Klasa 5 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\qquad \log_a x^n=n\log_a x$$
$$\text{po zmianie o } p\%:\ a\left(1\pm\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{procent składany: } K_n=K_0\left(1+\tfrac{p}{100}\right)^n$$
Podwyżka i obniżka o ten sam procent nie znoszą się — drugi procent liczony jest od innej kwoty.
$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad p=\frac{-b}{2a}$$
Postać kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ pokazuje wierzchołek $W=(p,\,q)$ wprost.
$$\text{arytmetyczny: } a_n=a_1+(n-1)r,\qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
$$\text{geometryczny: } a_n=a_1q^{n-1},\qquad S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} \ (q\neq1)$$
$$c^2=a^2+b^2 \ \text{(Pitagoras)},\qquad P_{\triangle}=\tfrac12 ab\sin\gamma$$
Kąt wpisany jest połową środkowego opartego na tym samym łuku; kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\qquad S=\left(\tfrac{x_A+x_B}{2},\ \tfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$
$$k\parallel l \iff a_1=a_2,\qquad k\perp l \iff a_1a_2=-1$$
$$V_{gr}=P_p H,\qquad V_{ostr}=\tfrac13 P_p H,\qquad V_{walca}=\pi r^2H,\qquad V_{kuli}=\tfrac43\pi r^3$$
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad P(A\prime)=1-P(A)$$
Mediana jest odporna na wartości odstające, średnia nie. Przy grupach o różnej liczebności liczymy średnią ważoną, a nie zwykłą.
$3$–$4$–$5$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$ oraz ich wielokrotności (np. $9$–$12$–$15$).
Na maturze najwięcej punktów przepada nie na trudnych rachunkach, lecz na pominiętych warunkach: dziedzinie w równaniach wymiernych i logarytmicznych, warunku $\Delta\ge0$ przy wzorach Viete oraz odrzuceniu wyników bez sensu fizycznego (ujemny bok, ujemny wiek). Zawsze wracaj na koniec do pytania z treści zadania.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Rozwiązaniem równania $3x-12=0$ jest:
Rozwiąż równanie $x^2-5x+6=0$.
W ciągu arytmetycznym $a_1=5$ i $r=3$. Oblicz $a_{12}$.
Rozwiązaniem nierówności $2x-6>0$ jest:
W ciągu geometrycznym $a_1=3$ i $q=2$. Oblicz $a_5$.
Rozwiązaniem nierówności $-3x>9$ jest:
Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym $a_1=2$ i $r=3$.
Rozwiąż układ równań $\begin{cases}x+y=10\\ 2x-y=5\end{cases}$
Równanie $x^2+4=0$:
Liczby $x$, $8$, $32$ tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz $x$.
Suma szeregu geometrycznego $6+2+\frac23+\dots$ wynosi:
Rozwiąż nierówność $x^2-9\le0$.
W ciągu arytmetycznym $a_3=11$ i $a_7=27$. Wyznacz $a_1$ i $r$.
Rozwiązaniem równania $|x-2|=5$ jest:
Rozwiąż równanie $\frac{2x+1}{x-3}=3$.
Ciąg $a_n=5-2n$ jest:
Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi $27$, a ich iloczyn $585$. Wyznacz te wyrazy.
Pan Kowalski wpłacił $10\,000$ zł na lokatę o oprocentowaniu $4\%$ w skali roku z coroczną kapitalizacją odsetek. Ile będzie miał po $3$ latach? (pomijamy podatek, zaokrąglij do pełnych złotych)
Liczba $\sqrt{18}$ jest równa:
Ile wynosi $\log_2 64$?
Cena towaru wzrosła o $20\%$, a następnie spadła o $20\%$. O ile procent zmieniła się cena względem początkowej?
Rozwiąż równanie $x^2-5x+6=0$.
Funkcja liniowa $f(x)=-3x+7$ jest:
Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $a_1=5$ i różnicę $r=3$. Oblicz $a_{10}$ oraz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów.
Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy ma miarę:
Oblicz odległość między punktami $A=(-1,\,2)$ i $B=(3,\,5)$.
Rozwiąż nierówność $2x-6\ge 0$ i zapisz rozwiązanie przedziałem.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają $5$ i $12$. Ile ma przeciwprostokątna?
Oblicz $\sin 30^\circ+\cos 60^\circ+\tg 45^\circ$.
Ciąg geometryczny ma $a_1=3$ i iloraz $q=2$. Oblicz $a_5$ oraz sumę pięciu pierwszych wyrazów.
Rzucamy dwiema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów?
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $5$ cm i wysokości $8$ cm.
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A=(0,\,3)$ i $B=(2,\,7)$.
Mediana zestawu $4$, $7$, $2$, $9$, $6$ wynosi:
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x)=x^2-6x+11$ i argument, dla którego jest osiągana.
Pole trapezu wynosi $84$ cm$^2$, podstawy mają $10$ cm i $18$ cm. Oblicz wysokość trapezu.
Kapitał $5000$ zł ulokowano na $4\%$ w skali roku z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie po $2$ latach?
Z pudełka z $4$ kulami białymi i $6$ czarnymi losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czarne.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.