Klasa 5 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie liczby, które po wstawieniu w miejsce niewiadomej dają zdanie prawdziwe.
Równanie można zmieniać, o ile to samo robimy z obiema stronami:
$$5x-3=2x+9$$
$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Sprawdzenie: lewa strona $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$. Zgadza się.
Przy przenoszeniu przez znak równości zmieniamy znak składnika. Minus przed nawiasem dotyczy całego nawiasu: $7y-2(y+3)=7y-2y-6$, a nie $7y-2y+6$. Sprawdzenie wyniku kosztuje kilkanaście sekund i wyłapuje większość pomyłek rachunkowych.
Kolejność: nawiasy, potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie.
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^0=1$$
$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$$
Liczbę zapisujemy jako $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a\lt 10$. Wykładnik dodatni oznacza liczbę dużą, ujemny — mniejszą od $1$: $0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$.
Wzrost o $p\%$ to mnożenie przez $1+\frac{p}{100}$, spadek — przez $1-\frac{p}{100}$. Cenę sprzed obniżki znajdujemy dzieleniem, nigdy doliczaniem tego samego procentu.
Opuszczając nawias po minusie, zmieniamy znak każdego składnika: $3(2x-1)-2(x-4)=6x-3-2x+8=4x+5$.
Równanie rozwiązujemy, grupując niewiadome po jednej stronie, a liczby po drugiej. Wynik zawsze warto sprawdzić przez podstawienie.
$$c^2=a^2+b^2,\qquad S_{\text{kątów } n\text{-kąta}}=(n-2)\cdot180^\circ$$
$$P_{\triangle}=\frac{a\cdot h}{2},\qquad P_{\text{trapezu}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2},\qquad P_{\text{koła}}=\pi r^2,\qquad L=2\pi r$$
Trójki pitagorejskie warte zapamiętania: $3$–$4$–$5$, $6$–$8$–$10$, $9$–$12$–$15$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$.
$$V_{\text{graniastosłupa}}=P_p H,\qquad V_{\text{ostrosłupa}}=\tfrac13 P_p H$$
$$1\ \text{m}^3=1000\ \text{litrów},\qquad 1\ \text{dm}^3=1\ \text{litr}$$
Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów. Znając średnią i liczbę elementów, odzyskujemy sumę — to klucz do zadań o brakującej ocenie.
$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$
$$v=\frac{s}{t},\qquad s=v\cdot t,\qquad t=\frac{s}{v}$$
Czas podajemy w godzinach zapisanych ułamkiem: $2$ h $15$ min $=2{,}25$ h.
Czytaj, o co pytano — obwód czy pole, ile zostało czy ile zużyto. Sprawdzaj jednostki w odpowiedzi. W zadaniach otwartych zapisuj obliczenia: punkty przyznaje się także za metodę, nawet gdy wynik końcowy jest błędny.
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
$(a\pm b)^2$, $a^2-b^2$, $a^3\pm b^3$.
Bardzo często używana do rozkładu na czynniki i szybkich obliczeń.
Przykład: $x^2-16=(x-4)(x+4)$; $51\cdot49=50^2-1=2499$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wynikiem mnożenia $(x+2)(x+3)$ jest:
Wykonaj mnożenie $(a+4)(a-4)$.
Wykonaj mnożenie $(x-1)(x+5)$.
Wykonaj mnożenie $(2x+3)(x-4)$.
Wyrażenie $(x+3)^2$ jest równe:
Wynikiem mnożenia $(a-3)(a-5)$ jest:
Wykonaj mnożenie $(x+2)(x^2-3)$.
Wykonaj mnożenie i uprość: $(x+3)(x-2)-(x+1)(x-1)$.
Zapisz wyrażeniem pole prostokąta o bokach $(x+3)$ i $(x+1)$, a następnie oblicz, o ile jest ono większe od pola kwadratu o boku $x$.
Wykaż, że wyrażenie $(x+1)(x+3)-(x+2)^2$ ma tę samą wartość dla każdego $x$. Podaj tę wartość.
Liczba niewymierna jest
Ile liczb całkowitych należy do przedziału $(-3,\,2\rangle$?
Przedział $\langle 2,5\rangle\cap\langle 4,7\rangle$ to
Liczba $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ jest równa
Wykaż, że liczba $\big(\sqrt5-\sqrt2\big)\big(\sqrt5+\sqrt2\big)$ jest liczba całkowita, i podaj ją.
Przedział $\langle -1,4)\cup\langle 2,6\rangle$ to
Rozwinięcie dziesiętne liczby $\dfrac{7}{20}$ jest
Liczba $\sqrt{72}$ jest równa
Ile wynosi $15\%$ z $200$?
Cena $250$ zł wzrosła o $12\%$. Ile wynosi nowa cena?
Uprość wyrażenie $3(2x-1)-2(x-4)$.
Rozwiąż równanie $4x-9=2x+5$.
Oblicz $\sqrt{144}-\sqrt{25}$.
Bilet po obniżce o $20\%$ kosztuje $48$ zł. Ile kosztował przed obniżką?
Oblicz $2^5\cdot2^3:2^6$.
Średnia pięciu ocen wynosi $4$. Cztery z nich to $3$, $5$, $4$, $5$. Jaka jest piąta ocena?
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $9$ i $12$. Ile ma przeciwprostokątna?
Ile wynosi $\left(\frac{3}{4}\right)^2$?
Za $3$ zeszyty i $2$ długopisy zapłacono $23$ zł. Zeszyt kosztuje $5$ zł. Ile kosztuje długopis?
Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach $5$ cm, $4$ cm i $3$ cm oraz jego pole powierzchni całkowitej.
Jakim procentem liczby $80$ jest liczba $20$?
Rowerzysta przejechał $36$ km w $2$ godziny $15$ minut. Oblicz jego średnią prędkość.
Ile wynosi suma kątów wewnętrznych sześciokąta?
Zapisz w notacji wykładniczej: $0{,}00042$.
W klasie jest $28$ uczniów. Dziewczęta stanowią $\frac47$ klasy. Ilu jest chłopców i jaki procent klasy stanowią?
Prostokątny basen ma wymiary $12$ m na $6$ m i głębokość $1{,}5$ m. Ile litrów wody mieści?
Towar kosztował $80$ zł. Najpierw podrożał o $25\%$, potem staniał o $20\%$. Ile kosztuje teraz i jak zmieniła się cena względem początkowej?
Dziedziną funkcji $f(x)=\frac{2}{x-5}$ jest zbiór:
Miejsce zerowe funkcji $f(x)=3x-12$ to:
Dla funkcji $f(x)=x^2-3x$ oblicz $f(-2)$.
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=x^2+3$ jest:
Oblicz $\sqrt{48}$ w postaci uproszczonej.
Funkcja liniowa $f(x)=-2x+5$ przecina oś OY w punkcie:
Wyznacz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $(0,\,-1)$ i $(2,\,5)$.
Ile wynosi $\log_2 8+\log_2 2$?
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=x^2-5x+6$.
Cena po podwyżce o $25\%$ wynosi $250$ zł. Cena przed podwyżką to:
Funkcja $f(x)=(x-3)^2+2$ ma wartość najmniejszą równą:
Rozwiąż nierówność $2x-6>0$ i zapisz przedziałem.
Oblicz odległość punktów $A=(2,\,-1)$ i $B=(6,\,2)$.
Funkcja $f(x)=2^x$ jest:
Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A=(1,\,3)$ i $B=(7,\,9)$. Wyznacz $S$.
Wyrażenie $\frac{x^2-9}{x-3}$ dla $x\neq3$ upraszcza się do:
Wyznacz największą wartość funkcji $f(x)=-x^2+4x+1$.
Rozwiąż równanie $2^{x+1}=16$.
Prosta przechodzi przez punkt $A=(1,\,2)$ i jest równoległa do prostej $y=3x-4$. Wyznacz jej równanie.
Lokata $8000$ zł na $5\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $2$ latach i ile wyniosą same odsetki?
Liczba $\sqrt{18}$ jest równa:
Ile wynosi $\log_2 64$?
Cena towaru wzrosła o $20\%$, a następnie spadła o $20\%$. O ile procent zmieniła się cena względem początkowej?
Rozwiąż równanie $x^2-5x+6=0$.
Funkcja liniowa $f(x)=-3x+7$ jest:
Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $a_1=5$ i różnicę $r=3$. Oblicz $a_{10}$ oraz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów.
Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy ma miarę:
Oblicz odległość między punktami $A=(-1,\,2)$ i $B=(3,\,5)$.
Rozwiąż nierówność $2x-6\ge 0$ i zapisz rozwiązanie przedziałem.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $5$ i $12$. Ile ma przeciwprostokątna?
Oblicz $\sin 30^\circ+\cos 60^\circ+\tg 45^\circ$.
Ciąg geometryczny ma $a_1=3$ i iloraz $q=2$. Oblicz $a_5$ oraz sumę pięciu pierwszych wyrazów.
Rzucamy dwiema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów?
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $5$ cm i wysokości $8$ cm.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\,3)$ i $B=(2,\,7)$.
Mediana zestawu $4$, $7$, $2$, $9$, $6$ wynosi:
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x)=x^2-6x+11$ i argument, dla którego jest osiągana.
Pole trapezu wynosi $84$ cm$^2$, podstawy mają $10$ cm i $18$ cm. Oblicz wysokość trapezu.
Kapitał $5000$ zł ulokowano na $4\%$ w skali roku z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $2$ latach?
Z pudełka z $4$ kulami białymi i $6$ czarnymi losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czarne.
Rozwiąż równanie $x+7=12$.
Rozwiąż równanie $3x=21$.
Rozwiąż równanie $2x+5=17$.
Rozwiąż równanie $5x-3=2x+9$.
Rozwiąż równanie $\frac{x}{4}=5$.
Rozwiąż równanie $3(x-2)=15$.
Które równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązań)?
Rozwiąż równanie $\frac{x+1}{3}=4$.
Liczba $3$ jest rozwiązaniem którego równania?
Pomyślana liczba powiększona o $8$ daje $23$. Zapisz równanie i znajdź tę liczbę.
Rozwiąż równanie $-2x=10$.
Rozwiąż równanie $4x+3=2x+11$.
Obwód prostokąta wynosi $30$ cm, a jego długość jest o $3$ cm większa od szerokości. Ułóż równanie i oblicz wymiary.
Równanie $2(x+3)=2x+6$ ma:
Rozwiąż równanie $\frac{2x}{3}=8$.
Ojciec ma $42$ lata, a syn $12$. Za ile lat ojciec będzie dwa razy starszy od syna?
Rozwiąż równanie $7-x=3$.
W dwóch koszykach jest razem $48$ jabłek. W pierwszym jest trzy razy więcej niż w drugim. Ile jabłek jest w każdym koszyku?
Rozwiąż równanie $\frac{x-1}{2}=\frac{x+2}{5}$.
Bilet ulgowy jest o $40\%$ tańszy od normalnego. Za $2$ bilety normalne i $3$ ulgowe zapłacono $84$ zł. Ile kosztuje bilet normalny?
Zredukuj wyrazy podobne: $3x+5x$.
Zredukuj wyrazy podobne: $4a+3b-2a+b$.
Oblicz wartość wyrażenia $2x+3$ dla $x=5$.
Opuść nawias: $2(x+3)$.
Opuść nawiasy i zredukuj: $3(x+2)+4x$.
Opuść nawias: $-(x-4)$.
Uprość wyrażenie $5x-(2x-3)$.
Oblicz wartość wyrażenia $x^2-2x$ dla $x=4$.
Iloczyn $x\cdot x$ to:
Wymnóż $x(x+5)$.
Zredukuj: $7a-7a$.
Uprość $2(a+b)+3(a-b)$.
Zapisz wyrażeniem: „liczba $x$ powiększona o $3$ i pomnożona przez $2$”.
Wartość wyrażenia $3a-b$ dla $a=2$, $b=1$ wynosi:
Zapisz obwód prostokąta o bokach $x$ i $x+3$, a następnie uprość.
Wyrażenie $2x+2y$ można zapisać jako:
Uprość $3(2x-1)-2(x-4)$.
Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: $6x^2+9x$.
Wiek Ani to $x$ lat. Brat jest o $4$ lata starszy, a mama trzy razy starsza od Ani. Zapisz sumę ich wieku i uprość.
Wykaż, że wyrażenie $2(x+3)-2x$ ma zawsze tę samą wartość, niezależnie od $x$, i podaj ją.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $(3x+2)^2-(2x-3)^2$ jest równa wartości wyrażenia
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $-2$ oraz różnej od $0$ wartość wyrażenia $\dfrac{x^2+3x+2}{x^2+4x+4}$ jest równa wartości wyrażenia
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.