilibyśmy liczbę \(20\) jako pasującą do naszego zdarzenia, a chcemy by ta liczba była większa od \(20\). Najlepiej będzie więc zastosować tradycyjnie regułę mnożenia, a na koniec odejmiemy tą jedną, niepasującą liczbę. W takim razie, zgodnie z regułą mnożenia takich liczb mielibyśmy:
$$5\cdot4=20$$
I od tego odejmujemy jedną liczbę (czyli dwudziestkę), która nam nie pasuje do rozwiązania, stąd też wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$20-1=19$$
Zadanie nr 31 · Matura 2023
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej \(3\) jest
A\(8\)
B\(4\)
C\(5\)
D\(6\)
Szukamy liczb postaci \(\overline{abc}\), gdzie \(a\ge 1\) (pierwsza cyfra liczby trzycyfrowej) oraz \(a+b+c=3\).
Rozpatrujemy możliwe wartości cyfry \(a\):
\(a=1\): wtedy \(b+c=2\), czyli \((b,c)\in\{(0,2),(1,1),(2,0)\}\) — \(3\) liczby: \(102, 111, 120\)
\(a=2\): wtedy \(b+c=1\), czyli \((b,c)\in\{(0,1),(1,0)\}\) — \(2\) liczby: \(201, 210\)
\(a=3\): wtedy \(b+c=0\), czyli \((b,c)=(0,0)\) — \(1\) liczba: \(300\)
Łącznie: \(3+2+1=6\) liczb.
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 28 · Matura 2023
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0,5,7\) (np. \(57075\), \(55555\)) jest:
A\(5^3\)
B\(2\cdot4^3\)
C\(2\cdot3^4\)
D\(3^5\)
Rozpiszmy dokładnie jakie cyfry mogą znaleźć się na poszczególnych miejscach liczby pięciocyfrowej.
· w rzędzie dziesiątek tysięcy możemy mieć jedynie cyfry \(5\) oraz \(7\) (czyli bez \(0\), bo zero nie może stać na początku liczby). To oznacza, że mamy tutaj \(2\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie tysięcy możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie setek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie jedności możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=2\cdot3^4$$
Zadanie nr 28 · Matura 2023
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry \(0,5,7\) (np. \(57075\), \(55555\)) jest:
A\(5^3\)
B\(2\cdot4^3\)
C\(2\cdot3^4\)
D\(3^5\)
Rozpiszmy dokładnie jakie cyfry mogą znaleźć się na poszczególnych miejscach liczby pięciocyfrowej.
· w rzędzie dziesiątek tysięcy możemy mieć jedynie cyfry \(5\) oraz \(7\) (czyli bez \(0\), bo zero nie może stać na początku liczby). To oznacza, że mamy tutaj \(2\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie tysięcy możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie setek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
· w rzędzie jedności możemy mieć każdą z trzech podanych cyfr. To oznacza, że mamy tutaj \(3\) możliwości wyboru cyfry.
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=2\cdot3^4$$
Zadanie nr 26 · Próbny 2021
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których cyfra \(7\) występuje dokładnie jeden raz, jest:
A\(85\)
B\(90\)
C\(100\)
D\(150\)
Krok 1. Przeanalizowanie różnych możliwości zapisu liczby spełniającej warunki zadania.
Jeżeli liczba ma być parzysta i ma zawierać jedną siódemkę, to mamy do rozpatrzenia dwie możliwości:
a) Siódemka jest cyfrą setek, czyli mamy liczbę \(7■■\)
b) Siódemka jest cyfrą dziesiątek, czyli mamy liczbę \(■7■\)
Siódemka nie może być cyfrą jedności, bo wtedy liczba nie będzie parzysta.
Krok 2. Obliczenie liczby kombinacji w każdym z rozpatrywanych przypadków.
Rozpatrzmy zatem ile teraz mamy kombinacji w każdej z możliwych sytuacji:
a) \(7■■\)
- w rzędzie setek mamy \(7\), czyli jest to jedna cyfra.
- w rzędzie dziesiątek możemy mieć dowolną cyfrę od \(0\) do \(9\), ale oprócz siódemki, zatem tutaj jest dziewięć możliwości.
- w rzędzie jedności możemy mieć jedynie \(0,2,4,6,8\), zatem tutaj jest pięć możliwości.
Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich pasujących kombinacji z tej serii mamy:
$$1\cdot9\cdot5=45$$
b) \(■7■\)
- w rzędzie setek możemy mieć dowolną cyfrę od \(1\) do \(9\), ale oprócz siódemki, zatem tutaj jest osiem możliwości.
- w rzędzie dziesiątek mamy \(7\), czyli jest to jedna cyfra.
- w rzędzie jedności możemy mieć jedynie \(0,2,4,6,8\), zatem tutaj jest pięć możliwości.
Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich pasujących kombinacji z tej serii mamy:
$$8\cdot1\cdot5=40$$
Krok 3. Obliczenie łącznej liczby interesujących nas kombinacji.
Teraz w grę wchodzi reguła dodawania. Musimy dodać do siebie wszystkie interesujące nas kombinacje, zatem wszystkich liczb spełniających warunki zadania będziemy mieć:
$$45+40=85$$
Zadanie nr 23 · Matura 2020
Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od \(4\), a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od \(6\), jest:
A\(4\cdot4\cdot5\cdot5\)
B\(5\cdot4\cdot6\cdot5\)
C\(5\cdot5\cdot6\cdot6\)
D\(4\cdot3\cdot5\cdot4\)
Cyfrą tysięcy może być \(5,6,7,8\) lub \(9\), zatem mamy pięć możliwości.
Cyfrą setek może być \(5,6,7,8\) lub \(9\), zatem mamy pięć możliwości.
Cyfrą dziesiątek może być \(1,2,3,4,5\) lub \(0\), zatem mamy sześć możliwości.
Cyfrą jedności może być \(1,2,3,4,5\) lub \(0\), zatem mamy sześć możliwości.
To oznacza, że wszystkich interesujących nas liczb czterocyfrowych będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia:
$$5\cdot5\cdot6\cdot6$$
Zadanie nr 24 · Matura 2019
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry \(0, 2, 5\), jest:
A\(12\)
B\(36\)
C\(162\)
D\(243\)
W zadaniu wykorzystamy regułę mnożenia.
Na pierwszym miejscu może znaleźć się jedna z dwóch cyfr: \(2\) lub \(5\). Zero znaleźć się nie może, bo nie mamy takiej liczby jak np. \(02525\).
Na drugim miejscu może się znaleźć jedna z trzech cyfr: \(0, 2, 5\).
Tak samo na trzecim, czwartym i piątym miejscu, tu też może znaleźć się jedna z trzech cyfr: \(0, 2, 5\).
W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia wszystkich takich liczb będziemy mieć:
$$Ω=2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=162$$
Zadanie nr 24 · Matura 2018
Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry \(0\) i \(2\), jest równa:
A\(8\cdot8\cdot8\cdot3\)
B\(8\cdot7\cdot6\cdot3\)
C\(8\cdot10\cdot10\cdot4\)
D\(9\cdot8\cdot7\cdot4\)
Ustalmy na ile sposobów możemy wpisać każdą z cyfr tej czterocyfrowej liczby.
Pierwszą cyfrę możemy wpisać na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\)
Drugą cyfrę możemy wpisać także na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\)
Trzecią cyfrę możemy wpisać również na \(8\) sposobów: \(\{1,3,4,5,6,7,8,9\}\)
Czwartą cyfrę możemy wpisać na \(3\) sposoby: \(\{4,6,8\}\), bo musi być to liczba parzysta
W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia możemy takich liczb utworzyć:
$$8\cdot8\cdot8\cdot3$$
Zadanie nr 21 · Próbny 2017
Czterocyfrowy kod składa się z dwóch cyfr \(0\) i dwóch różnych cyfr wybranych spośród: \(1, 2, 3, 4, 5\). Oto dwa przykładowe kody: \(0250\), \(1003\). Ile kodów spełnia opisane warunki?
A\(20\)
B\(80\)
C\(120\)
D\(150\)
Rozpatrzmy jak mogą ułożyć nam się dwie cyfry \(0\) i zobaczmy na ile różnych kombinacji (zgodnie z regułą mnożenia) możemy uzupełnić pozostałe miejsca:
I możliwość - \(00■■\)
Trzecią cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów. Czwartą cyfrę możemy uzupełnić na \(4\) sposoby (bo cyfry mają być różne, więc nie mogą się powtarzać). To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.
II możliwość - \(0■0■\)
Drugą cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów. Czwartą cyfrę możemy uzupełnić na \(4\) sposoby (z tego samego powodu co powyżej). To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.
III możliwość - \(0■■0\)
Drugą cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów, trzecią na \(4\) sposoby. To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.
IV możliwość - \(■00■\)
Pierwszą cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów, czwartą na \(4\) sposoby. To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.
V możliwość - \(■0■0\)
Pierwszą cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów, trzecią na \(4\) sposoby. To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.
VI możliwość - \(■■00\)
Pierwszą cyfrę możemy uzupełnić na \(5\) sposobów, drugą na \(4\) sposoby. To daje nam łącznie \(5\cdot4=20\) możliwości.
Widzimy więc, że mamy \(6\) różnych wariantów, a w każdym jest \(20\) różnych możliwości. To oznacza, że wszystkich kodów spełniających warunki zadania mamy:
$$|A|=6\cdot20=120$$
Zadanie nr 20 · Próbny 2015
Ile jest wszystkich naturalnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez \(5\), w których cyfra dziesiątek jest liczbą pierwszą? (Uwaga: \(1\) nie jest liczbą pierwszą.)
A\(53\)
B\(72\)
C\(90\)
D\(100\)
Liczby podzielne przez \(5\) zawsze mają ostatnią cyfrę równą \(5\) lub \(0\). Ustalmy zatem ile cyfr możemy umiejscowić w rzędzie setek, dziesiątek i jedności:
• rząd setek - tutaj pasuje nam każda cyfra od \(1\) do \(9\) (bez \(0\), bo nie istnieje coś takiego jak \(035\)). Mamy więc dziewięć możliwości uzupełnienia rzędu setek.
• rząd dziesiątek - tutaj pasują nam cyfry \(2,3,5\) oraz \(7\), bo mają to być liczby pierwsze. Mamy więc cztery możliwości uzupełnienia rzędu dziesiątek.
• rząd jedności - tutaj pasują nam cyfry \(5\) oraz \(0\), bo liczba musi być podzielna przez \(5\). Mamy więc dwie możliwości uzupełnienia rzędu jedności.
W związku z tym wszystkich liczb trzycyfrowych spełniających warunki naszego zadania będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia:
$$9\cdot4\cdot2=72$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2015
Liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i o parzystej cyfrze tysięcy, setek i dziesiątek jest:
A\(4\cdot4\cdot3\cdot7\)
B\(4\cdot4\cdot3\cdot8\)
C\(5\cdot5\cdot4\cdot8\)
D\(4\cdot5\cdot4\cdot9\)
Na miejscu tysięcy może znaleźć się jedna z czterech cyfr - \(2,4,6,8\).
Na miejscu setek może znaleźć się jedna z pięciu cyfr - \(0,2,4,6,8\), ale skoro cyfry się nie mogą powtarzać, to odpadnie nam tutaj ta cyfra, któa została wybrana na miejscu tysięcy.
Na miejscu dziesiątek może się znaleźć jedna z pięciu cyfr - \(0,2,4,6,8\), ale odpadną nam tutaj dwie cyfry, które znalazły się już w cyfrze tysięcy oraz setek.
Na miejscu jedności może znaleźć się jedna z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), ale odpadną nam tutaj trzy cyfry, które znalazły się już w cyfrze tysięcy, setek oraz dziesiątek.
W związku z tym takich liczb czterocyfrowych będzie zgodnie z regułą mnożenia:
$$4\cdot4\cdot3\cdot7$$
Zadanie nr 24 · Matura 2015
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy \(4\)?
A\(3\)
B\(4\)
C\(6\)
D\(8\)
Aby iloczyn trzech cyfr naturalnych dał wynik \(4\), to musimy pomnożyć przez siebie jedynkę, dwójkę i dwójkę lub też jedynkę, jedynkę i czwórkę. W związku z tym interesującymi nas liczbami będą:
$$122,212,221$$
$$114,141,411$$
Łącznie jest to więc \(6\) liczb.
Zadanie nr 9 · Próbny 2014
Liczba trzycyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach jest równa:
A\(10\cdot8\cdot8\)
B\(9\cdot9\cdot8\)
C\(10\cdot10\cdot8\)
D\(9\cdot8\cdot8\)
W zadaniu wykorzystamy tak zwaną regułę mnożenia, zatem musimy ustalić na ile różnych sposobów da się wpisać cyfry na dane miejsce naszej trzycyfrowej liczby.
Na pierwszym miejscu naszej liczby może się pojawić jedna z dziewięciu cyfr od \(1\) do \(9\). W związku z tym pierszym czynnikiem będzie \(9\).
Na drugim miejscu może się znaleźć jedna z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), ale skoro cyfry mają być różne, to odpadnie nam z tej puli ta cyfra, która była wylosowana na pierwszym miejscu. To oznacza, że będziemy mieli tutaj \(10-1=9\) różnych sposobów wpisania cyfry.
Na trzecim miejscu może znaleźć się jedna z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), poza tymi które były już wylosowane za pierwszym i drugim razem. To oznacza, że będziemy mieli tutaj \(10-2=8\) różnych sposobów wpisania cyfry.
Zgodnie z regułą mnożenia możemy więc zapisać, że trzycyfrowych liczb naturalnych o różnych cyfrach jest: \(9\cdot9\cdot8\).
Zadanie nr 29 · Matura 2013
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek.
Krok 1. Wypisanie wariantów, w których cyfra jedności jest o o \(3\) większa od cyfry setek.
Wypiszmy sobie wszystkie możliwe warianty, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek:
$$■0■3$$
$$■1■4$$
$$■2■5$$
$$■3■6$$
$$■4■7$$
$$■5■8$$
$$■6■9$$
To oznacza, że mamy \(7\) różnych zapisów drugiej i czwartej cyfry jednocześnie.
Krok 2. Wskazanie na ile sposobów można wpisać pierwszą i trzecią cyfrę liczby.
Teraz zastanówmy się, na ile sposobów możemy wpisać pierwszą i trzecią cyfrę tej liczby. Pierwszą liczbę możemy wpisać na \(9\) różnych sposobów, bo pasują nam wszystkie cyfry od \(1\) do \(9\) (czyli wszystkie oprócz zera). Trzecią liczbę możemy wpisać już na \(10\) sposobów, bo tutaj może pojawić się zero.
Krok 3. Obliczenie ilości liczb, które spełniają warunki zadania.
Z obliczeń przeprowadzonych w kroku pierwszym i drugim wynika, że wszystkich poszukiwanych liczb czterocyfrowych będzie zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=7\cdot9\cdot10=630$$
Zadanie nr 24 · Matura 2012
Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w \(10\) kolorach, jest równa:
A\(100\)
B\(99\)
C\(90\)
D\(19\)
Zewnętrzne pasy można wybrać na \(10\) różnych sposobów. Wewnętrzne możemy wybrać na \(9\) sposobów, bo zawsze odpadnie nam ten kolor, który jest już w pasie zewnętrznym. Z reguły mnożenia wynika więc, że mamy \(10\cdot9=90\) możliwości utworzenia takiej flagi.
Zadanie nr 24 · Próbny 2010
W karcie dań jest \(5\) zup i \(4\) drugie dania. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z jednej zupy i jednego drugiego dania?
A\(25\)
B\(20\)
C\(16\)
D\(9\)
Mamy pięć zup do wyboru i cztery drugie dania, a więc ilość możliwych kombinacji obliczymy wykonując proste mnożenie \(5\cdot4=20\).
Zadanie nr 31 · Próbny 2010
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste.
Krok 1. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu naszej liczby.
Zgodnie z treścią zadania pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc mogą to być tylko i wyłącznie \(2\), \(4\), \(6\) lub \(8\). Cyfrę \(0\) odrzucamy, bo nie może być pierwszą cyfrą w liczbie.
Krok 2. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu naszej liczby.
Na każdym z pozostałych miejsc możemy mieć jedną z pięciu cyfr nieparzystych: \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) lub \(9\).
Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich możliwych kombinacji.
Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich kombinacji będzie:
$$|Ω|=4\cdot5\cdot5\cdot5=500$$
Zadanie nr 24 · Matura 2010
W karcie dań jest \(5\) zup i \(4\) drugie dania. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z jednej zupy i jednego drugiego dania?
A\(25\)
B\(20\)
C\(16\)
D\(9\)
Mamy pięć zup do wyboru i cztery drugie dania, a więc ilość możliwych kombinacji obliczymy wykonując proste mnożenie \(5\cdot4=20\).
Zadanie nr 31 · Matura 2010
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste.
Krok 1. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu naszej liczby.
Zgodnie z treścią zadania pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc mogą to być tylko i wyłącznie \(2\), \(4\), \(6\) lub \(8\). Cyfrę \(0\) odrzucamy, bo nie może być pierwszą cyfrą w liczbie.
Krok 2. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu naszej liczby.
Na każdym z pozostałych miejsc możemy mieć jedną z pięciu cyfr nieparzystych: \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) lub \(9\).
Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich możliwych kombinacji.
Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich kombinacji będzie:
$$|Ω|=4\cdot5\cdot5\cdot5=500$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2009
Wybieramy liczbę \(a\) ze zbioru \(A=\{2,3,4,5\}\) oraz liczbę \(b\) ze zbioru \(B=\{1,4\}\). Ile jest takich par \((a,b)\), że iloczyn \(a\cdot b\) jest liczbą nieparzystą?
A\(2\)
B\(3\)
C\(5\)
D\(20\)
Aby iloczyn dwóch liczb był liczbą nieparzystą to musimy pomnożyć przez siebie dwie nieparzyste liczby. Przykładowo \(3\cdot3=9\) albo \(5\cdot7=35\) itd.
W zbiorze \(A\) mamy dwie takie liczby (\(3\) i \(5\)), w zbiorze \(B\) jest tylko jedna taka liczba (\(1\)). To oznacza, że uda nam się utworzyć tylko dwie takie pary:
$$3\cdot1=3$$
$$\text{ oraz }$$
$$5\cdot1=5$$
Zadanie nr 2 · Matura 2006
Po Wiadomościach z kraju i ze świata telewizja TVG ma nadać pięć reklam: trzy reklamy różnych proszków do prania oraz dwie reklamy różnych past do zębów. Kolejność nadawania reklam jest ustalona losowo. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie reklamy produktów tego samego rodzaju nie będą nadane bezpośrednio jedna po drugiej. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Przestrzeń zdarzeń. Losujemy kolejność pięciu różnych reklam, więc
\(|\Omega|=5!=120\).
Zdarzenia sprzyjające. Oznaczmy proszki przez \(P\) (3 sztuki), a pasty przez \(Z\) (2 sztuki). Żadne dwie reklamy tego samego rodzaju nie mogą sąsiadować. Przy pięciu miejscach i trzech proszkach jedyny możliwy układ rodzajów to
\(P\,Z\,P\,Z\,P\).
(Gdyby dwa proszki stały obok siebie, warunek byłby złamany; trzy proszki muszą więc zająć miejsca 1., 3. i 5.)
Proszki można rozmieścić na tych trzech miejscach na \(3!\) sposobów, a pasty na dwóch pozostałych na \(2!\) sposobów:
\(|A|=3!\cdot2!=6\cdot2=12\).
Prawdopodobieństwo.
\(P(A)=\dfrac{12}{120}=\dfrac{1}{10}\).
Zadanie nr 56 · Matura
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których cyfra \(5\) występuje dokładnie jeden raz, jest:
A\(125\)
B\(225\)
C\(280\)
D\(300\)
Krok 1. Obliczenie liczby możliwych kombinacji w każdym z wariantów.
Chcemy, by w zapisie naszej liczby pojawiła się tylko raz cyfra \(5\). Może ona się pojawić na miejscu setek, dziesiątek lub jedności, dlatego każdy z takich wariantów musimy rozpatrzeć osobno:
I możliwość to \(5■■\), czyli \(5\) jako cyfra setek.
W takiej sytuacji:
· Cyfra dziesiątek - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości
· Cyfra jedności - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości
Zgodnie z regułą mnożenia takich liczb będziemy mieć \(9\cdot9=81\)
II możliwość to \(■5■\), czyli \(5\) jako cyfra dziesiątek.
W takiej sytuacji:
· Cyfra setek - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(1\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości
· Cyfra jedności - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości
Zgodnie z regułą mnożenia takich liczb będziemy mieć \(8\cdot9=72\)
III możliwość to \(■■5\), czyli \(5\) jako cyfra jedności.
W takiej sytuacji:
· Cyfra setek - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(1\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości
· Cyfra dziesiątek - tutaj możemy mieć każdą z cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz \(5\) (bo ma być tylko jedna piątka w liczbie), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości
Zgodnie z regułą mnożenia takich liczb będziemy mieć \(8\cdot9=72\)
Krok 2. Obliczenie liczby wszystkich możliwych kombinacji.
Teraz musimy skorzystać z reguły dodawania, czyli dodać wszystkie pasujące kombinacje, zatem:
$$81+72+72=225$$
Zadanie nr 59 · Matura
Firma krawiecka produkuje prostokątne dwukolorowe obrusy w jednakowym rozmiarze. Każdy obrus jest zszyty z trzech pasów materiału tej samej szerokości (zobacz rysunek). Zewnętrzne pasy są w tym samym kolorze. Cały obrus jest obszyty lamówką w jednym kolorze. W firmowym magazynie materiały są dostępne w \(5\) kolorach, a lamówka – w \(3\) kolorach. Obrusy uznajemy za różne, gdy różnią się kolorem lamówki lub kolorem pasów zewnętrznych, lub kolorem pasa wewnętrznego.
Liczba wszystkich różnych obrusów, które firma może produkować, jest równa:
A\(5\cdot4\cdot3\)
B\(5\cdot5\cdot3\)
C\(5\cdot5\cdot5\cdot3\)
D\(5\cdot3\cdot3\cdot3\)
Przeanalizujmy, ile różnych kolorów może się pojawić na każdej z części obrusa:
· Zewnętrzny pas możemy uszyć na \(5\) różnych kolorów, stąd też mamy tutaj \(5\) możliwości.
· Wewnętrzny pas możemy uszyć na \(4\) różne kolory (bez tego, który jest użyty na zewnątrz), więc mamy tutaj \(4\) możliwości.
· Lamówki możemy uszyć na \(3\) różne kolory, stąd też mamy tutaj \(3\) możliwości.
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich pasujących kombinacji obrusów będziemy mieć:
$$5\cdot4\cdot3$$
📘Teoria 1
Reguła mnożenia, dodawania i wariacje z powtórzeniami
Reguła mnożenia
Gdy wybór składa się z niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$N=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Stosujemy ją, gdy wybieramy jedno i drugie.
Reguła dodawania
Gdy wybieramy jedną z rozłącznych grup możliwości (jedno albo drugie), liczby dodajemy. Np. książka fantasy albo kryminał: $6+4=10$.
Wariacje z powtórzeniami
Liczba $k$-elementowych ciągów ze zbioru $n$-elementowego (kolejność istotna, elementy mogą się powtarzać):
$$n^k$$
Podstawa to liczba dostępnych elementów, wykładnik — liczba pozycji.
Typowe zastosowania
Kody i PIN-y ($10^k$), ciągi binarne ($2^k$), tablice rejestracyjne, liczba funkcji ze zbioru $k$-elementowego w $n$-elementowy ($n^k$), liczba podzbiorów zbioru $n$-elementowego ($2^n$).
Zero na pierwszej pozycji
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem — trzeba to uwzględnić. Zaczynaj zliczanie od pozycji z najostrzejszym warunkiem.
Na co uważać
Mnożymy przy „i", dodajemy przy „albo". W $n^k$ nie zamień podstawy z wykładnikiem.
∑Wzory 1
Wariacje z powtórzeniami
$$W_n^k=n^k$$
Ciągi długości $k$ z $n$ elementów, które mogą się powtarzać.
Na ile sposobów $5$ osób może usiąść przy okrągłym stole, jeśli liczą się tylko wzajemne sąsiedztwa (obroty stołu uznajemy za to samo)?
To permutacje cykliczne. Jedną osobę „unieruchamiamy” jako punkt odniesienia, a pozostałe ustawiamy względem niej.
$$(5-1)!=4!=24$$
Dlaczego $(n-1)!$: przy okrągłym stole obrót całości nie tworzy nowego ustawienia, więc dzielimy zwykłe $5!$ przez $5$ możliwych obrotów: $\frac{120}{5}=24$.
Odpowiedź: $24$ sposoby.
Zadanie nr 20
W klasie jest $12$ dziewcząt i $8$ chłopców. Na ile sposobów można wybrać $2$ dziewczęta i $2$ chłopców do reprezentacji?
Wybory są niezależne, więc korzystamy z kombinacji dla każdej grupy i mnożymy wyniki.
2. Parzyste: jedności $0$ lub $2$ → $3\cdot2=6\ne8$ — fałsz.
Odpowiedź: P, F
Zadanie nr PP22.9
W klasie jest $12$ dziewcząt i $10$ chłopców. Wybieramy przewodniczącego i zastępcę (dwie różne osoby) tak, aby jedną z tych funkcji pełniła dziewczyna, a drugą chłopiec. Oblicz, na ile sposobów można to zrobić.
Rzucamy dwiema monetami. Liczba wszystkich wyników jest równa
A$2$
B$4$
C$3$
D$8$
$2\cdot2=4$.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? A bierze jedna moneta.
Zadanie nr PP49.13
Ile jest liczb dwucyfrowych z cyfr $\{1,2\}$ (z powtórzeniami)?
A$2$
B$3$
C$4$
D$6$
$2\cdot2=4$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? B - błąd.
Zadanie nr PP49.14
Uczeń wybiera $3$ przystawki albo $2$ zupy. Na ile sposobów?
A$6$
B$1$
C$9$
D$5$
Alternatywa: $3+2=5$.
Odpowiedź:D
Dlaczego nie pozostałe? A mnoży.
Zadanie nr PP49.15
Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach z cyfr $\{1,2,3\}$?
$3\cdot2\cdot1=6$.
Odpowiedź: $6$
Zadanie nr 1
Mam $4$ swetry i $3$ szaliki. Na ile sposobów dobiorę sweter i szalik?
A$7$
B$43$
C$12$
D$1$
Wybór składa się z dwóch niezależnych etapów, więc mnożymy:
$$4\cdot3=12$$
Reguła mnożenia: stosujemy ją, gdy wybieramy jedno i drugie.
Odpowiedź: C. $12$.
Zadanie nr 2
W menu są $3$ zupy i $5$ dań głównych. Na ile sposobów można wybrać zestaw dwudaniowy?
Reguła mnożenia:
$$3\cdot5=15$$
Odpowiedź: $15$ zestawów.
Zadanie nr 3
Na półce jest $6$ książek fantasy albo $4$ kryminały. Na ile sposobów mogę wybrać jedną książkę?
A$10$
B$24$
C$6$
D$2$
Wybieramy jedno albo drugie, więc dodajemy:
$$6+4=10$$
Reguła dodawania: stosujemy ją przy wyborze rozłącznych możliwości (fantasy lub kryminał).
Odpowiedź: A. $10$.
Zadanie nr 4
Ile trzycyfrowych kodów PIN można ułożyć z cyfr $0$–$9$ (z powtórzeniami)?
Na każdej z trzech pozycji mamy $10$ możliwości:
$$10\cdot10\cdot10=10^3=1000$$
To wariacja z powtórzeniami: $10^3$.
Odpowiedź: $1000$.
Zadanie nr 5
Liczba wariacji $k$-elementowych z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego to:
A$n\cdot k$
B$k^n$
C$n!$
D$n^k$
Na każdej z $k$ pozycji wybieramy niezależnie jeden z $n$ elementów:
$$n^k$$
Uwaga na kolejność: podstawa to liczba elementów $n$, wykładnik to liczba miejsc $k$.
Odpowiedź: D. $n^k$.
Zadanie nr 6
Rzucamy monetą $5$ razy. Ile jest możliwych ciągów wyników?
Każdy rzut ma $2$ wyniki, rzutów jest $5$:
$$2^5=32$$
Odpowiedź: $32$ ciągi.
Zadanie nr 7
Ile jest tablic rejestracyjnych postaci: $3$ litery (z $26$) i $4$ cyfry (z $10$), z powtórzeniami?
Krok 1 — część literowa:
$$26^3=17\ 576$$
Krok 2 — część cyfrowa:
$$10^4=10\ 000$$
Krok 3 — reguła mnożenia:
$$26^3\cdot10^4=175\ 760\ 000$$
Odpowiedź: $175\ 760\ 000$ tablic.
Zadanie nr 8
Ile jest funkcji ze zbioru $3$-elementowego w zbiór $2$-elementowy?
A$6$
B$8$
C$9$
D$5$
Każdy z $3$ argumentów można odwzorować na jeden z $2$ elementów niezależnie:
$$2^3=8$$
To wariacja z powtórzeniami: $n^k=2^3$, gdzie $n=2$ (zbiór wartości), $k=3$ (argumenty).
Odpowiedź: B. $8$.
Zadanie nr 9
Ile jest liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru $\{1,2,3\}$ (z powtórzeniami)?
Na każdej z czterech pozycji $3$ możliwości:
$$3^4=81$$
Uwaga: tu nie ma problemu z zerem na początku, bo zero nie należy do zbioru cyfr.
Odpowiedź: $81$.
Zadanie nr 10
W sklepie są $3$ rodzaje chleba i $2$ rodzaje bułek. Klient kupuje pieczywo: chleb ORAZ bułkę, albo tylko jedną rzecz. Ile ma możliwości wyboru dokładnie jednej rzeczy?
„Dokładnie jedna rzecz" — chleb albo bułka, więc reguła dodawania:
$$3+2=5$$
Dla porównania: gdyby kupował chleb i bułkę, byłoby $3\cdot2=6$ (reguła mnożenia).
Odpowiedź: $5$ możliwości.
Zadanie nr 11
Ile jest ciągów binarnych (z cyfr $0$ i $1$) długości $6$?
A$12$
B$36$
C$64$
D$6$
Na każdej z $6$ pozycji dwie możliwości:
$$2^6=64$$
Odpowiedź: C. $64$.
Zadanie nr 12
Ile jest liczb trzycyfrowych (z cyfr $0$–$9$, powtórzenia dozwolone), pamiętając, że pierwsza cyfra nie może być zerem?
Krok 1 — pierwsza cyfra: $9$ możliwości (bez zera).
Krok 2 — druga i trzecia: po $10$ możliwości.
Krok 3 — mnożymy:
$$9\cdot10\cdot10=900$$
Kontrola: liczb trzycyfrowych jest dokładnie $900$ (od $100$ do $999$) ✔
Odpowiedź: $900$.
Zadanie nr 13
Egzamin ma $10$ pytań typu prawda/fałsz. Na ile sposobów można wypełnić kartę odpowiedzi?
Każde z $10$ pytań ma $2$ możliwe odpowiedzi:
$$2^{10}=1024$$
Interpretacja: zgadując, mamy tylko $\frac{1}{1024}$ szans na komplet poprawnych odpowiedzi.
Odpowiedź: $1024$.
Zadanie nr 14
Regułę dodawania stosujemy, gdy możliwości są:
Arozłączne (albo–albo)
Bjednoczesne (i–i)
Czależne
Dzawsze
Reguła dodawania dotyczy wyboru jednej z rozłącznych grup możliwości (albo z jednej, albo z drugiej).
Reguła mnożenia — gdy wybór składa się z kilku etapów jednocześnie.
Odpowiedź: A. rozłączne (albo–albo).
Zadanie nr 15
Ile jest czteroliterowych „słów" (dowolnych ciągów) z liter $\{a,b,c\}$?
Na każdej z czterech pozycji $3$ litery do wyboru:
$$3^4=81$$
To wariacja z powtórzeniami: litery mogą się powtarzać, kolejność ma znaczenie.
Odpowiedź: $81$.
Zadanie nr 16
Ile jest wyników rzutu trzema rozróżnialnymi kostkami?
A$18$
B$36$
C$120$
D$216$
Każda kostka ma $6$ wyników, kostek są $3$:
$$6^3=216$$
Odpowiedź: D. $216$.
Zadanie nr 17
Hasło składa się z $2$ liter (z $26$) i $3$ cyfr (z $10$), przy czym litery są na początku. Ile jest haseł, jeśli znaki mogą się powtarzać? Ile, jeśli cyfry muszą być różne?
Przypadek 1 — z powtórzeniami:
$$26^2\cdot10^3=676\cdot1000=676\ 000$$
Przypadek 2 — cyfry różne. Litery nadal $26^2$, ale cyfry to wariacja bez powtórzeń: $10\cdot9\cdot8$:
$$676\cdot(10\cdot9\cdot8)=676\cdot720=486\ 720$$
Wniosek. Warunek „różne cyfry" zmniejsza liczbę haseł — na kolejnych pozycjach cyfrowych zostaje coraz mniej możliwości.
Odpowiedź: $676\ 000$ oraz $486\ 720$.
Zadanie nr 18
Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych o cyfrach ze zbioru $\{1,2,3,4,5\}$ (z powtórzeniami)?
Krok 1 — ostatnia cyfra parzysta. Ze zbioru $\{1,2,3,4,5\}$ parzyste są $2$ i $4$ — dwie możliwości.
Krok 2 — pozostałe trzy pozycje: po $5$ możliwości (cały zbiór).
Krok 3 — reguła mnożenia:
$$5\cdot5\cdot5\cdot2=250$$
Uwaga. Zaczynamy od najbardziej ograniczonej pozycji (ostatnia cyfra — warunek parzystości), reszta jest dowolna.
Odpowiedź: $250$.
Zadanie nr 19
Ile jest ciągów binarnych długości $5$, które zaczynają się od $1$ lub kończą na $0$? (zasada włączeń i wyłączeń)
Krok 1 — zaczynające się od $1$. Pierwsza cyfra ustalona, pozostałe cztery dowolne:
$$1\cdot2^4=16$$
Krok 2 — kończące się na $0$. Ostatnia ustalona:
$$2^4\cdot1=16$$
Krok 3 — zaczynające się od $1$ ORAZ kończące na $0$. Dwie pozycje ustalone:
$$1\cdot2^3\cdot1=8$$
Krok 4 — zasada włączeń i wyłączeń. Aby nie liczyć części wspólnej dwa razy, odejmujemy ją:
$$16+16-8=24$$
Odpowiedź: $24$ ciągi.
Zadanie nr 20
Wykaż, że liczba wszystkich podzbiorów zbioru $n$-elementowego wynosi $2^n$.
Krok 1 — pomysł. Każdy podzbiór odpowiada decyzji podejmowanej dla każdego z $n$ elementów: „należy" albo „nie należy".
Krok 2 — reguła mnożenia. Dla każdego z $n$ elementów mamy $2$ niezależne możliwości, więc łączna liczba decyzji to:
$$\underbrace{2\cdot2\cdot\ldots\cdot2}_{n}=2^n$$
Krok 3 — wniosek. Różne układy decyzji dają różne podzbiory, a każdy podzbiór odpowiada dokładnie jednemu układowi. Zatem podzbiorów jest $2^n$. $\qquad ∎$
Uwaga. Wliczamy tu zbiór pusty (wszystkie „nie") i cały zbiór (wszystkie „tak"). Sprawdzenie dla $n=3$: podzbiorów jest $2^3=8$ ✔
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
