Klasa 3 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 74
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 9 · Matura 2023
Na wykresie przedstawiono zależność \(log\;K(t)\), gdzie \(K(t)\) jest liczbą bakterii w próbce po czasie \(t\) wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili\(t=0\) rozpoczęcia obserwacji. Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili\(t=0\), liczba \(K\) bakterii była równa:
A\(3\)
B\(100\)
C\(1000\)
D\(10000\)
W tym zadaniu musimy pamiętać, że kiedy przy podstawie logarytmu nie mamy zapisanej żadnej liczby, to domyślnie ta podstawa jest równa \(10\). Mówiąc wprost, \(log\;K\) to po prostu \(log_{10}K\).
Z wykresu odczytujemy, że po trzech godzinach \(log_{10}K\) ma być równe \(3\), zatem:
$$log_{10}K=3 \Longleftrightarrow 10^3=K$$
To oznacza, że \(K=10^3=1000\).
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Liczba \(log_{2}\left[(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^4\cdot(\sqrt{2})^8\right]\) jest równa:
Skoro tak, to podstawiając te dane do naszego logarytmu, otrzymamy:
$$log_{2}\left[(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^4\cdot(\sqrt{2})^8\right]=$$
$$=log_{2}(2^1\cdot2^2\cdot2^4)=$$
$$=log_{2}(2^{1+2+4})=log_{2}2^7=7$$
Zadanie nr 27 · Matura 2023
Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę - tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder \(N(t)\) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie \(t\), licząc od chwili \(t_{0}=0\), wyraża się zależnością wykładniczą:
gdzie \(N_{0}\) jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej \(t_{0}=0\).
Zadanie 1.
Na poniższych rysunkach 1.-4. przedstawiono wykresy różnych zależności.
Wykres zależności wykładniczej \(N(t)\) - opisanej we wstępie do zadania - przedstawiono na
A. rysunku 1
B. rysunku 2
C. rysunku 3
D. rysunku 4
Zadanie 2.
Czas połowicznego rozpadu węgla \(^{14}C\) to około \(5700\) lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla \(^{14}C\) w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym \(\frac{1}{16}\) masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu.
Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.
Zadanie 1.
Naszym zadaniem jest poprawne dopasowanie wykresu funkcji wykładniczej. I tu od razu nasz wzrok musimy kierować w stronę rysunku 1 oraz 3 - bowiem tak właśnie wyglądają wykresy funkcji wykładniczych typu \(y=a^x\), gdy \(0\lt a\lt1\) (w naszym przypadku \(a=\frac{1}{2}\)).
Ustalmy zatem teraz, który z tych wykresów jest prawidłowy. Widzimy wyraźnie, że sytuacja z trzeciego rysunku musi zostać przez nas odrzucona, ponieważ nasz wykres musi zaczynać się od punktu \((0;0)\) i to właśnie w tym momencie musimy mieć początkową liczbę jąder naszego izotopu. Na trzecim wykresie funkcja ta jest nieco przesunięta w prawo, przez co początkowa liczba jąder izotopu przypada na czas \(\frac{1}{2}T\).
W związku z tym poprawnym wykresem jest jedynie ten z pierwszej odpowiedzi. Możemy to jeszcze sobie zweryfikować, widząc że dla czasu \(T\) nasza funkcja przyjmuje połowę wartości \(N_{0}\), a dla np. \(2T\) przyjmuje jedną czwartą wartości \(N_{0}\).
Zadanie 2.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie zapisać to w następujący sposób:
\(m\) - początkowa masa izotopu węgla
\(\frac{1}{2}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(1T\), czyli \(5700\) lat
\(\frac{1}{4}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(2T\), czyli \(11400\) lat
\(\frac{1}{8}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(3T\), czyli \(17100\) lat
\(\frac{1}{16}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(4T\), czyli \(22800\) lat
To oznacza, że znalezisko archeologiczne ma \(22800\) lat.
Zadanie nr 2 · Matura 2022
Liczba \(log_{2}32-log_{2}8\) jest równa:
A\(2\)
B\(14\)
C\(16\)
D\(24\)
Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{2}32-log_{2}8=log_{2}\left(\frac{32}{8}\right)=log_{2}4=2$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2022
Liczba \(log_{2}12-log_{2}3+log_{2}1\) jest równa:
A\(136\)
B\(log_{2}10\)
C\(3\)
D\(2\)
Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log_{2}12-log_{2}3+log_{2}1=log_{2}\left(\frac{12}{3}\right)+log_{2}1=log_{2}4+log_{2}1=log_{2}(4\cdot1)=log_{2}4=2$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2022
Wartość wyrażenia \(2log_{5}5+1-\frac{1}{2}log_{5}625\) jest równa:
A\(1\)
B\(5\)
C\(10\)v
D\(25\)
W wyrażeniu pojawiają nam się dwa kluczowe logarytmy, więc dla lepszego zobrazowania może rozwiążmy je osobno (bo mamy taką możliwość):
$$log_{5}5=1$$
$$log_{5}625=log_{5}5^4=4$$
Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$2log_{5}5+1-\frac{1}{2}log_{5}625=2\cdot1+1-\frac{1}{2}\cdot4=2+1-2=1$$
Zadanie nr 3 · Matura 2022
Liczba dwukrotnie większa od \(log3+log2\) jest równa:
A\(log12\)
B\(log36\)
C\(log10\)
D\(log25\)
Dla przypomnienia - jeżeli logarytm nie ma zapisanej podstawy (a tak jest w naszym przypadku), to domyślnie podstawa logarytmu wynosi \(10\). Czyli przykładowo \(log3=log_{10}2\).
I sposób - zaczynając od obliczenia sumy logarytmów.
Do zadania możemy podejść na różne sposoby. Przykładowo, korzystając z działań na potęgach możemy obliczyć sumę logarytmów podanych w treści zadania:
$$log3+log2=log(3\cdot2)=log6$$
Liczba dwukrotnie większa od \(log6\) to \(2\cdot log6\). Przenosząc teraz dwójkę stojącą przed logarytmem do wykładnika potęgi liczby logarytmowanej, wyjdzie nam, że:
$$2log6=log6^2=log36$$
II sposób - zaczynając od wymnożenia logarytmów przez \(2\).
Możemy też zapisać, że liczba dwukrotnie większa od \(log3+log2\) to:
$$2\cdot(log3+log2)=2log3+2log2$$
Teraz, korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$log3^2+log2^2=log9+log4$$
Aby dodać do siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie, wystarczy wymnożyć liczby logarytmowane, stąd też:
$$log9+log4=log(9\cdot4)=log36$$
Zadanie nr 3 · Matura 2022
Liczba \(4log_{4}2+2log_{4}8\) jest równa:
A\(6log_{4}10\)
B\(16\)
C\(5\)
D\(6log_{4}16\)
Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$4log_{4}2+2log_{4}8=log_{4}2^4+log_{4}8^2=log_{4}16+log_{4}64$$
Obliczmy teraz wartość każdego z otrzymanych logarytmów:
\(log_{4}16\) jest równy \(2\), ponieważ \(4^2=16\)
\(log_{4}{64}\) jest równy \(3\), ponieważ \(4^3=64\)
To oznacza, że:
$$log_{4}16+log_{4}64=2+3=5$$
Zadanie nr 2 · Matura 2021
Liczba \(log_{6}9+2log_{6}2\) jest równa:
A\(log_{6}\frac{9}{4}\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(log_{6}\frac{81}{2}\)
Aby rozwiązać to zadanie, musimy skorzystać z jednej z własności logarytmów i zapisać składnik \(2log_{6}2\) jako \(log_{6}2^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$log_{6}9+2log_{6}2=log_{6}9+log_{6}2^2=log_{6}9+log_{6}4$$
Otrzymaliśmy teraz sumę logarytmów o jednakowej podstawie, zatem korzystając ze wzoru na sumę logarytmów możemy zapisać, że:
$$log_{6}9+log_{6}4=log_{6}(9\cdot4)=log_{6}36=2$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2021
Liczba \(2log_{5}4-3log_{5}\frac{1}{2}\) jest równa:
A\(-log_{5}\frac{7}{2}\)
B\(7log_{5}2\)
C\(-log_{5}2\)
D\(log_{5}2\)
Z własności logarytmów wynika, że liczby stojące przed logarytmami możemy zamienić na potęgowanie liczb logarytmowanych, zatem:
$$2log_{5}4-3log_{5}\frac{1}{2}=log_{5}4^2-log_{5}\left(\frac{1}{2}\right)^3=log_{5}16-log_{5}\frac{1}{8}$$
Nie obliczymy oddzielnie wartości \(log_{5}16\) oraz \(log_{5}\frac{1}{8}\), ale możemy skorzystać z działań na logarytmach i rozpisać to w ten sposób:
$$log_{5}16-log_{5}\frac{1}{8}=log_{5}\left(16:\frac{1}{8}\right)=log_{5}(16\cdot8)=log_{5}128$$
Wiedząc, że \(128\) to jest \(2^7\) możemy zapisać, że:
$$log_{5}128=log_{5}2^7=7log_{5}2$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2021
Dane są liczby \(a=2\cdot log_{4}2\) oraz \(b=log_{4}8\). Różnica \(a-b\) jest równa:
A\(1\)
B\(\frac{1}{2}\)
C\(-\frac{1}{2}\)
D\(-2\)
Do zadania można podejść na różne sposoby, więc pokażmy sobie różne metody rozwiązania takiego przykładu.
I sposób - rozwiązując każdy logarytm osobno.
Zacznijmy od liczby \(a\). Z własności potęg wiemy, że dwójkę stojącą przed logarytmem możemy przenieść w miejsce potęgi liczby logarytmowanej, dzięki czemu otrzymamy:
$$a=2\cdot log_{4}2=log_{4}2^2=log_{4}4=1$$
Logarytm \(b\) jest nieco trudniejszy, dlatego rozpiszmy go sobie w taki sposób, by przejść do postaci potęgowej:
$$log_{4}8=x \Rightarrow 4^x=8$$
Pamiętając o tym, że \(4=2^2\) oraz że \(8=2^3\), otrzymamy:
$$4^x=8$$
$$(2^2)^x=2^3$$
$$2^{2x}=2^3$$
$$2x=3$$
$$x=1,5$$
To oznacza, że \(b=log_{4}8=1,5\)
Teraz sprawa jest już prosta, bowiem skoro \(a=1\) oraz \(b=1,5\), to \(a-b=1-1,5=-\frac{1}{2}\).
II sposób - korzystając z działań na logarytmach
Rozpiszmy sobie logarytm \(a\), przenosząc dwójkę w miejsce wykładnika potęgi liczby logarytmowanej:
$$a=2\cdot log_{4}2=log_{4}2^2=log_{4}4$$
Oczywiście wartość powyższego logarytmu jest równa \(1\), ale nam postać \(log_{4}4\) bardzo pasuje, bo użyjemy jej w odejmowaniu logarytmów, więc możemy ją tak zostawić. Korzystając ze wzoru \(log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)\) możemy zapisać, że:
$$log_{4}4-log_{4}8=log_{4}\frac{4}{8}=log_{4}\frac{1}{2}$$
Aby rozwiązać taki logarytm, najprościej będzie przejść do zapisu potęgowego:
$$log_{4}\frac{1}{2}=x \Rightarrow 4^x=\frac{1}{2}$$
Wiedząc, że \(\frac{1}{2}=2^1\) możemy zapisać, że:
$$4^x=\frac{1}{2}$$
$${(2^2)}^x=2^{-1}$$
$$2^{2x}=2^{-1}$$
$$2x=-1$$
$$x=-\frac{1}{2}$$
To oznacza, że \(a-b=-\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 28 · Próbny 2021
W pojemniku jest sześć kul, w tym trzy kule czerwone i trzy kule białe. Każda kula czerwona jest oznaczona inną liczbą ze zbioru \(\{1, 2, 3\}\). Analogicznie ponumerowano kule białe. Doświadczenie polega na losowaniu z tego pojemnika dwóch kul bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane kule mają taki sam kolor lub taki sam numer.
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W pojemniku mamy \(3\) kule czerwone i \(3\) białe, czyli łącznie jest to \(6\) kul. Losujemy dwie kule (bez zwracania), zatem w pierwszym losowaniu mamy możliwość wylosowania jednej z sześciu kul, a w drugim losowaniu jednej z pięciu kul. To z kolei oznacza, że wszystkich możliwości wylosowania kul mamy zgodnie z regułą mnożenia \(|Ω|=6\cdot5=30\).
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zadanie jest dość podchwytliwe. To nie jest typowa sytuacja, dlatego musimy sobie to wszystko bardzo dokładnie rozpisać. Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie kul, które mają taki sam kolor lub numer. Wypiszmy sobie zatem te zdarzenia, dzieląc je na dwie grupy - te, które pasują nam ze względu na kolor oraz te, które pasują ze względu na numer
Ze względu na kolor:
$$(1c,2c); (1c,3c); (2c,1c); (2c,3c); (3c,1c); (3c,2c)$$
$$(1b,2b); (1b,3b); (2b,1b); (2b,3b); (3b,1b); (3b,2b)$$
Ze względu na numer:
$$(1c;1b), (2c;2b), (3c;3b)$$
$$(1b;1c), (2b;2c), (3b;3c)$$
Łącznie mamy \(12\) zdarzeń sprzyjających ze względu na kolor i \(6\) zdarzeń sprzyjających ze względu na numer. Łącznie tych zdarzeń jest więc \(|A|=12+6=18\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2021
Wartość wyrażenia \(3log_{4}2+log_{4}32\) jest równa:
A\(1\)
B\(2\)
C\(3\)
D\(4\)
Korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$3log_{4}2+log_{4}32=log_{4}2^3+log_{4}32=log_{4}8+log_{4}32=log_{4}(8\cdot32)=log_{4}256$$
Wiedząc, że \(256=16\cdot16=4^2\cdot4^2=4^4\) możemy zapisać, że:
$$log_{4}256=log_{4}4^4=4$$
Zadanie nr 3 · Matura 2021
Niech \(log_{3}18=c\). Wtedy \(log_{3}54\) jest równy:
A\(c-1\)
B\(c\)
C\(c+1\)
D\(c+2\)
Powinniśmy dostrzec, że \(54\) to tak naprawdę \(18\cdot3\). Skoro tak, to:
$$log_{3}54=log_{3}(18\cdot3)$$
Teraz zadanie jest już proste, ponieważ ze wzoru na sumę logarytmów \(log_{a}b+log_{a}c=log_{a}(b\cdot c)\) wynika, że:
$$log_{3}(18\cdot3)=log_{3}18+log_{3}3=c+1$$
Zadanie nr 4 · Matura 2021
Suma \(2log\sqrt{10}+log10^3\) jest równa:
A\(2\)
B\(3\)
C\(4\)
D\(5\)
Korzystając z działań na logarytmach możemy przenieść dwójkę w miejsce wykładnika potęgi liczby logarytmowanej. Otrzymamy wtedy:
$$2log\sqrt{10}+log10^3=log\sqrt{10}^2+log10^3=log10+log10^3$$
Z działu logarytmów powinniśmy pamiętać, że jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to jest ona równa \(10\). Mamy teraz dwie opcje, które równie skutecznie doprowadzą nas do sukcesu:
I sposób - korzystając z działań na logarytmach
Korzystając ze wzoru na sumę logarytmów możemy zapisać, że:
$$log10+log10^3=log(10\cdot10^3)=log10^4=4$$
II sposób - obliczając oddzielnie każdy logarytm
Logarytmu \(log10\) oraz \(log10^3\) są bardzo proste do samodzielnego obliczenia. Powinniśmy dostrzec, że \(log10=1\) oraz \(log10^3=3\), zatem:
$$log10+log10^3=1+3=4$$
Zadanie nr 3 · Matura 2020
Liczba \(2log5+3log2\) jest równa:
A\(log(2\cdot5)+log(3\cdot2)\)
B\(log2^5+log3^2\)
C\(2\cdot3log(5\cdot2)\)
D\(log(5^2\cdot2^3)\)
Korzystając z działań na logarytmach możemy przenieść liczby stojące przed logarytmami do wykładników potęg, co pozwoli nam rozpisać całość w następujący sposób:
$$2log5+3log2=log5^2+log2^3=log(5^2\cdot2^3)$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2020
Wartość wyrażenia \(log_{4}8+5log_{4}2\) jest równa:
A\(2\)
B\(4\)
C\(2+\log_{4}5\)
D\(1+\log_{4}10\)
Korzystając z działań na logarytmach całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$log_{4}8+5log_{4}2=log_{4}2^3+log_{4}2^5=log_{4}(2^3\cdot2^5)=log_{4}2^8=log_{4}(2^2)^4=log_{4}4^4=4$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2020
Przyjmijmy, że \(log3=a\). Wtedy:
A\(log\frac{100}{27}=\frac{2}{a^3}\)
B\(log\frac{100}{27}=\frac{2}{3a}\)
C\(log\frac{100}{27}=3a-2\)
D\(log\frac{100}{27}=2-3a\)
Kiedy logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie podstawa jest równa \(10\). Możemy więc sobie dla lepszego zobrazowania zapisać, że \(log3=a\) to jest dokładnie to samo, co \(log_{10}3=a\). Oczywiście podstawy logarytmu równej \(10\) nie musimy zapisywać, ale chyba dzięki temu łatwiej będzie zrozumieć sposób rozwiązywania zadania. Z tego też względu w dalszych obliczeniach będziemy właśnie dopisywać sobie tę dziesiątkę. Jeżeli jednak czujesz się dość pewnie w logarytmach, to tę dziesiątkę możesz pominąć.
Wracając do naszego zadania, to patrząc się na odpowiedzi widzimy, że musimy obliczyć wartość \(log\frac{100}{27}\) (czyli \(log_{10}\frac{100}{27}\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru na różnicę logarytmów:
$$log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)=log_{a}b-log_{a}c$$
W naszym przypadku otrzymalibyśmy:
$$log_{10}\left(\frac{100}{27}\right)=log_{10}100-log_{10}27$$
Wartość \(log_{10}100\) jest równa \(2\), ponieważ \(10^2=100\).
Wartość \(log_{10}27\) musimy rozpisać jako \(log_{10}3^3\), co zgodnie z działaniami na logarytmach (po przesunięciu wykładnika potęgi na początek zapisu) będzie równe \(3log_{10}3\). Wiemy, że \(log_{10}3\) jest równe \(a\), czyli \(3log_{10}3\) to po prostu \(3a\).
Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$log_{10}100-log_{10}27=2-log_{10}3^3=2-3log_{10}3=2-3a$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2020
Jeżeli \(log5=a\) i \(log3=b\), to \(log15\) jest równy:
A\(ab\)
B\(\frac{a}{b}\)
C\(a+b\)
D\(a-b\)
Na początku rozwiejmy wszelkie wątpliwości - skoro logarytmy nie mają podanej podstawy, to znaczy że ta podstawa jest równa \(10\). Dla nas w tym momencie najważniejsze jest to, że zarówno liczba \(a\) jak i \(b\) mają w takim razie tą samą podstawę, co pozwoli nam za chwilę wykorzystać działania na logarytmach.
Korzystając ze wzoru na sumę logarytmów \(log_{a}(x\cdot y)=log_{a}x+log_{a}y\) powinniśmy zauważyć, że:
$$log15=log(5\cdot3)=log5+log3$$
To oznacza, że pasującą odpowiedzią będzie \(a+b\).
Zadanie nr 3 · Matura 2020
Liczba \(log_{5}\sqrt{125}\) jest równa:
A\(\frac{2}{3}\)
B\(2\)
C\(3\)
D\(\frac{3}{2}\)
Do rozwiązania tego logarytmu można podejść na różne sposoby. Najprościej będzie skorzystać z definicji logarytmu z której wynika, że:
$$log_{5}\sqrt{125}=x \quad\Leftrightarrow\quad 5^x=\sqrt{125}$$
Z działu pierwiastków wiemy, że \(\sqrt{125}=\sqrt[2]{5^3}=5^{\frac{3}{2}}\), zatem:
$$5^x=\sqrt{125}$$
$$5^x=5^{\frac{3}{2}}$$
$$x=\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2020
Liczba \(log_{\sqrt{2}}4^8\) jest równa:
A\(2\)
B\(4\)
C\(32\)
D\(16\)
Logarytm możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie tutaj zastosować po prostu definicję logarytmu, czyli:
$$log_{\sqrt{2}}4^8=x \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{2}^x=4^8$$
Aby rozwiązać równanie \(\sqrt{2}^x=4^8\) musimy doprowadzić lewą i prawą stronę do jednakowej podstawy potęgi. W naszym przypadku najprościej będzie sprowadzić obydwie liczby do dwójki, pamiętając o tym, że \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\) i że \(4=2^2\). W związku z tym:
$$(\sqrt{2})^x=4^8$$
$${2^{\frac{1}{2}}}^x={2^2}^8$$
$$2^{\frac{1}{2}x}=2^{16}$$
Doprowadziliśmy do jednakowych podstaw potęg, zatem możemy porównać wykładniki:
$$\frac{1}{2}x=16$$
$$x=32$$
To oznacza, że rozwiązaniem tego logarytmu jest właśnie liczba \(32\).
Zadanie nr 27 · Matura 2020
Dane są liczby \(a=3log_{2}12-log_{2}27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.
Dane są liczby \(a=3log_{2}12-log_{2}27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Obliczmy każdą z liczb po kolei, zaczynając od liczby \(a\). Korzystając z działań na logarytmach możemy przenieść trójkę znajdującą się z przodu w miejsce wykładnika potęgi logarytmowanej. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$a=3log_{2}12-log_{2}27=log_{2}12^3-log_{2}27=$$
$$=log_{2}1728-log_{2}27=log_{2}\left(\frac{1728}{27}\right)=log_{2}64=6$$
Jeżeli nie widzimy tego, że \(log_{2}64=6\) to zawsze możemy skorzystać z definicji logarytmów i ułożyć odpowiednie równanie:
$$log_{2}64=x \quad\Leftrightarrow\quad 2^x=64$$
Aby rozwiązać równanie \(2^x=64\) musimy sprowadzić obydwie strony równania do jednakowej podstawy potęgi, a następnie będziemy mogli porównać wykładniki. Wiedząc, że \(64\) to \(2^6\), otrzymamy:
$$2^x=64$$
$$2^x=2^6$$
$$x=6$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(b\).
Wymnażając przez siebie liczby w nawiasach, otrzymamy:
$$b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})=$$
$$=3\cdot6+3\sqrt{42}-3\sqrt{42}-3\cdot7=18-21=-3$$
Krok 3. Obliczenie wartości \(a-b\).
Znając wartości liczb \(a\) oraz \(b\), zostało nam już tylko dopełnienie formalności i obliczenie wartości podanego wyrażenia:
$$a-b=6-(-3)=6+3=9$$
Zadanie nr 1 · Matura 2019
Liczba \(log_{\sqrt{7}}7\) jest równa:
A\(2\)
B\(7\)
C\(\sqrt{7}\)
D\(\frac{1}{2}\)
Krok 1. Zamiana logarytmu na postać potęgi.
Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść \(\sqrt{7}\) aby otrzymać \(7\). Zamieniając ten logarytm na postać potęgi otrzymamy więc następujące równanie:
$$log_{\sqrt{7}}7=x \quad\Rightarrow\quad (\sqrt{7})^x=7$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz musimy doprowadzić do sytuacji w której po lewej i prawej stronie równania będziemy mieć te same podstawy potęg. Skoro \(7\) możemy rozpisać jako \((\sqrt{7})^2\) to otrzymamy:
$$(\sqrt{7})^x=(\sqrt{7})^2$$
Podstawy potęg są jednakowe, możemy więc porównać do siebie wykładniki, zatem otrzymamy, że:
$$x=2$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2019
Przyjmijmy, że \(log5=p\). Wtedy:
A\(p+1=log\frac{1}{2}\)
B\(2p-2=log\frac{1}{4}\)
C\(p-1=log\frac{1}{20}\)
D\(p^2-2=log\frac{1}{4}\)
Musimy do każdej z odpowiedzi podstawić pod \(p\) wartość \(log5\) i sprawdzić, kiedy otrzymamy prawidłowe równanie. Przy okazji warto sobie powiedzieć, że skoro w logarytmie nie mamy podstawy, to domyślnie podstawa jest równa \(10\), czyli \(log5\) to tak naprawdę \(log_{10}5\).
Zanim zaczniemy podstawianie to warto też sobie powiedzieć, że kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie tego, że \(1\) to jest \(log10\) (lub jak kto woli \(log_{10}10\)). Analogicznie \(2\) to jest \(2log10\), co zapisać też możemy jako \(log10^2=log100\). Zamiana tych liczb na logarytmy umożliwi nam wykonywanie działań na logarytmach. Sprawdźmy zatem poprawność każdej z odpowiedzi i policzmy wartości, które znalazły się po lewej stronie każdego z równań:
Odp. A.
\(p+1=log5+log10=log(5\cdot10)=log50\)
Nie otrzymaliśmy wartości \(log\frac{1}{2}\), zatem to równanie jest nieprawdziwe.
Odp. B.
\(2p-2=2log5-2log10=log25-log100=log\frac{25}{100}=log\frac{1}{4}\)
Otrzymaliśmy wartość \(log\frac{1}{4}\), czyli tą samą, która znalazła się po prawej stronie równania, zatem to jest poszukiwana przez nas odpowiedź.
Odp. C.
\(p-1=log5-log10=log\frac{5}{10}=log\frac{1}{2}\)
Nie otrzymaliśmy wartości \(log\frac{1}{20}\), zatem to równanie jest nieprawdziwe.
Odp. D.
\(p^2-2=(log5)^2-2log10=log^{2}5-log100\)
Tego działania już za bardzo nie uprościmy, a tym bardziej nie osiągniemy wartości \(log\frac{1}{4}\). Tutaj ważne było to, aby nie pomylić \((log5)^2\) z \(log5^2\), bo z tej drugiej formy faktycznie wyszłoby nam że całe wyrażenie jest równe \(log\frac{1}{4}\).
To oznacza, że prawidłowa jest druga odpowiedź.
Zadanie nr 3 · Próbny 2019
Liczba \(3log2+log5^3\) jest równa:
A\(log7^3\)
B\(log133\)
C\(3log7\)
D\(3\)
Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$3log2+log5^3=3log2+3log5=3\cdot(log2+log5)=$$
$$=3\cdot log(2\cdot5)=3\cdot log10=3\cdot1=3$$
Zadanie nr 2 · Matura 2019
Liczba \(\frac{log_{3}27}{log_{3}\sqrt{27}}\) jest równa:
A\(-\frac{1}{2}\)
B\(2\)
C\(-2\)
D\(\frac{1}{2}\)
To zadanie najprościej będzie rozwiązać obliczając oddzielnie \(log_{3}27\) oraz \(log_{3}\sqrt{27}\).
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego logarytmu.
Wartość logarytmu \(log_{3}27\) jesteśmy w stanie policzyć w pamięci, bo do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(27\)? Oczywiście do potęgi \(3\), gdyż \(3^3=27\). To oznacza, że:
$$log_{3}27=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości drugiego logarytmu.
Drugi logarytm jest nieco trudniejszy, ale obliczymy go tak jak każdy inny logarytm, czyli zamieniając postać logarytmu na postać potęgi:
$$log_{3}\sqrt{27}=x \Rightarrow 3^x=\sqrt{27}$$
Aby rozwiązać to równanie to będziemy musieli teraz sprowadzić \(\sqrt{27}\) do postaci potęgi o podstawie równej \(3\). Pamiętając o tym, że \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\) otrzymamy:
$$3^x=\sqrt{27}$$
$$3^x=\sqrt[2]{3^3}$$
$$3^x=3^\frac{3}{2}$$
$$x=\frac{3}{2}$$
Krok 3. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
W liczniku otrzymaliśmy wartość równą \(3\), w mianowniku wyszło nam \(\frac{3}{2}\), w związku z tym:
Krok 1. Zamiana logarytmu na postać potęgi.
Musimy odpowiedzieć do jakiej potęgi trzeba podnieść \(\sqrt{2}\) aby otrzymać \(2\), czyli zamieniając postać logarytmu na postać potęgi musimy rozwiązać następujące równanie:
$$(\sqrt{2})^x=2$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz musimy doprowadzić do sytuacji w której po lewej i prawej stronie równania będziemy mieć te same podstawy potęg. Skoro \(2\) jest równe \((\sqrt{2})^2\) to mamy:
$$(\sqrt{2})^x=(\sqrt{2})^2$$
Podstawy potęg są jednakowe, możemy więc porównać do siebie wykładniki, zatem otrzymamy, że:
$$x=2$$
Zadanie nr 4 · Matura 2018
Liczba \(log_{4}96-log_{4}6\) jest równa:
A\(log_{4}90\)
B\(log_{6}96\)
C\(4\)
D\(2\)
Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{4}96-log_{4}6=log_{4}\frac{96}{6}=log_{4}16=2$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2018
Jeśli \(p=log_{3}2\), to liczba \(log_{3}36\) jest równa:
A\(4p\)
B\(18p\)
C\(2p+2\)
D\(2p+3\)
Korzystając z działań na logarytmach całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$log_{3}36=log_{3}(9\cdot4)=log_{3}9+log_{3}4=$$
$$=2+log_{3}4=2+log_{3}2^2=2+2log_{3}2=2+2p$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2018
Wyrażenie \(log_{3}(log30-log3)\) jest równe:
A\(log_{3}10\)
B\(0\)
C\(1\)
D\(3\)
Aby rozwiązać ten logarytm skorzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów:
$$log_{a}b-log_{a}c=log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)$$
Korzystając z tego wzoru możemy rozpisać logarytmy znajdujące się w nawiasie, otrzymując w ten sposób:
$$log_{3}(log30-log3)=log_{3}\left(log\frac{30}{3}\right)=log_{3}(log10)$$
Teraz musimy pamiętać o tym, że jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie podstawa jest równa \(10\), czyli \(log10\) to tak naprawdę \(log_{10}10\). A ile jest równy \(log_{10}10\)? Taki logarytm jest równy \(1\), bo \(10^1=10\). W związku z tym:
$$log_{3}(log10)=log_{3}1=0$$
Wartość tego logarytmu jest równa \(0\), bo \(3^0=1\).
Zadanie nr 2 · Matura 2018
Dane są liczby: \(a=log_{\frac{1}{2}}8\), \(b=log_{4}8\), \(c=log_{4}\frac{1}{2}\). Liczby te spełniają warunek:
A\(a\gt b\gt c\)
B\(b\gt a\gt c\)
C\(c\gt b\gt a\)
D\(b\gt c\gt a\)
Najprostszą metodą do określenia który z tych logarytmów jest największy będzie po prostu obliczenie wartości każdego z nich oddzielnie:
$$a=log_{\frac{1}{2}}8=log_{\frac{1}{2}}2^3=3\cdot log_{\frac{1}{2}}2=3\cdot(-1)=-3$$
$$b=log_{4}8=log_{4}2^3=3\cdot log_{4}2=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$
$$c=log_{4}\frac{1}{2}=log_{4}2^{-1}=-1\cdot log_{4}2=-1\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$
Szeregując te liczby od największej do najmniejszej otrzymamy: \(b\gt c\gt a\).
Zadanie nr 1 · Matura 2018
Liczba \(2log_{3}6-log_{3}4\) jest równa:
A\(4\)
B\(2\)
C\(2\log_3{2}\)
D\(\log_3{8}\)
Wykonując działania na logarytmach otrzymamy:
$$2log_{3}6-log_{3}4=log_{3}6^2-log_{3}4=log_{3}36-log_{3}4=log_{3}\frac{36}{4}=log_{3}9=2$$
Zadanie nr 3 · Matura 2017
Wartość wyrażenia \(log_{4}8+5log_{4}2\) jest równa:
A\(2\)
B\(4\)
C\(2+\log_{4}5\)
D\(1+\log_{4}10\)
Korzystając z działań na logarytmach całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$log_{4}8+5log_{4}2=log_{4}2^3+log_{4}2^5=log_{4}(2^3\cdot2^5)=log_{4}2^8=log_{4}(2^2)^4=log_{4}4^4=4$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2017
Funkcja wykładnicza \(f(x)=3^x\) przyjmuje wartość \(4\) dla:
A\(2log2\)
B\(log_{3}12\)
C\(log_{4}3\)
D\(2log_{3}2\)
Krok 1. Zapisanie równania.
Aby dowiedzieć się kiedy jakaś funkcja przyjmie konkretną wartość wystarczy przyrównać wzór funkcji do tej wartości. W naszym przypadku musimy rozwiązać następujące równanie:
$$3^x=4$$
Krok 2. Przekształcenie równania na postać logarytmu.
Z definicji logarytmów wiemy, że \(log_{a}b=c\) wtedy, gdy \(a^c=b\). Jeżeli więc porównamy sobie zapis \(3^x=4\) do zapisu \(a^c=b\), to będziemy mogli przyjąć, że w tym zapisie \(a=3\), \(c=x\) oraz \(b=4\). Podstawiając te liczby do postaci logarytmu \(log_{a}b=c\) wyszłoby nam, że:
$$log_{3}4=x$$
$$\text{czyli: } x=log_{3}4$$
Co prawda nie mamy takiej odpowiedzi jak \(log_{3}4\), ale korzystając z działań na logarytmach możemy dopasować się do naszych odpowiedzi w następujący sposób:
$$x=log_{3}4$$
$$x=log_{3}2^2$$
$$x=2log_{3}2$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2017
Liczba \(log_{2}\frac{1}{\sqrt{8}}\) jest równa:
A\(-\frac{3}{2}\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(\frac{1}{3}\)
D\(-\frac{1}{3}\)
Wykonując działania na potęgach, pierwiastkach i logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{2}\frac{1}{\sqrt{8}}=log_{2}(\sqrt{8})^{-1}=log_{2}(8^{\frac{1}{2}})^{-1}=log_{2}8^{-\frac{1}{2}}=$$
$$=log_{2}(2^3)^{-\frac{1}{2}}=log_{2}2^{-\frac{3}{2}}=-\frac{3}{2}\cdot log_{2}2=-\frac{3}{2}\cdot1=-\frac{3}{2}$$
Zadanie nr 4 · Matura 2017
Liczba \(log_{3}27-log_{3}1\) jest równa:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(3\)
Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{3}27-log_{3}1=log_{3}\frac{27}{1}=log_{3}27=3$$
Zadanie nr 3 · Matura 2017
Liczba \(2\log_{2}3-2\log_{2}5\) jest równa:
A\(\log_{2}\frac{9}{25}\)
B\(\log_{2}\frac{3}{5}\)
C\(\log_{2}\frac{9}{5}\)
D\(\log_{2}\frac{6}{25}\)
W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów:
$$r\cdot \log_{a}x=\log_{a}x^r$$
$$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$
Liczba \(\frac{\log_{3}729}{\log_{6}36}\) jest równa:
A\(\log_{6}693\)
B\(3\)
C\(\log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4}\)
D\(4\)
Zawarte w tym zadaniu logarytmy najprościej jest obliczyć zamieniając odpowiednio \(729\) oraz \(36\) na potęgi liczb naturalnych, które znalazły się w podstawie logarytmu:
$$729=3^6$$
$$36=6^2$$
To oznacza, że całość logarytmu możemy rozwiązać w następujący sposób:
$$\frac{\log_{3}729}{\log_{6}36}=\frac{\log_{3}3^6}{\log_{6}6^2}=\frac{6}{2}=3$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2016
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=log(n+1)\) dla \(n\ge1\). Liczba \(\frac{3a_{3}-a_{7}}{a_{1}}\) jest równa:
A\(log4\)
B\(log6\)
C\(2\)
D\(3\)
Krok 1. Wyznaczenie wartości poszczególnych wyrazów ciągu.
Z podanego w treści zadania wyrażenia wynika, że musimy poznać wartość \(a_{3}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{1}\). Wyznaczmy zatem każdą z tych wartości:
$$a_{3}=log(3+1)=log4$$
$$a_{7}=log(7+1)=log8$$
$$a_{1}=log(1+1)=log2$$
Tu warto sobie przy okazji powiedzieć, że jeżeli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie ta podstawa jest równa \(10\). Czyli przykładowo \(log4=log_{10}4\).
Krok 2. Obliczenie wartości liczby.
Możemy teraz podstawić wskazane logarytmy do całego wyrażenia i przystąpić do obliczenia wartości naszej liczby. Trzeba będzie się tutaj wykazać umiejętnościami działań na logarytmach, a całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{3\cdot log4-log8}{log2}=\frac{log4^3-log8}{log2}=\frac{log64-log8}{log2}=$$
$$=\frac{log\frac{64}{8}}{log2}=\frac{log8}{log2}=\frac{log2^3}{log2}=\frac{3\cdot log2}{log2}=3$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2016
Wiadomo,że \(log_{5}50=a\) i \(log_{5}2=b\). Zatem:
A\(\frac{a+b}{2}=1\)
B\(\frac{a\cdot b}{2}=1\)
C\(\frac{a}{b}=1\)
D\(\frac{a-b}{2}=1\)
Jedyną prawdziwą równością jest ta z ostatniej odpowiedzi:
$$\frac{log_{5}50-log_{5}2}{2}=\frac{log_{5}\frac{50}{2}}{2}=\frac{log_{5}25}{2}=\frac{2}{2}=1$$
Zadanie nr 6 · Matura 2016
Wartość wyrażenia \(\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{2}{9}\) jest równa:
Liczba \(\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}\) jest równa:
A\(\frac{3}{2}\)
B\(2\)
C\(\frac{5}{2}\)
D\(3\)
Ten logarytm jest najprościej obliczyć zamieniając wartość \(2\sqrt{2}\) na iloczyn trzech pierwiastków \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\). Wtedy:
$$\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}=\log_{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{2})}=\log_{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})}^3=3$$
Zadanie nr 31 · Matura 2016
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=log\frac{A}{A_{0}}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_{0}=10^{-4}\) jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6,2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy - mniejsza od \(100cm\).
Krok 1. Zapisanie wzoru na amplitudę z pominięciem logarytmu.
Największą trudnością w tym zadaniu jest chyba pozbycie się z zapisu tego logarytmu. Musisz pamiętać, że skoro logarytm nie ma zapisanej podstawy to znaczy że jest ona równa \(10\) (czyli jest to tak naprawdę \(\log_{10}\)). Rozwiązaniem naszego logarytmu jest liczba \(R\) (czyli stopień w skali Richtera), a to oznacza, że zgodnie z definicją logarytmu:
$$log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b$$
$$\text{zatem:}$$
$$log_{10}\frac{A}{A_{0}}=R \Longleftrightarrow 10^R=\frac{A}{A_{0}}$$
Krok 2. Obliczenie amplitudy trzęsienia ziemi.
Wystarczy już tylko podstawić dane z treści zadania do naszego wzoru i tym samym wyliczyć pożądaną wartość amplitudy, wykonując poprawnie działania na potęgach:
$$10^R=\frac{A}{A_{0}}$$
$$10^R\cdot A_{0}=A$$
$$10^{6,2}\cdot10^{-4}=A$$
$$A=10^{6,2+(-4)}$$
$$A=10^{2,2}[cm]$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Musimy teraz oszacować, czy otrzymana amplituda jest większa, czy mniejsza niż \(100cm\). Skoro \(100=10^2\), a my w naszych obliczeniach otrzymaliśmy \(10^{2,2}\), to z całą pewnością amplituda jest większa niż \(100cm\).
Zadanie nr 5 · Matura 2015
Wartość wyrażenia \(\log_{5}0,04-\frac{1}{2}\log_{25}5\cdot \log_{25}1\) jest równa:
A\(-3\)
B\(-2\frac{1}{4}\)
C\(-2\)
D\(0\)
Obliczmy sobie każdy z logarytmów oddzielnie:
$$\log_{5}0,04=\log_{5}\frac{4}{100}=\log_{5}\frac{1}{25}=-2\text{, bo }5^{-2}=\frac{1}{25}$$
$$\log_{25}5=\frac{1}{2}\text{, bo }25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5$$
$$\log_{25}1=0\text{, bo }25^0=1$$
Zatem wartość całego wyrażenia jest równa:
$$-2-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot0=-2-0=-2$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2015
Liczby \(a\) i \(b\) są dodatnie, \(b\neq1\) i \(log_{b}a=4\). Wyrażenie \(log_{b}\sqrt[3]{ab^2}\) przyjmuje wartość:
A\(\frac{8}{9}\)
B\(2\)
C\(\frac{14}{3}\)
D\(12\)
Krok 1. Zapisanie relacji między liczbą \(a\) oraz \(b\).
Skoro \(log_{b}a=4\), to zamieniając postać logarytmu na postać potęgi wyjdzie nam, że \(a=b^4\). Z tej relacji skorzystamy za chwilę podczas rozpisywania całego logarytmu.
Krok 2. Rozwiązanie logarytmu.
Korzystając z zamiany pierwiastków na potęgi otrzymamy:
$$log_{b}\sqrt[3]{ab^2}=log_{b}(a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}})$$
Podstawiając teraz \(a=b^4\) wyjdzie nam, że:
$$log_{b}((b^4)^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}})=log_{b}(b^{\frac{4}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}})=log_{b}b^2=2$$
Zadanie nr 9 · Matura 2015
Liczba \(8log_{4}2+2\) jest równa:
A\(8\)
B\(6\)
C\(4\)
D\(3,5\)
Korzystając z działań na logarytmach i potęgach możemy zapisać, że:
$$8log_{4}2+2=log_{4}2^8+2=log_{4}4^4+2=4+2=6$$
Zadanie nr 2 · Matura 2015
Dane są liczby \(a=-\frac{1}{27}\), \(b=\log_{\frac{1}{4}}64\), \(c=\log_{\frac{1}{3}}27\). Iloczyn \(abc\) jest równy:
A\(-9\)
B\(-\frac{1}{3}\)
C\(\frac{1}{3}\)
D\(3\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczb \(b\) oraz \(c\):
$$b=\log_{\frac{1}{4}}64=-3$$
$$c=\log_{\frac{1}{3}}27=-3$$
Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(abc\).
$$abc=-\frac{1}{27}\cdot(-3)\cdot(-3)=-\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 4 · Matura 2015
Liczba \(2\log_{5}10-\log_{5}4\) jest równa:
A\(2\)
B\(\log_{5}96\)
C\(2\log_{5}6\)
D\(5\)
W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów:
$$r\cdot \log_{a}x=\log_{a}x^r$$
$$\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}$$
Zgodnie z definicją logarytmu:
$$\log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b$$
Podstawiając do tej definicji wartości z naszego zadania otrzymamy, że:
$$3^c=2$$
Zadanie nr 24 · Próbny 2014
Wskaż liczbę, która spełnia równanie \(4^x=9\).
A\(log9-log4\)
B\(\frac{log2}{log3}\)
C\(2\log_{9}{2}\)
D\(2\log_{4}{3}\)
Tak naprawdę to zadanie można było rozwiązać bez żadnych obliczeń, bowiem skoro wynik logarytmu ma spełniać równanie \(4^x=9\), to zgodnie z definicją logarytmu w jego podstawie musi znaleźć się liczba \(4\). Taką sytuację mamy tylko i wyłącznie w ostatniej odpowiedzi.
Gdybyśmy tego nie zauważyli, to moglibyśmy skorzystać z następującego wzoru z tablic matematycznych:
$$\color{blue}{a}^{\color{orange}{\log_{a}c}}=\color{green}{c}$$
Porównując to bezpośrednio do naszego zapisu \(\color{blue}{4}^{\color{orange}{x}}=\color{green}{9}\) mamy:
$$a=4,\;\log_{a}c=x,\;c=9$$
$$\text{zatem:}$$
$$x=\log_{a}c=\log_{4}9$$
Takiej odpowiedzi jednak nie mamy w naszym zadaniu, dlatego otrzymany wynik musimy przekształcić do formy przedstawionej w odpowiedziach:
$$\log_{4}9=\log_{4}3^2=2\log_{4}{3}$$
Zadanie nr 5 · Matura 2014
Dane są liczby: \(a=\log_{3}\frac{1}{9}\), \(b=\log_{3}3\), \(c=\log_{3}\frac{1}{27}\). Który z poniższych warunków jest prawdziwy?
A\(c\lt b\lt a\)
B\(b\lt c\lt a\)
C\(a\lt c\lt b\)
D\(c\lt a\lt b\)
Obliczmy wartość każdej z liczb:
\(a=\log_{3}\frac{1}{9}=-2 \text{, bo } 3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\)
\(b=\log_{3}3=1 \text{, bo } 3^1=3\)
\(c=\log_{3}\frac{1}{27}=-3 \text{, bo } 3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\)
$$-3\lt-2\lt1$$
$$c\lt a\lt b$$
Zadanie nr 4 · Matura 2014
Suma \(\log_{8}16+1\) jest równa:
A\(3\)
B\(\frac{3}{2}\)
C\(\log_{8}17\)
D\(\frac{7}{3}\)
Krok 1. Obliczenie wartości logarytmu.
Najpierw obliczmy wartość \(\log_{8}16\). Z definicji logarytmu wiemy, że:
$$\log_{8}16=x \Longleftrightarrow 8^{x}=16$$
Widzimy wyraźnie, że wynik tego logarytmu nie jest liczbą całkowitą, bo nie istnieje taka liczba całkowita, do której można podnieść liczbę \(8\), by otrzymać \(16\). Przykładowo \(8^1=8\), natomiast \(8^2=64\). Wynik naszego logarytmu jest więc gdzieś pomiędzy jedynką i dwójką (nawet możemy stwierdzić, że jest bliżej jedynki).
Skoro nie obliczymy tego logarytmu w pamięci to musimy zamienić ósemkę i szesnastkę na potęgi o wspólnej podstawie:
$$8^{x}=16$$
$$(2^3)^x=2^4$$
$$2^{3x}=2^4$$
Po doprowadzeniu liczb do wspólnej podstawy możemy teraz porównać wykładniki potęg:
$$3x=4$$
$$x=\frac{4}{3}$$
W ten sposób udało nam się obliczyć, że \(\log_{8}16=\frac{4}{3}\).
Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
$$\log_{8}16+1=\frac{4}{3}+\frac{3}{3}=\frac{7}{3}$$
Podpowiedź:
Kluczowe jest wyliczenie logarytmu i wiele osób ma z tym problem. Pokażę więc jak drogą dedukcji i eliminacji można rozwiązać to zadanie. Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie do jakiej potęgi trzeba podnieść \(8\), aby otrzymać \(16\). No na pewno nie do potęgi pierwszej, bo \(8^1=8\), ani nie do drugiej, bo \(8^2=64\). Widzimy, że wartość tego logarytmu musi być czymś pomiędzy jedynką i dwójką. Do tego mamy dodać jeszcze \(1\), więc wynik powinien być większy niż \(2\) i mniejszy niż \(3\). Taki wynik jest tylko w ostatniej odpowiedzi i w ten oto sposób nawet nie wykonując obliczeń możemy zaznaczyć prawidłową odpowiedź.
Zadanie nr 10 · Matura 2013
Liczba \(\log_{2}100-\log_{2}50\) jest równa:
A\(\log_{2}50\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(\log_{2}5000\)
Skorzystamy tutaj ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}$$
$$\log_{2}100-\log_{2}50=\log_{2}\frac{100}{50}=\log_{2}2=1$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2013
Wartość wyrażenia \(\frac{1}{2}log_{3}15-log_{3}\sqrt{5}\) jest równa:
A\(-1\)
B\(log_{3}3\sqrt{5}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(1\)
Korzystając z działań na logarytmach i potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{1}{2}log_{3}15-log_{3}\sqrt{5}=log_{3}15^{\frac{1}{2}}-log_{3}\sqrt{5}=$$
$$=log_{3}\sqrt{15}-log_{3}\sqrt{5}=log_{3}\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=$$
$$=log_{3}\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=log_{3}\sqrt{3}=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 4 · Matura 2013
Wartość wyrażenia \(\log_{2}20-\log_{2}5\) jest równa:
A\(\log_{2}15\)
B\(2\)
C\(4\)
D\(\log_{2}25\)
Skorzystamy tutaj ze wzoru na różnicę logarytmów:
$$\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}$$
$$\log_{2}20-\log_{2}5=\log_{2}\frac{20}{5}=\log_{2}4=2$$
Zadanie nr 26 · Matura 2013
Liczba \(log4+log5-log2\) jest równa:
A\(10\)
B\(2\)
C\(1\)
D\(0\)
W tym zadaniu będziemy musieli skorzystać ze wzorów na sumę i różnicę logarytmów.
$$\log_{a}b+\log_{a}c=\log_{a}(b\cdot c)$$
$$\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}$$
Trzeba też pamiętać, że skoro logarytm nie ma wpisanej podstawy (tak jak tutaj) to domyślnie znajduje się tam wartość \(10\). Całość obliczeń będzie więc wyglądać następująco:
$$log4+log5-log2=log(4\cdot5)-log2=$$
$$=log20-log2=log\frac{20}{2}=log10=1$$
Zadanie nr 3 · Matura 2013
Liczba \(log100-\log_{2}8\) jest równa:
A\(-2\)
B\(-1\)
C\(0\)
D\(1\)
Rozpatrzmy sobie oddzielnie poszczególne logarytmy, które wchodzą w skład różnicy z treści zadania:
a) \(log100\) - jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie w podstawie mamy liczbę \(10\). To oznacza, że tak naprawdę \(log100=\log_{10}100\). Musimy sobie teraz odpowiedzieć na pytanie: do której potęgi trzeba podnieść \(10\), aby otrzymać \(100\)? Oczywiście do drugiej, bo \(10^2=100\). W związku z tym \(log100=2\).
b) \(\log_{2}8\) - do której potęgi należy podnieść \(2\), aby otrzymać \(8\)? Oczywiście do potęgi trzeciej, bo \(2^3=8\). W związku z tym \(\log_{2}8=3\).
Rozwiązaniem naszego działania wygląda więc następująco:
$$log100-\log_{2}8=2-3=-1$$
Zadanie nr 3 · Matura 2012
Liczba \(\log_{3}27-\log_{3}1\) jest równa:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(3\)
W tym zadaniu możemy obliczyć każdy z logarytmów oddzielnie, albo możemy też skorzystać ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$
Licząc z powyższego wzoru otrzymamy:
$$\log_{3}27-\log_{3}1=\log_{3}\frac{27}{1}=\log_{3}27=3$$
Licząc każdy logarytm oddzielnie otrzymamy:
$$\log_{3}27=3\text{, bo }3^3=27$$
$$\log_{3}1=0\text{, bo }3^0=1$$
$$\log_{3}27-\log_{3}1=3-0=3$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2012
Liczba \(\log_{3}\frac{1}{27}\) jest równa:
A\(-3\)
B\(-\frac{1}{3}\)
C\(\frac{1}{3}\)
D\(3\)
Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie - do jakiej liczby trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(\frac{1}{27}\). Jeśli dobrze orientujemy się w działaniach na potęgach to dobrze wiemy, że skoro wynik jest w formie ułamka to na pewno będzie to liczba ujemna, a dokładnie tą liczbą będzie \(-3\), bo:
$$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2012
Wartość liczby \(25^{\log_{5}2}\) jest równa:
A\(2\)
B\(4\)
C\(5\)
D\(2^5\)
Korzystając z własności działań na logarytmach \(a^{log_{a}b}=b\) oraz \(a\;log_{b}c=log_{b}c^a\) możemy zapisać, że:
$$25^{\log_{5}2}=(5^2)^{\log_{5}2}=5^{2\log_{5}2}=5^{\log_{5}4}=4$$
Zadanie nr 4 · Matura 2012
Iloczyn \(2\log_{\frac{1}{3}}9\) jest równy:
A\(-6\)
B\(-4\)
C\(-1\)
D\(1\)
Obliczmy najpierw wartość samego logarytmu \(\log_{\frac{1}{3}}9\). Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie: Do jakiej potęgi należy podnieść wartość \(\frac{1}{3}\) by otrzymać \(9\)? Tą liczbą będzie \(-2\), bo \((\frac{1}{3})^{-2}=3^2=9\).
W treści zadania przed naszym logarytmem stoi jeszcze dwójka, tak więc otrzymany wynik musimy pomnożyć jeszcze przez \(2\). To oznacza, że:
$$2\log_{\frac{1}{3}}9=2\cdot(-2)=-4$$
Zadanie nr 9 · Matura 2011
Liczba \(\log_{2}4+2\log_{3}1\) jest równa:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(4\)
Logarytmy mają różne podstawy, więc nie pozostaje nam nic innego jak policzyć osobno każdy z nich, a następnie zsumować otrzymane wyniki.
$$\log_{2}4=2\text{, bo }2^2=4$$
$$\log_{3}1=0\text{, bo }3^0=1$$
Zatem:
$$\log_{2}4+2\log_{3}1=2+2\cdot0=2$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2011
Liczba \(log6\) jest równa:
A\(log2\cdot log3\)
B\(\frac{log2}{log3}\)
C\(log2+log3\)
D\(log2-log3\)
Korzystając z działań na logarytmów możemy rozpisać \(log6\) na sumę logarytmów w następujący sposób:
$$log6=log(2\cdot3)=log2+log3$$
Zadanie nr 3 · Matura 2011
Liczba \(log_{\frac{1}{2}}8\) jest równa:
A\(-3\)
B\(-\frac{1}{3}\)
C\(\frac{1}{3}\)
D\(4\)
I sposób:
Do rozwiązania tego logarytmu można podejść na kilka sposobów, ale najprościej będzie zapisać liczbę \(8\) jako wynik potęgowania \(2^3\), wtedy:
$$log_{\frac{1}{2}}8=log_{\frac{1}{2}}2^3=3log_{\frac{1}{2}}2$$
Musimy się teraz zastanowić ile to jest \(log_{\frac{1}{2}}2\). Jest to \(-1\), bo \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2\). W związku z tym:
$$3log_{\frac{1}{2}}2=3\cdot(-1)=-3$$
II sposób:
Możemy też skorzystać ze wzoru \(log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}\), wtedy otrzymamy:
$$log_{\frac{1}{2}}8=\frac{log_{2}8}{log_{2}\frac{1}{2}}=\frac{3}{-1}=-3$$
Zadanie nr 8 · Matura 2011
Wyrażenie \(\log_{4}(2x-1)\) jest określone dla wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek:
A\(x\le\frac{1}{2}\)
B\(x\gt\frac{1}{2}\)
C\(x\le0\)
D\(x\gt0\)
Zgodnie z definicją logarytmów \(\log_{a}(b)\) musi mieć współczynnik \(b\gt0\). To oznacza, że w naszym przypadku musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:
$$2x-1\gt0$$
$$2x\gt1$$
$$x\gt\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 3 · Matura 2010
Różnica \(\log_{3}9-\log_{3}1\) jest równa:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(3\)
Spróbujmy obliczyć każdy z logarytmów oddzielnie:
$$\log_{3}9=2\text{, bo }3^2=9$$
$$\log_{3}1=0\text{, bo }3^0=1$$
Zatem:
$$\log_{3}9-\log_{3}1=2-0=2$$
Moglibyśmy też zastosować tutaj wzór na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$
$$\log_{3}9-\log_{3}1=\log_{3}\frac{9}{1}=\log_{3}9=2$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2010
Liczba \(\log_{5}5-\log_{5}125\) jest równa:
A\(-2\)
B\(-1\)
C\(\frac{1}{25}\)
D\(4\)
Krok 1. Obliczenie wartości poszczególnych logarytmów.
$$\log_{5}5=1\text{, bo }5^1=5$$
$$\log_{5}125=3\text{, bo }5^3=125$$
Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
$$\log_{5}5-\log_{5}125=1-3=-2$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2010
Liczba \(log_{3}36-log_{3}4\) jest równa:
A\(log_{3}32\)
B\(log_{3}144\)
C\(2\)
D\(9\)
Mamy jednakowe podstawy logarytmów, zatem możemy tę różnicę rozpisać jako:
$$log_{3}36-log_{3}4=log_{3}\frac{36}{4}=log_{3}9=2$$
Zadanie nr 6 · Matura 2010
Liczba \(\log_{5}5-\log_{5}125\) jest równa:
A\(-2\)
B\(-1\)
C\(\frac{1}{25}\)
D\(4\)
Krok 1. Obliczenie wartości poszczególnych logarytmów.
$$\log_{5}5=1\text{, bo }5^1=5$$
$$\log_{5}125=3\text{, bo }5^3=125$$
Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
$$\log_{5}5-\log_{5}125=1-3=-2$$
Zadanie nr 4 · Matura 2010
Liczba \(\log_{4}8+\log_{4}2\) jest równa:
A\(1\)
B\(2\)
C\(\log_{4}6\)
D\(\log_{4}10\)
Skorzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie \(\log_{a}x+\log_{a}y=\log_{a}(x\cdot y)\), stąd też:
$$\log_{4}8+\log_{4}2=\log_{4}(8\cdot2)=\log_{4}16=2$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2009
O liczbie \(x\) wiadomo, że \(\log_{3}x=9\). Zatem:
A\(x=2\)
B\(x=\frac{1}{2}\)
C\(x=3^9\)
D\(x=9^3\)
Wynik logarytmu (w tym przypadku \(9\)) mówi nam do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę logarytmu (w tym przypadku \(3\)), aby otrzymać liczbę logarytmowaną (czyli nasz \(x\)). W tablicach znajdziemy nawet matematyczny zapis tej definicji:
$$\log_{a}c=b \Longleftrightarrow a^b=c$$
Podstawiając wprost liczby z naszego zadania (\(a=3\), \(b=9\) oraz \(c=x\)) widzimy wyraźnie, że poszukiwaną odpowiedzią jest \(x=3^9\).
Zadanie nr 9 · Próbny 2009
Liczba \(log0,1+log_{2}16\) jest równa:
A\(6\)
B\(-5\)
C\(3\)
D\(7\)
Jeżeli logarytm nie ma podanej podstawy, to znaczy że domyślnie znajduje się tam \(10\) (czyli \(log0,1=log_{10}0,1\)). To oznacza, że te dwa logarytmy które pojawiły się w zadaniu mają dwie zupełnie różne podstawy. Skoro tak, to nie wykonamy tutaj żadnych działań bezpośrednio na logarytmach, ale możemy wprost obliczyć wartość jednego i drugiego logarytmu:
$$log0,1=-1$$
$$log_{2}16=4$$
W związku z tym:
$$log0,1+log_{2}16=-1+4=3$$
Zadanie nr 2 · Matura
Wartość wyrażenia \(log_{7}98-log_{7}2\) jest równa:
A\(7\)
B\(2\)
C\(1\)
D\((-1)\)
Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{7}98-log_{7}2=log_{7}\left(\frac{98}{2}\right)=log_{7}49=2$$
Zadanie nr 8 · Matura
Liczby rzeczywiste \(x, y, z\) spełniają następujące warunki:
$$x,y,z\gt0 \;\text{ oraz }\; x,y,z\neq1 \;\text{ oraz }\; y^z=x$$
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych. Z podanych warunków wynika, że prawdziwe są równości:
A. \(log_{x}y=z\)
B. \(y^{-log_{y}x}=\frac{1}{x}\)
C. \(log_{x}z=y\)
D. \(y^{log_{x}y}=x\)
E. \(log_{y}x=z\)
F. \(z^{-log_{x}z}=\frac{1}{y}\)
Pierwsze równanie jesteśmy w stanie ułożyć tak naprawdę z definicji logarytmu, którą znajdziemy w tablicach matematycznych, czyli:
$$log_{a}b=c \Leftrightarrow a^c=b$$
Musimy się tylko odpowiednio dopasować symbolami. Z treści zadania wynika, że \(y^z=x\), zatem:
$$log_{y}x=z \Leftrightarrow y^z=x$$
To oznacza, że jedną z poprawnych odpowiedzi jest na pewno E. Poszukajmy teraz drugiej odpowiedzi. Również w tablicach znajdziemy takie oto równanie:
$$a^{log_{a}b}=b$$
Korzystając z naszych oznaczeń, zapisalibyśmy, że:
$$y^{log_{y}x}=x$$
Dokładnie takiej odpowiedzi nie mamy, ale przyglądając się proponowanym odpowiedziom, widzimy, że jesteśmy dość blisko zapisu z odpowiedzi B. Pamiętając o tym, że ujemna potęga związana jest z odwrotnością liczby, moglibyśmy stwierdzić, że:
$$y^{-log_{y}x}=\frac{1}{x}$$
Stąd też równie poprawną odpowiedzią będzie równanie z odpowiedzi B.
Logarytm to wykładnik, do którego podnosimy podstawę.
Wartości szczególne
$$\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1$$
Trzy podstawowe własności
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \quad\text{(iloczyn → suma)}$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y \quad\text{(iloraz → różnica)}$$
$$\log_a x^n=n\log_a x \quad\text{(potęga → mnożnik)}$$
Zmiana podstawy
$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$
Pozwala sprowadzić dowolny logarytm do wygodnej podstawy. Wniosek: $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$, więc $\log_a b\cdot\log_b a=1$.
Strategia obliczeń
Trudne logarytmy często upraszczają się dopiero po połączeniu: $\log_2 48-\log_2 3=\log_2 16=4$, choć każdy z osobna nie jest „ładny".
Na co uważać
$\log_a x^n=n\log_a x$ to nie to samo co $(\log_a x)^n$ — wykładnik schodzi przed logarytm. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich.
Wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Funkcja wykładnicza
$$f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\neq1$$
Dziedzina to $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0,+\infty)$. Dla $a>1$ funkcja rośnie, dla $0\lt a\lt 1$ maleje. Zawsze przechodzi przez $(0,\ 1)$, a osią $OX$ ($y=0$) jest asymptota pozioma.
Funkcja logarytmiczna
$$f(x)=\log_a x,\qquad a>0,\ a\neq1$$
Dziedzina to $(0,+\infty)$, zbiór wartości $\mathbb{R}$. Przechodzi przez $(1,\ 0)$, asymptota pionowa to oś $OY$ ($x=0$).
Funkcje wzajemnie odwrotne
$\log_a x$ jest funkcją odwrotną do $a^x$. Ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$, a punkty charakterystyczne zamienione: $(0,1)$ i $(1,0)$.
Przesunięcia
Dodanie stałej do funkcji ($a^x+q$) przesuwa wykres w pionie — asymptota pozioma przechodzi na $y=q$. Zmiana argumentu ($\log_a(x-p)$) przesuwa w poziomie i zmienia dziedzinę oraz asymptotę pionową.
Zastosowania
Model wzrostu wykładniczego opisuje procent składany $K(t)=K_0(1+p)^t$, rozpad promieniotwórczy i wzrost populacji.
Na co uważać
Funkcja wykładnicza nigdy nie jest ujemna ani zerowa. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich — zawsze wyznacz dziedzinę.
Elegancki wynik. Iloczyn logarytmów „po okręgu" ($3\to2\to4\to$ z powrotem do potęgi $2$) redukuje się do $1$.
Odpowiedź: $1$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$ (dla $a,b>0$, różnych od $1$).
Krok 1 — punkt wyjścia: wzór na zmianę podstawy. Zapiszmy $\log_a b$ w podstawie $b$:
$$\log_a b=\frac{\log_b b}{\log_b a}$$
Krok 2 — korzystamy z $\log_b b=1$:
$$\log_a b=\frac{1}{\log_b a} \qquad ∎$$
Interpretacja. Zamiana podstawy z logarytmem odpowiada odwróceniu ułamka. Dlatego np. $\log_2 8=3$, a $\log_8 2=\frac13$.
Sprawdzenie: $\log_2 8\cdot\log_8 2=3\cdot\frac13=1$ ✔ — zgodnie z zadaniem 14.
Zadanie nr 8
Funkcja $f(x)=\log_2 x$ jest określona dla:
A$x\ge0$
B$x>0$
C$x\neq0$
Dkażdego $x$
Logarytm jest określony tylko dla argumentów dodatnich:
$$D=(0,\ +\infty)$$
Odpowiedź: B. $x>0$.
Zadanie nr 9
Oblicz $f(1)$, $f(2)$ i $f(8)$ dla $f(x)=\log_2 x$.
$$f(1)=\log_2 1=0$$
$$f(2)=\log_2 2=1$$
$$f(8)=\log_2 8=3$$
Obserwacja: funkcja logarytmiczna rośnie powoli — ośmiokrotny wzrost argumentu daje wartość zaledwie $3$.
Odpowiedź: $0$, $1$, $3$.
Zadanie nr 10
Wykres funkcji $f(x)=\log_a x$ zawsze przechodzi przez punkt:
A$(0,\ 1)$
B$(0,\ 0)$
C$(1,\ 0)$
D$(a,\ 1)$
Dla każdej podstawy $\log_a 1=0$, więc wykres przechodzi przez $(1,\ 0)$.
Ciekawa symetria: funkcja wykładnicza przechodzi przez $(0,1)$, a logarytmiczna przez $(1,0)$ — to punkty zamienione, bo funkcje są wzajemnie odwrotne.
Odpowiedź: C. $(1,\ 0)$.
Zadanie nr 11
Funkcja $f(x)=\log_2 x$ jest funkcją odwrotną do:
A$2^x$
B$x^2$
C$\frac{1}{x}$
D$2x$
Logarytm o podstawie $2$ jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie:
$$\log_2\left(2^x\right)=x$$
Geometrycznie: ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$.
Złożenie w obie strony daje $x$, więc $f$ i $g$ są funkcjami odwrotnymi.
Krok 2 — własność symetrii. Jeśli punkt $(a,\ b)$ leży na wykresie $f$ (czyli $b=2^a$), to $a=\log_2 b$, więc punkt $(b,\ a)$ leży na wykresie $g$.
Krok 3 — wniosek. Zamiana współrzędnych $(a,b)\to(b,a)$ to właśnie symetria względem prostej $y=x$. Zatem wykresy $f$ i $g$ są swoimi odbiciami w tej prostej. $\qquad ∎$
Sprawdzenie: $(1,\ 2)$ leży na $f$ (bo $2^1=2$), a $(2,\ 1)$ leży na $g$ (bo $\log_2 2=1$) ✔
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
