Zadania prowadzące do równań wielomianowych

Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego:

$$\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$$

Odpowiedź: B. dzielników wyrazu wolnego.

Kandydaci to dzielniki wyrazu wolnego $-2$:

$$\pm1,\ \pm2$$

Odpowiedź: $-2,\ -1,\ 1,\ 2$.

$$W(1)=1+2-1-2=0$$

Ponieważ $W(1)=0$, liczba $1$ jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: tak, $x=1$ jest pierwiastkiem.

Czynnik $(x-2)^2$ w kwadracie oznacza, że $x=2$ jest pierwiastkiem podwójnym (krotności $2$).

Pierwiastek $x=-1$ (z czynnika $(x+1)$) jest pojedynczy.

Odpowiedź: C. $x=2$.

Pierwiastek $x=3$ — krotność $2$ (podwójny).

Pierwiastek $x=-2$ — krotność $3$ (potrójny).

Odpowiedź: $x=3$ (krotność $2$), $x=-2$ (krotność $3$).

Pierwiastek o krotności parzystej — wykres odbija się od osi $OX$ (dotyka jej i wraca po tej samej stronie).

Dla porównania: przy krotności nieparzystej wykres przecina oś, zmieniając znak.

Odpowiedź: A. dotyka osi, nie przecinając.

Krok 1 — kandydaci to dzielniki $6$: $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$.

Krok 2 — sprawdzamy:

$$W(-1)=-1-4-1+6=0 \ ✔$$

$$W(2)=8-16+2+6=0 \ ✔$$

$$W(3)=27-36+3+6=0 \ ✔$$

Krok 3 — wniosek. Trzy pierwiastki dla wielomianu stopnia trzeciego to komplet:

$$W(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 2,\ 3\}$.

Krok 1 — szukamy pierwiastka wśród dzielników $4$.

$$W(1)=1-1-4+4=0 \ ✔$$

Krok 2 — dzielimy przez $(x-1)$:

$$x^3-x^2-4x+4=(x-1)\left(x^2-4\right)$$

Krok 3 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$(x-1)(x-2)(x+2)=0$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 1,\ 2\}$.

Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych (licząc z krotnościami).

Dla stopnia $3$ — najwyżej trzy.

Odpowiedź: D. $3$.

Miejsca zerowe: $x=1$ (krotność $1$) i $x=-2$ (krotność $2$).

Zachowanie wykresu:

• w $x=1$ (krotność nieparzysta) — wykres przecina oś $OX$,
• w $x=-2$ (krotność parzysta) — wykres dotyka osi i odbija się.

Odpowiedź: dwa miejsca zerowe; przecięcie w $1$, odbicie w $-2$.

Krotność nieparzysta oznacza zmianę znaku wielomianu — wykres przecina oś $OX$.

Odpowiedź: B. przecina oś, zmieniając znak.

Sprawdzamy $x=\frac12$:

$$W\left(\tfrac12\right)=2\cdot\tfrac18+3\cdot\tfrac14-1=\tfrac14+\tfrac34-1=0 \ ✔$$

Sprawdzamy $x=-1$:

$$W(-1)=-2+3-1=0 \ ✔$$

Wniosek. Oba są pierwiastkami. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych: kandydaci to $\frac{p}{q}$, gdzie $p\mid1$ (wyraz wolny), $q\mid2$ (współczynnik wiodący) — stąd $\frac12$ w grze.

Odpowiedź: oba są pierwiastkami.

Dla stopnia nieparzystego ze współczynnikiem wiodącym dodatnim ramiona idą w przeciwnych kierunkach:

$$x\to+\infty:\ W(x)\to+\infty$$

$$x\to-\infty:\ W(x)\to-\infty$$

Reguła. Nieparzysty stopień — ramiona przeciwne (jedno w górę, jedno w dół); parzysty stopień — ramiona w tę samą stronę.

Odpowiedź: prawe ramię w górę, lewe w dół.

W twierdzeniu o pierwiastkach wymiernych licznik $p$ dzieli wyraz wolny ($1$), a mianownik $q$ — współczynnik wiodący ($2$):

$$p\mid1,\qquad q\mid2$$

Kandydaci: $\pm1,\ \pm\frac12$.

Odpowiedź: C. $p\mid1$, $q\mid2$.

Krok 1 — potwierdzamy: $W(1)=1-7+6=0$ ✔

Krok 2 — dzielimy przez $(x-1)$:

$$x^3-7x+6=(x-1)\left(x^2+x-6\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Liczby o iloczynie $-6$ i sumie $1$ to $3$ i $-2$:

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$

Krok 4 — pełny rozkład:

$$W(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$$

Odpowiedź: $(x-1)(x-2)(x+3)$.

Równanie $x^2+1=0$ daje $x^2=-1$, co nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Wykres leży w całości nad osią $OX$ — nie ma miejsc zerowych.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — kandydaci wymierni $\frac{p}{q}$: $p\mid4$, $q\mid2$, więc $\pm1,\pm2,\pm4,\pm\frac12$.

Krok 2 — sprawdzamy $x=\frac12$:

$$W\left(\tfrac12\right)=2\cdot\tfrac18-\tfrac14-4+4=\tfrac14-\tfrac14=0 \ ✔$$

Krok 3 — grupujemy pozostałe wyrazy. Zauważamy strukturę:

$$2x^3-x^2-8x+4=x^2(2x-1)-4(2x-1)=(2x-1)\left(x^2-4\right)$$

Krok 4 — różnica kwadratów:

$$(2x-1)(x-2)(x+2)$$

Pierwiastki: $\frac12$, $2$, $-2$.

Odpowiedź: $(2x-1)(x-2)(x+2)$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$:

$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$$

Krok 2 — wracamy do $x$:

$$\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)$$

Krok 3 — rozkładamy obie różnice kwadratów:

$$(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$

Krok 4 — pierwiastki. Cztery różne, każdy krotności $1$:

$$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$$

Wniosek. Wielomian stopnia $4$ ma tu cztery pojedyncze pierwiastki — wykres przecina oś w czterech punktach.

Odpowiedź: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$; pierwiastki $-2,-1,1,2$ (krotność $1$).

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=-1$ (krotność $1$) i $x=2$ (krotność $2$).

Krok 2 — zachowanie w miejscach zerowych:

• $x=-1$: krotność nieparzysta — wykres przecina oś,
• $x=2$: krotność parzysta — wykres dotyka osi i odbija się.

Krok 3 — ramiona. Stopień $3$ (nieparzysty), współczynnik wiodący dodatni:

$$x\to-\infty:\ W\to-\infty,\qquad x\to+\infty:\ W\to+\infty$$

Krok 4 — przebieg. Od dołu z lewej, przecina oś w $-1$, rośnie, schodzi i dotyka osi w $2$, potem rośnie do $+\infty$.

Odpowiedź: przecięcie w $-1$, odbicie w $2$, lewe ramię w dół, prawe w górę.

Krok 1 — twierdzenie o pierwiastkach wymiernych. Ewentualny pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ ma $p\mid1$ (wyraz wolny) i $q\mid1$ (współczynnik wiodący), więc kandydaci to tylko $\pm1$.

Krok 2 — sprawdzamy $x=1$:

$$W(1)=1+1+1=3\neq0$$

Krok 3 — sprawdzamy $x=-1$:

$$W(-1)=-1-1+1=-1\neq0$$

Krok 4 — wniosek. Żaden z jedynych możliwych kandydatów wymiernych nie jest pierwiastkiem, więc wielomian nie ma pierwiastków wymiernych. $\qquad ∎$

Uwaga. Wielomian ma pierwiastek rzeczywisty (stopień nieparzysty gwarantuje co najmniej jeden), ale jest on niewymierny — około $-0{,}68$.

1. Najwyższa potęga iloczynu: $2x^3\cdot x^2=2x^5$ → stopień $5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pomnożone stopnie $3\cdot2$ zamiast dodania.

1. Podstawiamy $x=-2$: $(-2)^3+8=-8+8=0$ ✓.
2. Pozostałe: $-8-8\ne0$, $4+4\ne0$, $4-4+2\ne0$.

Odpowiedź: B

1. $x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? B — zgubiony czynnik $x$.

1. $x^2(x-4)-(x-4)=(x-4)(x^2-1)=(x-4)(x-1)(x+1)$.
2. Rozwiązania: $4,\ 1,\ -1$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — z $x^2=1$ wzięto tylko $x=1$.

1. 1. $2x\cdot(x^2-2x+3)=2x^3-4x^2+6x$ — prawda.
2. 2. $W(x)=0 \iff x=0$ lub $x^2-2x+3=0$; dla trójmianu $\Delta=4-12\lt 0$, więc jedyne rozwiązanie to $x=0$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $(\sqrt3)^3=3\sqrt3$, więc $W(\sqrt3)=3\sqrt3-3\sqrt3+1=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — $(\sqrt3)^3$ policzone jako $3$; D — zły znak przy $-3x$.

1. $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$ — różnica kwadratów.
2. $x^2-4=(x-2)(x+2)$, a $x^2+4$ nie rozkłada się dalej ($\Delta\lt 0$).

Odpowiedź: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$

1. Grupujemy: $x^2(2x-1)-4(2x-1)=0$.
2. $(2x-1)(x^2-4)=0$, czyli $(2x-1)(x-2)(x+2)=0$.
3. $x=\dfrac12$, $x=2$ lub $x=-2$.

Odpowiedź: $x\in\left\{-2,\ \tfrac12,\ 2\right\}$

1. $x^2(x+2)-3(x+2)=0 \Rightarrow (x+2)(x^2-3)=0$.
2. $x=-2$ lub $x^2=3$, czyli $x=-\sqrt3$ lub $x=\sqrt3$.

Odpowiedź: $x\in\{-2,-\sqrt3,\sqrt3\}$

1. Przenosimy na jedną stronę: $x(x-2)(x+2)-x(x-2)=0$.
2. Wyłączamy $x(x-2)$: $x(x-2)\big[(x+2)-1\big]=x(x-2)(x+1)=0$.
3. $x=0$, $x=2$ lub $x=-1$.

Odpowiedź: $x\in\{-1,0,2\}$

Wskazówka: Kto podzieli obie strony przez $x(x-2)$, dostanie tylko $x=-1$ i straci dwa punkty.

1. Najwyższa potęga to $x^4$.
2. Stopień $4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D sumuje wykładniki - błąd.

1. $x-1=0$ lub $x+4=0$.
2. $x=1$ lub $x=-4$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A myli znaki pierwiastków.

1. $x^2=0\Rightarrow x=0$; $x-5=0\Rightarrow x=5$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A gubi pierwiastek $x=0$.

1. $2x=0\Rightarrow x=0$.
2. $x^2+25>0$ - brak pierwiastków.
3. Jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? $x^2+25=0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

1. $x(x^2-4)=0$.
2. $x(x-2)(x+2)=0$.
3. $x=0$, $x=2$, $x=-2$.

Odpowiedź: $x\in\{-2,0,2\}$.

1. $W(2)=8-6+1$.
2. $=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C pomija wyraz $-6$.

1. $x^3-x=x(x^2-1)$.
2. $=x(x-1)(x+1)$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A błędnie zmienia znak w nawiasie.

1. Pierwiastki $2$ i $5$.
2. Suma $2+5=7$ (równa $-p$).

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to iloczyn pierwiastków.

1. $x^2=16$.
2. $x=4$ lub $x=-4$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A gubi pierwiastek ujemny.

1. $x(x^2+2x-3)=0$.
2. $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$.
3. $x=0$, $x=-3$, $x=1$.

Odpowiedź: $x\in\{-3,0,1\}$.

1. Najwyższa potęga $x^5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to współczynnik.

1. $x+2=0$ lub $x-5=0$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A myli znaki.

1. $x^2=0\Rightarrow x=0$; $x-3=0\Rightarrow x=3$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A gubi $x=0$.

1. $W(2)=8-4=4$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? C pomija $-2x$.

1. $x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)=0$.
2. $x=0,3,-3$.

Odpowiedź: $x\in\{-3,0,3\}$

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x-3=0$$

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=3$$

Odpowiedź: B. $0$ i $3$.

Przyrównujemy każdy czynnik do zera:

$$x=2,\quad x=-1,\quad x=5$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 2,\ 5\}$.

Krok 1 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^3-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^2-4)=0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$x(x-2)(x+2)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-2$$

Uwaga: nie wolno dzielić przez $x$ — straciłoby się pierwiastek $x=0$.

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 0,\ 2\}$.

Dla dużych dodatnich $x$ sześcian rośnie nieograniczenie:

$$x\to+\infty \Rightarrow x^3\to+\infty$$

Odpowiedź: C. $+\infty$.

Przyrównujemy czynniki do zera:

$$x=-3 \quad\text{(krotność 1)},\qquad x=1 \quad\text{(krotność 2)}$$

Odpowiedź: $x=-3$ i $x=1$.

Stopień nieparzysty → ramiona w przeciwnych kierunkach. Współczynnik dodatni → prawe w górę:

$$x\to-\infty:\ W\to-\infty,\qquad x\to+\infty:\ W\to+\infty$$

Odpowiedź: A. lewe w dół, prawe w górę.

Krok 1 — wyłączamy $x$:

$$x(x^2-2x-3)=0$$

Krok 2 — rozkładamy trójmian:

$$x(x-3)(x+1)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=0,\quad x=3,\quad x=-1$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 0,\ 3\}$.

Krok 1 — grupujemy:

$$(x^3+x^2)-(4x+4)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2(x+1)-4(x+1)=0$$

Krok 2 — wspólny nawias:

$$(x+1)(x^2-4)=0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)(x-2)(x+2)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=-1,\quad x=2,\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ -1,\ 2\}$.

Trzy różne pierwiastki ($1$, $2$, $3$) — wykres przecina oś $OX$ w trzech punktach.

Odpowiedź: D. $3$.

W $x=-2$ (krotność nieparzysta): wykres przecina oś $OX$, zmieniając znak.

W $x=3$ (krotność parzysta): wykres dotyka osi i odbija się, nie zmieniając znaku.

Reguła: krotność nieparzysta → przecięcie; parzysta → odbicie.

Odpowiedź: przecięcie w $-2$, odbicie w $3$.

Czynnik $x^2$ daje pierwiastek $x=0$ o krotności $2$, a $(x-1)$ daje $x=1$:

$$x=0 \ \text{(podwójny)},\qquad x=1$$

Odpowiedź: B. $0$ (podwójny) i $1$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2\ge0$:

$$t^2-5t+4=0 \quad\Rightarrow\quad (t-1)(t-4)=0$$

Krok 2 — wracamy do $x$:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,\qquad x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ -1,\ 1,\ 2\}$.

Krok 1 — wymiary podstawy. Po wycięciu i zagięciu bok podstawy to $10-2x$, a wysokość $x$.

Krok 2 — objętość:

$$V(x)=x(10-2x)^2$$

Krok 3 — rozwijamy:

$$V(x)=x(100-40x+4x^2)=4x^3-40x^2+100x$$

Dziedzina: $0\lt x\lt 5$ (bok podstawy musi być dodatni).

Odpowiedź: $V(x)=4x^3-40x^2+100x$.

Stopień parzysty → oba ramiona w tę samą stronę (jak parabola).

Kierunek: współczynnik dodatni → oba w górę, ujemny → oba w dół.

Odpowiedź: A. w tę samą stronę.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=1$ i $x=-2$.

Krok 2 — parabola o ramionach w górę jest dodatnia poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$.

Szukamy liczby, której sześcian to $-8$:

$$(-2)^3=-8 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Uwaga: sześcian (potęga nieparzysta) zachowuje znak, więc jest tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Odpowiedź: C. $-2$.

Krok 1 — grupujemy:

$$(x^3-3x^2)-(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2(x-3)-1(x-3)=0$$

Krok 2 — wspólny nawias:

$$(x-3)(x^2-1)=0$$

Krok 3 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$(x-3)(x-1)(x+1)=0$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=3,\quad x=1,\quad x=-1$$

Sprawdzenie dla $x=3$: $27-27-3+3=0$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 1,\ 3\}$.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=-2$, $x=0$, $x=2$ (wszystkie pojedyncze).

Krok 2 — ramiona. Stopień $3$, współczynnik wiodący dodatni: lewe w dół, prawe w górę.

Krok 3 — znak w przedziałach (metoda wstęgowa, zmiana znaku przy każdym pierwiastku):

• $x\lt -2$: ujemny,
• $-2\lt x\lt 0$: dodatni,
• $0\lt x\lt 2$: ujemny,
• $x>2$: dodatni.

Kontrola dla $x=1$: $1\cdot(-1)\cdot3=-3\lt 0$ ✔ (przedział $0\lt x\lt 2$ ujemny).

Odpowiedź: pierwiastki $-2,0,2$; znak $-,+,-,+$; lewe ramię w dół, prawe w górę.

Krok 1 — miejsca zerowe: $0$, $1$, $2$.

Krok 2 — znak w przedziałach. Współczynnik dodatni, stopień nieparzysty:

• $x\lt 0$: ujemny,
• $0\lt x\lt 1$: dodatni,
• $1\lt x\lt 2$: ujemny,
• $x>2$: dodatni.

Krok 3 — nierówność $\le0$ obejmuje przedziały ujemne oraz miejsca zerowe (bo nieostra):

$$x\in(-\infty,\ 0\rangle\cup\langle1,\ 2\rangle$$

Uwaga. Przy nierówności nieostrej pierwiastki dołączamy (w nich wielomian równa się zeru).

Odpowiedź: $x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle1,2\rangle$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik:

$$x^3+x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^2+1)=0$$

Krok 2 — analiza czynników. Iloczyn jest zerem, gdy:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x^2+1=0$$

Krok 3 — drugi czynnik. Równanie $x^2+1=0$ daje $x^2=-1$, co nie ma rozwiązań rzeczywistych (kwadrat jest nieujemny).

Krok 4 — wniosek. Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest $x=0$. $\qquad ∎$

Interpretacja graficzna. Wykres $x^3+x$ jest rosnący (suma dwóch funkcji rosnących), więc przecina oś $OX$ tylko raz.

Rozpoznajemy kwadrat różnicy: $9=3^2$, a środkowy wyraz to $-2\cdot x\cdot3$:

$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$

Odpowiedź: C. $(x-3)^2$.

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x-2=0 \quad\text{lub}\quad x+5=0$$

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-5$$

Uwaga na znaki: z czynnika $(x+5)$ pierwiastkiem jest $-5$, a nie $5$.

Odpowiedź: A. $0$, $2$, $-5$.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^3-3x^2\right)+(2x-6)$$

Krok 2 — wyłączamy z grup:

$$x^2(x-3)+2(x-3)$$

Krok 3 — wspólny nawias:

$$(x-3)\left(x^2+2\right)$$

Sprawdzenie dla $x=3$: pierwotny wielomian daje $27-27+6-6=0$, a w rozkładzie czynnik $(x-3)$ się zeruje ✔

Odpowiedź: $(x-3)(x^2+2)$.

Pierwiastki to $x=1$ (podwójny) oraz $x=-3$ (pojedynczy). Różnych wartości pierwiastków są dwie.

Uwaga na sformułowanie. Pierwiastek $x=1$ liczymy jako jedną wartość, choć jego krotność wynosi $2$. Pytanie o liczbę pierwiastków zwykle dotyczy różnych wartości.

Odpowiedź: D. $2$.

Krok 1 — rozkładamy lewą stronę:

$$x\left(x^2-4\right)=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)(x+2)=0$$

Krok 2 — przyrównujemy każdy czynnik do zera:

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-2$$

Zasada. Rozkład na czynniki zamienia równanie wielomianowe na kilka prostych — iloczyn jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się choć jeden czynnik.

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 0,\ 2\}$.

Stosujemy wzór na różnicę sześcianów, bo $27=3^3$:

$$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$$

$$x^3-27=(x-3)\left(x^2+3x+9\right)$$

Uwaga na znak środkowego wyrazu: w drugim nawiasie jest $+3x$, a nie $-3x$. W różnicy sześcianów wszystkie znaki w drugim czynniku są dodatnie.

Odpowiedź: B. $(x-3)(x^2+3x+9)$.

Krok 1 — pierwsza różnica kwadratów ($x^4=(x^2)^2$):

$$x^4-1=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)$$

Krok 2 — drugi rozkład. Czynnik $x^2-1$ to znowu różnica kwadratów:

$$(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)$$

Uwaga: czynnika $x^2+1$ nie da się rozłożyć w liczbach rzeczywistych — suma kwadratów nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: $(x-1)(x+1)(x^2+1)$.

Współczynniki: NWD$(4,6,2)=2$.

Litery: najniższa potęga $x$ w wyrazach to $x^1$.

Wspólnym czynnikiem jest więc $2x$:

$$4x^3-6x^2+2x=2x\left(2x^2-3x+1\right)$$

Odpowiedź: A. $2x$.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^3+x^2\right)-(4x+4)=0$$

Krok 2 — wyłączamy z grup:

$$x^2(x+1)-4(x+1)=0$$

Krok 3 — wspólny nawias:

$$(x+1)\left(x^2-4\right)=0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)(x-2)(x+2)=0$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=-1,\quad x=2,\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ -1,\ 2\}$.

To suma kwadratów, a nie różnica — nie ma wzoru skróconego mnożenia, który by ją rozkładał w liczbach rzeczywistych.

Dlaczego: $x^2+4=0$ dawałoby $x^2=-4$, co nie ma rozwiązań rzeczywistych. Brak pierwiastków oznacza brak czynników liniowych.

Uwaga: tylko różnica kwadratów $x^2-4$ się rozkłada. Suma — nie.

Odpowiedź: C. nie rozkłada się.

Krok 1 — sprawdzamy pierwiastek:

$$W(2)=8-12+4=0 \ ✔$$

Skoro $W(2)=0$, to z twierdzenia Bézouta $(x-2)$ jest dzielnikiem wielomianu.

Krok 2 — dzielimy $W(x)$ przez $(x-2)$. Wynik dzielenia:

$$x^3-3x^2+4=(x-2)\left(x^2-x-2\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Liczby o iloczynie $-2$ i sumie $-1$ to $-2$ i $1$:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$

Krok 4 — pełny rozkład:

$$W(x)=(x-2)^2(x+1)$$

Wniosek. Pierwiastek $x=2$ jest podwójny, a $x=-1$ pojedynczy.

Sprawdzenie dla $x=-1$: $-1-3+4=0$ ✔

Krok 1 — miejsca zerowe. Wielomian zeruje się w punktach:

$$x=-2,\quad x=1,\quad x=4$$

Krok 2 — oś i znaki. Miejsca zerowe dzielą oś na cztery przedziały. Sprawdzamy znak w każdym, biorąc liczbę próbną:

• $x=-3$: $(-)(-)(-)=-$ — ujemny
• $x=0$: $(-)(+)(-)=+$ — dodatni
• $x=2$: $(+)(+)(-)=-$ — ujemny
• $x=5$: $(+)(+)(+)=+$ — dodatni

Krok 3 — wybieramy przedziały dodatnie. Szukamy, gdzie wielomian jest większy od zera:

$$x\in(-2,\ 1)\cup(4,\ +\infty)$$

Reguła wstęgowa. Dla wielomianu z pojedynczymi pierwiastkami znak zmienia się przy każdym z nich — wystarczy ustalić znak w skrajnym przedziale i naprzemiennie.

Odpowiedź: $x\in(-2,\ 1)\cup(4,\ +\infty)$.

Krok 1 — rozkładamy wielomian:

$$x^3-x=x\left(x^2-1\right)=x(x-1)(x+1)=(x-1)\,x\,(x+1)$$

Krok 2 — interpretacja. To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: $x-1$, $x$, $x+1$.

Krok 3 — podzielność przez $2$. Wśród dowolnych dwóch kolejnych liczb jedna jest parzysta, więc iloczyn dzieli się przez $2$.

Krok 4 — podzielność przez $3$. Wśród dowolnych trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez $3$, więc iloczyn dzieli się przez $3$.

Krok 5 — wniosek. Iloczyn dzieli się przez $2$ i przez $3$, a skoro liczby te są względnie pierwsze, dzieli się przez $2\cdot3=6$. $\qquad ∎$

Sprawdzenie dla $x=4$: $64-4=60=6\cdot10$ ✔