To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Sprytne podstawienia
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Monotoniczność
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r\lt 0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
Szereg geometryczny
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|\lt 1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q\lt 1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
Procent składany
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Spadek wartości
Ten sam wzór z $q\lt 1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Na co uważać
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|\lt 1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Sprawdzenie: $a_{10}=39$, a $S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot10=210$ ✔
Odpowiedź: $10$ wyrazów.
Zadanie nr 11
Ciąg arytmetyczny jest malejący dokładnie wtedy, gdy:
A$a_1\lt 0$
B$r\lt 0$
C$r>0$
D$a_1>r$
Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie $r$:
$$a_{n+1}-a_n=r$$
Ciąg maleje, gdy ta różnica jest ujemna, czyli gdy $r\lt 0$.
Pierwszy wyraz nie ma znaczenia — ciąg $-5$, $-2$, $1$, $4$ zaczyna się od liczby ujemnej, a mimo to rośnie.
Odpowiedź: B. $r\lt 0$.
Zadanie nr 12
W ciągu arytmetycznym suma pierwszego i piątego wyrazu wynosi $16$, a trzeci wyraz to $a_3$. Wyznacz $a_3$.
Krok 1 — zapisujemy oba wyrazy przez $a_3$:
$$a_1=a_3-2r,\qquad a_5=a_3+2r$$
Krok 2 — dodajemy. Składniki z $r$ się znoszą:
$$a_1+a_5=2a_3=16$$
Krok 3 — wynik:
$$a_3=8$$
Warto zapamiętać. W ciągu arytmetycznym wyrazy równo oddalone od danego wyrazu sumują się do jego podwojonej wartości — to bardzo częsty motyw w zadaniach.
Odpowiedź: $a_3=8$.
Zadanie nr 13
Widownia teatru ma $25$ rzędów. W pierwszym jest $18$ miejsc, a w każdym następnym o $2$ więcej. Ile miejsc ma cała widownia?
Krok 1 — dane: $a_1=18$, $r=2$, $n=25$.
Krok 2 — ostatni rząd:
$$a_{25}=18+24\cdot2=66$$
Krok 3 — suma:
$$S_{25}=\frac{18+66}{2}\cdot25=42\cdot25=1050$$
Odpowiedź: $1050$ miejsc.
Zadanie nr 14
Wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to:
A$S_n=a_1\cdot n$
B$S_n=\frac{a_1\cdot a_n}{2}$
C$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$
D$S_n=a_1+(n-1)r$
Sumę liczymy jako liczbę wyrazów razy ich średnia:
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Skąd to się bierze: parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd. — każda para ma tę samą sumę $a_1+a_n$.
Uwaga: odpowiedź D to wzór na wyraz ogólny, nie na sumę.
Odpowiedź: C. $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
Zadanie nr 15
Oblicz sumę wszystkich liczb parzystych od $2$ do $200$.
Krok 1 — ile jest składników:
$$n=\frac{200}{2}=100$$
Krok 2 — suma:
$$S=\frac{2+200}{2}\cdot100=101\cdot100=10\,100$$
Odpowiedź: $10\,100$.
Zadanie nr 16
Ciąg dany wzorem $a_n=4n-1$ jest arytmetyczny o różnicy:
A$4$
B$-1$
C$3$
D$5$
Liczymy różnicę kolejnych wyrazów:
$$a_{n+1}-a_n=\bigl[4(n+1)-1\bigr]-(4n-1)=4$$
Reguła. Gdy wzór ma postać $a_n=pn+q$, ciąg jest arytmetyczny, a różnica to współczynnik $p$ przy $n$.
Sprawdzenie: $3$, $7$, $11$, $15$ ✔
Odpowiedź: A. $r=4$.
Zadanie nr 17
Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi $30$, a ich iloczyn $840$. Wyznacz te wyrazy.
Krok 1 — sprytny zapis. Oznaczmy wyrazy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy suma nie zależy od $r$:
Krok 5 — interpretacja. Po $10$ dniach mamy $(37+30)\cdot10=670$ płytek — jeszcze za mało. Jedenastego dnia robotnik ułoży $a_{11}=40+60=100$ płytek, więc próg $700$ zostanie przekroczony w trakcie jedenastego dnia.
Odpowiedź: potrzeba $11$ dni pracy.
Zadanie nr 20
Wykaż, że suma $n$ początkowych liczb nieparzystych jest równa $n^2$.
Krok 1 — opis ciągu. Kolejne liczby nieparzyste to ciąg arytmetyczny:
Pani Anna spłaciła pożyczkę w wysokości $7200$ zł w $16$ ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o $20$ zł. Oblicz wysokość pierwszej raty.
Raty tworzą ciąg arytmetyczny: $r=-20$, $n=16$, $S_{16}=7200$.
W ciągu arytmetycznym $a_1=1$, $r=2$ wyraz $a_4$ jest równy
A$7$
B$9$
C$8$
D$5$
$a_4=1+3\cdot2=7$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? B używa $4r$.
Zadanie nr PP37.12
Różnica ciągu $5,9,13,\dots$ jest równa
A$5$
B$4$
C$9$
D$-4$
$r=9-5=4$.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? A to pierwszy wyraz.
Zadanie nr PP37.13
Suma $1+2+3+\dots+20$ jest równa
A$200$
B$190$
C$210$
D$220$
$S=\tfrac{1+20}{2}\cdot20=210$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? A pomija składnik.
Zadanie nr PP37.14
Dla ciągu $a_1=2$, $r=3$ suma $S_3$ jest równa
A$24$
B$12$
C$18$
D$15$
$a_3=2+6=8$, $S_3=\tfrac{2+8}{2}\cdot3=15$.
Odpowiedź:D
Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.
Zadanie nr PP37.15
W ciągu arytmetycznym $a_1=3$, $r=4$. Oblicz $a_5$ oraz $S_5$.
$a_5=3+16=19$.
$S_5=\tfrac{3+19}{2}\cdot5=55$.
Odpowiedź: $a_5=19$, $S_5=55$
📄Zadania z arkuszy 70
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 15 · Matura 2026
Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma $S_{10}$ dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $90$. Średnia arytmetyczna pierwszego, siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa $10$. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu $(a_{n})$. Zapisz obliczenia.
Z sumy: $S_{10}=\dfrac{2a_{1}+9r}{2}\cdot 10=5(2a_{1}+9r)=90$, stąd $2a_{1}+9r=18$.
Ze średniej: $a_{1}+a_{7}+a_{8}=30$, czyli $a_{1}+(a_{1}+6r)+(a_{1}+7r)=3a_{1}+13r=30$.
Z pierwszego równania $a_{1}=9-4{,}5r$. Podstawiamy: $3(9-4{,}5r)+13r=30\Rightarrow 27-13{,}5r+13r=30\Rightarrow -0{,}5r=3\Rightarrow r=-6$.
$a_{1}=9-4{,}5\cdot(-6)=9+27=36$.
Odpowiedź: $a_{1}=36$, $r=-6$.
Zadanie nr 15 · Próbny 2026
Ciąg $(a_{n})$ jest określony następująco: $a_{1}=5$ oraz $a_{n+1}=a_{n}+2$ dla $n\ge 1$. Suma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma \(S_3\) trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa
A\(18\)
B\(24\)
C\(60\)
D\(90\)
Obliczamy trzy początkowe wyrazy ciągu:
\(a_1=3\cdot 1^2-3\cdot 1=0\)
\(a_2=3\cdot 4-3\cdot 2=12-6=6\)
\(a_3=3\cdot 9-3\cdot 3=27-9=18\)
Sumujemy:
\(S_3=0+6+18=24\)
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 17 · Matura 2024
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).
Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Nas będzie interesować suma piętnastu wyrazów, więc podstawiamy \(n=15\):
$$S_{15}=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15$$
Wiemy, że \(S_{15}=-165\), zatem:
$$-165=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15 \quad\bigg/:15$$
$$-11=\frac{2a_{1}+14r}{2}$$
$$-22=2a_{1}+14r$$
$$-11=a_{1}+7r$$
Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych, moglibyśmy rozpisać trzeci wyraz jako:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
Z treści zadania wynika, że trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(-1\), zatem:
$$-1=a_{1}+2r$$
Krok 3. Zapisanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch otrzymanych wcześniej równań możemy zbudować układ, którego rozwiązaniem będzie poszukiwana różnica ciągu:
\begin{cases} -1=a_{1}+2r \\ -11=a_{1}+7r \end{cases}
Ten układ można rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie chyba po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$10=-5r$$
$$r=-2$$
Zadanie nr 13 · Matura 2024
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem \(S_n=n^2+2n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzeci wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy
A\(5\)
B\(7\)
C\(13\)
D\(15\)
Trzeci wyraz otrzymamy jako różnicę sumy trzech i sumy dwóch początkowych wyrazów:
\(a_3=S_3-S_2\)
Obliczamy obie sumy:
\(S_3=3^2+2\cdot 3=9+6=15\)
\(S_2=2^2+2\cdot 2=4+4=8\)
Zatem:
\(a_3=15-8=7\)
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 16.1 · Matura 2024
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A\(3\)
B\(7\)
C\(50\)
D\(100\)
Obliczamy kilka początkowych wyrazów ciągu:
\(a_1=2\cdot(-1)^2+5=2+5=7\)
\(a_2=2\cdot(-1)^3+5=-2+5=3\)
\(a_3=7\), \(a_4=3\), …
Ciąg jest naprzemienny: \(7,\,3,\,7,\,3,\ldots\)
Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć wyrazów równych \(7\) i pięć równych \(3\):
\(S_{10}=5\cdot 7+5\cdot 3=35+15=50\)
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 17 · Matura 2023
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(8910 zł\) w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \(30 zł\). Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.
Opisaną w zadaniu sytuację możemy przedstawić jako ciąg arytmetyczny, w którym \(S_{n}=8910\), \(n=18\) oraz \(r=-30\). Poszukiwaną wartością jest \(a_{1}\).
W zadaniu możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz znane dane, otrzymamy:
$$8910=\frac{2a_{1}+(18-1)\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}+17\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}-510}{2}\cdot18$$
$$495=\frac{2a_{1}-510}{2}$$
$$990=2a_{1}-510$$
$$2a_{1}=1500$$
$$a_{1}=750$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2023
Ciąg $(a_{n})$ jest określony dla $n\ge 1$. Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem $S_{n}=4\cdot(2^{n}-1)$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(8910 zł\) w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \(30 zł\). Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.
Opisaną w zadaniu sytuację możemy przedstawić jako ciąg arytmetyczny, w którym \(S_{n}=8910\), \(n=18\) oraz \(r=-30\). Poszukiwaną wartością jest \(a_{1}\).
W zadaniu możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz znane dane, otrzymamy:
$$8910=\frac{2a_{1}+(18-1)\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}+17\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}-510}{2}\cdot18$$
$$495=\frac{2a_{1}-510}{2}$$
$$990=2a_{1}-510$$
$$2a_{1}=1500$$
$$a_{1}=750$$
Zadanie nr 31 · Matura 2023
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(8910 zł\) w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \(30 zł\). Oblicz kwotę pierwszej raty.
Opisaną w zadaniu sytuację możemy przedstawić jako ciąg arytmetyczny, w którym \(S_{n}=8910\), \(n=18\) oraz \(r=-30\). Poszukiwaną wartością jest \(a_{1}\).
W zadaniu możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz znane dane, otrzymamy:
$$8910=\frac{2a_{1}+(18-1)\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}+17\cdot(-30)}{2}\cdot18$$
$$8910=\frac{2a_{1}-510}{2}\cdot18$$
$$495=\frac{2a_{1}-510}{2}$$
$$990=2a_{1}-510$$
$$2a_{1}=1500$$
$$a_{1}=750$$
Zadanie nr 14 · Matura 2022
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_{n})\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(1\)
B\(11\)
C\(21\)
D\(31\)
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Z treści zadania wynika, że \(a_{2}=2\) oraz \(q=2\). To oznacza, że pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
$$a_{1}=a_{2}:q$$
$$a_{1}=2:2$$
$$a_{1}=1$$
Krok 2. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{1-2^{5}}{1-2}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{1-32}{-1}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{-31}{-1}$$
$$S_{5}=1\cdot31$$
$$S_{5}=31$$
Zadanie nr 30 · Matura 2022
Trójwyrazowy ciąg \((x,y-4,y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Skoro drugi wyraz ciągu jest równy \(y-4\), a trzeci jest równy \(y\), to różnica tego ciągu jest równa \(4\). Możemy do tego dojść też w bardziej matematyczny sposób:
$$r=a_{3}-a_{2}$$
$$r=y-(y-4)$$
$$r=y-y+4$$
$$r=4$$
Krok 2. Zapisanie wartości pierwszego wyrazu.
Pierwszy wyraz ciągu jest zapisany jako niewiadoma \(x\). Spróbujmy teraz zapisać ten wyraz przy użyciu niewiadomej \(y\), tak aby potem móc ułożyć równanie z jedną niewiadomą. Skoro różnica ciągu to \(r=4\) oraz \(a_{2}=y-4\), to:
$$a_{1}=a_{2}-r$$
$$a_{1}=y-4-4$$
$$a_{1}=y-8$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości wszystkich wyrazów ciągu.
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(6\), zatem:
$$(y-8)+(y-4)+y=6$$
$$3y-12=6$$
$$3y=18$$
$$y=6$$
Obliczona wartość to trzeci wyraz naszego ciągu, czyli \(a_{3}=6\). To oznacza, że:
$$a_{2}=y-4=6-4=2$$
$$a_{1}=y-8=6-8=-2$$
To oznacza, że wyrazami tego ciągu są kolejno \(-2\), \(2\) oraz \(6\).
Zadanie nr 27 · Próbny 2022
Liczba \(4\) jest pierwszym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(x+4\), a suma trzech jego początkowych wyrazów wynosi \(16\frac{1}{2}\). Oblicz różnicę tego ciągu.
Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=4\) oraz \(a_{2}=x+4\). To oznacza, że różnica tego ciągu to:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=x+4-4$$
$$r=x$$
Skoro każdy kolejny wyraz jest o \(x\) większy od poprzedniego, to wartość \(a_{3}\) będzie równa:
$$a_{3}=x+4+x=2x+4$$
Suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(16\frac{1}{2}\), zatem:
$$4+x+4+2x+4=16\frac{1}{2}$$
$$3x+12=16\frac{1}{2}$$
$$3x=4\frac{1}{2}$$
$$x=1,5$$
To oznacza, że różnica tego ciągu wynosi \(r=1,5\).
Zadanie nr 14 · Próbny 2022
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 1. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu \((a_{n})\) jest:
A. \(\dfrac{7^{49}}{3}\)
B. \(\dfrac{7^{50}}{3}\)
C. \(\dfrac{7^{51}}{3}\)
D. \(\dfrac{7^{52}}{3}\)
Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny.
2. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa \(20\).
Odpowiedź 1.
Wartość pięćdziesiątego wyrazu możemy obliczyć podstawiając do wzoru ciągu \(n=50\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7^{50}}{21}$$
Takiej odpowiedzi jednak nie mamy wśród proponowanych. Musimy więc jeszcze przekształcić podany zapis. Patrząc na odpowiedzi widzimy, że dążymy do tego, aby w mianowniku ułamka znalazła się liczba \(3\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7\cdot7^{49}}{7\cdot3}$$
$$a_{50}=\frac{7^{49}}{3}$$
Odpowiedź 2.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Już po samym wzorze widać wyraźnie, że jest to ciąg geometryczny, ale, jeśli chcemy się dokładnie upewnić, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczyć wartość \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\), zatem:
$$\frac{\frac{7^{n+1}}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{\frac{7^{n}\cdot7}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{7^{n}\cdot7}{21}\cdot\frac{21}{7^n}=7$$
Otrzymany wynik oznacza, że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=7\). Zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu, czyli:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
Ustaliliśmy już, że \(q=7\), więc obliczmy jeszcze wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}=\frac{7^1}{21}$$
$$a_{1}=\frac{7}{21}$$
$$a_{1}=\frac{1}{3}$$
Skoro tak, to suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu będzie równa:
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-7^3}{1-7}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-343}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot57$$
$$S_{3}=19$$
Zdanie jest więc fałszem.
Zadanie nr 16 · Próbny 2022
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3n-1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 1. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg \((a_{n})\) jest:
A. rosnący,
B. malejący,
C. stały,
ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)
1. \(a_{n+1}-a_{n}=-1\)
2. \(a_{n+1}-a_{n}=0\)
3. \(a_{n+1}-a_{n}=3\)
Zadanie 2. Najmniejszą wartością \(n\), dla której wyraz \((a_{n})\) jest większy od \(25\), jest:
A. \(8\)
B. \(9\)
C. \(7\)
D. \(26\)
Zadanie 3. Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \(a_{n}\) jest równa \(57\) dla \(n\) równego:
A. \(6\)
B. \(23\)
C. \(5\)
D. \(11\)
Odpowiedź 1.
Już po samym wzorze widać, że jest to ciąg rosnący, ponieważ mamy klasyczny wzór ciągu arytmetycznego, a liczba stojąca przed \(n\) to różnica ciągu, czyli tutaj \(r=3\). Możemy jednak standardowo ustalić monotoniczność, tak jak jest to wskazane w sugerowanych odpowiedziach, czyli obliczając różnicę \(a_{n+1}-a_{n}\). Skoro tak, to:
$$a_{n+1}-a_{n}=3(n+1)-1-(3n-1)=3n+3-1-3n+1=3$$
Otrzymaliśmy dodatni wynik, a to oznacza, że ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_{n}=3\).
Odpowiedź 2.
Chcemy sprawdzić kiedy wartość wyrazów tego ciągu jest większa od \(25\), czyli musimy sprawdzić kiedy \(3n-1\) jest większe od \(25\). Zatem:
$$3n-1\gt25$$
$$3n\gt26$$
$$n\gt8\frac{2}{3}$$
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, a najmniejszą liczbą naturalną od \(8\frac{2}{3}\) jest \(9\).
Odpowiedź 3.
Krok 1. Podstawienie danych do wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Wiemy już, że nasz ciąg jest arytmetyczny, a skoro tak, to możemy w tym zadaniu skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Do tego wzoru potrzebujemy podstawić \(r\) i ustaliliśmy już, że \(r=3\). Oprócz tego musimy obliczyć jeszcze \(a_{1}\), zatem podstawiając do wzoru \(n=1\), otrzymamy:
$$a_{1}=3\cdot1-1$$
$$a_{1}=3-1$$
$$a_{1}=2$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=3,\;b=1,\;c=-114\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-114)=1-(-1368)$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1369}=37$$
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem zostaje nam jedynie \(n=6\) i taka też będzie odpowiedź do tego zadania.
Zadanie nr 14 · Matura 2021
Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od \(1001\) jest równa:
A\(\frac{2+998}{2}\cdot499\)
B\(\frac{2+1000}{2}\cdot500\)
C\(\frac{2+1001}{2}\cdot500\)
D\(\frac{1+1001}{2}\cdot1001\)
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Gdybyśmy chcieli wypisać wszystkie parzyste liczby, mniejsze od \(1001\), to sytuacja wyglądałaby następująco:
$$2, 4, 6, 8, ..., 998, 1000$$
Powinniśmy zauważyć, że to jest po prostu ciąg arytmetyczny, w którym \(a_{1}=2\), \(a_{n}=1000\) oraz \(r=2\). Do ustalenia jest jeszcze ile jest tych wyrazów - będzie ich dokładnie \(n=500\).
Krok 2. Zapisanie sumy.
W zadaniu skorzystamy zatem ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz wszystkie dane wypisane w pierwszym kroku, otrzymamy:
$$S_{500}=\frac{2+1000}{2}\cdot500$$
Zadanie nr 35 · Próbny 2021
Rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa \(10\). Wyrazy \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\).
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\).
Z treści zadania wiemy, że suma pierwszych pięciu wyrazów jest równa \(10\), czyli:
$$S_{5}=10$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=10$$
Spróbujmy teraz każdy z tych wyrazów powiązać z \(a_{3}\). Dlaczego akurat z \(a_{3}\)? Jest to wyraz, który bardzo nam pasuje, bo nie dość, że jest środkowym wyrazem tej sumy (co jak się za chwilę okaże, ma spore znaczenie), to jeszcze występuje w ciągu geometrycznym. Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{1}=a_{3}-2r$$
$$a_{2}=a_{3}-r$$
$$a_{4}=a_{3}+r$$
$$a_{5}=a_{3}+2r$$
Możemy więc zapisać, że:
$$a_{3}-2r+a_{3}-r+a_{3}+a_{3}+r+a_{3}+2r=10$$
Wartości \(r\) występujące w równaniu tak naprawdę się nam skrócą i zostanie jedynie niewiadoma \(a_{3}\), zatem:
$$5a_{3}=10$$
$$a_{3}=2$$
Krok 2. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.
Paradoksalnie, różnicę ciągu arytmetycznego obliczymy korzystając z informacji na temat ciągu geometrycznego. Rozpiszmy sobie wartości \(a_{5}\) i \(a_{13}\), powiązując je z \(a_{3}\) (którego wartość już znamy, bowiem \(a_{3}=2\)):
$$a_{5}=a_{3}+2r=2+2r$$
$$a_{13}=a_{3}+10r=2+10r$$
Wiemy, że \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworząc ciąg geometryczny. Możemy skorzystać z jednej z własności ciągów geometrycznych i zapisać, że w takim razie:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{13}}{a_{5}}$$
$$\frac{2+2r}{2}=\frac{2+10r}{2+2r}$$
Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$(2+2r)\cdot(2+2r)=2\cdot(2+10r)$$
Po lewej stronie równania możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:
$$4+8r+4r^2=4+20r$$
$$4r^2-12r=0$$
$$r^2-3r=0$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Oczywiście możemy to zrobić przy pomocy delty (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale wiemy już, że takie równania kwadratowe możemy rozwiązać w znacznie prostszy sposób, wyłączając \(r\) przed nawias:
$$r^2-3r=0$$
$$r\cdot(r-3)=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r-3=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r=3$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa wyniki, ale czy oba nam pasują? Z treści zadania wynika, że ciąg arytmetyczny jest rosnący, a to sprawia, że na pewno \(r\) nie może być równe \(0\), bo dla \(r=0\) nasz ciąg byłby stały. W związku z tym jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(r=3\).
Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
Widzimy, że musimy poznać jeszcze wartość \(a_{1}\), a skoro \(a_{3}=2\) oraz \(r=3\), to:
$$a_{1}=a_{3}-2r$$
$$a_{1}=2-2\cdot3$$
$$a_{1}=2-6$$
$$a_{1}=-4$$
Teraz możemy podstawić \(a_{1}=-4\) oraz \(r=3\) do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, otrzymując:
$$a_{n}=-4+(n-1)\cdot3$$
$$a_{n}=-4+3n-3$$
$$a_{n}=3n-7$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2021
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) składa się z dwudziestu jeden wyrazów, których suma jest równa \(147\). Jeśli odrzucimy dwa początkowe i trzy końcowe wyrazy tego ciągu, to suma wszystkich pozostałych wyrazów będzie równa \(108\). Zapisz wzór ogólny ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Rozpisanie sumy dwudziestu jeden wyrazów.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu. Nasz ciąg ma \(21\) wyrazów, zatem \(n=21\). Wiemy też, że suma tych wyrazów jest równa \(147\). Podstawiając te informacje do wzoru, otrzymamy taki oto zapis:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{21}=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}\cdot21$$
$$147=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}\cdot21$$
$$7=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}$$
$$a_{1}+a_{21}=14$$
Z własności ciągów wiemy, że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Skoro tak, to możemy kontynuować obliczenia i zapisać, że:
$$a_{1}+a_{21}=14$$
$$a_{1}+a_{1}+20r=14$$
$$2a_{1}+20r=14$$
$$a_{1}+10r=7$$
Krok 2. Zapisanie równania po odjęciu dwóch początkowych i trzech końcowych wyrazów.
Z treści zadania wynika, że kiedy odjęliśmy dwa początkowe i trzy końcowe wyrazy, to suma wszystkich wyrazów zmalała do \(108\), czyli zmalała o \(147-108=39\). Możemy więc matematycznie zapisać, że:
$$a_{1}+a_{2}+a_{19}+a_{20}+a_{21}=39$$
Póki co mamy bardzo dużo niewiadomych, więc spróbujmy uprościć cały zapis. Korzystając z własności ciągu, możemy teraz rozpisać, że np. \(a_{2}=a_{1}+r\) albo też \(a_{21}=a_{1}+20r\). Nasz zapis możemy więc przekształcić do następującej postaci:
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+18r+a_{1}+19r+a_{1}+20r=39$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+18r+a_{1}+19r+a_{1}+20r=39$$
$$5a_{1}+58r=39$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z pierwszego kroku wiemy już, że \(a_{1}+10r=7\), a z drugiego wiemy, że \(5a_{1}+58r=39\). Mamy więc dwa równania i dwie niewiadome, zatem z pomocą może nam przyjść układ równań:
\begin{cases} a_{1}+10r=7 \\ 5a_{1}+58r=39 \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania możemy teraz podstawić pierwsze równanie do drugiego i zapisać, że:
$$5\cdot(7-10r)+58r=39$$
$$35-50r+58r=39$$
$$35+8r=39$$
$$8r=4$$
$$r=\frac{1}{2}$$
Krok 4. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając z wybranego równania np. \(a_{1}+10r=7\), możemy podstawić \(r=\frac{1}{2}\) i obliczyć wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}+10r=7$$
$$a_{1}+10\cdot\frac{1}{2}=7$$
$$a_{1}+5=7$$
$$a_{1}=2$$
Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Znając \(r=\frac{1}{2}\) oraz \(a_{1}=2\), możemy bez przeszkód wyznaczyć wzór ogólny ciągu, podstawiając te dwie dane do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{n}=2+(n-1)\cdot\frac{1}{2}$$
$$a_{n}=2+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}$$
$$a_{n}=\frac{1}{2}n+1\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2021
W ciągu liczbowym \(a_{n}=(-1)^{2n+1}\cdot\left(2^{n-1}-1\right)\) dla \(n\ge1\) suma \(a_{5}+a_{11}\) jest równa:
A\(1024\)
B\(1038\)
C\(-1024\)
D\(-1038\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\) oraz \(a_{11}\).
Chcąc obliczyć wartość piątego i jedenastego wyrazu, musimy podstawić do wzoru ciągu odpowiednio \(n=5\) oraz \(n=11\):
$$a_{5}=(-1)^{2\cdot5+1}\cdot\left(2^{5-1}-1\right)$$
$$a_{5}=(-1)^{10+1}\cdot(2^4-1)$$
$$a_{5}=(-1)^{11}\cdot(16-1)$$
$$a_{5}=(-1)\cdot15$$
$$a_{5}=-15$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{5}+a_{11}\).
Suma tych wyrazów jest więc równa:
$$a_{5}+a_{11}=(-15)+(-1023)$$
$$a_{5}+a_{11}=-1038$$
Zadanie nr 31 · Próbny 2021
Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi \(72\), a szósty wyraz tego ciągu jest równy \(22\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
W tym zadaniu musimy skorzystać wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\). Podstawiając do tego wzoru \(n=6\), otrzymamy:
$$S_{6}=\frac{a_{1}+a_{6}}{2}\cdot6$$
$$72=\frac{a_{1}+22}{2}\cdot6$$
$$12=\frac{a_{1}+22}{2}$$
$$24=a_{1}+22$$
$$a_{1}=2$$
Zadanie nr 31 · Matura 2021
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Zapisanie wzoru na sumę dwudziestu początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20$$
Z treści zadania wynika, że ta suma ma być równa \(20a_{21}+62\), zatem:
$$\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20=20a_{21}+62$$
$$(a_{1}+a_{20})\cdot10=20a_{21}+62$$
$$a_{1}+a_{20}=2a_{21}+6,2$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Z własności ciągów wiemy, że \(a_{20}=a_{1}+19r\) oraz że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Podstawiając te informacje do wyznaczonego przed chwilą równania, możemy zapisać, że:
$$a_{1}+a_{1}+19r=2\cdot(a_{1}+20r)+6,2$$
$$2a_{1}+19r=2a_{1}+40r+6,2$$
$$-21r=6,2$$
$$-21r=\frac{62}{10} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{21}\right)$$
$$r=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105}$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2020
W ciągu ośmiu dni rowerzysta pokonał trasę \(236km\). Poczynając od drugiego dnia, przejeżdżał codziennie o \(3km\) mniej niż w dniu poprzednim. Ile kilometrów przejechał pierwszego dnia, a ile - ósmego? Zapisz obliczenia.
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Idea tego zadania polega na tym, by dostrzec iż mamy tutaj styczność z ciągiem arytmetycznym. Zapiszmy kluczowe parametry tego ciągu, które wynikają z treści zadania.
Skoro każdego dnia pokonywana trasa jest o \(3km\) krótsza, to na pewno \(r=-3\). Wiemy też, że podroż trwała \(8\) dni, zatem \(n=8\). I na koniec możemy jeszcze zapisać, że suma tych wszystkich pokonanych tras przez \(8\) dni była równa \(236km\), czyli że \(S_{8}=236\).
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Aby obliczyć wartość pierwszego wyrazu, czyli \(a_{1}\), skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając do tego wzoru wypisane przed chwilą dane otrzymamy:
$$S_{8}=\frac{2a_{1}+(8-1)\cdot(-3)}{2}\cdot8$$
$$236=\frac{2a_{1}+7\cdot(-3)}{2}\cdot8$$
$$236=\frac{2a_{1}-21}{2}\cdot8$$
$$236=(2a_{1}-21)\cdot4$$
$$2a_{1}-21=59$$
$$2a_{1}=80$$
$$a_{1}=40$$
To oznacza, że pierwszego dnia rowerzysta pokonał trasę \(40km\).
Krok 3. Obliczenie wartości ósmego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Musimy jeszcze obliczyć długość pokonanej trasy ósmego dnia. W tym celu pomoże nam wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Podstawiając \(a_{1}=40\), \(r=-3\) oraz \(n=8\) (bo szukamy wartości ósmego wyrazu) otrzymamy:
$$a_{8}=a_{1}+(8-1)r$$
$$a_{8}=a_{1}+7r$$
$$a_{8}=40+7\cdot(-3)$$
$$a_{8}=40-21$$
$$a_{8}=19$$
To oznacza, że ósmego dnia rowerzysta pokonał trasę \(19km\).
Zadanie nr 15 · Próbny 2020
Trzecim wyrazem ciągu geometrycznego jest liczba \(3\), a szóstym jest liczba \(-24\). Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu wynosi:
A\(11\frac{1}{4}\)
B\(3\frac{3}{4}\)
C\(-3\frac{3}{4}\)
D\(-11\frac{1}{4}\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Do zadania można podejść na kilka sposobów, ale najprościej będzie skorzystać z własności ciągów geometrycznych. Powinniśmy dostrzec, że \(a_{3}\cdot q\cdot q\cdot q=a_{6}\), czyli że \(a_{3}\cdot q^3=a_{6}\). Podstawiając teraz informacje z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}\cdot q^3=a_{6}$$
$$3\cdot q^3=-24$$
$$q^3=-8$$
$$q=-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość trzeciego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$
$$3=a_{1}\cdot(-2)^2$$
$$3=a_{1}\cdot4$$
$$a_{1}=\frac{3}{4}$$
Krok 3. Obliczenie sumy czterech pierwszych wyrazów.
Kiedy znamy już wartość pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu, możemy bez problemu obliczyć sumę czterech pierwszych wyrazów ciągu, korzystając z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-16}{3}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{-15}{3}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot(-5)$$
$$S_{4}=\frac{-15}{4}=-3\frac{3}{4}$$
Zadanie nr 15 · Matura 2020
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), czwarty wyraz jest równy \(3\), a różnica tego ciągu jest równa \(5\). Suma \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\) jest równa:
A\(-42\)
B\(-36\)
C\(-18\)
D\(6\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego oraz trzeciego wyrazu.
Skoro czwarty wyraz naszego ciągu jest jest równy \(a_{4}=3\), a różnica ciągu wynosi \(r=5\), to trzeci wyraz będzie równy:
$$a_{3}=a_{4}-r$$
$$a_{3}=3-5$$
$$a_{3}=-2$$
Analogicznie obliczymy wartość drugiego i pierwszego wyrazu:
$$a_{2}=a_{3}-r$$
$$a_{2}=-2-5$$
$$a_{2}=-7$$
$$\quad$$
$$a_{1}=a_{2}-r$$
$$a_{1}=-7-5$$
$$a_{1}=-12$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\).
Na koniec została już formalność, czyli zsumowanie wszystkich czterech wyrazów:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=-12+(-7)+(-2)+3=-18$$
Zadanie nr 13 · Matura 2020
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(a_{4}=2020\). Suma \(a_{2}+a_{6}\) jest równa:
A\(505\)
B\(1010\)
C\(2020\)
D\(4040\)
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że \(a_{2}=a_{4}-2r\) oraz że \(a_{6}=a_{4}+2r\). Skoro tak, to sumę \(a_{2}+a_{6}\) możemy rozpisać jako:
$$a_{2}+a_{6}=a_{4}-2r+a_{4}+2r=2a_{4}$$
Z treści zadania wiemy, że \(a_{4}=2020\), zatem:
$$2a_{4}=2\cdot2020=4040$$
Zadanie nr 11 · Matura 2019
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są wyrazy: \(a_{1}=-11\) i \(a_{9}=5\). Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(-24\)
B\(-27\)
C\(-16\)
D\(-18\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
W naszym przypadku \(a_{1}=-11\) oraz \(a_{9}=5\). Skoro mamy obliczyć sumę dziewięciu pierwszych wyrazów to musimy jeszcze podstawić \(n=9\), zatem:
$$S_{9}=\frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot9$$
$$S_{9}=\frac{-11+5}{2}\cdot9$$
$$S_{9}=\frac{-6}{2}\cdot9$$
$$S_{9}=(-3)\cdot9$$
$$S_{9}=-27$$
Zadanie nr 32 · Matura 2019
W ciągu arytmetycznym \((a_{1}, a_{2},...,a_{39},a_{40})\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa \(1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{38}+a_{40}=1340$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}=1400$$
Powstały nam więc tak jakby dwa oddzielne ciągi arytmetyczne, każdy składający się z 20-stu wyrazów.
Jak dobrze się przyjrzymy to zauważymy, że każdy wyraz pierwszego ciągu jest o \(r\) większy od analogicznego wyrazu z ciągu drugiego, bo przecież:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{4}=a_{3}+r$$
$$a_{40}=a_{39}+r$$
Możemy więc ten pierwszy ciąg zapisać jako:
$$(a_{1}+r)+(a_{3}+r)+(a_{5}+r)+...+(a_{37}+r)+(a_{39}+r)=1340$$
$$\text{czyli:}$$
$$a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}+20r=1340$$
Skoro suma \(a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}\) jest równa \(1400\), to podstawiając to do powyższego równania otrzymamy:
$$1400+20r=1340$$
$$20r=-60$$
$$r=-3$$
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego.
Skoro suma wyrazów parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów nieparzystych jest równa \(1400\), to suma wszystkich wyrazów naszego całego czterdziesto-wyrazowego ciągu wynosi:
$$S_{40}=1340+1400$$
$$S_{40}=2740$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy teraz ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{40}}{2}\cdot40$$
Wiemy już, że \(S_{40}=2740\) oraz że \(r=-3\). Dodatkowo wartość \(a_{40}\) możemy rozpisać jako \(a_{1}+39r\). To sprawia, że:
$$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{1}+39r}{2}\cdot40$$
$$2740=\frac{a_{1}+a_{1}+39\cdot(-3)}{2}\cdot40$$
$$2740=(a_{1}+a_{1}+(-117))\cdot20$$
$$137=2a_{1}-117$$
$$2a_{1}=254$$
$$a_{1}=127$$
Krok 4. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu.
Skoro \(a_{1}=127\) oraz \(r=-3\), to korzystając z tego, że \(a_{40}=a_{1}+39r\) otrzymamy:
$$a_{40}=a_{1}+39r$$
$$a_{40}=127+39\cdot(-3)$$
$$a_{40}=127-117$$
$$a_{40}=10$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2019
Szósty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:
A\(0\)
B\(5\)
C\(11\)
D\(-11\)
Krok 1. Rozpisanie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{6}=a_{1}+5r$$
$$\text{czyli:}$$
$$a_{1}=a_{6}-5r$$
Skoro \(a_{6}\) jest równe \(0\), to wychodzi nam, że:
$$a_{1}=0-5r$$
$$a_{1}=-5r$$
Krok 2. Obliczenie sumy jedenastu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{11}=\frac{2a_{1}+(11-1)r}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{2\cdot(-5r)+10r}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{-10r+10r}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{0}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=0$$
Zadanie nr 11 · Matura 2019
W ciągu arytmetycznym \(a_{n}\), określonym dla \(n\ge1\), dane są dwa wyrazy: \(a_{1}=7\) i \(a_{8}=-49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(-168\)
B\(-189\)
C\(-21\)
D\(-42\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Szukamy sumy ośmiu początkowych wyrazów, zatem podstawimy \(n=8\) i do tego podstawimy to co znamy z treści zadania, czyli \(a_{1}=7\) oraz \(a_{8}=-49\). W związku z tym:
$$S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8$$
$$S_{8}=\frac{7+(-49)}{2}\cdot8$$
$$S_{8}=\frac{-42}{2}\cdot8$$
$$S_{8}=-21\cdot8$$
$$S_{8}=-168$$
Zadanie nr 30 · Matura 2018
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równy \(34\), a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa \(110\). Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Krok 1. Ułożenie układu równań
Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{9}=a_{1}+8r$$
$$a_{1}+8r=34$$
To będzie nasze pierwsze równanie z którego zbudujemy układ równań. Drugie równanie będzie wynikać z informacji na temat sumy ośmiu początkowych wyrazów:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8$$
$$110=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8$$
$$110=(a_{1}+a_{8})\cdot4 \quad\bigg/:4$$
$$a_{1}+a_{8}=27,5$$
$$a_{1}+a_{1}+7r=27,5$$
$$2a_{1}+7r=27,5$$
To oznacza, że możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} a_{1}+8r=34 \\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Najprościej będzie zastosować tutaj metodę podstawiania, wyznaczając wartość \(a_{1}\) z pierwszego równania:
$$\begin{cases} a_{1}=34-8r \\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$
Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$2\cdot(34-8r)+7r=27,5$$
$$68-16r+7r=27,5$$
$$68-9r=27,5$$
$$-9r=-40,5$$
$$r=4,5$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość \(r=4,5\) możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyliczoną różnicę do jednego z wyznaczonych równań:
$$a_{1}=34-8r$$
$$a_{1}=34-8\cdot4,5$$
$$a_{1}=34-36$$
$$a_{1}=-2$$
To oznacza, że \(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2018
Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((4, 6, 9,...)\) można obliczyć ze wzoru:
A\(n(n+3)\)
B\(\frac{3n+5}{2}\cdot n\)
C\(8\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right]\)
D\(2\left[\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right]\)
Krok 1. Ustalenie jaki jest to ciąg.
Musimy na początku ustalić jaki jest to ciąg i jakie są jego kluczowe parametry. Na pewno nie jest to ciąg arytmetyczny, bo drugi wyraz jest o \(2\) większy od pierwszego, a trzeci wyraz jest o \(3\) większy od drugiego. Powinniśmy dostrzec, że nasz ciąg jest geometryczny, bo każdy wyraz jest \(1,5\) razy większy od poprzedniego. Iloraz ciągu możemy nawet obliczyć w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{6}{4}$$
$$q=\frac{3}{2}$$
Możemy więc powiedzieć, że nasz ciąg jest geometryczny, a kluczowymi liczbami dla tego ciągu będą \(q=\frac{3}{2}\) oraz \(a_{1}=4\).
Krok 2. Obliczenie sumy \(n\) początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i podstawiając dane, które przed chwilą sobie wyznaczyliśmy otrzymamy:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{1-\frac{3}{2}}$$
$$S_{n}=4\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^n}{-\frac{1}{2}}$$
$$S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right):\left(-\frac{1}{2}\right)$$
$$S_{n}=4\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)\cdot(-2)$$
$$S_{n}=-8\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$
Musimy się jeszcze dopasować do proponowanych odpowiedzi i aby lepiej zrozumieć to przekształcenie to możemy zamienić \(-8\) na \(8\cdot(-1)\), otrzymując:
$$S_{n}=8\cdot(-1)\cdot\left(1-\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$
$$S_{n}=8\cdot\left(-1+\left(\frac{3}{2}\right)^n\right)$$
$$S_{n}=8\cdot\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2018
W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa \(5\frac{1}{2}\), a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(12\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A\(1\frac{1}{2}\)
B\(4\frac{1}{2}\)
C\(-\frac{1}{2}\)
D\(1\)
Krok 1. Rozpisanie sumy dwóch i trzech pierwszych wyrazów.
Suma dwóch pierwszych wyrazów to tak naprawdę \(a_{1}+a_{2}\). Suma trzech pierwszych wyrazów to \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy napisać, że \(a_{2}=a_{1}+r\) oraz \(a_{3}=a_{1}+2r\). Jeżeli tak rozpiszemy sobie tę sytuację to otrzymamy:
$$a_{1}+a_{2}=5\frac{1}{2}$$
$$a_{1}+a_{1}+r=5\frac{1}{2}$$
$$2a_{1}+r=5\frac{1}{2}$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=12$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=12$$
$$3a_{1}+3r=12$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu arytmetycznego.
Z naszych równań otrzymanych w pierwszym kroku możemy ułożyć teraz układ równań:
\begin{cases} 2a_{1}+r=5\frac{1}{2} \\ 3a_{1}+3r=12 \end{cases}
Ten układ równań najlepiej jest rozwiązać metodą podstawiania, wyznaczając wartość \(r\) z pierwszego równania:
\begin{cases} r=5\frac{1}{2}-2a_{1} \\ 3a_{1}+3r=12 \end{cases}
Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$3a_{1}+3\cdot\left(5\frac{1}{2}-2a_{1}\right)=12$$
$$3a_{1}+16\frac{1}{2}-6a_{1}=12$$
$$-3a_{1}=-4\frac{1}{2}$$
$$a_{1}=1\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 5 · Matura 2018
Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa \(21\).
Stąd wynika, że:
A\(k=9\)
B\(k=11\)
C\(k=21\)
D\(k=31\)
Z rysunku (i samej formy zapisu przedziału) możemy odczytać, że \(-10\) do tego przedziału nie należy. Pierwszą liczbą całkowitą, która do tego przedziału należy jest \(-9\).
W tym momencie powinniśmy zauważyć, że na pewno suma liczb całkowitych od \(-9\) do \(9\) jest równa zero. Wynika to z tego, że po prostu skrajne wyrazy się zerują: \(-9+9=0, -8+8=0, -7+7=0\) itd.
$$-9+(-8)+(-7)+...+7+8+9=0$$
My szukamy sumy liczb całkowitych równej \(21\). Skoro więc suma od \(-9\) do \(9\) jest równa \(0\), to widzimy wyraźnie że dokładając kolejne liczby całkowite, czyli \(10\) oraz \(11\) otrzymamy poszukiwaną sumę równą \(21\). To oznacza, że ostatnią liczbą należącą do tego przedziału jest \(k=11\).
Zadanie nr 33 · Matura 2018
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla liczb naturalnych \(n\ge1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wynika, że możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} a_{6}=2a_{5} \\ S_{10}=\frac{15}{4} \end{cases}$$
Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać piąty i szósty wyraz korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) oraz musimy rozpisać sumę dziesięciu wyrazów korzystając ze wzoru \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\).
W związku z tym:
$$\begin{cases} a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \\ \frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4} \end{cases}$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Zaczynając od wymnożenia odpowiednich wartości w nawiasach możemy zapisać, że:
$$\begin{cases} a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \\ \frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4} \end{cases}$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Znając wartość \(r=\frac{1}{4}\), możemy teraz wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyznaczoną różnicę ciągu do jednego z równań np.:
$$-a_{1}-3r=0$$
$$-a_{1}-3\frac{1}{4}=0$$
$$-a_{1}-\frac{3}{4}=0$$
$$a_{1}=-\frac{3}{4}$$
Zadanie nr 31 · Matura 2018
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{12}=30$$
$$S_{12}=162$$
Korzystając zatem ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego będziemy w stanie wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot n$$
$$S_{12}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12$$
$$162=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot12$$
$$162=(a_{1}+30)\cdot6 \quad\bigg/:6$$
$$27=a_{1}+30$$
$$a_{1}=-3$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2017
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od \(0\). Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa \(0\). Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(1000a_{1}\)
B\(1001a_{1}\)
C\(10\)
D\(0\)
Krok 1. Ustalenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{7}+a_{8}=0$$
$$a_{8}=-a_{7}$$
Teraz musimy się zastanowić co z tego wynika. Skoro ósmy wyraz ma być równy \(-a_{7}\) to znaczy, że ósmy wyraz powstał po pomnożeniu \(a_{7}\) przez \(-1\). Czyli z tego wniosek jest taki, że w tym ciągu \(q=-1\).
Krok 2. Obliczenie sumy tysiąca początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{1-(-1)^{1000}}{1-(-1)}$$
$$S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{1-1}{1+1}$$
$$S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{0}{2}$$
$$S_{1000}=a_{1}\cdot0$$
$$S_{1000}=0$$
Zadanie nr 20 · Próbny 2017
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_{n}=3n^2+4n\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(45\)
B\(31\)
C\(21\)
D\(11\)
Zastanówmy się jak podejść do tego zadania. Gdybyśmy podstawili \(n=5\) do wzoru z treści zadania to uzyskamy odpowiedź na pytanie jaka jest suma pięciu wyrazów tego ciągu, czyli dowiemy się ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\). My chcemy się dowiedzieć ile jest równy konkretnie ten piąty wyraz. Gdybyśmy podstawili \(n=4\), to dowiemy się ile jest równa suma czterech wyrazów tego ciągu, czyli ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\). Jak widać, różnica między sumą pięciu wyrazów i sumą czterech wyrazów jest równa właśnie wartości piątego wyrazu i to będzie klucz do rozwiązania tego zadania.
Krok 1. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów.
Podstawiając do wzoru \(S_{n}=3n^2+4n\) wartość \(n=5\) otrzymamy:
$$S_{5}=3\cdot5^2+4\cdot5$$
$$S_{5}=3\cdot25+20$$
$$S_{5}=75+20$$
$$S_{5}=95$$
Krok 2. Obliczenie sumy czterech początkowych wyrazów.
Podstawiając teraz \(n=4\) otrzymamy:
$$S_{4}=3\cdot4^2+4\cdot4$$
$$S_{4}=3\cdot16+16$$
$$S_{4}=48+16$$
$$S_{4}=64$$
Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Zgodnie z planem działania, wartość piątego wyrazu będzie równa różnicy między \(S_{5}\) i \(S_{4}\), zatem:
$$a_{5}=S_{5}-S_{4}$$
$$a_{5}=95-64$$
$$a_{5}=31$$
Zadanie nr 30 · Matura 2017
Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równa \(30\). Ponadto \(a_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{30}=\frac{a_{1}+a_{30}}{2}\cdot30$$
$$30=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot30 \quad\bigg/:30$$
$$1=\frac{a_{1}+30}{2}$$
$$2=a_{1}+30$$
$$a_{1}=-28$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{30}=a_{1}+(30-1)r$$
$$a_{30}=a_{1}+29r$$
$$30=-28+29r$$
$$58=29r$$
$$r=2$$
Zadanie nr 31 · Matura 2017
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są: wyraz \(a_{1}=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_{3}=33\). Oblicz różnicę: \(a_{16}-a_{13}\).
Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciąg arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
Skoro \(a_{1}=8\) oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa \(S_{3}=33\), to:
$$S_{3}=33$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=33$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=33$$
$$3\cdot8+3r=33$$
$$24+3r=33$$
$$3r=9$$
$$r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości różnicy \(a_{16}-a_{13}\).
$$a_{16}=a_{1}+15r$$
$$a_{13}=a_{1}+12r$$
Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest określona wzorem \(S_{n}=2n^2+n\). Wtedy wyraz \(a_{2}\) jest równy:
A\(3\)
B\(6\)
C\(7\)
D\(10\)
Podstawiając \(n=2\) do wzoru na sumę wyrazów obliczymy sumę dwóch pierwszych wyrazów, a podstawiając \(n=1\) otrzymamy tak naprawdę wartość pierwszego wyrazu. Różnica między tymi wynikami będzie więc odpowiadać wartości drugiego wyrazu tego ciągu. Zatem:
$$a_{2}=S_{2}-S_{1}$$
$$a_{2}=2\cdot2^2+2-(2\cdot1^2+1)$$
$$a_{2}=2\cdot4+2-(2\cdot1+1)$$
$$a_{2}=10-3$$
$$a_{2}=7$$
Zadanie nr 16 · Próbny 2016
Suma wszystkich liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez \(5\) i mniejszych od \(400\) jest równa:
A\(15800\)
B\(16000\)
C\(16040\)
D\(31600\)
Krok 1. Ustalenie kluczowych danych na temat ciągu arytmetycznego.
Liczby podzielne przez \(5\) i mniejsze od \(400\) będą tworzyć ciąg w stylu:
$$5,10,15,20,..., 390,395$$
Powstał nam więc ciąg w którym:
$$a_{1}=5$$
$$a_{n}=395$$
$$r=5$$
Krok 2. Obliczenie ilości wyrazów ciągu arytmetycznego.
Brakuje nam jeszcze informacji dotyczącej tego ile jest wyrazów w naszym ciągu. W związku z tym:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
$$395=5+(n-1)\cdot5$$
$$395=5+5n-5$$
$$5n=395$$
$$n=79$$
Krok 3. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu.
Teraz mamy komplet danych, więc możemy bez problemu obliczyć sumę interesujących nas wyrazów:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{79}=\frac{5+395}{2}\cdot79$$
$$S_{79}=\frac{400}{2}\cdot79$$
$$S_{79}=200\cdot79$$
$$S_{79}=15800$$
Zadanie nr 11 · Matura 2016
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=6(n-16)\) dla \(n\ge1\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(-54\)
B\(-126\)
C\(-630\)
D\(-270\)
Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym. Aby obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów będziemy potrzebować wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{10}\):
$$a_{1}=6\cdot(1-16)=6\cdot(-15)=-90$$
$$a_{10}=6\cdot(10-16)=6\cdot(-6)=-36$$
Sumę dziesięciu pierwszych wyrazów obliczymy za pomocą wzoru:
$$S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot10$$
$$S_{10}=\frac{-90+(-36)}{2}\cdot10$$
$$S_{10}=(-126)\cdot5$$
$$S_{10}=-630$$
Zadanie nr 30 · Matura 2016
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n^2+2n\) dla \(n\ge1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Krok 1. Zapisanie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu.
Jeżeli pierwszy wyraz ciągu zapiszemy jako \(a_{n}\), to drugim wyrazem będzie \(a_{n+1}\). Wartość \(a_{n}\) jest podana w treści zadania, natomiast \(a_{n+1}\) obliczymy podstawiając \(n+1\) w miejsce \(n\). W związku z tym:
$$S=a_{n}+a_{n+1}$$
$$S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1)$$
$$S=2n^2+2n+2(n^2+2n+1)+2n+2$$
$$S=2n^2+2n+2n^2+4n+2+2n+2$$
$$S=4n^2+8n+4$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Aby móc udowodnić tezę zawartą w zadaniu musimy przedstawić ten wynik w formie jakiejś potęgi. Z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia, a konkretnie na potęgę sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tym wzorem:
$$S=4n^2+8n+4=(2n+2)^2$$
\(2n+2\) jest zawsze liczbą naturalną, bo z definicji ciągów wiemy, że \(n\in N\), a liczba naturalna pomnożona przez \(2\) i powiększona o \(2\) dalej jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony.
Zadanie nr 5 · Matura 2016
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n^2+2n\) dla \(n\ge1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Krok 1. Zapisanie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu.
Sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu zapiszemy jako:
$$S=a_{1}+a_{2}$$
$$S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1)$$
$$S=2n^2+2n+2(n^2+2n+1)+2n+2$$
$$S=2n^2+2n+2n^2+4n+2+2n+2$$
$$S=4n^2+8n+4$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Aby móc udowodnić tezę zawartą w zadaniu musimy przedstawić ten wynik w formie jakiejś potęgi. Z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia, a konkretnie na potęgę sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tym wzorem:
$$S=4n^2+8n+4=(2n+2)^2$$
\(2n+2\) jest zawsze liczbą naturalną, bo z definicji ciągów wiemy, że \(n\in N\), a liczba naturalna pomnożona przez \(2\) i powiększona o \(2\) dalej jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony.
Zadanie nr 6 · Matura 2016
W skończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) pierwszy wyraz \(a_{1}\) jest równy \(7\) oraz ostatni wyraz \(a_{n}\) jest równy \(89\). Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(2016\). Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=7\), \(a_{n}=89\) oraz \(S_{n}=2016\). Podstawiając te dane do wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$2016=\frac{7+89}{2}\cdot n$$
$$2016=\frac{96}{2}\cdot n$$
$$2016=48n$$
$$n=42$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(42\) wyrazy.
Zadanie nr 12 · Matura 2015
Ciąg \((a_{n})\) jest określony dla \(n\ge1\) wzorem: \(a_{n}=2n-1\). Suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(101\)
B\(121\)
C\(99\)
D\(81\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Do obliczenia sumy jedenastu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{n}=2n-1$$
$$a_{1}=2\cdot1-1$$
$$a_{1}=2-1$$
$$a_{1}=1$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem:
$$a_{n}=2n-1$$
$$a_{2}=2\cdot2-1$$
$$a_{2}=4-1$$
$$a_{2}=3$$
W związku z tym:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=3-1$$
$$r=2$$
Krok 3. Obliczenie sumy jedenastu początkowych wyrazów ciągu.
Podstawiając do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego znane nam wartości \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=11\) (bo mamy obliczyć sumę jedenastu wyrazów) otrzymamy, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{11}=\frac{2\cdot1+(11-1)\cdot2}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{2+10\cdot2}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{2+20}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{22}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=11\cdot11$$
$$S_{11}=121$$
Zadanie nr 29 · Próbny 2015
Bartek w czasie wakacji podjął pracę w pizzerii. Pracodawca zaproponował mu następujące warunki płacy: za pierwszy dzień pracy \(20zł\), a za każdy następny o \(3zł\) więcej niż za poprzedni. Bartek w każdym tygodniu pracuje przez \(5\) dni. Ile łącznie zarobi po \(8\) tygodniach pracy?
Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Patrząc się na opisaną sytuację powinniśmy dostrzec, że zarobki Bartka układają się w ciąg arytmetyczny w którym \(a_{1}=20\) oraz \(r=3\).
Wiemy też, że ten ciąg jest skończony i będzie miał \(5\cdot8=40\) wyrazów.
Krok 2. Obliczenie zarobków Bartka.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i podstawiając znane nam dane wypisane w poprzednim kroku możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{40}=\frac{2\cdot20+(40-1)\cdot3}{2}\cdot40$$
$$S_{40}=\frac{40+39\cdot3}{2}\cdot40$$
$$S_{40}=\frac{40+117}{2}\cdot40$$
$$S_{40}=\frac{157}{2}\cdot40$$
$$S_{40}=157\cdot20$$
$$S_{40}=3140$$
To oznacza, że Bartek zarobi \(3140\) złotych.
Zadanie nr 32 · Próbny 2015
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(4\), a suma kwadratów wyrazu drugiego, czwartego i siódmego jest równa \(702\). Wyznacz ogólny wyraz tego ciągu.
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wynika, że możemy ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} a_{1}=4 \\ {a_{2}}^2+{a_{4}}^2+{a_{7}}^2=702 \end{cases}$$
Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać wyrazy \(a_{2}\), \(a_{4}\) oraz \(a_{7}\) zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W związku z tym otrzymamy:
$$\begin{cases} a_{1}=4 \\ (a_{1}+r)^2+(a_{1}+3r)^2+(a_{1}+6r)^2=702 \end{cases}$$
Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Podstawiając \(a_{1}=4\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$(4+r)^2+(4+3r)^2+(4+6r)^2=702$$
$$16+8r+r^2+16+24r+9r^2+16+48r+36r^2=702$$
$$46r^2+80r+48=702$$
$$46r^2+80r-654=0$$
Żadnej z tych wartości odrzucić nie możemy (moglibyśmy odrzucić, gdyby np. podana była informacja o tym że ciąg jest rosnący). W związku z tym zostaje nam \(r_{1}=-\frac{109}{23}\) oraz \(r_{2}=3\).
Krok 4. Wyznaczenie wzoru ogólnego tego ciągu.
Aby wyznaczyć wzór ogólny ciągu wystarczy podstawić \(a_{1}\) oraz \(r\) do wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Z racji tego iż mamy dwie możliwości podstawienia różnicy to otrzymamy dwa rozwiązania tego zadania:
Gdy \(r=-\frac{109}{23}\):
$$a_{n}=4+(n-1)\cdot\left(-\frac{109}{23}\right)$$
$$a_{n}=4+(-\frac{109}{23}n)+\frac{109}{23}$$
$$a_{n}=4-\frac{109}{23}n+\frac{109}{23}$$
$$a_{n}=\frac{92}{23}-\frac{109}{23}n+\frac{109}{23}$$
$$a_{n}=-\frac{109}{23}n+\frac{201}{23}$$
Gdy \(r=3\):
$$a_{n}=4+(n-1)\cdot3$$
$$a_{n}=4+3n-3$$
$$a_{n}=3n+1$$
Zadanie nr 13 · Matura 2015
Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\) dla \(n\ge1\). Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(2(1-2^{10})\)
B\(-2(1-2^{10})\)
C\(2(1+2^{10})\)
D\(-2(1+2^{10})\)
Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Aby wyznaczyć wartość ilorazu \(q\) obliczmy sobie najpierw wartość pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu:
$$a_{n}=2n$$
$$a_{1}=2^1=2$$
$$a_{2}=2^2=4$$
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$$
Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znając wartość ilorazu \(q\) oraz wartość pierwszego wyrazu, możemy skorzystać z następującego wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2}$$
$$S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{-1}$$
$$S_{10}=-2\cdot(1-2^{10})$$
Zadanie nr 14 · Matura 2015
Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa \(13\). Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa:
A\(13\)
B\(12\)
C\(7\)
D\(6\)
Wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Porównajmy sobie teraz sumy pierwszego i szóstego wyrazu z sumą wyrazu trzeciego i czwartego:
$$a_{1}+a_{6}=a_{1}+a_{1}+5r=2a_{1}+5r$$
$$a_{3}+a_{4}=a_{1}+2r+a_{1}+3r=2a_{1}+5r$$
Otrzymaliśmy identyczne wartości, co pozwala nam zapisać równość:
$$a_{1}+a_{6}=a_{3}+a_{4}$$
W związku z tym skoro wiemy, że suma pierwszego i szóstego wyrazu jest równa \(13\), to w takim razie suma trzeciego i czwartego wyrazu będzie także równa \(13\).
Zadanie nr 12 · Matura 2015
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n-1\) dla \(n\ge1\). Suma stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(9900\)
B\(9950\)
C\(10000\)
D\(10050\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Do obliczenia sumy stu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{n}=2n-1$$
$$a_{1}=2\cdot1-1$$
$$a_{1}=2-1$$
$$a_{1}=1$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem:
$$a_{n}=2n-1$$
$$a_{2}=2\cdot2-1$$
$$a_{2}=4-1$$
$$a_{2}=3$$
W związku z tym:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=3-1$$
$$r=2$$
Krok 3. Obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu.
Teraz podstawiając do wzoru \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=100\) (bo mamy obliczyć sumę stu wyrazów) możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{100}=\frac{2\cdot1+(100-1)\cdot2}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{2+99\cdot2}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{2+198}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{200}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=100\cdot100$$
$$S_{100}=10000$$
Zadanie nr 30 · Matura 2015
W siedmiowyrazowym ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest równy \(0\). Udowodnij, że suma wyrazów tego ciągu jest równa \(0\).
Korzystając z tego wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\), możemy zapisać, że:
$$S_{7}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}$$
$$S_{7}=a_{1}+(a_{1}+r)+(a_{1}+2r)+(a_{1}+3r)+(a_{1}+4r)+(a_{1}+5r)+(a_{1}+6r)$$
$$S_{7}=7a_{1}+21r$$
Wiemy, że środkowy (czyli czwarty) wyraz tego ciągu jest równy \(0\), czyli:
$$a_{1}+3r=0$$
$$a_{1}=-3r$$
Podstawiając to do wyznaczonej przed chwilą sumy otrzymamy:
$$S_{7}=7a_{1}+21r$$
$$S_{7}=7\cdot(-3r)+21r$$
$$S_{7}=-21r+21r$$
$$S_{7}=0$$
Zadanie nr 34 · Matura 2015
Deweloper oferuje możliwość kompletnego wyposażenia kuchni i salonu w ofercie „Malejące raty”. Wysokość pierwszej raty ustalono na \(775zł\). Każda następna rata jest o \(10zł\) mniejsza od poprzedniej. Całkowity koszt wyposażenia kuchni i salonu ustalono na \(30240zł\). Oblicz wysokość ostatniej raty i liczbę wszystkich rat.
Krok 1. Dostrzeżenie cech ciągu arytmetycznego.
Tak naprawdę całą naszą sytuację z treści zadania możemy opisać ciągiem arytmetycznym w którym:
$$a_{1}=775$$
$$r=-10$$
$$S_{n}=30240$$
Naszym zadaniem jest policzenie ilości wyrazów/rat, czyli \(n\) oraz wartości ostatniej raty, czyli \(a_{n}\).
Krok 2. Obliczenie ilości rat.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$30240=\frac{2\cdot775+(n-1)\cdot(-10)}{2}\cdot n \quad\bigg/\cdot2$$
$$60480=(1550-10n+10)\cdot n$$
$$60480=(-10n+1560)\cdot n$$
$$60480=-10n^2+1560n$$
$$-10n^2+1560n-60480=0 \quad\bigg/:(-10)$$
$$n^2-156n+6048=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając oczywiście z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-156,\;c=6048\)
$$Δ=b^2-4ac=(-156)^2-4\cdot1\cdot6048=24336-24192=144$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$
To oznacza, że ilość rat wynosi \(72\) lub \(84\) i póki co żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić.
Krok 4. Obliczenie wysokości ostatniej raty.
Zgodnie z treścią zadania chcemy obliczyć wysokość ostatniej raty. Musimy rozpatrzeć dwie sytuacje - kiedy były \(72\) raty oraz kiedy były \(84\) raty. Do wyznaczenia wysokości ostatnich rat skorzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Dla \(n=72\):
$$a_{72}=775+(72-1)\cdot(-10)$$
$$a_{72}=775+71\cdot(-10)$$
$$a_{72}=775+(-710)$$
$$a_{72}=65$$
Dla \(n=84\):
$$a_{84}=775+(84-1)\cdot(-10)$$
$$a_{84}=775+83\cdot(-10)$$
$$a_{84}=775+(-830)$$
$$a_{84}=-55$$
Krok 5. Analiza otrzymanych wyników i zapisanie ostatecznego rozwiązania.
Sytuacja w której rata jest ujemna jest sprzeczna z istotą zadania. W związku z tym musimy odrzucić to rozwiązanie, czyli musimy też odrzucić wariant, że rat mogło być \(84\). To oznacza, że całe zadanie ma tylko jedno poprawne rozwiązanie: rat było \(72\), a ostatnia rata była równa \(65zł\).
Zadanie nr 34 · Matura 2015
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) ciągu \((a_{n})\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_{n})\). Oblicz \(k\).
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases} S_{11}=187 \\ \frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12 \end{cases}
Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{9}=a_{1}+8r$$
$$a_{11}=a_{1}+10r$$
Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \\ \frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12 \end{cases}\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\ \frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3 \end{cases}\begin{cases} a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}\begin{cases} -3a_{1}-15r=-51 \\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}
Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15$$
$$r=3$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.
Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36$$
$$3a_{1}+10\cdot3=36$$
$$3a_{1}=6$$
$$a_{1}=2$$
Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{3}=2+2\cdot3$$
$$a_{3}=8$$
Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).
Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}$$
$$8^2=2\cdot(3k-1)$$
$$64=6k-2$$
$$66=6k$$
$$k=11$$
Zadanie nr 30 · Matura 2015
Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy \(444\), a ostatni jest równy \(653\). Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o \(11\) większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=444$$
$$a_{n}=653$$
$$r=11$$
Aby obliczyć ile jest wyrazów w tym ciągu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$653=444+(n-1)\cdot11$$
$$653=444+11n-11$$
$$653-444+11=11n$$
$$11n=220$$
$$n=20$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(20\) wyrazów.
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy korzystając z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n$$
$$S_{20}=\frac{444+653}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=\frac{1097}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=10970$$
Zadanie nr 13 · Matura 2014
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest równa \(35\). Pierwszy wyraz \(a_{1}\) tego ciągu jest równy \(3\). Wtedy:
A\(a_{10}=\frac{7}{2}\)
B\(a_{10}=4\)
C\(a_{10}=\frac{32}{5}\)
D\(a_{10}=32\)
Sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie wartości dziesiątego wyrazu tego ciągu. Z treści zadania wiemy, że \(S_{n}=35\), oraz że \(a_{1}=3\), zatem bez problemu wyznaczymy poszukiwaną wartość \(a_{10}\):
$$35=\frac{3+a_{10}}{2}\cdot10$$
$$35=(3+a_{10})\cdot5$$
$$35=15+5a_{10}$$
$$20=5a_{10}$$
$$a_{10}=4$$
Zadanie nr 16 · Próbny 2014
Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości \(1m\), a bok każdego z następnych trójkątów jest o \(10cm\) dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości \(5,9m\). Ile trójkątów przedstawia mural?
A\(49\)
B\(50\)
C\(59\)
D\(60\)
Długości boków trójkątów tworzą tak naprawdę ciąg arytmetyczny. Zapiszmy sobie kilka przykładowych wyrazów tego ciągu, zamieniając od razu metry na centymetry (dzięki temu pozbędziemy się ułamków):
$$a_{1}=100$$
$$a_{2}=110$$
$$a_{3}=120$$
$$...$$
$$a_{n}=590$$
Naszym zadaniem jest wyznaczenie liczby wszystkich wyrazów tego ciągu, wiedząc że \(a_{1}=100\) oraz \(r=10\). Do tego celu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$590=100+(n-1)\cdot10$$
$$590=100+10n-10$$
$$590=90+10n$$
$$10n=500$$
$$n=50$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(50\) wyrazów, czyli na muralu pojawiło się \(50\) trójkątów.
Zadanie nr 8 · Próbny 2014
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\). Suma częściowa tego ciągu wyraża się wzorem \(S_{n}=5n^2-7n\). Drugi wyraz ciągu jest równy:
A\(4\)
B\(6\)
C\(8\)
D\(10\)
Krok 1. Obliczenie sumy dwóch pierwszych wyrazów.
Podstawiając do wzoru \(n=2\) dowiemy się ile wynosi suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu (czyli ile jest równe \(a_{1}+a_{2}\)):
$$S_{n}=5n^2-7n$$
$$S_{2}=5\cdot2^2-7\cdot2$$
$$S_{2}=5\cdot4-7\cdot2$$
$$S_{2}=20-14$$
$$S_{2}=6$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając do wzoru \(n=1\) dowiemy się ile wynosi "suma jednego wyrazu", czyli po prostu ile jest równy pierwszy wyraz (czyli \(a_{1}\)) tego ciągu:
$$S_{1}=5n^2-7n$$
$$S_{1}=5\cdot1^2-7\cdot1$$
$$S_{1}=5\cdot1-7\cdot1$$
$$S_{1}=5-7$$
$$S_{1}=-2$$
Krok 3. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
Wiemy już, że \(a_{1}+a_{2}=6\) oraz że \(a_{1}=-2\). W związku z tym \(a_{2}\) jest równe:
$$-2+a_{2}=6$$
$$a_{2}=8$$
Zadanie nr 11 · Matura 2014
W ciągu geometrycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), wyraz \(a_{1}=5\), natomiast iloraz \(q=-2\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(-1705\)
B\(-1023\)
C\(1705\)
D\(5115\)
Sumę dziesięciu początkowych wyrazów możemy obliczyć za pomocą wzoru:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{10}=5\cdot\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}$$
$$S_{10}=5\cdot\frac{1-1024}{1+2}$$
$$S_{10}=5\cdot\frac{-1023}{3}$$
$$S_{10}=5\cdot(-341)$$
$$S_{10}=-1705$$
Zadanie nr 12 · Matura 2014
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są dwa wyrazy: \(a_{2}=11\) i \(a_{4}=7\). Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(36\)
B\(40\)
C\(13\)
D\(20\)
Krok 1. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Znając wartość drugiego i czwartego wyrazu możemy obliczyć wartość trzeciego wyrazu:
$$a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2}$$
$$a_{3}=\frac{11+7}{2}$$
$$a_{3}=\frac{18}{2}$$
$$a_{3}=9$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (\(r\)).
Wybieramy dwa kolejne wyrazy i obliczamy różnicę ciągu:
$$r=a_{3}-a_{2}$$
$$r=9-11$$
$$r=-2$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
$$a_{1}=a_{2}-r$$
$$a_{1}=11-(-2)$$
$$a_{1}=11+2$$
$$a_{1}=13$$
Krok 4. Obliczenie wartości czterech pierwszych wyrazów.
Tak naprawdę obliczyliśmy wartości wszystkich czterech kolejnych wyrazów, więc możemy je po prostu do siebie dodać:
$$S_{4}=13+11+9+7=40$$
Ciąg \((b_{n})\) określony jest wzorem \(b_{n}=(-1)^{2n+3}\cdot(n+1)\). Suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(-5\)
B\(-1\)
C\(1\)
D\(5\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając \(n=1\) otrzymamy:
$$b_{1}=(-1)^{2\cdot1+3}\cdot(1+1)$$
$$b_{1}=(-1)^{5}\cdot2$$
$$b_{1}=-1\cdot2$$
$$b_{1}=-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
$$b_{2}=(-1)^{2\cdot2+3}\cdot(2+1)$$
$$b_{2}=(-1)^{7}\cdot3$$
$$b_{2}=(-1)\cdot3$$
$$b_{2}=-3$$
Krok 3. Obliczenie sumy dwóch pierwszych wyrazów:
$$b_{1}+b_{2}=-2+(-3)=-5$$
Zadanie nr 31 · Próbny 2013
Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał \(5\) zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o \(2\) zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy \(480\)?
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Pierwszego tygodnia uczeń rozwiązał \(5\) zadań, drugiego rozwiązał \(5+2=7\) zadań, trzeciego \(5+2+2=9\) zadań itd. Widzimy, że powstanie nam w ten sposób ciąg arytmetyczny w którym:
$$a_{1}=5$$
$$r=2$$
Krok 2. Zapisanie równania.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
oraz ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Spróbujmy zatem dowiedzieć się kiedy uczeń rozwiąże \(480\) zadań, czyli kiedy zajdzie następująca równość:
$$S_{n}=480$$
$$\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=480$$
$$\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n=480$$
$$\frac{5+5+(n-1)\cdot2}{2}\cdot n=480$$
$$\frac{10+2n-2}{2}\cdot n=480$$
$$\frac{2n+8}{2}\cdot n=480 \quad\bigg/\cdot2$$
$$(2n+8)\cdot n=960$$
$$2n^2+8n=960$$
$$2n^2+8n-960=0 \quad\bigg/:2$$
$$n^2+4n-480=0$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Z równania otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(n=-24\) oraz \(n=20\). Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo liczba tygodni nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(n=20\).
Otrzymany wynik oznacza, że rozwiązanie \(480\) zadań zajmie uczniowi równo \(20\) tygodni. Tym samym uczeń przekroczy \(480\) zadań w kolejnym, \(21\)-szym tygodniu.
Zadanie nr 8 · Próbny 2012
Suma \(2n\) początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa:
A\(S_{2n}=8n^2+4n\)
B\(S_{2n}=4n^2+2n\)
C\(S_{2n}=4n^2+n\)
D\(S_{2n}=2n^2+2n\)
Zastanówmy się co tak naprawdę musimy policzyć. Musimy obliczyć sumę wyrazów, które tworzą ciąg arytmetyczny z liczb parzystych w stylu:
$$2,4,6,8,...$$
O tym ciągu możemy powiedzieć, że jego pierwszym wyrazem jest na pewno \(a_{1}=2\) oraz że różnica ciągu wynosi \(r=2\). Musimy teraz obliczyć sumę tych wszystkich wyrazów, a skoro tak, to zapiszmy wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Rozpisując \(a_{n}\) ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Wiemy, że mamy mieć \(2n\) wyrazów (czyli musimy pod \(n\) podstawiać \(2n\)), wiemy też że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=2\) i wiemy że \(a_{1}=2\), zatem:
$$S_{2n}=\frac{2\cdot2+(2n-1)\cdot2}{2}\cdot2n$$
$$S_{2n}=\frac{4+4n-2}{2}\cdot2n$$
$$S_{2n}=\frac{4n+2}{2}\cdot2n$$
$$S_{2n}=(2n+1)\cdot2n$$
$$S_{2n}=4n^2+2n$$
Zadanie nr 30 · Matura 2012
Suma \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\) początkowych \(n\) wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest określona wzorem \(S_{n}=n^2-2n\). Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego.
O analizowanym ciągu wiemy tylko tyle, że jego wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów przyjmuje postać \(S_{n}=n^2-2n\). Możemy ten wzór sprytnie wykorzystać do obliczenia wartości pierwszego wyrazu, bo przecież "suma jednego wyrazu" jest równa wartości \(a_{1}\), zatem podstawiając \(n=1\) otrzymamy:
$$a_{1}=S_{1}$$
$$a_{1}=n^2-2n$$
$$a_{1}=1^2-2\cdot1$$
$$a_{1}=1-2$$
$$a_{1}=-1$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Musimy poznać wartość dwóch kolejnych wyrazów, by móc wyliczyć różnicę tego ciągu, która przyda nam się do wyznaczenia wzoru ciągu. Tym razem do wzoru na sumę podstawimy \(n=2\), co w połączeniu ze znajomością wartości pierwszego wyrazu pozwoli nam wyznaczyć wartość drugiego wyrazu.
$$S_{2}=a_{1}+a_{2}$$
$$2^2-2\cdot2=-1+a_{2}$$
$$4-4=-1+a_{2}$$
$$0=-1+a_{2}$$
$$a_{2}=1$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość dwóch kolejnych wyrazów obliczamy różnicę tego ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=1-(-1)$$
$$r=2$$
Krok 4. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
Skorzystamy tutaj ze wzoru ogólnego, do którego podstawimy wyliczone wcześniej dane \(a_{1}=-1\) oraz \(r=2\):
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{n}=-1+(n-1)\cdot2$$
$$a_{n}=-1+2n-2$$
$$a_{n}=2n-3$$
Zadanie nr 15 · Próbny 2011
W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) są dane: \(a_{2}=-1, q=-2\). Suma czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(2,5\)
B\(-7,5\)
C\(-2,5\)
D\(7,5\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość drugiego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{2}=a_{1}\cdot q$$
$$-1=a_{1}\cdot(-2)$$
$$a_{1}=\frac{1}{2}$$
Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Teoretycznie możemy w podobny sposób obliczyć jeszcze wartości trzeciego i czwartego wyrazu, wtedy bez problemu obliczymy sumę czterech wyrazów, ale możemy też skorzystać z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)}$$
$$S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-16}{3}$$
$$S_{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{-15}{3}$$
$$S_{4}=\frac{1}{2}\cdot(-5)$$
$$S_{4}=-2,5$$
Zadanie nr 28 · Matura 2010
Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(26\), a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(70\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów i podstawiając dane z treści zadania możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{5}=\frac{a_{1}+a_{5}}{2}\cdot5$$
$$70=\frac{a_{1}+26}{2}\cdot5$$
$$14=\frac{a_{1}+26}{2}$$
$$28=a_{1}+26$$
$$a_{1}=2$$
Zadanie nr 15 · Próbny 2010
W ciągu arytmetycznym \(a_{1}=3\) oraz \(a_{20}=7\). Wtedy suma \(S_{20}=a_{1}+a_{2}+...a_{19}+a_{20}\) jest równa:
A\(95\)
B\(200\)
C\(230\)
D\(100\)
Aby obliczyć sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu arytmetycznego musimy posłużyć się wzorem:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Obliczamy sumę dwudziestu pierwszy wyrazów ciągu arytmetycznego (czyli \(n=20\)) podstawiając do powyższego wzoru informacje z treści zadania: \(a_{1}=3\) oraz \(a_{20}=7\).
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n$$
$$S_{n}=\frac{3+7}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=\frac{10}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=5\cdot20=100$$
Zadanie nr 15 · Matura 2010
W ciągu arytmetycznym \(a_{1}=3\) oraz \(a_{20}=7\). Wtedy suma \(S_{20}=a_{1}+a_{2}+...a_{19}+a_{20}\) jest równa:
A\(95\)
B\(200\)
C\(230\)
D\(100\)
Aby obliczyć sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu arytmetycznego musimy posłużyć się wzorem:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Obliczamy sumę dwudziestu pierwszy wyrazów ciągu arytmetycznego (czyli \(n=20\)) podstawiając do powyższego wzoru informacje z treści zadania: \(a_{1}=3\) oraz \(a_{20}=7\).
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n$$
$$S_{n}=\frac{3+7}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=\frac{10}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=5\cdot20=100$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2009
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_{n}=n(n-2)\). Oblicz pierwszy wyraz ciągu i jego różnicę.
I sposób - obliczając wartości pierwszego i drugiego wyrazu:
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Jeżeli podstawimy do wzoru \(n=1\), to otrzymamy "sumę pierwszego wyrazu", czyli tak naprawdę wartość tego pierwszego wyrazu. W związku z tym:
$$S_{n}=n(n-2)$$
$$S_{1}=1(1-2)$$
$$S_{1}=1\cdot-1$$
$$S_{1}=-1$$
To oznacza, że \(a_{1}=-1\).
Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
Jeżeli tym razem podstawimy \(n=2\), to otrzymamy sumę dwóch pierwszych wyrazów, czyli \(a_{1}+a_{2}\). Wartość \(a_{1}\) już znamy, więc dzięki temu będziemy w stanie obliczyć wartość drugiego wyrazu. Zatem:
$$S_{n}=n(n-2)$$
$$S_{2}=2(2-2)$$
$$S_{2}=2\cdot0$$
$$S_{2}=0$$
Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy \(S_{2}=a_{1}+a_{2}\). Podstawiając pod to \(a_{1}=-1\) otrzymamy:
$$S_{2}=a_{1}+a_{2}$$
$$0=-1+a_{2}$$
$$a_{2}=1$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając dwa pierwsze wyrazy ciągu bez problemu obliczymy różnicę ciągu arytmetycznego:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=1-(-1)$$
$$r=2$$
II sposób - wyznaczając wzór ciągu:
Krok 1. Wyznaczenie wzoru ciągu arytmetycznego.
Dobrym sposobem na rozwiązanie tego zadania byłoby też wyznaczenie wzoru ciągu. Uda nam się to zrobić w następujący sposób:
$$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$$
$$a_{n}=n(n-2)-(n-1)((n-1)-2)$$
$$a_{n}=n(n-2)-(n-1)(n-3)$$
$$a_{n}=n^2-2n-n^2+3n+n-3$$
$$a_{n}=2n-3$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wzór ciągu możemy wyznaczyć bez problemu wartość dowolnego wyrazu. Szukając wartości pierwszego wyrazu podstawimy \(n=1\) i otrzymamy:
$$a_{1}=2\cdot1-3$$
$$a_{1}=2-3$$
$$a_{1}=-1$$
Krok 3. Wyznaczenie różnicy ciągu.
Tak naprawdę nie musimy nic więcej liczyć by poznać różnicę ciągu. Z własności wzorów ciągów arytmetycznych wynika, że różnicą ciągu jest liczba która znajduje się przed \(n\). W tym przypadku przed \(n\) znalazła się dwójka, czyli \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to zawsze możemy wyliczyć wartość drugiego wyrazu i potem obliczyć różnicę ciągu:
$$a_{n}=2n-3$$
$$a_{2}=2\cdot2-3$$
$$a_{2}=4-3$$
$$a_{2}=1$$
Zatem różnica ciągu wyniesie:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=1-(-1)$$
$$r=2$$
Zadanie nr 35 · Matura
Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca 2020 roku wpłaciła \(300\) złotych. Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o \(25 zł\) więcej niż w miesiącu poprzednim.
Zadanie 1.
Oblicz kwotę, jaką pani Joanna wpłaciła na subkonto pierwszego czerwca 2022 roku.
Zadanie 2.
Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim pani Joanna powinna odkładać, aby pierwszego czerwca 2025 roku (uwzględniając również wpłatę w tym dniu) na subkoncie była kwota \(76860\) złotych.
Rozwiązanie 1.
Na początek ustalmy, ile wpłat dokonała Pani Joanna, bo to też może nie być do końca oczywiste. Pierwsza wpłata była w czerwcu 2020, druga w lipcu 2020, więc dwunasta wpłata nastąpiła w maju 2021, a tym samym dwudziesta czwarta w maju 2022. Wpłata pierwszego czerwca będzie więc wpłatą dwudziestą piątą.
Powinniśmy dostrzec, że kwoty wpłat będą tworzyć pewien ciąg arytmetyczny, w którym \(a_{1}=300\) oraz \(r=25\). Skoro więc interesuje nas wartość dwudziestej piątej wpłaty, to zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{25}=a_{1}+24r$$
$$a_{25}=300+24\cdot25$$
$$a_{25}=300+600$$
$$a_{25}=900$$
Rozwiązanie 2.
W tym zadaniu wykorzystamy wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Bazując na wyliczance miesięcy z poprzedniego podpunktu, możemy stwierdzić, że wpłata pierwszego czerwca 2025 będzie wpłatą sześćdziesiątą pierwszą, czyli w naszym przypadku \(n=61\). Podstawiając zatem \(S_{n}=76860\) oraz \(a_{1}=300\), otrzymamy:
$$76860=\frac{2\cdot300+(61-1)r}{2}\cdot61$$
$$1260=\frac{600+60r}{2}$$
$$2520=600+60r$$
$$60r=1920$$
$$r=32$$
To oznacza, że Pani Joanna powinna powiększać swoje wpłaty o \(32zł\) miesięcznie.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
