Klasa 5 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Suma kątów $180^\circ$; twierdzenia sinusów i cosinusów.
Trójkąt $\frac{1}{2}ab\sin C$; koło $\pi r^2$.
Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty; styczna prostopadła do promienia.
Stosunek pól figur podobnych to $k^2$.
W trójkącie prostokątnym i na okręgu jednostkowym.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Sumy i różnicy kątów, kąt podwójny, wzory redukcyjne.
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
Dwa boki i kąt między nimi.
Przykład: $a=8$, $b=5$, $\gamma=30^\circ$: $P=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac12=10$.
Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały; $R$ — promień okręgu opisanego.
Przykład: $a=10$, $\alpha=30^\circ$: $2R=20$, więc $R=10$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $8$ i $15$. Ile ma przeciwprostokątna?
Oblicz $\sin 60^\circ+\cos 30^\circ$.
Oblicz odległość punktów $A=(1,\,2)$ i $B=(4,\,6)$.
Pole trójkąta równobocznego o boku $6$ wynosi:
Oblicz pole trójkąta o bokach $7$ i $10$ oraz kącie $30^\circ$ między nimi.
Kąt wpisany oparty na łuku, któremu odpowiada kąt środkowy $100^\circ$, ma miarę:
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(1,\,1)$ i $B=(3,\,7)$.
Oblicz pole koła o obwodzie $12\pi$.
Objętość walca o promieniu $3$ i wysokości $10$ wynosi:
W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $10$ jeden z kątów ostrych ma $30^\circ$. Oblicz pole tego trójkąta.
Środek odcinka o końcach $A=(-1,\,3)$ i $B=(5,\,7)$ to:
Przekątna kwadratu ma $8\sqrt2$. Oblicz bok i pole kwadratu.
Objętość ostrosłupa o polu podstawy $30$ i wysokości $9$ wynosi:
Oblicz odległość punktu $P=(2,\,3)$ od prostej $4x-3y+5=0$.
Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\sin\alpha=\frac{8}{17}$. Oblicz $\cos\alpha$.
Okrąg ma równanie $(x+2)^2+(y-5)^2=9$. Jaki jest jego środek?
W trapezie równoramiennym podstawy mają $10$ i $4$, a ramię $5$. Oblicz wysokość i pole.
Oblicz objętość i pole powierzchni kuli o promieniu $6$.
Trójkąt ma wierzchołki $A=(0,\,0)$, $B=(6,\,0)$, $C=(0,\,8)$. Oblicz jego obwód i promień okręgu opisanego.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $6$. Oblicz objętość, pole powierzchni całkowitej i długość przekątnej bryły.
Liczba $\sqrt{18}$ jest równa:
Ile wynosi $\log_2 64$?
Cena towaru wzrosła o $20\%$, a następnie spadła o $20\%$. O ile procent zmieniła się cena względem początkowej?
Rozwiąż równanie $x^2-5x+6=0$.
Funkcja liniowa $f(x)=-3x+7$ jest:
Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $a_1=5$ i różnicę $r=3$. Oblicz $a_{10}$ oraz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów.
Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy ma miarę:
Oblicz odległość między punktami $A=(-1,\,2)$ i $B=(3,\,5)$.
Rozwiąż nierówność $2x-6\ge 0$ i zapisz rozwiązanie przedziałem.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $5$ i $12$. Ile ma przeciwprostokątna?
Oblicz $\sin 30^\circ+\cos 60^\circ+\tg 45^\circ$.
Ciąg geometryczny ma $a_1=3$ i iloraz $q=2$. Oblicz $a_5$ oraz sumę pięciu pierwszych wyrazów.
Rzucamy dwiema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów?
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $5$ cm i wysokości $8$ cm.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\,3)$ i $B=(2,\,7)$.
Mediana zestawu $4$, $7$, $2$, $9$, $6$ wynosi:
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x)=x^2-6x+11$ i argument, dla którego jest osiągana.
Pole trapezu wynosi $84$ cm$^2$, podstawy mają $10$ cm i $18$ cm. Oblicz wysokość trapezu.
Kapitał $5000$ zł ulokowano na $4\%$ w skali roku z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $2$ latach?
Z pudełka z $4$ kulami białymi i $6$ czarnymi losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czarne.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia warunek $\sqrt{3}\,\tan\alpha = 2\sin\alpha$.
Cosinus kąta $\alpha$ jest równy
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym bok $BC$ jest przeciwprostokątną, przyprostokątna $AB=6$, a środkowa $CM$ ma długość $5$ (gdzie $M$ jest środkiem $AB$).
Tangens kąta $\alpha$ przy wierzchołku $B$ jest równy
Sinus kąta $\beta$ przy wierzchołku $C$ (w trójkącie z zadania 18) jest równy
Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku $O$. Miara kąta wpisanego $\angle ABC = 50°$. Wyznacz miarę kąta ostrego $\angle OAC$.
W trójkącie równoramiennym $ABC$: $|AB|=|BC|=4$, $|AC|=3$. Na boku $AC$, między punktami $A$ i $C$, wybrano punkt $D$ taki, że trójkąty $ABD$ i $DBC$ są podobne. Odcinek $BD$ ma długość
Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB|=11$, $|BC|=12$ oraz $\angle ABC = 60°$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.