Prawdopodobieństwo klasyczne

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rozpiszmy sobie liczbę czterocyfrową jako \(■ ■ ■ ■\) i zastanówmy się, na ile sposobów możemy uzupełnić każdą z liczb.

· Cyfrą tysięcy może być jedna z dziewięciu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0\)), zatem mamy tutaj \(9\) możliwości wyboru.
· Cyfrą setek może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.
· Cyfrą jedności może być jedna z dziesięciu cyfr (od \(0\) do \(9\)), zatem mamy tutaj \(10\) możliwości wyboru.

To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich liczb czterocyfrowych) będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia:
$$9\cdot10\cdot10\cdot10=9000$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której w liczbie wystąpi dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\), a dodatkowo cała liczba będzie parzysta. Jest to sytuacja bardzo złożona, dlatego aby się nie pogubić, rozpiszmy sobie interesujące nas warianty:

I wariant - \(2 3 ■ ■\)
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

II wariant - \(2 ■ 3 ■\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

III wariant - \(■ 2 3 ■\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot4=28\).

IV wariant - \(3 2 ■ ■\)
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

V wariant - \(3 ■ 2 ■\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot4=32\).

VI wariant - \(3 ■ ■ 2\)
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(8\cdot8=64\).

VII wariant - \(■ 3 2 ■\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą jedności może być jedna z czterech cyfr (\(0, 4, 6, 8\), bo liczba ma być parzysta i nie może tu być \(2\)), zatem mamy tutaj \(4\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot4=28\).

VIII wariant - \(■ 3 ■ 2\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą dziesiątek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot8=56\).

IX wariant - \(■ ■ 3 2\)
· Cyfrą tysięcy może być jedna z siedmiu cyfr (od \(1\) do \(9\), bez \(0, 2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(7\) możliwości.
· Cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (od \(0\) do \(9\), bez \(2\) oraz \(3\)), zatem mamy tutaj \(8\) możliwości.

To oznacza, że takich liczb jesteśmy w stanie ułożyć \(7\cdot8=56\).

Teraz korzystając z reguły dodawania musimy zsumować wszystkie interesujące możliwości:
$$|A|=32+32+28+32+32+64+28+56+56=360$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{360}{9000}=\frac{1}{25}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy standardową sześcienną kostką do gry, zatem liczba zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Dla Pawła zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której na kostce padnie wypadnie liczba mniejsza od \(4\) (wtedy otrzyma \(10\) żetonów), więc Pawła interesują wyniki: \(1, 2\) oraz \(3\). To oznacza, że \(|A|=3\).

Dla Grzegorza zdarzeniem sprzyjającym będzie wyrzucenie jedynie wartości \(6\), stąd też \(|B|=1\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
W przypadku Pawła \(P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
W przypadku Grzegorza \(P(B)=\frac{|B|}{|Ω|}=\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\)

Krok 4. Obliczenie wartości oczekiwanej.
Chcąc obliczyć wartość oczekiwaną możemy posłużyć się dość skomplikowanym wzorem z tablic. Prościej jednak będzie wykonać to metodą prostej analizy. Skoro prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia sprzyjającego Grzegorzowi jest \(3\) razy mniejsza niż Pawła, to wartość oczekiwana powinna być \(3\) razy większa niż nagroda Pawła (mówiąc wprost - Grzegorz ma \(3\) razy mniejsze szanse na wygraną, więc jego nagroda musi być \(3\) razy większa). W związku z tym:
$$x=3\cdot10=30$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W pierwszym pudełku mamy \(4\) kule, w drugim mamy \(3\) kule, czyli zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=4\cdot3=12\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosowane kule utworzą liczbę podzielną przez \(3\). Spróbujmy zatem wypisać interesujące nas możliwości:
$$(1;2), (2;4), (3;3), (4;2)$$

Widzimy, że są \(4\) sprzyjające zdarzenia, czyli \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Mamy \(8\), a losowanie odbywa się ze zwracaniem, czyli za pierwszym razem możemy wylosować jedną z ośmiu liczb i za drugim razem też możemy wylosować jedną z ośmiu liczb. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=8\cdot8=64\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowane liczby pomnożone przez siebie dadzą wynik podzielny przez \(15\), czyli dadzą wynik równy \(15, 30, 45, 60, 75\) (większej liczby nie będziemy w stanie osiągnąć). Skoro tak, to pasującymi zdarzeniami będą:
$$(3,5); (5,3), (5,6); (6,5), (5,9); (9,5)$$

To oznacza, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Mamy \(8\), a losowanie odbywa się ze zwracaniem, czyli za pierwszym razem możemy wylosować jedną z ośmiu liczb i za drugim razem też możemy wylosować jedną z ośmiu liczb. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=8\cdot8=64\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowane liczby pomnożone przez siebie dadzą wynik podzielny przez \(15\), czyli dadzą wynik równy \(15, 30, 45, 60, 75\) (większej liczby nie będziemy w stanie osiągnąć). Skoro tak, to pasującymi zdarzeniami będą:
$$(3,5); (5,3), (5,6); (6,5), (5,9); (9,5)$$

To oznacza, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$$

Pierwszy rzut nie ma żadnego wpływu na rzut drugi. W związku z tym w drugim rzucie mamy standardowo \(6\) zdarzeń elementarnych (bo może wypaść \(1,2,3,4,5,6\)) i mamy \(2\) zdarzenia sprzyjające (podzielne przez \(3\) są zarówno \(3\) jak i \(6\)). To oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia tej sytuacji jest równe:
$$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy ze zbioru pięciu liczb, a losowanie jest ze zwracaniem (czyli można wylosować dwa razy tą samą liczbę). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot5=25\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym będzie wylosowanie pary, której iloczyn da wynik ujemny. Ujemny wynik otrzymamy tylko wtedy, gdy jedna liczba jest ujemna, a druga dodatnia (lub na odwrót). Wypiszmy zatem interesujące nas zdarzenia:
$$(-5;1), (-5;2), (-5;3),$$ $$(-4;1), (-4;2), (-4;3),$$ $$(1;-5), (2;-5), (3;-5),$$ $$(1;-4), (2;-4), (3;-4).$$

To oznacza, że \(12\) par spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=12\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}$$

Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba dziewcząt
\(12\) - liczba chłopców
\(x+12\) - łączna liczba uczniów

Skoro prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny (czyli \(x\) z liczby \(x+12\)) jest równe \(\frac{2}{5}\), to:
$$\frac{2}{5}=\frac{x}{x+12}$$ $$2\cdot(x+12)=5x$$ $$2x+24=5x$$ $$3x=24$$ $$x=8$$

To oznacza, że w tej klasie mamy \(8+12=20\) uczniów.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Liczba wszystkich kul: \(x\)
Liczba białych kul: \(\frac{1}{3}x\)
Liczba czarnych kul: \(\frac{2}{3}x\)

Po dołożeniu jednej kuli białej będziemy mieć:
Liczba wszystkich kul: \(x+1\)
Liczba białych kul: \(\frac{1}{3}x+1\)

Krok 2. Obliczenie liczby kul przed dołożeniem dodatkowej kuli.
Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli będzie zatem równe:
$$\frac{\frac{1}{3}x+1}{x+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{51}$$ $$\frac{\frac{1}{3}x+1}{x+1}=\frac{17}{51}+\frac{1}{51}$$ $$\frac{\frac{1}{3}x+1}{x+1}=\frac{18}{51}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$\left(\frac{1}{3}x+1\right)\cdot51=(x+1)\cdot18$$ $$17x+51=18x+18$$ $$-x=-33$$ $$x=33$$

To oznacza, że liczba wszystkich kul przed dołożeniem dodatkowej białej kuli była równa \(33\).

Skoro stosunek liczby kul jest równy \(4:5\), to możemy zapisać, że:
\(4x\) - liczba kul białych
\(5x\) - liczba kul czarnych
\(4x+5x=9x\) - liczba wszystkich kul

To oznacza, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi:
$$p=\frac{4x}{9x}=\frac{4}{9}$$

Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba kul zielonych
\(3x\) - liczba kul czarnych
\(2\cdot3x=6x\) - liczba kul białych

To oznacza, że wszystkich kul mamy:
$$x+3x+6x=10x$$

Skoro kul białych jest \(6x\), a wszystkich kul mamy \(10x\), to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:
$$p=\frac{6x}{10x}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zdarzeniami elementarnymi są liczby dwucyfrowe większe od \(53\), czyli \(54,55,...,99\). I tu mamy największą trudność tego zadania, czyli musimy ustalić ile jest tych liczb, bo wcale nie jest ich \(99-54=45\). Takich liczb jest dokładnie \(46\). Dobrze to widać na poniższej rozpisce:
\(54,55,56,57,58,59\) to \(6\) liczb
\(60-69\) to \(10\) liczb
\(70-79\) to \(10\) liczb
\(80-89\) to \(10\) liczb
\(90-99\) to \(10\) liczb

Łącznie jest to \(|Ω|=46\) liczb.

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są liczby dwucyfrowe, większe od \(53\), które są podzielne przez \(7\). Takimi liczbami są:
$$56,63,70,77,84,91,98$$

Łącznie jest to \(|A|=7\) liczb.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{7}{46}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Skoro zbiór ma \(9\) elementów, a losowanie odbywa się ze zwracaniem, to zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=9\cdot9=81\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są pary liczb, których iloczyn (czyli wynik mnożenia) daje wynik równy \(24\). Wypiszmy zatem interesujące nas pary, zwłaszcza że nie ma ich wiele:
$$(3;8), (4;6), (6;4), (8;3)$$

Są cztery takie pary, czyli \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{81}$$

Jeżeli stosunek kul białych do czerwonych jest równy \(3:4\), to możemy zapisać, że:
\(3x\) - liczba kul białych
\(4x\) - liczba kul czerwonych
\(3x+4x=7x\) - liczba wszystkich kul

Chcemy obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej kuli, zatem:
$$P(A)=\frac{3x}{7x}=\frac{3}{7}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników. Skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są wszystkie te rzuty, których wynik mnożenia jest równy \(12\). Wypiszmy zatem wszystkie interesujące nas kombinacje:
$$(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$$

Z naszej rozpiski wynika, że jedynie cztery przypadki spełniają warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy spośród liczb naturalnych dwucyfrowych, a takich jest \(90\). Możemy więc zapisać, że \(|Ω|=90\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te liczby, które są podzielne przez \(5\). Sprawdźmy zatem ile jest takich liczb:
- w rzędzie dziesiątek może znaleźć się dowolna cyfra od \(1\) do \(9\), mamy więc dziewięć możliwości uzupełnienia tej cyfry
- w rzędzie jedności może znaleźć się jedynie \(0\) lub \(5\), więc mamy dwie możliwości uzupełnienia tej cyfry

Teraz zgodnie z regułą mnożenia możemy zapisać, że zdarzeń sprzyjających jest \(|A|=9\cdot2=18\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{18}{90}$$

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Korzystając z informacji z treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba kul czarnych
\(x+6\) - liczba kul białych
\(x+x+6=2x+6\) - liczba wszystkich kul

Dodatkowo wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{2}{3}\).

Krok 2. Obliczenie liczby kul w pojemniku.
Skoro białych kul mamy \(x+6\), wszystkich kul jest \(2x+6\), a szanse na wylosowanie białej kuli wynoszą \(\frac{2}{3}\), to możemy zapisać, że:
$$\frac{x+6}{2x+6}=\frac{2}{3}$$

To równanie najprościej będzie rozwiązać wykonując tak zwane mnożenie na krzyż:
$$(x+6)\cdot3=(2x+6)\cdot2$$ $$3x+18=4x+12$$ $$-x=-6$$ $$x=6$$

I tutaj uwaga - zgodnie z naszymi oznaczeniami, \(x\) jest liczbą czarnych kul, a nas interesuje liczba wszystkich kul w pojemniku. Wszystkich kul jest \(2x+6\), zatem jest ich \(2\cdot6+6=12+6=18\).

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W pojemniku mamy \(3\) kule czerwone i \(3\) białe, czyli łącznie jest to \(6\) kul. Losujemy dwie kule (bez zwracania), zatem w pierwszym losowaniu mamy możliwość wylosowania jednej z sześciu kul, a w drugim losowaniu jednej z pięciu kul. To z kolei oznacza, że wszystkich możliwości wylosowania kul mamy zgodnie z regułą mnożenia \(|Ω|=6\cdot5=30\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zadanie jest dość podchwytliwe. To nie jest typowa sytuacja, dlatego musimy sobie to wszystko bardzo dokładnie rozpisać. Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie kul, które mają taki sam kolor lub numer. Wypiszmy sobie zatem te zdarzenia, dzieląc je na dwie grupy - te, które pasują nam ze względu na kolor oraz te, które pasują ze względu na numer

Ze względu na kolor:
$$(1c,2c); (1c,3c); (2c,1c); (2c,3c); (3c,1c); (3c,2c)$$ $$(1b,2b); (1b,3b); (2b,1b); (2b,3b); (3b,1b); (3b,2b)$$

Ze względu na numer:
$$(1c;1b), (2c;2b), (3c;3b)$$ $$(1b;1c), (2b;2c), (3b;3c)$$

Łącznie mamy \(12\) zdarzeń sprzyjających ze względu na kolor i \(6\) zdarzeń sprzyjających ze względu na numer. Łącznie tych zdarzeń jest więc \(|A|=12+6=18\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników. Rzucamy niezależnie dwoma kostkami, zatem liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Każdą parę wyników zapisujemy jako liczbę dwucyfrową, czyli przykładowo rzut \((1;4)\) oznacza liczbę \(14\). Musimy teraz ustalić, ile otrzymamy wyników podzielnych przez \(4\). Nie ma tutaj prostej metody na wyliczenie tych zdarzeń sprzyjających, musimy je po prostu wypisać. Nie będzie to trudne i najlepiej jest to robić dziesiątkami:
$$12, 16$$ $$24$$ $$32, 36$$ $$44$$ $$52, 56$$ $$64$$

To oznacza, że \(9\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=9\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a na każdej monecie jeden z dwóch wyników. Zgodnie z regułą mnożenia, liczba wszystkich kombinacji będzie więc równa \(|Ω|=6\cdot6\cdot2\cdot2=144\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy otrzymać jednakowe wyniki na kostkach i dwa orły, zatem interesującymi nas kombinacjami będą
$$(O,O,1,1); (O,O,2,2); (O,O,3,3)$$ $$(O,O,4,4); (O,O,5,5); (O,O,6,6)$$

Warunki zadania spełnia \(6\) przypadków, stąd też możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{144}=\frac{1}{24}$$

Krok 1. Wprowadzenie danych do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba samogłosek
\(1,25x\) - liczba spółgłosek
\(x+1,25x=2,25x\) - suma wszystkich liter

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich liter) mamy \(2,25x\). Zdarzeń sprzyjających (czyli samogłosek) mamy \(x\). Skoro tak, to prawdopodobieństwo wylosowania samogłoski będzie równe:
$$P(A)=\frac{x}{2,25x}=\frac{4}{9}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Musimy na początku ustalić ile jest liczb dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru \(\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), a cyfra jedności należy do zbioru \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\). Widzimy, że cyfrą dziesiątek może być jedna z sześciu liczb, a cyfrą jedności może być jedna z pięciu liczb. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich takich liczb mamy \(|Ω|=6\cdot5=30\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie liczby podzielnej przez \(4\). Nie znajdziemy tutaj za bardzo szybkiego sposobu na obliczenie ile jest tych liczb, ale możemy spróbować je wypisać. Nie będzie to trudne, bo liczba podzielna przez \(4\) na pewno nie ma w cyfrze jedności liczb \(1\) oraz \(3\), zatem wiele wariantów nam odpadnie. Pasującymi liczbami będą jedynie:
$$32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84$$

Mamy zatem \(9\) takich liczb, czyli \(|A|=9\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy dwa wierzchołki, przy czym wiadomo, że muszą to być dwa różne. Pierwszy wierzchołek możemy wylosować na osiem sposobów (od \(A\) do \(H\)), a drugi na siedem (bez tego, co jest pierwszym wierzchołkiem). W związku z tym \(|Ω|=8\cdot7=56\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosujemy taką parę wierzchołków, która buduje przekątną sześcianu. No i tu największa pułapka, bowiem w sześcianie możemy wyróżnić cztery jednakowe przekątne:


Ale to, że są cztery przekątne, nie oznacza, że są cztery zdarzenia sprzyjające, bo tak przykładowo - przekątną \(BH\) otrzymamy zarówno losując zestaw \((B;H)\) jak i \((H;B)\). Wypiszmy sobie zatem zdarzenia sprzyjające:
$$(A;G), (G;A)$$ $$(B;H), (H;B)$$ $$(C;E), (E;C)$$ $$(D;F), (F;D)$$

Z rozpiski wynika, że mamy \(8\) zdarzeń sprzyjających, zatem \(|A|=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy dwoma kostkami, to liczba wszystkich możliwości będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której suma wyrzuconych oczek jest równa \(4\), \(5\) lub \(6\). Wypiszmy sobie te zdarzenia:
$$(1,3); (1;4); (1;5)$$ $$(2,2); (2;3); (2;4)$$ $$(3,1); (3;2); (3;3)$$ $$(4,1); (4;2)$$ $$(5,1)$$

Z rozpiski wynika, że warunki zadania spełnia \(12\) przypadków, stąd też możemy napisać, że \(|A|=12\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wiemy, że na początku mamy 8 kul, do których dorzucono potem \(n\) kul. Wszystkich kul mamy więc łącznie:
$$|Ω|=8+n$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie kuli białej. Na początku takich kul było 5, ale dorzucono do tego jeszcze \(n\) kul, więc wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=5+n\).

Krok 3. Obliczenie wartości n.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{11}{12}\). Podstawiając wypisane dane do wzoru na prawdopodobieństwo, otrzymamy:

$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}$$ $$\frac{11}{12}=\frac{5+n}{8+n}$$

Najprościej będzie teraz wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$11\cdot(8+n)=12\cdot(5+n)$$ $$88+11n=60+12n$$ $$n=28$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Musimy na początku ustalić ile jest kul w pudełku, a tych jest \(6+n\). Skoro więc losujemy jedną kulę, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6+n\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których wylosowaliśmy kulę białą. Skoro białych kul jest \(6\), to możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie liczby czarnych kul.
Skoro prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe \(\frac{1}{3}\) to możemy zapisać, że:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}$$ $$\frac{1}{3}=\frac{6}{6+n} \quad\bigg/\cdot(6+n)$$ $$\frac{1}{3}\cdot(6+n)=6$$ $$2+\frac{1}{3}n=6$$ $$\frac{1}{3}n=4$$ $$n=12$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W naszym zbiorze mamy pięć liczb. Skoro losowanie odbywa się ze zwracaniem, to znaczy że za pierwszym razem możemy wylosować jedną z pięciu liczb i za drugim razem wylosujemy także jedną z pięciu. W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=5\cdot5=25$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są wszystkie te sytuacje w których dzieląc liczbę pierwszą przez drugą otrzymamy liczbę całkowitą. Wypiszmy zatem te wszystkie możliwości:
$$(1,1), (2,1), (2,2), (4,1), (4,2), (4,4),$$ $$(5,1), (5,5), (10,1), (10,2), (10,5), (10,10)$$

Mamy \(12\) takich przypadków, zatem \(|A|=12\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Bazując na informacjach z treści zadania możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba chłopców
\(3x\) - liczba dziewczyn

To z kolei oznacza, że wszystkich dzieci w tej klasie mamy \(x+3x=4x\), czyli \(|Ω|=4x\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie chłopca. Wiemy, że mamy \(x\) chłopców, zatem możemy napisać, że \(|A|=x\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{x}{4x}=\frac{1}{4}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Rzucając kostką możemy otrzymać jeden z sześciu wyników (od \(1\) do \(6\)). Rzucając pojedynczą monetą możemy uzyskać jeden z dwóch wyników - orła lub reszkę. Skoro doświadczenie polega na rzucie kostką i dwiema monetami, to korzystając z reguły mnożenia możemy zapisać, że wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|Ω|=6\cdot2\cdot2=24$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie na kostce liczby podzielnej przez \(3\), a na monetach przynajmniej jednego orła. Rozpatrzmy więc to sobie po kolei.
Jeżeli chcemy, aby na kostce wypadła liczba podzielna przez \(3\), to musi nam wypaść \(3\) lub \(6\). Mamy więc dwie możliwości.
Jeżeli chcemy, aby na monetach wypadł przynajmniej jeden orzeł, to interesują nas trzy warianty: \((OR), (RO)\) lub \((OO)\). Mamy więc takie trzy możliwości.

Korzystając więc z reguły mnożenia wyjdzie nam, że zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=2\cdot3=6$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$$

Krok 1. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania kuli czerwonej.
W urnie mamy łącznie \(3+5=8\) kul. Początkowe prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe \(\frac{3}{8}\), a kuli niebieskiej \(\frac{5}{8}\). Jeżeli w pierwszym losowaniu byśmy wylosowali kulę czerwoną, to liczba kul czerwonych spada do \(2\) sztuk, a łącznie wszystkich kul pozostanie \(7\). Na podstawie tych obserwacji możemy zbudować proste drzewko:


Nas interesuje tylko ten przypadek, w którym losujemy dwie czerwone kule. To oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia takiego zdarzenia będzie równe:
$$P=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$$

Krok 2. Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania kul różnych kolorów.
Sytuacja jest bardzo podobna do tej z poprzedniego podpunktu, tylko po prostu inne gałęzie drzewka będą nas interesować.


Pasuje nam zarówno wylosowanie najpierw kuli czerwonej, a potem niebieskiej, jak i najpierw niebieskiej, a potem czerwonej. Stąd też prawdopodobieństwa obydwu tych sytuacji będziemy musieli do siebie dodać:
$$P=\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}+\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których przynajmniej na jednej kostce wypadła piątka. Aby nie zgubić żadnego zdarzenia, to wypiszmy je sobie w następujący sposób:
$$(1,5)$$ $$(2,5)$$ $$(3,5)$$ $$(4,5)$$ $$(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)$$ $$(6,5)$$

To oznacza, że \(11\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=11\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{11}{36}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Mamy \(9\) kul i losujemy tylko jedną z nich, zatem wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=9\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosowana kula nie jest zielona lub biała. Mówiąc wprost - zdarzeniem sprzyjającym jest po prostu wylosowanie kuli czerwonej. Kul czerwonych mamy \(4\), więc \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{9}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Rzucamy cztery razy monetą, a w każdym rzucie możemy uzyskać jeden z dwóch wyników - orła lub reszkę. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich możliwości rzutu będziemy mieć \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której mamy wynik inny niż dwa orły oraz dwie reszki. Wypisanie wszystkich tych przypadków może być nieco problematyczne, za to znacznie łatwiej powinno pójść wypisanie zdarzeń, które NIE są sprzyjające. Będą to:
$$(RROO); (RORO); (ROOR);$$ $$(ORRO); (OROR); (OORR)$$

Zdarzeń niesprzyjających mamy \(6\), zatem zdarzeń sprzyjających będziemy mieć \(|A|=16-6=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losować będziemy spośród grupy \(60\) osób, zatem \(|Ω|=60\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są sytuacje w których wylosujemy mężczyznę. Skoro wszystkich osób jest \(60\), a kobiet jest \(35\), to mężczyzn mamy: \(60-35=25\). Z tego też względu możemy napisać, że \(|A|=25\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Wybieramy jedną liczbę spośród wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych. Skoro naturalnych liczb dwucyfrowych jest \(90\), to znaczy że:
$$|Ω|=90$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Ustalmy najpierw co to jest rząd dziesiątek i jedności. Jeżeli mamy liczbę \(75\), to cyfrą dziesiątek jest \(7\), a cyfrą jedności jest \(5\).

Sprzyjającymi zdarzeniami są liczby, które w rzędzie dziesiątek mają liczbę nieparzystą, a w rzędzie jedności mają liczbę parzystą. Takimi zdarzeniami byłyby więc przykładowo liczby \(14, 38, 52\) itd., ale już przykładowo \(21, 22, 84\) nie są sprzyjające.

Aby ustalić liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających skorzystamy z reguły mnożenia. W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z pięciu cyfr i w rzędzie jedności także możemy mieć jedną z pięciu cyfr. Zatem zgodnie z regułą mnożenia \(|A|=5\cdot5=25\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Rzucając kostką mamy możliwość otrzymania jednego z sześciu wyników. Takich rzutów wykonujemy dwa. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Interesują nas takie pary wyników, których suma daje łącznie \(8\) oczek. Wypiszmy zatem wszystkie takie możliwości:
$$(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2)$$

Widzimy, że warunki zadania spełnia pięć par, zatem możemy napisać, że \(|A|=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{36}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na początek musimy ustalić ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od \(30\), czyli tak naprawdę ile jest liczb od \(10\) do \(29\) włącznie. Takich liczb jest dokładnie \(20\). Będziemy losować dwie liczby (bez zwracania), zatem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć:
$$|Ω|=20\cdot19=380$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Interesują nas takie pary wyników, w których obie wylosowane liczby są podzielne przez \(3\). Aby liczba była podzielna przez \(3\), to suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez \(3\). W naszym zestawie będą to liczby:
$$12,15,18,21,24,27$$

Widzimy, że jest to \(6\) różnych liczb. Zgodnie z regułą mnożenia, skoro losowanie jest bez zwracania, to takich par w których jedna i druga liczba są podzielne przez \(3\), uda nam się utworzyć:
$$|A|=6\cdot5=30$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{30}{380}=\frac{3}{38}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Każdy rzut kością to możliwość otrzymania jednego z sześciu wyników. Takich rzutów wykonujemy dwa. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są sytuacje w których liczba oczek w drugim rzucie jest o dwa większa od liczby oczek w pierwszym rzucie. Wypiszmy zatem te możliwości, bo nie jest ich wiele:
$$(1;3), (2;4), (3;5), (4;6)$$

Widzimy, że są tylko cztery interesujące nas przypadki. W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Nasz zbiór składa się z liczb naturalnych od \(20\) do \(40\), czyli składa się z \(21\) liczb, zatem \(|Ω|=21\).

Przy określaniu zdarzeń elementarnych w takich zbiorach trzeba być ostrożnym, bo bardzo wiele osób błędnie zakłada, że tych liczb w naszym zbiorze będzie \(40-20=20\), a to jest nieprawda.

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami (czyli takimi, które są liczbami podzielnymi przez \(4\)) będą następujące liczby:
$$20,24,28,32,36,40$$

To oznacza, że tylko sześć liczb spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro rzucamy trzykrotnie standardową kostką sześcienną to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć: \(|Ω|=6\cdot6\cdot6=216\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są takie rzuty, których suma daje wynik równy \(16\). Wbrew pozorom nie jest dużo takich możliwości, bo maksymalnie z trzech rzutów możemy mieć \(18\) oczek. To oznacza, że aby wypadła suma równa \(16\), to albo na jednej kostce musi wypaść \(4\), a na reszcie \(6\), albo muszą wypaść dwie \(5\) oraz \(6\). Sprzyjającymi zdarzeniami będą więc:
$$(4,6,6); (6,4,6); (6,6,4);$$ $$(6,5,5); (5,6,5); (5,5,6).$$

Mamy więc sześć takich zdarzeń, zatem możemy zapisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{216}=\frac{1}{36}$$

Krok 1. Ustalenie liczby zdarzeń elementarnych.
Losujemy spośród \(40\) kul, zatem wszystkich zdarzeń elementarnych mamy \(Ω=40\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie kuli czerwonej. Skoro mamy \(35\) kul białych, to kul czerwonych jest \(40-35=5\). W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(A=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Skoro mamy 5 zdarzeń sprzyjających, a wszystkich zdarzeń elementarnych jest \(40\), to prawdopodobieństwo będzie równe:
$$P(A)=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$$

Krok 1. Ustalenie liczby zdarzeń elementarnych.
Korzystając z reguły mnożenia możemy stwierdzić, że wszystkich par jakie możemy wylosować będziemy mieć dokładnie: \(5\cdot5=25\). W związku z tym \(Ω=25\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie takich liczb, których iloczyn da liczbę nieparzystą. Przykładowo więc wylosowanie \((3;5)\) jest zdarzeniem sprzyjającym, bo \(3\cdot5=15\), ale już \((3;4)\) zdarzeniem sprzyjającym nie będzie, bo \(3\cdot4=12\).

Powinniśmy więc dostrzec, że aby iloczyn dwóch liczb był liczbą nieparzystą, to obydwa czynniki muszą być nieparzyste, czyli w pierwszym losowaniu musi nam wypaść \(1\), \(3\) lub \(5\) i tak samo w drugim losowaniu musimy mieć \(1\), \(3\) lub \(5\). W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia takich par będziemy mieć: \(3\cdot3=9\). Możemy więc zapisać, że \(A=9\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Skoro mamy \(9\) zdarzeń sprzyjających, a wszystkich zdarzeń elementarnych jest \(25\), to prawdopodobieństwo wylosowania liczb spełniających warunki zadania będzie równe:
$$P(A)=\frac{9}{25}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną osobę spośród \(29\) uczniów, zatem \(|Ω|=29\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której wylosujemy dziewczynę. Skoro chłopców jest \(15\), to dziewczyn mamy \(29-15=14\). W związku z tym możemy zapisać, że \(|A|=14\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{14}{29}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Z pierwszego zbioru możemy wylosować jedną z sześciu liczb. Z drugiego zbioru możemy wylosować jedną z czterech liczb. W związku zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć:
$$|Ω|=6\cdot4=24$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy teraz ustalić jaka para liczb będzie tworzyć zdarzenie sprzyjające, zatem musimy ustalić które liczby ze zbioru \(A\) oraz \(B\) pasują nam do warunków zadania. Aby funkcja była rosnąca, to współczynnik kierunkowy \(a\) musi być dodatni. To oznacza, że z pierwszego zbioru interesują nas tylko liczby \(1,2,3\).

Teraz musimy ustalić jakie liczby interesują nas ze zbioru \(B\), a wpływ na to mieć będzie informacja mówiąca o tym, iż funkcja ma mieć dodatnie miejsca zerowe. Co to oznacza, że miejsca zerowe są dodatnie? Jeżeli funkcja przecina oś iksów dla np. \(x=-2\), to znaczy że miejsce zerowe jest ujemne (taki przypadek nas nie interesuje). Jeżeli funkcja przecina oś iksów dla np. \(x=3\) to wtedy miejsce zerowe jest dodatnie. Jak więc ustalić kiedy funkcja osiąga dodatnie miejsce zerowe?

Aby funkcja liniowa (która jest rosnąca) miała dodatnie miejsce zerowe dodatnie, to musi przecinać oś igreków w ujemnej wartości (czyli pod osią iksów), nie ma innej możliwości. O miejscu przecięcia się z osią igreków informuje nas współczynnik \(b\) i już po tej prostej analizie wiemy, że musi on być ujemny. To by oznaczało, że ze zbioru \(B\) interesowałaby nas jedynie wartość \(-1\).

Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tej własności, to możemy podejść do zagadnienia z innej strony. Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji (jakiekolwiek) to musimy przyrównać wzór funkcji do zera. Zatem:
$$ax+b=0$$ $$ax=-b$$ $$x=\frac{-b}{a}$$

My musimy mieć to miejsce zerowe większe od zera, czyli interesuje nas sytuacja w której:
$$\frac{-b}{a}\gt0$$

Skoro w naszym przypadku \(a\) jest dodatnie, to aby wyrażenie \(\frac{-b}{a}\) było większe od zera, to w liczniku musimy mieć także liczbę dodatnią. To oznacza, że \(b\) musi być liczbą ujemną. Z podanych liczb w zbiorze \(B\) tylko liczba \(-1\) spełnia ten warunek.

Skoro więc ze zbioru \(A\) interesują nas liczby \(1,2,3\), a ze zbioru \(B\) interesuje nas jedynie \(-1\), to zdarzeniami sprzyjającymi będą:
$$(1;-1), (2;-1), (3;-1)$$

Są to więc tylko trzy pary liczb, zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Przyjmijmy sobie, żę \(x\) to liczba kul czarnych. Z treści zadania wynika, że kul białych będziemy mieć cztery razy więcej, zatem będziemy ich mieć \(4x\).
Łącznie kul czarnych i białych mamy zatem \(x+4x=5x\).

Z treści zadania wynika, że wylosowanie kuli czerwonej jest równe \(\frac{1}{2}\), a to prowadzi nas do wniosku, że kul czerwonych musi być tyle samo ile jest łącznie kul białych i czarnych. Możemy więc zapisać, że kul czerwonych mamy \(5x\).

To oznacza, że łącznie wszystkich kul (czyli tym samym zdarzeń elementarnych) będziemy mieć:
$$|Ω|=x+4x+5x=10x$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie kuli białej. Białych kul mamy \(4x\), stąd też możemy napisać, że \(|A|=4x\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4x}{10x}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy trzykrotnie dwunastościenną kostką. W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z dwunastu wyników, zatem wszystkich zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć:
$$|Ω|=12\cdot12\cdot12=1728$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowane liczby utworzą ciąg geometryczny, czyli przykładowo takimi zdarzeniami mogą być \(2,4,8\) lub też \(1,3,9\). Musimy wypisać wszystkie możliwe warianty. Warto tutaj zwrócić uwagę, że iloraz \(q\) w takich ciągach musi być liczbą naturalną. Jakbyśmy mieli \(q\) w postaci liczby niecałkowitej (np. w postaci ułamka typu \(\frac{1}{2}\)) to w ciągu będą pojawiać nam się liczby niecałkowite, a takich na kości nie mamy. Najprościej będzie wypisać wszystkie warianty w następujący sposób:
Gdy \(q=1\):
\((1,1,1), (2,2,2), (3,3,3),..., (12,12,12)\)
Mamy więc tutaj \(12\) takich zdarzeń.

Gdy \(q=2\):
\((1,2,4), (2,4,8), (3,6,12)\)
Mamy więc tutaj \(3\) takie zdarzenia.

Gdy \(q=3\):
\((1,3,9)\)
Mamy więc tutaj \(1\) takie zdarzenie.

Łącznie zdarzeń sprzyjających mamy zatem:
$$|A|=12+3+1=16$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{1728}=\frac{1}{108}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej monecie może nam wypaść orzeł lub reszka. Skoro rzucamy naszą monetą trzykrotnie to wszystkich możliwych kombinacji zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Interesuje nas sytuacja w której raz wypadnie reszka, czyli sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(ROO), (ORO), (OOR)$$

Są to trzy zdarzenia, zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zastanówmy się jakie odcinki mogą nam wyjść kiedy wylosujemy dwa wierzchołki sześciokąta. Możemy spotkać się z jedną z trzech sytuacji:


• w pierwszej sytuacji kiedy wylosowane punkty są sąsiadującymi wierzchołkami to otrzymamy odcinek o długości \(1\).
• w drugiej sytuacji wylosowane punkty mogą utworzyć dłuższą przekątną sześciokąta. Jej długość jest równa \(1+1=2\), co widać wyraźnie na naszym rysunku (dłuższe przekątne podzieliły nam sześciokąt na sześć trójkątów równobocznych).
• w trzeciej sytuacji wylosowane punkty mogą utworzyć krótszą przekątną sześciokąta. Jej długość jest zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) równa \(\sqrt{3}\).

Krok 2. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Analizując nasz sześciokąt możemy dostrzec, że losując dwa dowolne wierzchołki możemy otrzymać:
• \(6\) boków o długości \(1\) (to będą boki sześciokąta)
• \(3\) dłuższe przekątne o długości \(2\)
• \(6\) krótszych przekątnych o długości \(\sqrt{3}\) (utworzą one taką gwiazdkę)



Łącznie jest to \(6+3+6=15\) różnych odcinków. Możemy więc zapisać, że \(|Ω|=15\).

Krok 3. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi będzie wylosowanie odcinka o długości niewymiernej, czyli w tym przypadku o długości \(\sqrt{3}\). Mamy takich \(6\) odcinków, zatem \(|A|=6\).

Krok 4. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$

UWAGA: Zadanie jest dość mylące, bowiem tak prawdę mówiąc nigdzie nie jest powiedziane, że nie można byłoby wylosować dwóch tych samych wierzchołków i tym samym długość takiego odcinka byłaby równa \(0\). Powiększyłaby nam się w ten sposób o \(6\) liczba możliwych zdarzeń elementarnych. Moim zdaniem jeżeli ktoś na prawdziwej maturze obliczyłby to zadanie w taki sposób, otrzymując prawdopodobieństwo równe \(\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\), to zadanie też byłoby uznane.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W każdym losowaniu możemy trafić na jedną z dwóch kul: czarną lub białą. Skoro więc losujemy kule czterokrotnie, to wszystkich możliwych kombinacji losowania mamy zgodnie z regułą mnożenia: \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie dokładnie trzech białych kul. To oznacza, że sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(b,b,b,c), (b,b,c,b), (b,c,b,b), (c,b,b,b)$$

Są to więc tylko cztery takie przypadki, zatem możemy zapisać, że \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Za każdym razem rzucając monetą możemy otrzymać jeden z dwóch wyników - orła lub reszkę. Skoro rzucamy monetą czterokrotnie, to zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych będzie \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której orłów jest więcej niż reszek. Wypiszmy sobie te zdarzenia:
$$(O,O,O,O), (O,O,O,R), (O,O,R,O), (O,R,O,O), (R,O,O,O)$$

Widzimy, że takich zdarzeń jest dokładnie pięć, więc możemy zapisać, że \(|A|=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{16}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro losujemy jeden z \(50\) kuponów to wszystkich zdarzeń elementarnych mamy: \(|Ω|=50\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie kuponu wygrywającego. Takich kuponów jest \(50-15=35\), zatem możemy zapisać, że \(|A|=35\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{35}{50}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym zbiorze znajduje się siedem liczb. W drugim zbiorze znajduje się także siedem liczb. Skoro losujemy jedną liczbę z pierwszego zbioru i potem drugą liczbę ze zbioru drugiego, to wszystkich możliwych kombinacji mamy zgodnie z regułą mnożenia: \(|Ω|=7\cdot7=49\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie liczby podzielnej przez \(3\). Dana liczba jest podzielna przez \(3\), gdy suma jej cyfr dzieli się przez \(3\). Musimy więc ostrożnie wypisać takie pary liczb:
$$(100,11), (100,14),$$ $$(200,10), (200,13), (200,16),$$ $$(300,12), (300,15),$$ $$(400,11), (400,14),$$ $$(500,10), (500,13), (500,16),$$ $$(600,12), (600,15),$$ $$(700,11), (700,14)$$

Takich par jest dokładnie \(16\), zatem możemy zapisać, że \(|A|=16\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{49}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Musimy na początku ustalić ile jest kul w pudełku, a tych jest \(6+n\). Skoro więc losujemy jedną kulę, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6+n\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których wylosowaliśmy kulę białą. Skoro białych kul jest \(6\), to możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie liczby czarnych kul.
Skoro prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe \(\frac{1}{3}\) to możemy zapisać, że:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}$$ $$\frac{1}{3}=\frac{6}{6+n} \quad\bigg/\cdot(6+n)$$ $$\frac{1}{3}\cdot(6+n)=6$$ $$2+\frac{1}{3}n=6$$ $$\frac{1}{3}n=4$$ $$n=12$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W naszym zbiorze mamy pięć liczb. Skoro losowanie odbywa się ze zwracaniem, to znaczy że za pierwszym razem możemy wylosować jedną z pięciu liczb i za drugim razem wylosujemy także jedną z pięciu. W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=5\cdot5=25$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są wszystkie te sytuacje w których dzieląc liczbę pierwszą przez drugą otrzymamy liczbę całkowitą. Wypiszmy zatem te wszystkie możliwości:
$$(1,1), (2,1), (2,2), (4,1), (4,2), (4,4),$$ $$(5,1), (5,5), (10,1), (10,2), (10,5), (10,10)$$

Mamy \(12\) takich przypadków, zatem \(|A|=12\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{12}{25}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W urnie mieliśmy \(9\) kul, do tego doszły jeszcze \(4\) nowe. To oznacza, że wszystkich kul, czyli zdarzeń elementarnych mamy \(|Ω|=9+4=13\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie białej kuli. Takich kul na początku mieliśmy \(3\), ale doszły jeszcze \(4\) kolejne, stąd też mamy \(7\) kul białych, czyli możemy napisać, że \(|A|=7\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{7}{13}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Nasze losowanie polega na tym, że losujemy jedną z kilkuset dostępnych kopert. Musimy więc teraz dobrze ustalić ile jest tych wszystkich kopert (czyli ile tak naprawdę jest liczb trzycyfrowych), bo wbrew pozorom nie będzie ich \(999-100=899\). To bardzo często popełniany błąd w tego typu zadaniach. Tak jak liczb np. od \(1\) do \(10\) nie jest \(10-1=9\), tylko \(10\), tak naszych kopert będziemy mieć \(900\). Możemy więc zapisać, że \(|Ω|=900\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) będą wszystkie te liczby które są parzyste i które mają przynajmniej jedną czwórkę. Obliczenie ile jest takich liczb może sprawiać problemy, bo nie jest to takie proste do wyznaczenia. Rozpiszmy więc sobie wszystko bardzo dokładnie:

I sposób - analizując poszczególne możliwości.
Zacznijmy od rozpisania sytuacji w których jest tylko jedna czwórka w całym zapisie:
1. Czwórka może wystąpić w rzędzie setek \(4■■\). Wtedy w rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu pozostałych cyfr (\(0,1,2,3,5,6,7,8,9\), czyli bez czwórki), a w rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech cyfr (\(2,6,8,0\), bo liczba musi być parzysta). To oznacza, że tutaj zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć \(1\cdot9\cdot4=36\) zdarzeń sprzyjających.
2. Czwórka może wystąpić w rzędzie dziesiątek \(■4■\). W takiej sytuacji w rzędzie setek możemy mieć jedną z ośmiu cyfr (pasuje każda cyfra, oprócz \(4\) oraz \(0\), bo nie ma takich liczb jak \(042\)). W rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech cyfr (\(2,6,8,0\)). Zgodnie z regułą mnożenia mamy więc \(8\cdot1\cdot4=32\) zdarzenia sprzyjające.
3. Czwórka może wystąpić w rzędzie jedności \(■■4\). Tutaj w rzędzie setek możemy mieć jedną z ośmiu cyfr (pasuje każda cyfra oprócz \(4\) oraz \(0\)). W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu cyfr (każda oprócz \(4\)). W związku z tym mamy tutaj \(8\cdot9\cdot1=72\) zdarzenia sprzyjające.

Teraz policzmy ile jest zdarzeń w których mamy dwie czwórki w całym zapisie:
1. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie setek i dziesiątek \(44■\). Tutaj cyfrą jedności może być być jedna z czterech cyfr (\(0,2,6,8\)). Mamy zatem \(4\) zdarzenia sprzyjające.
2. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie setek i jedności \(4■4\). Tutaj cyfrą dziesiątek może być jedna z dziewięciu cyfr (wszystkie oprócz \(4\)). Mamy zatem \(9\) zdarzeń sprzyjających.
3. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie dziesiątek i jedności \(■44\). Tutaj cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (bez \(0\) oraz bez \(4\)). Mamy zatem \(8\) zdarzeń sprzyjających.

No i jest jeszcze jedna możliwość, czyli wszystkie cyfry naszej liczby są równe \(4\), dzięki czemu powstanie liczba \(444\). Mamy więc jeszcze jedną dodatkową możliwość.

W związku z tym wszystkich zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=36+32+72+4+9+8+1=162$$

II sposób - nieco sprytniejszy, opierający się na tym ile zdarzeń nie jest sprzyjających.
Jak widać powyżej, obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających było dość trudne i bardzo łatwo jest tutaj o pomyłkę. Okazuje się, że znacznie szybciej dałoby się policzyć ile zdarzeń NIE jest sprzyjających.
1. Na pewno zdarzeniami niesprzyjającymi są wszystkie liczby nieparzyste, które stanowią połowę wszystkich zdarzeń elementarnych. Takich zdarzeń będzie więc \(450\).
2. Liczby nieparzyste odkładamy już na bok i ich nie analizujemy. Wśród pozostałych zdarzeń (czyli wśród liczb parzystych) zdarzeniami niesprzyjającymi będą teraz te liczby w których nie użyto cyfry \(4\). W takich liczbach w rzędzie setek możemy mieć więc \(8\) różnych cyfr (wszystkie cyfry oprócz \(4\) oraz \(0\)). W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu cyfr (wszystkie oprócz \(4\)). W rzędzie jedności będziemy mieć jedną z czterech cyfr (\(0,2,6,8\)). To oznacza, że parzystych liczb w których nie ma czwórki będzie łącznie \(8\cdot9\cdot4=288\).

W związku z tym wszystkich zdarzeń niesprzyjających mamy \(450+288=738\). Skoro zdarzeń elementarnych mamy \(900\), a zdarzeń niesprzyjających jest \(738\), to zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=900-738=162$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{162}{900}=\frac{18}{100}=\frac{9}{50}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W każdym rzucie może wypaść jeden z dwóch wyników - orzeł lub reszka. Skoro rzucamy monetą czterokrotnie, to zgodnie z regułą mnożenia \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których wypadnie co najwyżej jeden orzeł. Co najwyżej, czyli wypadnie raz lub nie wypadnie ani razu. Wypiszmy te zdarzenia:
$$(ORRR), (RORR), (RROR), (RRRO), (RRRR)$$

To oznacza, że tylko \(5\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{16}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W każdym rzucie może wypaść jeden z sześciu wyników - \(1,2,3,4,5,6\). My rzucamy taką kostką trzykrotnie, zatem zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych zdarzeń mamy \(|Ω|=6\cdot6\cdot6=216\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których otrzymamy przynajmniej \(16\) oczek. Wbrew pozorom tak wielu tych zdarzeń nie będzie, bo przecież maksymalnie możemy wyrzucić \(18\) oczek. W związku z tym pasującymi zdarzeniami są:
$$(6,6,6)$$ $$(5,6,6), (6,5,6), (6,6,5)$$ $$(6,5,5), (5,6,5), (5,5,6)$$ $$(4,6,6), (6,4,6), (6,6,4)$$

To oznacza, że tylko \(10\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{216}=\frac{5}{108}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) będą wszystkie te rzuty, których iloczyn daje wynik większy od \(20\). To będą następujące sytuacje:
$$(6,6),(6,5),(6,4),(5,6),(5,5), (4,6)$$

To oznacza, że tylko sześć przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro losujemy jedną z dwudziestu czterech liczb, to wszystkich zdarzeń elementarnych mamy: \(|Ω|=24\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym będzie trafienie na liczbę, która jest dzielnikiem liczby \(24\). Wypiszmy więc jakie dzielniki ma liczba \(24\):
$$D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$

Widzimy wyraźnie, że jest to osiem różnych dzielników, zatem: \(|A|=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zbiorem zdarzeń elementarnych są wszystkie liczby dwucyfrowe, a tych mamy łącznie \(90\), zatem: \(|Ω|=90\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym będą w tym przypadku wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez \(3\), które są jednocześnie mniejsze od \(40\). Tymi liczbami będą:
$$\{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39\}$$

Łącznie jest to \(10\) liczb, zatem: \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z dwóch wyników - orzeł \((O)\) lub reszka \((R)\). Podobnie jest w drugim rzucie. W trzecim rzucie (tym razem kostką) możemy otrzymać jeden z sześciu wyników (\(1,2,3,4,5,6\)). To oznacza, że wszystkich kombinacji mamy:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot6=24$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Jest tylko jedna możliwość otrzymania zdarzenia, które zostało opisane w treści zadania i tym zdarzeniem będzie \(OO6\). Zatem \(|A|=1\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{1}{24}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy dwa razy. Za pierwszym razem mamy do wyboru jedną z siedmiu liczb. W drugim losowaniu wybrać już możemy tylko jedną z sześciu opcji (bo wykluczamy liczbę, która wypadła w pierwszym losowaniu, gdyż losowane liczby muszą być różne). Z reguły mnożenia wynika, że wszystkich zdarzeń elementarnych mamy:
$$|Ω|=7\cdot6=42$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Aby zdarzenie było sprzyjające to większa z tych dwóch liczb musi być równa \(5\), czyli zdarzeniami spełniającymi warunki zadania będą:
$$(1;5), (2;5), (3;5), (4;5),$$ $$(5;1), (5;2), (5;3), (5;4)$$

Łącznie jest to \(8\) zdarzeń, więc \(|A|=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba kul czarnych
\(x+10\) - liczba kul białych

To z kolei oznacza, że wszystkich kul będziemy mieć:
$$x+x+10=2x+10$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby czarnych kul.
Wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe \(\frac{3}{4}\). Jeżeli więc potraktujemy wylosowanie białej kuli jako zdarzenie sprzyjające \(|A|=x+10\), a liczbę wszystkich kul jako liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=2x+10\), to powstanie nam równanie:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}$$ $$\frac{3}{4}=\frac{x+10}{2x+10}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$3\cdot(2x+10)=4\cdot(x+10)$$ $$6x+30=4x+40$$ $$2x=10$$ $$x=5$$

To oznacza, że mamy \(5\) kul czarnych.

Krok 3. Obliczenie ilości wszystkich kul.
Skoro kul białych jest \(10\) więcej, to białych kul będziemy mieć \(5+10=15\). Naszym zadaniem jest powiedzenie ile jest wszystkich kul w urnie, a tych będzie łącznie:
$$5+15=20$$

Ewentualnie skoro \(x=5\), a wszystkich kul jest \(2x+10\), to:
$$2\cdot5+10=10+10=20$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Skoro kule losowane są bez zwracania i losujemy trzy kule, to za pierwszym razem możemy wyciągnąć jedną z pięciu kul, za drugim razem jedną z czterech kul (bo jedna jest już odrzucona), a za trzecim razem jedną z trzech kul (bo dwie są już odrzucone). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot4\cdot3=60\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których wylosowana liczba jest podzielna przez \(3\). Aby liczba była podzielna przez \(3\) to suma jej cyfr musi być podzielna przez \(3\). Musimy się więc najpierw zastanowić jakie komplety trzech cyfr dadzą nam oczekiwaną sumę. Przy okazji trzeba pamiętać, że liczby nie mogą się powtarzać (bo losowanie jest bez zwracania). W związku z tym pasującymi kompletami będą:
$$\{1,2,3\}, \{1,2,6\}, \{1,2,9\}, \{3,6,9\}$$

Ale to nie koniec. To, że mamy cztery komplety takich cyfr nie kończy obliczania liczby zdarzeń sprzyjających, bo tak przykładowo z kompletu cyfr \(1,2,3\) możemy otrzymać np. \(123, 132, 321\) i inne. Musimy się więc jeszcze zastanowić ile liczb z każdej takiej "trójki" cyfr możemy ułożyć. Z reguły mnożenia wynika, że z każdej takiej trójki ułożymy \(3\cdot2\cdot1=6\) liczb. Skoro mamy cztery takie komplety trójek, to łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających będziemy mieć \(4\cdot6=24\), stąd też możemy napisać, że \(|A|=24\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy trzykrotnie monetą. W każdym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z dwóch wyników - orła lub reszki. W związku z tym z reguły mnożenia wynika, że wszystkich zdarzeń elementarnych mamy:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
W naszym przypadku zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wypadł nam tylko i wyłącznie jeden orzeł. Takich kombinacji mamy dokładnie trzy:
$$(ORR), (ROR), (RRO)$$
Zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}=0,375$$

Wyznaczone prawdopodobieństwo mieści się jedynie w przedziale z drugiej odpowiedzi, czyli \(0,25\le p\le0,4\).

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Będziemy rzucać monetą trzykrotnie. W pierwszym rzucie może nam wypaść jedna z dwóch możliwości - orzeł lub reszka. W drugim rzucie ponownie mamy dwie możliwości, w trzecim to samo. To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych będzie:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Szukamy przypadków, kiedy wypadną nam dokładnie dwa orły (czyli nie mogą to być trzy orły). Zatem pasującymi zdarzeniami są:
$$OOR, ORO, ROO$$
Łącznie zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}=0,375$$

To oznacza, że pasującym przedziałem jest ten zapisany w trzeciej odpowiedzi.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych mamy \(90\). Skoro losowanie odbywa się bez zwracania, to w pierwszym losowaniu mamy \(90\) różnych możliwości, natomiast w drugim już tylko \(89\) (bo odpada nam liczba, która była przed chwilą wylosowana). Stąd też wszystkich zdarzeń elementarnych mamy łącznie:
$$|Ω|=90\cdot89=8010$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest takie, którego suma dwóch liczb jest równa \(30\). Takimi zdarzeniami będą:
$$(10;20), (11;19), (12;18), (13;17), (14;16),$$ $$(16;14), (17;13), (18;12), (19;11), (20;10)$$

Łącznie jest to \(10\) różnych zdarzeń, tak więc \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{8010}=\frac{1}{801}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych mamy \(90\). Skoro losowanie odbywa się bez zwracania, to w pierwszym losowaniu mamy \(90\) różnych możliwości, natomiast w drugim już tylko \(89\) (bo odpada nam liczba, która była przed chwilą wylosowana). Stąd też wszystkich zdarzeń elementarnych mamy łącznie:
$$|Ω|=90\cdot89=8010$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest takie, którego suma dwóch liczb jest równa \(30\). Takimi zdarzeniami będą:
$$(10;20), (11;19), (12;18), (13;17), (14;16),$$ $$(16;14), (17;13), (18;12), (19;11), (20;10)$$

Łącznie jest to \(10\) różnych zdarzeń, tak więc \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{8010}=\frac{1}{801}$$

Łącznie wszystkich osób jest \(15+18=33\).
Skoro \(15\) z \(33\) osób stanowią kobiety, to prawdopodobieństwo wylosowania kobiety będzie równe \(\frac{15}{33}\).

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Z treści zadania wynika, że pierwszą cyfrę możemy wylosować na \(6\) sposobów, a drugą na \(8\) sposobów. Zgodnie z regułą mnożenia oznacza to, że wszystkich możliwych kombinacji będzie:
$$|Ω|=6\cdot8=48$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są liczby podzielne przez \(11\), czyli:
$$11,22,33,44,55,66$$

Łącznie jest to \(6\) liczb, zatem \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{48}=\frac{1}{8}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Możemy wylosować jedną z szesnastu liczb (łącznie z zerem), zatem \(|Ω|=16\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosujemy liczbę pierwszą, czyli interesują nas następujące przypadki:
$$2,3,5,7,11,13$$

Liczb pierwszych w naszym zbiorze jest dokładnie sześć, zatem \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wybieramy jedną liczbę spośród wszystkich liczb dwucyfrowych. Skoro liczb dwucyfrowych jest \(90\), to znaczy że:
$$|Ω|=90$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowana liczba jest podzielna przez \(9\) lub \(12\). Wypiszmy sobie zatem te liczby (uważając na to, by żadnej z liczb nie wypisać dwukrotnie):
$$18,27,36,45,54,63,72,81,90,99$$ $$12,24,48,60,84,96$$

Takich liczb jest \(16\), zatem \(|A|=16\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{90}=\frac{8}{45}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie trzema kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6\cdot6=6^3\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) będą następujące rzuty:
$$(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),$$ $$(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6)$$

To oznacza, że tylko sześć przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{6^3}=\frac{6}{6^2\cdot6}=\frac{1}{6^2}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Najpierw losujemy jedną z \(10\) piłeczek. Losowanie jest bez zwracania, więc drugą piłeczkę losujemy już tylko z puli \(9\) piłeczek. To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć \(|Ω|=10\cdot9=90\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której wylosujemy dwie czarne piłeczki. W pierwszym losowaniu możemy trafić na jedną z siedmiu takich piłeczek. Jak już wylosujemy czarną piłeczkę, to w drugim losowaniu możemy trafić na jedną z sześciu piłeczek. W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia, liczba zdarzeń sprzyjających będzie równa \(|A|=7\cdot6=42\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}$$

Mamy informację o tym, że \(4\) ze \(100\) losów są wygrywające. Czyli prawdopodobieństwo wygranej jest równe \(p=\frac{4}{100}\).
Po wylosowaniu \(n\) losów zostały już tylko trzy losy wygrywające. To oznacza, że prawdopodobieństwo wygranej jest teraz równe \(\frac{3}{100-n}\). Skoro prawdopodobieństwo wygranej się nie zmieniło to:
$$\frac{4}{100}=\frac{3}{100-n}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$3\cdot100=4\cdot(100-n)$$ $$300=400-4n$$ $$-100=-4n$$ $$n=25$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru liczb dwucyfrowych. Z racji tego, że liczb dwucyfrowych jest \(90\), to \(|Ω|=90\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Naszym zdarzeniem sprzyjającym będą liczby podzielne przez \(8\) oraz \(12\). Musimy więc je sobie wypisać i policzyć ile ich tak naprawdę jest.

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(8\) to:
$$16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96$$

Łącznie takich liczb jest \(11\).

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(12\) to:
$$12,\color{blue}{24},36,\color{blue}{48},60,\color{blue}{72},84,\color{blue}{96}$$

Łącznie takich liczb jest \(8\).

Ale to nie koniec określania liczby zdarzeń sprzyjających. Część z tych liczb się powtarza (to te liczby zaznaczone na niebiesko), więc gdybyśmy dodali do siebie \(11+8=19\) to otrzymalibyśmy błędny wynik. Musimy odrzucić te liczby zaznaczone na niebiesko i tym samym otrzymujemy \(|A|=11+4=15\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Na każdej z kostek może wypaść jedna z sześciu cyfr - \(1, 2, 3, 4, 5\) oraz \(6\). Wyniki na kostkach są niezależne względem siebie. Skoro na jednej kostce mamy \(6\) różnych możliwości i na drugiej także mamy \(6\) różnych możliwości, to zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której iloczyn liczby oczek jest równy \(4\). Wypiszmy sobie takie przypadki:
$$(1,4), (2,2), (4,1)$$

Są to więc tylko trzy takie sytuacje, zatem \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym losowaniu możemy trafić na jedną z ośmiu cyfr. W drugim losowaniu możemy trafić już tylko na jedną z siedmiu cyfr, bo odpada nam ta cyfra, która była wylosowana za pierwszym razem (losowanie jest bez zwracania). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=8\cdot7=56$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której otrzymana liczba (utworzona z wylosowanych cyfr) będzie podzielna przez \(4\). Wypiszmy sobie takie przypadki:
$$(1,2), (1,6), (2,4), (2,8), (3,2), (3,6), (4,8),$$ $$(5,2), (5,6), (6,4), (6,8), (7,2), (7,6), (8,4)$$

Warto tutaj zwrócić uwagę, że przykładowo nie da się wylosować zdarzenia \((4,4)\) czy też \((8,8)\), bo cyfry losujemy bez zwracania, czyli cyfry nie mogą się powtarzać. Mamy więc 14 takich liczb, zatem \(|A|=14\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{14}{56}=\frac{1}{4}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro z pierwszego pojemnika losujemy jedną z dwóch kul, potem z drugiego także jedną z dwóch i z trzeciego ponownie jedną z dwóch, to wszystkich możliwych kombinacji będziemy mieć:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Wypiszmy sobie teraz wszystkie zdarzenia sprzyjające, czyli takie które spełniają warunki zadania. Dwie z trzech wylosowanych kul muszą być czerwone, więc w grę wchodzą jedynie zdarzenia:
$$(c,c,n), (c,n,c), (n,c,c)$$

Mamy trzy takie zdarzenia, więc \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{8}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Będziemy wybierać jedną ze \(115\) osób, stąd też \(|Ω|=115\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Naszym zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie osoby, która nie kupiła biletu. W związku z tym musimy teraz określić ile osób nie kupiło biletu. Można to zrobić na kilka sposobów (mniej lub bardziej matematycznych). Przykładowo:

I sposób: Skoro sprzedano \(76+41=117\) biletów, a \(27\) osób ma jeden i drugi bilet, to znaczy że osób które kupiły ten bilet jest \(117-27=90\). W związku z tym biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

II sposób: Możemy też wykonać prosty rysunek w którym zobrazujemy sobie całą sytuację:



Najpierw wpisujemy liczbę \(27\), bo tyle osób ma dwa bilety, a następnie obliczamy ile osób ma tylko bilet ulgowy lub tylko bilet normalny. Po zsumowaniu wartości wychodzi nam, że bilet kupiło: \(49+27+14=90\) osób, czyli biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{115}=\frac{5}{23}$$

Pamiętaj o tym, by przedstawić to rozwiązanie właśnie w formie nieskracalnego ułamka (jest to wyszczególnione w treści zadania).

Zapiszmy sobie, że:
\(4x\) - liczba dziewczyn
\(5x\) - liczba chłopców
\(4x+5x=9x\) - liczba dzieci w klasie

Prawdopodobieństwo, że wybraną osobą będzie dziewczyna jest więc równe:
$$P(A)=\frac{4x}{9x}=\frac{4}{9}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Będziemy wybierać jedną ze \(115\) osób, stąd też \(|Ω|=115\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Naszym zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie osoby, która nie kupiła biletu. W związku z tym musimy teraz określić ile osób nie kupiło biletu. Można to zrobić na kilka sposobów (mniej lub bardziej matematycznych). Przykładowo:

I sposób: Skoro sprzedano \(76+41=117\) biletów, a \(27\) osób ma jeden i drugi bilet, to znaczy że osób które kupiły ten bilet jest \(117-27=90\). W związku z tym biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

II sposób: Możemy też wykonać prosty rysunek w którym zobrazujemy sobie całą sytuację:



Najpierw wpisujemy liczbę \(27\), bo tyle osób ma dwa bilety, a następnie obliczamy ile osób ma tylko bilet ulgowy lub tylko bilet normalny. Po zsumowaniu wartości wychodzi nam, że bilet kupiło: \(49+27+14=90\) osób, czyli biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{115}=\frac{5}{23}$$

Pamiętaj o tym, by przedstawić to rozwiązanie właśnie w formie nieskracalnego ułamka (jest to wyszczególnione w treści zadania).

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucając monetą mamy dwie możliwości otrzymania wyniku - wypadnie nam orzeł \((O)\) lub reszka \((R)\). W każdym z trzech rzutów będziemy mieć identyczną sytuację, więc zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli różnych kombinacji otrzymanego wyniku) będziemy mieć:
$$|Ω|=2\cdot2\cdot2=8$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest w naszym przypadku taka kombinacja trzech rzutów, w których choć raz pojawi się reszka np. \(ROO, RRO, ORO\) itd. Możemy wypisać sobie wszystkie te kombinacje, ale wystarczy zauważyć, że jest tylko jedna jedyna możliwość, kiedy takiej reszki nie będzie. To będzie rzut \(OOO\). Wszystkie pozostałe zawierają choć jedną reszkę. Zatem zdarzeń sprzyjających mamy:
$$|A|=8-1=7$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{7}{8}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Pierwszą cyfrę możemy dobrać na pięć różnych sposobów (bo wybierzemy jedną z pięciu cyfr). Dobierając drugą cyfrę mamy już nieco mniejszy wybór, bo druga liczba zgodnie z treścią zadania nie może się powtarzać z pierwszą. W związku z tym w drugim losowaniu mogę otrzymać jedną z czterech cyfr. Zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli w tym przypadku wszystkich liczb dwucyfrowych w zbiorze \(M\)) będzie:
$$|Ω|=5\cdot4=20$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest w naszym przypadku każda liczba, która jest większa od \(20\) i która jednocześnie ma cyfrę dziesiątek mniejszą od cyfry jedności. Wypiszmy więc sobie te liczby:
$$A=\{23,24,25,34,35,45\}$$

Jak widzimy takich liczb jest tylko sześć, zatem \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

W każdym rzucie kostką możemy otrzymać jeden z sześciu wyników. Poszczególne rzuty kostką są względem siebie niezależne, stąd też prawdopodobieństwo wyrzucenia dowolnej liczby będzie zawsze to samo i wyniesie \(p=\frac{1}{6}\).

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Zadanie już na samym początku może sprawiać problemy (zwłaszcza jeśli chodzi o samo zrozumienie treści), dlatego zastanówmy się jakie pary biletów moglibyśmy zakupić. Każdy bilet ma numer od \(1\) do \(16\) (na razie nie patrzymy na to jakie to są rzędy). Pierwszej osobie możemy dać bilet na \(16\) różnych sposobów (bo dostanie numer od \(1\) do \(16\)). Drugiej osobie możemy dać bilet na \(15\) sposobów (bo jeden damy wcześniej innej osobie). Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości będziemy mieć:
$$|Ω|=16\cdot15=240$$

Jeśli nie umiemy sobie wyobrazić tej sytuacji, to możemy sobie, że pierwszy bilet dostaje Jaś, a drugi dostaje Małgosia, więc mamy następujące możliwości rozmieszczenia dzieci na sali kinowej:
$$(1,2), (1,3), (1,4)... (1,16)$$ $$(2,1), (2,3), (2,4)... (2,16)$$ $$...$$ $$(16,1), (16,2), (16,3)... (16,15)$$

Otrzymaliśmy \(16\) różnych wierszy, a w każdym wierszu jest \(15\) różnych możliwości (bo wykluczają nam się zdublowane opcje typu \((1,1), (2,2)\) itd.). Łącznie jest ich więc \(16\cdot15=240\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której numery biletów są sąsiadujące (czyli wtedy kiedy Jaś siedzi obok Małgosi). Wypiszmy sobie wszystkie pary, które spełniałyby warunki zadania. Zwróć uwagę, że jeśli Jaś siedzi na \(1.\) miejscu, a Małgosia na \(2.\) miejscu (czyli \((1,2)\)) to jest to zupełnie inne zdarzenie niż Jaś siedzący na \(2.\) miejscu i Małgosia siedząca na \(1.\) miejscu (zdarzenie \((2,1)\)). Zatem:
W pierwszym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10)$$ $$(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,6), (8,7), (9,8), (10,9)$$

W szesnastym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(11,12), (12,13), (13,14), (14,15), (15,16)$$ $$(12,11), (13,12), (14,13), (15,14), (16,15)$$

Łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy: \(|A|=28\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{28}{240}=\frac{7}{60}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Na kostce może wypaść jedna z sześciu cyfr - \(1, 2, 3, 4, 5, 6\). Skoro rzucamy kostką dwukrotnie, to zgodnie z regułą mnożenia liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której iloczyn liczby oczek jest równa \(6\). Taką sytuację będziemy mieć tylko w pięciu przypadkach:
$$(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$$

Zatem \(|A|=5\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{5}{36}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Każdy rzut to możliwość otrzymania jednego z sześciu wyników. Takich rzutów wykonujemy aż cztery. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=6\cdot6\cdot6\cdot6=1296$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są wyniki mniejsze od \(23\). Czyli przykładowo zdarzeniem sprzyjającym będą rzuty \((3,3,1,6)\) czy też \((2,3,6,2)\) itd. Nie damy rady wypisać wszystkich możliwych kombinacji, ale jesteśmy w stanie określić ile z tych \(1296\) kombinacji nie spełnia warunków naszego zadania. Będą to takie sytuacje w których raz wypadnie piątka i trzy razy wypadnie szóstka lub też kiedy cztery razy wypadną szóstki. To oznacza, że mamy tylko pięć przypadków zdarzeń niesprzyjających:
$$(5,6,6,6), (6,5,6,6), (6,6,5,6), (6,6,6,5), (6,6,6,6)$$

W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=1296-5=1291\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{1291}{1296}$$

Spośród liczb od \(1\) do \(30\) tylko pięć jest kwadratem liczby całkowitej. Są to:
$$1,4,9,16,25$$

Prawdopodobieństwo wylosowania jednej z tych liczb będzie więc równe:
$$p=\frac{5}{30}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro z pierwszego zbioru losujemy jedną z pięciu liczb i z drugiego także jedną z pięciu, to zgodnie z regułą mnożenia:
$$|Ω|=5\cdot5=25$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi są w tym przypadku takie dwie liczby, których iloczyn jest dodatni. Teoretycznie moglibyśmy wypisać tu wszystkie możliwe kombinacje, ale możemy też zrobić to nieco bardziej matematycznie.

Aby wynik mnożenia dwóch liczb był dodatni, to te dwie liczby muszą mieć identyczny znak (mogą to być dwie liczby dodatnie lub dwie ujemne).
Dwie liczby dodatnie możemy wybrać na \(3\cdot3=9\) sposobów.
Dwie liczby ujemne możemy wybrać na \(2\cdot2=4\) sposoby.

Zatem \(|A|=9+4=13\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{13}{25}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Skoro losowanie liczb jest ze zwracaniem, to w pierwszym losowaniu mamy \(8\) możliwości wyboru i w drugim losowaniu także mamy \(8\) możliwości. Zatem wszystkich kombinacji jest: \(|Ω|=8\cdot8=64\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy teraz wypisać wszystkie zdarzenia sprzyjające, czyli spełniające warunki zadania. Są to:
$$(5,1), (6,2), (7,3), (8,4)$$ $$(7,1), (8,2)$$
Łącznie jest to sześć zdarzeń, czyli \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W pierwszym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z sześciu wyników. Analogicznie będzie w drugim rzucie. Z reguły mnożenia wynika, że wszystkich zdarzeń elementarnych będzie w takim razie:
$$|Ω|=6\cdot6=36$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest w tym przypadku otrzymanie dwukrotnie pięciu oczek. To oznacza, że tylko wariant \((5;5)\) spełnia nasze wymagania, zatem:
$$|A|=1$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{1}{36}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich liczb w tym zbiorze) jest \(9\), czyli \(|Ω|=9\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wybór liczby podzielnej przez \(3\). Takimi liczbami z naszego zbioru są: \(3,6,12,15\). Są to więc \(4\) liczby, czyli \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{9}$$

Każdy kolejny rzut monetą jest zdarzeniem niezależnym. Nie ma więc znaczenia jakie wartości wypadły na monetach w pierwszym czy drugim rzucie. W każdym rzucie mamy możliwość otrzymania jednego z dwóch wyników - orła lub reszkę. Stąd też prawdopodobieństwo wypadnięcia orła czy to w trzecim, czy w jakimkolwiek innym rzucie jest równe \(\frac{1}{2}\).

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy dwukrotnie tradycyjną kostką do gry. Każdy rzut to jedna z sześciu możliwości otrzymania wyniku. Z racji tego, że rzuty są niezależne względem siebie, to liczbę wszystkich możliwych kombinacji zapiszemy jako \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Iloczyn wyrzuconych oczek równy \(5\) otrzymamy tylko w dwóch przypadkach: \((1;5)\) oraz \((5;1)\). Zatem mamy tylko dwa sprzyjające zdarzenia, czyli \(|A|=2\).

Krok 3. Ustalenie prawdopodobieństwa.
Ostatnim krokiem jest obliczenie prawdopodobieństwa, dzieląc liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$$

Krok 1. Określenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną z piętnasty liczb, stąd też \(|Ω|=15\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
W tym przypadku zdarzeniem sprzyjającym są liczby podzielne przez \(4\). W naszym zbiorze znalazły się tylko trzy takie liczby:
$$4,8,12$$

W związku z tym \(|A|=3\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$$

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru: \(P(A')=1-P(A)\). Z treści zadania wiemy też, że \(P(A)=5\cdot P(A')\), więc podstawmy tę informację do naszego wzoru i w ten sposób wyliczymy pożądaną wartość \(P(A)\).
$$P(A)=5\cdot P(A')$$ $$P(A)=5\cdot(1-P(A))$$ $$P(A)=5-5\cdot P(A)$$ $$6\cdot P(A)=5$$ $$P(A)=\frac{5}{6}$$