Rozkład wielomianu na czynniki

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x=0,\qquad x=1,\qquad x=-6$$

Trzy różne pierwiastki.

Odpowiedź: C. $3$.

Krok 1 — wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(x^2-9)$$

Krok 2 — różnica kwadratów:

$$x(x-3)(x+3)$$

Odpowiedź: $W(x)=x(x-3)(x+3)$.

Krok 1 — przenosimy na jedną stronę (nie wolno dzielić przez $x$, bo nie znamy jego znaku):

$$x^3-4x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)(x+2)\ge0$$

Krok 2 — pierwiastki: $-2$, $0$, $2$. Stopień $3$, współczynnik dodatni, znaki od prawej: $+$, $-$, $+$, $-$.

Krok 3 — przedziały:

$$x\in\langle-2,\,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$

Sprawdzenie dla $x=-1$: $-1\ge-4$ ✔

Odpowiedź: $x\in\langle-2,\,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$.

W pierwiastku dwukrotnym ($x=1$) wykres tylko dotyka osi i wraca — znak się nie zmienia.

W pierwiastku jednokrotnym ($x=-4$) wykres przechodzi przez oś — znak się zmienia.

Reguła: krotność parzysta — bez zmiany znaku, nieparzysta — ze zmianą.

Odpowiedź: C. tylko $x=-4$.

Krok 1 — wyłączamy $x$:

$$x(x^2-5x+6)=0$$

Krok 2 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o sumie $5$ i iloczynie $6$: to $2$ i $3$:

$$x(x-2)(x-3)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=0,\qquad x=2,\qquad x=3$$

Odpowiedź: $x\in\{0,\,2,\,3\}$.

Krok 1 — sprawdzamy:

$$W(2)=8-12+8-4=0 \ ✔$$

Krok 2 — dzielimy przez $(x-2)$. Otrzymujemy:

$$W(x)=(x-2)(x^2-x+2)$$

Krok 3 — czy trójmian da się rozłożyć?

$$\Delta=1-8=-7\lt 0$$

Wyróżnik ujemny, więc trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych i rozkład jest pełny.

Sprawdzenie mnożeniem: $(x-2)(x^2-x+2)=x^3-x^2+2x-2x^2+2x-4=x^3-3x^2+4x-4$ ✔

Odpowiedź: $W(x)=(x-2)(x^2-x+2)$, jedyny pierwiastek rzeczywisty to $x=2$.

1. Najwyższa potęga iloczynu: $2x^3\cdot x^2=2x^5$ → stopień $5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pomnożone stopnie $3\cdot2$ zamiast dodania.

1. Podstawiamy $x=-2$: $(-2)^3+8=-8+8=0$ ✓.
2. Pozostałe: $-8-8\ne0$, $4+4\ne0$, $4-4+2\ne0$.

Odpowiedź: B

1. $x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? B — zgubiony czynnik $x$.

1. $x^2(x-4)-(x-4)=(x-4)(x^2-1)=(x-4)(x-1)(x+1)$.
2. Rozwiązania: $4,\ 1,\ -1$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — z $x^2=1$ wzięto tylko $x=1$.

1. 1. $2x\cdot(x^2-2x+3)=2x^3-4x^2+6x$ — prawda.
2. 2. $W(x)=0 \iff x=0$ lub $x^2-2x+3=0$; dla trójmianu $\Delta=4-12\lt 0$, więc jedyne rozwiązanie to $x=0$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $(\sqrt3)^3=3\sqrt3$, więc $W(\sqrt3)=3\sqrt3-3\sqrt3+1=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — $(\sqrt3)^3$ policzone jako $3$; D — zły znak przy $-3x$.

1. $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$ — różnica kwadratów.
2. $x^2-4=(x-2)(x+2)$, a $x^2+4$ nie rozkłada się dalej ($\Delta\lt 0$).

Odpowiedź: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$

1. Grupujemy: $x^2(2x-1)-4(2x-1)=0$.
2. $(2x-1)(x^2-4)=0$, czyli $(2x-1)(x-2)(x+2)=0$.
3. $x=\dfrac12$, $x=2$ lub $x=-2$.

Odpowiedź: $x\in\left\{-2,\ \tfrac12,\ 2\right\}$

1. $x^2(x+2)-3(x+2)=0 \Rightarrow (x+2)(x^2-3)=0$.
2. $x=-2$ lub $x^2=3$, czyli $x=-\sqrt3$ lub $x=\sqrt3$.

Odpowiedź: $x\in\{-2,-\sqrt3,\sqrt3\}$

1. Przenosimy na jedną stronę: $x(x-2)(x+2)-x(x-2)=0$.
2. Wyłączamy $x(x-2)$: $x(x-2)\big[(x+2)-1\big]=x(x-2)(x+1)=0$.
3. $x=0$, $x=2$ lub $x=-1$.

Odpowiedź: $x\in\{-1,0,2\}$

Wskazówka: Kto podzieli obie strony przez $x(x-2)$, dostanie tylko $x=-1$ i straci dwa punkty.

1. Najwyższa potęga $x^3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to współczynnik.

1. $x^2-2^2=(x-2)(x+2)$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to kwadrat różnicy.

1. Wyłącz $x$ przed nawias: $x^3-9x=x(x^2-9)$.
2. Wzór skróconego mnożenia: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A to kwadrat różnicy (inny wzór), B gubi czynnik $x$, C ma zły znak w nawiasie.

1. $x=0$ lub $x=5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B gubi $x=0$.

1. $x^2-6x+9=(x-3)^2$.

Odpowiedź: $(x-3)^2$

Wyłączamy najwyższą wspólną potęgę $x$, czyli $x^2$:

$$x^3+2x^2=x^2(x+2)$$

Sprawdzenie: $x^2\cdot x+x^2\cdot2=x^3+2x^2$ ✔

Odpowiedź: B. $x^2(x+2)$.

Krok 1 — wspólny czynnik liczbowy. NWD$(6,9)=3$.

Krok 2 — wspólny czynnik literowy. Najniższa potęga to $x^2$.

Krok 3 — wyłączamy $3x^2$:

$$6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)$$

Odpowiedź: $3x^2(2x-3)$.

Rozpoznajemy różnicę kwadratów, bo $16=4^2$:

$$x^2-16=(x-4)(x+4)$$

Odpowiedź: $(x-4)(x+4)$.

Rozpoznajemy kwadrat różnicy: $9=3^2$, a środkowy wyraz to $-2\cdot x\cdot3$:

$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$

Odpowiedź: C. $(x-3)^2$.

Krok 1 — grupujemy po dwa wyrazy:

$$\left(x^3+x^2\right)+(x+1)$$

Krok 2 — wyłączamy z każdej grupy:

$$x^2(x+1)+1\cdot(x+1)$$

Krok 3 — wyłączamy wspólny nawias:

$$(x+1)\left(x^2+1\right)$$

Odpowiedź: $(x+1)(x^2+1)$.

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x-2=0 \quad\text{lub}\quad x+5=0$$

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-5$$

Uwaga na znaki: z czynnika $(x+5)$ pierwiastkiem jest $-5$, a nie $5$.

Odpowiedź: A. $0$, $2$, $-5$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $2x$:

$$2x^3-8x=2x\left(x^2-4\right)$$

Krok 2 — różnica kwadratów w nawiasie:

$$2x(x-2)(x+2)$$

Kolejność ma znaczenie: najpierw wspólny czynnik, potem wzory. Pominięcie pierwszego kroku dałoby rozkład niepełny.

Odpowiedź: $2x(x-2)(x+2)$.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^3-3x^2\right)+(2x-6)$$

Krok 2 — wyłączamy z grup:

$$x^2(x-3)+2(x-3)$$

Krok 3 — wspólny nawias:

$$(x-3)\left(x^2+2\right)$$

Sprawdzenie dla $x=3$: pierwotny wielomian daje $27-27+6-6=0$, a w rozkładzie czynnik $(x-3)$ się zeruje ✔

Odpowiedź: $(x-3)(x^2+2)$.

Pierwiastki to $x=1$ (podwójny) oraz $x=-3$ (pojedynczy). Różnych wartości pierwiastków są dwie.

Uwaga na sformułowanie. Pierwiastek $x=1$ liczymy jako jedną wartość, choć jego krotność wynosi $2$. Pytanie o liczbę pierwiastków zwykle dotyczy różnych wartości.

Odpowiedź: D. $2$.

Krok 1 — rozkładamy lewą stronę:

$$x\left(x^2-4\right)=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)(x+2)=0$$

Krok 2 — przyrównujemy każdy czynnik do zera:

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-2$$

Zasada. Rozkład na czynniki zamienia równanie wielomianowe na kilka prostych — iloczyn jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się choć jeden czynnik.

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 0,\ 2\}$.

Stosujemy wzór na różnicę sześcianów, bo $27=3^3$:

$$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$$

$$x^3-27=(x-3)\left(x^2+3x+9\right)$$

Uwaga na znak środkowego wyrazu: w drugim nawiasie jest $+3x$, a nie $-3x$. W różnicy sześcianów wszystkie znaki w drugim czynniku są dodatnie.

Odpowiedź: B. $(x-3)(x^2+3x+9)$.

Krok 1 — pierwsza różnica kwadratów ($x^4=(x^2)^2$):

$$x^4-1=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)$$

Krok 2 — drugi rozkład. Czynnik $x^2-1$ to znowu różnica kwadratów:

$$(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)$$

Uwaga: czynnika $x^2+1$ nie da się rozłożyć w liczbach rzeczywistych — suma kwadratów nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: $(x-1)(x+1)(x^2+1)$.

Krok 1 — szukamy dwóch liczb o iloczynie $6$ i sumie $5$ (z odpowiednim znakiem). Trójmian ma postać $(x-p)(x-q)$, gdzie $p+q=5$ i $pq=6$.

Krok 2 — dobieramy:

$$2+3=5,\qquad 2\cdot3=6$$

Krok 3 — rozkład:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Sprawdzenie: $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$ ✔

Odpowiedź: $(x-2)(x-3)$.

Współczynniki: NWD$(4,6,2)=2$.

Litery: najniższa potęga $x$ w wyrazach to $x^1$.

Wspólnym czynnikiem jest więc $2x$:

$$4x^3-6x^2+2x=2x\left(2x^2-3x+1\right)$$

Odpowiedź: A. $2x$.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^3+x^2\right)-(4x+4)=0$$

Krok 2 — wyłączamy z grup:

$$x^2(x+1)-4(x+1)=0$$

Krok 3 — wspólny nawias:

$$(x+1)\left(x^2-4\right)=0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)(x-2)(x+2)=0$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=-1,\quad x=2,\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ -1,\ 2\}$.

To suma kwadratów, a nie różnica — nie ma wzoru skróconego mnożenia, który by ją rozkładał w liczbach rzeczywistych.

Dlaczego: $x^2+4=0$ dawałoby $x^2=-4$, co nie ma rozwiązań rzeczywistych. Brak pierwiastków oznacza brak czynników liniowych.

Uwaga: tylko różnica kwadratów $x^2-4$ się rozkłada. Suma — nie.

Odpowiedź: C. nie rozkłada się.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $3$:

$$3\left(x^4-x^2-12\right)$$

Krok 2 — podstawienie. Niech $t=x^2$:

$$3\left(t^2-t-12\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o iloczynie $-12$ i sumie $-1$: to $-4$ i $3$:

$$3(t-4)(t+3)$$

Krok 4 — wracamy do $x$:

$$3\left(x^2-4\right)\left(x^2+3\right)$$

Krok 5 — dokończamy rozkład. Czynnik $x^2-4$ to różnica kwadratów, a $x^2+3$ jest nierozkładalny:

$$3(x-2)(x+2)\left(x^2+3\right)$$

Odpowiedź: $3(x-2)(x+2)(x^2+3)$.

Krok 1 — sprawdzamy pierwiastek:

$$W(2)=8-12+4=0 \ ✔$$

Skoro $W(2)=0$, to z twierdzenia Bézouta $(x-2)$ jest dzielnikiem wielomianu.

Krok 2 — dzielimy $W(x)$ przez $(x-2)$. Wynik dzielenia:

$$x^3-3x^2+4=(x-2)\left(x^2-x-2\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Liczby o iloczynie $-2$ i sumie $-1$ to $-2$ i $1$:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$

Krok 4 — pełny rozkład:

$$W(x)=(x-2)^2(x+1)$$

Wniosek. Pierwiastek $x=2$ jest podwójny, a $x=-1$ pojedynczy.

Sprawdzenie dla $x=-1$: $-1-3+4=0$ ✔

Krok 1 — miejsca zerowe. Wielomian zeruje się w punktach:

$$x=-2,\quad x=1,\quad x=4$$

Krok 2 — oś i znaki. Miejsca zerowe dzielą oś na cztery przedziały. Sprawdzamy znak w każdym, biorąc liczbę próbną:

• $x=-3$: $(-)(-)(-)=-$ — ujemny
• $x=0$: $(-)(+)(-)=+$ — dodatni
• $x=2$: $(+)(+)(-)=-$ — ujemny
• $x=5$: $(+)(+)(+)=+$ — dodatni

Krok 3 — wybieramy przedziały dodatnie. Szukamy, gdzie wielomian jest większy od zera:

$$x\in(-2,\ 1)\cup(4,\ +\infty)$$

Reguła wstęgowa. Dla wielomianu z pojedynczymi pierwiastkami znak zmienia się przy każdym z nich — wystarczy ustalić znak w skrajnym przedziale i naprzemiennie.

Odpowiedź: $x\in(-2,\ 1)\cup(4,\ +\infty)$.

Krok 1 — rozkładamy wielomian:

$$x^3-x=x\left(x^2-1\right)=x(x-1)(x+1)=(x-1)\,x\,(x+1)$$

Krok 2 — interpretacja. To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: $x-1$, $x$, $x+1$.

Krok 3 — podzielność przez $2$. Wśród dowolnych dwóch kolejnych liczb jedna jest parzysta, więc iloczyn dzieli się przez $2$.

Krok 4 — podzielność przez $3$. Wśród dowolnych trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez $3$, więc iloczyn dzieli się przez $3$.

Krok 5 — wniosek. Iloczyn dzieli się przez $2$ i przez $3$, a skoro liczby te są względnie pierwsze, dzieli się przez $2\cdot3=6$. $\qquad ∎$

Sprawdzenie dla $x=4$: $64-4=60=6\cdot10$ ✔